Математичне очікування та дисперсія випадкової величини. Випадкові величини

Математичне очікування - це визначення

Мат очікування - цеодне з найважливіших понять у математичній статистиці та теорії ймовірностей, що характеризує розподіл значень чи ймовірностейдовільної величини. Зазвичай виражається як середньозважене значення всіх можливих параметрів випадкової величини. Широко застосовується під час проведення технічного аналізу, дослідженні числових рядів, вивченні безперервних та тривалих процесів. Має важливе значення при оцінці ризиків, прогнозуванні цінових показників при торгівлі на фінансових ринках, використовується при розробці стратегій та методів ігрової тактики теорії азартних ігор.

Мат очікування- цесереднє значення випадкової величини, розподіл ймовірностейвипадкової величини у теорії ймовірностей.

Мат очікування - цеміра середнього значення випадкової величини теоретично ймовірності. Мат очікування випадкової величини xпозначається M(x).

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування - це

Мат очікування - цетеоретично ймовірності середньозважена величина всіх можливих значень, які може приймати ця випадкова величина.

Мат очікування - цесума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень.

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування - цесередня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції.

Мат очікування - цев теорії азартних ігор сума виграшу, яку може заробити чи програти спекулянт, у середньому за кожною ставкою. Мовою азартних спекулянтівце іноді називається «перевагою спекулянта(якщо воно позитивне для спекулянта) або «перевагою казино» (якщо воно негативне для спекулянта).

Математичне очікування (Population mean) – це

§ 4. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН.

Теоретично ймовірності та у багатьох її додатках велике значення мають різні числові характеристики випадкових величин. Основними з них є математичне очікування та дисперсія.

1. Математичне очікування випадкової величини та її властивості.

Розглянемо спочатку наступний приклад. Нехай на завод надійшла партія, що складається з Nпідшипників. При цьому:

m 1 х 1,
m 2- Число підшипників із зовнішнім діаметром х 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- Число підшипників із зовнішнім діаметром х n,

Тут m 1 +m 2 +...+m n =N. Знайдемо середнє арифметичне значення x срзовнішнього діаметра підшипника Очевидно,
Зовнішній діаметр витягнутого навмання підшипника можна розглядати як випадкову величину, що приймає значення х 1, х 2, ..., х n, З відповідними ймовірностями p 1 = m 1 / N, p 2 = m 2 / N, ..., p n = m n /N, оскільки ймовірність p iпояви підшипника із зовнішнім діаметром x iдорівнює m i /N. Таким чином, середнє арифметичне значення x срзовнішнього діаметра підшипника можна визначити за допомогою співвідношення
Нехай - дискретна випадкова величина із заданим законом розподілу ймовірностей

Значення	х 1	х 2	. . .	х n
Ймовірності	p 1	p 2	. . .	p n

Математичним очікуванням дискретної випадкової величининазивається сума парних творів всіх можливих значень випадкової величини відповідні їм ймовірності, тобто. *
При цьому передбачається, що невласний інтеграл, що стоїть у правій частині рівності (40), існує.

Розглянемо властивості математичного очікування. При цьому обмежимося доказом лише перших двох властивостей, які проведемо для дискретних випадкових величин.

1°. Математичне очікування постійної З і цієї постійної.
Доведення.Постійну Cможна розглядати як випадкову величину, яка може приймати тільки одне значення C c ймовірністю рівної одиниці. Тому

2 °. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування, тобто.
Доведення.Використовуючи співвідношення (39), маємо

3 °. Математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань цих величин:

Обчислимо середнє значення вибірки та математичне очікування випадкової величини у MS EXCEL.

Вибіркове середнє

Середнє вибіркиабо вибіркове середнє(sample average, mean) є середняарифметичневсіх значень вибірки .

У MS EXCEL для обчислення середньої вибіркиможна використовувати функцію СРЗНАЧ() . Як аргументи функції потрібно вказати посилання на діапазон, що містить значення вибірки .

Вибіркове середнєє «хорошою» (незміщеною та ефективною) точковою оцінкою математичного очікуваннядовільної величини (див. ), тобто. середнього значеннявихідного розподілу, з якого взято вибірка .

Примітка: Про обчислення довірчих інтервалівпри оцінці математичного очікуванняможна прочитати, наприклад, у статті .

Деякі властивості середнього арифметичного :

• Сума всіх відхилень від середнього значеннядорівнює 0:

• Якщо до кожного з значень x i додати одну і ту ж константу з, то середнє арифметичнезбільшиться таку ж константу;
• Якщо кожне з значень x i помножити на одну і ту ж константу з, то середнє арифметичнепомножиться на таку саму константу.

Математичне очікування

Середнє значенняможна обчислити як для вибірки, але випадкової величини, якщо відомо її . В цьому випадку середнє значеннямає спеціальну назву - Математичне очікування.Математичне очікуванняхарактеризує «центральне» чи середнє значення випадкової величини.

Примітка: В англомовній літературі є безліч термінів для позначення математичного очікування: expectation, mathematical expectation, EV (Expected Value), average, mean value, mean, E[X] або перший момент M[X].

математичне очікуванняобчислюється за такою формулою:

де x i – значення, яке може набувати випадкова величина, а р(x i) – ймовірність, що випадкова величина прийме це значення.

Якщо випадкова величина має, то математичне очікуванняобчислюється за такою формулою.

Математичне очікування – це розподіл ймовірностей випадкової величини

Математичне очікування, визначення, математичне очікування дискретної та безперервної випадкових величин, вибіркове, умовне маточування, розрахунок, властивості, завдання, оцінка маточіння, дисперсія, функція розподілу, формули, приклади розрахунку

Розгорнути зміст

Згорнути зміст

Математичне очікування - це визначення

Одне з найважливіших понять у математичній статистиці та теорії ймовірностей, що характеризує розподіл значень чи ймовірностей випадкової величини. Зазвичай виражається як середньозважене значення всіх можливих параметрів випадкової величини. Широко застосовується під час проведення технічного аналізу, дослідженні числових рядів, вивченні безперервних та тривалих процесів. Має важливе значення при оцінці ризиків, прогнозуванні цінових показників при торгівлі на фінансових ринках, використовується для розробки стратегій та методів ігрової тактики в теорії азартних ігор.

Математичне очікування – цесереднє значення випадкової величини, розподіл ймовірностей випадкової величини у теорії ймовірностей.

Математичне очікування – цеміра середнього значення випадкової величини теоретично ймовірності. Математичне очікування випадкової величини xпозначається M(x).

Математичне очікування – це

Математичне очікування – цетеоретично ймовірності середньозважена величина всіх можливих значень, які може приймати ця випадкова величина.

Математичне очікування – цесума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень.

Математичне очікування – цесередня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції.

Математичне очікування – цев теорії азартних ігор сума виграшу, яку може заробити або програти гравець, у середньому за кожною ставкою. На мові азартних гравців це іноді називається "перевагою гравця" (якщо воно позитивне для гравця) або "перевагою казино" (якщо воно є негативним для гравця).

Математичне очікування – цевідсоток прибутку на виграш, помножений на середній прибуток, мінус ймовірність збитку, помножена на середні збитки.

Математичне очікування випадкової величини у математичній теорії

Однією з найважливіших числових показників випадкової величини є математичне очікування. Введемо поняття системи випадкових величин. Розглянемо сукупність випадкових величин, які є результатами одного й того самого випадкового експерименту. Якщо - одне з можливих значень системи, то події відповідає певна ймовірність, що задовольняє аксіомам Колмогорова. Функція, визначена за будь-яких можливих значеннях випадкових величин, називається спільним законом розподілу. Ця функція дозволяє обчислювати ймовірності будь-яких подій. Зокрема, спільний закон розподілу випадкових величин і, які приймають значення з множини та, задається ймовірностями.

Термін «математичне очікування» введений П'єром Симоном маркізом де Лапласом (1795) і походить від поняття «очікуваного значення виграшу», що вперше з'явився в 17 столітті в теорії азартних ігор у працях Блеза Паскаля і Християна Гюйгенса. Однак перше повне теоретичне осмислення та оцінка цього поняття дано Пафнутієм Львовичем Чебишевим (середина 19 століття).

Закон розподілу випадкових числових величин (функція розподілу та ряд розподілу чи щільність ймовірності) повністю описують поведінку випадкової величини. Але в ряді завдань достатньо знати деякі числові характеристики досліджуваної величини (наприклад, її середнє значення та можливе відхилення від нього), щоб відповісти на поставлене запитання. Основними числовими характеристиками випадкових величин є математичне очікування, дисперсія, мода та медіана.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів її можливих значень відповідні їм ймовірності. Іноді математичне очікування називають виваженим середнім, тому що воно приблизно дорівнює середньому арифметичному спостерігаються значень випадкової величини при великій кількості дослідів. З визначення математичного очікування випливає, що його значення не менше від найменшого можливого значення випадкової величини і не більше від найбільшого. Математичне очікування випадкової величини є невипадковою (постійною) величиною.

Математичне очікування має простий фізичний зміст: якщо на прямій розмістити одиничну масу, помістивши в деякі точки деяку масу (для дискретного розподілу), або «розмазавши» її з певною щільністю (для абсолютно безперервного розподілу), то точка, що відповідає математичному очікуванню, буде координатою.

Середнє значення випадкової величини є деяке число, що є як би її «представником» і замінює її при грубо орієнтовних розрахунках. Коли ми говоримо: «середній час роботи лампи дорівнює 100 годин» або «середня точка влучення зміщена щодо мети на 2 м вправо», ми вказуємо певну числову характеристику випадкової величини, що описує її місце розташування на числовій осі, тобто. "Характеристику становища".

З характеристик становища теорії ймовірностей найважливішу роль грає математичне очікування випадкової величини, яке іноді називають просто середнім значенням випадкової величини.

Розглянемо випадкову величину Х, що має можливі значення х1, х2, …, хnз ймовірностями p1, p2, …, pn. Нам потрібно охарактеризувати якимось числом положення значень випадкової величини осі абсцис з урахуванням того, що ці значення мають різні ймовірності. Для цієї мети природно скористатися так званим «середнім виваженим» із значень xi, причому кожне значення xi при середовищі має враховуватися з «вагою», пропорційною ймовірності цього значення. Таким чином, ми обчислимо середню випадкову величину X, яке ми позначимо M | X |:

Це середнє зважене значення називається математичним очікуванням випадкової величини. Отже, ми запровадили у розгляді одне з найважливіших понять теорії ймовірностей – поняття математичного очікування. Математичним очікуванням випадкової величини називається сума творів усіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.

Хпов'язано своєрідною залежністю із середнім арифметичним спостережених значень випадкової величини при великій кількості дослідів. Ця залежність того ж типу, як залежність між частотою та ймовірністю, а саме: при великій кількості дослідів середнє арифметичне спостережених значень випадкової величини наближається (збігається ймовірністю) до її математичного очікування. З наявності зв'язку між частотою та ймовірністю можна вивести як наслідок наявність подібного ж зв'язку між середнім арифметичним та математичним очікуванням. Справді, розглянемо випадкову величину Х, що характеризується рядом розподілу:

Нехай проводиться Nнезалежних дослідів, у кожному з яких величина Xнабуває певного значення. Припустимо, що значення x1з'явилося m1раз, значення x2з'явилося m2раз, взагалі значення xiз'явилося mi разів. Обчислимо середнє арифметичне спостерігання значень величини Х, яке, на відміну від математичного очікування М | X |ми позначимо M*|X|:

При збільшенні дослідів Nчастоти piбудуть наближатися (збігатися ймовірно) до відповідних ймовірностей. Отже, і середнє арифметичне спостереження значень випадкової величини M | X |зі збільшенням кількості дослідів наближатися (збігається ймовірно) до її математичного очікування. Сформульований вище зв'язок між середнім арифметичним та математичним очікуванням становить зміст однієї із форм закону великих чисел.

Ми вже знаємо, що всі форми закону великих чисел констатують факт стійкості деяких середніх за великої кількості дослідів. Тут йдеться про стійкість середнього арифметичного із низки спостережень однієї й тієї ж величини. При невеликій кількості дослідів середнє арифметичне їх результатів випадково; при достатньому збільшенні числа дослідів воно стає «майже випадковим» і, стабілізуючись, наближається до постійної величині – математичного очікування.

Властивість стійкості середніх за великої кількості дослідів легко перевірити експериментально. Наприклад, зважуючи якесь тіло в лабораторії на точних терезах, ми в результаті зважування отримуємо щоразу нове значення; Щоб зменшити помилку спостереження, ми зважуємо тіло кілька разів і користуємося середнім арифметичним отриманим значенням. Легко переконатися, що при подальшому збільшенні числа дослідів (зважувань) середнє арифметичне реагує на це збільшення дедалі менше і при досить великій кількості дослідів практично перестає змінюватися.

Слід зазначити, що найважливіша характеристика положення випадкової величини – математичне очікування – існує для всіх випадкових величин. Можна скласти приклади таких випадкових величин, котрим математичного очікування немає, оскільки відповідна сума чи інтеграл розходяться. Однак для практики такі випадки суттєвого інтересу не становлять. Зазвичай випадкові величини, з якими ми маємо справу, мають обмежену область можливих значень і, безумовно, мають математичне очікування.

Крім найважливішої з характеристик положення випадкової величини - математичного очікування, - на практиці іноді застосовуються інші характеристики положення, зокрема, мода і медіана випадкової величини.

Модою випадкової величини називається її найімовірніше значення. Термін «найбільш ймовірне значення», строго кажучи, застосовується тільки до перервних величин; для безперервної величини модою є значення, в якому щільність ймовірності максимальна. На малюнках показана мода відповідно для перервної та безперервної випадкових величин.

Якщо багатокутник розподілу (крива розподілу) має більше одного максимуму, розподіл називається полімодальним.

Іноді зустрічаються розподіли, що мають посередині не максимум, а мінімум. Такі розподіли називають «антимодальними».

Загалом мода і математичне очікування випадкової величини не збігаються. В окремому випадку, коли розподіл є симетричним і модальним (тобто має моду) і існує математичне очікування, воно збігається з модою і центром симетрії розподілу.

Часто застосовується ще одне характеристика становища – так звана медіана випадкової величини. Цією характеристикою користуються зазвичай лише безперервних випадкових величин, хоча формально можна визначити й у перервної величини. Геометрично медіана – це абсцис точки, в якій площа, обмежена кривою розподілу, ділиться навпіл.

У разі симетричного модального розподілу медіана збігається з математичним очікуванням та модою.

Математичне очікування є середнє значення, випадкової величини - числова характеристика розподілу ймовірностей випадкової величини. Найзагальнішим чином математичне очікування випадкової величини Х(w)визначається як інтеграл Лебега по відношенню до імовірнісної міри Ру вихідному імовірнісному просторі:

Математичне очікування може бути обчислено і як інтеграл Лебега від хщодо розподілу ймовірностей рхвеличини X:

Звичайно можна визначити поняття випадкової величини з нескінченним математичним очікуванням. Типовим прикладом є часи повернення в деяких випадкових блуканнях.

За допомогою математичного очікування визначаються багато числові та функціональні характеристики розподілу (як математичне очікування відповідних функцій від випадкової величини), наприклад, функція, що виробляє, характеристична функція, моменти будь-якого порядку, зокрема дисперсія, коваріація.

Математичне очікування є характеристикою розташування значень випадкової величини (середнє значення її розподілу). У цьому ролі математичне очікування служить деяким " типовим " параметром розподілу та її роль аналогічна ролі статичного моменту - координати центру тяжкості розподілу маси - у механіці. Від інших характеристик розташування, за допомогою яких розподіл описується в загальних рисах, - медіан, мод, математичне очікування відрізняється тим більшим значенням, яке воно і відповідна характеристика розсіювання - дисперсія - мають в граничних теоремах теорії ймовірностей. З найбільшою повнотою зміст математичного очікування розкривається законом великих чисел (нерівність Чебишева) і посиленим законом великих чисел.

Математичне очікування дискретної випадкової величини

Нехай є деяка випадкова величина, яка може набути одного з кількох числових значень (припустимо, кількість очок при кидку кістки може бути 1, 2, 3, 4, 5 або 6). Часто на практиці для такої величини виникає питання: а яке значення вона набуває "в середньому" при великій кількості тестів? Яким буде наш середній прибуток (або збиток) від кожної з ризикованих операцій?

Скажімо, є якась лотерея. Ми хочемо зрозуміти, вигідно чи ні в ній взяти участь (або навіть брати участь неодноразово, регулярно). Допустимо, виграшний кожен четвертий квиток, приз складе 300 руб., А ціна будь-якого квитка - 100 руб. За нескінченно великої кількості участі виходить ось що. У трьох чвертях випадків ми програємо, кожні три програші коштуватимуть 300 руб. У кожному четвертому випадку ми виграємо 200 руб. (Приз мінус вартість), тобто за чотири участі ми в середньому втрачаємо 100 руб., За одну – у середньому 25 руб. Разом у середньому темпи нашого руйнування становитимуть 25 крб./квиток.

Кидаємо гральну кістку. Якщо вона не шахрайська (без усунення центру тяжкості тощо), то скільки ми в середньому матимемо очок за раз? Оскільки кожен варіант рівноймовірний, беремо тупо середнє арифметичне та отримуємо 3,5. Оскільки це СЕРЕДНІШЕ, то нема чого обурюватися, що 3,5 очок ніякий конкретний кидок не дасть - ну немає у цього куба грані з таким числом!

Тепер узагальним наші приклади:

Звернемося до щойно наведеної картинки. Зліва табличка розподілу випадкової величини. Величина X може набувати одного з n можливих значень (наведені у верхньому рядку). Жодних інших значень не може бути. Під кожним можливим значенням знизу підписано його можливість. Справа наведена формула, де M(X) і називається математичним очікуванням. Сенс цієї величини в тому, що при великій кількості випробувань (при великій вибірці) середнє значення буде прагнути цього математичного очікування.

Повернемося знову до того ж грального куба. Математичне очікування кількості очок при кидку дорівнює 3,5 (порахуйте самі за формулою, якщо не вірите). Скажімо, ви кинули його кілька разів. Випали 4 та 6. У середньому вийшло 5, тобто далеко від 3,5. Кинули ще раз, випало 3, тобто в середньому (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Якось далеко від математичного очікування. А тепер проведіть божевільний експеримент – киньте куб 1000 разів! І якщо в середньому не буде рівно 3,5, то буде близько до того.

Порахуємо математичне очікування вище описаної лотереї. Табличка виглядатиме ось так:

Тоді математичне очікування складе, як ми встановили вище.

Інша річ, що так само "на пальцях", без формули, було б важкувато, якби було більше варіантів. Ну скажімо, було б 75% програшних квитків, 20% виграшних квитків та 5% особливо виграшних.

Тепер є деякі властивості математичного очікування.

Довести це просто:

Постійний множник допускається виносити за знак математичного очікування, тобто:

Це окремий випадок якості лінійності математичного очікування.

Інший наслідок лінійності математичного очікування:

тобто математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань випадкових величин.

Нехай X, Y – незалежні випадкові величинитоді:

Це теж нескладно довести) Твір XYсамо є випадковою величиною, при цьому якщо вихідні величини могли приймати nі mзначень відповідно, то XYможе набувати nm значень. Імовірність кожного з значень обчислюється з огляду на те, що ймовірності незалежних подій перемножуються. У результаті отримуємо ось що:

Математичне очікування безперервної випадкової величини

Безперервні випадкові величини мають таку характеристику, як щільність розподілу (щільність ймовірності). Вона, по суті характеризує ситуацію, що деякі значення з множини дійсних чисел випадкова величина набуває частіше, деякі - рідше. Наприклад, розглянемо ось який графік:

Тут X- Власне випадкова величина, f(x)- Щільність розподілу. Судячи з даного графіку, при дослідах значення Xчасто буде числом, близьким до нуля. Шанси ж перевищити 3 або виявитися менше -3 скоріше чисто теоретичні.

Нехай, наприклад, є рівномірний розподіл:

Це цілком відповідає інтуїтивному розумінню. Скажімо, якщо ми отримуємо при рівномірному розподілі багато випадкових дійсних чисел, кожне із відрізків |0; 1| , то середнє арифметичне має бути близько 0,5.

Властивості математичного очікування - лінійність і т.д., застосовні для дискретних випадкових величин, застосовні і тут.

Взаємозв'язок математичного очікування з іншими статистичними показниками

У статистичному аналізі поряд із математичним очікуванням існує система взаємозалежних показників, що відображають однорідність явищ та стійкість процесів. Часто показники варіації немає самостійного сенсу і використовуються подальшого аналізу даних. Винятком є ​​коефіцієнт варіації, який характеризує однорідність даних, що цінної статистичної характеристикою.

Ступінь мінливості чи стійкості процесів у статистичній науці може вимірюватися за допомогою кількох показників.

Найбільш важливим показником, що характеризує мінливість випадкової величини, є Дисперсія, яка найтіснішим і безпосереднім чином пов'язана з математичним очікуванням. Цей параметр активно використовують у інших видах статистичного аналізу (перевірка гіпотез, аналіз причинно-наслідкових зв'язків та інших.). Як і середнє лінійне відхилення, дисперсія також відбиває міру розкиду даних навколо середньої величини.

Мова знаків корисно перекласти мовою слів. Вийде, що дисперсія – це середній квадрат відхилень. Тобто спочатку розраховується середнє значення, потім береться різниця між кожним вихідним та середнім значенням, зводиться у квадрат, складається і потім ділиться на кількість значень у цій сукупності. Різниця між окремим значенням та середньою відображає міру відхилення. У квадрат зводиться для того, щоб усі відхилення стали виключно позитивними числами і щоб уникнути взаємознищення позитивних та негативних відхилень при їхньому сумуванні. Потім, маючи квадрати відхилень, ми просто розраховуємо середню арифметичну. Середній – квадрат – відхилень. Відхилення зводяться у квадрат, і вважається середня. Розгадка магічного слова «дисперсія» полягає лише у трьох словах.

Однак у чистому вигляді, як, наприклад, середня арифметична, або індекс, дисперсія не використовується. Це скоріше допоміжний та проміжний показник, який використовується для інших видів статистичного аналізу. У неї навіть одиниці вимірювання нормальної немає. Судячи з формули, це квадрат одиниці виміру вихідних даних.

Нехай ми вимірюємо випадкову величину Nразів, наприклад, десять разів вимірюємо швидкість вітру та хочемо знайти середнє значення. Як пов'язане середнє значення із функцією розподілу?

Або кидатимемо гральний кубик велику кількість разів. Кількість очок, що випаде на кубику при кожному кидку, є випадковою величиною і може набувати будь-яких натуральних значень від 1 до 6. Середнє арифметичне випалих очок, підрахованих за всі кидки кубика, теж є випадковою величиною, проте при великих Nвоно прагне цілком конкретного числа – математичного очікування Mx. У разі Mx = 3,5.

Як вийшла ця величина? Нехай у Nвипробуваннях n1раз випало 1 очко, n2разів – 2 очки тощо. Тоді кількість наслідків, у яких випало одне очко:

Аналогічно для наслідків, коли випало 2, 3, 4, 5 та 6 очок.

Припустимо тепер, що ми знаємо закон розподілу випадкової величини x, тобто знаємо, що випадкова величина x може набувати значень x1, x2, ..., xk з ймовірностями p1, p2, ..., pk.

Математичне очікування Mx випадкової величини x дорівнює:

Математичне очікування який завжди є розумною оцінкою якоїсь випадкової величини. Так, для оцінки середньої заробітної плати розумніше використовувати поняття медіани, тобто такої величини, що кількість людей, які отримують меншу, ніж медіана, зарплату та більшу, збігаються.

Імовірність р1 того, що випадкова величина х виявиться меншою за х1/2, і ймовірність р2 того, що випадкова величина x виявиться більшою за х1/2, однакові й рівні 1/2. Медіана визначається однозначно задля всіх розподілів.

Стандартним або Середньоквадратичним відхиленняму статистиці називається ступінь відхилення даних спостережень чи множин від СЕРЕДНЬОГО значення. Позначається літерами s чи s. Невелике стандартне відхилення вказує на те, що дані групуються навколо середнього значення, а значне - що початкові дані розташовані далеко від нього. Стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню величини, яка називається дисперсією. Вона є середня кількість суми зведених у квадрат різниць початкових даних, що відхиляються від середнього значення. Середньоквадратичним відхиленням випадкової величини називається квадратний корінь з дисперсії:

приклад. В умовах випробувань при стрільбі по мішені обчислити дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини:

Варіація- коливання, змінність величини ознаки в одиниць сукупності. Окремі числові значення ознаки, що зустрічаються в досліджуваній сукупності, називають варіантами значень. Недостатність середньої величини для повної характеристики сукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання (варіації) ознаки, що вивчається. Коефіцієнт варіації обчислюють за такою формулою:

Розмах варіації(R) являє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки в досліджуваній сукупності. Цей показник дає найзагальніше уявлення про коливання досліджуваного ознаки, оскільки показує різницю лише між граничними значеннями варіантів. Залежність крайніх значень ознаки надає розмаху варіації нестійкий, випадковий характер.

Середнє лінійне відхиленняявляє собою середнє арифметичне з абсолютних (за модулем) відхилень всіх значень аналізованої сукупності від їхньої середньої величини:

Математичне очікування теорії азартних ігор

Математичне очікування – цесередня кількість грошей, яку гравець в азартні ігри може виграти чи програти на даній ставці. Це дуже важливе поняття для гравця, тому що воно є основним для оцінки більшості ігрових ситуацій. Математичне очікування – це також оптимальний інструмент аналізу основних карткових розкладів і ігрових ситуацій.

Припустимо, ви граєте з другом у монетку, щоразу роблячи ставку порівну по $1 незалежно від того, що випаде. Решка – ви виграли, орел – програли. Шанси на те, що випаде решка один до одного, і ви робите ставку $1 до $1. Таким чином, математичне очікування у вас рівне нулю, т.к. з точки зору математики ви не можете знати ви будете вести або програвати після двох кидків або після 200.

Ваш годинний виграш дорівнює нулю. Часовий виграш – це та кількість грошей, яку ви очікуєте виграти за годину. Ви можете кидати монету 500 разів протягом години, але ви не виграєте та не програєте, т.к. ваші шанси ні позитивні, ні негативні. Якщо дивитися, з погляду серйозного гравця, така система ставок непогана. Але це просто втрата часу.

Але припустимо, хтось хоче поставити $2 проти вашого $1 у цю гру. Тоді ви одразу ж маєте позитивне маточкування в 50 центів з кожної ставки. Чому 50 центів? У середньому одну ставку ви виграєте, другу програєте. Поставте перший долар – і втратите $1, ставите другий – виграєте $2. Ви двічі зробили ставку $1 і йдете попереду на $1. Таким чином кожна з ваших однодоларових ставок дала вам 50 центів.

Якщо за годину монета випаде 500 разів, ваш годинний виграш становитиме вже $250, т.к. в середньому ви втратили по одному долару 250 разів і виграли по два долари 250 разів. $500 мінус $250 і $250, що і становить сумарний виграш. Зверніть увагу, що матожидання є сумою, яку в середньому ви виграли на одній ставці, дорівнює 50 центам. Ви виграли $250, роблячи ставку по долару 500 разів, що дорівнює 50 центам зі ставки.

Математичне очікування немає нічого спільного з короткочасним результатом. Ваш опонент, який вирішив ставити проти вас $2 міг обіграти вас на перших десяти кидках поспіль, але ви, маючи перевагу ставок 2 до 1 за інших рівних, за будь-яких обставин заробляєте 50 центів з кожної ставки в $1. Немає різниці, ви виграєте або програєте одну ставку або кілька ставок, але тільки за умови, що у вас вистачить готівки, щоб спокійно компенсувати витрати. Якщо ви продовжуватимете ставити так само, то за тривалий період часу ваш виграш підійде до суми матожиданий в окремих кидках.

Щоразу, роблячи ставку з найкращим результатом (ставка, яка може виявитися вигідною на довгій дистанції), коли шанси на вашу користь, ви обов'язково щось виграєте на ній, і не важливо ви втрачаєте її чи ні в даній роздачі. І навпаки, якщо ви зробили ставку з найгіршим результатом (ставка, яка невигідна на довгій дистанції), коли шанси не на вашу користь, ви щось втрачаєте незалежно від того, ви виграли або програли в даній роздачі.

Ви робите ставку з найкращим результатом, якщо маточування у вас позитивне, а воно є позитивним, якщо шанси на вашому боці. Роблячи ставку з найгіршим наслідком, у вас негативне маточування, яке буває, коли шанси проти вас. Серйозні гравці роблять ставки тільки з найкращим результатом, за гіршого – вони пасують. Що означає шанси на вашу користь? Ви можете зрештою виграти більше, ніж приносять реальні шанси. Реальні шанси на те, що випаде решка 1:1, але у вас виходить 2:1 за рахунок співвідношення ставок. У цьому випадку шанси на вашу користь. Ви точно отримуєте найкращий результат із позитивним очікуванням у 50 центів за одну ставку.

Ось складніший приклад математичного очікування. Приятель пише цифри від одного до п'яти і робить ставку $5 проти $1 на те, що ви не визначите загадану цифру. Чи погоджуватись вам на таке парі? Яке тут маточіння?

У середньому чотири рази ви помилитеся. Виходячи з цього, шанси проти того, що ви відгадаєте цифру, складуть 4 до 1. Шанси за те, що при одній спробі ви втратите долар. Тим не менш, ви виграє 5 до 1, при можливості програти 4 до 1. Тому шанси на вашу користь, ви можете приймати парі і сподіватися на найкращий результат. Якщо ви зробите таку ставку п'ять разів, в середньому ви програєте чотири рази $1 і один раз виграєте $5. Виходячи з цього, за всі п'ять спроб ви заробите $1 з позитивним математичним очікуванням 20 центів за одну ставку.

Гравець, який збирається виграти більше, ніж ставить, як у прикладі вище – ловить шанси. І навпаки, він губить шанси, коли передбачає виграти менше, ніж ставить. Гравець, який робить ставку може мати або позитивне, або негативне маточування, яке залежить від того, ловить він або губить шанси.

Якщо ви поставите $50 для того, щоб виграти $10 за ймовірності виграшу 4 до 1, то ви отримаєте негативне маточування $2, т.к. в середньому ви виграєте чотири рази $10 і один раз програєте $50, з чого видно, що втрата за одну ставку складе $10. Але якщо ви поставите $30 для того, щоб виграти $10, при тих же шансах виграшу 4 до 1, то в даному випадку ви маєте позитивне очікування $2, т.к. ви знову виграєте чотири рази по $10 і один раз програєте $30, що становитиме прибуток у $10. Дані приклади показують, перша ставка погана, а друга – хороша.

Математичне очікування є центром будь-якої ігрової ситуації. Коли букмекер закликає футбольних уболівальників ставити $11, щоб виграти $10, то він має позитивне чаклунство з кожних $10 у розмірі 50 центів. Якщо казино виплачує рівні гроші з пасової лінії в крепсі, то позитивне очікування казино становитиме приблизно $1.40 з $100, т.к. ця гра побудована так, що кожен, хто поставив на цю лінію, в середньому програє 50.7% та виграє 49.3% загального часу. Безперечно, саме це начебто мінімальне позитивне маточіння і приносить колосальні прибутки власникам казино по всьому світу. Як зауважив господар казино Vegas World Боб Ступак, «одна тисячна відсотка негативної ймовірності на досить довгій дистанції розорить найбагатшу людину у світі».

Математичне очікування при грі в Покер

Гра в Покер є найбільш показовим та наочним прикладом з точки зору використання теорії та властивостей математичного очікування.

Математичне очікування (англ. Expected Value) у Покері – середня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції. Успішна гра в покер полягає в тому, щоб завжди приймати ходи лише з позитивним математичним очікуванням.

Математичний сенс математичного очікування при грі в покер полягає в тому, що ми часто стикаємося з випадковими величинами при прийнятті рішення (ми не знаємо, які карти на руках у опонента, які карти прийдуть на наступних колах торгівлі). Ми повинні розглядати кожне з рішень з погляду теорії великих чисел, що свідчить, що з досить великий вибірці середнє значення випадкової величини прагнутиме її математичного очікування.

Серед приватних формул для обчислення математичного очікування, в покері найбільше застосовується наступна:

Під час гри в покер математичне очікування можна розраховувати як для ставок, так і для колів. У першому випадку до уваги слід брати фолд-еквіті, у другому – власні шанси банку. Оцінюючи математичного очікування тієї чи іншої ходу слід пам'ятати, що фолд завжди має нульове матожидания. Таким чином, скидання карт буде завжди вигіднішим рішенням, ніж будь-який негативний хід.

Очікування говорить вам про те, що ви можете очікувати (прибуток або збиток) на кожен долар, що ризикує вами. Казино заробляють гроші, оскільки математичне очікування від усіх ігор, які практикуються в них, на користь казино. При досить довгій серії гри очікується, що клієнт втратить свої гроші, оскільки «ймовірність» на користь казино. Однак професійні гравці в казино обмежують свої ігри короткими проміжками часу, тим самим збільшуючи ймовірність своєї користі. Те саме стосується й інвестування. Якщо ваше очікування є позитивним, ви можете заробити більше грошей, роблячи багато угод в короткий період часу. Очікування це ваш відсоток прибутку на виграш, помножений на середній прибуток, мінус ваша ймовірність збитку, помножена на середній збиток.

Покер також можна розглянути з погляду математичного очікування. Ви можете припустити, що певний хід вигідний, але в деяких випадках він може виявитися далеко не кращим, тому що вигідніший інший хід. Допустимо, ви зібрали фул-хаус у п'ятикартковому покері з обміном. Ваш суперник робить ставку. Ви знаєте, що, якщо підвищите ставку, він відповість. Тому підвищення виглядає найкращою тактикою. Але якщо ви все ж таки підніміть ставку, що залишилися двоє гравців, точно скинуть карти. Але якщо ви зрівняєте ставку, то повністю впевнені, що двоє інших гравців після вас надійдуть також. При підвищенні ставки ви отримуєте одну одиницю, а просто зрівнюючи дві. Таким чином, вирівнювання дає вам більш високе позитивне математичне очікування, і буде найкращою тактикою.

Математичне очікування також може дати поняття про те, яка тактика в покері менш вигідна, а яка – більше. Наприклад, граючи на певній руці, ви вважаєте, що втрати в середньому складуть 75 центів, включаючи анте, то таку руку слід грати, т.к. це краще, ніж скинутися, коли анте дорівнює $1.

Іншою важливою причиною для розуміння суті математичного очікування є те, що воно дає вам почуття спокою незалежно від того, чи ви виграли ставку чи ні: якщо ви зробили хорошу ставку або вчасно рятували, ви знатимете, що ви заробили або зберегли певну кількість грошей, яку гравець слабше не зміг вберегти. Набагато складніше скинути карти, якщо ви засмучені тим, що суперник на обміні зібрав сильнішу комбінацію. При цьому гроші, які ви зберегли, не граючи, замість того, щоб ставити, додаються до вашого виграшу за ніч або за місяць.

Просто пам'ятайте, що якщо поміняти ваші руки, ваш суперник відповів би вам, і як ви побачите у статті «фундаментальна покерна теорема» це лише одна з ваших переваг. Ви повинні радіти, коли це станеться. Вам навіть можна навчитися отримувати задоволення від програної роздачі, тому що ви знаєте, що інші гравці на вашому місці програли б набагато більше.

Як говорилося в прикладі з грою в монетку на початку, часовий коефіцієнт прибутку взаємопов'язаний з математичним очікуванням, і це поняття особливо важливе для професійних гравців. Коли ви збираєтеся грати в покер, ви повинні подумки прикинути, скільки ви зможете виграти за годину гри. У більшості випадків вам необхідно буде ґрунтуватися на вашій інтуїції та досвіді, але ви також можете користуватись і деякими математичними викладками. Наприклад, ви граєте в лоуболл з обміном, і спостерігаєте, що три учасники роблять ставки по $10, а потім змінюють дві карти, що є дуже поганою тактикою, ви можете порахувати для себе, що кожного разу, коли вони ставлять $10, вони втрачають близько $2. Кожен з них робить це вісім разів на годину, а отже, всі троє втрачають за годину приблизно $48. Ви один з чотирьох гравців, що залишилися, приблизно рівні, відповідно ці чотири гравці (і ви серед них) повинні розділити $48, і прибуток кожного складе $12 на годину. Ваш часовий коефіцієнт у цьому випадку просто дорівнює вашій долі від суми грошей, програної трьома поганими гравцями за годину.

За великий проміжок часу сумарний виграш гравця становить суму його математичних очікувань окремих роздачах. Чим більше ви граєте з позитивним очікуванням, тим більше виграєте, і навпаки, чим більше роздач з негативним очікуванням ви зіграєте, тим більше ви програєте. Внаслідок цього, слід віддавати перевагу грі, яка зможе максимально збільшити ваше позитивне очікування або зведе нанівець негативне, щоб ви змогли підняти до максимуму ваш годинний виграш.

Позитивне математичне очікування в ігровій стратегії

Якщо ви знаєте, як рахувати карти, у вас може бути перевага перед казино, якщо вони не помітять цього і не викинуть вас геть. Казино люблять п'яних гравців і не переносять карти, що рахують. Перевага дозволить вам з часом виграти більше разів, ніж програти. Хороше управління капіталом при використанні розрахунків математичного очікування може допомогти отримати більше прибутку з вашої переваги і скоротити втрати. Без переваги вам найкраще віддати гроші на благодійність. У грі на біржі перевагу дає система гри, що створює більший прибуток, ніж втрати, різниця цін та комісійні. Жодне управління капіталом не врятує погану ігрову систему.

Позитивне очікування визначається значенням, що перевищує нуль. Чим більше це число, тим сильніше статистичне очікування. Якщо значення менше нуля, то математичне очікування також буде негативним. Чим більший модуль від'ємного значення, тим гірша ситуація. Якщо результат дорівнює нулю, то очікування є беззбитковим. Ви можете виграти тільки тоді, коли у вас є позитивне математичне очікування, розумна система гри. Гра інтуїції призводить до катастрофи.

Математичне очікування та біржова торгівля

Математичне очікування – досить широко затребуваний та популярний статистичний показник під час здійснення біржових торгів на фінансових ринках. Насамперед цей параметр використовують для аналізу успішності торгівлі. Не складно здогадатися, що чим більше це значення, тим більше підстав вважати успішну торгівлю. Звичайно, аналіз роботи трейдера не може проводитися тільки за допомогою даного параметра. Тим не менш, обчислюване значення в сукупності з іншими способами оцінки якості роботи може істотно підвищити точність аналізу.

Математичне очікування часто обчислюється у сервісах моніторингів торгових рахунків, що дозволяє швидко оцінювати роботу, що здійснюється на депозиті. Як винятки можна навести стратегії, у яких використовується “пересиджування” збиткових угод. Трейдеру може деякий час супроводжувати успіх, а тому, в його роботі може не виявитися збитків взагалі. У такому разі, орієнтуватися тільки за мотаченням не вийде, адже не будуть враховані ризики, що використовуються в роботі.

У торгівлі над ринком математичне очікування найчастіше застосовують під час прогнозування прибутковості будь-якої торгової стратегії чи прогнозування доходів трейдера з урахуванням статистичних даних його попередніх торгів.

Щодо управління капіталом дуже важливо розуміти, що при здійсненні угод з негативним очікуванням немає схеми управління грошима, яка може однозначно принести високий прибуток. Якщо ви продовжуєте грати на біржі в цих умовах, то незалежно від способу управління грошима ви втратите весь ваш рахунок, хоч би яким великим він був на початку.

Ця аксіома вірна не тільки для гри або операцій з негативним очікуванням, вона дійсна також для гри з рівними шансами. Тому єдиний випадок, коли ви маєте шанс отримати вигоду в довгостроковій перспективі, - це укладання угод з позитивним математичним очікуванням.

Відмінність між негативним очікуванням і позитивним очікуванням - це різницю між життям і смертю. Немає значення, наскільки позитивне чи наскільки негативне очікування; важливо лише те, позитивне воно чи негативне. Тому до розгляду питань управління капіталом ви маєте знайти гру з позитивним очікуванням.

Якщо у вас такої гри немає, тоді жодне управління грошима у світі не врятує вас. З іншого боку, якщо у вас є позитивне очікування, то можна за допомогою правильного управління грошима перетворити його на функцію експоненційного зростання. Не має значення, як мало це позитивне очікування! Іншими словами, не має значення, наскільки прибутковою є торгова система на основі одного контракту. Якщо у вас є система, яка виграє 10 доларів на контракт в одній угоді (після відрахування комісійних та проковзування), можна використовувати методи управління капіталом таким чином, щоб зробити її більш прибутковою, ніж систему, яка показує середній прибуток 1000 доларів за угоду (після відрахування комісійних та прослизання).

Має значення не те, наскільки прибуткова система була, а те, наскільки точно можна сказати, що система покаже, принаймні, мінімальний прибуток у майбутньому. Тому найбільш важливе приготування, яке може зробити трейдер, це переконатися в тому, що система покаже позитивне математичне очікування в майбутньому.

Щоб мати позитивне математичне очікування у майбутньому, дуже важливо не обмежувати ступеня свободи вашої системи. Це досягається не тільки скасуванням або зменшенням кількості параметрів, що підлягають оптимізації, але також шляхом скорочення якомога більшої кількості правил системи. Кожен параметр, який ви додаєте, кожне правило, яке ви вносите, кожна дрібна зміна, яку ви робите в системі, скорочує кількість ступенів свободи. В ідеалі, вам потрібно побудувати досить примітивну та просту систему, яка постійно приноситиме невеликий прибуток майже на будь-якому ринку. І знову важливо, щоб ви зрозуміли, - не має значення, наскільки прибутковою є система, поки вона прибуткова. Гроші, які ви заробите у торгівлі, будуть зароблені за допомогою ефективного управління грошима.

Торгова система - це просто засіб, який дає вам позитивне математичне очікування, щоб можна було керувати грошима. Системи, які працюють (показують принаймні мінімальний прибуток) тільки на одному або кількох ринках або мають різні правила або параметри для різних ринків, найімовірніше, не працюватимуть у режимі реального часу досить довго. Проблема більшості технічно орієнтованих трейдерів полягає в тому, що вони витрачають надто багато часу та зусиль на оптимізацію різних правил та значень параметрів торгової системи. Це дає цілком протилежні результати. Замість того, щоб витрачати сили та комп'ютерний час на збільшення прибутків торгової системи, спрямуйте енергію на збільшення рівня надійності отримання мінімального прибутку.

Знаючи, що управління капіталом - це лише числова гра, яка вимагає використання позитивних очікувань, трейдер може припинити пошуки "священного Грааля" біржової торгівлі. Натомість він може зайнятися перевіркою свого торговельного методу, з'ясувати, наскільки цей метод логічно обґрунтований, чи дає він позитивні очікування. Правильні методи управління капіталом, що застосовуються стосовно будь-яких, навіть дуже посередніх методів ведення торгівлі, самі зроблять решту роботи.

Будь-якому трейдеру для успіху у своїй роботі необхідно вирішити три найважливіші завдання: . Домогтися, щоб кількість вдалих угод перевищувала неминучі помилки та прорахунки; Налаштувати свою систему торгівлі так, щоб можливість заробітку була якнайчастіше; Досягти стабільності позитивного результату своїх операцій.

І тут нам, працюючим трейдерам, непогану допомогу може надати математичне очікування. Цей термін теоретично ймовірності одна із ключових. З його допомогою можна дати усереднену оцінку деяким випадковим значенням. Математичне очікування випадкової величини подібно до центру тяжкості, якщо уявити всі можливі ймовірності точками з різною масою.

Що стосується торгової стратегії з метою оцінки її ефективності найчастіше використовують математичне очікування прибутку (чи збитку). Цей параметр визначають, як суму творів заданих рівнів прибутку та втрат та ймовірності їх появи. Наприклад, розроблена стратегія торгівлі передбачає, що 37% всіх операцій принесуть прибуток, а частина – 63% - буде збитковою. При цьому, середній дохід від вдалої угоди складе 7 доларів, а середній програш дорівнюватиме 1,4 долара. Розрахуємо математичне очікування торгівлі за такою системою:

Що означає це число? Воно говорить про те, що, дотримуючись правил цієї системи, в середньому ми отримуватимемо 1,708 долара від кожної закритої угоди. Оскільки отримана оцінка ефективності більша за нуль, то таку систему цілком можна використовувати для реальної роботи. Якщо ж у результаті розрахунку математичне очікування вийде негативним, це вже говорить про середній збиток і така торгівля призведе до руйнування.

Обсяг прибутку однією угоду то, можливо виражений ще й відносної величиною як %. Наприклад:

- Відсоток доходу на 1 угоду - 5%;

- Відсоток успішних торгових операцій - 62%;

- Відсоток збитку в розрахунку на 1 угоду - 3%;

- Відсоток невдалих угод - 38%;

Тобто середня угода принесе 1,96%.

Можна розробити систему, яка попри переважання збиткових угод даватиме позитивний результат, оскільки її МО>0.

Втім, одного очікування мало. Важко заробити, якщо система дає дуже мало торгових сигналів. У цьому випадку її прибутковість буде порівнянна з банківським відсотком. Нехай кожна операція дає в середньому лише 0,5 долара, але якщо система передбачає 1000 операцій на рік? Це буде дуже серйозна сума за порівняно короткий час. З цього логічно випливає, що ще однією відмітною ознакою хорошої торгової системи вважатимуться короткий термін утримання позицій.

Джерела та посилання

dic.academic.ru – академічний інтернет-словник

mathematics.ru – освітній сайт з математики

nsu.ru – освітній веб-сайт Новосибірського державного університету

webmath.ru – освітній портал для студентів, абітурієнтів та школярів.

exponenta.ru освітній математичний сайт

ru.tradimo.com – безкоштовна онлайн школа трейдингу

crypto.hut2.ru – багатопрофільний інформаційний ресурс

poker-wiki.ru – вільна енциклопедія покеру

sernam.ru – Наукова бібліотека вибраних природничо-наукових видань

reshim.su – інтернет сайт РЕШИМО задачі контрольні курсові

unfx.ru - Forex на UNFX: навчання, торгові сигнали, довірче управління

slovopedia.com – Великий Енциклопедичний словник Словопедія

pokermansion.3dn.ru - Ваш гід у світі покеру

statanaliz.info – інформаційний блог «Статистичний аналіз даних»

форекс-трейдер.рф – портал Форекс-Трейдер

megafx.ru – актуальна аналітика Форекс

fx-by.com – все для трейдера

Математичне очікування

Дисперсіябезперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівністю:

Призначення сервісу. Онлайн калькулятор призначений для вирішення завдань, у яких задані або щільність розподілу f(x) або функція розподілу F(x) (див. приклад). Зазвичай у таких завданнях потрібно знайти математичне очікування, середнє квадратичне відхилення, побудувати графіки функцій f(x) та F(x).

Інструкція. Виберіть тип вихідних даних: щільність розподілу f(x) або функцію розподілу F(x) .

Задано щільність розподілу f(x):

Задано функцію розподілу F(x):

Безперервна випадкова величина задана щільністю ймовірностей
(Закон розподілу Релея – застосовується у радіотехніці). Знайти M(x), D(x).

Випадкову величину X називають безперервний якщо її функція розподілу F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функція розподілу безперервної випадкової величини застосовується для обчислення ймовірностей попадання випадкової величини заданий проміжок:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
причому для безперервної випадкової величини не має значення, включаються до цього проміжку його межі чи ні:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Щільністю розподілу безперервної випадкової величини називається функція
f(x)=F'(x) , похідна від функції розподілу.

Властивості щільності розподілу

1. Щільність розподілу випадкової величини невід'ємна (f(x) ≥ 0) за всіх значень x.
2. Умова нормування:

Геометричний зміст умови нормування: площа під кривою щільності розподілу дорівнює одиниці.
3. Імовірність потрапляння випадкової величини X у проміжок від α до β може бути обчислена за формулою

Геометрично ймовірність попадання безперервної випадкової величини X у проміжок (α, β) дорівнює площі криволінійної трапеції під кривою щільності розподілу, що спирається на цей проміжок.
4. Функція розподілу виражається через щільність так:

Значення щільності розподілу в точці x не дорівнює ймовірності прийняти це значення, для безперервної випадкової величини може йтися лише про ймовірність попадання в заданий інтервал. Нехай)