Для визначення положення точки на площині можна користуватися полярними координатами [Г, (р), де г - відстань точки від початку координат, а (р - кут, який становить радіус - вектор цієї точки з позитивним напрямком осі Ох. Позитивним напрямком зміни кута (р вважається напрямок проти годинникової стрілки. Скориставшись зв'язком декартових і полярних координат: х \u003d г cos ср, у \u003d г sin (р,

отримаємо тригонометричну форму запису комплексного числа

z - r (sin (p + i sin

де г

XІ + у2, (р - аргумент комплексного числа, який знаходять з

л X . у у

формул cos (р - -, sin ^ 9 \u003d - або в силу того, що tg (p --, (P-arctg

Зауважимо, що при виборі значень ср з останнього рівняння необхідно враховувати знаки х і у.

Приклад 47. Записати в тригонометричної формі комплексне число 2 \u003d -1 + л / З /.

Рішення. Знайдемо модуль і аргумент комплексного числа:

= yj 1 + 3 = 2 . кут ср знайдемо з співвідношень cos (р = -, sin (p \u003d -. тоді

отримаємо cos (p \u003d -, suup

у / з г ~

• - -. Очевидно, точка z \u003d -1 + V3- / знаходиться
• 2 до3

у другій чверті: (р \u003d 120 °

підставляючи

2 к. . cos - h; sin

в формулу (1) знайдені 27Г Л

Зауваження. Аргумент комплексного числа визначено неоднозначно, а з точністю до доданка, кратного 2п. тоді через сп ^ г позначають

значення аргументу, укладену в межах (Р 0 %2 тоді

А) ^ г = + 2кк.

Використовуючи відому формулу Ейлера е, отримуємо показову форму записи комплексного числа.

маємо г \u003d г (з ^ (р + і?, п (р) \u003d ге,

Дії над комплексними числами

• 1. Сума двох комплексних чисел г, \u003d Х] + У х / І г 2 - х 2 + у 2 / визначається відповідно до формули г! +2 2 \u003d (х, + ^ 2) + (^ 1 + ^ 2) 'г
• 2. Операція віднімання комплексних чисел визначається як операція, зворотна додаванню. комплексне число г \u003d г х - г 2, якщо г 2 + г \u003d г х,

є різницею комплексних чисел 2, і г 2. Тоді г \u003d (х, - х 2) + (У, - у 2) /.

• 3. Твір двох комплексних чисел г х \u003d Х, + у, -г і 2 + 2 \u003d х 2 + У2 'Г визначається ПО формулою
• *1*2 =(* + У"0 (Х 2 + Т 2 -0 \u003d Х 1 Х 2 У1 2 -1 + х У2 " * + У1 У2 " ^ =

\u003d (Хх 2 ~ УУ 2) + (Х У2 + Х 2У) - "-

Зокрема, г-г \u003d (Х + у-г) (х-у /) \u003d х 2 + у 2.

Можна отримати формули множення комплексних чисел в показовою і тригонометричної формах. маємо:

• 1^ 2 - Г х е 1 \u003d ) Г 2 е\u003e \u003d Г] Г 2 cOs ((P + ср 2) + isin
• 4. Розподіл комплексних чисел визначається як операція, зворотна

множенню, тобто число г-- називається часткою від ділення г! на г 2,

якщо г х -1 2 ? 2 . тоді

Х + Ті _ (*і + ІУ 2 ~ 1 У2 ) х 2 + ІУ2 (2 + ^ У 2) (2 ~ 1 У 2)

х, х 2 + / у, х 2 - іх х у 2 - і 2 у х у 2 (х х х 2 + у х у 2) + / (- х, у 2 + Х 2 У])

2 2 х 2 + У 2

1 е

і (р г

• - 1У е "(1 Фг) - І.сОї ((Р -ср 1) + І- (р-,)] >2 >2
• 5. Зведення в цілу позитивну ступінь комплексного числа краще виробляти, якщо число записано в показовою або тригонометричної формах.

Дійсно, якщо г \u003d ге 1 то

\u003d (Ге,) \u003d г п е т \u003d г " (со8 пСР + іьт ГКР).

Формула г " \u003d Г п (cosn (p + is n (p) називається формулою Муавра.

6. Витяг кореня п-го ступеня з комплексного числа визначається як операція, зворотна зведенню в ступінь п, п-1,2,3, ... тобто комплексне число \u003d у [г називається коренем п-го ступеня з комплексного числа

г, якщо г = г х . З цього визначення випливає, що г - г ", а г х \u003d Л / г. (Р-ПСР х, а ср ^ -ср / п, Що випливає з формули Муавра, записаної для числа \u003d г / * + іьіпп (р).

Як було зазначено вище, аргумент комплексного числа визначено неоднозначно, а з точністю до доданка, кратного 2 ж. Тому \u003d (Р + 2ПК , А аргумент числа г, що залежить від до, позначимо (Р до і бу

дем обчислювати за формулою (Р до \u003d - +. Ясно, що існує п ком

комплексних чисел, п-я ступінь яких дорівнює числу 2. Ці числа мають один

і той же модуль, рівний у [г, а аргументи цих чисел виходять при до = 0, 1, п - 1. Таким чином, в тригонометричної формі корінь і-го ступеня обчислюють за формулою:

(Р + 2кп . . ср + 2кп

, до = 0, 1, 77-1,

. (Р + 2ктг

а в показовою формі - за формулою л [г - у [ге п

Приклад 48. Виконати дії над комплексними числами в алгебраїчній формі:

а) (1 / Ч / 2) 3 (3 + /)

• (1 - / л / 2) 3 (з + /) \u003d (1 - Зл / 2 / + 6/2 - 2 л / 2 /? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Зл / 2 / - 6 + 2л / 2 / ДЗ + /) \u003d (- 5 - л / 2 / ДЗ + /) \u003d

15-Зл / 2 / -5 / -л / 2/2 \u003d -15 - Зл / 2 / -5 / + л / 2 \u003d (-15 + л / 2) - (5 + Зл / 2) /;

Приклад 49. Звести число г \u003d Уз - / в п'яту ступінь.

Рішення. Отримаємо тригонометричну форму запису числа р

Г \u003d л / 3 + 1 \u003d 2, С08 (р --, 5ІІ7 (р =

• (1 - 2 / Х2 + /)
• (З-,)

Про - 2.-Х2 + про

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (З-О "(з-О

З / 2 12-51 + 3 15 - 5 /

• (3-і) 'з + /
• 9 + 1 з_ ±.
• 5 2 1 "

Звідси о- -, а г \u003d 2

Муавра отримаємо: и -2

/ ^ _ 7Г,. ? Г

• -СШ-- ІБІП -

• --Ь / -

\u003d - (л / З + г) \u003d -2.

Приклад 50. Знайти всі значення

Рішення, г \u003d 2, а ср знайдемо з рівняння соь (р \u003d -, зт--.

Ця точка 1 - / д / з знаходиться в четвертій чверті, тобто ф \u003d-. тоді

• 1 - 2
• ( ( УГ Л

Значення кореня знаходимо з висловлю

V1 - / л / з \u003d л / 2

• - + 2А: / г --- ь 2 кк
• 3 . . 3

С08--1- и 81П-

при до - 0 маємо 2 0 \u003d л / 2

Можна знайти значення кореня з числа 2, представивши число в показу

- * К / 3 + 2 кл

при до \u003d 1 маємо ще одне значення кореня:

• 7Г. 7Г _
• --- ь27г --- Ь2; г
• 3. . з

7Г . . 7Г Л -С05- + 181П -6 6

• --Н -

зі? - 7Г + / 5Ш - Я "

л / 3__т_

котельної формі. Так як г \u003d2, а ср \u003d, То r \u003d 2е 3, а у [г = у / 2е 2

Дії над комплексними числами, записаними в алгебраїчній формі

Алгебраїчній формою комплексного числа z \u003d(a, b) .Називается вираження алгебри виду

z = a + bi.

Арифметичні операції над комплексними числами z 1 \u003d a 1 + b 1 iі z 2 \u003d a 2 + b 2 i, Записаними в алгебраїчній формі, здійснюються таким чином.

1. Сума (різниця) комплексних чисел

z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ± b 2)∙ i,

тобто додавання (віднімання) здійснюються за правилом додавання многочленів з приведенням подібних членів.

2. Твір комплексних чисел

z 1 ∙ z 2 = (a 1 ∙ a 2 - b 1 ∙ b 2) + (a 1 ∙ b 2 + a 2 ∙ b 1)∙ i,

тобто множення проводиться за звичайним правилом множення многочленів, з урахуванням того, що i 2 = 1.

3. Розподіл двох комплексних чисел здійснюється за наступним правилом:

, (z 2 ≠ 0),

тобто розподіл здійснюється множенням діленого і дільника на число, поєднане делителю.

Піднесення до степеня комплексних чисел визначається наступним чином:

Легко показати, що

приклади.

1. Знайти суму комплексних чисел z 1 = 2 – iі z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Знайти твір комплексних чисел z 1 = 2 – 3i і z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3i ∙5i \u003d7+22i.

3. Знайти приватне z від ділення z 1 \u003d 3 - 2на z 2 = 3 – i.

z \u003d .

4. Вирішити рівняння:, x і y Î R.

(2x + y) + (x + y)i \u003d2 + 3i.

В силу рівності комплексних чисел маємо:

звідки x \u003d–1 , y= 4.

5. Обчислити: i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i -1 , i -2 .

6. Обчислити, якщо.

.

7. Обчислити число зворотне числу z=3-i.

Комплексні числа в тригонометричної формі

комплексної площиною називається площину з декартовими координатами ( x, y), Якщо кожній точці з координатами ( a, b) Поставлено у відповідність комплексне число z \u003d a + bi. При цьому вісь абсцис називається дійсною віссю, А вісь ординат - уявної. Тоді кожне комплексне число a + biгеометрично зображується на площині як точка A (a, b) Або вектор.

Отже, положення точки А (І, отже, комплексного числа z) Можна задати довжиною вектора | | \u003d r і кутом j, Утвореним вектором | | з позитивним напрямком дійсної осі. Довжина вектора називається модулем комплексного числаі позначається | z | \u003d r, А кут jназивається аргументом комплексного числа і позначається j \u003d arg z.

Ясно, що | z| ³ 0 і | z | = 0 Û z \u003d0.

З рис. 2 видно, що.

Аргумент комплексного числа визначається неоднозначно, а з точністю до 2 pk, kÎ Z.

З рис. 2 видно також, що якщо z \u003d a + bi і j \u003d arg z,то

cos j \u003d, sin j \u003d, tg j \u003d.

якщо zÎRі z\u003e0, то arg z \u003d0 +2pk;

якщо z ÎRі z< 0, то arg z \u003d p +2pk;

якщо z \u003d0, arg zне визначений.

Головне значення аргументу визначається на відрізку 0 £ arg z£ 2 p,

або -p£ arg z £ p.

приклади:

1. Знайти модуль комплексних чисел z 1 = 4 – 3iі z 2 = –2–2i.

2. Визначити на комплексній площині області, що задаються умовами:

1) | z | \u003d 5; 2) | z| £ 6; 3) | z – (2+i) | £ 3; 4) 6 £ | z – i| £ 7.

Рішення і відповіді:

1) | z| \u003d 5 Û Û - рівняння кола радіусом 5 і з центром на початку координат.

2) Коло радіусом 6 з центром на початку координат.

3) Коло радіусом 3 з центром в точці z 0 = 2 + i.

4) Кільце, обмежене колами з радіусами 6 і 7 з центром в точці z 0 = i.

3. Знайти модуль і аргумент чисел: 1); 2).

1) ; а = 1, b = Þ ,

Þ j 1 \u003d .

2) z 2 = –2 – 2i; a \u003d–2, b \u003d-2 Þ ,

.

Вказівка: при визначенні головного аргументу скористайтеся комплексної площиною.

Таким чином: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 \u003d, .

3) , r 3 \u003d 1, j 3 \u003d, .

4) , r 4 \u003d 1, j 4 \u003d, .

лекція

Тригонометрична форма комплексного числа

план

1.Геометріческое зображення комплексних чисел.

2.Трігонометріческая запис комплексних чисел.

3.Действіе над комплексними числами в тригонометричної формі.

Геометричне зображення комплексних чисел.

а) Комплексні числа зображують точками площини за таким правилом: a + bi = M ( a ; b ) (Рис.1).

Малюнок 1

б) Комплексне число можна зобразити вектором, який має початок в точціПро і кінець в даній точці (рис.2).

малюнок 2

Приклад 7. Побудуйте точки, що зображують комплексні числа:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Рис.3).

малюнок 3

Тригонометрична запис комплексних чисел.

комплексне числоz = a + bi можна задати за допомогою радіус - вектора з координатами( a ; b ) (Рис.4).

малюнок 4

визначення . довжина вектора , Який зображує комплексне числоz , Називається модулем цього числа і позначається абоr .

Для будь-якого комплексного числаz його модульr = | z | визначається однозначно за формулою .

визначення . Величина кута між позитивним напрямом дійсної осі і вектором , Що зображує комплексне число, називається аргументом цього комплексного числа і позначаєтьсяА rg z абоφ .

Аргумент комплексного числаz = 0 не визначений. Аргумент комплексного числаz ≠ 0 - величина багатозначна і визначається з точністю до доданка2πк (К \u003d 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πк , деarg z - головне значення аргументу, укладену в проміжку(-π; π] , тобто-π < arg z ≤ π (Іноді в якості головного значення аргументу беруть величину, що належить проміжку .

Цю формулу приr =1 часто називають формулою Муавра:

(Cos φ + i sin φ) n \u003d Cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Приклад 11. Обчислити(1 + i ) 100 .

Запишемо комплексне число1 + i в тригонометричної формі.

a \u003d 1, b \u003d 1 .

cos φ \u003d , Sin φ \u003d , φ = .

(1 + i) 100 = [ (cos + I sin )] 100 = ( ) 100 (cos · 100 + i sin · 100) \u003d \u003d 2 50 (Cos 25π + i sin 25π) \u003d 2 50 (Cos π + i sin π) \u003d - 2 50 .

4) Витяг квадратного кореня з комплексного числа.

Під час вилучення квадратного кореня з комплексного числаa + bi маємо два випадки:

якщоb \u003e про , то ;

3.1. полярні координати

На площині часто застосовується полярна система координат . Вона визначена, якщо задана точка O, яка називається полюсом, І виходить з полюса промінь (для нас це вісь Ox) - полярна вісь. Положення точки M фіксується двома числами: радіусом (або радіус-вектором) і кутом φ між полярною віссю і вектором.Кут φ називається полярним кутом; вимірюється в радіанах і відраховується від полярної осі проти годинникової стрілки.

Положення точки у полярній системі координат задається впорядкованої парою чисел (r; φ). У полюса r \u003d 0,а φ не визначене. Для всіх інших точок r\u003e 0, а φ визначено з точністю до доданка кратного 2π. При цьому парам чисел (r; φ) і (r 1; φ 1) зіставляється одна і та ж точка, якщо.

Для прямокутної системи координат xOy декартові координати точки легко виражаються через її полярні координати наступним чином:

3.2. Геометрична інтерпретація комплексного числа

Розглянемо на площині декартову прямокутну систему координат xOy.

Будь-якому комплексному числу z \u003d (a, b) ставиться у відповідність точка площини з координатами ( x, y), Де координата x \u003d a, тобто дійсної частини комплексного числа, а координата y \u003d bi - уявної частини.

Площина, точками якої є комплексні числа - комплексна площину.

На малюнку комплексному числу z \u003d (a, b)відповідає точка M (x, y).

Завдання.Зобразіть на координатній площині комплексні числа:

3.3. Тригонометрична форма комплексного числа

Комплексне число на площині має координати точки M (x; y). При цьому:

Запис комплексного числа - тригонометрическая форма комплексного числа.

Число r називається модулем комплексного числа z і позначається. Модуль - невід'ємне дійсне число. для .

Модуль дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли z \u003d 0, тобто a \u003d b \u003d 0.

Число φ називається аргументом z і позначається. Аргумент z визначено неоднозначно, як і полярний кут в полярній системі координат, а саме з точністю до доданка кратного 2π.

Тоді приймаємо:, де φ - найменше значення аргументу. Очевидно, що

.

При більш глибокому вивченні теми вводиться допоміжний аргумент φ *, такий, що

приклад 1. Знайти тригонометричну форму комплексного числа.

Рішення. 1) вважаємо модуль:;

2) шукаємо φ: ;

3) тригонометрическая форма:

Приклад 2.Знайти алгебраїчну форму комплексного числа .

Тут досить підставити значення тригонометричних функцій і перетворити вираз:

Приклад 3.Знайти модуль і аргумент комплексного числа;

1) ;

2); φ - в 4 чверті:

3.4. Дії з комплексними числами в тригонометричної формі

· Додавання і віднімання зручніше виконувати з комплексними числами в алгебраїчній формі:

· множення - за допомогою нескладних тригонометричних перетворень можна показати, що при множенні модулі чисел перемножуються, а аргументи складаються: ;