Теорія ймовірності випадкові події приклади. імовірність події

1.1. Деякі відомості з комбінаторики

1.1.1. розміщення

Розглянемо найпростіші поняття, пов'язані з вибором і розташуванням деякого безлічі об'єктів.
Підрахунок числа способів, якими можна здійснити ці дії, часто проводиться при вирішенні імовірнісних задач.
визначення. розміщенням з n елементів по k (k ≤ n) Називається будь-який упорядкований підмножина з kелементів безлічі, що складається з n різних елементів.
Приклад.Наступні послідовності цифр є розміщеннями по 2 елементи з 3 елементів безлічі (1; 2; 3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Зауважимо, що розміщення відрізняються порядком входять до них елементів і їх складом. Розміщення 12 і 21 містять однакові цифри, але порядок їх розташування різний. Тому ці розміщення вважаються різними.
Число різних розміщень з n елементів по k позначається і обчислюється за формулою:
,
де n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙ n (Читається « n - факторіал »).
Число двозначних чисел, які можна скласти з цифр 1, 2, 3 за умови, що жодна цифра не повторюється одно:.

1.1.2. перестановки

визначення. перестановками з n елементів називаються такі розміщення з n елементів, які різняться тільки розташуванням елементів.
Число перестановок з n елементів P n обчислюється за формулою: P n=n!
Приклад.Скількома способами можуть стати в чергу 5 осіб? Кількість способів дорівнює числу перестановок з 5 елементів, тобто
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
визначення. якщо серед n елементів k однакових, то перестановка цих nелементів називається перестановкою з повтореннями.
Приклад.Нехай серед 6 книг 2 однакові. Будь-яке розташування всіх книг на полиці - перестановка з повтореннями.
Число різних перестановок з повтореннями (з n елементів, серед яких kоднакових) обчислюється за формулою:.
У нашому прикладі число способів, якими можна розставити книги на полиці, так само:.

1.1.3. сполучення

визначення . поєднаннями з n елементів по k називаються такі розміщення з n елементів по k, Які одне від іншого відрізняються хоча б одним елементом.
Число різних сполучень з n елементів по k позначається і обчислюється за формулою:.
За визначенням 0! \u003d 1.
Для поєднань справедливі такі властивості:
1.
2.
3.
4.
Приклад. Є 5 квіток різного кольору. Для букета вибирається 3 квітки. Число різних букетів по 3 квітки з 5 одно:.

1.2. випадкові події

1.2.1. події

Пізнання дійсності в природничих науках відбувається в результаті випробувань (експерименту, спостережень, досвіду).
випробуванням або досвідом називається здійснення якогось певного комплексу умов, який може бути відтворений як завгодно велике число разів.
випадковим називається подія, яке може відбутися або не відбутися в результаті деякого випробування (досвіду).
Таким чином, подія розглядається як результат випробування.
Приклад. Кидання монети - це випробування. Поява орла при киданні - подія.
Спостережувані нами події різняться за рівнем можливості їх появи і за характером їх взаємозв'язку.
подія називається достовірним , Якщо воно обов'язково станеться в результаті даного випробування.
Приклад. Отримання студентом позитивної або негативної оцінки на іспиті є подія достовірне, якщо іспит протікає відповідно до звичайних правил.
подія називається неможливим , Якщо воно не може відбутися в результаті даного випробування.
Приклад. Витяг з урни білого кулі, в якій знаходяться лише кольорові (небілі) кулі, є подія неможливе. Відзначимо, що за інших умов досвіду появи білої кулі не виключається; таким чином, ця подія неможливо лише в умовах нашого досвіду.
Далі випадкові події будемо позначати великими латинськими літерами A, B, C ... Достовірна подія позначимо літерою Ω, неможливе - Ø.
Два або кілька подій називаються рівноможливими в даному випробуванні, якщо є підстави вважати, що жодне з цих подій не є більш можливим або менш можливим, ніж інші.
Приклад.При одному киданні гральної кістки поява 1, 2, 3, 4, 5 і 6 очок - все це події рівноможливими. Передбачається, звичайно, що гральна кістка виготовлена \u200b\u200bз однорідного матеріалу і має правильну форму.
Дві події називаються несумісними в даному випробуванні, якщо поява однієї з них виключає появу іншого, і спільними в іншому випадку.
Приклад. У ящику є стандартні і нестандартні деталі. Беремо на удачу одну деталь. Поява стандартної деталі виключає появу нестандартної деталі. Ці події несумісні.
Кілька подій утворюють повну групу подій в даному випробуванні, якщо в результаті цього випробування обов'язково настане хоча б одне з них.
Приклад.Події з прикладу утворюють повну групу рівно можливих і попарно несумісних подій.
Два несумісних події, що утворюють повну групу подій в даному випробуванні, називаються протилежними подіями.
Якщо одне з них позначено через A, То інше прийнято позначати через (читається «Не A»).
Приклад. Влучення і промах при одному пострілі по цілі - події протилежні.

1.2.2. Класичне визначення ймовірності

імовірність події - чисельна міра можливості його настання.
подія А називається сприятливим події В, Якщо кожного разу, коли настає подія А, Настає і подія В.
події А 1 , А 2 , ..., А n утворюють схему випадків , якщо вони:
1) рівноможливими;
2) попарно несумісні;
3) утворюють повну групу.
У схемі випадків (і тільки в цій схемі) має місце класичне визначення ймовірності P(A) події А. Тут випадком називають кожне з подій, що належать виділеної повної групі рівно можливих і попарно несумісних подій.
якщо n - число всіх випадків в схемі, а m - число випадків, що сприяють події А, то ймовірність події А визначається рівністю:

З визначення ймовірності випливають такі її властивості:
1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.
Дійсно, якщо подія достовірно, то кожен випадок в схемі випадків сприяє події. В цьому випадку m = n і, отже,

2. Імовірність неможливого події дорівнює нулю.
Дійсно, якщо подія неможливо, то жоден випадок зі схеми випадків не сприяє події. Тому m\u003d 0 і, отже,

Імовірність випадкової події є позитивне число, укладену між нулем і одиницею.
Дійсно, випадковій події сприяє лише частина із загального числа випадків в схемі випадків. Тому 0<m<n, А, значить, 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P (A) < 1.
Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє нерівності
0 ≤ P (A) ≤ 1.
В даний час властивості ймовірності визначаються у вигляді аксіом, сформульованих А.Н. Колмогоровим.
Одним з основних достоїнств класичного визначення ймовірності є можливість обчислити вірогідність події безпосередньо, тобто не вдаючись до дослідів, які замінюють логічними міркуваннями.

Завдання безпосереднього обчислення ймовірностей

завдання 1.1. Яка ймовірність появи парного числа очок (подія А) при одному киданні грального кубика?
Рішення. Розглянемо події А i - випало i очок, i\u003d 1, 2, ..., 6. Очевидно, що ці події утворюють схему випадків. Тоді число всіх випадків n \u003d 6. Випадання парного числа очок сприяють випадки А 2 , А 4 , А 6, тобто m\u003d 3. Тоді .
завдання 1.2. В урні 5 білих і 10 чорних куль. Кулі ретельно перемішують і потім навмання виймають 1 куля. Яка ймовірність того, що вийнятий кулю виявиться білим?
Рішення. Усього є 15 випадків, які утворюють схему випадків. Причому очікуваному події А - появи білої кулі, сприяють 5 з них, тому .
завдання 1.3. Дитина грає з шістьма буквами абетки: А, А, Е, К, Р, Т. Знайти ймовірність того, що він зможе скласти випадково слово КАРЕТА (подія А).
Рішення. Рішення ускладнюється тим, що серед букв є однакові - дві літери «А». Тому число всіх можливих випадків в даному випробуванні дорівнює числу перестановок з повтореннями з 6 букв:
.
Ці випадки рівноможливими, попарно несумісні і утворюють повну групу подій, тобто утворюють схему випадків. Лише один випадок сприяє події А. Тому
.
завдання 1.4. Таня і Ваня домовилися зустрічати Новий рік в компанії з 10 осіб. Вони обидва дуже хотіли сидіти поруч. Яка ймовірність виконання їх бажання, якщо серед їх друзів прийнято місця розподіляти за жеребом?
Рішення. позначимо через А подія «виконання бажання Тані і Вані». 10 осіб можуть сісти за стіл 10! різними способами. Скільки ж з цих n \u003d 10! равновозможних способів сприятливі для Тані і Вані? Таня і Ваня, сидячи поруч, можуть зайняти 20 різних позицій. У той же час вісімка їх друзів може сісти за стіл 8! різними способами, тому m \u003d 20 ∙ 8 !. отже,
.
завдання 1.5. Група з 5 жінок і 20 чоловіків вибирає трьох делегатів. Вважаючи, що кожен з присутніх з однаковою ймовірністю може бути обраний, знайти ймовірність того, що виберуть двох жінок і одного чоловіка.
Рішення. Загальна кількість рівно можливих результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна вибрати трьох делегатів з 25 осіб, тобто . Підрахуємо тепер число сприятливих випадків, тобто число випадків, при яких має місце цікавить нас. Чоловік-делегат може бути обраний двадцятьма способами. При цьому інші два делегата повинні бути жінками, а вибрати двох жінок з п'яти можна. Отже,. Тому
.
Завдання 1.6. Чотири кульки випадковим чином розкидаються по чотирьом лунках, кожен кульку потрапляє в ту або іншу лунку з однаковою ймовірністю і незалежно від інших (перешкод до потрапляння в одну і ту ж лунку декількох кульок немає). Знайти ймовірність того, що в одній з лунок виявиться три кульки, в іншій - один, а в двох інших лунках кульок не буде.
Рішення. Загальна кількість випадків n\u003d 4 4. Число способів, якими можна вибрати одну лунку, де будуть три кульки,. Число способів, якими можна вибрати лунку, де буде один кулька,. Число способів, якими можна вибрати з чотирьох кульок три, щоб покласти їх у першу лунку,. Загальна кількість сприятливих випадків. Імовірність події:
Завдання 1.7.У ящику 10 однакових куль, позначених номерами 1, 2, ..., 10. На удачу витягнуті шість куль. Знайти ймовірність того, що серед витягнутих куль виявляться: а) куля №1; б) кулі №1 і №2.
Рішення. а) Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна витягти шість куль з десяти, тобто
Знайдемо число випадків, що сприяють цікавого для нас події: серед відібраних шести куль є куля №1 і, отже, інші п'ять куль мають інші номери. Число таких випадків, очевидно, дорівнює числу способів, якими можна відібрати п'ять куль з дев'яти, тобто
Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють розглянутого події, до загального числа можливих елементарних фіналів:
б) Число випадків, що сприяють цікавого для нас події (серед відібраних куль є кулі №1 і №2, отже, чотири кулі мають інші номери), дорівнює числу способів, якими можна витягти чотири куль з решти восьми, тобто шукана ймовірність

1.2.3. статистична ймовірність

Статистичне визначення ймовірності використовується в разі, коли результати досвіду не є рівно можливими.
Відносна частота події А визначається рівністю:
,
де m - число випробувань, в яких подія А настало, n - загальне число вироблених випробувань.
Я. Бернуллі довів, що при необмеженому збільшенні числа дослідів відносна частота появи події буде практично як завгодно мало відрізнятися від деякого постійного числа. Виявилося, що це постійне число є ймовірність появи події. Тому, природно, відносну частоту появи події при досить великій кількості випробувань називати статистичною ймовірністю на відміну від раніше введеної ймовірності.
приклад 1.8. Як наближено встановити число риб в озері?
Нехай в озері х риб. Закидаємо мережу і, припустимо, знаходимо в ній n риб. Кожну з них мітимо і випускаємо назад. Через кілька днів в таку ж погоду і в тому ж місці закидаємо ту ж саму мережу. Припустимо, що знаходимо в ній m риб, серед яких k мічених. нехай подія А - «спіймана риба мечена». Тоді за визначенням відносної частоти.
Але якщо в озері х риб і ми в нього випустили n мічених, то.
Так як Р * (А) » Р(А), То.

1.2.4. Операції над подіями. Теорема додавання ймовірностей

сумою, Або об'єднанням, кількох подій називається подія, яке у настанні хоча б одного з цих подій (в одному і тому ж випробуванні).
сума А 1 + А 2 + … + А n позначається так:
або .
приклад. Впадають дві гральні кістки. нехай подія А полягає у випадання 4 очок на 1 кістки, а подія В - в випаданні 5 очок на інший кістки. події А і В сумісні. Тому подія А +В полягає у випадання 4 очок на першій кістки, або 5 очок на другий кістки, або 4 очок на першій кістки і 5 очок на другий одночасно.
Приклад. подія А - виграш по 1 займу, подія В - виграш по 2 займу. тоді подія А + В - виграш хоча б по одному позиці (можливо за двома відразу).
твором або перетином декількох подій називається подія, яке у спільному появу всіх цих подій (в одному і тому ж випробуванні).
твір, добуток В подій А 1 , А 2 , …, А n позначається так:
.
Приклад. події А і В складаються в успішному проходженні I і II турів відповідно при вступі до інституту. тоді подія А× В складається в успішному проходженні обох турів.
Поняття суми і твори подій мають наочну геометричну інтерпретацію. нехай подія А є потрапляння точки в область А, А подія В - потрапляння точки в область В. тоді подія А + В є потрапляння точки в об'єднання цих областей (рис. 2.1), а подія АВ є потрапляння точки в перетин цих областей (рис. 2.2).

Мал. 2.1 Рис. 2.2
теорема. якщо події A i(i = 1, 2, …, n) Попарно несумісні, то ймовірність суми подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
.
нехай А і Ā - протилежні події, тобто А + Ā \u003d Ω, де Ω - достовірна подія. З теореми додавання випливає, що
Р (Ω) \u003d Р(А) + Р(Ā ) \u003d 1, тому
Р(Ā ) = 1 – Р(А).
якщо події А 1 і А 2 сумісні, то ймовірність суми двох спільних подій дорівнює:
Р(А 1 + А 2) = Р(А 1) + Р(А 2) - Р ( А 1 × А 2).
Теореми додавання ймовірностей дозволяють перейти від безпосереднього підрахунку ймовірностей до визначення ймовірностей настання складних подій.
завдання 1.8. Стрілець виробляє один постріл по мішені. Імовірність вибити 10 очок (подія А), 9 очок (подія В) І 8 очок (подія З) Рівні відповідно 0,11; 0,23; 0,17. Знайти ймовірність того, що при одному пострілі стрілок виб'є менше 8 очок (подія D).
Рішення. Перейдемо до протилежного події - при одному пострілі стрілок виб'є не менше 8 очок. Подія настає, якщо станеться А або В, або З, Тобто . Так як події А, В, З попарно несумісні, то, по теоремі складання,
, Звідки.
завдання 1.9. Від колективу бригади, яка складається з 6 чоловіків і 4 жінок, на профспілкову конференцію вибирається дві людини. Яка ймовірність, що серед обраних хоча б одна жінка (подія А).
Рішення. Якщо станеться подія А, То обов'язково відбудеться одна з наступних несумісних подій: В - «обрані чоловік і жінка»; З - «обрані дві жінки». Тому можна записати: А \u003d В + С. Знайдемо ймовірність подій В і З. Двоє людей з 10 можна вибрати способами. Двох жінок з 4 можна вибрати способами. Чоловіка і жінку можна вибрати 6 × 4 способами. Тоді. Так як події В і З несумісні, то, по теоремі складання,
Р (А) \u003d Р (В + С) \u003d Р (В) + Р (С) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Завдання 1.10. На стелажі в бібліотеці у випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому п'ять з них в палітурці. Бібліотекар бере навмання три підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б один з узятих підручників виявиться в палітурці (подія А).
Рішення. Перший спосіб. Вимога - хоча б один з трьох узятих підручників в палітурці - буде здійснено, якщо станеться кожне з наступних трьох несумісних подій: В - один підручник в палітурці, З - два підручника в палітурці, D - три підручника в палітурці.
Цікавить нас А можна представити у вигляді суми подій: A \u003d B + C + D. По теоремі складання,
P (A) \u003d P (B) + P (C) + P (D). (2.1)
Знайдемо ймовірність подій B, C і D (Див комбінаторні схеми):

Представивши ці ймовірності в рівність (2.1), остаточно отримаємо
P (A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Другий спосіб. подія А (Хоча б один з взятих трьох підручників має палітурка) і Ā (Жоден з узятих підручників не має палітурки) - протилежні, тому P (A) + P (Ā) \u003d 1 (сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює 1). Звідси P (A) = 1 – P (Ā). Імовірність появи події Ā (Жоден з узятих підручників не має палітурки)
шукана ймовірність
P (A) = 1 - P (Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей

умовною ймовірністю Р (В/А) Називається ймовірність події В, обчислена в припущенні, що подія А вже настав.
теорема. Можливість спільного появи двох подій дорівнює добутку ймовірностей одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену в припущенні, що перша подія вже наступило:
Р (А∙В) \u003d Р (А) ∙ Р ( В/А). (2.2)
Дві події називаються незалежними, якщо поява будь-якого з них не змінює ймовірність появи іншого, тобто
Р (А) \u003d Р (А / В) або Р (В) = Р (В/А). (2.3)
якщо події А і В незалежні, то з формул (2.2) і (2.3) слід
Р (А∙В) \u003d Р (А)∙Р (В). (2.4)
Справедливо і зворотне твердження, тобто якщо для двох подій виконується рівність (2.4), то ці події незалежні. Справді, з формул (2.4) і (2.2) випливає
Р (А∙В) \u003d Р (А)∙Р (В) = Р (А) × Р (В/А), Звідки Р (А) = Р (В/А).
Формула (2.2) допускає узагальнення на випадок кінцевого числа подій А 1 , А 2 ,…,А n:
Р (А 1 ∙А 2 ∙…∙А n)=Р (А 1)∙Р (А 2 /А 1)∙Р (А 3 /А 1 А 2)∙…∙Р (А n/А 1 А 2 …А n -1).
завдання 1.11. З урни, в якій 5 білих і 10 чорних куль, виймають поспіль дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі (подія А).
Рішення . Розглянемо події: В - перший вийнятий куля біла; З - другий вийнятий куля біла. тоді А \u003d ВС.
Досвід можна провести двома способами:
1) з поверненням: вийнятий кулю після фіксації кольору повертається в урну. В цьому випадку події В і Знезалежні:
Р (А) \u003d Р (В)∙Р (С) \u003d 5/15 × 5/15 \u003d 1/9;
2) без повернення: вийнятий кулю відкладається в сторону. В цьому випадку події В і З залежні:
Р (А) \u003d Р (В)∙Р (С/В).
для події В умови колишні,, а для З ситуація змінилась. сталося В, Отже в урні залишилося 14 куль, серед яких 4 білих.
Отже,.
завдання 1.12. Серед 50 електричних лампочок 3 нестандартні. Знайти ймовірність того, що дві взяті одночасно лампочки нестандартні.
Рішення . Розглянемо події: А - перша лампочка нестандартна, В - друга лампочка нестандартна, З - обидві лампочки нестандартні. Ясно що С \u003d А∙В. події А сприяють 3 випадки з 50 можливих, тобто Р (А) \u003d 3/50. якщо подія А вже настало, то події В сприяють два випадки з 49 можливих, тобто Р (В/А) \u003d 2/49. отже,
.
завдання 1.13 . Два спортсмена незалежно один від одного стріляють по одній мішені. Ймовірність влучення в мішень першого спортсмена дорівнює 0,7, а другого - 0,8. Яка ймовірність того, що мішень буде вражена?
Рішення . Мішень буде вражена, якщо в неї потрапить або перший стрілок, або другий, або обидва разом, тобто відбудеться подія А + В, Де подія А полягає в попаданні в мішень першим спортсменом, а подія В - другим. тоді
Р (А+В)=Р (А)+Р (В)–Р (А∙В)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Завдання 1.14.В читальному залі є шість підручників з теорії ймовірностей, з яких три в палітурці. Бібліотекар навмання взяв два підручника. Знайти ймовірність того, що два підручника опиняться в палітурці.
Рішення. Введемо позначення подій : A - перший взятий підручник має палітурка, В - другий підручник має халепу. Імовірність того, що перший підручник має палітурка,
P (A) = 3/6 = 1/2.
Імовірність того, що другий підручник має палітурка, за умови, що перший взятий підручник був в палітурці, тобто умовна ймовірність події В, Така: P (B/А) = 2/5.
Шукана ймовірність того, що обидва підручники мають палітурка, по теоремі множення ймовірностей подій дорівнює
P (AB) = P (A) ∙ P (B/А) \u003d 1/2 · ∙ 2/5 \u003d 0,2.
Завдання 1.15. У цеху працюють 7 чоловіків і 3 жінки. За табельною номерами навмання відібрано три людини. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи виявляться чоловіками.
Рішення. Введемо позначення подій: A - першим відібраний чоловік, В - другим відібраний чоловік, С - третім відібраний чоловік. Імовірність того, що першим буде відібраний чоловік, P (A) = 7/10.
Імовірність того, що другим відібраний чоловік, за умови, що першим вже був відібраний чоловік, тобто умовна ймовірність події В наступна : P (B / А) = 6/9 = 2/3.
Імовірність того, що третім буде відібраний чоловік, за умови, що вже відібрані двоє чоловіків, тобто умовна ймовірність події З така: P (C/АВ) = 5/8.
Шукана ймовірність того, що всі три відібраних особи виявляться чоловіками, P (ABC) \u003d P (A) P (B/А) P (C/АВ) \u003d 7/10 · 2/3 · 5/8 \u003d 7/24.

1.2.6. Формула повної ймовірності та формула Байєса

нехай B 1 , B 2 ,…, B n - попарно несумісні події (гіпотези) і А - подія, яка може відбутися тільки спільно з одним з них.
Нехай, крім того, нам відомі Р (B i) і Р (А/B i) (i = 1, 2, …, n).
У цих умовах справедливі формули:
(2.5)
(2.6)
Формула (2.5) називається формулою повної ймовірності . За нею обчислюється ймовірність події А (Повна ймовірність).
Формула (2.6) називається формулою Байеса . Вона дозволяє зробити перерахунок ймовірностей гіпотез, якщо подія А відбулося.
При складанні прикладів зручно вважати, що гіпотези утворюють повну групу.
завдання 1.16. В кошику яблука з чотирьох дерев одного сорту. З першого - 15% всіх яблук, з другого - 35%, з третього - 20%, з четвертого - 30%. Дозрілі яблука складають відповідно 99%, 97%, 98%, 95%.
а) Яка ймовірність того, що навмання взяте яблуко виявиться стиглим (подія А).
б) За умови, що навмання взяте яблуко виявилося стиглим, обчислити вірогідність того, що воно з першого дерева.
Рішення. а) Маємо 4 гіпотези:
B 1 - навмання взяте яблуко знято з 1-го дерева;
B 2 - навмання взяте яблуко знято з 2-го дерева;
B 3 - навмання взяте яблуко знято з 3-го дерева;
B 4 - навмання взяте яблуко знято з 4-го дерева.
Їх ймовірності за умовою: Р (B 1) = 0,15; Р (B 2) = 0,35; Р (B 3) = 0,2; Р (B 4) = 0,3.
Умовні ймовірності події А:
Р (А/B 1) = 0,99; Р (А/B 2) = 0,97; Р (А/B 3) = 0,98; Р (А/B 4) = 0,95.
Імовірність того, що навмання взяте яблуко виявиться стиглим, знаходиться за формулою повної ймовірності:
Р (А)=Р (B 1)∙Р (А/B 1)+Р (B 2)∙Р (А/B 2)+Р (B 3)∙Р (А/B 3)+Р (B 4)∙Р (А/B 4)=0,969.
б) Формула Байеса для нашого випадку має вигляд:
.
Завдання 1.17. В урну, яка містить дві кулі, опущений біла куля, після чого з неї навмання витягнутий один шар. Знайти ймовірність того, що витягнутий куля виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення про початковий складі куль (за кольором).
Рішення. позначимо через А подія - витягнутий біла куля. Можливі наступні припущення (гіпотези) про початковий складі куль: B 1 - білих куль немає, В 2 - один біла куля, У 3 - два білих кулі.
Оскільки всього є три гіпотези, і сума ймовірностей гіпотез дорівнює 1 (так як вони утворюють повну групу подій), то ймовірність кожної з гіпотез дорівнює 1/3, тобто.
P (B 1) = P (B 2) \u003d P (B 3) = 1/3.
Умовна ймовірність того, що буде витягнуто біла куля, при умові, що спочатку в урні не було білих куль, Р (А/B 1) \u003d 1/3. Умовна ймовірність того, що буде витягнуто біла куля, при умові, що спочатку в урні був один біла куля, Р (А/B 2) \u003d 2/3. Умовна ймовірність того, що буде витягнуто біла куля, при умові, що спочатку в урні було два білих кулі Р (А/B 3)=3/ 3=1.
Шукану ймовірність того, що буде витягнуто біла куля, знаходимо за формулою повної ймовірності:
Р(А)=Р (B 1)∙Р (А/B 1)+Р (B 2)∙Р (А/B 2)+Р (B 3)∙Р (А/B 3) \u003d 1/3 · 1/3 + 1/3 · 2/3 + 1/3 · 1 \u003d 2/3 .
завдання 1.18. Два автомата виробляють однакові деталі, які надходять на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більше продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий - 84%. Навмання взята з конвеєра деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.
Рішення. позначимо через А подія - деталь відмінної якості. Можна зробити два припущення: B 1 - деталь зроблена першим автоматом, причому (оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше деталей, ніж другий) Р (А/B 1) = 2/3; B 2 - деталь зроблена другим автоматом, причому P (B 2) = 1/3.
Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена першим автоматом, Р (А/B 1)=0,6.
Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена другим автоматом, Р (А/B 1)=0,84.
Імовірність того, що навмання взята деталь виявиться відмінної якості, за формулою повної ймовірності дорівнює
Р (А)=Р (B 1) ∙Р (А/B 1)+Р (B 2) ∙Р (А/B 2) \u003d 2/3 · 0,6 + 1/3 · 0,84 \u003d 0,68.
Шукана ймовірність того, що взята відмінна деталь зроблена першим автоматом, за формулою Бейеса дорівнює

завдання 1.19. Є три партії деталей по 20 деталей в кожній. Число стандартних деталей в першій, другій і третій партіях відповідно рівні 20, 15, 10. З обраної партії навмання витягнута деталь, яка виявилася стандартною. Деталі повертають в партію і вдруге з цієї ж партії навмання витягують деталь, яка також виявляється стандартною. Знайти ймовірність того, що деталі були витягнуті з третьої партії.
Рішення. позначимо через А подія - в кожному з двох випробувань (з поверненням) була залучена стандартна деталь. Можна зробити три припущення (гіпотези): B 1 - деталі витягуються з першої партії, В 2 - деталі витягуються з другої партії, В 3 - деталі витягуються з третьої партії.
Деталі витягувалися навмання з взятої партії, тому ймовірності гіпотез однакові: P (B 1) = P (B 2) = P (B 3) = 1/3.
Знайдемо умовну ймовірність Р (А/B 1), тобто ймовірність того, що з першої партії будуть послідовно витягнуті дві стандартні деталі. Ця подія достовірно, тому що в першій партії всі деталі стандартні, тому Р (А/B 1) = 1.
Знайдемо умовну ймовірність Р (А/B 2), тобто ймовірність того, що з другої партії будуть послідовно витягнуті (з поверненням) дві стандартні деталі: Р (А/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Знайдемо умовну ймовірність Р (А/B 3), тобто ймовірність того, що з третьої партії будуть послідовно витягнуті (з поверненням) дві стандартні деталі: Р (А/B 3) \u003d 10/20 · 10/20 \u003d 1/4.
Шукана ймовірність того, що обидві витягнуті стандартні деталі взяті з третьої партії, за формулою Бейеса дорівнює

1.2.7. повторні випробування

Якщо проводиться кілька випробувань, причому ймовірність події Ав кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними щодо події А. У різних незалежних випробуваннях подія Аможе мати або різні ймовірності, або одну і ту ж ймовірність. Будемо далі розглядати лише такі незалежні випробування, в яких подія Амає одну ту ж ймовірність.
нехай проводиться пнезалежних випробувань, в кожному з яких подія Аможе з'явитися або не з'явитися. Домовимося вважати, що ймовірність події Ав кожному випробуванні одна і та ж, а саме дорівнює р.Отже, ймовірність ненастання події Ав кожному випробуванні також є сталою і дорівнює 1 р. Така імовірнісна схема називається схемою Бернуллі. Поставимо перед собою задачу обчислити вірогідність того, що при пвипробуваннях за схемою Бернуллі подія А здійсниться рівно k раз ( k - число успіхів) і, отже, не здійсниться п- раз. Важливо підкреслити, що не потрібно, щоб подія Аповторилося рівно k раз в певній послідовності. Шукану ймовірність позначимо Р п (k). Наприклад, символ Р 5 (3) означає ймовірність того, що в п'яти випробуваннях подія з'явиться рівно 3 рази і, отже, не наступить 2 рази.
Поставлену задачу можна вирішити за допомогою так званої формули Бернуллі, яка має вигляд:
.
Завдання 1.20.Імовірність того, що витрата електроенергії протягом однієї доби не перевищить встановлену норму, дорівнює р\u003d 0,75. Знайти ймовірність того, що в найближчі 6 діб витрата електроенергії протягом 4 діб не перевищить норми.
Рішення. Імовірність нормального витрати електроенергії протягом кожних з 6 діб постійна і дорівнює р\u003d 0,75. Отже, ймовірність перевитрати електроенергії в кожну добу також є сталою і дорівнює q \u003d1–р=1–0,75=0,25.
Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює
.
завдання 1.21. Два рівносильних шахіста грають в шахи. Що імовірніше: виграти дві партії з чотирьох чи три партії з шести (нічиї до уваги не беруться)?
Рішення. Грають рівносильні шахісти, тому ймовірність виграшу р \u003d 1/2, отже, ймовірність програшу q також дорівнює 1/2. Оскільки у всіх партіях ймовірність виграшу постійна і байдужа, в якій послідовності будуть виграні партії, то може бути застосована формула Бернуллі.
Знайдемо ймовірність того, що дві партії з чотирьох будуть виграні:

Знайдемо ймовірність того, що будуть виграні три партії з шести:

Оскільки P 4 (2) > P 6 (3), то найімовірніше виграти дві партії з чотирьох, ніж три з шести.
Однакоможно бачити, що користуватися формулою Бернуллі при великих значеннях n досить важко, так як формула вимагає виконання дій над величезними числами і тому в процесі обчислень накопичуються похибки; в результаті остаточний результат може значно відрізнятися від істинного.
Для вирішення цієї проблеми існують кілька граничних теорем, які використовуються для випадку великого числа випробувань.
1. Теорема Пуассона
При проведенні великого числа випробувань за схемою Бернуллі (при n \u003d\u003e ∞) і при малому числі сприятливих результатів k (При цьому передбачається, що ймовірність успіху p мала), формула Бернуллі наближається до формули Пуассона
.
Приклад 1.22. Імовірність браку при випуску підприємством одиниці продукції дорівнює p\u003d 0,001. Яка ймовірність, що при випуску 5000 одиниць продукції з них буде менше 4 бракованих (подія А Рішення. Оскільки n велике, скористаємося локальною теоремою Лапласа:

обчислимо x:
функція - парна, тому φ (-1,67) \u003d φ (1,67).
По таблиці додатка п.1 знайдемо φ (1,67) \u003d 0,0989.
шукана ймовірність P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Інтегральна теорема Лапласа
якщо ймовірність р появи події A в кожному випробуванні за схемою Бернуллі постійна і відмінна від нуля і одиниці, то при великому числі випробувань n , ймовірність Р п (k 1 , k 2) появи події A в цих випробуваннях від k 1 до k 2 раз наближено дорівнює
Р п(k 1 , k 2) \u003d Φ ( x "") – Φ ( x "), Де
- функція Лапласа,

Визначений інтеграл, що стоїть в функції Лапласа обчислюється на класі аналітичних функцій, тому для його обчислення використовується табл. П.2, наведена в додатку.
Приклад 1.24.Імовірність появи події в кожному зі ста незалежних випробувань постійна і дорівнює p \u003d 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться: a) не менше 75 разів і не більше 90 разів; б) не менше 75 разів; в) не більше 74 разів.
Рішення. Скористаємося інтегральною теоремою Лапласа:
Р п(k 1 , k 2) \u003d Φ ( x "") – Φ( x "), Де Ф ( x) - функція Лапласа,

а) За умовою, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 \u003d 90. Обчислимо x "" і x " :


З огляду на, що функція Лапласа непарна, тобто Ф (- x) \u003d - Ф ( x), Отримаємо
P 100 (75; 90) \u003d Ф (2,5) - Ф (-1,25) \u003d Ф (2,5) + Ф (1,25).
За табл. П.2. додатки знайдемо:
Ф (2,5) \u003d 0,4938; Ф (1,25) \u003d 0,3944.
шукана ймовірність
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
б) Вимога, щоб подія з'явилося не менше 75 разів, означає, що число появ події може дорівнювати 75, або 76, ..., або 100. Таким чином, в даному випадку слід прийняти k 1 = 75, k 2 \u003d 100. Тоді

.
За табл. П.2. додатки знайдемо Ф (1,25) \u003d 0,3944; Ф (5) \u003d 0,5.
шукана ймовірність
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
в) Подія - « А з'явилося не менше 75 разів »і« А з'явилося не більше 74 разів »протилежні, тому сума ймовірностей цих подій дорівнює 1. Отже, шукана ймовірність
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Теорія ймовірності - досить великий самостійний розділ математики. У шкільному курсі теорія ймовірності розглядається дуже поверхнево, проте в ЄДІ і ДПА є завдання на дану тему. Втім, вирішувати завдання шкільного курсу не так вже й складно (принаймні те, що стосується арифметичних операцій) - тут не потрібно вважати похідні, брати інтеграли і вирішувати складні тригонометричні перетворення - головне, вміти поводитися з простими числами і дробами.

Теорія ймовірності - основні терміни

Головні терміни теорії ймовірності - випробування, результат і випадкова подія. Випробуванням в теорії ймовірності називають експеримент - підкинути монету, витягнути карту, провести жеребкування - все це випробування. Результат випробування, як ви вже здогадалися, називається результатом.

А що ж таке випадковість події? У теорії ймовірності передбачається, що випробування проводиться жоден раз і результатів багато. Випадковою подією називають безліч результатів випробування. Наприклад, якщо ви кидаєте монету, може статися два випадкових події - випаде орел чи решка.

Не плутайте поняття результат і випадкова подія. Результат - це один результат одного випробування. Випадкова подія - це безліч можливих результатів. Існує, до речі, і такий термін, як неможлива подія. Наприклад, подія "випало число 8" на стандартному ігровому кубику є неможливим.

Як знайти ймовірність?

Всі ми приблизно розуміємо, що таке ймовірність, і досить часто використовуємо це слово в своєму лексиконі. Крім того, ми можемо навіть робити деякі висновки щодо ймовірності тієї чи іншої події, наприклад, якщо за вікном сніг, ми з великою ймовірністю можемо сказати, що зараз не літо. Однак як виразити це припущення чисельно?

Для того щоб ввести формулу для знаходження ймовірності, введемо ще одне поняття - сприятливі результат, т. Е. Результат, який є сприятливим для тієї чи іншої події. Визначення досить двозначну, звичайно, проте за умовами задачі завжди зрозуміло, який з результатів сприятливий.

Наприклад: У класі 25 осіб, троє з них Каті. Учитель призначає чергової Олю, і їй потрібен напарник. Яка ймовірність того, що напарником стане Катя?

В даному прикладі успішний результат - напарник Катя. Трохи пізніше ми вирішимо це завдання. Але спочатку введемо за допомогою додаткового визначення формулу для знаходження ймовірності.

• Р \u003d А / N, де P - ймовірність, A - число сприятливих результатів, N - загальна кількість випадків.

Всі шкільні завдання крутяться навколо однієї цієї формули, і головна трудність зазвичай полягає в знаходженні результатів. Іноді їх знайти просто, іноді - не дуже.

Як вирішувати завдання на ймовірність?

завдання 1

Отже, тепер давайте вирішимо поставлену вище завдання.

Число сприятливих результатів (вчитель вибере Катю) дорівнює трьом, адже кати в класі три, а загальних результатів - 24 (25-1, адже Оля вже вибрана). Тоді ймовірність дорівнює: P \u003d 3/24 \u003d 1/8 \u003d 0,125. Таким чином, ймовірність того, що напарником Олі виявиться Катя, становить 12,5%. Нескладно, правда? Давайте розберемо дещо складніша.

завдання 2

Монету кинули два рази, наскільки ймовірним є випадання комбінації: один орел і одна решка?

Отже, вважаємо загальні результати. Як можуть випасти монети - орел / орел, решка / решка, орел / решка, решка / орел? Значить, загальне число випадків - 4. Скільки сприятливих результатів? Два - орел / решка і решка / орел. Таким чином, ймовірність випадання комбінації орел / решка дорівнює:

• P \u003d 2/4 \u003d 0,5 або 50 відсотків.

А тепер розглянемо таку задачу. У Маші в кишені 6 монет: дві - номіналом 5 рублів і чотири - номіналом 10 рублів. Маша переклала 3 монети в іншу кишеню. Яка ймовірність того, що 5-рублеві монети виявляться в різних кишенях?

Для простоти позначимо монети цифрами - 1,2 - п'ятирубльових монети, 3,4,5,6 - десятикарбованцеві монети. Отже, як можуть лежати монети в кишені? Всього є 20 комбінацій:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

На перший погляд може здатися, що деякі комбінації пропали, наприклад, 231, проте в нашому випадку комбінації 123, 231 і 321 рівнозначні.

Тепер вважаємо, скільки у нас сприятливих результатів. За них беремо ті комбінації, в яких є або цифра 1, або цифра 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Їх 12. Таким чином, ймовірність дорівнює:

• P \u003d 12/20 \u003d 0,6 або 60%.

Завдання з теорії ймовірності, представлені тут, досить прості, однак не думайте, що теорія ймовірності - це простий розділ математики. Якщо ви вирішите продовжувати освіту у ВНЗ (за винятком гуманітарних спеціальностей), у вас обов'язково будуть пари з вищої математики, на яких вас ознайомлять з більш складними термінами даної теорії, і завдання там будуть куди складніше.

Коротка теорія

Для кількісного порівняння подій за ступенем можливості їх появи вводиться числова міра, яка називається ймовірністю події. Ймовірністю випадкової події називається число, яке є вираженням заходи об'єктивної можливості появи події.

Величини, що визначають, наскільки значні об'єктивні підстави розраховувати на появу події, характеризуються ймовірністю події. Необхідно підкреслити, що ймовірність є об'єктивна величина, яка існує незалежно від того, хто пізнає і обумовлена \u200b\u200bвсією сукупністю умов, які сприяють появі події.

Пояснення, які ми дали поняття ймовірності, не є математичним визначенням, так як вони не визначають це поняття кількісно. Існує кілька визначень ймовірності випадкової події, які широко застосовуються при вирішенні конкретних завдань (класичне, геометричне визначення ймовірності, статистичне і т. Д.).

Класичне визначення ймовірності події зводить це поняття до більш елементарному поняттю рівно можливих подій, яке вже не підлягає визначенню і передбачається інтуїтивно зрозумілим. Наприклад, якщо гральна кістка - однорідний куб, то випадання будь-якої з граней цього куба будуть рівно можливими подіями.

Нехай достовірна подія розпадається на рівно можливих випадків, сума яких дає подія. Тобто випадки з, на які розпадається, називаються сприятливими для події, так як поява одного з них забезпечує наступ.

Імовірність події будемо позначати символом.

Імовірність події дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють йому, із загального числа єдино можливих, рівно можливих і несумісних випадків до числа, т. Е.

Це є класичне визначення ймовірності. Таким чином, для знаходження ймовірності події необхідно, розглянувши різні результати випробування, знайти сукупність єдино можливих, рівно можливих і несумісних випадків, підрахувати загальну їх кількість n, число випадків m, що сприяють даної події, і потім виконати розрахунок за вищенаведеною формулою.

Імовірність події, що дорівнює відношенню числа сприятливих події фіналів досвіду до загальної кількості випадків досвіду називається класичної ймовірністю випадкової події.

З визначення випливають такі властивості ймовірності:

Властивість 1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Властивість 2. Імовірність неможливого події дорівнює нулю.

Властивість 3. Імовірність випадкової події є позитивне число, укладену між нулем і одиницею.

Властивість 4. Імовірність настання подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

Властивість 5. Імовірність настання протилежної події визначається так само, як і ймовірність настання події A.

Число випадків, що сприяють появі протилежного події. Звідси ймовірність настання протилежної події дорівнює різниці між одиницею і ймовірністю настання події A:

Важливе значення класичного визначення ймовірності події полягає в тому, що з його допомогою ймовірність події можна визначити, не вдаючись до досвіду, а виходячи з логічних міркувань.

При виконанні комплексу умов достовірна подія обов'язково відбудеться, а неможливе обов'язково не відбудеться. Серед подій, які при створенні комплексу умов можуть відбутися, а можуть не відбутися, на появу одних можна розраховувати з більшими підставами, на появу інших з меншим підставою. Якщо, наприклад, в урні білих куль більше, ніж чорних, то сподіватися на появу білого кулі під час виймання з урни навмання більше підстав, ніж на появу чорного кулі.

На сусідній сторінці розглядається.

Приклад рішення задачі

приклад 1

В ящику знаходиться 8 білих, 4 чорних і 7 червоних куль. Навмання витягнуті 3 кулі. Знайти ймовірності наступних подій: - витягнутий по крайней мере 1 червоний куля, - є по крайней мере 2 кулі одного кольору, - є принаймні 1 червоний і 1 біла куля.

Рішення задачі

Загальна кількість результатів випробування знайдемо як число поєднань з 19 (8 + 4 + 7) елементів по 3:

Знайдемо ймовірність події - витягнутий по крайней мере 1 червоний куля (1,2 або 3 червоних кулі)

Шукана ймовірність:

нехай подія - є принаймні 2 кулі одного кольору (2 або 3 білих кулі, 2 або 3 чорних кулі і 2 або 3 червоних кулі)

Число випадків, що сприяють події:

Шукана ймовірність:

нехай подія - є принаймні один червоний і 1 біла куля

(1 червоний, 1 білий, 1 чорний або 1 червоний, 2 білих або 2 червоних, 1 білий)

Число випадків, що сприяють події:

Шукана ймовірність:

відповідь:P (A) \u003d 0.773; P (C) \u003d 0.7688; P (D) \u003d 0.6068

приклад 2

Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума балів не менше 5.

Рішення

Нехай подія - сума балів не менше 5

Скористаємося класичним визначенням ймовірності:

Загальна кількість можливих результатів випробування

Число випробувань, що сприяють цікавого для нас події

На випала межі першого грального кубика може з'явитися одне очко, два очка ..., шість очок. Аналогічно шість випадків можливі при киданні другого кубика. Кожен з випадків кидання першої кістки може поєднуватися з кожним з результатів другої. Таким чином, загальне число можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу розміщень з повтореннями (вибір з розміщеннями 2 елементів із сукупності обсягу 6):

Знайдемо ймовірність протилежної події - сума очок менше 5

Сприяти події будуть такі поєднання випали очок:

На ціну сильно впливає терміновість вирішення (від доби до декількох годин). Онлайн-допомога на іспиті / заліку здійснюється за попереднім записом.

Заявку можна залишити прямо в чаті, попередньо скинувши умова завдань і повідомивши необхідні вам терміни рішення. Час відповіді - кілька хвилин.

Спочатку, будучи всього лише зборами відомостей і емпіричних спостережень за грою в кістки, теорія ймовірності стала грунтовної наукою. Першими, хто надав їй математичний каркас, були Ферма і Паскаль.

Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей

Дві особи, яким теорія ймовірностей зобов'язана багатьма фундаментальними формулами, Блез Паскаль і Томас Байес, відомі як глибоко віруючі люди, останній був пресвітеріанським священиком. Мабуть, прагнення цих двох вчених довести помилковість думки про якусь Фортуні, дарована удачу своїм улюбленцям, дало поштовх до досліджень в цій області. Адже насправді будь-яка азартна гра з її виграшами і програшами - це всього лише симфонія математичних принципів.

Завдяки азарту кавалера де Мері, який в рівній мірі був гравцем і людиною небайдужою до науки, Паскаль змушений був знайти спосіб розрахунку ймовірності. Де Мері цікавив таке питання: "Скільки разів потрібно викидати попарно дві кістки, щоб ймовірність отримати 12 очок перевищувала 50%?". Друге питання, вкрай цікавило кавалера: "Як розділити ставку між учасниками незакінченою гри?" Зрозуміло, Паскаль успішно відповів на обидва запитання де Мері, який став мимовільним зачинателем розвитку теорії ймовірностей. Цікаво, що персона де Мері так і залишилася відома в даній області, а не в літературі.

Раніше жоден математик ще не робив спроб обчислювати ймовірності подій, оскільки вважалося, що це лише ворожильна рішення. Блез Паскаль дав перше визначення ймовірності події та показав, що це конкретна цифра, яку можна обґрунтувати математичним шляхом. Теорія ймовірностей стала основою для статистики і широко застосовується в сучасній науці.

Що таке випадковість

Якщо розглядати випробування, яке можна повторити нескінченне число разів, тоді можна дати визначення випадковій події. Це один з можливих фіналів досвіду.

Досвідом є здійснення конкретних дій в незмінних умовах.

Щоб можна було працювати з результатами досвіду, події зазвичай позначають буквами А, B, C, D, Е ...

Імовірність випадкової події

Щоб можна було приступити до математичної частини ймовірності, потрібно дати визначення всіх її складових.

Імовірність події - це виражена в числовий формі міра можливості появи деякої події (А або B) в результаті досвіду. Позначається ймовірність як P (A) або P (B).

У теорії ймовірностей відрізняють:

• достовірне подія гарантовано відбувається в результаті досвіду Р (Ω) \u003d 1;
• неможливе подія ніколи не може статися Р (Ø) \u003d 0;
• випадкове подія лежить між достовірним і неможливим, то є ймовірність його появи можлива, але не гарантована (ймовірність випадкового події завжди в межах 0≤Р (А) ≤ 1).

Відносини між подіями

Розглядають як одне, так і суму подій А + В, коли подія зараховується при здійсненні хоча б одного зі складових, А чи В, або обох - А і В.

По відношенню один до одного події можуть бути:

• Рівноможливими.
• Сумісними.
• Несумісними.
• Протилежними (взаємовиключними).
• Залежними.

Якщо дві події можуть статися з однаковою ймовірністю, то вони рівноможливими.

Якщо поява події А чи не зводить до нуля ймовірність поява події B, то вони сумісні.

Якщо події А і В будь-коли відбуваються одночасно в одному і тому ж досвіді, то їх називають несумісними. Кидання монети - хороший приклад: поява решки - це автоматично не появу орла.

Імовірність для суми таких несумісних подій складається з суми ймовірностей кожного з подій:

Р (А + В) \u003d Р (А) + Р (В)

Якщо наступ однієї події робить неможливим настання іншого, то їх називають протилежними. Тоді одна з них позначають як А, а інше - Ā (читається як «Не А»). Поява події А означає, що Ā не відбулося. Ці дві події формують повну групу з сумою ймовірностей, що дорівнює 1.

Залежні події мають взаємний вплив, зменшуючи або збільшуючи ймовірність один одного.

Відносини між подіями. приклади

На прикладах набагато простіше зрозуміти принципи теорії ймовірностей і комбінації подій.

Досвід, який буде проводитися, полягає в витягуванні кульок з ящика, а результату кожного досвіду - елементарний результат.

Подія - це один з можливих результатів досвіду - червоний куля, синій куля, куля з номером шість і т. Д.

Випробування №1. Беруть участь 6 куль, три з яких пофарбовані в синій колір, на них нанесені непарні цифри, а три інших - червоні з парними цифрами.

Випробування №2. Беруть участь 6 куль синього кольору з цифрами від одного до шести.

Виходячи з цього прикладу, можна назвати комбінації:

• Достовірна подія. В ісп. №2 подія «дістати синій куля» достовірне, оскільки ймовірність його появи дорівнює 1, так як всі кулі сині і промаху бути не може. Тоді як подія «дістати кулю з цифрою 1» - випадкове.
• Неможливе подія. В ісп. №1 з синіми і червоними кулями подія «дістати фіолетова куля» неможливе, оскільки ймовірність його появи дорівнює 0.
• Рівноможливими події. В ісп. №1 події «дістати кулю з цифрою 2» і «дістати кулю з цифрою 3» рівноможливими, а події «дістати кулю з парним числом» і «дістати кулю з цифрою 2» мають різну ймовірність.
• Сумісні події. Два рази поспіль отримати шістку в процесі кидання гральної кістки - це сумісні події.
• Несумісні події. У тому ж ісп. №1 події «дістати червоний куля» і «дістати кулю з непарним числом» не можуть бути суміщені в одному і тому ж досвіді.
• Протилежні події. Найбільш яскравий приклад цього - підкидання монет, коли витягування орла рівносильно невитягіванію решки, а сума їх ймовірностей - це завжди 1 (повна група).
• Зовсім події. Так, в ісп. №1 можна поставити собі за мету отримати два рази поспіль червону кулю. Його витяг або витягуванні її в перший раз впливає на можливість отримання вдруге.

Видно, що перша подія суттєво впливає на ймовірність другого (40% і 60%).

Формула ймовірності події

Перехід від гадательних роздумів до точних даними відбувається за допомогою переказу теми в математичну площину. Тобто судження про випадковий подію на кшталт "велика ймовірність" або "мінімальна ймовірність" можна перевести до конкретних числових даних. Такий матеріал вже допустимо оцінювати, порівнювати і вводити в більш складні розрахунки.

З точки зору розрахунку, визначення ймовірності події - це відношення кількості елементарних позитивних результатів до кількості всіх можливих результатів досвіду щодо певної події. Позначається ймовірність через Р (А), де Р означає слово «probabilite», що з французької перекладається як «вірогідність».

Отже, формула ймовірності події:

Де m - кількість сприятливих результатів для події А, n - сума всіх результатів, можливих для цього досвіду. При цьому ймовірність події завжди лежить між 0 і 1:

0 ≤ Р (А) ≤ 1.

Розрахунок ймовірності події. приклад

Візьмемо ісп. №1 з кулями, яке описано раніше: 3 синіх кулі з цифрами 1/3/5 і 3 червоних з цифрами 2/4/6.

На підставі цього випробування можна розглядати кілька різних завдань:

• A - випадання червоного кулі. Червоних куль 3, а всього варіантів 6. Це найпростіший приклад, в якому ймовірність події дорівнює Р (А) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• B - випадання парного числа. Всього парних чисел 3 (2,4,6), а загальна кількість можливих числових варіантів - 6. Імовірність цієї події дорівнює Р (B) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• C - випадання числа, більшого, ніж 2. Всього таких варіантів 4 (3,4,5,6) із загальної кількості можливих результатів 6. Імовірність події С дорівнює Р (С) \u003d 4/6 \u003d 0,67.

Як видно з розрахунків, подія С має велику ймовірність, оскільки кількість ймовірних позитивних результатів вище, ніж в А і В.

несумісні події

Такі події не можуть одночасно з'явитися в одному і тому ж досвіді. Як в ісп. №1 неможливо одночасно дістати синій і червоний куля. Тобто можна дістати або синій, або червону кулю. Точно так же в гральної кістки не можуть одночасно з'явитися парне і непарне число.

Імовірність двох подій розглядається як ймовірність їх суми або твори. Сумою таких подій А + В вважається така подія, яка полягає в появі події А чи В, а твір їх АВ - в появі обох. Наприклад, поява двох шісток відразу на гранях двох кубиків в одному кидку.

Сума кількох подій являє собою подія, яка передбачає появу, по крайней мере, одного з них. Твір декількох подій - це спільна поява їх усіх.

У теорії ймовірності, як правило, вживання союзу "і" позначає суму, союзу "або" - множення. Формули з прикладами допоможуть зрозуміти логіку додавання і множення в теорії ймовірностей.

Імовірність суми несумісних подій

Якщо розглядається ймовірність несумісних подій, то ймовірність суми подій дорівнює додаванню їх ймовірностей:

Р (А + В) \u003d Р (А) + Р (В)

Наприклад: обчислимо ймовірність того, що в ісп. №1 з синіми і червоними кулями випаде число між 1 і 4. Розрахуємо не в одну дію, а сумою ймовірностей елементарних складових. Отже, в такому досвіді всього 6 куль або 6 за всіма можливими результатами. Цифри, які задовольняють умову, - 2 і 3. Вірогідність випадання цифри 2 становить 1/6, ймовірність цифра 3 також 1/6. Імовірність того, що випаде цифра між 1 і 4 дорівнює:

Імовірність суми несумісних подій повної групи дорівнює 1.

Так, якщо в досвіді з кубиком скласти ймовірності випадання всіх цифр, то в результаті отримаємо одиницю.

Також це справедливо для протилежних подій, наприклад в досвіді з монетою, де одна її сторона - це подія А, а інша - протилежна подія Ā, як відомо,

Р (А) + Р (Ā) \u003d 1

Імовірність твори несумісних подій

Множення ймовірностей застосовують, коли розглядають появу двох і більше несумісних подій в одному спостереженні. Імовірність того, що в ньому з'являться події A і B одночасно, дорівнює добутку їх ймовірностей, або:

Р (А * В) \u003d Р (А) * Р (В)

Наприклад, ймовірність того, що в ісп. №1 в результаті двох спроб два рази з'явиться синій куля, дорівнює

Тобто ймовірність настання події, коли в результаті двох спроб з витяганням куль буде витягнуто тільки сині кулі, дорівнює 25%. Дуже легко виконати практичні експерименти цього завдання і побачити, чи так це насправді.

спільні події

Події вважаються спільними, коли поява одного з них може збігтися з появою іншого. Незважаючи на те що вони спільні, розглядається ймовірність незалежних подій. Наприклад, кидання двох гральних кісток може дати результат, коли на обох з них випадає цифра 6. Хоча події збіглися і з'явилися одночасно, вони незалежні один від одного - могла випасти всього одна шістка, друга кістка на неї впливу не має.

Імовірність спільних подій розглядають як ймовірність їх суми.

Імовірність суми спільних подій. приклад

Імовірність суми подій А і В, які по відношенню один до одного спільні, дорівнює сумі ймовірностей події за вирахуванням ймовірності їх твори (тобто їх спільного впровадження):

Р совместн. (А + В) \u003d Р (А) + Р (В) - Р (АВ)

Припустимо, що ймовірність попадання в мішень одним пострілом дорівнює 0,4. Тоді подія А - влучення в мішень в першій спробі, В - у другій. Ці події спільні, оскільки не виключено, що можна вразити мішень і з першого, і з другого пострілу. Але події не є залежними. Яка ймовірність настання події поразки мішені з двох пострілів (хоча б з одного)? Відповідно до формули:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Відповідь на питання наступний: "Вірогідність потрапити в ціль з двох пострілів дорівнює 64%".

Ця формула ймовірності події може бути застосовна і до несумісною подій, де ймовірність спільно появи події Р (АВ) \u003d 0. Це означає, що ймовірність суми несумісних подій можна вважати окремим випадком запропонованої формули.

Геометрія ймовірності для наочності

Цікаво, що ймовірність суми спільних подій може бути представлена \u200b\u200bу вигляді двох областей А і В, які перетинаються між собою. Як видно з картинки, площа їх об'єднання дорівнює загальній площі за мінусом області їх перетину. Це геометричне пояснення роблять більш зрозумілою нелогічну на перший погляд формулу. Відзначимо, що геометричні рішення - не рідкість в теорії ймовірностей.

Визначення ймовірності суми безлічі (більше двох) спільних подій досить громіздке. Щоб обчислити її, потрібно скористатися формулами, які передбачені для цих випадків.

Зовсім події

Залежними події називаються в разі, якщо наступ одного (А) з них впливає на ймовірність настання іншого (В). Причому враховується вплив як появи події А, так і його не появу. Хоча події і називаються залежними по визначенню, але залежно лише одне з них (В). Звичайна ймовірність позначалася як Р (В) або ймовірність незалежних подій. У випадку з залежними вводиться нове поняття - умовна ймовірність Р A (В), яка є ймовірністю залежного події В за умови, що сталося події А (гіпотези), від якого воно залежить.

Але ж подія А так само випадково, тому у нього також є ймовірність, яку потрібно і можна враховувати в здійснюваних розрахунках. Далі на прикладі буде показано, як працювати з залежними подіями і гіпотезою.

Приклад розрахунку ймовірності залежних подій

Хорошим прикладом для розрахунку залежних подій може стати стандартна колода карт.

На прикладі колоди в 36 карт розглянемо залежні події. Потрібно визначити ймовірність того, що друга карта, витягнута з колоди, буде бубновою масті, якщо перша витягнута:

1. Бубнова.
2. Інший масті.

Очевидно, що ймовірність другої події В залежить від першого А. Так, якщо справедливий перший варіант, що в колоді стало на 1 карту (35) і на 1 бубна (8) менше, ймовірність події В:

Р A (В) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Якщо ж справедливий другий варіант, то в колоді стало 35 карт, і як і раніше зберігся повний число бубон (9), тоді ймовірність наступної події В:

Р A (В) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Видно, що якщо подія А домовлено в тому, що перша карта - бубна, то ймовірність події В зменшується, і навпаки.

Множення залежних подій

Керуючись попередньої главою, ми приймаємо перша подія (А) як факт, але якщо говорити по суті, воно має випадковий характер. Імовірність цієї події, а саме витяг бубни з колоди карт, дорівнює:

Р (А) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Оскільки теорія не існує сама по собі, а покликана служити в практичних цілях, то справедливо відзначити, що частіше за все потрібна ймовірність твори залежних подій.

Згідно з теоремою про твір ймовірностей залежних подій, ймовірність появи спільно залежних подій А і В дорівнює ймовірності однієї події А, помножена на умовну ймовірність події В (залежного від А):

Р (АВ) \u003d Р (А) * Р A (В)

Тоді в прикладі з колодою можливість отримання двох карт з мастю бубни дорівнює:

9/36 * 8/35 \u003d 0,0571, або 5,7%

І можливість отримання з самого початку не бубни, а потім бубни, дорівнює:

27/36 * 9/35 \u003d 0,19, або 19%

Видно, що ймовірність появи події В більше за умови, що першою витягується карта масті, відмінною від бубни. Такий результат цілком логічний і зрозумілий.

Повна ймовірність події

Коли завдання з умовними ймовірностями стає багатогранною, то звичайними методами її обчислити не можна. Коли гіпотез більше двох, а саме А1, А2, ..., А n, ..образует повну групу подій за умови:

• P (A i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i ∩ A j \u003d Ø, i ≠ j.
• Σ k A k \u003d Ω.

Отже, формула повної ймовірності для події В при повній групі випадкових подій А1, А2, ..., А n дорівнює:

Погляд у майбутнє

Імовірність випадкової події вкрай необхідна в багатьох сферах науки: економетрики, статистикою, у фізиці і т. Д. Оскільки деякі процеси неможливо описати детерміновано, так як вони самі мають імовірнісний характер, необхідні особливі методи роботи. Теорія ймовірності події може бути використана в будь-який технологічною сфері як спосіб визначити можливість помилки або несправності.

Можна сказати, що, пізнаючи ймовірність, ми певним чином робимо теоретичний крок в майбутнє, розглядаючи його через призму формул.

главаI. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ. ЙМОВІРНІСТЬ

1.1. Закономірність і випадковість, випадкова мінливість в точних науках, в біології та медицині

Теорія ймовірностей - область математики, що вивчає закономірності у випадкових явищах. Випадкове явище - це явище, яке при неодноразовому відтворенні одного і того ж досвіду може протікати кожен раз дещо по-іншому.

Очевидно, що в природі немає жодного явища, в якому не були присутні б в тій чи іншій мірі елементи випадковості, але в різних ситуаціях ми враховуємо їх по-різному. Так, в ряді практичних задач ними можна знехтувати і розглядати замість реального явища його спрощену схему - «модель», припускаючи, що в даних умовах досвіду явище протікає цілком певним чином. При цьому виділяються найголовніші, вирішальні чинники, що характеризують явище. Саме така схема вивчення явищ найчастіше застосовується у фізиці, техніці, механіці; саме так виявляється основна закономірність , властива даному явищу і дає можливість передбачити результат досвіду по заданими вихідними умовами. А вплив випадкових, другорядних, факторів на результат досвіду враховується тут випадковими помилками вимірів (методику їх розрахунку розглянемо далі).

Однак описана класична схема так званих точних наук погано пристосована для вирішення багатьох завдань, в яких численні, тісно переплітаються між собою випадкові фактори відіграють помітну (часто визначальну) роль. Тут на перший план виступає випадкова природа явища, якої вже не можна знехтувати. Це явище необхідно вивчати саме з точки зору закономірностей, властивих йому як випадковому явищу. У фізиці прикладами таких явищ є броунівський рух, радіоактивний розпад, ряд квантово-механічних процесів і ін.

Предмет вивчення біологів і медиків - живий організм, зародження, розвиток та існування якого визначається дуже багатьма і різноманітними, часто випадковими зовнішніми і внутрішніми факторами. Саме тому явища і події живого світу багато в чому теж випадкові за своєю природою.

Елементи невизначеності, складності, багатопричинне, властиві випадковим явищам, обумовлюють необхідність створення спеціальних математичних методів для вивчення цих явищ. Розробка таких методів, встановлення специфічних закономірностей, властивих випадковим явищам, -головний задачі теорії ймовірностей. Характерно, що ці закономірності виконуються лише при масовості випадкових явищ. Причому індивідуальні особливості окремих випадків як би взаємно погашаються, а усереднений результат для маси випадкових явищ виявляється вже не випадковим, а цілком закономірним . Значною мірою ця обставина стало причиною широкого поширення імовірнісних методів дослідження в біології та медицині.

Розглянемо основні поняття теорії ймовірностей.

1.2. Імовірність випадкової події

Кожна наука, розвиває загальну теорію будь-якого кола явищ, базується на ряді основних понять. Наприклад, в геометрії - це поняття точки, прямої лінії; в механіці - поняття сили, маси, швидкості і т. д. Основні поняття існують і в теорії ймовірностей, одне з них - випадкова подія.

Випадкова подія - це будь-яке явище (факт), яке в результаті досвіду (випробування) може відбутися або не відбутися.

Випадкові події позначаються буквами А, В, С ... і т. Д. Наведемо кілька прикладів випадкових подій:

А-випаденіе орла (герба) при підкиданні стандартної монети;

В - народження дівчинки в даній сім'ї;

З - народження дитини з заздалегідь заданою масою тіла;

D - виникнення епідемічного захворювання в даному регіоні в певний період часу і т. Д.

Основною кількісною характеристикою випадкової події є його ймовірність. нехай А - якесь випадкове подія. Імовірність випадкової події А - це математична величина, яка визначає можливість його появи.вона позначається Р(А).

Розглянемо два основні методи визначення даної величини.

Класичне означення ймовірності випадкової подіїзазвичай базується на результатах аналізу умоглядних дослідів (випробувань), суть яких визначається умовою поставленого завдання. При цьому ймовірність випадкової події Р (А)дорівнює:

де m - число випадків, що сприяють появі події А; n - загальне число рівно можливих випадків.

Приклад 1. Лабораторний щур поміщена в лабіринт, в якому лише один з чотирьох можливих шляхів веде до заохочення у вигляді їжі. Визначте ймовірність вибору щуром такого шляху.

Рішення: За умовою завдання з чотирьох рівно можливих випадків ( n\u003d 4) події А(Щур знаходить їжу)
сприяє тільки один, т. е. m \u003d 1 Тоді Р(А) = Р (Щур знаходить їжу) \u003d \u003d 0,25 \u003d 25%.

Приклад 2. В урні 20 чорних і 80 білих куль. З неї навмання виймається одна куля. Визначте ймовірність того, що ця куля буде чорним.

Рішення: Кількість всіх куль в урні - це загальне число рівно можливих випадків n, Т. Е. n = 20 + 80 = 100, з них подія А (Витяг чорного кулі) можливо лише в 20, т. Е. m \u003d 20. Тоді Р(А) = Р(Ч. Ш.) \u003d \u003d 0,2 \u003d 20%.

Перерахуємо властивості ймовірності випливають з її класичного визначення - формула (1):

1. Імовірність випадкової події - величина безрозмірна.

2. Імовірність випадкової події завжди позитивна і менше одиниці, т. Е. 0< P (A) < 1.

3. Імовірність достовірної події, т. Е. Події, яке в результаті досвіду обов'язково станеться ( m = n), Дорівнює одиниці.

4. Імовірність неможливого події ( m \u003d 0) дорівнює нулю.

5. Імовірність будь-якої події - величина не негативна і не перевищує одиницю:
0 £ P (A) £ 1.

Статистичне означення ймовірності випадкової подіїзастосовується тоді, коли неможливо іспользоватьклассіческое визначення (1). Це часто має місце в біології та медицині. У такому випадку ймовірність Р(А) Визначають шляхом узагальнення результатів реально проведених серій випробувань (дослідів).

Введемо поняття відносної частоти появи випадкової події. Нехай була проведена серія, що складається з N дослідів (число N може бути вибрано заздалегідь); цікавить нас А відбулося в М з них ( M < N). Ставлення числа дослідів М, В яких відбулася ця подія, до загальної кількості проведених дослідів N називають відносною частотою появи випадкової події А в даній серії дослідів - Р* (А)

Р *(А) = .

Експериментально встановлено, що якщо серії випробувань (дослідів) проводяться в однакових умовах і в кожній з них число N досить велике, то відносна частота виявляє властивість стійкості : від серії до серії вона змінюється мало , наближаючись c збільшенням числа дослідів до деякої постійної величини . Її і приймають за статистичну вірогідність випадкової події А:

Р(А) \u003d Lim, при N , (2)

Отже, статистичною ймовірністю Р(А) Випадкової події А називають межа, до якого прагне відносна частота появи цієї події при необмеженому зростанні числа випробувань (при N → ∞).

Наближено статистична ймовірність випадкової події дорівнює відносній частоті появи цієї події при великому числі випробувань:

Р(А) ≈ Р *(А) \u003d (При великих N) (3)

Наприклад, в дослідах з кидання монети відносна частота випадання герба при 12000 бросаний виявилася рівною 0,5016, а при 24000 бросаний - 0,5005. Відповідно до формули (1):

P(Герб) \u003d \u003d 0,5 \u003d 50%

приклад . При лікарському обстеженні 500 осіб у 5 з них виявили пухлину в легенях (о. Л.). Визначте відносну частоту і ймовірність цього захворювання.

Рішення: За умовою задачі М = 5, N \u003d 500, відносна частота Р* (О. Л.) \u003d М/N \u003d 5/500 \u003d 0,01; оскільки N досить велике, можна з хорошою точністю вважати, що ймовірність наявності пухлини в легенях дорівнює відносній частоті цієї події:

Р(О. Л.) \u003d Р* (О. Л.) \u003d 0,01 \u003d 1%.

Перераховані раніше властивості ймовірності випадкової події зберігаються і при статистичному визначенні цієї величини.

1.3. Види випадкових подій. Основні теореми теорії ймовірностей

Всі випадкові події можна розділити на:

¾ несумісні;

¾ незалежні;

¾ залежні.

Для кожного виду подій характерні свої особливості і теореми теорії ймовірностей.

1.3.1. Несумісні випадкові події. Теорема додавання ймовірностей

Випадкові події (А, В, С,D ...) називаються несумісними , якщо поява однієї з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні.

Приклад 1 . Підкинута монета. При її падінні поява «герба» виключає появу «решки» (написи, що визначає ціну монети). Події «випав герб» і «випала решка» несумісні.

приклад 2 . Отримання студентом на одному іспиті оцінки «2», або «3», або «4», або «5» - події несумісні, так як одна з цих оцінок виключає іншу на тому ж іспиті.

Для несумісних випадкових подій виконується теорема додавання ймовірностей: ймовірність появи одного, але все одно якого, з декількох несумісних подій А1, А2, А3 ... Аk дорівнює сумі їх ймовірностей:

Р (А1ілі А2 ... або Аk) \u003d Р (А1) + Р (А2) + ... + Р (Аk). (4)

Приклад 3. В урні знаходиться 50 куль: 20 білих, 20 чорних і 10 червоних. Знайдіть ймовірність появи білого (подія А) Або червоної кулі (подія В), Коли куля навмання дістають з урни.

Рішення: Р(А чи В) \u003d Р(А) + Р(В);

Р(А) = 20/50 = 0,4;

Р(В) = 10/50 = 0,2;

Р(А або В) \u003d Р(Б. Ш. Або к. Ш.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

приклад 4 . У класі 40 дітей. З них у віці від 7 до 7,5 років 8 хлопчиків ( А) І 10 дівчаток ( В). Знайдіть ймовірність присутності в класі дітей такого віку.

Рішення: Р(А) \u003d 8/40 \u003d 0,2; Р(В) = 10/40 = 0,25.

Р (А або В) \u003d 0,2 + 0,25 \u003d 0,45 \u003d 45%

Наступне важливе поняття - повна група подій: кілька несумісних подій утворюють повну групу подій, якщо в результаті кожного випробування може з'являтися тільки одна з подій цієї групи і ніяке інше.

приклад 5 . Стрілець зробив постріл по мішені. Обов'язково відбудеться одна з наступних подій: потрапляння в «десятку», в «дев'ятку», в «вісімку», .., в «одиницю» або промах. Ці 11 несумісних подій утворюють повну групу.

приклад 6 . На іспиті в ВУЗі студент може отримати одну з наступних чотирьох оцінок: 2, 3, 4 або 5. Ці чотири несумісних події також утворюють повну групу.

Якщо несумісні події А1, А2 ... Аk утворюють повну групу, то сума ймовірностей цих подій завжди дорівнює одиниці:

Р(А1) + Р(А2)+ ... Р(Аk) = 1, (5)

Це твердження часто використовується при вирішенні багатьох прикладних задач.

Якщо дві події єдино можливі і несумісні, то їх називають протилежними і позначають А і . Такі події складають повну групу, тому сума їх ймовірностей завжди дорівнює одиниці:

Р(А) + Р() = 1. (6)

Приклад 7. Нехай Р(А) - ймовірність летального результату при деякому захворюванні; вона відома і дорівнює 2%. Тоді ймовірність щасливого кінця при цьому захворюванні дорівнює 98% ( Р() = 1 – Р(А) \u003d 0,98), так як Р(А) + Р() = 1.

1.3.2. Незалежні випадкові події. Теорема множення ймовірностей

Випадкові події називаються незалежними, якщо поява однієї з них ніяк не впливає на ймовірність появи інших подій.

приклад 1 . Якщо є дві або більше урни з кольоровими кулями, то витяг якої-небудь кулі з однієї урни ніяк не вплине на можливість отримання інших куль з решти урн.

Для незалежних подій справедлива теорема множення ймовірностей: ймовірність спільного(одночасного) появи декількох незалежних випадкових подій дорівнює добутку їх ймовірностей:

Р (А1і А2 і А3 ... і Аk) \u003d Р (А1) ∙ Р (А2) ∙ ... ∙ Р (Аk). (7)

Спільне (одночасне) поява подій означає, що відбуваються події і А1, і А2,і А3... і Аk .

приклад 2 . Є дві урни. В одній знаходиться 2 чорних і 8 білих куль, в іншій - 6 чорних і 4 білих. нехай подія А -вибір навмання білої кулі з першої урни, В - з другої. Яка ймовірність вибрати навмання одночасно з цих урн по білому кулі, т. Е. Чому дорівнює Р (А і В)?

Рішення: ймовірність дістати біла куля з першої урни
Р(А) \u003d \u003d 0,8 з другої - Р(В) \u003d \u003d 0,4. Імовірність одночасно дістати по білому кулі з обох урн -
Р(А і В) = Р(А)· Р(В) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Приклад 3. Раціон зі зниженим вмістом йоду викликає збільшення щитовидної залози у 60% тварин великої популяції. Для експерименту потрібні 4 збільшених залози. Знайдіть ймовірність того, що у 4 випадково обраних тварин буде збільшена щитоподібна залоза.

Рішення: Випадкова подія А - вибір навмання тваринного зі збільшеною щитовидною залозою. За умовою завдання ймовірність цієї події Р(А) \u003d 0,6 \u003d 60%. Тоді ймовірність спільного появи чотирьох незалежних подій - вибір навмання 4 тварин зі збільшеною щитовидною залозою - буде дорівнює:

Р(А1 і А2 і А3 і А4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. Зовсім події. Теорема множення ймовірностей для залежних подій

Випадкові події А і В називаються залежними, якщо поява однієї з них, наприклад, А змінює ймовірність появи іншої події - В.Тому для залежних подій використовуються два значення ймовірності: безумовна і умовна ймовірності .

якщо А і В залежні події, то ймовірність настання події В першим (т. е. до події А) називається безумовної ймовірністю цієї події і позначається Р(В). Імовірність настання події В за умови, що подія А вже відбулося, називається умовною ймовірністю події В і позначається Р(В/А) або РА(В).

Аналогічний сенс мають безумовна - Р(А) І умовна - Р(А / В) Ймовірності для події А.

Теорема множення ймовірностей для двох залежних подій: ймовірність одночасного настання двох залежних подій А і В дорівнює добутку безумовної ймовірності першої події на умовну ймовірність другого:

Р(А та В) \u003d Р(А) ∙ Р(В / А) , (8)

А, або

Р(А та В) \u003d Р(В) ∙ Р(А / В), (9)

якщо першим настає подія В.

Приклад 1. В урні 3 чорних кулі і 7 білих. Знайдіть ймовірність того, що з цієї урни один за іншим (причому перший шар не повертають в урну) будуть вийняті 2 білих кулі.

Рішення: Ймовірність дістати перший біла куля (подія А) Дорівнює 7/10. Після того як він виймуть, в урні залишається 9 куль, з них 6 білих. Тоді ймовірність появи другого білого кулі (подія В) дорівнює Р(В/А) \u003d 6/9, а ймовірність дістати поспіль два білих кулі дорівнює

Р(А і В) = Р(А)∙Р(В/А) = = 0,47 = 47%.

Наведена теорема множення ймовірностей для залежних подій допускає узагальнення на будь-яку кількість подій. Зокрема, для трьох подій, пов'язаних один з одним:

Р(Аі Ві З) \u003d Р(А) ∙ Р(В / А) ∙ Р(З / АВ). (10)

Приклад 2. У двох дитячих садах, кожен з яких відвідує по 100 дітей, стався спалах інфекційного захворювання. Частки хворих становлять відповідно 1/5 і 1/4, причому в першому закладі 70%, а в другому - 60% хворих - діти віком до 3-х років. Випадковим чином вибирають одну дитину. Визначте ймовірність того, що:

1) обраний дитина відноситься до першого дитячого садка (подія А) І хворий (подія В).

2) обраний дитина з другого дитячого садка (подія З), Хворий (подія D) І старше 3-х років (подія Е).

Рішення. 1) шукана ймовірність -

Р(А і В) = Р(А) ∙ Р(В/А) = = 0,1 = 10%.

2) шукана ймовірність:

Р(З і D і Е) = Р(З) ∙ Р(D/C) ∙ Р(Е/CD) = = 5%.

1.4. Формула Байєса

Якщо ймовірність спільного появи залежних подій А і В не залежить від того, в якому порядку вони відбуваються, то Р(Аі В) \u003d Р(А) ∙ Р(В / А) \u003d Р(В) × Р(А / В). В цьому випадку умовну ймовірність однієї з подій можна знайти, знаючи ймовірності обох подій і умовну ймовірність другого:

Р(В / А) = (11)

Узагальненням цієї формули на випадок багатьох подій є формула Байеса.

нехай « n»Несумісних випадкових подій Н1, Н2, ..., Нn, Утворюють повну групу подій. Ймовірності цих подій - Р(Н1), Р(Н2), ..., Р(Нn) Відомі і так як вони утворюють повну групу, то \u003d 1.

Деякий випадкова подія А пов'язане з подіями Н1, Н2, ..., Нn, Причому відомі умовні ймовірності появи події А з кожним з подій Нi , Т. Е. Відомі Р(А / Н1), Р(А / Н2), ..., Р(А / Нn). При цьому сума умовних ймовірностей Р(А / Нi) Може бути не дорівнює одиниці т. Е. ≠ 1.

Тоді умовна ймовірність появи події Нi при реалізації події А (Т. Е. За умови, що подія А відбулося) визначається формулою Байеса :

Причому для цих умовних ймовірностей .

Формула Байєса знайшла широке застосування не тільки в математиці, але і в медицині. Наприклад, вона використовується для обчислення ймовірностей тих чи інших захворювань. Так, якщо Н1,…, Нn - передбачувані діагнози для даного пацієнта, А - деякий ознака, що має відношення до них (симптом, певний показник аналізу крові, сечі, деталь рентгенограми і т. Д.), А умовні ймовірності Р(А / Нi) Прояви цієї ознаки при кожному діагнозі Нi (i = 1,2,3,…n) Заздалегідь відомі, то формула Байеса (12) дозволяє обчислити умовні ймовірності захворювань (діагнозів) Р(Нi/ А) Після того як встановлено, що характерна ознака А присутній у пацієнта.

Приклад 1. При первинному огляді хворого передбачаються 3 діагнозу Н1, Н2, Н3. Їх ймовірності, на думку лікаря, розподіляються так: Р(Н1) = 0,5; Р(Н2) = 0,17; Р(Н3) \u003d 0,33. Отже, попередньо найбільш вірогідним здається перший діагноз. Для його уточнення призначається, наприклад, аналіз крові, в якому очікується збільшення ШОЕ (подія А). Заздалегідь відомо (на підставі результатів досліджень), що ймовірності збільшення ШОЕ при передбачуваних захворюваннях рівні:

Р(А/Н1) = 0,1; Р(А/Н2) = 0,2; Р(А/Н3) = 0,9.

В отриманому аналізі зафіксовано збільшення ШОЕ (подія А відбулося). Тоді розрахунок за формулою Байеса (12) дає значення ймовірностей передбачуваних захворювань при збільшеному значенні ШОЕ: Р(Н1/А) = 0,13; Р(Н2/А) = 0,09;
Р(Н3/А) \u003d 0,78. Ці цифри показують, що з урахуванням лабораторних даних найреальніший не перший, а третій діагноз, ймовірність якого тепер виявилася досить великий.

Наведений приклад - найпростіша ілюстрація того, як за допомогою формули Байеса можна формалізувати логіку лікаря при постановці діагнозу і завдяки цьому створити методи комп'ютерної діагностики.

Приклад 2. Визначте ймовірність, що оцінює ступінь ризику перинатальної * смертності дитини у жінок з анатомічно вузьким тазом.

Рішення: Нехай подія Н1 - благополучні пологи. За даними клінічних звітів, Р(Н1) \u003d 0,975 \u003d 97,5%, тоді, якщо Н2 - факт перинатальної смертності, то Р(Н2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

позначимо А - факт наявності вузького таза у породіллі. З проведених досліджень відомі: а) Р(А/Н1) - ймовірність вузького таза при сприятливих пологах, Р(А/Н1) \u003d 0,029, б) Р(А/Н2) - ймовірність вузького таза при перинатальної смертності,
Р(А/Н2) \u003d 0,051. Тоді шукана ймовірність перинатальної смертності при вузькому тазі у породіллі розраховується за формулою Байса (12) і дорівнює:

Таким чином, ризик перинатальної смертності при анатомічно вузькому тазі значно вище (майже вдвічі) середнього ризику (4,4% проти 2,5%).

Подібні розрахунки, звичайно що виконуються за допомогою комп'ютера, лежать в основі методів формування груп пацієнтів підвищеного ризику, пов'язаного з наявністю того чи іншого обтяжливого фактора.

Формула Байєса дуже корисна для оцінки багатьох інших медико-біологічних ситуацій, що стане очевидним при вирішенні наведених в посібнику завдань.

1.5. Про випадкових події з вірогідністю близькими до 0 або до 1

При вирішенні багатьох практичних завдань доводиться мати справу з подіями, ймовірність яких дуже мала, т. Е. Близька до нуля. На підставі досвіду щодо таких подій прийнятий наступний принцип. Якщо випадкова подія має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні воно не настане, інакше кажучи, можливістю його появи можна знехтувати. Відповідь на питання, наскільки малої повинна бути ця ймовірність, визначається істотою вирішуваних завдань, тим, наскільки важливий для нас результат передбачення. Наприклад, якщо ймовірність того, що парашут при стрибку не розкриється дорівнює 0,01, то застосування таких парашутів неприпустимо. Однак рівна тій же 0,01 ймовірність того, що поїзд далекого прямування прибуде із запізненням, робить нас практично впевненими в тому, що він прибуде вчасно.

Досить малу ймовірність, при якій (в даній конкретній задачі) подія можна вважати практично неможливим, називають рівнем значущості. На практиці рівень значимості зазвичай приймають рівним 0,01 (одновідсотковий рівень значимості) або 0,05 (п'ятивідсотковий рівень значущості), набагато рідше він береться рівним 0,001.

Введення рівня значущості дозволяє стверджувати, що якщо деяка подія А практично неможливо, то протилежне подія - практично достовірно, т. Е. Для нього Р() » 1.

главаII. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

2.1. Випадкові величини, їх види

В математиці величина - це загальна назва різних кількісних характеристик предметів і явищ. Довжина, площа, температура, тиск і т. Д. - приклади різних величин.

Величина, яка приймає різні числові значення під впливом випадкових обставин, називається випадковою величиною. Приклади випадкових величин: число хворих на прийомі у лікаря; точні розміри внутрішніх органів людей і т. д.

Розрізняють дискретні і безперервні випадкові величини .

Випадкова величина називається дискретною, якщо вона приймає тільки певні відокремлені один від одного значення, які можна встановити і перерахувати.

Прикладами дискретної випадкової величиною є:

- число студентів в аудиторії - може бути тільки цілим позитивним числом: 0,1,2,3,4 ... .. 20 ... ..;

- цифра, яка з'являється на верхній межі при киданні гральної кістки - може приймати лише цілі значення від 1 до 6;

- відносна частота попадання в ціль при 10 пострілах - її значення: 0; 0,1; 0,2; 0,3 ... 1

- число подій, що відбуваються за однакові проміжки часу: частота пульсу, число викликів швидкої допомоги за годину, кількість операцій в місяць з летальним результатом і т. Д.

Випадкова величина називається неперервною, якщо вона може приймати будь-які значення всередині певного інтервалу, який іноді має різко виражені кордону, а іноді - ні*. До безперервним випадковим величинам відносяться, наприклад, маса тіла і зростання дорослих людей, маса тіла і об'єм мозку, кількісний вміст ферментів у здорових людей, розміри формених елементів крові, рН крові і т. П.

Поняття випадкової величини відіграє визначальну роль в сучасній теорії ймовірностей, яка розробила спеціальні прийоми переходу від випадкових подій до випадкових величин.

Якщо випадкова величина залежить від часу, то можна говорити про випадковий процесі.

2.2. Закон розподілу дискретної випадкової величини

Щоб дати повну характеристику дискретної випадкової величини необхідно вказати всі її можливі значення і їх ймовірності.

Відповідність між можливими значеннями випадкової величини і їх можливостями називається законом розподілу цієї величини.

Позначимо можливі значення випадкової величини Х через хi, А відповідні їм ймовірності - через рi *. Тоді закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати трьома способами: у вигляді таблиці, графіка або формули.

У таблиці, яка називається рядом розподілу, перераховуються всі можливі значення випадкової величини Х і відповідні цим значенням ймовірності Р(Х):

Х

…..

…..

P(X)

…..

…..

При цьому сума всіх ймовірностей рi повинна дорівнювати одиниці (умова нормування):

рi = p1 + p2 + ... + pn = 1. (13)

графічно закон представляється ламаною лінією, яку прийнято називати многоугольником розподілу (рис.1). Тут по горизонтальній осі відкладають всі можливі значення випадкової величини хi, , а по вертикальній осі - відповідні їм ймовірності рi

аналітично закон виражається формулою. Наприклад, якщо ймовірність попадання в ціль при одному пострілі дорівнює р, то ймовірність ураження цілі 1 раз при n пострілах дається формулою Р(n) = n qn-1 × p, де q \u003d 1 - р- ймовірність промаху при одному пострілі.

2.3. Закон розподілу неперервної випадкової величини. Щільність розподілу ймовірності

Для безперервних випадкових величин неможливо застосувати закон розподілу в формах, наведених вище, оскільки така величина має незліченну ( «незліченну») безліч можливих значень, суцільно заповнюють деякий інтервал. Тому скласти таблицю, в якій були б перераховані всі її можливі значення, або побудувати багатокутник розподілу не можна. Крім того, ймовірність будь-якого її конкретного значення дуже мала (близька до 0) *. Разом з тим різні області (інтервали) можливих значень неперервної випадкової величини НЕ рівноймовірно. Таким чином, і в даному випадку діє якийсь закон розподілу, хоча і не в колишньому сенсі.

Розглянемо безперервну випадкову величину Х, Можливі значення якої суцільно заповнюють деякий інтервал (а, b)**. Закон розподілу ймовірностей такої величини повинен дозволити знайти ймовірність попадання її значення в будь-який заданий інтервал ( х1, х2), Що лежить всередині ( а,b), Рис.2.

Цю ймовірність позначають Р(х1< Х < х2 ), Або
Р(х1£ Х£ х2).

Розглянемо спочатку дуже малий інтервал значень Х - від х до ( х +Dх); см. рис.2. Мала ймовірність dР того, що випадкова величина Х прийме якесь значення з інтервалу ( х, х +Dх), Буде пропорційна величині даного інтервалу Dх:dР~ Dх, Або, ввівши коефіцієнт пропорційності f, Який сам може залежати від х, Отримаємо:

dР \u003df(х) × D х \u003df(x) × dx (14)

Введена тут функція f(х) називається щільністю розподілу ймовірностей випадкової величини Х, або, коротше, щільністю ймовірності, щільністю розподілу. Рівняння (13) - диференціальне рівняння, рішення якого дає можливість попадання величини Х в інтервал ( х1, х2):

Р(х1< Х< х2) = f(х) dх. (15)

графічно ймовірність Р(х1< Х< х2) Дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою віссю абсцис, кривою f(х) І прямими Х \u003d х1 і Х \u003d х2(Рис.3). Це випливає з геометричного сенсу певного інтеграла (15) Крива f(х) При цьому називається кривою розподілу.

З (15) випливає, що якщо відома функція f(х), то, змінюючи межі інтегрування, можна знайти ймовірність для будь-яких цікавлять нас інтервалів. Тому саме завдання функції f(х) Повністю визначає закон розподілу для неперервних випадкових величин.

Для щільності ймовірності f(х) Має виконуватися умова нормування у вигляді:

f(х) dх \u003d 1, (16)

якщо відомо, що всі значення Хлежать в інтервалі ( а,b), Або у вигляді:

f(х) dх \u003d 1, (17)

якщо межі інтервалу для значень Х точно невизначені. Умови нормування щільності ймовірності (16) або (17) є наслідком того, що значення випадкової величини Хдостовірно лежать в межах ( а,b) Або (- ¥, + ¥). З (16) і (17) випливає, що площа фігури, обмеженої кривою розподілу і віссю абсцис, завжди дорівнює 1 .

2.4. Основні числові характеристики випадкових величин

Результати, викладені в параграфах 2.2 і 2.3, показують, що повну характеристику дискретної і безперервної випадкових величин можна отримати, знаючи закони їх розподілу. Однак у багатьох практично значущих ситуаціях користуються так званими числовими характеристиками випадкових величин, головне призначення цих характеристик - висловити у стислій формі найбільш істотні особливості розподілу випадкових величин. Важливо, що дані параметри представляють собою конкретні (постійні) значення, які можна оцінювати за допомогою отриманих в дослідах даних. Цими оцінками займається «Описова статистика».

У теорії ймовірностей і математичній статистиці використовується досить багато різних характеристик, але ми розглянемо тільки найбільш вживані. Причому лише для частини з них наведемо формули, за якими розраховуються їх значення, в інших випадках обчислення залишимо комп'ютера.

Розглянемо характеристики положення - математичне очікування, моду, медіану.

Вони характеризують стан випадкової величини на числовій осі , т. е. вказують деякий орієнтовний значення, біля якого групуються всі можливі значення випадкової величини. Серед них найважливішу роль відіграє математичне очікування М(Х).