Комплексні числа знайти всі значення. Комплексні числа

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ

ДЕРЖАВНИЙ ОСВІТНИЙ ЗАКЛАД

ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ

«ВОРОНІЗЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА АГЛЕБРИ ТА ГЕОМЕТРІЇ

Комплексні числа

(Вибрані завдання)

ВИПУСКНА КВАЛІФІКАЦІЙНА РОБОТА

за фахом 050201.65 математика

(з додатковою спеціальністю 050202.65 інформатика)

Виконала: студентка 5 курсу

фізико-математичного

факультету

Науковий керівник:

Вороніж - 2008

1. Введення……………………………………………………...…………..…

2. Комплексні числа (вибрані завдання)

2.1. Комплексні числа в формі алгебри….……...……….….

2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел…………..…

2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел

2.4. Додаток теорії комплексних чисел до вирішення рівнянь 3-го та 4-го ступеня……………..………………………………………………………

2.5. Комплексні числа та параметри………...……………………...….

3. Висновок…………………………………………………….................

4. Список літератури………………………….…………………...............

1. Введення

У програмі математики шкільного курсу теорія чисел вводиться з прикладів множин натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто. на безлічі дійсних чисел, зображення яких заповнюють усю числову вісь. Але вже у 8 класі запасу дійсних чисел не вистачає, вирішуючи квадратні рівняння за негативного дискримінанта. Тому необхідно було поповнити запас дійсних чисел з допомогою комплексних чисел, котрим квадратний корінь із негативного числа має сенс.

Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, полягає в тому, що поняття комплексної кількості розширює знання учнів про числові системи, про розв'язання широкого класу завдань як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про розв'язання рівнянь алгебри будь-якого ступеня і про розв'язання задач із параметрами.

У цій дипломній роботі розглянуто рішення 82-х завдань.

У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведено рішення задач з комплексними числами в формі алгебри, визначаються операції додавання, віднімання, множення, поділу, операція сполучення для комплексних чисел в формі алгебри, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило вилучення квадратного кореня з комплексного числа.

У другій частині вирішуються задачі на геометричну інтерпретацію комплексних чисел як точок або векторів комплексної площини.

У третій частині розглянуті дії над комплексними числами у тригонометричній формі. Використовуються формули: Муавра та вилучення кореня з комплексного числа.

Четверта частина присвячена вирішенню рівнянь 3-го та 4-го ступенів.

При вирішенні завдань останньої частини «Комплексні числа та параметри» використовуються та закріплюються відомості, наведені у попередніх частинах. Серія завдань розділу присвячена визначенню сімейств ліній у комплексній площині, заданих рівняннями (нерівністю) з параметром. У частині вправ необхідно вирішити рівняння з параметром (над полем З). Є завдання, де комплексна змінна задовольняє водночас низку умов. Особливістю розв'язання завдань цього розділу є зведення багатьох із вирішення рівнянь (нерівностей, систем) другого ступеня, ірраціональних, тригонометричних з параметром.

Особливістю викладу матеріалу кожної частини є початкове введення теоретичних основ, а згодом практичне їх застосування під час вирішення завдань.

Наприкінці дипломної роботи представлений список використаної літератури. У більшості з них досить докладно та доступно викладено теоретичний матеріал, розглянуто розв'язання деяких завдань та надано практичні завдання для самостійного вирішення. Особливу увагу хочеться звернути на такі джерела, як:

1. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. . Матеріал навчального посібника викладено у вигляді лекційних та практичних занять.

2. Шклярський Д.О., Ченцов Н.М., Яглом І.М. Вибрані завдання та теореми елементарної математики. Арифметика та алгебра. Книга містить 320 завдань, що відносяться до алгебри, арифметики та теорії чисел. За своїм характером ці завдання істотно відрізняються від стандартних шкільних завдань.

2. Комплексні числа (вибрані завдання)

2.1. Комплексні числа в формі алгебри

Вирішення багатьох завдань математики, фізики зводиться до розв'язання рівнянь алгебри, тобто. рівнянь виду

,

де a0, a1, …, an дійсні числа. Тому дослідження рівнянь алгебри є одним з найважливіших питань в математиці. Наприклад, дійсних коренів немає квадратне рівняння з негативним дискримінантом. Найпростішим таким рівнянням є рівняння

.

Щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити безліч дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння

.

Позначимо цей корінь через

. Таким чином, за визначенням , або ,

отже,

. називається уявною одиницею. З його допомогою і за допомогою пари дійсних чисел складається вираз виду.

Отримане вираз назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, і уявну частини.

Отже, комплексними числами називаються вирази виду

, і – дійсні числа, а – певний символ, який відповідає умові . Число називається дійсною частиною комплексного числа, а число – його уявною частиною. Для позначення використовуються символи , .

Комплексні числа виду

є дійсними числами і, отже, безліч комплексних чисел містить безліч дійсних чисел.

Комплексні числа виду

називаються чисто уявними. Два комплексних числа виду і називаються рівними, якщо рівні їх дійсні та уявні частини, тобто. якщо виконуються рівності, .

Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє виконувати операції над ними за звичайними правилами алгебри.

Сумою двох комплексних чисел

і називається комплексне число виду.

Добутком двох комплексних чисел

§ 1.Комплексні числа: визначення, геометрична інтерпретація, дії в алгебраїчній, тригонометричній та показовій формах

Визначення комплексної кількості

Комплексні рівності

Геометричне зображення комплексних чисел

Модуль та аргумент комплексного числа

Алгебраїчна та тригонометрична форми комплексного числа

Показова форма комплексної кількості

Формули Ейлера

§ 2. Цілі функції (багаточлени) та їх основні властивості. Розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел

Визначення рівняння алгебри -й ступеня

Основні властивості багаточленів

Приклади розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел

Питання для самоперевірки

Глосарій

§ 1. Комплексні числа: визначення, геометрична інтерпретація, дії в алгебраїчній, тригонометричній та показовій формах

Визначення комплексного числа ( Сформулюйте визначення комплексного числа)

Комплексним числом z називається вираз наступного виду:

Комплексне число в формі алгебри,(1)

Де х, y Î;

- комплексно пов'язане число числу z ;

- протилежне число числу z ;

- комплексний нуль ;

- Так позначається безліч комплексних чисел.

1)z = 1 + iÞ Re z= 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞ Re z= -1, Im z = , = –1 – i, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Якщо Im z= 0, то z = x- дійсне число;

4)z = 0 + 3i = 3iÞ Re z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Якщо Re z= 0, то z = iy - чисто уявне число.

Комплексні рівності (Сформулюйте сенс комплексної рівності)

1) ;

2) .

Одна комплексна рівність рівносильна системі двох дійсних рівностей. Ці дійсні рівності виходять із комплексної рівності поділом дійсних та уявних частин.

1) ;

2) .

Геометричне зображення комплексних чисел ( У чому полягає геометричне зображення комплексних чисел?)

Комплексне число zзображається точкою ( x , y) на комплексній площині або радіусом-вектором цієї точки.

Знак zу другій чверті означає, що система декартових координат використовуватиметься як комплексна площина.

Модуль та аргумент комплексного числа ( Що таке модуль та аргумент комплексного числа?)

Модулем комплексного числа називається невід'ємне дійсне число

.(2)

Геометрично модуль комплексного числа - це довжина вектора, що зображає число z, або полярний радіус точки ( x , y).

Зобразити на комплексній площині наступні числа та записати їх у тригонометричній формі.

1)z = 1 + i Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

тобто для z = 0 буде

, jне визначений.

Арифметичні дії над комплексними числами (Дайте визначення та перерахуйте основні властивості арифметичних дій над комплексними числами.)

Додавання (віднімання) комплексних чисел

z 1± z 2 = (x 1 + iy 1) ± ( x 2 + iy 2) = (x 1± x 2) + i (y 1± y 2),(5)

тобто при складанні (відніманні) комплексних чисел складаються (віднімаються) їх дійсні та уявні частини.

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Основні властивості додавання

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Розмноження комплексних чисел в алгебраїчній формі

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2),

тобто множення комплексних чисел в формі алгебри проводиться за правилом множення алгебри двучлена на двочлен з подальшою заміною і приведенням подібних за дійсним і уявним доданком.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Розмноження комплексних чисел тригонометричної форми

z 1∙z 2 = r 1(cos j 1 + i sin j 1)× r 2(cos j 2 + i sin j 2) =

= r 1r 2(cos j 1cos j 2 + i cos j 1sin j 2 + i sin j 1cos j 2 + i 2 sin j 1sin j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2 – sin j 1sin j 2) + i(cos j 1sin j 2 + sin j 1cos j 2))

Добуток комплексних чисел у тригонометричній формі, тобто при множенні комплексних чисел у тригонометричній формі їх модулі перемножуються, а аргументи складаються.

Основні властивості множення

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 – комутативність;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) – асоціативність;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - дистрибутивність щодо додавання;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

Поділ комплексних чисел

Поділ - це зворотна множення операція, тому

якщо z × z 2 = z 1 та z 2 ¹ 0, то .

При виконанні поділу в формі алгебри чисельник і знаменник дробу множаться на число, комплексно пов'язане знаменнику:

Розподіл комплексних чисел в формі алгебри.(7)

При виконанні поділу в тригонометричній формі модулі діляться, а аргументи віднімаються:

Розподіл комплексних чисел у тригонометричній формі. (8)

2)
.

Зведення комплексного числа в натуральний ступінь

Зведення в натуральний ступінь зручніше виконувати у тригонометричній формі:

Формула Муавра,(9)

тобто при зведенні комплексного числа в натуральну міру його модуль зводиться в цей ступінь, а аргумент множиться на показник ступеня.

Обчислити (1 + i)10.

Зауваження

1. При виконанні операцій множення та зведення в натуральний ступінь у тригонометричній формі можуть виходити значення кутів за межами одного повного обороту. Але їх можна звести до кутів чи скиданням цілого числа повних оборотів за властивостями періодичності функцій і .

2. Значення називають головним значенням аргументу комплексного числа;

при цьому значення всіх можливих кутів позначають;

очевидно, що , .

Вилучення кореня натурального ступеня з комплексного числа

Формули Ейлера(16)

за якими тригонометричні функції та дійсною змінною виражаються через показову функцію (експоненту) з чисто уявним показником.

§ 2. Цілі функції (багаточлени) та їх основні властивості. Розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел

Два багаточлени одного ступеня nтотожно рівні один одному тоді і тільки тоді, коли збігаються їх коефіцієнти при однакових ступенях змінної x, тобто

Доведення

w Тотожність (3) справедливо при "xÎ (або "xÎ)"

воно справедливе при ; підставляючи , отримаємо аn = bn .

Взаємно знищимо в (3) доданки аnі bnі поділимо обидві частини на x :

Це тотожність теж вірно при " x, у тому числі при x = 0

Þ вважаючи x= 0, отримаємо аn – 1 = bn – 1.

Взаємно знищимо в (3") доданки аn– 1 та a n- 1 і поділимо обидві частини на x, в результаті отримаємо

Аналогічно продовжуючи міркування, отримаємо, що аn – 2 = bn –2, …, а 0 = b 0.

Таким чином, доведено, що з тотожної рівності 2-х багаточленів випливає збіг їх коефіцієнтів при однакових ступенях x .

Зворотне твердження справедливо очевидно, тобто. якщо два многочлена мають однаковими всі коефіцієнти, всі вони є однакові функції, отже, їх значення збігаються при всіх значеннях аргументу, що означає їх тотожну рівність. Властивість 1 доведено повністю. v

При розподілі багаточлена Pn (x) на різницю ( x – х 0) виходить залишок, рівний Pn (x 0), тобто

Теорема Безу,(4)

де Qn – 1(x) - ціла частина від розподілу, є багаточленом ступеня ( n – 1).

Доведення

w Запишемо формулу поділу із залишком:

Pn (x) = (x – х 0)∙Qn – 1(x) + A ,

де Qn – 1(x) - багаточлен ступеня ( n – 1),

A- залишок, який є числом унаслідок відомого алгоритму розподілу багаточлена на двочлен «у стовпчик».

Ця рівність вірна при " x, у тому числі при x = х 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = Pn (х 0), ч.т.д. v

Наслідок з теореми Безу. Про розподіл багаточлена на двочлен без залишку

Якщо число х 0 є нулем многочлена, цей многочлен ділиться на різницю ( x – х 0) без залишку, тобто

Þ .(5)

1) , оскільки P 3(1) º 0

2) , оскільки P 4(–2) º 0

3) , оскільки P 2(–1/2) º 0

Поділ багаточленів на двочлени «в стовпчик»:

_

_

_

_

_

Кожен багаточлен ступеня n ³ 1 має принаймні один нуль, дійсний або комплексний

Доказ цієї теореми виходить за межі нашого курсу. Тому ухвалимо теорему без доказу.

Попрацюємо з цієї теореми і з теореми Безу з багаточленом Pn (x).

Після n-кратного застосування цих теорем отримаємо, що

де a 0 - це коефіцієнт при x nв Pn (x).

Наслідок з основної теореми алгебри. Про розкладання багаточлена на лінійні множники

Будь-який багаточлен ступеня на безлічі комплексних чисел розкладається на nлінійних співмножників, тобто

Розкладання многочлена на лінійні множники,(6)

дех1, х2, … хn – це нулі багаточлена.

При цьому якщо kчисел із набору х 1, х 2, … хnзбігаються між собою і з числом a, то у творі (6) виходить множник ( x– a) k. Тоді число x= a називається k-кратним нулем багаточлена Pn ( x) . Якщо k= 1, то нуль називається простим нулем багаточлена Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - простий нуль, x 2 = 4 – триразовий нуль;

2)P 4(x) = (x – i)4 Þ x = i- нуль кратності 4.

Властивість 4 (про кількість коренів рівняння алгебри)

Будь-яке рівняння алгебри Pn(x) = 0 ступеня n має на безлічі комплексних чисел рівно n коренів, якщо рахувати кожен корінь стільки разів, яка його кратність.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 – алгебраїчне рівняння другого ступеня

Þ x 1,2 = 2±=2± i- два корені;

2)x 3 + 1 = 0 - рівняння алгебри третього ступеня

Þ x 1,2,3 = - три корені;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1, т.к. P 3(1) = 0.

Розділимо багаточлен P 3(x) на ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Вихідне рівняння

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 û( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 – простий корінь, x 2 = -1 - дворазовий корінь.

1) – парне комплексно пов'язане коріння;

Будь-який многочлен із дійсними коефіцієнтами розкладається на добуток лінійних та квадратичних функцій із дійсними коефіцієнтами.

Доведення

w Нехай x 0 = a + bi- нуль багаточлена Pn (x). Якщо всі коефіцієнти цього многочлена є дійсними числами, теж є його нулем (за властивістю 5).

Обчислимо твір двочленів :

комплексний число багаточленів рівняння

Отримали ( x – a)2 + b 2 – квадратний тричленс дійсними коефіцієнтами.

Таким чином, будь-яка пара двочленів з комплексно сполученим корінням у формулі (6) призводить до квадратного тричлена з дійсними коефіцієнтами. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Приклади розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел ( Наведіть приклади розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел)

1. Алгебраїчні рівняння першого ступеня:

, - Єдиний простий корінь.

2. Квадратні рівняння:

, - Завжди має два корені (різних або рівних).

1) .

3. Двічлені рівняння ступеня:

, – завжди має різне коріння.

,

Відповідь: , .

4. Розв'язати кубічне рівняння.

Рівняння третього ступеня має три корені (дійсні або комплексні), при цьому потрібно рахувати кожен корінь стільки разів, яка його кратність. Оскільки всі коефіцієнти даного рівняння є дійсними числами, то комплексне коріння рівняння, якщо вони є, будуть парними комплексно пов'язаними.

Підбором знаходимо перший корінь рівняння, оскільки.

Наслідком з теореми Безу. Обчислюємо цей поділ «у стовпчик»:

_
_
_

Представляючи тепер многочлен як твори лінійно і квадратного множника, отримаємо:

.

Інші корені знаходимо як корені квадратного рівняння:

Відповідь: , .

5. Скласти алгебраїчне рівняння найменшого ступеня з дійсними коефіцієнтами, якщо відомо, що числа x 1 = 3 та x 2 = 1 + iє його корінням, причому x 1 є дворазовим коренем, а x 2 – простим.

Число також є коренем рівняння, т.к. коефіцієнти рівняння мають бути дійсними.

Усього шукане рівняння має 4 корені: x 1, x 1,x 2, . Тому його ступінь дорівнює 4. Складаємо багаточлен 4-го ступеня з нулями x

11. Що таке комплексний нуль?

13. Сформулюйте сенс комплексної рівності.

15. Що таке модуль та аргумент комплексного числа?

17. Що таке аргумент комплексного числа?

18. Яку назву чи сенс має формула?

19. Поясніть сенс позначень у цій формулі:

27. Дайте визначення та перерахуйте основні властивості арифметичних дій над комплексними числами.

28. Яку назву чи сенс має формула?

29. Поясніть сенс позначень у цій формулі:

31. Яку назву чи сенс має формула?

32. Поясніть сенс позначень у цій формулі:

34. Яку назву чи сенс має формула?

35. Поясніть сенс позначень у цій формулі:

61. Перелічіть основні властивості багаточленів.

63. Сформулюйте властивість розподілу многочлена на різницю (x – х0).

65. Яку назву чи сенс має формула?

66. Поясніть сенс позначень у цій формулі:

67. ⌂ .

69. Сформулюйте основну теорему теорема алгебри.

70. Яку назву чи сенс має формула?

71. Поясніть сенс позначень у цій формулі:

75. Сформулюйте властивість кількості коренів алгебраїчного рівняння.

78. Сформулюйте властивість про розкладання багаточлена із дійсними коефіцієнтами на лінійні та квадратичні множники.

Глосарій

k-кратним нулем багаточлена називається... (Стор. 18)

алгебраїчним багаточленом називається... (Стор. 14)

алгебраїчним рівнянням n-го ступеня називається... (Стор. 14)

алгебраїчною формою комплексного числа називається... (стор. 5)

аргумент комплексного числа це... (стор. 4)

дійсна частина комплексного числа z це... (стор. 2)

комплексно пов'язане число це... (стор. 2)

комплексний нуль це... (стор. 2)

комплексним числом називається... (стор. 2)

коренем ступеня n з комплексного числа називається... (стор. 10)

коренем рівняння називається... (стор. 14)

коефіцієнти многочлена це... (Стор. 14)

уявна одиниця це... (стор. 2)

уявна частина комплексного числа z це... (стор. 2)

модулем комплексного числа називається... (стор. 4)

нулем функції називається... (стор. 14)

показовою формою комплексного числа називається... (стор. 11)

поліномом називається... (стор. 14)

простим нулем багаточлена називається... (Стор. 18)

протилежне число це... (стор. 2)

ступінь багаточлена це... (Стор. 14)

тригонометричною формою комплексного числа називається... (стор. 5)

формула Муавра це... (стор. 9)

формули Ейлера це... (Стор. 13)

цілою функцією називається... (стор. 14)

чисто уявне число це... (стор. 2)

План уроку.

1. Організаційний момент.

2. Виклад матеріалу.

3. Домашнє завдання.

4. Підбиття підсумків уроку.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

ІІ. Виклад матеріалу.

Мотивація.

Розширення безлічі речових чисел у тому, що до дійсним числам приєднуються нові числа (уявні). Введення цих чисел пов'язане з неможливістю в багатьох дійсних чисел вилучення кореня з негативного числа.

Запровадження поняття комплексного числа.

Уявні числа, якими ми доповнюємо дійсні числа, записуються як bi, де i- Уявна одиниця, причому i 2 = - 1.

Виходячи з цього, отримаємо таке визначення комплексного числа.

Визначення. Комплексним числом називається вираз виду a + bi, де aі b- дійсні числа. При цьому виконуються умови:

а) Два комплексні числа a 1 + b 1 iі a 2 + b 2 iрівні тоді і лише тоді, коли a 1 = a 2, b 1 = b 2.

б) Додавання комплексних чисел визначається правилом:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

в) Примноження комплексних чисел визначається правилом:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Алгебраїчна форма комплексного числа.

Запис комплексного числа у вигляді a + biназивають алгебраїчною формою комплексного числа, де а- дійсна частина, bi- уявна частина, причому b- дійсне число.

Комплексне число a + biвважається рівним нулю, якщо його дійсна і уявна частини дорівнюють нулю: a = b = 0

Комплексне число a + biпри b = 0вважається таким, що збігається з дійсним числом a: a + 0i = a.

Комплексне число a + biпри a = 0називається чисто уявним і позначається bi: 0 + bi = bi.

Два комплексні числа z = a + biі = a – bi, що відрізняються лише знаком уявної частини, називаються сполученими.

Події над комплексними числами в формі алгебри.

Над комплексними числами в формі алгебри можна виконувати наступні дії.

1) Додавання.

Визначення. сумою комплексних чисел z 1 = a 1 + b 1 iі z 2 = a 2 + b 2 iназивається комплексне число z, дійсна частина якого дорівнює сумі дійсних частин z 1і z 2а уявна частина - сумі уявних частин чисел z 1і z 2, тобто z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Числа z 1і z 2називаються доданками.

Додавання комплексних чисел має наступні властивості:

1º. Комутативність: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Асоціативність: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Комплексне число –a –biназивається протилежним комплексному числу z = a + bi. Комплексне число, протилежне комплексному числу z, позначається -z. Сума комплексних чисел zі -zдорівнює нулю: z + (-z) = 0

Приклад 1. Виконайте додавання (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Віднімання.

Визначення.Відняти з комплексного числа z 1комплексне число z 2 z,що z + z 2 = z 1.

Теорема. Різниця комплексних чисел існує і єдина.

Приклад 2. Виконайте віднімання (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Множення.

Визначення. Добутком комплексних чисел z 1 =a 1 +b 1 iі z 2 =a 2 +b 2 iназивається комплексне число z, що визначається рівністю: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Числа z 1і z 2називаються співмножниками.

Множення комплексних чисел має такі властивості:

1º. Комутативність: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Асоціативність: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Дистрибутивність множення щодо складання:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z · = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2- дійсне число.

На практиці множення комплексних чисел виробляють за правилом множення суми на суму та виділення дійсної та уявної частини.

У наступному прикладі розглянемо множення комплексних чисел двома способами: за правилом та множенням суми на суму.

Приклад 3. Виконайте множення (2 + 3i) (5 – 7i).

1 спосіб. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

2 спосіб. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Розподіл.

Визначення. Розділити комплексне число z 1на комплексне число z 2, значить знайти таке комплексне число z, що z · z 2 = z 1.

Теорема.Приватне комплексних чисел існує і єдино, якщо z 2 ≠ 0 + 0i.

Насправді приватне комплексних чисел знаходять шляхом множення чисельника і знаменника на число, пов'язане знаменнику.

Нехай z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 iтоді

.

У наступному прикладі виконаємо поділ за формулою та правилом множення на число, пов'язане знаменнику.

Приклад 4. Знайти приватне .

5) Зведення на цілий позитивний ступінь.

а) Ступені уявної одиниці.

Користуючись рівністю i 2 = -1, легко визначити будь-яку цілу позитивну міру уявної одиниці. Маємо:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1і т.д.

Це показує, що значення ступеня i n, де n– ціле позитивне число, періодично повторюється зі збільшенням показника на 4 .

Тому, щоб звести число iна цілий позитивний ступінь, треба показник ступеня поділити на 4 і звести iу ступінь, показник якого дорівнює залишку від розподілу.

Приклад 5. Обчисліть: (i 36 + i 17) · i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = – i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 - i.

б) Зведення комплексного числа в цілий позитивний ступінь проводиться за правилом зведення двочлена у відповідний ступінь, оскільки воно є окремим випадком множення однакових комплексних співмножників.

Приклад 6. Обчисліть: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Комплексні числа - це мінімальне розширення множини звичних нам дійсних чисел. Їх важлива відмінність у цьому, що утворюється елемент, що у квадраті дає -1, тобто. i, або .

Будь-яке комплексне число складається з двох частин: речовинної та уявної:

Таким чином видно, що безліч дійсних чисел збігається з безліччю комплексних чисел з нульовою уявною частиною.

Найпопулярніша модель безлічі комплексних чисел – це звичайна площина. Перша координата кожної точки буде її речовою частиною, а друга -уявною. Тоді в ролі самих комплексних чисел будуть виступати вектори з початком у точці (0,0).

Операції над комплексними числами.

Насправді, якщо брати до уваги модель безлічі комплексних чисел, інтуїтивно зрозуміло, що додавання (віднімання) і множення двох комплексних чисел проводяться так само як відповідні операції над векторами. Причому мається на увазі векторний добуток векторів, тому що результатом цієї операції є знову ж таки вектор.

1.1 Додавання.

(Як видно, дана операція точно відповідає )

1.2 Віднімання, аналогічно, проводиться за таким правилом:

2. Множення.

3. Розподіл.

Визначається як зворотна операція до множення.

Тригонометрична форма.

Модулем комплексного числа z називається така величина:

,

очевидно, що це, знову ж таки, просто модуль (довжина) вектора (a, b).

Найчастіше модуль комплексного числа позначається як ρ.

Виявляється, що

z = ρ(cosφ+isinφ).

Безпосередньо з тригонометричної форми запису комплексного числа випливають такі формули :

Останню формулу називають Формулою Муавра. Безпосередньо з неї виводиться формула кореня n-ного ступеня з комплексного числа:

таким чином, існує n коренів n-ного ступеня з комплексного числа z.

Нагадаємо необхідні відомості про комплексні числа.

Комплексне число- це вираз виду a + bi, де a, b- дійсні числа, а i- так звана уявна одиниця, символ, квадрат якого дорівнює –1, тобто i 2 = -1. Число aназивається дійсною частиною, а число b - уявною частиноюкомплексного числа z = a + bi. Якщо b= 0, то замість a + 0iпишуть просто a. Видно, що дійсні числа – це окремий випадок комплексних чисел.

Арифметичні дії над комплексними числами ті ж, що й над дійсними: їх можна складати, віднімати, множити та ділити один на одного. Додавання та віднімання відбуваються за правилом ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, А множення - за правилом ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(тут використовується, що i 2 = -1). Число = a – biназивається комплексно-сполученимдо z = a + bi. Рівність z · = a 2 + b 2 дозволяє зрозуміти, як ділити одне комплексне число на інше (ненульове) комплексне число:

(Наприклад, .)

У комплексних чисел є зручне та наочне геометричне уявлення: число z = a + biможна зображати вектором з координатами ( a; b) на декартовій площині (або, що майже те саме, точкою - кінцем вектора з цими координатами). При цьому сума двох комплексних чисел зображується як сума відповідних векторів (яку можна знайти за правилом паралелограма). По теоремі Піфагора довжина вектора з координатами ( a; b) дорівнює. Ця величина називається модулемкомплексного числа z = a + biта позначається | z|. Кут, який цей вектор утворює з позитивним напрямком осі абсцис (відрахований проти годинникової стрілки), називається аргументомкомплексного числа zі позначається Arg z. Аргумент визначено не однозначно, а лише з точністю до збільшення величини, кратної 2 π радіан (або 360 °, якщо рахувати в градусах) - адже ясно, що поворот на такий кут навколо початку координат не змінить вектор. Але якщо вектор довжини rутворює кут φ з позитивним напрямом осі абсцис, його координати рівні ( r· cos φ ; r· sin φ ). Звідси виходить тригонометрична форма записукомплексного числа: z = |z| · (cos(Arg) z) + i sin(Arg z)). Часто буває зручно записувати комплексні числа саме в такій формі, тому що це спрощує викладки. Розмноження комплексних чисел у тригонометричній формі виглядає дуже просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg) z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при множенні двох комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються). Звідси випливають формули Муавра: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i sin( n· (Arg z))). За допомогою цих формул легко навчитися добувати коріння будь-якого ступеня з комплексних чисел. Корінь n-го ступеня з числа z- це таке комплексне число w, що w n = z. Видно що , а де kможе приймати будь-яке значення з множини (0, 1, ..., n- 1). Це означає, що завжди є рівно nкоріння n-й ступеня з комплексного числа (на площині вони розташовуються у вершинах правильного n-кутника).