У шкільній програмі з курсу стереометрії вивчення об'ємних фігур зазвичай починається з простого геометричного тіла – багатогранника призми. Роль її основ виконують 2 рівні багатокутники, що лежать у паралельних площинах. Окремим випадком є ​​правильна чотирикутна призма. Її основами є 2 однакові правильні чотирикутники, до яких перпендикулярні бічні сторони, що мають форму паралелограмів (або прямокутників, якщо призма не похила).

Як виглядає призма

Правильною чотирикутною призмою називається шестигранник, в підставах якого знаходяться 2 квадрати, а бічні грані представлені прямокутниками. Інша назва для цієї геометричної фігури – прямий паралелепіпед.

Рисунок, на якому зображено чотирикутну призму, показано нижче.

На зображенні також можна побачити найважливіші елементи, у тому числі складається геометричне тіло. До них прийнято відносити:

Іноді в завданнях геометрії можна зустріти поняття перерізу. Визначення звучатиме так: перетин - це всі точки об'ємного тіла, що належать січній площині. Перетин буває перпендикулярним (перетинає ребра фігури під кутом 90 градусів). Для прямокутної призми також розглядається діагональний переріз (максимальна кількість перерізів, яких можна побудувати - 2), що проходить через 2 ребра та діагоналі основи.

Якщо перетин намальовано так, що січна площина не паралельна ні основам, ні бічним граням, в результаті виходить усічена призма.

Для знаходження наведених призматичних елементів використовуються різні відносини та формули. Частина їх відома з курсу планіметрії (наприклад, знаходження площі підстави призми досить згадати формулу площі квадрата).

Площа поверхні та обсяг

Щоб визначити обсяг призми за формулою, необхідно знати площу її основи та висоту:

V = Sосн · h

Оскільки основою правильної чотиригранної призми є квадрат зі стороною a,можна записати формулу у більш докладному вигляді:

V = a²·h

Якщо йдеться про куб - правильну призму з рівною довжиною, шириною і висотою, обсяг обчислюється так:

Щоб зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні призми, необхідно уявити її розгортку.

З креслення видно, що бічна поверхня складена з чотирьох рівних прямокутників. Її площа обчислюється як добуток периметра основи на висоту фігури:

Sбік = Pосн · h

З огляду на те, що периметр квадрата дорівнює P = 4a,формула набуває вигляду:

Sбік = 4a·h

Для куба:

Sбік = 4a²

Для обчислення площі повної поверхні призми потрібно до бічної площі додати 2 площі підстав:

Sповн = Sбік + 2Sосн

Стосовно чотирикутної правильної призми формула має вигляд:

Sповн = 4a·h + 2a²

Для площі поверхні куба:

Sповн = 6a²

Знаючи обсяг чи площу поверхні, можна обчислити окремі елементи геометричного тіла.

Знаходження елементів призми

Часто зустрічаються завдання, у яких дано обсяг або відома величина бічної площі поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи чи висоту. У разі формули можна вивести:

• довжина сторони основи: a = Sбік / 4h = √(V/h);
• довжина висоти або бічного ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
• площа основи: Sосн = V/h;
• площа бічної грані: Sбік. гр = Sбік / 4.

Щоб визначити, яку площу має діагональний переріз, необхідно знати довжину діагоналі та висоту фігури. Для квадрата d = a√2.З цього випливає:

Sдіаг = ah√2

Для обчислення діагоналі призми використовується формула:

dприз = √(2a² + h²)

Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.

Приклади завдань із рішеннями

Ось кілька завдань, які у державних підсумкових іспитах з математики.

Завдання 1.

У коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 см. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною основи вдвічі більше?

Слід розмірковувати так. Кількість піску в першій та другій ємності не змінювалося, тобто його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину основи за a. У такому випадку для першої коробки обсяг речовини становитиме:

V₁ = ha² = 10a²

Для другої коробки довжина основи становить 2a, але невідома висота рівня піску:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Оскільки V₁ = V₂, Можна прирівняти вирази:

10a² = 4ha²

Після скорочення обох частин рівняння на a² виходить:

В результаті новий рівень піску становитиме h = 10/4 = 2,5див.

Завдання 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна призма. Відомо, що BD = AB₁ = 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.

Щоб було простіше зрозуміти, які елементи відомі, можна зобразити фігуру.

Оскільки йдеться про правильну призму, можна зробити висновок, що на підставі знаходиться квадрат з діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна грань теж має форму квадрата, рівного підставі. Виходить, що всі три виміри – довжина, ширина та висота – рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.

Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площа повної поверхні знаходиться за формулою для куба:

Sповн = 6a² = 6·6² = 216

Завдання 3.

У кімнаті виконується ремонт. Відомо, що її підлога має форму квадрата із площею 9 м². Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м² коштує 50 рублів?

Оскільки підлога та стеля є квадратами, тобто правильними чотирикутниками, і стіни її перпендикулярні горизонтальним поверхням, можна зробити висновок, що вона є правильною призмою. Необхідно визначити площу її бічної поверхні.

Довжина кімнати складає a = √9 = 3м.

Шпалери буде обклеєна площа Sбок = 4 · 3 · 2,5 = 30 м².

Найнижча вартість шпалер для цієї кімнати складе 50 · 30 = 1500карбованців.

Таким чином, для вирішення задач на прямокутну призму достатньо вміти обчислювати площу та периметр квадрата та прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об'єму та площі поверхні.

Як знайти площу куба

За допомогою цього відеоуроку всі бажаючі зможуть самостійно ознайомитись із темою «Поняття багатогранника. Призма. Площа поверхні призми. Під час заняття вчитель розповість у тому, що є такі геометричні постаті, як багатогранник і призми, дасть відповідні визначення і пояснить їх суть на конкретних прикладах.

За допомогою цього уроку всі бажаючі зможуть самостійно ознайомитись із темою «Поняття багатогранника. Призма. Площа поверхні призми.

Визначення. Поверхня, що складається з багатокутників і обмежує деяке геометричне тіло, називатимемо багатогранною поверхнею або багатогранником.

Розглянемо такі приклади багатогранників:

1. Тетраедр ABCD- Це поверхня, складена з чотирьох трикутників: АВС, ADB, BDCі ADC(Рис. 1).

Рис. 1

2. Паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1- це поверхня, що складається з шести паралелограмів (рис. 2).

Рис. 2

Основними елементами багатогранника є грані, ребра, вершини.

Грані - це багатокутники, що становлять багатогранник.

Ребра – це сторони граней.

Вершини – це кінці ребер.

Розглянемо тетраедр ABCD(Рис. 1). Зазначимо його основні елементи.

Грані: трикутники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, НД, DC, AD, BD.

Вершини: А, В, З, D.

Розглянемо паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Рис. 2).

Грані: паралелограми АА 1 D 1 D, D 1 DСС 1 , ВВ 1 З 1 З, АА 1 В 1 В, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .

Ребра: АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Вершини: A, B, C, D, A1, B1, C1, D1.

Важливим окремим випадком багатогранника є призма.

АВСА 1 В 1 З 1(Рис. 3).

Рис. 3

Рівні трикутники АВСі А 1 В 1 З 1розташовані в паралельних площинах α і β так, що ребра АА 1, ВВ 1, СС 1паралельні.

Тобто АВСА 1 В 1 З 1- трикутна призма, якщо:

1) Трикутники АВСі А 1 В 1 З 1рівні.

2) Трикутники АВСі А 1 В 1 З 1розташовані в паралельних площинах α та β: ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Ребра АА 1, ВВ 1, СС 1паралельні.

АВСі А 1 В 1 З 1- Підстави призми.

АА 1, ВВ 1, СС 1- Бічні ребра призми.

Якщо з довільної точки Н 1однієї площини (наприклад, β) опустити перпендикуляр ПН 1на площину α, цей перпендикуляр називається висотою призми.

Визначення. Якщо бічні ребра перпендикулярні до основ, то призма називається прямою, а інакше - похилою.

Розглянемо трикутну призму АВСА 1 В 1 З 1(Рис. 4). Ця призма – пряма. Тобто, її бічні ребра перпендикулярні до основ.

Наприклад, ребро АА 1перпендикулярно до площини АВС. Ребро АА 1є висотою цієї призми.

Рис. 4

Зауважимо, що бічна грань АА 1 В 1 Вперпендикулярна до основ АВСі А 1 В 1 З 1оскільки вона проходить через перпендикуляр. АА 1до основ.

Тепер розглянемо похилий призму АВСА 1 В 1 З 1(Рис. 5). Тут бічне ребро не перпендикулярне площині основи. Якщо опустити з точки А 1перпендикуляр А 1 Нна АВС, цей перпендикуляр буде висотою призми. Зауважимо, що відрізок АН- це проекція відрізка АА 1на площину АВС.

Тоді кут між прямою АА 1та площиною АВСце кут між прямою АА 1і її АНпроекцією на площину, тобто кут А 1 АН.

Рис. 5

Розглянемо чотирикутну призму ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Рис. 6). Розглянемо, як вона виходить.

1) Чотирьохкутник ABCDдорівнює чотирикутнику A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Чотирикутники ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Чотирикутники ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1розташовані так, що бічні ребра паралельні, тобто: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Визначення. Діагональ призми - це відрізок, що сполучає дві вершини призми, що не належать до однієї грані.

Наприклад, АС 1- діагональ чотирикутної призми ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Визначення. Якщо бічне ребро АА 1перпендикулярно до площини основи, то така призма називається прямою.

Рис. 6

Приватним випадком чотирикутної призми є відомий паралелепіпед. Паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1зображено на рис. 7.

Розглянемо, як він влаштований:

1) В основі лежать рівні фігури. В даному випадку – рівні паралелограми ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Паралелограми ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1лежать у паралельних площинах α та β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Паралелограми ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1розташовані таким чином, що бічні ребра паралельні між собою: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Рис. 7

З точки А 1опустимо перпендикуляр АНна площину АВС. Відрізок А 1 Нє заввишки.

Розглянемо, як влаштовано шестикутну призму (рис. 8).

1) В основі лежать рівні шестикутники ABCDEFі A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ABCDEF= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Площини шестикутників ABCDEFі A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1паралельні, тобто основи лежать у паралельних площинах: ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Шестикутники ABCDEFі A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1розташовані так, що всі бічні ребра між собою паралельні: АА 1 ║ВВ 1 …║FF 1.

Рис. 8

Визначення. Якщо якесь бічне ребро перпендикулярно площині основи, то така шестикутна призма називається прямою.

Визначення. Пряма призма називається правильною, якщо її основи – правильні багатокутники.

Розглянемо правильну трикутну призму АВСА 1 В 1 З 1.

Рис. 9

Трикутна призма АВСА 1 В 1 З 1- правильна, це, що у підставах лежать правильні трикутники, тобто всі сторони цих трикутників рівні. Також ця призма – пряма. Отже, бічне ребро перпендикулярно площині основи. А це означає, що всі бічні грані – рівні прямокутники.

Отже, якщо трикутна призма АВСА 1 В 1 З 1- правильна, то:

1) Бокове ребро перпендикулярно площині основи, тобто є висотою: AA 1 ⊥ АВС.

2) В основі лежить правильний трикутник: ∆ АВС- правильний.

Визначення. Площею повної поверхні призми називається сума площ її граней. позначається S повний.

Визначення. Площею бічної поверхні називається сума площ усіх бічних граней. позначається S бік.

Призма має дві підстави. Тоді площа повної поверхні призми:

S повн = S бік + 2S осн.

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми.

Доказ проведемо з прикладу трикутної призми.

Дано: АВСА 1 В 1 З 1- Пряма призма, тобто. АА 1 ⊥ АВС.

АА1 = h.

Довести: S бік = Р осн ∙ h.

Рис. 10

Доведення.

Трикутна призма АВСА 1 В 1 З 1- Пряма, значить, АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С -прямокутники.

Знайдемо площу бічної поверхні як суму площ прямокутників АА 1 В 1 В, АА 1 З 1 З, ВВ 1 З 1 З:

S бік = АВ∙h+ВС∙h+СА∙h=(AB+ВС+CA)∙h=P осн∙h.

Отримуємо, S бік = Р осн ∙ h,що й потрібно було довести.

Ми познайомилися з багатогранниками, призмою, її різновидами. Довели теорему про бічній поверхні призми. На наступному уроці ми вирішуватимемо завдання на призму.

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене та доповнене - М.: Мнемозіна, 2008. - 288 с. : іл.
2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. – 6-те видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. :іл.

1. Яклас ().
2. Shkolo.ru ().
3. Стара школа ().
4. WikiHow ().

1. Яка мінімальна кількість граней може мати призма? Скільки вершин, ребер у такої призми?
2. Чи існує призма, яка має точно 100 ребер?
3. Бокове ребро нахилено до поверхні під кутом 60°. Знайдіть висоту призми, якщо бічне ребро дорівнює 6 див.
4. У прямій трикутній призмі усі ребра рівні. Площа її бічної поверхні становить 27 см2. Знайдіть площу повної поверхні призми.

Різні призми не схожі один на одного. У той самий час вони багато спільного. Щоб знайти площу основи призми, потрібно розібратися у тому, який вигляд вона має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не відноситься до бокових меж - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не лише площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнею вже буде поєднання всіх граней, які становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який з'єднує попарно дві будь-які вершини, що не належать до однієї грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо вони однакові фігури у верхній і нижній гранях, їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи у загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі присутній напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, яка є правильною, то трикутник є рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі, для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли йдеться про чотирикутну призму, то площа підстави правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у підставі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: на = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони «в», а висота на протилежна до цього куту.

Якщо на підставі призми лежить ромб, то для визначення його площі буде потрібна та сама формула, що для паралелограма (оскільки він є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми є правильним п'ятикутником, то він може бути розділений на п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи і вчотирьох бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12 це число буде дорівнює 168 см 2 . Загальна площа поверхні призми виявляється 960 см2.

Відповідь.Площа підстави призми дорівнює 144 см2. Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї основи призми.

Всі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней у призми саме так. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

Визначення.

Це шестигранник, основами якого є два рівні квадрати, а бічні грані є рівними прямокутниками.

Бокове ребро- це спільна сторона двох суміжних бічних граней

Висота призми- це відрізок, перпендикулярний до основ призми

Діагональ призми- відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не належать до однієї грані

Діагональна площина- площина, яка проходить через діагональ призми та її бічні ребра

Діагональний переріз- межі перетину призми та діагональної площини. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.

Перпендикулярний перетин (ортогональний переріз)- це перетин призми та площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам.

Елементи правильної чотирикутної призми

На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними літерами:

• Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні та паралельні один одному
• Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C та CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
• Бічна поверхня - сума площ усіх бічних граней призми
• Повна поверхня - сума площ усіх підстав та бічних граней (сума площі бічної поверхні та підстав)
• Бічні ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 та DD 1 .
• Діагональ B 1 D
• Діагональ основи BD
• Діагональний переріз BB 1 D 1 D
• Перпендикулярне перетин A 2 B 2 C 2 D 2 .

Властивості правильної чотирикутної призми

• Підставами є два рівні квадрати
• Підстави паралельні один одному
• Боковими гранями є прямокутники
• Бічні грані рівні між собою
• Бічні грані перпендикулярні до основ
• Бічні ребра паралельні між собою та рівні
• Перпендикулярний перетин перпендикулярно всім бічних ребрів і паралельно основам.
• Кути перпендикулярного перетину - прямі
• Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
• Перпендикулярний (ортогональний переріз) паралельно основам

Формули для правильної чотирикутної призми

Вказівки до вирішення завдань

Під час вирішення завдань на тему " правильна чотирикутна призмамається на увазі, що:

Правильна призма- призма в основі якої лежить правильний багатокутник, а бічні ребра перпендикулярні до площин основи. Тобто правильна чотирикутна призма містить у своїй основі квадрат. (Див. вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія – призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі під час вирішення. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореня у розв'язках задач використовується символ√ .

Завдання.

У правильній чотирикутній призмі площа основи 144 см 2 , а висота 14 см. Знайти діагональ призми та площу повної поверхні.

Рішення.
Правильний чотирикутник – це квадрат.
Відповідно, сторона основи буде рівна

√144 = 12 см.
Звідки діагональ основи правильної прямокутної призми дорівнюватиме
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи та висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, за теоремою Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Відповідь: 22 см

Завдання

Визначте повну поверхню правильної чотирикутної призми, якщо її діагональ дорівнює 5 см, а діагональ бічної грані дорівнює 4 см.

Рішення.
Оскільки на підставі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то бік основи (позначимо як a) знайдемо за теоремою Піфагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Висота бічної грані (позначимо як h) тоді дорівнюватиме:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площа повної поверхні дорівнюватиме сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі підстави

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Відповідь : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

У шкільному курсі стереометрії однією з найпростіших фігур, що має не нульові розміри вздовж трьох просторових осей, є чотирикутна призма. Розглянемо у статті, що це за фігура, з яких елементів вона складається, а також як можна розрахувати площу її поверхні та об'єм.

Поняття про призм

У геометрії призмою вважають просторову фігуру, яка утворена двома однаковими основами та бічними поверхнями, які з'єднують сторони цих основ. Зазначимо, що обидві підстави переходять одна в одну за допомогою операції паралельного перенесення деякий вектор. Таке завдання призми призводить до того, що її бічні сторони завжди є паралелограмами.

Кількість сторін підстави може бути довільною, починаючи від трьох. При прагненні цього числа до нескінченності призма плавно переходить в циліндр, оскільки її основа стає кругом, а бічні паралелограми, з'єднуючись, утворюють циліндричну поверхню.

Як і будь-який поліедр, призма характеризується сторонами (площини, що обмежують фігуру), ребрами (відрізки, по яких перетинаються дві будь-які сторони) та вершинами (точки зустрічі трьох сторін, для призми дві з них є бічними, а третя – основою). Кількості названих трьох елементів фігури пов'язані між собою таким виразом:

Тут Р, З і У - це число ребер, сторін і вершин, відповідно. Це є математичним записом теореми Ейлера.

Вище наведено малюнок, де показано дві призми. В основі однієї з них (A) лежить правильний шестикутник, і сторони бічні перпендикулярні до основ. Малюнок B демонструє іншу призму. Її бічні сторони вже не перпендикулярні основам, а основа є правильним п'ятикутником.

чотирикутна?

Як відомо з описи вище, тип призми насамперед визначається видом багатокутника, який утворює основу (обидва основи однакові, тому можна говорити про одному з них). Якщо цим багатокутником є ​​паралелограм, ми отримуємо чотирикутну призму. Таким чином, усі сторони цього є паралелограмами. Чотирикутна призма має власну назву – паралелепіпед.

Кількість сторін паралелепіпеда дорівнює шести, причому кожна сторона має аналогічну паралельну їй. Оскільки основи паралелепіпеда - це дві сторони, то чотири, що залишилися, є бічними.

Кількість вершин паралелепіпеда дорівнює восьми, у чому легко переконатися, якщо пригадати, що вершини призми утворюються лише на вершинах базових багатокутників (4х2 = 8). Застосовуючи теорему Ейлера, отримуємо число ребер:

Р = С + В - 2 = 6 + 8 - 2 = 12

З 12-ти ребер, лише 4 утворені самостійно бічними сторонами. Інші 8 лежать у площинах підстав фігури.

Види паралелепіпедів

Перший тип класифікації полягає особливо паралелограма, що лежить у основі. Він може бути наступного вигляду:

• звичайний, у якого кути не рівні 90 o;
• прямокутник;
• квадрат – правильний чотирикутник.

Другий тип класифікації полягає у вугіллі, при якому бічна сторона перетинає основу. Тут можливо два різні випадки:

• цей кут не є прямим, тоді призму називають косокутною чи похилою;
• кут дорівнює 90 o тоді така призма є прямокутною або просто прямою.

Третій тип класифікації пов'язані з висотою призми. Якщо призма є прямокутною, і в основі лежить або квадрат, або прямокутник, тоді її називають прямокутним паралелепіпедом. Якщо ж на підставі знаходиться квадрат, призма є прямокутною, а її висота дорівнює довжині сторони квадрата, ми отримуємо всім відому фігуру куб.

Поверхня призми та її площа

Сукупність всіх точок, які лежать на двох підставах призми (паралелограмах) та на її бічних сторонах (чотири паралелограми), утворюють поверхню фігури. Площа цієї поверхні може бути обчислена, якщо розрахувати площу основи та цю величину для бічної поверхні. Тоді їх сума дасть потрібне значення. Математично це записується так:

Тут S o і S b - площа основи та бічної поверхні, відповідно. Цифра 2 перед S o з'являється у вигляді те, що підстав два.

Зазначимо, що записана формула справедлива для будь-якої призми, а не лише для площі чотирикутної призми.

Площа паралелограма S p обчислюється за формулою:

Де символи a та h позначають довжину однієї з його сторін та висоту, проведену до цієї сторони, відповідно.

Площа прямокутної призми з квадратною основою

В основу є квадрат. Позначимо для визначеності його бік літерою a. Щоб розрахувати площу правильної чотирикутної призми, слід знати її висоту. Згідно з визначенням для цієї величини, вона дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з однієї основи на іншу, тобто дорівнює відстані між ними. Позначимо її літерою h. Оскільки всі бічні грані перпендикулярні підстав для аналізованого типу призми, то висота правильної чотирикутної призми дорівнюватиме довжині її бічного ребра.

У загальній формулі для площі поверхні призми коштує два доданки. Площа підстави в даному випадку розрахувати просто, вона дорівнює:

Щоб обчислити площу бічної поверхні, розмірковуємо наступним чином: ця поверхня утворена чотирма однаковими прямокутниками. Причому сторони кожного їх рівні a і h. Це означає, що площа S b дорівнюватиме:

Зауважимо, що добуток 4*a – це периметр квадратної основи. Якщо узагальнити цей вираз на випадок довільної основи, тоді для прямокутної призми бічну поверхню можна розрахувати так:

Де P o – периметр основи.

Повертаючись до завдання розрахунку площі правильної чотирикутної призми, можна записати підсумкову формулу:

S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Площа косокутного паралелепіпеда

Обчислити її трохи складніше, ніж прямокутного. У цьому випадку площа основи чотирикутної призми обчислюється за тією самою формулою, що й для паралелограма. Зміни стосуються способу визначення площі бічної поверхні.

Для цього використовується та сама формула через периметр, що наведена у пункті вище. Тільки тепер у ній з'являться дещо інші множники. Загальна формула для S b у разі косокутної призми має вигляд:

Тут с – це довжина бічного ребра фігури. Розмір P sr є периметром прямокутного зрізу. Будується це середовище таким чином: необхідно площиною перетнути всі бічні грані таким чином, щоб вона була перпендикулярна всім їм. Утворений прямокутник буде шуканим зрізом.

На малюнку вище наведено приклад косокутного паралелепіпеда. Заштрихований його переріз із бічними сторонами утворює прямі кути. Периметр перерізу дорівнює Psr. Він утворений чотирма висотами бічних паралелограмів. Для цієї чотирикутної призми площа бічної поверхні розраховується за зазначеною вище формулою.

Довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда

Діагональ паралелепіпеда – це відрізок, який з'єднує дві вершини, що не мають спільних сторін, які їх утворюють. У будь-якій чотирикутній призмі діагоналей лише чотири. Для прямокутного паралелепіпеда, на основі якого розташований прямокутник, довжини всіх діагоналей рівні один одному.

Нижче на малюнку наведено відповідну фігуру. Червоний відрізок є діагоналлю.

D = √(A 2 + B 2 + C 2)

Тут D – довжина діагоналі. Інші символи - це довжини сторін паралелепіпеда.

Багато хто плутає діагональ паралелепіпеда з діагоналями його сторін. Нижче наводиться малюнок, де кольоровими відрізками зображені діагоналі сторін фігури.

Довжина кожної з них також визначається за теоремою Піфагора і дорівнює квадратному кореню із суми квадратів відповідних довжин сторін.

Обсяг призми

Крім площі правильної чотирикутної призми чи інших видів призм, на вирішення деяких геометричних завдань слід знати та його обсяг. Ця величина для абсолютно будь-якої призми обчислюється за такою формулою:

Якщо призма є прямокутною, тоді достатньо обчислити площу її основи та помножити його на довжину ребра бічної сторони, щоб отримати обсяг фігури.

Якщо призма є правильною чотирикутною, тоді її обсяг дорівнюватиме:

Легко бачити, що ця формула перетворюється на вираз обсягу куба, якщо довжина бічного ребра h дорівнює стороні основи a.

Завдання з прямокутним паралелепіпедом

Для закріплення вивченого матеріалу вирішимо таку задачу: є прямокутний паралелепіпед, сторони якого дорівнюють 3 см, 4 см і 5 см. Необхідно розрахувати площу його поверхні, довжину діагоналі та об'єм.

S = 2 * S o + S b = 2 * 12 + 5 * 14 = 24 + 70 = 94 см 2

Для визначення довжини діагоналі та обсягу фігури можна безпосередньо скористатися наведеними вище виразами:

D = √ (3 2 +4 2 +5 2) = 7071 см;

V = 3 * 4 * 5 = 60 см 3 .

Завдання з косокутним паралелепіпедом

Нижче на малюнку зображена косокутна призма. Її сторони дорівнюють: a=10 см, b = 8 см, с = 12 см. Необхідно знайти площу поверхні цієї фігури.

Спочатку визначимо площу основи. З малюнка видно, що гострий кут дорівнює 50 o . Тоді його площа дорівнює:

S o = h * a = sin (50 o) * b * a

Для визначення площі бічної поверхні слід знайти периметр заштрихованого прямокутника. Сторони цього прямокутника дорівнюють a*sin(45 o) та b*sin(60 o). Тоді периметр цього прямокутника дорівнює:

P sr = 2 * (a * sin (45 o) + b * sin (60 o))

Повна площа поверхні цього паралелепіпеда дорівнює:

S = 2 * S o + S b = 2 * (sin (50 o) * b * a + a * c * sin (45 o) + b * c * sin (60 o))

Підставляємо дані з умови завдання для довжин сторін фігури, отримуємо відповідь:

З розв'язання цього завдання видно, що визначення площ косоугольных фігур використовуються тригонометричні функції.