Теорема гауса для електричної індукції. Теорема гауса

Коли багато зарядів, при розрахунках полів виникають деякі труднощі.

Подолати їх допомагає теорема Гауса. Суть теореми Гаусазводиться до наступного: якщо довільну кількість зарядів подумки оточити замкненою поверхнею S, то потік напруженості електричного поля через елементарний майданчик dS можна записати як dФ = Есоsα۰dS де α - кут між нормаллю до площини та вектором напруженості . (Рис.12.7)

Повний потік через всю поверхню дорівнюватиме сумі потоків від усіх зарядів, довільним чином розподілених усередині неї і пропорційно величині цього заряду

(12.9)

Визначимо потік вектора напруженості крізь сферичну поверхню радіуса r, у центрі якої розташований точковий заряд +q (рис.12.8). Лінії напруженості перпендикулярні до поверхні сфери, α =0, отже соsα = 1. Тоді

Якщо поле утворене системою зарядів, то

Теорема Гауса: потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі крізь будь-яку замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри зарядів, укладених всередині цієї поверхні, поділеної на електричну постійну.

(12.10)

Якщо всередині сфери набоїв немає, то Ф = 0.

Теорема Гауса дозволяє порівняно легко розрахувати електричні поля при симетрично розподілених зарядів.

Введемо поняття про густину розподілених зарядів.

Лінійна щільність позначається і характеризує заряд q, що припадає на одиницю довжини ℓ. Загалом може бути розрахована за формулою

(12.11)

При рівномірному розподілі зарядів лінійна щільність дорівнює

Поверхнева щільність позначається і характеризує заряд q, що припадає на одиницю площі S. У загальному вигляді визначається за формулою

(12.12)

При рівномірному розподілі зарядів поверхнею щільність дорівнює

Об'ємна щільність позначається ρ, що характеризує заряд q, що припадає на одиницю об'єму V. У загальному вигляді визначається за формулою

(12.13)

При рівномірному розподілі зарядів вона дорівнює
.

Оскільки заряд q розташовується у сфері рівномірно, то

σ = const. Застосуємо теорему Гауса. Проведемо сферу радіусом через точку А. Потік вектора напруженості рис.12.9 крізь сферичну поверхню радіусу дорівнює соsα = 1, оскільки α = 0.
.

або

(12.14)

З виразу (12.14) випливає, що напруженість поля поза зарядженою сферою така сама, як напруженість поля точкового заряду, поміщеного в центрі сфери. Поверхні сфери, тобто. r 1 = r 0 , напруженість
.

Усередині сфери r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Циліндр радіусом r 0 рівномірно заряджений із поверхневою щільністю σ (рис.12.10). Визначимо напруженість поля в довільно обраній точці А. Проведемо через точку А уявну циліндричну поверхню радіусом R та довжиною ℓ. Внаслідок симетрії потік виходитиме лише через бічні поверхні циліндра, оскільки заряди на циліндрі радіуса r 0 розподілені з його поверхні рівномірно, тобто. лінії напруженості будуть радіальними прямими, перпендикулярними бічним поверхням обох циліндрів. Оскільки потік через основу циліндрів дорівнює нулю (cos = 0), а бічна поверхня циліндра перпендикулярна силовим лініям (cos = 1), то

або

(12.15)

Виразимо величину Е через σ - поверхневу густину. За визначенням,

отже,

Підставимо значення q у формулу (12.15)

(12.16)

За визначенням лінійної щільності,
, звідки
; підставляємо цей вираз у формулу (12.16):

(12.17)

тобто. напруженість поля, створюваного нескінченно довгим зарядженим циліндром, пропорційна лінійній щільності заряду і обернено пропорційна відстані.

Напруженість поля, створюваного нескінченною рівномірно зарядженою площиною

Визначимо напруженість поля, що створюється нескінченною рівномірно зарядженою площиною в точці А. Нехай поверхнева густина заряду площини дорівнює σ. Як замкнута поверхня зручно вибрати циліндр, вісь якого перпендикулярна площині, а права основа містить точку А. Площина ділить циліндр навпіл. Очевидно, що силові лінії перпендикулярні до площини і паралельні бічній поверхні циліндра, тому весь потік проходить тільки через підстави циліндра. На обох підставах напруженість поля однакова, т.к. точки А та В симетричні щодо площини. Тоді потік через підстави циліндра дорівнює

Згідно з теоремою Гауса,

Так як
, то
, звідки

(12.18)

Таким чином, напруженість поля нескінченної зарядженої площини пропорційна поверхневій густині заряду і не залежить від відстані до площини. Отже, поле поверхні є однорідним.

Напруженість поля, створюваного двома різноіменно рівномірно зарядженими паралельними площинами

Результуюче поле, яке створюється двома площинами, визначається за принципом суперпозиції полів:
(Рис.12.12). Поле, створюване кожною площиною, є однорідним, напруженості цих полів рівні за модулем, але протилежні за напрямом:
. За принципом суперпозиції напруженість сумарного поля поза площиною дорівнює нулю:

Між площинами напруженості полів мають однакові напрямки, тому результуюча напруженість дорівнює

Таким чином, поле між двома різноіменно рівномірно зарядженими площинами однорідно та його напруженість у два рази більша, ніж напруженість поля, створюваного однією площиною. Ліворуч і праворуч від площин поле відсутнє. Такий самий вигляд має і поле кінцевих площин, спотворення з'являється лише поблизу їхніх кордонів. За допомогою одержаної формули можна розрахувати поле між обкладками плоского конденсатора.

Теорема Гауса для електричної індукції (електричного зміщення)

Для поля в діелектричному середовищі електростатична теорема Гауса може бути записана ще й інакше (альтернативним чином) через потік вектора електричного зміщення (електричної індукції). При цьому формулювання теореми виглядає наступним чином: потік вектора електричного зміщення через замкнуту поверхню пропорційний ув'язненому в цій поверхні вільному електричному заряду:

У диференційній формі:

Теорема Гауса для магнітної індукції

Потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю:

або у диференціальній формі

Це еквівалентно з того що у природі немає «магнітних зарядів» (монополів), які створювали б магнітне полі, як електричні заряди створюють електричне поле . Іншими словами, теорема Гауса для магнітної індукції показує, що магнітне поле є (повністю) вихровим.

Теорема Гауса для ньютонівської гравітації

Для напруженості поля ньютонівської гравітації (прискорення вільного падіння) теорема Гауса практично збігається з такою в електростатиці, за винятком лише констант (втім, все одно залежить від довільного вибору системи одиниць) і, головне, знака:

де g- Напруженість гравітаційного поля, M- гравітаційний заряд (тобто маса) усередині поверхні S, ρ - Щільність маси, G- ньютонівська константа.

Провідники в електричному полі. Поле всередині провідника та на його поверхні.

Провідниками називають тіла, якими електричні заряди можуть переходити від зарядженого тіла до незарядженого.Здатність провідників пропускати через себе електричні заряди пояснюється наявністю у них вільних носіїв заряду. Провідники - металеві тіла у твердому та рідкому стані, рідкі розчини електролітів. Вільні заряди провідника, внесеного в електричне поле, під його дією починають рухатися. Перерозподіл зарядів викликає зміну електричного поля. Коли напруженість електричного поля у провіднику стає рівною нулю, електрони припиняють рух. Явище поділу різноіменних зарядів у провіднику, що міститься в електричному полі, називається електростатичною індукцією. Усередині провідника електричного поля немає. Це використовують для електростатичного захисту – захисту за допомогою металевих провідників від електричного поля. Поверхня провідного тіла будь-якої форми в електричному полі є еквіпотенційною поверхнею.

Конденсатори

Для отримання пристроїв, які при невеликому щодо середовища потенціалі накопичували на собі (конденсували) помітні за величиною заряди використовують той факт, що електроємність провідника зростає при наближенні до нього інших тіл. Справді, під впливом поля, створюваного зарядженими провідниками, на піднесеному йому тілі виникають індуковані (на провіднику) чи пов'язані (на діелектриці) заряди (рис.15.5). Заряди, протилежні за знаком заряду провідника q розташовуються ближче до провідника, ніж однойменні з q, і, отже, мають великий вплив з його потенціал.

Тому при піднесенні до зарядженого провідника якогось тіла напруженість поля зменшується, а, отже, зменшується потенціал провідника. Відповідно до рівняння це означає збільшення ємності провідника.

Конденсатор і двох провідників (обкладок) (рис.15.6), розділених прошарком діелектрика. При додатку до провідника певної різниці потенціалів його обкладення заряджаються рівними за величиною зарядами протилежного знака. Під електроємністю конденсатора розуміється фізична величина, пропорційна заряду q і обернено пропорційна різниці потенціалів між обкладками

Визначимо ємність плоского конденсатора.

Якщо площа обкладки S а заряд на ній q, то напруженість поля між обкладками

З іншого боку, різниця потенціалів між обкладками звідки.

Енергія системи точкових зарядів, зарядженого провідника та конденсатора.

Будь-яка система зарядів має деяку потенційну енергію взаємодії, яка дорівнює роботі, витраченій на створення цієї системи. Енергія системи точкових зарядів q 1 , q 2 , q 3 ,… q Nвизначається так:

де φ 1 – потенціал електричного поля, створюваного всіма зарядами крім q 1 у тій точці, де знаходиться заряд q 1 і т.д. Якщо змінюється конфігурація системи зарядів, змінюється і енергія системи. Для зміни конфігурації системи необхідно здійснення роботи.

Потенційну енергію системи точкових зарядів можна розрахувати в інший спосіб. Потенційна енергія двох точкових зарядів q 1 , q 2 на відстані один від одного дорівнює. Якщо кілька зарядів, то потенційну енергію цієї системи зарядів можна визначити як суму потенційних енергій усіх пар зарядів, які можна скласти для цієї системи. Так, для системи трьох позитивних зарядів енергія системи дорівнює

Енергія зарядженого відокремленого провідника та конденсатора

Якщо відокремлений провідник має заряд q, то навколо нього існує електричне поле, потенціал якого поверхні провідника дорівнює , а ємність - З. Збільшимо заряд на величину dq. При перенесенні заряду dq з нескінченності має бути виконана робота рівна . Але потенціал електростатичного поля даного провідника в нескінченності дорівнює нулю. Тоді

При перенесенні заряду dq з провідника в нескінченність таку роботу виконують сили електростатичного поля. Отже, зі збільшенням заряду провідника на величину dq зростає потенційна енергія поля, тобто.

Проінтегрувавши цей вираз, знайдемо потенційну енергію електростатичного поля зарядженого провідника зі збільшенням його заряду від нуля до q:

Застосовуючи співвідношення , можна отримати такі вирази для потенційної енергії W:

Для зарядженого конденсатора різниця потенціалів (напруга) дорівнює тому співвідношення для повної енергії його електростатичного поля мають вигляд

Найбільш складним виявляється вивчення електричних явищ у неоднорідному електричному середовищі. У такому середовищі має різні значення, змінюючись на межі діелектриків стрибкоподібно. Припустимо, що ми визначаємо напруженість поля на межі розділу двох середовищ: ε 1 =1 (вакуум або повітря) та ε 2 =3 (рідина – олія). На межі розділу при переході з вакууму в діелектрик напруженість поля зменшується втричі, стільки ж разів зменшується потік вектора напруженості (рис.12.25 а). Стрибкоподібна зміна вектора напруженості електростатичного поля на межі розділу двох середовищ створює певні труднощі при розрахунку полів. Що ж до теореми Гаусса, то цих умовах вона взагалі втрачає сенс.

Оскільки поляризованість і напруженість різнорідних діелектриків різна, різним буде і кількість силових ліній у кожному діелектриці. Це утруднення можна усунути, ввівши нову фізичну характеристику поля електричну індукцію D (або вектор електричного зміщення ).

Згідно з формулою

ε 1 Е 1 = ε 2 Е 2 =Е 0 =const

Помножуючи всі частини цих рівностей на постійну електричну ε 0 отримаємо

ε 0 ε 1 Е 1 = ε 0 ε 2 Е 2 =ε 0 Е 0 =const

Введемо позначення ε 0 εЕ=D тоді передостаннє співвідношення набуде вигляду

D 1 = D 2 = D 0 = const

Вектор D, рівний добутку напруженості електричного поля в діелектриці на його абсолютну діелектричну проникність, називаютьвектор зміщення

(12.45)

Одиниця електричного усунення - кулон на квадратний метр(Кл/м2).

Електричне усунення - векторна величина, її можна висловити ще як

D = εε 0 E = (1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

На відміну від напруженості Е електричне усунення D постійно переважають у всіх діелектриках (рис.12.25, б). Тому електричне поле у ​​неоднорідному діелектричному середовищі зручно характеризувати не напруженістю Е, а вектором зміщення D . Вектором D описується електростатичне поле, створюване вільними зарядами (тобто у вакуумі), але при такому їх розподілі в просторі, яке є за наявності діелектрика, оскільки пов'язані заряди, що виникають у діелектрики, можуть викликати перерозподіл вільних зарядів, що створюють поле.

Поле вектор графічно зображується лініями електричного зміщення так само, як поле зображується силовими лініями.

Лінія електричного зміщення – це лінії, що стосуються яких у кожній точці збігаються у напрямку з вектором електричного зміщення.

Лінії вектора Е можуть починатися і закінчуватися на будь-яких зарядах – вільних та пов'язаних, тоді як лінії вектораD- Лише на вільних зарядах. Лінії вектораDна відміну від ліній напруженості безперервні.

Оскільки вектор електричного усунення не відчуває розриву межі розділу двох середовищ, всі лінії індукції, що виходять із зарядів, оточених деякою замкнутої поверхнею, пронижуть її. Тому для вектора електричного усунення теорема Гауса повністю зберігає свій сенс і для неоднорідного діелектричного середовища.

Теорема Гауса для електростатичного поля в діелектриці : потік вектора електричного зміщення крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри зарядів укладених всередині цієї поверхні.

(12.47)

Мета уроку: Теорема Остроградського-Гаусса була встановлена ​​російським математиком та механіком Михайлом Васильовичем Остроградським у вигляді деякої загальної математичної теореми та німецьким математиком Карлом Фрідріхом Гауссом. Ця теорема може бути використана щодо фізики на профільному рівні, оскільки дозволяє раціональніше проводити розрахунки електричних полів.

Для виведення теореми Остроградського-Гаусса необхідно запровадити такі важливі допоміжні поняття, як вектор електричної індукції та потік цього вектора Ф.

Відомо, що електростатичне поле часто зображують силовими лініями. Припустимо, що визначаємо напруженість у точці, що лежить межі розділу двох середовищ: повітря(=1) і води (=81). У цій точці при переході з повітря у воду напруженість електричного поля згідно з формулою зменшиться у 81 раз. Якщо знехтувати провідністю води, то в стільки ж разів зменшиться кількість силових ліній. При вирішенні різних завдань на розрахунок полів через перервність вектора напруженості на межі розділу середовищ і на діелектриках створюються певні незручності. Щоб уникнути їх, вводиться новий вектор, який називається вектором електричної індукції:

Вектор електричної індукції дорівнює добутку вектора на постійну електричну і на діелектричну проникність середовища в даній точці.

Очевидно, що при переході через кордон двох діелектриків кількість ліній електричної індукції не змінюється для точкового поля заряду (1).

У системі СІ вектор електричної індукції вимірюється в кулонах квадратний метр (Кл/м 2 ). Вираз (1) показує, що чисельне значення вектора залежить від властивостей середовища. Поле вектора графічно зображується аналогічно до поля напруженості (наприклад, для точкового заряду див. рис.1). Для поля вектора має місце принцип суперпозиції:

Потік електричної індукції

Вектор електричної індукції характеризує електричне поле у ​​кожній точці простору. Можна ввести ще одну величину, що залежить від значень вектора не в одній точці, а в усіх точках поверхні, обмеженої замкнутим плоским контуром.

Для цього розглянемо плоский замкнутий провідник (контур) з площею поверхні S, поміщений в електричне однорідне поле. Нормаль до площини провідника становить кут із напрямком вектора електричної індукції (рис. 2).

Потоком електричної індукції через поверхню S називають величину, рівну добутку модуля вектора індукції на площу S і косинус кута між вектором і нормаллю :

Ця теорема дозволяє знайти потік вектора електричної індукції через замкнуту поверхню, всередині якої є електричні заряди.

Нехай спочатку один точковий заряд q поміщений до центру сфери довільного радіусу r 1 (рис. 3). Тоді ; . Обчислимо повний потік індукції, що проходить через всю поверхню цієї сфери: ; (). Якщо візьмемо сферу радіусу, то також Ф = q. Якщо проведемо сферу , що не охоплює заряд q, то повний потік Ф = 0 (оскільки кожна лінія увійде в поверхню, а інший раз вийде з неї).

Таким чином, Ф = q, якщо заряд розташований усередині замкнутої поверхні і Ф = 0, якщо заряд розташований поза замкненою поверхнею. Потік Ф від форми поверхні залежить. Він також залежить від розташування зарядів всередині поверхні. Це означає, що отриманий результат справедливий не тільки для одного заряду, але і для будь-якого числа довільно розташованих зарядів, якщо тільки мати на увазі під алгебраїчну суму q всіх зарядів, що знаходяться всередині поверхні.

Теорема Гауса: потік електричної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри всіх зарядів, що знаходяться всередині поверхні: .

З формули видно, що розмірність електричного потоку така сама, як і електричного заряду. Тому одиницею потоку електричної індукції є кулон (Кл).

Якщо поле неоднорідне і поверхня, через яку визначають потік, не є площиною, то цю поверхню можна розбити на нескінченно малі елементи ds і кожен елемент вважати плоским, а поле біля нього однорідним. Тому для будь-якого електричного поля поток вектора електричної індукції через елемент поверхні є: dФ=. В результаті інтегрування повний потік через замкнуту поверхню S в будь-якому неоднорідному електричному полі дорівнює: , де q – сума алгебри всіх зарядів, оточених замкнутою поверхнею S. Виразимо останнє рівняння через напруженість електричного поля (для вакууму): .

Це одне із фундаментальних рівнянь Максвелла для електромагнітного поля, записане в інтегральній формі. Воно свідчить, що джерелом постійного у часі електричного поля є нерухомі електричні заряди.

Визначимо тепер за допомогою теореми Остроградського-Гауса напруженість поля для низки випадків.

1. Електричне поле рівномірно зарядженої сферичної поверхні.

Сфера радіусом R. Нехай заряд +q рівномірно розподілений по сферичній поверхні радіуса R. Розподіл заряду поверхнею характеризується поверхневою щільністю заряду (рис.4). Поверхневою густиною заряду називають відношення заряду до площі поверхні, за якою він розподілений. . У СІ.

Визначимо напруженість поля:

а) поза сферичною поверхнею,
б) усередині сферичної поверхні.

а) Візьмемо точку А, віддалену від центру зарядженої сферичної поверхні з відривом r>R. Проведемо через неї подумки сферичну поверхню S радіуса r, що має загальний центр із зарядженою сферичною поверхнею. З міркування симетрії очевидно, що силові лінії є прямими радіальними перпендикулярними до поверхні S і рівномірно пронизують цю поверхню, тобто. Напруженість по всіх точках цієї поверхні постійна за величиною. Застосуємо теорему Остроградського-Гаусса до цієї сферичної поверхні S радіусу r. Тому повний потік через сферу дорівнює N = E? S; N=E. З іншого боку . Прирівнюємо: . Звідси: при R>R.

Таким чином: напруженість, створювана рівномірно зарядженою сферичною поверхнею, поза нею така сама, якби весь заряд знаходився в її центрі (рис.5).

б) Знайдемо напруженість поля в точках, що лежать усередині зарядженої сферичної поверхні. Візьмемо точку У віддалену від центру сфери на відстані . Тоді E = 0 при r

2. Напруженість поля рівномірно зарядженої нескінченної площини

Розглянемо електричне поле, що створюється нескінченною площиною, зарядженою із щільністю, постійною у всіх точках площині. З міркувань симетрії вважатимуться, що лінії напруженості перпендикулярні до площині спрямовані її у обидві сторони (рис.6).

Виберемо точку А, що лежить праворуч від площини та обчислимо в цій точці, застосовуючи теорему Остроградського-Гаусса. Як замкнута поверхня виберемо циліндричну поверхню таким чином, щоб бічна поверхня циліндра була паралельна силовим лініям, а його основи і паралельні площині і основа проходить через точку А (рис. 7). Розрахуємо потік напруженості через циліндричну поверхню, що розглядається. Потік через бічну поверхню дорівнює 0 т.к. лінії напруженості паралельні бічній поверхні. Тоді повний потік складається з потоків і через основи циліндра і . Обидва ці потоки позитивні = +; =; =; ==; N = 2.

– ділянка площини, що лежить усередині обраної циліндричної поверхні. Заряд усередині цієї поверхні дорівнює q.

Тоді; – можна прийняти за точковий заряд з точкою А. Для знаходження сумарного поля треба геометрично скласти всі поля, створювані кожним елементом: ; .

Загальне формулювання: Потік вектора напруженості електричного поля через будь-яку, довільно вибрану замкнуту поверхню пропорційний ув'язненому в цій поверхні електричному заряду.

У системі СДСЕ:

У системі СІ:

- Потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхню.

- Повний заряд, що міститься в об'ємі, який обмежує поверхню.

- Електрична постійна.

Даний вираз є теоремою Гауса в інтегральній формі.

У диференціальній формі теорема Гауса відповідає одному з рівнянь Максвелла і виражається так

у системі СІ:

,

у системі СДСЕ:

Тут об'ємна щільність заряду (у разі присутності середовища сумарна щільність вільних і пов'язаних зарядів), а оператор набла.

Для теореми Гауса справедлив принцип суперпозиції, тобто потік вектора напруженості через поверхню не залежить від розподілу заряду всередині поверхні.

Фізичною основою теореми Гауса є закон Кулона або, інакше, теорема Гауса є інтегральним формулюванням закону Кулона.

Теорема Гауса для електричної індукції (електричне усунення).

Для поля в речовині електростатична теорема Гауса може бути записана інакше через потік вектора електричного зміщення (електричної індукції). При цьому формулювання теореми виглядає наступним чином: потік вектора електричного зміщення через замкнуту поверхню пропорційний ув'язненому в цій поверхні вільному електричному заряду:

Якщо ж розглядати теорему для напруженості поля в речовині, то як заряд Q необхідно брати суму вільного заряду, що знаходиться всередині поверхні і поляризаційного (індукованого, пов'язаного) заряду діелектрика:

,

де ,
- Вектор поляризації діелектрика.

Теорема Гауса для магнітної індукції

Потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю:

.

Це еквівалентно з того що у природі немає «магнітних зарядів» (монополів), які створювали б магнітне полі, як електричні заряди створюють електричне полі. Іншими словами, теорема Гауса для магнітної індукції показує, що магнітне поле є вихровим.

Застосування теореми Гауса

Для обчислення електромагнітних полів використовуються такі величини:

Об'ємна щільність заряду (див. вище).

Поверхнева щільність заряду

де dS - нескінченно мала ділянка поверхні.

Лінійна щільність заряду

де dl - Довжина нескінченно малого відрізка.

Розглянемо поле, створюване нескінченною однорідною зарядженою площиною. Нехай поверхнева густина заряду площини однакова і дорівнює σ. Уявімо подумки циліндр з утворюючими, перпендикулярними до площини, і основою S, розташованим щодо площини симетрично. У силу симетрії. Потік вектора напруженості дорівнює. Застосувавши теорему Гауса, отримаємо:

,

з котрого

у системі СДСЕ

Важливо відзначити, що незважаючи на свою універсальність та спільність, теорема Гауса в інтегральній формі має порівняно обмежене застосування через незручність обчислення інтегралу. Однак у разі симетричної задачі рішення її стає набагато простішим, ніж з використанням принципу суперпозиції.