Найменше значення похідної. Похідна функції

Похідна функції - одна зі складних тем в шкільній програмі. Не кожен випускник відповість на питання, що таке похідна.

У цій статті просто і зрозуміло розказано про те, що таке похідна і для чого вона потрібна. Ми не будемо зараз прагнути до математичної строгості викладу. Найголовніше - зрозуміти сенс.

Запам'ятаємо визначення:

Похідна - це швидкість зміни функції.

На малюнку - графіки трьох функцій. Як ви думаєте, яка з них швидше росте?

Відповідь очевидна - третя. У неї сама велика швидкість зміни, тобто найбільша похідна.

Ось ще один приклад.

Костя, Гриша і Матвій одночасно влаштувалися на роботу. Подивимося, як змінювався їхній дохід протягом року:

На графіку відразу все видно, чи не так? Дохід Кістки за півроку виріс більше ніж в два рази. І у Гриші дохід теж виріс, але зовсім трохи. А дохід Матвія зменшився до нуля. Стартові умови однакові, а швидкість зміни функції, тобто похідна, - різна. Що стосується Матвія - у його доходу похідна взагалі негативна.

Інтуїтивно ми без праці оцінюємо швидкість зміни функції. Але як же це робимо?

Насправді ми дивимося, наскільки круто йде вгору (або вниз) графік функції. Іншими словами - наскільки швидко змінюється у зі зміною х. Очевидно, що одна і та ж функція в різних точках може мати різне значення похідною - тобто може змінюватися швидше або повільніше.

Похідна функції позначається.

Покажемо, як знайти за допомогою графіка.

Намальований графік деякої функції. Візьмемо на ньому точку з абсцисою. Проведемо в цій точці дотичну до графіка функції. Ми хочемо оцінити, наскільки круто вгору йде графік функції. Зручна величина для цього - тангенс кута нахилу дотичної.

Похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці.

Зверніть увагу - в якості кута нахилу дотичній ми беремо кут між дотичній і позитивним напрямом осі.

Іноді учні запитують, що таке дотична до графіка функції. Це пряма, має на даній ділянці єдину загальну точку з графіком, причому так, як показано на нашому малюнку. Схоже на дотичну до кола.

Знайдемо. Ми пам'ятаємо, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. З трикутника:

Ми знайшли похідну за допомогою графіка, навіть не знаючи формулу функції. Такі завдання часто зустрічаються в ЄДІ з математики під номером.

Є й інше важливе співвідношення. Згадаймо, що пряма задається рівнянням

Величина в цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом прямої. Вона дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі.

.

Ми отримуємо, що

Запам'ятаємо цю формулу. Вона висловлює геометричний зміст похідної.

Похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці.

Іншими словами, похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичній.

Ми вже сказали, що у однієї і тієї ж функції в різних точках може бути різна похідна. Подивимося, як же пов'язана похідна з поведінкою функції.

Намалюємо графік деякої функції. Нехай на одних ділянках ця функція зростає, на інших - зменшується, причому з різною швидкістю. І нехай у цій функції будуть точки максимуму і мінімуму.

У точці функція зростає. Дотична до графіка, проведена в точці, утворює гострий кут з позитивним напрямом осі. Значить, в точці похідна позитивна.

У точці наша функція спадає. Дотична в цій точці утворює тупий кут з позитивним напрямом осі. Оскільки тангенс тупого кута від'ємний, в точці похідна негативна.

Ось що виходить:

Якщо функція зростає, її похідна позитивна.

Якщо убуває, її похідна негативна.

А що ж буде в точках максимуму і мінімуму? Ми бачимо, що в точках (точка максимуму) і (точка мінімуму) дотична горизонтальна. Отже, тангенс кута нахилу дотичної в цих точках дорівнює нулю, і похідна теж дорівнює нулю.

Точка - точка максимуму. У цій точці зростання функції змінюється спадання. Отже, знак похідної змінюється в точці з «плюса» на «мінус».

У точці - точці мінімуму - похідна теж дорівнює нулю, але її знак змінюється з «мінуса» на «плюс».

Висновок: за допомогою похідної можна дізнатися про поведінку функції все, що нас цікавить.

Якщо похідна позитивна, то функція зростає.

Якщо похідна негативна, то функція спадає.

У точці максимуму похідна дорівнює нулю і змінює знак з «плюса» на «мінус».

У точці мінімуму похідна теж дорівнює нулю і змінює знак з «мінуса» на «плюс».

Запишемо ці висновки у вигляді таблиці:

	зростає	точка максимуму	убуває	точка мінімуму	зростає
+	0	-	0	+

Зробимо два невеликих уточнення. Одне з них знадобиться вам при вирішенні завдань ЄДІ. Інше - на першому курсі, при більш серйозному вивченні функцій і похідних.

Можливий випадок, коли похідна функції в будь-якій точці дорівнює нулю, але ні максимуму, ні мінімуму у функції в цій точці немає. Це так звана :

У точці дотична до графіка горизонтальна, і похідна дорівнює нулю. Однак до точки функція зростала - і після точки продовжує зростати. Знак похідної не змінюється - вона як була позитивною, так і залишилася.

Буває і так, що в точці максимуму або мінімуму похідна не існує. На графіку це відповідає різкого зламу, коли дотичну в даній точці провести неможливо.

А як знайти похідну, якщо функція задається не графіком, а формулою? У цьому випадку застосовується

Цей розділ містить завдання ЄДІ з математики на теми, пов'язані з дослідженням функцій і їх похідних.

В демонстраційних варіантах ЄДІ 2020 року вони можуть зустрітися під номером 14 для базового рівня і під номером 7 для профільного рівня.

Подивіться уважно на ці три графіка функцій.
Чи помітили ви, що ці функції в певному сенсі "родичі"?
Наприклад, на тих ділянках, де графік зеленої функції розташований вище нуля, червона функція зростає. На тих ділянках, де графік зеленої функції нижче нуля, червона функція спадає.
Аналогічні зауваження можна зробити щодо червоного і синього графіків.
Також можна помітити, що нулі зеленої функції (точки x \u003d -1 і x \u003d 3) збігаються з точками екстремумів червоного графіка: при x \u003d -1 на червоному графіку ми бачимо локальний максимум, при х \u003d 3 на червоному графіку локальний мінімум.
Неважко помітити, що локальні максимуми і мінімуми синього графіка досягаються в тих же точках, де червоний графік проходить через значення y = 0.
Можна зробити ще кілька висновків про особливості поведінки цих графіків, тому що вони дійсно пов'язані між собою. Подивіться на формули функцій, розташовані під кожним з графіків, і шляхом обчислень переконайтеся, що кожна попередня є похідною для подальшої і, відповідно, кожна наступна є однією з превообразних попередньої функції.

φ 1 (x ) = φ" 2 (x ) φ 2 (x ) = Φ 1 (x )
φ 2 (x ) = φ" 3 (x ) φ 3 (x ) = Φ 2 (x )

Згадаймо, що ми знаємо про похідну:

Похідна функції y = f(x) В точці х висловлює швидкість зміни функції в точці x.

Фізичний зміст похідної полягає в тому, що похідна виражає швидкість протікання процесу, що описується залежністю y \u003d f (x).

Геометричний зміст похідної полягає в тому, що її значення в даній точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції, що диференціюється в цій точці.

А тепер нехай червоного графіка на малюнку немає. Припустимо, що і формули функцій нам невідомі.

Чи можу я запитати вас про щось, пов'язаному з поведінкою функції φ 2 (x ), Якщо відомо, що вона є похідною функції φ 3 (x ) І первісної функції φ 1 (x )?
Можу. І на багато питань можна дати точну відповідь, адже ми знаємо, що похідна є характеристикою швидкості зміни функції, тому можемо судити про деякі особливості поведінки однієї з цих функцій, дивлячись на графік інший.

Перш, ніж відповідати на такі питання, перейдіть вгору так, щоб зник верхній малюнок, що містить червоний графік. Коли відповіді будуть дані, поверніть його назад, щоб перевірити результат. І тільки після цього дивіться моє рішення.

Увага: Для посилення навчального ефекту відповіді і рішення завантажуються окремо для кожного завдання послідовним натисканням кнопок на жовтому тлі. (Коли завдань багато, кнопки можуть з'явитися з затримкою. Якщо кнопок не видно зовсім, перевірте, чи дозволений у вашому браузері JavaScript.)

1) Користуючись графіком похідної φ" 2 (x ) (В нашому випадку це зелений графік), визначте яке з 2-ух значень функції більше φ 2 (-3) або φ 2 (−2)?

За графіком похідної видно, що на ділянці [-3; -2] її значення строго позитивні, це свідчить про те на цій ділянці тільки зростає, тому значення функції в лівому кінці x \u003d -3 менше, ніж її значення в правому кінці x = −2.

відповідь: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Користуючись графіком первообразной Φ 2 (x ) (В нашому випадку це синій графік), визначте яке з 2-ух значень функції більше φ 2 (-1) або φ 2 (4)?

За графіком первообразной видно, що точка x \u003d -1 знаходиться на ділянці зростання, отже значення відповідної похідної позитивно. Крапка x \u003d 4 знаходиться на ділянці убування і значення відповідної похідної негативно. Оскільки позитивне значення більше негативного, робимо висновок - значення невідомої функції, яка як раз і є похідною, в точці 4 менше, ніж в точці -1.

відповідь: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Подібних питань по відсутньому графіку можна задати багато, що обумовлює велику разноообразіе завдань з короткою відповіддю, побудованих за такою ж схемою. Спробуйте вирішити деякі з них.

Завдання на визначення характеристик похідної за графіком функції.

Малюнок 1.

Малюнок 2.

завдання 1

y = f (x ), Визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Визначте кількість цілих точок, в яких похідна функції позитивна.

Похідна функції позитивна на тих ділянках, де функція зростає. За малюнком видно, що це проміжки (-10,5; -7,6), (-1; 8,2) і (15,7; 19). Перерахуємо цілі точки всередині цих інтервалів: "-10", "- 9", "-8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", "16", "17", "18". Всього 15 точок.

відповідь: 15

Зауваження.
1. Коли в задачах про графіки функцій вимагають назвати "точки", як правило, мають на увазі тільки значення аргументу x , Які є абсциссами відповідних точок, розташованих на графіку. Ординати цих точок - значення функції, вони є залежними і можуть бути легко обчислені при необхідності.
2. При перерахуванні точок ми не враховували краю інтервалів, так як функція в цих точках не збільшується і не зменшується, а "розгортається". Похідна в таких точках не позитивний і не негативна, вона дорівнює нулю, тому вони називаються стаціонарними точками. Крім того, ми не розглядаємо тут кордону області визначення, тому що в умові сказано, що це інтервал.

завдання 2

На малюнку 1 зображено графік функції y = f (x ), Визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Визначте кількість цілих точок, в яких похідна функції f " (x ) Негативна.

Похідна функції негативна на тих ділянках, де функція спадає. За малюнком видно, що це проміжки (-7,6; -1) і (8,2; 15,7). Цілі точки всередині цих інтервалів: "-7", "- 6", "-5", "- 4", "3", "- 2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". Всього 13 точок.

відповідь: 13

Див. Зауваження до попередньої задачі.

Для вирішення таких завдань потрібно згадати ще одну постанову.

Точки максимуму і мінімуму функції об'єднуються загальною назвою - точки екстремуму .

У цих точках похідна функції або дорівнює нулю, або не існує ( необхідна умова екстремуму).
Однак необхідна умова - це ознака, але не гарантія існування екстремуму функції. Достатньою умовою екстремуму є зміна знака похідної: якщо похідна в точці змінює знак з "+" на "-", то це точка максимуму функції; якщо похідна в точці змінює знак з "-" на "+", то це точка мінімуму функції; якщо в точці похідна функції дорівнює нулю, або не існує, але знак похідної при переході через цю точку не змінюється на протилежний, то зазначена точка не є точкою екстремуму функції. Це може бути точка перегину, точка розриву або точка зламу графіка функції.

завдання 3

На малюнку 1 зображено графік функції y = f (x ), Визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Знайдіть кількість точок, в яких дотична до графіка функції паралельна прямій y \u003d 6 або збігається з нею.

Згадаймо, що рівняння прямої має вигляд y = kx + b , де k - коефіцієнт нахилу цієї прямої до осі Ox. У нашому випадку k \u003d 0, тобто пряма y \u003d 6 Не нахилена, а паралельна осі Ox. Значить шукані дотичні також повинні бути паралельні осі Ox і також повинні мати коефіцієнт нахилу 0. Таким властивістю дотичні мають в точках екстремумів функцій. Тому для відповіді на питання потрібно просто порахувати всі точки екстремумів на графіку. Тут їх 4 - дві точки максимуму і дві точки мінімуму.

відповідь: 4

завдання 4

функції y = f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть суму точок екстремуму функції на відрізку.

На зазначеному відрізку ми бачимо 2 точки екстремуму. Максимум функції досягається в точці x 1 \u003d 4, мінімум у точці x 2 = 8.
x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12.

відповідь: 12

завдання 5

На малюнку 1 зображено графік функції y = f (x ), Визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Знайдіть кількість точок, в яких похідна функції f " (x ) Дорівнює 0.

Похідна функції дорівнює нулю в точках екстремуму, яких на графіку видно 4:
2 точки максимуму і 2 точки мінімуму.

відповідь: 4

Завдання на визначення характеристик функції за графіком її похідної.

Малюнок 1.

Малюнок 2.

завдання 6

На малюнку 2 зображений графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). В якій точці відрізка [-6; 2] функція f (x ) Приймає найбільше значення.

На зазначеному відрізку похідна ніде не була позитивною, отже функція не збільшується. Вона спадала або проходила через стаціонарні точки. Таким чином, найбільшого значення функція досягала на лівій межі відрізка: x = −6.

відповідь: −6

зауваження: За графіком похідної видно, що на відрізку [-6; 2] вона дорівнює нулю тричі: в точках x = −6, x = −2, x \u003d 2. Але в точці x \u003d -2 вона не змінювала знака, значить в цій точці не могло бути екстремуму функції. Швидше за все там була точка перегину графіка вихідної функції.

завдання 7

На малюнку 2 зображений графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). В якій точці відрізка функція приймає найменше значення.

На відрізку похідна строго позитивна, отже функція на цій ділянці лише зростала. Таким чином, найменшого значення функція досягала на лівій межі відрізка: x = 3.

відповідь: 3

завдання 8

На малюнку 2 зображений графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть кількість точок максимуму функції f (x ), Що належать відрізку [-5; 10].

згідно необхідної умови екстремуму максимум функції може бути в точках, де її похідна дорівнює нулю. На заданому відрізку це точки: x = −2, x = 2, x = 6, x \u003d 10. Але згідно достатньому умові він точно будетільки в тих з них, де знак похідної змінюється з "+" на "-". На графіку похідною ми бачимо, що з перерахованих точок такою є тільки точка x = 6.

відповідь: 1

завдання 9

На малюнку 2 зображений графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f (x ), Що належать відрізку.

Екстремуми функції можуть бути в тих точках, де її похідна дорівнює 0. На заданому відрізку графіка похідної ми бачимо 5 таких точок: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x \u003d 18. Але в точці x \u003d 14 похідна не поміняла знак, отже її треба виключити з розгляду. Таким чином, залишаються 4 точки.

відповідь: 4

завдання 10

На малюнку 1 зображено графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Знайдіть проміжки зростання функції f (x ). У відповіді вкажіть довжину найбільшого з них.

Проміжки зростання функції збігаються з проміжками позитивності похідною. На графіку ми бачимо їх три - (-9; -7), (4; 12), (18; 19). Найдовший з них другий. його довжина l = 12 − 4 = 8.

відповідь: 8

завдання 11

На малюнку 2 зображений графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть кількість точок, в яких дотична до графіка функції f (x ) Паралельна прямій y = −2x − 11 або збігається з нею.

Кутовий коефіцієнт (він же тангенс кута нахилу) заданої прямої k \u003d -2. Нас цікавлять паралельні або збігаються дотичні, тобто прямі з таким же нахилом. Виходячи з геометричного сенсу похідної - кутовий коефіцієнт дотичної в даній точці графіка функції, перераховуємо точки, в яких похідна дорівнює -2. На малюнку 2 таких точок 9. Їх зручно вважати по перетину графіка і лінії координатної сітки, що проходить через значення -2 на осі Oy.

відповідь: 9

Як бачите, по одному і тому ж графіку можна задати найрізноманітніші питання про поведінку функції і її похідної. Також один той же питання можна віднести до графіків різних функцій. Будьте уважні при вирішенні цього завдання на іспиті, і вона здасться Вам дуже легкою. Інші види завдань цього завдання - на геометричний сенс первообразной - будуть розглянуті в іншому розділі.

Сергій Никифоров

Якщо похідна функції знакопостоянна на інтервалі, а сама функція неперервна на його кордонах, то граничні точки приєднуються як до проміжків зростання, так і до проміжків убування, що повністю відповідає визначенню зростаючих і спадних функцій.

Фарит Ямаева 26.10.2016 18:50

Добрий день. Як же (на якій підставі) можна стверджувати, що в точці, де похідна дорівнює нулю, функція зростає. Наведіть аргументи. Інакше, це просто чийсь каприз. З якої теоремі? А також доказ. Дякую.

Служба підтримки

Значення похідної в точці не має прямого відношення до зростанню функції на проміжку. Розгляньте, наприклад, функції - всі вони зростають на відрізку

Владлен Писарєв 02.11.2016 22:21

Якщо функція зростає на інтервалі (а; b) і визначена і неперервна в точках а і b, то вона зростає на відрізку. Тобто точка x \u003d 2 входить в даний проміжок.

Хоча, як правило зростання і спадання розглядається не на відрізку, а на інтервалі.

Але в самій точці x \u003d 2, функція має локальний мінімум. І як пояснювати дітям, що коли вони шукають точки зростання (зменшення), то точки локального екстремуму не вважаємо, а в проміжки зростання (спадання) - входять.

З огляду на, що перша частина ЄДІ для " середньої групи дитячого садка", То напевно такі нюанси- перебір.

Окремо, велике спасибі за "Вирішу ЄДІ" всім сотруднікам- відмінне посібник.

Сергій Никифоров

Просте пояснення можна отримати, якщо відштовхуватися від визначення зростаючої / спадної функції. Нагадаю, що звучить воно так: функція називається зростаючою / спадної на проміжку, якщо більшому аргументу функції відповідає більше / менше значення функції. Таке визначення не користується поняття похідною, тому питань про точках, де похідна звертається в нуль виникнути не може.

Ірина Ішмакова 20.11.2017 11:46

Добрий день. Тут в коментарях я бачу переконання, що кордони включати потрібно. Припустимо, я з цим погоджуся. Але подивіться, будь ласка, ваше розв'язок до задачі 7089. Там при вказівці проміжків зростання кордону не включаються. І це впливає на відповідь. Тобто рішення завдань 6429 і 7089 суперечать один одному. Проясніть, будь ласка, цю ситуацію.

Олександр Іванов

У завданнях 6429 і 7089 абсолютно різні питання.

В одному про проміжки зростання, а в іншому про проміжки з позитивною похідною.

Протиріччя немає.

Екстремуми входять в проміжки зростання та спадання, але точки, в яких похідна дорівнює нулю, що не входять у проміжки, на яких похідна позитивна.

A Z 28.01.2019 19:09

Колеги, є поняття зростання в точці

(Див. Фихтенгольц наприклад)

і ваше розуміння зростання в точці x \u003d 2 протівочет класичним визначенням.

Зростання і спадання це процес і хотілося б дотримуватися цього принципу.

У будь-якому інтервалі, який містить точку x \u003d 2, функція не є зростаючою. Тому включення даний точки x \u003d 2 процес особливий.

Зазвичай, щоб уникнути плутанини про включення кінців інтервалів говорять окремо.

Олександр Іванов

Функція y \u003d f (x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.

У точці х \u003d 2 функція диференційована, а на інтервалі (2; 6) похідна позитивна, значить, на проміжку)