Існує рішення для теореми ферма. Чи доведена Велика теорема Ферма? Як пов'язані гіпотеза Таніями та теорема Ферма

П'єр Ферма, читаючи «Арифметику» Діофанта Олександрійського і розмірковуючи над її завданнями, мав звичку записувати на полях книги результати своїх роздумів як коротких зауважень. Проти восьмого завдання Діофанта на полях книги, Ферма записав: « Навпаки, неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрати, і, взагалі, ніякий ступінь, більший за квадрат на два ступені з тим самим показником. Я відкрив цьому справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі» / Е.Т.Белл "Творці математики". М., 1979, стор.69/. Пропоную до Вашої уваги елементарний доказ теореми ферма, який може зрозуміти будь-який старшокласник, який захоплюється математикою.

Порівняємо коментар Ферма до завдання Діофанта із сучасним формулюванням великої теореми Ферма, що має вигляд рівняння.
« Рівняння

x n + y n = z n(де n - ціле число більше двох)

не має рішень у цілих позитивних числах»

Коментар перебуває із завданням у логічному зв'язку, аналогічному логічному зв'язку присудка з підлягає. Те, що затверджується завданням Діофанта, навпаки, затверджується коментарем Ферма.

Коментар Ферма можна так трактувати: якщо квадратне рівняння з трьома невідомими має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел, то, навпаки, рівняння з трьома невідомими в мірі, більшій за квадрат.

У рівнянні немає навіть натяку на його зв'язок із завданням Діофанта. Його твердження вимагає докази, але при ньому немає умови, з якої випливає, що воно не має рішень у цілих позитивних числах.

Відомі мені варіанти доказу рівняння зводяться до наступного алгоритму.

1. Рівняння теореми Ферма приймається її укладання, у справедливості якого переконуються з допомогою докази.
2. Це ж рівняння називають вихіднимрівнянням, з якого має виходити його доказ.

В результаті утворилася тавтологія: « Якщо рівняння немає рішень у цілих позитивних числах, воно не має рішень у цілих позитивних числах». Доказ тавтології свідомо є неправильним і позбавленим будь-якого сенсу. Але її доводять шляхом від неприємного.

• Приймається припущення, протилежне до того, що затверджується рівнянням, яке потрібно довести. Воно має суперечити вихідному рівнянню, яке йому суперечить. Доводити те, що прийнято без доказу і приймати без доказу те, що потрібно довести, не має сенсу.
• На підставі прийнятого припущення виконуються абсолютно правильні математичні операції та дії, щоб довести, що воно суперечить вихідному рівнянню та є хибним.

Тому вже 370 років доказ рівняння великої теореми Ферма залишається нездійсненною мрією фахівців і любителів математики.

Я прийняв рівняння за укладання теореми, а восьму завдання Діофанта та її рівняння за умову теореми.

«Якщо рівняння x 2 + y 2 = z 2 (1) має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел, то, навпаки, рівняння x n + y n = z n , де n > 2 (2) немає рішень на безлічі цілих позитивних чисел.»

Доказ.

А)Всім відомо, що рівняння (1) має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел. Доведемо, що жодна трійка піфагорових чисел, що є розв'язком рівняння (1), не є рішенням рівняння (2).

З закону оборотності рівності, сторони рівняння (1) поміняємо місцями. Піфагорові числа (z, х, у) можуть бути витлумачені як довжини сторін прямокутного трикутника, а квадрати (x 2 , y 2 , z 2) можуть бути тлумачені як площі квадратів, побудованих на його гіпотенузі та катетах.

Площі квадратів рівняння (1) помножимо на довільну висоту h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Рівняння (3) можна трактувати як рівність обсягу паралелепіпеда сумі обсягів двох паралелепіпедів.

Нехай висота трьох паралелепіпедів h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Об'єм куба розклався на два обсяги двох паралелепіпедів. Об'єм куба залишимо без змін, а висоту першого паралелепіпеда зменшимо до x і висоту другого паралелепіпеда зменшимо до y . Об'єм куба більший за суму об'ємів двох кубів:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

На безлічі трійок піфагорових чисел ( х, у, z ) при n = 3 може бути жодного рішення рівняння (2). Отже, на багатьох всіх трійок піфагорових чисел неможливо куб розкласти на два куби.

Нехай у рівнянні (3) висота трьох паралелепіпедів h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Обсяг паралелепіпеда розклався на суму обсягів двох паралелепіпедів.
Ліву сторону рівняння (6) залишимо без зміни. На правій його стороні висоту z 2 зменшимо до х у першому доданку і до у 2 у другому доданку.

Рівняння (6) звернулося до нерівності:

Обсяг паралелепіпеда розклався на два обсяги двох паралелепіпедів.

Ліву сторону рівняння (8) залишимо без зміни.
На правій стороні висоту z n-2 зменшимо до x n-2 у першому доданку і зменшимо до y n-2 у другому доданку. Рівняння (8) звертається в нерівність:

На безлічі трійок піфагорових чисел може бути жодного рішення рівняння (2).

Отже, на безлічі всіх трійок піфагорових чисел за всіх n > 2 рівняння (2) немає рішень.

Отримано «воістину чудовий доказ», але тільки для трійок піфагорових чисел. У цьому полягає нестача доказута причина відмови П. Ферма від нього.

B)Доведемо, що рівняння (2) не має рішень на безлічі трійок непіфагорових чисел, що представляє збій сімейство довільно взятої трійки піфагорових чисел z = 13, x = 12, y = 5 і сімейство довільно взятої трійки цілих позитивних чисел z = 21, x = 19, y = 16

Обидві трійки чисел є членами своїх сімейств:

Число членів сімейства (10) і (11) дорівнює половині твору 13 на 12 та 21 на 20, тобто 78 та 210.

У кожному члені сімейства (10) є z = 13 та змінні х і у 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

У кожному члені сімейства (11) є z = 21 та змінні х і у , які набувають значення цілих чисел 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Змінні послідовно спадають на 1 .

Трійки чисел послідовності (10) і (11) можна подати у вигляді послідовності нерівностей третього ступеня:

і як нерівностей четвертого ступеня:

Правильність кожної нерівності засвідчується підвищенням чисел у третій та четвертий ступінь.

Куб більшої кількості неможливо розкласти на два куби менших чисел. Він або менше, або більше суми кубів двох менших чисел.

Біквадрат більшої кількості неможливо розкласти на два біквадрати менших чисел. Він або менше, або більше суми біквадратів менших чисел.

Зі зростанням показника ступеня всі нерівності, крім лівої крайньої нерівності, мають однаковий сенс:

Нерівностей вони всі мають однаковий сенс: ступінь більшого числа більший за суму ступенів менших двох чисел з тим самим показником:

Лівий крайній член послідовностей (12) (13) є найслабша нерівність. Його правильність визначає правильність всіх наступних нерівностей послідовності (12) при n > 8 та послідовності (13) при n > 14 .

Серед них не може бути жодної рівності. Довільно взята трійка цілих позитивних чисел (21,19,16) перестав бути рішенням рівняння (2) великої теореми Ферма. Якщо довільно взята трійка цілих позитивних чисел є рішенням рівняння, то рівняння немає рішень на безлічі цілих позитивних чисел, як і вимагалося довести.

С)У коментарі Ферма до завдання Діофанта стверджується, що неможливо розкласти взагалі, ніякий ступінь, більший за квадрат, на два ступені з тим же показником».

Цілуступінь, більшу за квадрат, дійсно неможливо розкласти на два ступеня з тим же показником. Нецілуюступінь, велику квадрата можна розкласти на два ступені з тим самим показником.

Будь-яка довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z, x, y) може належати до сімейства, кожен член якого складається з постійного числа z і двох чисел, менших z . Кожен член сімейства може бути представлений у формі нерівності, а всі отримані нерівності - у вигляді послідовності нерівностей:

Послідовність нерівностей (14) починається нерівностями, у яких ліва сторона менша за праву сторону, а закінчується нерівностями, у яких права сторона менша за ліву сторону. Зі зростанням показника ступеня n > 2 число нерівностей правої сторони послідовності (14) збільшується. При показнику ступеня n = k всі нерівності лівої сторони послідовності змінюють свій сенс і набувають сенсу нерівностей правої сторони нерівностей послідовності (14). В результаті зростання показника ступеня у всіх нерівностей ліва сторона виявляється більшою за праву сторону:

При подальшому зростанні показника ступеня n > k жодна з нерівностей не змінює свого сенсу і не звертається до рівності. На цій підставі можна стверджувати, що будь-яка довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z, x, y) при n > 2 , z > x , z > y

У довільно взятій трійці цілих позитивних чисел z може бути як завгодно великим натуральним числом. Для всіх натуральних чисел, які не більше z Велика теорема Ферма доведена.

D)Яким би не було більшим числом z , в натуральному ряду чисел до нього є велика, але кінцева множина цілих чисел, а після нього - безліч цілих чисел.

Доведемо, що все безліч натуральних чисел, великих z , утворюють трійки чисел, які не є рішеннями рівняння великої теореми Ферма, наприклад, довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) , в якій z + 1 > x і z + 1 > y при всіх значеннях показника ступеня n > 2 не є рішенням рівняння великої теореми Ферма.

Довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) може належати до сімейства трійок чисел, кожен член якого складаються з постійного числа z + 1 та двох чисел х і у , що приймають різні значення, менші z + 1 . Члени сімейства можуть бути представлені у формі нерівностей, у яких постійна ліва сторона менша, або більше, правої сторони. Нерівності можна впорядковано розташувати як послідовності нерівностей:

При подальшому зростанні показника ступеня n > k до нескінченності жодна з нерівностей послідовності (17) не змінює свого сенсу і не звертається до рівності. У послідовності (16) нерівність, утворена з довільно взятої трійки цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) , може бути у її правої частини як (z + 1) n > x n + y n або перебувати в її лівій частині у вигляді (z + 1) n< x n + y n .

У будь-якому випадку трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) при n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y в послідовності (16) є нерівність і неспроможна бути рівності, т. е. неспроможна бути рішення рівняння великий теореми Ферма.

Легко і легко зрозуміти походження послідовності статечних нерівностей (16), в якій остання нерівність лівої сторони і перша нерівність правої сторони є нерівністю протилежного сенсу. Навпаки, нелегко і непросто школярам, ​​старшокласнику та старшокласниці, зрозуміти, яким чином із послідовності нерівностей (16) утворюється послідовність нерівностей (17), у якій усі нерівності однакового сенсу.

У послідовності (16) збільшення цілого ступеня нерівностей на 1 одиницю звертає останню нерівність лівої сторони на першу нерівність протилежного сенсу правої сторони. Таким чином, кількість нерівностей сторони послідовності зменшується, а кількість нерівностей правої сторони збільшується. Між останнім і першим статечними нерівностями протилежного сенсу обов'язково перебуває статечна рівність. Його ступінь може бути цілим числом, оскільки між двома послідовними натуральними числами перебувають лише нецілі числа. Ступінна рівність нецілого ступеня, за умовою теореми, не може вважатися рішенням рівняння (1).

Якщо в послідовності (16) продовжувати збільшення ступеня на 1 одиницю, то остання нерівність її лівої сторони звернеться на першу нерівність протилежного сенсу правої сторони. В результаті не залишиться жодної нерівності лівої сторони і залишаться тільки нерівності правої сторони, які являтимуть собою послідовність статечних нерівностей, що посилюються (17). Подальше збільшення їхнього цілого ступеня на 1 одиницю лише посилює її статечні нерівності і категорично виключає можливість появи рівності в цілому.

Отже, взагалі, жодну цілу міру натурального числа (z+1) послідовності статечних нерівностей (17) неможливо розкласти на два цілих ступеня з тим самим показником. Тому рівняння (1) немає рішень на нескінченному безлічі натуральних чисел, що потрібно було довести.

Отже, велика теорема Ферма доведена у всій загальності:

• у розділі А) для всіх трійок (z, x, y) піфагорових чисел (відкрите Ферма воістину чудове підтвердження),
• у розділі В) для всіх членів сімейства будь-якої трійки (z, x, y) піфагорових чисел,
• у розділі С) для всіх трійок чисел (z, x, y) , не великих числа z
• у розділі D) для всіх трійок чисел (z, x, y) натурального ряду чисел.

Які теореми можна і які не можна довести від протилежного

У тлумачному словнику математичних термінів дано визначення доказу від неприємної теореми, протилежної зворотній теоремі.

«Доказ від протилежного – метод доказу теореми (пропозиції), що полягає в тому, що доводять не саму теорему, а їй рівносильну (еквівалентну), протилежну зворотній (зворотній протилежній) теорему. Доказ від противного використовують щоразу, коли пряму теорему довести важко, а протилежну зворотній легше. За підтвердженням протилежного укладання теореми замінюється її запереченням, і шляхом міркування приходять до заперечення умови, тобто. до суперечності, до протилежного (протилежного тому, що дано; це приведення до абсурду і доводить теорему»).

Доказ протилежного дуже часто застосовується в математиці. Доказ від протилежного засноване на законі виключеного третього, що полягає в тому, що з двох висловлювань (затверджень) А та А (заперечення А) одне з них є істинним, а інше хибним»./Тлумачний словник математичних термінів: Посібник для вчителів/О. В. Мантуров [та ін]; за ред. В. А. Діткіна.- М.: Просвітництво, 1965.- 539 с.: Іл.-C.112/.

Не краще було б відкрито заявити про те, що метод доказу протилежного не є математичним методом, хоча й використовується в математиці, що він є логічним методом і належить логіці. Чи можна стверджувати, що доказ від протилежного «використовують щоразу, коли пряму теорему довести важко», коли насправді його використовують тоді, і лише тоді, коли немає заміни.

Заслуговує на особливу увагу і характеристика ставлення один до одного прямою і зворотною їй теорем. «Зворотна теорема для даної теореми (або до цієї теореми) - теорема, в якій умовою є висновок, а висновком - умова цієї теореми. Ця теорема по відношенню до зворотної теореми називається прямою теоремою (вихідною). У той же час обернена теорема до зворотної теореми буде даною теоремою; тому пряма та зворотна теореми називаються взаємно зворотними. Якщо пряма (дана) теорема вірна, то зворотна теорема який завжди правильна. Наприклад, якщо чотирикутник – ромб, його діагоналі взаємно перпендикулярні (пряма теорема). Якщо чотирикутнику діагоналі взаємно перпендикулярні, то чотирикутник є ромб – це неправильно, т. е. зворотна теорема неправильна»./Тлумачний словник математичних термінів: Посібник для вчителів/О. В. Мантуров [та ін]; за ред. В. А. Діткіна.- М.: Просвітництво, 1965.- 539 с.: Іл.-C.261/.

Дана характеристика відношення прямої та зворотної теорем не враховує того, що умова прямої теореми сприймається як дана, без доказу, так що її правильність не має гарантії. Умова зворотної теореми не сприймається як це, оскільки є висновком доведеної прямої теореми. Його правильність засвідчена доказом прямої теореми. Це істотне логічне відмінність умов прямої та зворотної теорем виявляється вирішальним у питанні які теореми можна і які не можна довести логічним шляхом від протилежного.

Припустимо, що у прикметі є пряма теорема, яку довести традиційним математичним способом можна, але складно. Сформулюємо її у вигляді у короткій формі так: з Аслід Е . Символ А має значення цієї умови теореми, прийнятого без доказу. Символ Е має значення укладання теореми, яке потрібно довести.

Доводити пряму теорему будемо від протилежного, логічнимметодом. Логічним методом доводиться теорема, що має не математичнеумова, а логічнеумова. Його можна отримати, якщо математична умова теореми з Аслід Е , доповнити прямо протилежною умовою з Ане слід Е .

В результаті вийшло логічне суперечливе умова нової теореми, що містить у собі дві частини: з Аслід Е і з Ане слід Е . Отримана умова нової теореми відповідає логічному закону виключеного третього та відповідає доказу теореми методом протилежного.

Відповідно до закону, одна частина суперечливої ​​умови є хибною, інша частина є істинною, а третє – виключено. Доказ від протилежного має своє завдання і метою встановити, саме яка частина з двох частин умови теореми є хибною. Як тільки буде визначено помилкову частину умови, так буде встановлено, що інша частина є істинною частиною, а третя — виключена.

Згідно з тлумачним словником математичних термінів, «доказ є міркування, під час якого встановлюється істинність чи хибність якогось твердження (судження, висловлювання, теореми)». Доказ від протилежногоє міркування, під час якого встановлюється хибність(абсурдність) укладання, що випливає з помилковогоумови доведеної теореми.

Дано: з Аслід Еі із Ане слід Е .

Довести: з Аслід Е .

Доказ: Логічна умова теореми полягає в собі протиріччя, яке вимагає свого вирішення Протиріччя умови має знайти свій дозвіл у доказі та його результаті. Результат виявляється помилковим при бездоганному та безпомилковому міркуванні. Причиною помилкового укладання при логічно правильному міркуванні може бути лише суперечлива умова: з Аслід Е і з Ане слід Е .

Немає і тіні сумніву в тому, що одна частина умови є неправдивою, а інша в цьому випадку є істинною. Обидві частини умови мають однакове походження, прийняті як дані, припущені, однаково можливі, однаково допустимі і т. д. У ході логічного міркування не виявлено жодної логічної ознаки, яка б відрізняла одну частину умови від іншої. Тому в одній і тій же мірі може бути з Аслід Е і може бути з Ане слід Е . Твердження з Аслід Е може бути хибнимтоді затвердження з Ане слід Е буде справжнім. Твердження з Ане слід Е може бути хибним, тоді твердження з Аслід Е буде справжнім.

Отже, пряму теорему методом протилежного довести неможливо.

Тепер цю пряму теорему доведемо звичайним математичним методом.

Дано: А .

Довести: з Аслід Е .

Доказ.

1. З Аслід Б

2. З Бслід В (за раніше доведеною теоремою)).

3. З Вслід Г (за раніше доведеною теоремою).

4. З Гслід Д (за раніше доведеною теоремою).

5. З Дслід Е (за раніше доведеною теоремою).

На підставі закону транзитивності, з Аслід Е . Пряма теорема підтверджена простим способом.

Нехай доведена пряма теорема має правильну зворотну теорему: з Еслід А .

Доведемо її звичайним математичнимметодом. Доказ зворотної теореми можна висловити у символічній формі як алгоритм математичних операцій.

Дано: Е

Довести: з Еслід А .

Доказ.

1. З Еслід Д

2. З Дслід Г (по раніше доведеній зворотній теоремі).

3. З Гслід В (по раніше доведеній зворотній теоремі).

4. З Вне слід Б (Зворотна теорема неправильна). Тому і з Бне слід А .

У цій ситуації продовжувати математичне підтвердження зворотної теореми немає сенсу. Причина виникнення ситуації – логічна. Неправильну зворотну теорему нічим замінити неможливо. Отже, цю зворотну теорему довести звичайним математичним методом неможливо. Вся надія – на підтвердження цієї зворотної теореми шляхом протилежного.

Щоб її довести шляхом протилежного, потрібно замінити її математичне умова логічним суперечливим умовою, що полягає у собі за змістом дві частини – хибну і істинну.

Зворотна теоремастверджує: з Ене слід А . Її умова Е , з якого випливає висновок А , є результатом підтвердження прямої теореми простим математичним способом. Цю умову необхідно зберегти та доповнити твердженням з Еслід А . В результаті доповнення виходить суперечлива умова нової зворотної теореми: з Еслід А і з Ене слід А . Виходячи з цього логічносуперечливої ​​умови, зворотну теорему можна довести за допомогою правильного логічногоміркування тільки, і тільки, логічнимшляхом протилежного. У доказі від неприємного будь-які математичні події та операції підпорядковані логічним і тому рахунок не йдуть.

У першій частині суперечливого твердження з Еслід А умова Е було підтверджено підтвердженням прямої теореми. У другій його частині з Ене слід А умова Е було припущено та прийнято без доказу. Якийсь із них одне є хибним, а інше – істинним. Потрібно довести, яке з них є хибним.

Доводимо за допомогою правильного логічногоміркування та виявляємо, що його результатом є хибне, абсурдне висновок. Причиною хибного логічного укладання є суперечлива логічна умова теореми, що містить у собі дві частини – хибну та істинну. Хибною частиною може бути лише твердження з Ене слід А , в якому Е було прийнято без підтвердження. Саме цим воно відрізняється від Е затвердження з Еслід А , який підтверджено доказом прямої теореми.

Отже, істинним є твердження: з Еслід А , що і потрібно було довести.

Висновок: логічним методом від протилежного доводиться лише обернена теорема, яка має доведену математичним методом пряму теорему і яку математичним методом довести неможливо.

Отриманий висновок набуває виняткового за важливістю значення щодо методу доказу від противного великої теореми Ферма. Переважна більшість спроб її довести має у своїй основі не звичайний математичний метод, а логічний метод доказу протилежного. Доказ великої теореми Ферма Уайлса не є винятком.

Дмитро Абраров у статті "Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса" опублікував коментар до доказу великої теореми Ферма Уайлсом. По Абрарову, Уайлс доводить велику теорему Ферма за допомогою чудової знахідки німецького математика Герхарда Фрея (р. 1944), який пов'язав потенційне рішення рівняння Ферма x n + y n = z n , де n > 2 , З іншим, абсолютно несхожим на нього, рівнянням. Це нове рівняння задається спеціальною кривою (названою еліптичною кривою Фрея). Крива Фрея задається рівнянням дуже простого виду:
.

«А саме Фрей зіставив будь-якому рішенню (a, b, c)рівняння Ферма, тобто числам, що задовольняють співвідношення a n + b n = c n, Вказану вище криву. І тут звідси випливала б велика теорема Ферма».(Цитата з: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса»)

Іншими словами, Герхард Фрей припустив, що рівняння великої теореми Ферма x n + y n = z n , де n > 2 , має рішення у цілих позитивних числах Цими ж рішення є, за припущенням Фрея, рішеннями його рівняння
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , Який задається його еліптичної кривої.

Ендрю Вайлз прийняв цю чудову знахідку Фрея та з її допомогою за допомогою математичногометоду довів, що цієї знахідки, тобто еліптичної кривої Фрея, немає. Тому не існує рівняння та його рішень, які задаються неіснуючою еліптичною кривою, Тому Уайлсу слід було б прийняти висновок про те, що не існує рівняння великої теореми Ферма та самої теореми Ферма. Проте їм приймається скромніший висновок про те, що рівняння великої теореми Ферма не має рішень у цілих позитивних числах.

Незаперечним фактом може бути те, що Уайлсом прийнято припущення, прямо протилежне за змістом тому, що затверджується великою теоремою Ферма. Воно зобов'язує Уайлса доводити велику теорему Ферма шляхом протилежного. Наслідуємо і ми його приклад і подивимося, що з цього прикладу виходить.

У великій теоремі Ферма стверджується, що рівняння, x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах.

Відповідно до логічного методу доказу від протилежного, це твердження зберігається, приймається як це без доказу, а потім доповнюється протилежним за змістом твердженням: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , має рішення у цілих позитивних числах

Припущене твердження так само приймається як це без доказу. Обидва твердження, що розглядаються з погляду основних законів логіки, є однаково допустимими, рівноправними та однаково можливими. За допомогою правильного міркування потрібно встановити, саме яке їх є хибним, щоб потім встановити, що інше твердження є істинним.

Правильне міркування завершується хибним, абсурдним висновком, логічною причиною якого може бути лише суперечлива умова доведеної теореми, що містить у собі дві частини прямо протилежного сенсу. Вони і стали логічною причиною абсурдного ув'язнення, результату підтвердження протилежного.

Однак у ході логічно правильного міркування був виявлено жодного ознаки, яким можна було б встановити, яке саме твердження є хибним. Їм може бути твердження: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , має рішень у цілих позитивних числах На цій же підставі ним може бути твердження: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах.

У результаті міркування висновок може бути лише один: велику теорему Ферма методом від неприємного довести неможливо.

Було б зовсім інше, якби велика теорема Ферма була зворотною теоремою, яка має пряму теорему, доведену звичайним математичним методом. І тут її можна було довести від протилежного. А оскільки вона є прямою теоремою, то її доказ повинен мати у своїй основі не логічний метод доказу протилежного, а звичайний математичний метод.

За словами Д. Абрарова, найвідоміший із сучасних російських математиків академік В. І. Арнольд на доказ Уайлса відреагував «активно скептично». Академік заявив: "це справжня математика - справжня математика геометрична і сильна зв'язками з фізикою".

Методом протилежного неможливо довести ні те, що рівняння великої теореми Ферма немає рішень, ні те, що має рішення. Помилка Уайлса не математична, а логічна - використання докази від противного там, де його використання немає сенсу і великий теореми Ферма не доводить.

Чи не доводиться велика теорема Ферма і за допомогою звичайного математичного методу, якщо в ній дано: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах, і якщо у ній потрібно довести: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах. У такій формі є не теорема, а тавтологія, позбавлена ​​сенсу.

Примітка.Мій доказ БТФ обговорювався на одному із форумів. Один з учасників Trotil, фахівець з теорії чисел, зробив таку авторитетну заяву під назвою: «Короткий переказ того, що зробив Миргородський». Наводжу його дослівно:

« А. Він довів, що якщо z 2 = x 2 + y , то z n > x n + y n . Це добре відомий та цілком очевидний факт.

Ст. Він узяв дві трійки — піфагорову і піфагорову і показав простим перебором, що з конкретного, певного сімейства трійок (78 і 210 штук) БТФ виконується (і тільки йому).

З. А потім автором опущений той факт, що з < в подальшому може виявитися = , а не тільки > . Простий контрприклад - перехід n = 1 в n = 2 у піфагоровій трійці.

D. Цей пункт нічого суттєвого на підтвердження БТФ не вносить. Висновок: БТФ не доведено».

Розгляну його висновок щодо пунктів.

А.У ньому доведено БТФ для всієї нескінченної множини трійок піфагорових чисел. Доведена геометричним методом, який, на мою думку, мною не відкритий, а перевідкритий. А відкритий він був, на мою думку, самим П. Ферма. Саме його міг мати на увазі Ферма, коли писав:

«Я відкрив цьому справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі». Дане моє припущення засноване на тому, що в задачі Діофанта, проти якої, на полях книги, писав Ферма, йдеться про рішення діофантового рівняння, якими є трійки піфагорових чисел.

Нескінченна безліч трійок піфагорових чисел є рішеннями діофатового рівняння, а теоремі Ферма, навпаки, жодне з рішень може бути рішенням рівняння теореми Ферма. І до цього факту справді чудовий доказ Ферма має безпосереднє відношення. Пізніше Ферма міг поширити свою теорему на багато всіх натуральних чисел. На багатьох натуральних чисел БТФ не належить до «множини виключно красивих теорем». Це моє припущення, яке ні довести, ні спростувати неможливо. Його можна приймати і відкидати.

Ст.У даному пункті мною доводиться, що як сімейство довільно взятої піфагорової трійки чисел, так і сімейство довільно взятої не піфагорової трійки чисел БТФ виконується. Взяті мною приклади сімейства трійки піфагорових чисел та сімейства трійки не піфагорових чисел мають значення конкретних прикладів, що передбачають і не виключають існування аналогічних інших прикладів.

Твердження Trotil, що я «показав простим перебором, що для конкретного, певного сімейства трійок (78 і 210 штук) БТФ виконується (і тільки для нього) позбавлене підстави. Він не може спростувати того факту, що я з таким самим успіхом можу взяти інші приклади піфагорової і піфагорової трійки для отримання конкретного певного сімейства однієї і іншої трійки.

Яку пару трійок я не взяв би, перевірка їхньої придатності для вирішення завдання може бути здійснена, на мій погляд, лише методом «простого перебору». Якийсь інший метод мені не відомий і не потрібний. Якщо він припав не до смаку Trotil, то йому слід запропонувати інший метод, чого він не робить. Не пропонуючи нічого натомість, засуджувати «простий перебір», який у цьому випадку незамінний, некоректно.

З.Мною опущено = між< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), в якому ступінь n > 2 — ціледодатне число. З рівності, що перебуває між нерівностями, випливає обов'язковерозгляд рівняння (1) при нецілому значенні ступеня n > 2 . Trotil, вважаючи обов'язковимрозгляд рівності між нерівностями, фактично вважає необхідниму доказі БТФ розгляд рівняння (1) при неціломзначення ступеня n > 2 . Я це зробив для себе і виявив, що рівняння (1) при неціломзначення ступеня n > 2 має рішенням трійку чисел: z, (z-1), (z-1) при нецілому показнику ступеня.

Якось у новорічному випуску розсилки про те, як вимовляти тости, я мимохіть згадав, що наприкінці ХХ століття відбулася одна грандіозна подія, якої багато хто не помітив - була, нарешті, доведена так звана Велика теорема Ферма. З цього приводу серед отриманих листів я виявив два відгуки від дівчат (одна з них, наскільки пам'ятаю – дев'ятикласниця Віка із Зеленограда), яких здивував цей факт.

А мене здивувало те, наскільки жваво дівчатка цікавляться проблемами сучасної математики. Тому, думаю, що не лише дівчаткам, а й хлопчикам різного віку - від старшокласників до пенсіонерів, теж буде цікаво дізнатися історію Великої теореми.

Доказ теореми Ферма – велика подія. А т.к. Зі словом "великий" не прийнято жартувати, то знати історію теореми, мені здається, кожен оратор, що поважає себе (а всі ми, коли говоримо - оратори) просто зобов'язаний.

Якщо так вийшло, що ви не любите математику так, як люблю її я, деякі поглиблення в деталі переглядайте швидким поглядом. Розуміючи, що не всім читачам нашої розсилки цікаво блукати в математичних нетрях, я постарався не наводити жодних формул (крім самого рівняння теореми Ферма та пари гіпотез) і максимально спростити висвітлення деяких специфічних питань.

Як Ферма заварив кашу

Французький юрист і за сумісництвом великий математик XVII століття П'єр Ферма (1601-1665) висунув одне цікаве твердження в галузі теорії чисел, яке згодом отримало назву Великої (або Великої) теореми Ферма. Це одна з найвідоміших і найфеноменальніших математичних теорем. Напевно, ажіотаж навколо неї був би не такий сильний, якби в книзі Діофанта Олександрійського (III століття н. Е..) "Арифметика", яку Ферма частенько студіював, роблячи позначки на її широких полях, і яку люб'язно зберіг для нащадків його син Семюел , не було виявлено приблизно наступний запис великого математика:

"Я маю дуже разючий доказ, але воно занадто велике, щоб його можна було розмістити на полях".

Вона, цей запис, і стала причиною наступної грандіозної метушні навколо теореми.

Отже, знаменитий учений заявив, що довів свою теорему. Давайте ж запитаємо себе: чи справді він її довів чи банально збрехав? Чи є інші версії, що пояснюють появу того запису на полях, який не давав спокійно спати багатьом математикам наступних поколінь?

Історія Великої теореми цікава як пригода в часі. У 1636 році Ферма заявив, що рівняння виду x n +y n =z nнемає рішень у цілих числах за показника ступеня n>2. Це і є Велика теорема Ферма. У цій, здавалося б, простий на вигляд математичній формулі Всесвіт замаскував неймовірну складність. Американський математик шотландського походження Ерік Темпл Белл у своїй книзі "Остання проблема" (1961) навіть припустив, що можливо людство припинить своє існування раніше, ніж зможе довести Велику теорему Ферма.

Дещо дивним є те, що чомусь теорема запізнилася з появою на світ, оскільки ситуація назріла давно, адже її окремий випадок при n=2 – інша знаменита математична формула – теорема Піфагора, виникла на двадцять два століття раніше. На відміну від теореми Ферма, теорема Піфагора має безліч цілих рішень, наприклад, такі піфагорові трикутники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Синдром Великої теореми

Хто тільки не намагався довести теорему Ферма. Будь-який студент, що оперився, вважав своїм обов'язком прикластися до Великої теореми, але довести її все ніяк нікому не вдавалося. Спершу не вдавалося сто років. Потім ще сто. І ще. Серед математиків став розвиватись масовий синдром: "Як же так? Ферма довів, а я що, не зможу, чи що?" - і деякі з них на цьому ґрунті збожеволіли в повному розумінні цього слова.

Скільки б теорему не перевіряли - вона завжди була вірна. Я знав одного енергійного програміста, який був одержимий ідеєю спростувати Велику теорему, намагаючись знайти хоча б одне її рішення (контрприклад) методом перебору цілих чисел з використанням швидкодіючого комп'ютера (тоді найчастіше іменованого ЕОМ). Він вірив у успіх свого підприємства і любив примовляти: "Ще трохи - і вибухне сенсація!". Думаю, що в різних місцях нашої планети було чимало такого сорту сміливих шукачів. Жодного рішення він, звісно ж, не знайшов. І жодні комп'ютери, хоч навіть із казковою швидкодією, ніколи не змогли б перевірити теорему, адже всі змінні цього рівняння (у тому числі й показники ступеня) можуть зростати нескінченно.

Теорема вимагає доказу

Математики знають, що якщо теорема не доведена, з неї може випливати все, що завгодно (як істина, так і брехня), як це було з деякими іншими гіпотезами. Наприклад, в одному зі своїх листів П'єр Ферма висловив припущення, що числа виду 2 n +1 (т.зв. числа Ферма) обов'язково прості (тобто не мають цілих чисельників і діляться без залишку тільки на себе і на одиницю), якщо n – ступінь двійки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 і т.д.). Ця гіпотеза Ферма прожила більше ста років - доти, поки в 1732 Леонард Ейлер не показав, що

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 · 641

Потім ще через 150 років (1880) Фортюне Ландрі розклав на множники наступне число Ферма:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 · 67 280 421 310 721

Як без допомоги комп'ютерів змогли знайти дільники цих великих чисел - одному богу відомо. Своєю чергою Ейлер висунув гіпотезу, що рівняння x 4 +y 4 +z 4 =u 4 немає рішень у цілих числах. Проте приблизно через 250 років, у 1988 році Науму Елькісу з Гарварду вдалося виявити (вже за допомогою комп'ютерної програми), що

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Тому Велика теорема Ферма вимагала доказів, інакше вона була просто гіпотезою, і цілком могло бути, що десь там у безкраїх числових полях загублено рішення рівняння Великої теореми.

Найвіртуозніший і найплідніший математик XVIII століття Леонард Ейлер, архів записів якого людство розгрібало майже ціле століття, довів теорему Ферма для ступенів 3 і 4 (вірніше, він повторив загублені докази самого П'єра Ферма); його послідовник у теорії чисел, Лежандр (а також незалежно від нього Діріхле) – для ступеня 5; Ламе – для ступеня 7. Але у загальному вигляді теорема залишалася недоведеною.

1 березня 1847 року на засіданні Паризької академії наук одразу два видатні математики - Габріель Ламе та Огюстен Коші - заявили, що підійшли до завершення доказу Великої теореми і влаштували гонку, публікуючи свої докази частинами. Однак поєдинок між ними був перерваний, тому що в їхніх доказах була виявлена ​​та сама помилка, на яку вказав німецький математик Ернст Куммер.

На початку XX століття (1908) заможний німецький підприємець, меценат та вчений Пауль Вольфскель заповів сто тисяч марок тому, хто пред'явить повний доказ теореми Ферма. Вже в перший рік після опублікування заповіту Вольфскеля Геттінгентської академії наук, вона була завалена тисячами доказів від любителів математики, і цей потік не припинявся протягом десятиліть, але всі вони, як ви здогадуєтеся, містили в собі помилки. Кажуть, що в академії було заготовлено бланки приблизно такого змісту:

Шановний __________________________!
У Вашому доказі теореми Ферма на ____ сторінці у ____ рядку зверху
у формулі:__________________________ виявлено таку помилку:,

Які розсилалися невдалим претендентам премії.

На той час у колі математиків з'явилося напівзневажливе прізвисько. ферміст. Так називали всякого самовпевненого вискочку, якому не вистачало знань, але зате з лишком вистачало амбіцій для того, щоб поспіхом спробувати силі в доказі Великої теореми, а потім, не помітивши власних помилок, гордо грюкнувши себе в груди, голосно заявити: "Я перший довів теорему Ферма! Кожен ферміст, якби він був хоч навіть десятитисячним за рахунком, вважав себе першим - це було смішним. Простий зовнішній вигляд Великої теореми так сильно нагадував фермістам легкий видобуток, що їх абсолютно не бентежило, що навіть Ейлер з Гауссом не змогли впоратися з нею.

(Фермісти, як не дивно, існують і нині. Один із них хоч і не вважав, що довів теорему, як класичний ферміст, але донедавна робив спроби – відмовився вірити мені, коли я повідомив йому, що теорема Ферма вже доведена).

Найсильніші математики, можливо, в тиші своїх кабінетів теж намагалися обережно підходити до цієї непідйомної штанги, але не говорили про це вголос, щоб не прославитися фермістами і, таким чином, не зашкодити своєму високому авторитету.

На той час з'явився доказ теореми для показника ступеня n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Дивна гіпотеза

До середини ХХ століття жодних серйозних поступів в історії Великої теореми не спостерігалося. Але незабаром у математичному житті сталася одна цікава подія. У 1955 році 28-річний японський математик Ютака Таніяма висунув твердження з зовсім іншої галузі математики, що отримало назву "гіпотези Таніями" (вона ж "гіпотеза Таніями-Шімур-Вейла"), яке, на відміну від запізнілої теореми Ферма, випередило свій час.

Гіпотеза Таніями говорить: "кожній еліптичній кривій відповідає певна модулярна форма". Дане твердження для математиків того часу звучало приблизно так само абсурдно, як для нас звучить твердження: "кожному дереву відповідає певний метал". Неважко вгадати, як може поставитися до подібного твердження нормальна людина - вона просто не сприйме її всерйоз, що й сталося: математики дружно проігнорували гіпотезу.

Невелике пояснення. Еліптичні криві, відомі з давніх-давен, мають двомірний вигляд (розташовуються на площині). Модулярні ж функції, відкриті у ХІХ столітті, мають чотиривимірний вигляд, тому ми їх навіть уявити не можемо своїми тривимірними мізками, але можемо описати математично; крім того, модулярні форми дивовижні тим, що мають гранично можливу симетрію - їх можна транслювати (зрушувати) у будь-якому напрямку, відбивати дзеркально, міняти місцями фрагменти, повертати нескінченно багатьма способами - і при цьому їх вигляд не змінюється. Як бачимо, еліптичні криві та модулярні форми мають мало спільного. Гіпотеза ж Таніями стверджує, що описові рівняння двох відповідних один одному цих абсолютно різних математичних об'єктів можна розкласти в той самий математичний ряд.

Гіпотеза Таніями була дуже парадоксальна: вона поєднала зовсім різні поняття - досить прості плоскі криві та неймовірні чотиривимірні форми. Таке нікому не спадало на думку. Коли на міжнародному математичному симпозіумі Токіо у вересні 1955 року Таніяма продемонстрував кілька відповідностей еліптичних кривих модулярним формам, всі побачили у цьому трохи більше, ніж забавні збіги. На скромне питання Таніями: чи можливо для кожної еліптичної кривої знайти відповідну модулярну функцію, маститий француз Андре Вейл, який на той час був одним із найкращих у світі фахівців у теорії чисел, дав цілком дипломатичну відповідь, що, мовляв, якщо допитливого Таніяму не покине ентузіазм, то, можливо, йому пощастить, і його неймовірна гіпотеза підтвердиться, але це, мабуть, станеться не скоро. Загалом, як і багато інших видатних відкриттів, спочатку гіпотеза Таніями залишилася поза увагою, бо до неї ще не дорослі - її майже ніхто не зрозумів. Один лише колега Таніями, Горо Шимура, добре знаючи свого високообдарованого друга, інтуїтивно відчував, що його гіпотеза вірна.

Через три роки (1958) Ютака Таніяма наклав на себе руки (сильні, однак, в Японії самурайські традиції). З погляду здорового глузду - ніяк не зрозумілий вчинок, особливо, якщо врахувати, що незабаром він збирався одружитися. Свою передсмертну записку лідер молодих японських математиків почав так: "Ще вчора я не думав про самогубство. Останнім часом мені часто доводилося чути від інших, що я втомився розумово та фізично. Взагалі-то я і зараз не розумію, навіщо це роблю…" так далі на трьох аркушах. Жаль, звичайно, що так склалася доля цікавої людини, але всі генії трохи дивні - на те вони і генії (на думку чомусь прийшли слова Артура Шопенгауера: "у звичайному житті від генія стільки ж толку, як від телескопа в театрі") . Гіпотеза осиротіла. Ніхто не знав, як її довести.

Років десять про гіпотезу Таніями майже не згадували. Але на початку 70-х років вона стала популярною – її регулярно перевіряли всі, хто зміг у ній розібратися – і вона завжди підтверджувалася (як, власне, і теорема Ферма), але, як і раніше, ніхто не міг її довести.

Дивовижний зв'язок двох гіпотез

Минуло ще приблизно 15 років. У 1984 році відбулася одна ключова подія в житті математики, яка об'єднала екстравагантну японську гіпотезу з Великою теоремою Ферма. Німець Герхард Фрей висунув цікаве твердження, схоже на теорему: "Якщо буде доведено гіпотезу Таніями, то, отже, буде доведено і Велику теорему Ферма". Інакше кажучи, теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями. (Фрей методом хитромудрих математичних перетворень звів рівняння Ферма до виду рівняння еліптичної кривої (та сама, що фігурує і в гіпотезі Таніями), більш-менш обґрунтував своє припущення, але довести його не зміг). І ось буквально через півтора роки (1986) професор Каліфорнійського університету Кеннет Рібет чітко довів теорему Фрея.

Що ж тепер вийшло? Тепер виявилося, що, оскільки теорема Ферма вже точно є наслідком гіпотези Таніями, потрібно лише довести останню, щоб зірвати лаври підкорювача легендарної теореми Ферма. Але гіпотеза виявилася непростою. До того ж у математиків за століття з'явилася алергія на теорему Ферма, і багато хто з них вирішив, що впоратися з гіпотезою Таніями також практично неможливо.

Смерть гіпотези Ферма. Народження теореми

Минуло ще вісім років. Одному прогресивному англійському професору математики з Прінстонського університету (Нью-Джерсі, США), Ендрю Вайлсу, здалося, що він знайшов доказ гіпотези Таніями. Якщо геній не лисий, то, як правило, скуйовджений. Уайлс - скуйовджений, отже, схожий на генія. Увійти в Історію, звичайно, привабливо і дуже хотілося, але Уайлс, як справжній учений, не спокушався, розуміючи, що тисячам фермістів до нього теж здавались примарні докази. Тому, перш ніж уявити свій доказ світу, він ретельно перевіряв його сам, але усвідомлюючи, що може мати суб'єктивну упередженість, залучав до перевірок також інших, наприклад, під виглядом звичайних математичних завдань він іноді підкидав тямущим аспірантам різні фрагменти свого доказу. Пізніше Уайлс зізнався, що ніхто, крім його дружини, не знав, що він працює над доказом Великої теореми.

І ось після довгих перевірок і тяжких роздумів, Вайлс набрався хоробрості, а може, як йому самому здавалося, нахабства і 23 червня 1993 на математичній конференції з теорії чисел в Кембриджі оголосив про своє велике досягнення.

Це, звісно, ​​була сенсація. Ніхто не очікував такої спритності від маловідомого математика. Одразу ж з'явилася преса. Всіх мучив палкий інтерес. Стрункі формули, як штрихи прекрасної картини, постали перед цікавими поглядами присутніх. Справжні математики, адже вони такі - дивляться на всякі рівняння і бачать у них не цифри, константи і змінні, а чують музику, подібно до Моцарта, що дивиться на нотний стан. Так само, як ми, читаючи книгу, дивимося на літери, але як би їх і не помічаємо, а відразу сприймаємо сенс тексту.

Презентація доказу, здавалося, пройшла успішно – помилок у ньому не знайшли – ніхто не почув жодної фальшивої ноти (хоча більшість математиків просто вп'ялася на нього, як першокласники на інтеграл і нічого не зрозуміли). Усі вирішили, що сталася масштабна подія: доведена гіпотеза Таніями, а отже і Велика теорема Ферма. Але приблизно через два місяці, за кілька днів до того, як рукопис доказу Уайлса повинен був піти в тираж, в ньому було виявлено невідповідність (Кац, колега Уайлса, зауважив, що один фрагмент міркувань спирався на "систему Ейлера", але те, що) спорудив Уайлс, такою системою не було), хоча в цілому прийоми Уайлса були визнані цікавими, витонченими та новаторськими.

Уайлз проаналізував ситуацію та вирішив, що програв. Можна собі уявити, як він усією своєю істотою відчув, що означає "від великого до кумедного один крок". "Хотів увійти в Історію, а натомість увійшов до складу команди клоунів і комедіантів - самовпевнених фермістів" - приблизно такі думки виснажували його в той тяжкий період життя. Для нього, серйозного вченого-математика, це була трагедія, і він закинув свій доказ у довгий ящик.

Але через рік з невеликим, у вересні 1994 року, під час роздумів над тим вузьким місцем доказу разом зі своїм колегою Тейлором з Оксфорда, останнього несподівано осяяла думка, що "систему Ейлера" можна змінити на теорію Івасава (розділ теорії чисел). Тоді вони спробували скористатися теорією Івасава, обійшовшись без "системи Ейлера", і у них все зійшлося. Виправлений варіант доказу був відданий на перевірку і через рік було оголошено, що в ньому все чітко, без жодної помилки. Влітку 1995 року в одному з перших математичних журналів - "Аннали математики" - було опубліковано повний доказ гіпотези Таніями (отже, Великої (Великої) теореми Ферма), яке зайняло весь номер - понад сто аркушів. Доказ так складно, що зрозуміти його цілком могли лише кілька десятків людей у ​​всьому світі.

Таким чином, наприкінці ХХ століття весь світ визнав, що на 360 році свого життя Велика теорема Ферма, яка насправді весь цей час була гіпотезою, стала доведеною теоремою. Ендрю Уайлс довів Велику (Велику) теорему Ферма та увійшов до Історії.

Подумаєш, довели якусь теорему...

Щастя першовідкривача завжди дістається одному - це саме він останнім ударом молота розколює твердий горішок знання. Але не можна ігнорувати безліч попередніх ударів, які не одне століття формували тріщину у Великій теоремі: Ейлера і Гауса (королів математики своїх часів), Еваріста Галуа (який встиг за своє коротке 21-річне життя заснувати теорії груп та полів, роботи якого були визнані геніальними лише після його смерті), Анрі Пуанкаре (засновника не тільки химерних модулярних форм, а й конвенціоналізму - філософської течії), Давида Гілберта (одного з найсильніших математиків ХХ століття), Ютаку Таніяму, Горо Шімуру, Морделла, Фальтінгса, Ернста Куммера, Герхарда Фрея, Кена Ріббета, Річарда Тейлора та інших справжніх вчених(Не побоюсь цих слів).

Доказ Великої теореми Ферма можна поставити в один ряд із такими здобутками ХХ століття, як винахід комп'ютера, ядерної бомби та політ у космос. Хоч про нього і не так широко відомо, тому що воно не вторгається в зону наших нагальних інтересів, як наприклад, телевізор або електрична лампочка, але воно стало спалахом наднової зірки, яка, як і всі незмінні істини, завжди світитиме людству.

Ви можете сказати: "подумаєш, довели якусь теорему, кому це треба?". Справедливе питання. Тут точно погодиться відповідь Давида Гілберта. Коли на питання: "яке завдання зараз для науки найважливіше?", він відповів: "зловити муху на звороті Місяця", його резонно запитали: "а кому це треба?", Він відповів так: "Це нікому не треба. Але подумайте над тим, скільки важливих найскладніших завдань треба вирішити, щоб це здійснити". Подумайте, скільки завдань за 360 років змогло вирішити людство, перш ніж довести теорему Ферма. врахувати, що математика - авангард науки (і, до речі, єдина з наук, яка будується без жодної помилки), і будь-які наукові досягнення та винаходи починаються саме тут. ".

* * *

А тепер давайте повернемося на початок нашої історії, згадаємо запис П'єра Ферма на полях підручника Діофанта і ще раз поставимо питання: чи справді Ферма довів свою теорему? Цього ми, звичайно, не можемо знати напевно і як у будь-якій справі тут виникають різні версії:

Версія 1:Ферма довів свою теорему. (На запитання: "Чи мав Ферма такий самий доказ своєї теореми?", Ендрю Уайлс зауважив: "Ферма не міг мати в своєму розпорядженні такимдоказом. Це доказ ХХ століття". Ми з вами розуміємо, що в XVII столітті математика, звичайно ж, була не та, що в кінці ХХ століття - в ту епоху д, Артаньяна, цариця наук ще не мала ті відкриття (модулярні форми, теореми Таніями , Фрея та ін.), які тільки й дозволили довести Велику теорему Ферма.Звичайно, можна припустити: чим чорт не жартує - а раптом Ферма здогадався іншим шляхом?Ця версія хоч і ймовірна, але за оцінками більшості математиків, практично неможлива);
Версія 2:П'єру Ферма здалося, що він довів свою теорему, але у його доказі були помилки. (Тобто сам Ферма був також і першим фермістом);
Версія 3:Ферма свою теорему не довів, а на полях просто збрехав.

Якщо вірна одна з двох останніх версій, що найімовірніше, тоді можна зробити простий висновок: великі люди, вони хоч і великі, але теж можуть помилятися або іноді не проти прибрехати(переважно цей висновок буде корисним для тих, хто схильний безроздільно довіряти своїм кумирам та іншим володарам дум). Тому, читаючи твори авторитетних синів людства або слухаючи їх пафосні виступи, ви маєте повне право сумніватися у їхніх твердженнях. (Прошу зауважити, що сумніватися - не означає відкидати).

Перевидання матеріалів статті можливе лише з обов'язковими посиланнями на сайт (в інтернеті - гіперпосилання) та на автора

У 17 столітті у Франції жив юрист і за сумісництвом математик П'єр Ферма, який віддавав своєму захопленню довгий час дозвілля. Якось зимовим вечором, сидячи біля каміна, він висунув одне цікаве твердження в галузі теорії чисел - саме воно надалі було названо Великою або Великою теоремою Ферма. Можливо, ажіотаж не був би настільки вагомим у математичних колах, якби не сталася одна подія. Математик часто проводив вечори за студіюванням улюбленої книги Діофанта Олександрійського "Арифметика" (3 століття), при цьому записував на її полях важливі думки - цей раритет дбайливо зберіг для нащадків його син. Так ось, на широких полях цієї книги рукою Ферма було залишено такий напис: «У мене є досить разючий доказ, але він дуже великий, щоб його можна було помістити на полях». Саме цей запис став причиною приголомшливого ажіотажу навколо теореми. У математиків не викликало сумнівів, що великий учений заявив, що довів власну теорему. Ви напевно ставите питанням: «Невже він насправді її довів, чи це була банальна брехня, а може є інші версії, навіщо цей запис, який не давав умиротворено спати математикам наступних поколінь, виявився на полях книги?».

Суть Великої теореми

Досить відома теорема Ферма проста за своєю суттю і полягає в тому, що за умови, коли n більша за двійку, позитивного числа, рівняння Х n +Y n =Z n не матиме рішень нульового типу в рамках натуральних чисел. У цій на вигляд простий формулі була замаскована неймовірна складність, і на її доказом билися аж три століття. Є одна дивина - теорема запізнилася з народженням, оскільки її окремий випадок при n=2 з'явився ще 2200 років тому - це не менш знаменита теорема Піфагора.

Необхідно відзначити, що історія, що стосується всім відомої теореми Ферма, є дуже повчальною та цікавою, причому не лише для вчених-математиків. Що найцікавіше, так це те, що наука була для вченого не роботою, а простим хобі, яке, в свою чергу, приносило Фермеру величезне задоволення. Також він постійно підтримував зв'язок з ученим-математиком, а за сумісництвом, ще й другом, ділився ідеями, але, як не дивно, власні роботи опубліковувати у світ не прагнув.

Праці математика Фермера

Щодо самих робіт Фермера, то їх виявили саме у формі звичайних листів. Місцями не було цілих сторінок, і збереглися лише уривки листування. Цікавішим є той факт, що протягом трьох століть вчені шукали ту теорему, яка була виявлена ​​в працях Фермера.

Але хто б не наважувався її довести, спроби зводилися до нуля. Відомий математик Декарт взагалі звинувачував вченого в хвастощі, але все це зводилося лише до звичайної заздрощі. Крім створення, Фермер ще й довів свою теорему. Щоправда рішення було знайдено у тому випадку, де n=4. Що ж до випадку для n=3, його виявив математик Эйлер.

Як намагалися довести теорему Фермера

На початку 19 століття дана теорема продовжила своє існування. Математики знайшли багато доказів теорем, які обмежувалися натуральними числами не більше двохсот.

А в 1909 році була поставлена ​​на кін досить велика сума, що дорівнює ста тисячам марок німецького походження – і все це лише за те, щоб вирішити питання, пов'язане з цією теоремою. Сам фонд призової категорії був залишений багатим любителем математики Паулем Вольфскелем, родом із Німеччини, до речі, саме він хотів «накласти на себе руки», але завдяки такій залученості до теореми Фермера захотів жити. Виниклий ажіотаж породив тонни «доказів», що заполонили німецькі університети, а серед математиків народилося прізвисько «ферміст», яким напівпрезрительно називали будь-якого амбітного вискочку, не зумів навести явні докази.

Гіпотеза японського математика Ютакі Таніяма

Зрушень історія Великої теореми до середини 20 століття не спостерігалося, але одна цікава подія все-таки сталося. У 1955 році математик з Японії Ютака Таніяма, якому було 28 років, явив світові твердження з абсолютно іншої математичної області - його гіпотеза на відміну від Ферма випередила свій час. Вона каже: «Кожен еліптичної кривої відповідає певна модулярна форма». Начебто абсурд для кожного математика, подібно до того, що дерево складається з певного металу! Парадоксальну гіпотезу, як і більшість інших приголомшливих та геніальних відкриттів, не прийняли, оскільки ще просто не доросли до неї. І Ютака Таніяма наклав на себе руки, через три роки - вчинок незрозумілий, але, ймовірно, честь для істинного генія-самурая була понад усе.

Ціле десятиліття про гіпотезу не згадували, але в сімдесятих вона піднялася на пік популярності – її підтверджували всі, хто міг у ній розібратися, але, як і теорема Ферма, вона залишалася недоведеною.

Як пов'язані гіпотеза Таніями та теорема Ферма

Через 15 років у математиці сталася ключова подія, і вона об'єднала гіпотезу прославленого японця та теорему Ферма. Герхард Грей заявив, що коли буде доведено гіпотезу Таніяма, тоді й знайдуться докази теореми Ферма. Тобто остання – це наслідок гіпотези Таніяма, і вже за півтора року професором університету в Каліфорнії Кеннетом Рібетом теорема Ферма була доведена.

Йшов час, регрес замінювався прогресом, а наука стрімко просувалася вперед, особливо у галузі комп'ютерних технологій. Таким чином, значення n почало все більше підвищуватися.

Наприкінці 20 століття найпотужніші комп'ютери знаходилися в лабораторіях військового напрямку, було здійснено програмування на вирішення завдання всім відомого Ферма. Як наслідок всім спробам було виявлено те, що ця теорема правильна для багатьох значень n, x, y. Але, на жаль, остаточним доказом це стало, оскільки був конкретики як такої.

Джон Уайлс довів велику Теорему Ферма

І ось, нарешті, лише наприкінці 1994 року, математик з Англії, Джон Уайлс знайшов і продемонстрував точний доказ спірної теореми Фермера. Тоді, після безлічі доробок, дискусії з цього приводу дійшли свого логічного завершення.

Спростування було розміщено на понад 100 сторінках одного журналу! Причому теорема була доведена більш сучасному апараті вищої математики. І що дивно, на той момент, коли Фермер писав свою працю, такого апарату в природі не існувало. Словом, людина була визнана генієм у цій галузі, з чим посперечатися не могла ніхто. Незважаючи на все, що було, на сьогоднішній день можна бути впевненими в тому, що представлена ​​теорема великого вченого Фермера виправдана і доведена, і суперечки і на цю тему не заведе жодних математиків зі здоровим глуздом, з чим згодні навіть найзатятіші скептики всього людства.

Повне ім'я людини, на честь якого було названо представлену теорему, звали П'єр де Фермер. Він зробив свій внесок у найрізноманітніші галузі математики. Але, на жаль, більшість його праць були опубліковані лише після його смерті.