Теорія фракталів. Дивовижний світ фракталів

Муніципальна бюджетна освітня установа

«Сіверська середня загальноосвітня школа №3»

Дослідницька робота

з математики.

Виконав роботу

учень 8-1 класу

Ємелін Павло

Науковий керівник

учитель математики

Тупіцина Наталія Олексіївна

п. Сіверський

2014

Математика вся пронизана красою та гармонією,

Тільки цю красу треба побачити.

Б. Мандельброт

Введення____________________________________3-4стор.

Глава 1.История виникнення фракталов._______5-6стр.

Глава 2. Класифікація фракталів. _____________6-10стор.

Геометричні фрактали

Алгебраїчні фрактали

Стохастичні фрактали

Глава 3. "Фрактальна геометрія природи" ______11-13стор.

Глава 4. Застосування фракталів_______________13-15стор.

Глава 5 Практичні роботи__________________16-24стор.

Заключение_________________________________25.стр

Список літератури та інтернет ресурсів________26стор.

Вступ

Математика,

якщо на неї правильно подивитися,

відображає не тільки істину,

а й незрівнянну красу.

Бертранд Рассел

Слово "фрактал" - це щось, про що багато людей говорить у наші дні, від учених до учнів середньої школи. Воно з'являється на обкладинках багатьох підручників математики, наукових журналів та коробках із комп'ютерним програмним забезпеченням. Кольорові зображення фракталів сьогодні можна знайти всюди: від листівок, футболок до картинок на робочому столі персонального комп'ютера. Отже, що це за кольорові форми, які ми бачимо довкола?

Математика – найдавніша наука. Більшості людей здавалося, що геометрія у природі обмежується такими простими фігурами, як лінія, коло, багатокутник, сфера тощо. Як виявилося багато природних систем настільки складні, що використання тільки знайомих об'єктів звичайної геометрії для їх моделювання є безнадійним. Як, наприклад, побудувати модель гірського хребта чи крони дерева у термінах геометрії? Як описати ту різноманітність біологічних різноманітностей, яку ми спостерігаємо у світі рослин та тварин? Як уявити всю складність системи кровообігу, що складається з безлічі капілярів і судин і доставляє кров до кожної клітини людського тіла? Уявити будову легень і нирок, що нагадують структурою дерева з гіллястою кроною?

Фрактали - підходящі кошти на дослідження поставлених питань. Нерідко те, що ми бачимо в природі, інтригує нас нескінченним повторенням того самого візерунка, збільшеного або зменшеного в кілька разів. Наприклад, дерево має гілки. На цих гілках є менші гілки і т.д. Теоретично, елемент «розгалуження» повторюється нескінченно багато разів, стаючи дедалі менше. Те саме можна побачити, розглядаючи фотографію гірського рельєфу. Спробуйте трохи наблизити зображення до гірської гряди --- ви знову побачите гори. Так проявляється характерна для фракталів властивість самоподібності.

Вивчення фракталів відкриває чудові можливості, як у дослідженні нескінченного числа додатків, так і в галузі математики. Застосування фракталів дуже широке! Адже ці об'єкти настільки красиві, що їх використовують дизайнери, художники, за допомогою них у графіку малюються багато елементів дерева, хмари, гори тощо. Адже фрактали використовуються навіть як антени в багатьох стільникових телефонах.

Для багатьох хаологів (вчених, що вивчають фрактали та хаос) – це не просто нова галузь пізнання, яка поєднує математику, теоретичну фізику, мистецтво та комп'ютерні технології – це революція. Це відкриття нового типу геометрії, тієї геометрії, яка описує світ навколо нас і яку можна побачити не тільки в підручниках, а й у природі та скрізь у безмежному всесвіті.

У своїй роботі я теж вирішив «доторкнутися» світу прекрасного і визначив для себе…

Мета роботи: створення об'єктів, образи яких дуже схожі на природні

Методи дослідження: порівняльний аналіз, синтез, моделювання

Завдання:

знайомство з поняттям, історією виникнення та дослідженнями Б.Мандельброта,

Г. Коха, В. Серпінського та ін;

знайомство з різними видами фрактальних множин;

вивчення науково-популярної літератури з цього питання, знайомство з

науковими гіпотезами;

знаходження підтвердження теорії фрактальності навколишнього світу;

вивчення застосування фракталів в інших науках та на практиці;

проведення експерименту щодо створення власних фрактальних зображень.

Основне питання роботи:

Показати, що математика не сухий, бездушний предмет, вона може виражати духовний світ людини окремо і в суспільстві в цілому.

Предмет дослідження: Фрактальна геометрія

Об'єкт дослідження: фрактали в математиці та реальному світі

Гіпотеза: Все, що існує в реальному світі, є фракталом

Методи дослідження: аналітичний, пошуковий.

Актуальністьзаявленої теми визначається, насамперед, предметом дослідження, як якого виступає фрактальна геометрія.

Очікувані результати:У ході роботи я зможу розширити свої знання з математики, побачити красу фрактальної геометрії, почати роботу зі створення своїх фракталів.

Підсумком роботи буде створення комп'ютерної презентації, бюлетеня та буклету.

Глава 1. Історія виникнення

Б енуа Мандельброт

Поняття «фрактал» вигадав Бенуа Мандельброт. Слово походить від латинського "fractus", що означає "зламаний, розбитий".

Фрактал (лат. fractus - дроблений, зламаний, розбитий) - термін, що означає складну геометричну фігуру, що має властивість самоподібності, тобто складену з кількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком.

Для математичних об'єктів, яких воно належить, характерні надзвичайно цікаві властивості. У звичайній геометрії лінія має один вимір, поверхня – два виміри, а просторова фігура тривимірна. Фрактали ж - це лінії і поверхні, а, якщо можна це собі уявити, щось середнє. Зі зростанням розмірів зростає і обсяг фракталу, але його розмірність (показник ступеня) - величина не ціла, а дробова, тому межа фрактальної фігури не лінія: при великому збільшенні стає видно, що вона розмита і складається зі спіралей і завитків, що повторюють у малому масштабі саму фігуру. Така геометрична регулярність називається масштабною інваріантністю чи самоподібністю. Вона і визначає дробову розмірність фрактальних фігур.

До появи фрактальної геометрії наука мала справу із системами, укладеними у трьох просторових вимірах. Завдяки Ейнштейну стало зрозуміло, що тривимірне місце - тільки модель реальності, а не сама реальність. Фактично наш світ розташований у чотиривимірному просторово-часовому континуумі.
Завдяки Мандельброту стало зрозуміло, як виглядає чотиривимірне місце, образно висловлюючись, фрактальне обличчя Хаосу. Бенуа Мандельброт виявив, що четвертий вимір включає не тільки перші три виміри, але і (це дуже важливо!) інтервали між ними.

Рекурсивна (або фрактальна) геометрія йде на зміну Євклідовій. Нова наука здатна описати справжню природу тіл та явищ. Евклідова геометрія мала справу лише зі штучними, уявними об'єктами, що належали трьом вимірам. Насправді їх здатне перетворити лише четвертий вимір.

Рідина, газ, тверде тіло - три звичні фізичні стани речовини, що існує в тривимірному світі. Але якою є розмірність клубу диму, хмари, точніше, їх меж, що безперервно розмиваються турбулентним рухом повітря?

В основному фрактали класифікують за трьома групами:

Алгебраїчні фрактали

Стохастичні фрактали

Геометричні фрактали

Розглянемо докладніше кожну їх.

Розділ 2. Класифікація фракталів

Геометричні фрактали

Бенуа Мандельброт запропонував модель фракталу, яка вже стала класичною і часто використовується для демонстрації як типового прикладу самого фракталу, так і для демонстрації краси фракталів, яка також приваблює дослідників, художників, людей, що просто цікавляться.

Саме з них і розпочиналася історія фракталів. Цей тип фракталів виходить шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай при побудові цих фракталів надходять так: береться "затравка" - аксіома - набір відрізків, на підставі яких будуватиметься фрактал. Далі до цієї "затравки" застосовують набір правил, який перетворює її на будь-яку геометричну фігуру. Далі до кожної частини цієї фігури застосовують знову той самий набір правил. З кожним кроком фігура ставатиме все складніше і складніше, і якщо ми проведемо (принаймні в умі) нескінченну кількість перетворень – отримаємо геометричний фрактал.

Фрактали цього класу наочні, тому що в них відразу видно самоподібність при будь-яких масштабах спостереження. У двомірному випадку такі фрактали можна отримати, задавши деяку ламану, яка називається генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, що становлять ламану, замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. Внаслідок нескінченного повторення цієї процедури (а, точніше, при переході до межі) виходить фрактальна крива. При видимій складності отриманої кривої, її загальний вигляд задається лише формою генератора. Прикладами таких кривих є: крива Коха (Мал.7), крива Пeано (Мал.8), крива Мінковського.

На початку ХХ століття математики шукали такі криві, які у жодній точці не мають дотичної. Це означало, що крива різко змінює свій напрямок, і до того ж з колосально великою швидкістю (похідна дорівнює нескінченності). Пошуки даних кривих були викликані не просто пустим інтересом математиків. Справа в тому, що на початку ХХ століття дуже бурхливо розвивалася квантова механіка. Дослідник М.Броун замалював траєкторію руху зважених частинок у воді і пояснив це явище так: атоми рідини, що безладно рухаються, ударяються об зважені частинки і тим самим наводять їх у рух. Після такого пояснення броунівського руху перед ученими постало завдання знайти таку криву, яка б найкраще показувала рух броунівських частинок. Для цього крива мала відповідати наступним властивостям: не мати дотичної в жодній точці. Математик Кох запропонував одну таку криву.

До Рива Коха є типовим геометричним фракталом. Процес її побудови виглядає так: беремо одиничний відрізок, розділяємо на три рівні частини і замінюємо середній інтервал рівностороннім трикутником без цього сегмента. В результаті утворюється ламана, що складається з чотирьох ланок довжини 1/3. На наступному кроці повторюємо операцію для кожного з чотирьох ланок, що вийшли, і т. д.

Гранична крива і є крива Коха.

Сніжинка Коха.Виконавши аналогічні перетворення на сторонах рівностороннього трикутника, можна отримати фрактальне зображення сніжинки Коха.

Т
Ще одним нескладним представником геометричного фракталу є квадрат Серпінського.Будується він досить просто: Квадрат ділиться прямими, паралельними його сторонам, на 9 рівних квадратів. З квадрата віддаляється центральний квадрат. Виходить безліч, що складається з 8 квадратів, що залишилися "першого рангу". Поступаючи так само з кожним з квадратів першого рангу, отримаємо множину, що складається з 64 квадратів другого рангу. Продовжуючи цей процес нескінченно, отримаємо нескінченну послідовність чи квадрат Серпінського.

Алгебраїчні фрактали

Це найбільша група фракталів. Алгебраїчні фрактали отримали назву за те, що їх будують, використовуючи прості алгебраїчні формули.

Отримують їх за допомогою нелінійних процесів n-мірних просторах. Відомо, що нелінійні динамічні системи мають кілька стійких станів. Той стан, у якому опинилася динамічна система після певної кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожен стійкий стан (або як кажуть - аттрактор) має деяку область початкових станів, з яких система обов'язково потрапить в аналізовані кінцеві стани. Таким чином, фазовий простір системи розбивається на області тяжінняатракторів. Якщо фазовим є двомірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портретцієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати складні структури.

Як приклад, розглянемо безліч Мандельброта. Будують його за допомогою комплексних чисел.

Ділянка межі множини Мандельброта, збільшена в 200 разів.

Безліч Мандельброта належать точки, які протягомнескінченного числа ітерацій не йдуть у нескінченність (крапки, що мають чорний колір). Крапки, що належать кордону множини(саме там виникає складні структури) йдуть у нескінченність за кінцеве число ітерацій, а точки, що лежать поза безлічі, йдуть у нескінченність через кілька ітерацій (білий фон).

П



ример іншого алгебраїчного фрактал - безліч Жюліа. Існує 2 різновиди цього фракталу.Дивно, але безліч Жюліа утворюються за тією ж формулою, що і безліч Мандельброта. Безліч Жюліа було винайдено французьким математиком Гастоном Жюліа, на ім'я якого і було названо безліч.

І
цікавий факт, деякі фракції алгебри вражаючим чином нагадують зображення тварин, рослин та інших біологічних об'єктів, внаслідок чого отримали назву біоморфів.

Стохастичні фрактали

Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять у тому випадку, якщо в ітераційному процесі випадково змінювати будь-які його параметри. У цьому виходять об'єкти дуже схожі природні - несиметричні дерева, порізані берегові лінії тощо.

Типовим представником цієї групи фракталів є "плазма".

Д
Для її побудови береться прямокутник і для кожного його кута визначається колір. Далі знаходиться центральна точка прямокутника і розфарбовується в колір, що дорівнює середньому арифметичному кольору по кутах прямокутника плюс деяке випадкове число. Чим більше випадкове число – тим більше "рваним" буде малюнок. Якщо ж припустити, що колір точки - це висота над рівнем моря - отримаємо замість плазми - гірський масив. Саме на цьому принципі моделюються гори у більшості програм. За допомогою алгоритму, схожого на плазму, будується карта висот, до неї застосовуються різні фільтри, накладається текстура і фотореалістичні гори готові.

Е
Якщо подивитися на цей фрактал в розрізі, то ми побачимо цей фрактал об'ємний, і має «шорсткість», саме через цю «шорсткість» є дуже важливе застосування цього фракталу.

Допустимо потрібно описати форму гори. Звичайні фігури з Евклідової геометрії тут не допоможуть, адже вони не враховують рельєфу поверхні. Але при суміщенні звичайної геометрії з фрактальної можна отримати ту саму "шорсткість" гори. На звичайний конус потрібно накласти плазму, і ми отримаємо рельєф гори. Такі операції можна виконувати з багатьма іншими об'єктами у природі, завдяки стохастичним фракталам можна описати саму природу.

Тепер поговоримо про геометричні фрактали.

.

Розділ 3 "Фрактальна геометрія природи"

Чому геометрію часто називають "холодною" і "сухою"? Одна з причин полягає в її нездатності описати форму хмари, гори, берегової лінії або дерева. гладка, блискавка поширюється не по прямій.У більш загальному плані я стверджую, що багато об'єктів у Природі настільки іррегулярні і фрагментовані, що в порівнянні з Евклідом - термін, який у цій роботі означає всю стандартну геометрію, - Природа має не просто більшу складність, а складністю зовсім іншого рівня. Число різних масштабів довжини природних об'єктів для всіх практичних цілей нескінченне.

(БенуаМандельброт "Фрактальна геометрія природи" ).

До расота фракталів двояка: вона насолоджує око, про що свідчить виставка фрактальних зображень, що хоча б обійшла весь світ, організована групою бременських математиків під керівництвом Пайтгена і Ріхтера. Пізніше експонати цієї грандіозної виставки були відображені в ілюстраціях до книги тих самих авторів "Краса фракталів". Але є й інший, більш абстрактний чи піднесений, аспект краси фракталів, відкритий, за словами Р. Фейнмана, лише розумовому погляду теоретика, у сенсі фрактали прекрасні красою важкої математичної задачи. Бенуа Мандельброт вказав сучасникам (і, мабуть, нащадкам) на прикру прогалину в "Початках" Евкліда, за яким, не помічаючи недогляду, майже два тисячоліття людства осягало геометрію навколишнього світу і вчилося математичної суворості викладу. Зрозуміло, обидва аспекти краси фракталів тісно взаємопов'язані і виключають, а взаємно доповнюють одне одного, хоча кожен із них самодостатній.

Фрактальна геометрія природи за Мандельбротом - справжнісінька геометрія, що задовольняє визначенню геометрії, запропонованому в "Ерлангенскрй програмі" Ф. Клейна. Справа в тому, що до появи неевклідової геометрії Н.І. Лобачевського - Л. Больяї, існувала лише одна геометрія - та, яка була викладена в "Початках", і питання про те, що таке геометрія і яка з геометрій є геометрією реального світу, не виникало, та й не могло виникнути. Але з появою ще однієї геометрії постало питання, що таке геометрія взагалі, і яка з безлічі геометрій відповідає реальному світу. За Ф.Клейном, геометрія займається вивченням таких властивостей об'єктів, які інваріантні щодо перетворень: евклідова - інваріантів групи рухів (перетворень, що не змінюють відстані між будь-якими двома точками, тобто представляють суперпозицію паралельних переносів та обертань зі зміною або без зміни орієнтації) , геометрія Лобачевського-Больяї – інваріантів групи Лоренца Фрактальна геометрія займається вивченням інваріантів групи самоафінних перетворень, тобто. властивостей, що виражаються статечними законами.

Що ж до відповідності реальному світу, то фрактальна геометрія описує дуже широкий клас природних процесів та явищ, і тому ми можемо слідом за Б.Мандельбротом з повним правом говорити про фрактальну геометрію природи. Нові - фрактальні об'єкти мають незвичайні властивості. Довжини, площі та обсяги одних фракталів дорівнюють нулю, інших – звертаються до нескінченності.

Природа найчастіше створює дивовижні та прекрасні фрактали, з ідеальною геометрією та такою гармонією, що просто завмираєш від захоплення. І ось їх приклади:

Морські раковини

Блискавкизахоплюють своєю красою. Фрактали, створені блискавкою, не довільні і не регулярні

Фрактальна форма підвиду цвітної капусти(Brassica cauliflora). Це особливий вид є особливо симетричним фракталом.

П апоротніктак само є добрим прикладом фракталу серед флори.

Павлинивсім відомі своїм барвистим пір'ям, у якому заховані суцільні фрактали.

Лід, морозні візерункина вікнах це теж фрактали

Про
т збільшеного зображення листочка, до гілок дерева- у всьому можна виявити фрактали

Фрактали є скрізь і всюди у навколишній природі. Весь Всесвіт побудований за напрочуд гармонійними законами з математичною точністю. Хіба можна після цього думати, що наша планета – це випадкове зчеплення частинок? Ледве.

Глава 4. Застосування фракталів

Фрактали знаходять дедалі більше застосування у науці. Основна причина цього у тому, що вони описують реальний світ іноді навіть краще, ніж традиційна фізика чи математика. Ось кілька прикладів:

Про
дні з найпотужніших додатків фракталів лежать у комп'ютерна графіка. Це фрактальне стиснення зображень. Сучасна фізика та механіка лише починають вивчати поведінку фрактальних об'єктів.

Переваги алгоритмів фрактального стиснення зображень - дуже невеликий розмір упакованого файлу і короткий час відновлення зображення. Фрактально упаковані картинки можна масштабувати без появи пікселізації (погана якість зображення – великими квадратами). Але процес стиснення займає тривалий час і іноді триває годинами. Алгоритм фрактальної упаковки із втратою якості дозволяє задати ступінь стиснення, аналогічно формату jpeg. В основі алгоритму лежить пошук великих шматків зображення подібних до деяких маленьких шматочків. І у вихідний файл записується тільки якийсь шматочок якому подібний. При стиску зазвичай використовують квадратну сітку (шматочки - квадрати), що призводить до невеликої незграбності при відновленні картинки, шестикутна сітка позбавлена ​​такого недоліку.

Компанією Iterated розроблений новий формат зображень "Sting", що поєднує в собі фрактальне та "хвильове" (таке як у форматі jpeg) стиснення без втрат. Новий формат дозволяє створювати зображення з можливістю подальшого високоякісного масштабування, причому обсяг графічних файлів складає 15-20% обсягу стиснених зображень.

У механіці та фізиціфрактали використовуються завдяки унікальній властивості повторювати контури багатьох об'єктів природи. Фрактали дозволяють наближати дерева, гірські поверхні та тріщини з більш високою точністю, ніж наближення наборами відрізків або багатокутників (при тому ж об'ємі даних, що зберігаються). Фрактальні моделі, як і природні об'єкти, мають "шорсткість", і властивість це зберігається при скільки завгодно великому збільшенні моделі. Наявність на фракталах рівномірної міри дозволяє застосовувати інтегрування, теорію потенціалу, використовувати їх замість стандартних об'єктів у вже досліджених рівняннях.

Т
також фрактальну геометрію використовують для проектування антенних пристроїв. Вперше це було застосовано американським інженером Натаном Коеном, який жив тоді в центрі Бостона, де було заборонено встановлення на будинках зовнішніх антен. Коен вирізав із алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха і потім наклеїв її на аркуш паперу, а потім приєднав до приймача. Виявилося, що така антена працює не гірше за звичайну. І хоча фізичні принципи такої антени досі не вивчені, це не завадило Коену обґрунтувати власну компанію і налагодити їх серійний випуск. На даний момент американська фірма "Fractal Antenna System" розробила антену нового типу. Тепер можна відмовитися від використання в мобільних телефонах зовнішніх антен, що стирчать. Так звана фрактальна антена розташовується прямо на основній платі всередині апарату.

Також існують безліч гіпотез щодо застосування фракталів – наприклад, лімфатична та кровоносна системи, легкі та багато іншого теж мають фрактальні властивості.

Глава 5. Практичні роботи.

Спочатку зупинимося на фракталах «Намисто», «Перемога» та «Квадрат».

Перше – «Намисто»(Рис. 7). Ініціатором даного фракталу є коло. Це коло складається з певного числа таких же кіл, але менших розмірів, а сама ж вона є однією з кількох кіл, що являють собою таку ж, але більших розмірів. Так процес освіти нескінченний і його можна вести як у той, так і у зворотний бік. Тобто. фігуру можна збільшувати, взявши лише одну маленьку дугу, а можна зменшувати, розглядаючи побудову її з дрібніших.

Рис. 7.

Фрактал «Намисто»

Другий фрактал – це «Перемога»(Рис.8). Таку назву він отримав тому, що зовні нагадує латинську букву “V”, тобто “victory”-перемога. Цей фрактал складається з певного числа маленьких "v", що становлять одну велику "V", причому в лівій половині, якою маленькі ставляться так, щоб їх ліві половини становили одну пряму, права частина будується так само. Кожна з цих “v” будується так само і триває це до нескінченності.

Рис.8. Фрактал "Перемога"

Третій фрактал – це "Квадрат" (рис. 9). Кожна з його сторін складається з одного ряду осередків, які формою представляють квадрати, сторони яких також представляють ряди осередків і т.д.

9.Фрактал «Квадрат»

Фрактал був названий "Роза" (рис. 10), в силу зовнішньої подібності з даною квіткою. Побудова фракталу пов'язана з побудовою низки концентричних кіл, радіус яких змінюється пропорційно заданому відношенню (в даному випадку R м / R б = ¾ = 0,75.). Після цього в кожне коло вписуються правильні шестикутники, сторона якого дорівнює радіусу описаного біля нього кола.

Рис. 11. Фрактал «Троянда *»

Далі звернемося до правильного п'ятикутника, в якому проведемо діагоналі. Потім у п'ятикутнику, що вийшов у при перетині відповідних відрізків, знову проведемо діагоналі. Продовжимо цей процес до нескінченності та отримаємо фрактал «Пентаграма» (рис. 12).

Введемо елемент творчості і наш фрактал набуде вигляду більш наочного об'єкта (рис. 13).

Р
іс. 12. Фрактал "Пентаграма".

Рис. 13. Фрактал «Пентаграма»

Рис. 14 фрактал «Чорна діра»

Експеримент №1 «Дерево»

Тепер, коли я зрозумів, що таке фрактал і як його будувати, я спробував створити свої власні фрактальні зображення. У програмі Adobe Photoshop я створив невелику підпрограму або action, особливість цього екшену полягає в тому, що він повторює дії, які я роблю, і так у мене виходить фрактал.

Для початку я створив фон для нашого майбутнього фракталу з роздільною здатністю 600 на 600. Далі я намалював на цьому фоні 3 лінії – основу нашого майбутнього фракталу.

Знаслідуючим кроком буде запис скрипта.

продублюємо шар ( layer > duplicate) і змінимо тип змішування на " Screen" .

Назвемо його fr1". Скопіюємо цей шар (" fr1") ще 2 рази.

Тепер треба перейти на останній шар (fr3) і двічі злити його з попереднім ( Ctrl+E). Зменшити яскравість шару ( Image > Ajustments > Brightness/Contrast , яскравість встановити 50% ). Знову злити з попереднім шаром і обрізати краї малюнку, щоб прибрати невидимі частини.

Останнім кроком я копіював це зображення і вставляв його зі зменшенням та поворотом. Ось що вийшло зрештою.

Висновок

Ця робота є введенням у світ фракталів. Ми розглянули лише найменшу частину того, які бувають фрактали, на основі яких принципів вони будуються.

Фрактальна графіка - це не просто безліч зображень, що самоповторюються, це модель структури і принципу будь-якого сущого. Все наше життя представлене фракталами. Вся навколишня природа складається з них. Не можна не відзначити широке застосування фракталів у комп'ютерних іграх, де рельєфи місцевості найчастіше є фрактальними зображеннями на основі тривимірних моделей комплексних множин. Фрактали дуже полегшують малювання комп'ютерної графіки, з допомогою фракталів створюються безліч спецефектів, різних казкових і неймовірних картинок тощо. Також за допомогою фрактальної геометрії малюються дерева, хмари, береги та вся інша природа. Фрактальна графіка необхідна скрізь, і розвиток "фрактальних технологій" - це одне з важливих завдань на сьогоднішній день.

У майбутньому я планую навчитися будувати фракції алгебри, коли більш докладно вивчу комплексні числа. Також хочу спробувати побудувати свої фрактальні зображення у мові програмування Паскаль за допомогою циклів.

Слід зазначити застосування фракталів у комп'ютерних технологіях, крім просто побудови гарних зображень на екрані комп'ютера. Фрактали в комп'ютерних технологіях застосовуються у таких областях:

1. Стиснення зображень та інформації

2. Приховування інформації на зображенні, в звукі,…

3. Шифрування даних за допомогою фрактальних алгоритмів

4. Створення фрактальної музики

5. Моделювання систем

У нашій роботі наведено далеко не всі галузі людських знань, де знайшла своє застосування теорія фракталів. Хочемо лише сказати, що з часу виникнення теорії пройшло не більше третини століття, але за цей час фрактали для багатьох дослідників стали раптовим яскравим світлом у ночі, яке осяяло невідомі досі факти та закономірності в конкретних галузях даних. За допомогою теорії фракталів стали пояснювати еволюцію галактик та розвиток клітини, виникнення гір та утворення хмар, рух цін на біржі та розвиток суспільства та сім'ї. Можливо, спочатку це захоплення фракталами було навіть занадто бурхливим і спроби все пояснювати з допомогою теорії фракталів були невиправданими. Але, без сумніву, ця теорія має право на існування, і ми шкодуємо, що останнім часом вона якось забулася і залишилася долею обраних. Під час підготовки даної роботи нам було дуже цікаво знаходити застосування ТЕОРІЇ на ПРАКТИЦІ. Тому що дуже часто виникає таке відчуття, що теоретичні знання стоять осторонь життєвої реальності.

Отже, концепція фракталів стає як частиною “чистої” науки, а й елементом загальнолюдської культури. Фрактальна наука ще дуже молода, і її чекає велике майбутнє. Краса фракталів далеко не вичерпана і ще подарує нам чимало шедеврів - тих, що насолоджують око, і тих, що приносять справжню насолоду розуму.

10. Список літератури

Божокін С.В., Паршін Д.А. Фрактали та мультифрактали. РХД 2001 р .

Вітолін Д. Застосування фракталів у машинній графіці. //Computerworld-Росія.-1995

Мандельброт Б. Самоафінні фрактальні множини, «Фрактали у фізиці». М.: Світ 1988

Мандельброт Б. Фрактальна геометрія природи. - М: «Інститут комп'ютерних досліджень», 2002.

Морозов А.Д. Введення у теорію фракталів. Н.Новгород: Вид-во Нижегород. ун-ту 1999 р.

Пайтген Х.-О., Ріхтер П. Х. Краса фракталів. - М: «Світ», 1993.

Інтернет ресурси

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva .narod .ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Фрактали відомі вже майже століття, добре вивчені та мають численні програми у житті. Однак в основі цього явища лежить дуже проста ідея: нескінченна за красою та різноманітністю безліч фігур можна отримати з відносно простих конструкцій за допомогою всього двох операцій – копіювання та масштабування.

Що спільного біля дерева, берега моря, хмари чи кровоносних судин у руці? На перший погляд може здатися, що ці об'єкти ніщо не об'єднує. Однак насправді існує одна властивість структури, притаманна всім перерахованим предметам: вони є самоподібними. Від гілки, як і від стовбура дерева, відходять менші відростки, від них — ще менші, і т. д., тобто гілка подібна до всього дерева. Подібним чином влаштована і кровоносна система: від артерій відходять артеріоли, а від них - дрібні капіляри, за якими кисень надходить в органи і тканини. Подивимося на космічні знімки морського узбережжя: ми побачимо затоки та півострова; глянемо на нього ж, але з висоти пташиного польоту: нам буде видно бухти та миси; тепер уявімо, що ми стоїмо на пляжі і дивимося собі під ноги: завжди знайдуться камінці, які далі видаються у воду, ніж решта. Тобто берегова лінія зі збільшенням масштабу залишається схожою саму себе. Цю властивість об'єктів американський (щоправда, що виріс у Франції) математик Бенуа Мандельброт назвав фрактальністю, а самі такі об'єкти – фракталами (від латинського fractus – зламаний).

У цього поняття немає суворого визначення. Тому слово "фрактал" не є математичним терміном. Зазвичай фрактал називають геометричну фігуру, яка задовольняє одній або декільком з наступних властивостей: Має складну структуру при будь-якому збільшенні масштабу (на відміну від, наприклад, прямої, будь-яка частина якої є найпростішою геометричною фігурою - відрізком). Є (приблизно) самоподібною. Має дробову хаусдорфову (фрактальну) розмірність, яка більше топологічної. Можливо побудована рекурсивними процедурами.

Геометрія та алгебра

Вивчення фракталів на рубежі XIX і XX століть мало швидше епізодичний, ніж систематичний характер, тому що раніше математики в основному вивчали «хороші» об'єкти, які піддавалися дослідженню за допомогою загальних методів та теорій. У 1872 році німецький математик Карл Вейєрштрас будує приклад безперервної функції, яка ніде не диференційована. Однак його побудова була абстрактна і важко для сприйняття. Тому в 1904 році швед Хельге фон Кох вигадав безперервну криву, яка ніде не має дотичної, причому її досить просто намалювати. Виявилося, що вона має властивості фракталу. Один з варіантів цієї кривої зветься «сніжинка Коха».

Ідеї ​​самоподібності фігур підхопив француз Поль П'єр Леві, майбутній наставник Бену Мандельброта. У 1938 році вийшла його стаття «Плоскі та просторові криві та поверхні, що складаються з частин, подібних до цілого», в якій описаний ще один фрактал — С-крива Леві. Всі ці перераховані вище фрактали можна умовно віднести до одного класу конструктивних (геометричних) фракталів.

Інший клас - динамічні (алгебраїчні) фрактали, до яких відноситься і безліч Мандельброта. Перші дослідження у цьому напрямі розпочалися на початку XX століття та пов'язані з іменами французьких математиків Гастона Жуліа та П'єра Фату. У 1918 році вийшов майже двохсотсторінковий мемуар Жуліа, присвячений ітераціям комплексних раціональних функцій, в якому описано безліч Жуліа - ціле сімейство фракталів, близько пов'язаних з безліччю Мандельброта. Ця праця була удостоєна призу Французької академії, проте в ньому не містилося жодної ілюстрації, тому оцінити красу відкритих об'єктів було неможливо. Незважаючи на те, що ця робота прославила Жуліа серед математиків того часу, про неї досить швидко забули. Знову увагу до неї звернулося лише через півстоліття з появою комп'ютерів: саме вони зробили видимими багатство і красу світу фракталів.

Фрактальні розмірності

Як відомо, розмірність (число вимірів) геометричної фігури - це число координат, необхідних для визначення положення точки, що лежить на цій фігурі.
Наприклад, положення точки на кривій визначається однією координатою, на поверхні (не обов'язково площині) двома координатами, у тривимірному просторі трьома координатами.
З більш загальної математичної точки зору, можна визначити розмірність таким чином: збільшення лінійних розмірів, скажімо, вдвічі, для одномірних (з топологічної точки зору) об'єктів (відрізок) призводить до збільшення розміру (довжини) вдвічі, для двовимірних (квадрат) ) таке ж збільшення лінійних розмірів призводить до збільшення розміру (площі) у 4 рази, для тривимірних (куб) – у 8 разів. Тобто «реальну» (т.зв. Хаусдорфову) розмірність можна підрахувати як ставлення логарифму збільшення «розміру» об'єкта до логарифму збільшення його лінійного розміру. Тобто для відрізка D=log(2)/log(2)=1, для площини D=log(4)/log(2)=2, для обсягу D=log(8)/log(2)=3.
Підрахуємо тепер розмірність кривої Коха, для побудови якої одиничний відрізок ділять на три рівні частини та замінюють середній інтервал рівностороннім трикутником без цього сегмента. При збільшенні лінійних розмірів мінімального відрізка втричі довжина кривої Коха зростає у log(4)/log(3)~1,26. Тобто розмірність кривої Коха – дрібна!

Наука та мистецтво

У 1982 році вийшла книга Мандельброта «Фрактальна геометрія природи», в якій автор зібрав і систематизував практично всю інформацію про фрактали, що була на той момент, і в легкій і доступній манері виклав її. Основний наголос у своєму викладі Мандельброт зробив не на важкі формули та математичні конструкції, а на геометричну інтуїцію читачів. Завдяки ілюстраціям, отриманим за допомогою комп'ютера, та історичним байкам, якими автор вправно розбавив наукову складову монографії, книга стала бестселером, а фрактали стали відомі широкому загалу. Їх успіх серед нематематиків багато в чому обумовлений тим, що за допомогою дуже простих конструкцій та формул, які здатний зрозуміти і старшокласник, виходять дивовижні за складністю та красою зображення. Коли персональні комп'ютери стали досить потужними, з'явилося навіть ціле спрямування мистецтва — фрактальний живопис, причому займатися нею міг практично будь-який власник комп'ютера. Зараз в інтернеті можна легко знайти безліч сайтів, присвячених цій темі.

Схема отримання кривої Коха

Війна і мир

Як зазначалося вище, одне із природних об'єктів, мають фрактальні властивості, — це берегова лінія. З ним, а точніше, зі спробою виміряти його довжину, пов'язана одна цікава історія, що лягла в основу наукової статті Мандельброта, а також описана у його книзі «Фрактальна геометрія природи». Йдеться про експеримент, який поставив Льюїс Річардсон — дуже талановитий та ексцентричний математик, фізик та метеоролог. Одним із напрямів його досліджень була спроба знайти математичний опис причин та ймовірності виникнення збройного конфлікту між двома країнами. Серед параметрів, які він враховував, була довжина загального кордону двох ворогуючих країн. Коли він збирав дані для чисельних експериментів, то виявив, що у різних джерелах дані про загальний кордон Іспанії та Португалії дуже відрізняються. Це наштовхнуло його на таке відкриття: довжина кордонів країни залежить від лінійки, якою ми їх вимірюємо. Чим менший масштаб, тим довшим виходить кордон. Це відбувається через те, що при більшому збільшенні стає можливим враховувати нові і нові вигини берега, які раніше ігнорувалися через грубість вимірювань. І якщо при кожному збільшенні масштабу відкриватимуться раніше не враховані вигини ліній, то вийде, що довжина меж нескінченна! Щоправда, насправді цього не відбувається — точність наших вимірювань має кінцеву межу. Цей феномен називається ефектом Річардсона.

Конструктивні (геометричні) фрактали

Алгоритм побудови конструктивного фракталу у випадку такий. Насамперед нам потрібні дві відповідні геометричні фігури, назвемо їх основою та фрагментом. На першому етапі зображується основа майбутнього фракталу. Потім деякі її частини замінюються фрагментом, взятим у відповідному масштабі, це перша ітерація побудови. Потім у отриманої фігури знову деякі частини змінюються на фігури, подібні до фрагмента, і т. д. Якщо продовжити цей процес до нескінченності, то в межі вийде фрактал.

Розглянемо цей процес на прикладі кривої Коха (див. врізання на попередній сторінці). За основу кривої Коха можна взяти будь-яку криву (для «сніжинки Коха» це трикутник). Але ми обмежимося найпростішим випадком – відрізком. Фрагмент - ламана, зображена зверху малюнку. Після першої ітерації алгоритму у разі вихідний відрізок збігається з фрагментом, потім кожен із його відрізків сам заміниться на ламану, подібну фрагменту, тощо. буд. На малюнку показані перші чотири кроки цього процесу.

Мовою математики: динамічні (алгебраїчні) фрактали

Фрактали цього типу виникають щодо нелінійних динамічних систем (звідси й назва). Поведінка такої системи можна описати комплексною нелінійною функцією (багаточленом) f(z). Візьмемо якусь початкову точку z0 на комплексній площині (див. врізання). Тепер розглянемо таку нескінченну послідовність чисел на комплексній площині, кожне наступне з яких виходить із попереднього: z0, z1=f(z0), z2=f(z1), … zn+1=f(zn). Залежно від початкової точки z0 така послідовність може поводитися по-різному: прагнути нескінченності при n -> ∞; сходитися до якоїсь кінцевої точки; циклічно приймати низку фіксованих значень; можливі і складніші варіанти.

Комплексні числа

Комплексне число - це число, що складається з двох частин - дійсною і уявною, тобто формальна сума x + iy (x і y тут - речові числа). i - це т.зв. уявна одиниця, тобто число, що задовольняє рівняння i^ 2 = -1. Над комплексними числами визначено основні математичні операції — додавання, множення, розподіл, віднімання (не визначено лише операцію порівняння). Для відображення комплексних чисел часто використовується геометричне уявлення - на площині (її називають комплексною) по осі абсцис відкладають дійсну частину, а по осі ординат - уявну, при цьому комплексному числу відповідатиме точка з декартовими координатами x та y.

Таким чином, будь-яка точка z комплексної площини має характер поведінки при ітераціях функції f (z), а вся площина ділиться на частини. При цьому точки, що лежать на межах цих частин, мають таку властивість: при будь-якому малому зміщенні характер їх поведінки різко змінюється (такі точки називають точками біфуркації). Так ось, виявляється, що безліч точок, що мають один конкретний тип поведінки, а також безліч біфуркаційних точок часто мають фрактальні властивості. Це і є безліч Жуліа для функції f(z).

Сімейство драконів

Варіюючи основу та фрагмент, можна отримати приголомшливу різноманітність конструктивних фракталів.
Більше того, подібні операції можна робити і в тривимірному просторі. Прикладами об'ємних фракталів можуть бути «губка Менгера», «піраміда Серпінського» та інші.
До конструктивних фракталів відносять і сімейство драконів. Іноді їх називають ім'ям першовідкривачів «драконами Хейвея-Хартера» (своєю формою вони нагадують китайських драконів). Існує кілька способів побудови цієї кривої. Найпростіший і наочний з них такий: потрібно взяти досить довгу смужку паперу (чим тонший папір, тим краще), і зігнути його навпіл. Потім знову зігнути її вдвічі у тому напрямку, що й уперше. Після декількох повторень (зазвичай через п'ять-шість складання смужка стає занадто товстою, щоб її можна було акуратно гнути далі) потрібно розігнути смужку назад, причому намагатися, щоб у місцях згинів утворилися кути в 90˚. Тоді в профіль вийде крива дракона. Зрозуміло, це лише наближення, як і всі наші спроби зобразити фрактальні об'єкти. Комп'ютер дозволяє зобразити набагато більше кроків цього процесу, і в результаті виходить дуже гарна фігура.

Безліч Мандельброта будується трохи інакше. Розглянемо функцію fc(z) = z 2 +с, де c - Комплексне число. Побудуємо послідовність цієї функції з z0=0, залежно від параметра вона може розходитися до нескінченності або залишатися обмеженою. При цьому всі значення с, при яких ця послідовність обмежена, таки утворюють безліч Мандельброта. Воно було детально вивчене самим Мандельбротом та іншими математиками, які відкрили чимало цікавих властивостей цієї множини.

Видно, що визначення множин Жуліа та Мандельброта схожі один на одного. Насправді ці дві множини тісно пов'язані. А саме, безліч Мандельброта - це все значення комплексного параметра c, за яких безліч Жуліа fc (z) складно (множина називається зв'язковим, якщо його не можна розбити на дві частини, що не перетинаються, з деякими додатковими умовами).

Фрактали та життя

У наші дні теорія фракталів знаходить широке застосування у різних галузях людської діяльності. Крім чисто наукового об'єкта для досліджень і вже згадуваного фрактального живопису, фрактали використовуються в теорії інформації для стиснення графічних даних (тут в основному застосовується властивість самоподібності фракталів - адже щоб запам'ятати невеликий фрагмент малюнка і перетворення, за допомогою яких можна отримати інші частини, потрібно набагато менше пам'яті, ніж зберігання всього файла). Додаючи у формули, що задають фрактал, випадкові обурення, можна отримати стохастичні фрактали, які дуже правдоподібно передають деякі реальні об'єкти — елементи рельєфу, поверхня водойм, деякі рослини, що з успіхом застосовується у фізиці, географії та комп'ютерній графіці для досягнення більшої подібності предметів, що моделюються. справжніми. У радіоелектроніці протягом останнього десятиліття почали випускати антени, що мають фрактальну форму. Займаючи мало місця, вони забезпечують якісний прийом сигналу. Економісти використовують фрактали для опису кривих коливань курсів валют (ця властивість була відкрита Мандельбротом понад 30 років тому). На цьому ми завершимо цю невелику екскурсію в дивовижний за красою та різноманітністю світ фракталів.

Найгеніальніші відкриття у науці здатні кардинально змінити людське життя. Винайдена вакцина може врятувати мільйони людей, створення зброї, навпаки, ці життя забирає. Нещодавно (в масштабі людської еволюції) ми навчилися «приборкувати» електрику — і тепер не можемо собі уявити життя без усіх цих зручних пристроїв, які використовують електроенергію. Але є й такі відкриття, яким мало хто надає значення, хоча вони також сильно впливають на наше життя.

Одне з таких «непомітних» відкриттів – фрактали. Вам напевно доводилося чути це слово, що запам'ятовується, але чи знаєте ви, що воно означає і як багато цікавого приховано в цьому терміні?

У кожній людині закладена природна допитливість, прагнення пізнавати навколишній світ. І в цьому прагненні людина намагається дотримуватися логіки у судженнях. Аналізуючи процеси, що відбуваються навколо нього, він намагається знайти логічність того, що відбувається, і вивести деяку закономірність. Найбільші уми на планеті зайняті цим завданням. Грубо кажучи, вчені шукають закономірність там, де її не повинно бути. Проте навіть у хаосі можна знайти зв'язок між подіями. І цей зв'язок — фрактал.

Наша маленька дочка, чотири з половиною роки, зараз перебуває в тому прекрасному віці, коли кількість питань «Чому?» багаторазово перевищує кількість відповідей, які дорослі встигають давати. Нещодавно, розглядаючи підняту з землі гілку, донька раптом помітила, що ця гілка, із сучками та відгалуженнями, сама схожа на дерево. І, звичайно, далі було звичне запитання «Чому?», на яке батькам довелося шукати просте пояснення, зрозуміле дитині.

Виявлена ​​дитиною схожість окремої гілочки з цілим деревом - це дуже точне спостереження, яке вкотре свідчить про принцип рекурсивної самоподібності в природі. Дуже багато органічних і неорганічних форм у природі формуються аналогічно. Хмари, морські раковини, «будиночок» равлика, кора та крона дерев, кровоносна система тощо — випадкові форми всіх цих об'єктів можуть бути описані фрактальним алгоритмом.

⇡ Бенуа Мандельброт: батько фрактальної геометрії

Саме слово «фрактал» з'явилося завдяки геніальному вченому Бену Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).

Він сам вигадав цей термін у сімдесятих роках минулого століття, запозичивши слово fractus з латині, де воно буквально означає «ламаний» або «дроблений». Що це таке? Сьогодні під словом «фрактал» найчастіше прийнято мати на увазі графічне зображення структури, яка у більшому масштабі подібна сама собі.

Математична база для появи теорії фракталів була закладена за багато років до народження Бенуа Мандельброта, проте розвинутись вона змогла лише з появою обчислювальних пристроїв. На початку своєї наукової діяльності Бенуа працював у дослідному центрі компанії IBM. На той час співробітники центру працювали над передачею даних на відстань. У ході досліджень вчені зіштовхнулися з проблемою великих втрат, що виникли через шумові перешкоди. Перед Бенуа стояло складне і дуже важливе завдання зрозуміти, як передбачити виникнення шумових перешкод в електронних схемах, коли статистичний метод виявляється неефективним.

Переглядаючи результати вимірювання шуму, Мандельброт звернув увагу на одну дивну закономірність — графіки шумів у різному масштабі виглядали однаково. Ідентична картина спостерігалася незалежно від того, був це графік шумів за один день, тиждень або годину. Варто змінити масштаб графіка, і картина щоразу повторювалася.

За життя Бенуа Мандельброт неодноразово говорив, що він не займається формулами, а просто грає з картинками. Ця людина мислила дуже образно, а будь-яке завдання алгебри перекладав в область геометрії, де, за його словами, правильна відповідь завжди очевидна.

Не дивно, що саме людина з такою багатою просторовою уявою стала батьком фрактальної геометрії. Адже усвідомлення суті фракталів приходить саме тоді, коли починаєш вивчати малюнки та вдумуватись у сенс дивних візерунків-завихрень.

Фрактальний малюнок не має ідентичних елементів, але має схожість у будь-якому масштабі. Побудувати таке зображення з високим ступенем деталізації вручну раніше було просто неможливо, на це потрібна була величезна кількість обчислень. Наприклад, французький математик П'єр Жозе Луї Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описав цю безліч за сімдесят років до відкриття Бенуа Мандельбротом. Якщо ж говорити про принципи самоподібності, то про них згадувалося ще у працях Лейбніца та Георга Кантора.

Один із перших малюнків фракталу був графічною інтерпретацією безлічі Мандельброта, яка народилася завдяки дослідженням Гастона Моріса Жюліа (Gaston Maurice Julia).

Гастон Жюліа (завжди в масці – травма з Першої світової війни)

Цей французький математик запитав, як виглядатиме безліч, якщо побудувати його на основі простої формули, проітерованої циклом зворотного зв'язку. Якщо пояснити «на пальцях», це означає, що для конкретного числа ми знаходимо за формулою нове значення, після чого підставляємо його знову на формулу і отримуємо ще одне значення. Результат – велика послідовність чисел.

Щоб отримати повне уявлення про таку множину, потрібно зробити величезну кількість обчислень — сотні, тисячі, мільйони. Вручну це було просто неможливо. Але коли у розпорядженні математиків з'явилися потужні обчислювальні пристрої, вони змогли по-новому подивитись формули та висловлювання, які давно викликали інтерес. Мандельброт був першим, хто використав комп'ютер для прорахунку класичного фракталу. Опрацювавши послідовність, що з великої кількості значень, Бенуа переніс результати на графік. Ось що він одержав.

Згодом це зображення було розфарбоване (наприклад, один із способів фарбування кольором — за кількістю ітерацій) і стало одним із найпопулярніших зображень, які були створені людиною.

Як свідчить древнє вислів, приписуване Геракліту Ефесському, «У той самий річку не можна увійти двічі». Воно якнайкраще підходить для трактування геометрії фракталів. Хоч би як детально ми розглядали фрактальне зображення, ми весь час бачитимемо схожий малюнок.

Охочі подивитися, як виглядатиме зображення простору Мандельброта при багаторазовому збільшенні, можуть зробити це, завантаживши анімаційний GIF .

⇡ Лорен Карпентер: мистецтво, створене природою

Теорія фракталів швидко знайшла практичне застосування. Оскільки вона тісно пов'язана з візуалізацією самоподібних образів, не дивно, що першими, хто взяв на озброєння алгоритми та принципи побудови незвичайних форм, були художники.

Майбутній співзасновник легендарної студії Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) у 1967 році почав працювати у компанії Boeing Computer Services, яка була одним із підрозділів відомої корпорації, що займається розробкою нових літаків.

У 1977 році він створював презентації з прототипами моделей, що літають. В обов'язки Лорена входила розробка зображень літаків, що проектуються. Він мав створювати картинки нових моделей, показуючи майбутні літаки з різних боків. Якоїсь миті на думку майбутньому засновнику Pixar Animation Studios спала на думку креативна ідея використовувати як тло зображення гір. Сьогодні таке завдання може вирішити будь-який школяр, але наприкінці сімдесятих років минулого століття комп'ютери не могли впоратися з такими складними обчисленнями — графічних редакторів не було, не кажучи вже про програми для тривимірної графіки. 1978 року Лорен випадково побачив у магазині книгу Бенуа Мандельброта «Фрактали: форма, випадковість і розмірність». У цій книзі його увагу привернуло те, що Бенуа наводив безліч прикладів фрактальних форм у реальному житті і доводив, що їх можна описати математичним виразом.

Така аналогія була обрана математиком невипадково. Справа в тому, що як він оприлюднив свої дослідження, йому довелося зіткнутися з цілим шквалом критики. Головне, чим дорікали його колеги, — марність теорії, що розробляється. «Так, - говорили вони, - це гарні картинки, але не більше. Практичної цінності теорія фракталів немає». Були також ті, хто взагалі вважав, що фрактальні візерунки є просто побічним результатом роботи «диявольських машин», які наприкінці сімдесятих багатьом здавались чимось надто складним і невивченим, щоб повністю їм довіряти. Мандельброт намагався знайти очевидне застосування теорії фракталів, але, за великим рахунком, йому не потрібно було це робити. Послідовники Бенуа Мандельброта в наступні 25 років довели величезну користь від подібного «математичного курйозу», і Лорен Карпентер був одним із перших, хто випробував метод фракталів на практиці.

Проштудувавши книжку, майбутній аніматор серйозно вивчив принципи фрактальної геометрії та почав шукати спосіб реалізувати її у комп'ютерній графіці. За три дні роботи Лорен зміг візуалізувати реалістичне зображення гірської системи на своєму комп'ютері. Іншими словами, він за допомогою формул намалював відомий гірський пейзаж.

Принцип, який використовував Лорен для досягнення мети, був дуже простим. Він полягав у тому, щоб розділяти більшу геометричну фігуру на дрібні елементи, а ті, у свою чергу, ділити на аналогічні фігури меншого розміру.

Використовуючи більші трикутники, Карпентер дробив їх на чотири дрібні і потім повторював цю процедуру знову і знову, поки в нього не виходив реалістичний гірський ландшафт. Таким чином, йому вдалося стати першим художником, який застосував у комп'ютерній графіці фрактальний алгоритм для побудови зображень. Щойно стало відомо про виконану роботу, ентузіасти у всьому світі підхопили цю ідею і стали використовувати фрактальний алгоритм для імітації реалістичних природних форм.

Одна з перших візуалізацій 3D за фрактальним алгоритмом

Всього через кілька років свої напрацювання Лорен Карпентер зміг застосувати в більш масштабному проекті. Аніматор створив на їх основі двохвилинний демонстраційний ролик Vol Libre, який був показаний на Siggraph у 1980 році. Це відео приголомшило всіх, хто його бачив, і Лоурен отримав запрошення від Lucasfilm.

Анімація рендерілася на комп'ютері VAX-11/780 від Digital Equipment Corporation з тактовою частотою п'ять мегагерц, причому промальовування кожного кадру займало близько півгодини.

Працюючи для Lucasfilm Limited, аніматор створював за тією самою схемою тривимірні ландшафти для другого повнометражного фільму саги Star Trek. У фільмі «Гнів Хана» (The Wrath of Khan) Карпентер зміг створити цілу планету, використовуючи той самий принцип фрактального моделювання поверхні.

В даний час всі популярні програми для створення тривимірних ландшафтів використовують аналогічний принцип створення природних об'єктів. Terragen, Bryce, Vue та інші тривимірні редактори покладаються на фрактальний алгоритм моделювання поверхонь та текстур.

⇡ Фрактальні антени: краще менше, та краще

За останні півстоліття життя стрімко почало змінюватися. Більшість із нас приймає досягнення сучасних технологій як належне. До всього, що робить життя комфортнішим, звикаєш дуже швидко. Рідко хто запитує «Звідки це взялося?» і "Як воно працює?". Мікрохвильова піч розігріває сніданок - та й чудово, смартфон дає можливість поговорити з іншою людиною - чудово. Це нам здається очевидною можливістю.

Але життя могло б бути зовсім іншим, якби людина не шукала пояснення подій, що відбуваються. Взяти, наприклад, мобільні телефони. Помнете висувні антени на перших моделях? Вони заважали, збільшували розміри пристрою, зрештою часто ламалися. Вважаємо, вони назавжди канули в Лету, і частково винні тому... фрактали.

Фрактальні малюнки зачаровують своїми візерунками. Вони безперечно нагадують зображення космічних об'єктів — туманностей, скупчення галактик тощо. Тому цілком закономірно, що коли Мандельброт озвучив свою теорію фракталів, його дослідження викликали підвищений інтерес у тих, хто займався вивченням астрономії. Один з таких любителів на ім'я Натан Коен після відвідування лекції Бенуа Мандельброта в Будапешті загорівся ідеєю практичного застосування отриманих знань. Щоправда, зробив він інтуїтивно, і не останню роль у його відкритті зіграв випадок. Будучи радіоаматором, Натан прагнув створити антену, що має якомога вищу чутливість.

Єдиний спосіб покращити параметри антени, який був відомий на той час, полягав у збільшенні її геометричних розмірів. Проте власник житла у центрі Бостона, який орендував Натан, був категорично проти встановлення великих пристроїв на даху. Тоді Натан став експериментувати з різними формами антен, намагаючись отримати максимальний результат за мінімальних розмірів. Зайнявшись ідеєю фрактальних форм, Коен, що називається, навмання зробив з дроту один з найвідоміших фракталів — «сніжинку Коха». Шведський математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) вигадав цю криву ще 1904 року. Вона виходить шляхом розподілу відрізка на три частини та заміщення середнього сегмента рівностороннім трикутником без сторони, що збігається з цим сегментом. Визначення трохи складне сприйняття, але малюнку все ясно і просто.

Існують також інші різновиди «кривої Коха», але зразкова форма кривої залишається схожою

Коли Натан підключив антену до пристрою, він був дуже здивований - чутливість різко збільшилася. Після серії експериментів майбутній професор університету Бостона зрозумів, що антена, зроблена за фрактальним малюнком, має високий ККД і покриває набагато ширший частотний діапазон порівняно з класичними рішеннями. Крім того, форма антени у вигляді кривої фрактал дозволяє істотно зменшити геометричні розміри. Натан Коен навіть вивів теорему, що доводить, що для створення широкосмугової антени достатньо надати їй форму самоподібної фрактальної кривої.

Автор запатентував своє відкриття і заснував фірму з розробки та проектування фрактальних антен Fractal Antenna Systems, справедливо вважаючи, що в майбутньому завдяки його відкриття стільникові телефони зможуть позбутися громіздких антен і стануть компактнішими.

У принципі так і сталося. Щоправда, і досі Натан веде судову тяганину з великими корпораціями, які незаконно використовують його відкриття для компактних пристроїв зв'язку. Деякі відомі виробники мобільних пристроїв, як Motorola, вже дійшли мирної угоди з винахідником фрактальної антени.

⇡ Фрактальні виміри: розумом не зрозуміти

Це питання Бенуа запозичив від знаменитого американського вченого Едварда Каснера.

Останній, як і багато інших відомих математиків, дуже любив спілкуватися з дітьми, ставлячи їм питання і одержуючи несподівані відповіді. Іноді це призводило до надзвичайних наслідків. Так, наприклад, дев'ятирічний племінник Едварда Каснера вигадав добре всім відоме тепер слово «гугол», що позначає одиницю зі ста нулями. Але повернемося до фракталів. Американський математик любив ставити питання, якою є довжина берегової лінії США. Вислухавши думку співрозмовника, Едвард сам говорив правильну відповідь. Якщо виміряти довжину по карті ламаними відрізками, то результат виявиться неточним, адже берегова лінія має велику кількість нерівностей. А що буде, якщо виміряти максимально точно? Доведеться враховувати довжину кожної нерівності - потрібно буде вимірювати кожен мис, кожну бухту, скелю, довжину скелястого уступу, каменю на ній, піщинки, атома і таке інше. Оскільки число нерівностей прагне нескінченності, виміряна довжина берегової лінії при вимірі кожної нової нерівності збільшуватиметься до нескінченності.

Чим менше міра при вимірі, тим більша довжина, що вимірюється

Цікаво, що, слідуючи підказкам Едварда, діти набагато швидше за дорослих говорили правильне рішення, тоді як останні мали проблеми з прийняттям такої неймовірної відповіді.

На прикладі цього завдання Мандельброт запропонував використати новий підхід до вимірів. Оскільки берегова лінія близька до фрактальної кривої, отже, до неї можна застосувати параметр, що характеризує — так звану фрактальну розмірність.

Що таке нормальна розмірність — зрозуміло будь-кому. Якщо розмірність дорівнює одиниці, ми отримуємо пряму, якщо дві — плоску фігуру, три — об'єм. Однак таке розуміння розмірності в математиці не спрацьовує з фрактальними кривими, де цей параметр має дрібне значення. Фрактальну розмірність у математиці можна умовно як «нерівність». Чим вище нерівність кривої, тим більша її фрактальна розмірність. Крива, що має, за Мандельбротом, фрактальною розмірністю вище за її топологічну розмірність, має апроксимовану протяжність, яка не залежить від кількості вимірювань.

В даний час вчені знаходять все більше областей для застосування теорії фракталів. За допомогою фракталів можна аналізувати коливання котирувань на біржі, досліджувати різні природні процеси, як, наприклад, коливання чисельності видів, або моделювати динаміку потоків. Фрактальні алгоритми можуть бути використані для стиснення даних, наприклад, для компресії зображень. І, до речі, щоб отримати на екрані свого комп'ютера гарний фрактал, не обов'язково мати докторський ступінь.

⇡ Фрактал у браузері

Мабуть, один із найпростіших способів отримати фрактальний візерунок — скористатися векторним векторним редактором від молодого талановитого програміста Toby Schachman. В основі інструментарію цього простого графічного редактора лежить той самий принцип самоподібності.

У вашому розпорядженні є лише дві найпростіші форми – чотирикутник та коло. Ви можете додавати їх на полотно, масштабувати (щоб масштабувати вздовж однієї з осей, утримуйте клавішу Shift) та обертати. Перекриваючись за принципом булевих операцій додавання, ці найпростіші елементи утворюють нові, менш тривіальні форми. Далі ці нові форми можна додавати в проект, а програма повторюватиме генерування цих зображень до нескінченності. На будь-якому етапі роботи над фракталом можна повертатися до будь-якої складової складної форми та редагувати її положення та геометрію. Захоплююче заняття, якщо врахувати, що єдиний інструмент, який вам потрібен для творчості, — браузер. Якщо вам буде незрозумілий принцип роботи з цим рекурсивним векторним редактором, радимо вам переглянути відео на офіційному сайті проекту, де детально показується весь процес створення фракталу.

⇡ XaoS: фрактали на будь-який смак

Багато графічних редакторів мають вбудовані засоби для створення фрактальних візерунків. Однак ці інструменти зазвичай є другорядними і не дозволяють виконати тонке налаштування фрактального візерунка, що генерується. У тих випадках, коли необхідно побудувати математично точний фрактал, на допомогу прийде кросплатформовий редактор XaoS. Ця програма дає можливість не лише будувати самоподібне зображення, а й виконувати з ним різноманітні маніпуляції. Наприклад, у режимі реального часу ви можете здійснити «прогулянку» фракталом, змінивши його масштаб. Анімований рух уздовж фракталу можна зберегти як файл XAF і потім відтворити в самій програмі.

XaoS може завантажувати випадковий набір параметрів, а також використовувати різні фільтри постобробки зображення – додавати ефект змазаного руху, згладжувати різкі переходи між точками фракталу, імітувати 3D-картинку тощо.

⇡ Fractal Zoomer: компактний фрактальний генератор

Порівняно з іншими генераторами зображень фрактал має кілька переваг. По-перше, він невеликий за розміром і не вимагає установки. По-друге, у ньому реалізовано можливість визначати колірну палітру малюнка. Ви можете вибирати відтінки у колірних моделях RGB, CMYK, HVS та HSL.

Також дуже зручно використовувати опцію випадкового підбору колірних відтінків та функцію інвертування всіх кольорів на картинці. Для налаштування кольору є функція циклічного перебору відтінків - при включенні відповідного режиму програма анімує зображення, циклічно змінюючи кольори.

Fractal Zoomer може візуалізувати 85 різних фрактальних функцій, причому у меню програми наочно показуються формули. Фільтри для обробки зображення в програмі є, хоча і в невеликій кількості. Кожен призначений фільтр можна будь-якої миті скасувати.

⇡ Mandelbulb3D: редактор тривимірних фракталів

Коли вживається термін «фрактал», найчастіше мається на увазі плоске двовимірне зображення. Однак фрактальна геометрія виходить за межі 2D-вимірювання. У природі можна знайти як приклади плоских фрактальних форм, скажімо, геометрію блискавки, і тривимірні об'ємні фігури. Фрактальні поверхні можуть бути тривимірними, і одна з наочних ілюстрацій 3D-фракталів у повсякденному житті — качан капусти. Напевно, найкраще фрактали можна розглянути у сорті романеско – гібриді цвітної капусти та броколі.

А ще цей фрактал можна з'їсти

Створювати тривимірні об'єкти зі схожою формою вміє програма Mandelbulb3D. Щоб отримати тривимірну поверхню з використанням фрактального алгоритму, автори даної програми, Деніел Уайт (Daniel White) і Пол Ніландер (Paul Nylander), перетворили безліч Мандельброта на сферичні координати. Створена ними програма Mandelbulb3D є справжнісіньким тривимірним редактором, який моделює фрактальні поверхні різних форм. Оскільки в природі ми часто спостерігаємо фрактальні візерунки, то штучно створений тривимірний фрактальний об'єкт здається неймовірно реалістичним і навіть «живим».

Він може бути схожим на рослину, може нагадувати дивну тварину, планету або щось інше. Цей ефект посилюється завдяки просунутому алгоритму візуалізації, що дає можливість отримувати реалістичні відображення, прораховувати прозорість та тіні, імітувати ефект глибини різкості тощо. У Mandelbulb3D є безліч настройок і параметрів візуалізації. Можна керувати відтінками джерел світла, вибирати фон і рівень деталізації об'єкта, що моделюється.

Фрактальний редактор Incendia підтримує подвійне згладжування зображення, містить бібліотеку із півсотні різних тривимірних фракталів та має окремий модуль для редагування базових форм.

Програма використовує фрактальний скриптинг, за допомогою якого можна самостійно описувати нові типи фрактальних конструкцій. У Incendia є редактори текстур та матеріалів, а двигун візуалізації дозволяє використовувати ефекти об'ємного туману та різні шейдери. У програмі реалізована опція збереження буфера при тривалому рендерингу, підтримується створення анімації.

Incendia дозволяє експортувати фрактальну модель у популярні формати тривимірної графіки – OBJ та STL. До складу Incendia включено невелику утиліту Geometrica — спеціальний інструмент для налаштування експорту фрактальної поверхні в тривимірну модель. За допомогою цієї утиліти можна визначати роздільну здатність 3D-поверхні, вказувати кількість фрактальних ітерацій. Експортовані моделі можуть бути використані в 3D-проектах під час роботи з такими тривимірними редакторами, як Blender, 3ds max та інші.

Останнім часом робота над проектом Incendia дещо загальмувалась. На даний момент автор шукає спонсорів, які б допомогли йому розвивати програму.

Якщо вам не вистачає фантазії намалювати у цій програмі гарний тривимірний фрактал – не біда. Скористайтеся бібліотекою параметрів, що міститься в папці INCENDIA_EX\parameters. За допомогою файлів PAR ви зможете швидко знайти найнезвичайніші фрактальні форми, у тому числі і анімовані.

⇡ Aural: як співають фрактали

Ми зазвичай не розповідаємо про проекти, робота над якими тільки ведеться, проте в даному випадку ми повинні зробити виняток, надто вже це незвичайне додаток. Проект під назвою Aural вигадав той самий чоловік, що й Incendia. Щоправда, цього разу програма не візуалізує фрактальну множину, а озвучує її, перетворюючи на електронну музику. Ідея дуже цікава, особливо якщо зважити на незвичайні властивості фракталів. Aural - це аудіоредактор, що генерує мелодії з використанням фрактальних алгоритмів, тобто це звуковий синтезатор-секвенсор.

Послідовність звуків, що видається цією програмою, незвичайна і красива. Вона цілком може стати в нагоді для написання сучасних ритмів і, як нам здається, особливо добре підходить для створення звукових доріжок до заставок телевізійних і радіопередач, а також «зашморг» фонової музики до комп'ютерних ігор. Раміро поки що не надав демонстраційної версії своєї програми, але обіцяє, що коли він це зробить, для того, щоб працювати з Aural, не потрібно буде вивчати теорію фракталів — досить просто погратись із параметрами алгоритму генерування послідовності нот. Послухати, як звучать фрактали, та .

Фрактали: музична пауза

Загалом фрактали можуть допомогти написати музику навіть без програмного забезпечення. Але це може зробити тільки той, хто по-справжньому перейде ідеєю природної гармонії і при цьому не перетворився на нещасного «ботана». Тут є сенс брати приклад із музиканта на ім'я Джонатан Колтон (Jonathan Coulton), який, крім іншого, пише композиції для журналу Popular Science. І не приклад іншим виконавцям, Колтон усі свої твори публікує під ліцензією Creative Commons Attribution-Noncommercial, яка (при використанні з некомерційною метою) передбачає вільне копіювання, розповсюдження, передачу твору іншим особам, а також його зміну (створення похідних твору), щоб пристосувати його до своїх завдань.

У Джонатана Колтона, звичайно, є пісня про фрактали.

⇡ Висновок

У всьому, що нас оточує, часто бачимо хаос, але насправді це не випадковість, а ідеальна форма, розглянути яку нам допомагають фрактали. Природа - найкращий архітектор, ідеальний будівельник та інженер. Вона влаштована дуже логічно, і якщо ми не бачимо закономірності, це означає, що її потрібно шукати в іншому масштабі. Люди все краще і краще це розуміють, намагаючись багато в чому наслідувати природні форми. Інженери проектують акустичні системи у вигляді раковини, створюють антени з геометрією сніжинок тощо. Упевнені, що фрактали зберігають у собі ще чимало секретів, і багато хто з них людині ще належить відкрити.

Ми вже писали про те, як абстрактна математична теорія хаосу знайшла застосування в різних науках – від фізики до економіки та політології. Зараз ми наведемо ще один подібний приклад – теорію фракталів. Суворого визначення поняття «фрактал» немає навіть у математиці. Щось там таке вони, звісно, ​​кажуть. Але «простій людині» цього не зрозуміти. Як вам, наприклад, така фраза: «Фрактал – це безліч, що має дробову хаусдорфову розмірність, яка більша за топологічну». Проте вони, фрактали, оточують нас і допомагають зрозуміти багато явищ з різних сфер життя.

З чого все почалося

Фракталами довго ніхто, крім професійних математиків, не цікавився. До появи комп'ютерів та відповідного софту. Все змінилося у 1982 році, коли у світ вийшла книга Бенуа Мандельброта «Фрактальна геометрія природи». Ця книга стала бестселером, не стільки через простий і зрозумілий виклад матеріалу (хоча це твердження дуже відносно – людина, яка не має професійної математичної освіти в ній нічого не зрозуміє), скільки через наведені комп'ютерні ілюстрації фракталів, які справді зачаровують. Давайте подивимося на ці малюнки. Вони, правда, того варті.

І таких картинок безліч. Але яка ця пишність має відношення до нашого реального життя і до того, що оточує нас у природі та повсякденному світі? Виявляється, найпряміше.

Але спочатку скажемо кілька слів про самі фрактали, як геометричні об'єкти.

Що таке фрактал, якщо говорити по-простому

Перше. Як вони, фрактали, будуються. Це досить складна процедура, що використовує спеціальні перетворення на комплексній площині (що це таке знати не треба). Важливо лише те, що це перетворення є повторюваними (відбуваються, як у математиці, итерациями). Ось у результаті цього повторення і виникають фрактали (ті, що ви бачили вище).

Друге. Фрактал є самоподібною (точно чи приблизно) структурою. Це означає таке. Якщо ви піднесете до будь-якої з представлених картинок мікроскоп, що збільшує зображення, наприклад, у 100 разів, і подивіться на фрагмент шматочка фракталу, що потрапив в окуляр, то ви виявите, що він ідентичний вихідному зображенню. Якщо ви візьмете сильніший мікроскоп, що збільшує зображення в 1000 разів, то ви виявите, що шматочок фрагмента попереднього зображення, що потрапив в окуляр, має ту ж саму або дуже схожу структуру.

З цього випливає дуже важливий для подальшого висновок. Фрактал має дуже складну структуру, яка повторюється у різних масштабах. Але чим більше ми забираємось углиб його пристрою, тим складніше він стає загалом. І кількісні оцінки властивостей первісного малюнку можуть починати змінюватися.

Ось тепер ми залишимо абстрактну математику і перейдемо до навколишніх речей - таким, здавалося б, простим і зрозумілим.

Фрактальні об'єкти у природі

Берегова лінія

Уявіть собі, що ви з навколоземної орбіти фотографуєте острів, наприклад Британію. Ви отримаєте таке саме зображення, як на географічній карті. Плавне обрис берегів, з усіх боків – море.

Дізнатися протяжність берегової лінії дуже легко. Візьміть звичайну нитку та акуратно викладіть її на межі острова. Потім, виміряйте її довжину в сантиметрах і, отримане число, множте на масштаб карти - в одному сантиметрі скільки там кілометрів. Ось результат.

А тепер такий експеримент. Ви летите літаком на висоті пташиного польоту і фотографуєте берегову лінію. Виходить картина, схожа на фотографії із супутника. Але ця берегова лінія виявляється порізаною. На ваших знімках з'являються невеликі бухти, затоки, що у море фрагменти суші. Все це відповідає дійсності, але не могло бути побаченим із супутника. Структура берегової смуги ускладнюється.

Припустимо, прилетівши додому, ви на підставі своїх знімків зробили докладну карту берегової лінії. І вирішили виміряти її довжину за допомогою тієї самої нитки, виклавши її строго за отриманими вами новими даними. Нове значення довжини берегової лінії перевищить старе. І суттєво. Інтуїтивно це зрозуміло. Адже тепер ваша нитка має огинати береги всіх заток і бухт, а не просто проходити узбережжям.

Зауважте. Ми зменшили масштаб, і все стало набагато складніше та заплутаніше. Як у фракталів.

А тепер іще одна ітерація. Ви йдете тим же узбережжям пішки. І фіксуєте рельєф берегової лінії. З'ясовується, що береги заток та бухт, які ви знімали з літака, зовсім не такі гладкі та прості, як вам здавалося на ваших знімках. Вони мають складну структуру. І, таким чином, якщо ви нанесете на карту цю «пішохідну» берегову лінію, довжина її зросте ще більше.

Так, нескінченностей у природі не буває. Але цілком зрозуміло, що берегова лінія – це типовий фрактал. Вона залишається собі подібною, але її структура стає все більш складною при найближчому розгляді (згадайте про приклад з мікроскопом).

Це справді дивовижне явище. Ми звикли до того, що будь-який обмежений за розмірами геометричний об'єкт на площині (квадрат, трикутник, коло) має фіксовану та кінцеву довжину своїх меж. А тут усе інакше. Довжина берегової лінії межі виявляється нескінченною.

Дерево

А ось уявімо собі дерево. Звичайне дерево. Якусь розлогу липу. Подивимося на її стовбур. Біля кореня. Він є такий злегка деформований циліндр. Тобто. має дуже просту форму.

Піднімемо очі вище. Від ствола починають виходити гілки. Кожна гілка, на своєму початку, має таку ж структуру, як стовбур – циліндричну, з погляду геометрії. Але структура дерева змінилася. Вона стала набагато складнішою.

А тепер подивимося на ці гілки. Від них відходять дрібніші гілки. У свого підстави вони мають ту ж трохи деформовану циліндричну форму. Як той же ствол. А потім і від них відходять куди дрібніші гілки. І так далі.

Дерево відтворює себе, кожному рівні. У цьому його структура постійно ускладнюється, але залишається подібною. Чи це не фрактал?

Кровообіг

А ось кровоносна система людини. Вона також має фрактальну структуру. Є артерії та вени. За одними з них кров підходить до серця (вени), за іншими надходить від нього (артерії). А далі, кровоносна система починає нагадувати те саме дерево, про яке ми говорили вище. Судини, зберігаючи свою будову, стають все більш тонкими та розгалуженими. Вони проникають у найвіддаленіші ділянки нашого тіла, доносять кисень та інші життєво важливі компоненти до кожної клітини. Це типова фрактальна структура, яка відтворює саму себе все більш і більш дрібних масштабах.

Стоки річки

«З далекого часу тече річка Волга». На географічній карті це така блакитна звивиста лінія. Ну, притоки великі позначені. Ока, Кама. А якщо ми зменшимо масштаб? З'ясується, що приток цих набагато більше. Не тільки у самої Волги, а й у Оки та Ками. А у них є і свої притоки, тільки дрібніші. А у тих – свої. Виникає структура, напрочуд схожа на кровоносну систему людини. І знову постає питання. Яка довжина всієї цієї водної системи? Якщо вимірювати довжину лише основного русла – все зрозуміло. У будь-якому підручнику можна прочитати. А якщо все виміряти? Знову межі нескінченність виходить.

Наш Всесвіт

Звичайно, в масштабах мільярдів світлових років, він, Всесвіт, влаштований однорідно. Але давайте подивимося на неї ближче. І тоді ми побачимо, що жодної однорідності у ній немає. Десь розташовані галактики (зоряні скупчення), десь – порожнеча. Чому? Чому розподіл матерії підпорядковується іррегулярним ієрархічним законам. А що відбувається всередині галактик (ще одне зменшення масштабу). Десь зірок більше, десь менше. Десь існують планетні системи, як у нашій Сонячній, а десь – ні.

Чи не проявляється тут фрактальна сутність світу? Зараз, звичайно, існує величезний розрив між загальною теорією відносності, яка пояснює виникнення нашого Всесвіту та його устроєм, та фрактальної математикою. Але хто знає? Можливо, це все колись буде приведено до «спільного знаменника», і ми подивимося на навколишній космос зовсім іншими очима.

До практичних справ

Подібних прикладів можна наводити багато. Але давайте повернемося до більш прозових речей. Ось наприклад економіка. Здавалося б, до чого тут фрактали. Виявляється, дуже навіть до чого. Приклад цього – фондові ринки.

Практика показує, що економічні процеси мають часто хаотичний, непередбачуваний характер. Існуючі до сьогодні математичні моделі, які намагалися ці процеси описувати, не враховували одного дуже важливого фактора – здатність ринку до самоорганізації.

Ось тут на допомогу і приходить теорія фракталів, які мають властивості "самоорганізації", відтворюючи себе на рівні різних масштабів. Звичайно, фрактал є суто математичним об'єктом. І в природі та й в економіці їх не існує. Але є поняття фрактальних явищ. Вони є фракталами лише у статистичному сенсі. Проте симбіоз фрактальної математики та статистики дозволяє отримати досить точні та адекватні прогнози. Особливо ефективним цей підхід виявляється під час аналізу фондових ринків. І це не «вигадки» математиків. Експертні дані показують, що багато учасників фондових ринків витрачають чималі гроші на оплату фахівців у галузі фрактальної математики.

Що ж дає теорія фракталів? Вона постулює загальну, глобальну залежність ціноутворення від того, що було у минулому. Звичайно, локально процес ціноутворення випадковий. Але випадкові стрибки та падіння цін, які можуть відбуватися миттєво, мають особливість збиратися у кластери. Які відтворюються у великих масштабах часу. Тому, аналізуючи те, що було колись, ми можемо прогнозувати, як довго триватиме та чи інша тенденція розвитку ринку (зростання чи падіння).

Таким чином, у глобальному масштабі той чи інший ринок відтворює сам себе. Допускаючи випадкові флуктуації, спричинені масою зовнішніх факторів, у кожний момент часу. Але світові тенденції зберігаються.

Висновок

Чому світ улаштований за фрактальним принципом? Відповідь, можливо, полягає в тому, що фрактали, як математична модель, мають властивість самоорганізації та самоподібності. При цьому кожна їх форма (див. наведені на початку статті картинки) як завгодно складна, але живе своїм власним життям, розвиваючи собі подібні форми. Чи не так і наш світ улаштований?

А от суспільство. З'являється якась ідея. Спочатку досить абстрактна. А потім «проникає у маси». Та якось трансформується. Але загалом зберігається. І перетворюється на рівні більшості людей в цільовказівку життєвого шляху. Ось той самий СРСР. Прийняв черговий з'їзд КПРС чергові епохальні рішення, і все це пішло вниз. У більш дрібні масштаби. Горкоми, парткоми. І так до кожної людини. Структура, що повторюється.

Звісно, ​​теорія фракталів не дозволяє нам прогнозувати майбутні події. А це навряд чи можливо. Але на багато те, що нас оточує, і що відбувається в нашому повсякденному житті, дозволяє дивитися зовсім іншими очима. Усвідомленими.

Натрапив тут на згадку "Теорії фракталів" у серіалі "Єремія" і зацікавився цією досить витонченою теорією, яку сучасні метафізики застосовують для доказу існування Бога. Теорія фракталів має невеликий вік. Вона з'явилася наприкінці шістдесятих років на стику математики, інформатики, лінгвістики та біології. Тоді комп'ютери дедалі більше проникали життя людей, вчені починали застосовувати їх у своїх дослідженнях, зростала кількість користувачів обчислювальних машин. Для масового використання комп'ютерів необхідно полегшити процес спілкування людини з машиною. Якщо на самому початку комп'ютерної ери нечисленні програмісти-користувачі самовіддано вводили команди в машинних кодах і отримували результати у вигляді нескінченних стрічок паперу, то при масовому та завантаженому режимі використання комп'ютерів виникла необхідність у винаході такої мови програмування, яка була б зрозуміла для машини, і в водночас, був би простий у вивченні та застосуванні. Тобто користувачеві потрібно було ввести тільки одну команду, а комп'ютер розклав її на простіші, і виконав би їх. Щоб полегшити написання трансляторів, на стику інформатики та лінгвістики виникла теорія фракталів, що дає змогу суворо ставити взаємини між алгоритмічними мовами. А датський математик і біолог А. Лінденмеєр вигадав у 1968 році одну таку граматику, названу ним L-системою, яка, як він вважав, моделює також зростання живих організмів, особливо утворення кущів та гілок у рослин.

Фрактал (лат. fractus — дроблений, зламаний, розбитий) — складна геометрична фігура, що має властивість самоподібності, тобто складена з кількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком. У більш широкому сенсі під фракталами розуміють безліч точок в евклідовому просторі, що мають дробову метричну розмірність (у сенсі Мінковського або Хаусдорфа), або метричну розмірність, строго велику топологічної. Фрактальна форма підвиду цвітної капусти (Brassica cauliflora). Фрактал - це нескінченно самоподібна геометрична фігура, кожен фрагмент якої повторюється при зменшенні масштабу.

Батьком фракталів можна вважати Бенуа Мандельброта. Мандельброт є винахідником терміну "фрактал". Мандельброт
писав: « Я вигадав слово «фрактал», взявши за основу прикметник латинське «fractus», що означає нерегулярний, рекурсивний,
фрагментний». Перше визначення фракталів також дав Б. Мандельброт. На малюнку якраз класична модель фракталу – безліч Мандельброта.

Якщо висловлювати примтивно, то теорія фракталу - це здатність хаотичних структур самоорганізуватися в систему. Атрактор (англ. attract - залучати, притягувати) - безліч станів (точніше - точок фазового простору) динамічної системи, якого вона прагне з часом. Найбільш простими варіантами атрактора є притягує нерухома точка (наприклад, в задачі про маятник з тертям) і періодична траєкторія (приклад - самозбуджуючі коливання в контурі з позитивним зворотним зв'язком), проте бувають і значно складніші приклади. Деякі динамічні системи є хаотичними завжди, але у більшості випадків хаотична поведінка спостерігається лише в тих випадках, коли параметри динамічної системи належать до певного спеціального підпростору.

Найцікавіші випадки хаотичного поведінки, коли великий набір початкових умов призводить до зміни на орбітах аттрактора. Простий спосіб продемонструвати хаотичний атрактор - це почати з точки в районі тяжіння атрактора і потім скласти графік наступної орбіти. Через стан топологічної транзитивності це схоже на відображення картини повного кінцевого атрактора. Наприклад, в системі описує маятник - простір двовимірний і складається з даних про положення та швидкості. Можна скласти графік положень маятника та його швидкості. Положення маятника у спокої буде крапкою, а один період коливань виглядатиме на графіку як проста замкнута крива. Графік у формі замкнутої кривої називають орбітою. Маятник має нескінченну кількість таких орбіт, формуючи на вигляд сукупність вкладених еліпсів.

Більшість типів руху описується простими атракторами, які є обмеженими циклами. Хаотичний рух описується дивними атракторами, які дуже складні та мають багато параметрів. Наприклад, проста тривимірна система погоди описується відомим атрактором Лоренца (Lorenz) - однією з найвідоміших діаграм хаотичних систем, не тільки тому, що вона була однією з перших, але і тому, що вона одна з найскладніших. Іншим таким атрактором є відображення Рёслера (Rössler), яка має подвійний період, подібно до логістичного відображення. Дивні атрактори з'являються в обох системах, і в безперервних динамічних (типу системи Лоренца) і деяких дискретних (наприклад відображення Хенона (Hénon)). Деякі дискретні динамічні системи названі системами Жулі за походженням. І дивні атрактори та системи Жуліа мають типову рекурсивну, фрактальну структуру. Теорема Пуанкаре-Бендиксона доводить, що дивний атрактор може виникнути у безперервній динамічній системі, лише якщо вона має три або більше вимірів. Однак це обмеження не працює для дискретних динамічних систем. Дискретні дво- і навіть одновимірні системи можуть мати дивні атрактори. Рух трьох або більшої кількості тіл, що зазнають гравітаційного тяжіння за деяких початкових умов, може виявитися хаотичним рухом.

Так ось, властивість хаотичних систем самоорганізовуватися за допомогою неправильних атракторів, на думку деяких математиків, і є недоказним доказом існування Бога та Його енергії творіння всього сущого. Загадка!