Линейна функция. Линия функция Графика на функцията y x 2

Научете се да приемате производни на функции.Производната характеризира скоростта на промяна на функция в определена точка, разположена на графиката на тази функция. В този случай графиката може да бъде както права, така и крива линия. Тоест, производната характеризира скоростта на промяна на функция в определен момент от време. Запомнете общите правила, по които се вземат производни, и едва след това преминете към следващата стъпка.

• Прочети статията.
• Описано е как да вземем най-простите производни, например производната на експоненциално уравнение. Изчисленията, представени в следващите стъпки, ще се основават на описаните там методи.

Научете се да различавате задачи, при които коефициентът на наклона трябва да се изчисли чрез производната на функция.Проблемите не винаги изискват да намерите наклона или производната на функция. Например, може да бъдете помолени да намерите скоростта на промяна на функция в точка A(x,y). Може също да бъдете помолени да намерите наклона на тангентата в точка A(x,y). И в двата случая е необходимо да се вземе производната на функцията.

Вземете производната на функцията, която ви е дадена.Тук няма нужда да изграждате графика - трябва ви само уравнението на функцията. В нашия пример вземете производната на функцията f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Вземете производното според методите, описани в статията, спомената по-горе:

Заменете координатите на дадената ви точка в намерената производна, за да изчислите наклона.Производната на функция е равна на наклона в определена точка. С други думи, f"(x) е наклонът на функцията във всяка точка (x,f(x)). В нашия пример:

Ако е възможно, проверете отговора си на графика.Не забравяйте, че наклонът не може да бъде изчислен във всяка точка. Диференциалното смятане работи със сложни функции и сложни графики, при които наклонът не може да бъде изчислен във всяка точка, а в някои случаи точките изобщо не лежат на графиките. Ако е възможно, използвайте графичен калкулатор, за да проверите дали наклонът на дадената ви функция е правилен. В противен случай начертайте допирателна към графиката в дадената ви точка и помислете дали стойността на наклона, която сте намерили, съответства на това, което виждате на графиката.

• Тангентата ще има същия наклон като графиката на функцията в определена точка. За да начертаете допирателна в дадена точка, преместете се наляво/надясно по оста X (в нашия пример 22 стойности надясно) и след това една нагоре по оста Y. Маркирайте точката и след това я свържете с дадена ви точка. В нашия пример свържете точките с координати (4,2) и (26,3).

Понятието числова функция. Методи за задаване на функция. Свойства на функциите.

Числовата функция е функция, която действа от едно числово пространство (набор) към друго числово пространство (набор).

Три основни начина за дефиниране на функция: аналитичен, табличен и графичен.

1. Аналитичен.

Методът за определяне на функция с помощта на формула се нарича аналитичен. Този метод е основният в мат. анализ, но на практика не е удобно.

2. Табличен метод за задаване на функция.

Функция може да бъде определена с помощта на таблица, съдържаща стойностите на аргументите и съответните им функционални стойности.

3. Графичен метод за задаване на функция.

Казва се, че функция y=f(x) е дадена графично, ако нейната графика е построена. Този метод за определяне на функция позволява да се определят стойностите на функцията само приблизително, тъй като конструирането на графика и намирането на стойностите на функцията върху нея е свързано с грешки.

Свойства на функция, които трябва да се вземат предвид при изграждането на нейната графика:

1) Областта на дефиниране на функцията.

Домейн на функцията,т.е. тези стойности, които аргументът x на функцията F =y (x) може да приеме.

2) Интервали на нарастващи и намаляващи функции.

Функцията се нарича нарастващавърху разглеждания интервал, ако на по-голяма стойност на аргумента съответства по-голяма стойност на функцията y(x). Това означава, че ако два произволни аргумента x 1 и x 2 са взети от разглеждания интервал и x 1 > x 2, тогава y(x 1) > y(x 2).

Функцията се нарича намаляващавърху разглеждания интервал, ако на по-голяма стойност на аргумента съответства по-малка стойност на функцията y(x). Това означава, че ако два произволни аргумента x 1 и x 2 са взети от разглеждания интервал и x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Функционални нули.

Точките, в които функцията F = y (x) пресича абсцисната ос (те се получават чрез решаване на уравнението y(x) = 0), се наричат ​​нули на функцията.

4) Четни и нечетни функции.

Функцията се нарича дори, if за всички стойности на аргументи от обхвата

y(-x) = y(x).

Графиката на четна функция е симетрична спрямо ординатата.

Функцията се нарича странна, ако за всички стойности на аргумента от домейна на дефиницията

y(-x) = -y(x).

Графиката на четна функция е симетрична спрямо началото.

Много функции не са нито четни, нито нечетни.

5) Периодичност на функцията.

Функцията се нарича периодична,ако има число P такова, че за всички стойности на аргумента от областта на дефиницията

y(x + P) = y(x).

Линейна функция, нейните свойства и графика.

Линейната функция е функция на формата y = kx + b, дефинирана върху множеството от всички реални числа.

к– наклон (реално число)

b– фиктивен термин (реално число)

х- независима променлива.

· В специалния случай, ако k = 0, получаваме постоянна функция y = b, чиято графика е права линия, успоредна на оста Ox, минаваща през точката с координати (0; b).

· Ако b = 0, тогава получаваме функцията y = kx, което е пряка пропорционалност.

o Геометричният смисъл на коефициента b е дължината на отсечката, която правата отрязва по оста Oy, считано от началото.

o Геометричният смисъл на коефициента k е ъгълът на наклона на правата към положителната посока на оста Ox, изчислен обратно на часовниковата стрелка.

Свойства на линейна функция:

1) Областта на дефиниране на линейна функция е цялата реална ос;

2) Ако k ≠ 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция е цялата реална ос.

Ако k = 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция се състои от числото b;

3) Четността и нечетността на линейната функция зависят от стойностите на коефициентите k и b.

а) b ≠ 0, k = 0, следователно y = b – четно;

б) b = 0, k ≠ 0, следователно y = kx – нечетно;

в) b ≠ 0, k ≠ 0, следователно y = kx + b е функция от общ вид;

г) b = 0, k = 0, следователно y = 0 е едновременно четна и нечетна функция.

4) Линейната функция не притежава свойството периодичност;

5) Точки на пресичане с координатни оси:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следователно (-b/k; 0) е пресечната точка с оста x.

Oy: y = 0k + b = b, следователно (0; b) е пресечната точка с ординатата.

Коментирайте. Ако b = 0 и k = 0, тогава функцията y = 0 изчезва за всяка стойност на променливата x. Ако b ≠ 0 и k = 0, тогава функцията y = b не изчезва за никоя стойност на променливата x.

6) Интервалите с постоянен знак зависят от коефициента k.

а) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положително при x от (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицателно за x от (-∞; -b/k).

б) к< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положително при x от (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицателно за x от (-b/k; +∞).

в) k = 0, b > 0; y = kx + b е положителен в цялата област на дефиниция,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Интервалите на монотонност на линейна функция зависят от коефициента k.

k > 0, следователно y = kx + b нараства в цялата област на дефиниция,

к< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Функция y = ax 2 + bx + c, нейните свойства и графика.

Функцията y = ax 2 + bx + c (a, b, c са константи, a ≠ 0) се нарича квадратнаВ най-простия случай y = ax 2 (b = c = 0) графиката е крива линия, минаваща през началото. Кривата, служеща за графика на функцията y = ax 2, е парабола. Всяка парабола има ос на симетрия, наречена оста на параболата.Точката O на пресечната точка на парабола с нейната ос се нарича върха на параболата.

Графиката може да се построи по следната схема: 1) Намерете координатите на върха на параболата x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Построяваме още няколко точки, които принадлежат на параболата, като при конструирането можем да използваме симетриите на параболата спрямо правата x = -b/2a. 3) Свържете посочените точки с гладка линия. Пример. Начертайте графика на функцията b = x 2 + 2x - 3.Решения. Графиката на функцията е парабола, чиито клонове са насочени нагоре. Абсцисата на върха на параболата x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, нейните ординати y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. И така, върхът на параболата е точка (-1; -4). Нека съставим таблица със стойности за няколко точки, които са разположени вдясно от оста на симетрия на параболата - права линия x = -1. Функционални свойства.

Тема на урока: функция г =k х 2 , неговите свойства и графика .

Целта на урока: обобщават и систематизират знанията за квадратичната функция, нейните свойства и графика

Образователни цели:

консолидират основните свойства на квадратичната функция y =kx 2 и нейната графика с помощта на компютърно моделиране и интерактивна бяла дъска.

решаване на математически задачи с помощта на няколко метода и метода, като се идентифицират предимствата и недостатъците на всеки от тях.

Развиващи задачи

развитие на комуникативните способности на учениците,

развитие на интелектуалната и изследователска култура на учениците,

развиване на умения за компютърно моделиране и работа на интерактивна дъска

Образователни задачи:

развийте уважение към мнението на другите хора

сериозно и отговорно отношение към възпитателната работа.

Тип урок: презентация на урок, работилница.

Методи на обучение: разговор, обяснение, делова игра, демонстрация, компютърна симулация, практическа работа.

Форми за организиране на работа с ученици: индивидуални, фронтални, двойки (група).

Оборудване: компютър, мултимедиен проектор, интерактивна бяла дъска, обикновена дъска, милиметрова хартия, раздавателни материали: многостепенни задачи, бележка с изискванията за изпълнение на практическа работа.

Софтуер: подготвена презентация V Microsoft PowerPoint; Advanced Grapher 1.62 (Многофункционална програма за изучаване на математически функции с удобен графичен интерфейс. Позволява ви да изграждате графики на функции и техните производни, да намирате екстремуми на функции и корени на уравнения, да извършвате интегриране, да получавате таблица със стойностите на функциите според неговата формула и т.н., статус: безплатен софтуер, авторски права: SerpikSoft, уебсайт: ); софтуер за интерактивна бяла дъска.

План на урока.

1. Организационен момент – 1-2 минути.

2. Поставяне на цели и задачи на урока – 2 мин.

3. Оборудване – 1 мин.

4. Повторение на вече изучен материал – 10 мин.

задача №1

задача №2

5. Практическа работа – 25 мин.

Задача No3

Защита на изпълнена задача No3

Задача No4

Защита на изпълнена задача No4

6. Домашна работа – 2 мин.

7. Обобщаване на урока. Оценяване – 3 мин.

По време на часовете

Показан е слайд 1.

Етап I. Организиране на времето.

Учителят поздравява децата, отбелязва отсъстващите, проверява наличието на инструменти за рисуване, раздаване: карти със задачи, милиметрова хартия, напомняния.

Поставяне на целта и задачите на урока

Показан слайд 2-5

Учител. Днес ще обобщим и проверим придобитите знания и умения на практика, ще разширим и систематизираме знанията за квадратичната функция г = kx 2 , като един от математическите модели. Нека продължим да овладяваме възможностите на интерактивната бяла дъска, използвайки компютър в нашата работа, и да обмислим изграждането на графики на квадратични функции, като го използваме.

В реалния живот има процеси, описани с различни математически модели на формата г = f ( х ), Г де f ( х ) - функция. В 7 клас се запознахме с линейната функция, в 8 клас започнахме да се запознаваме с друг математически модел, като изучихме f ( х ) – квадратична функция. Нека проверим как се научихте да различавате един модел от друг в първата задача.

Етап II. Повторение.

Задача 1. Обозначете графиката на функцията.

За всяка графика, показана на интерактивната дъска, намерете съответната функция.

Показан е слайд 6

На интерактивната дъска учениците по веригата, използвайки метода на преместване на обекти (имена на функции) от галерията с рисунки, преместват функциите в съответната графика, като същевременно обосновават своя избор.

Останалите ученици в тетрадка и двама на обикновена дъска едновременно записват функции в две колони на таблицата, като посочват съответната стойност к И b . Работата е обобщена. Учениците провеждат взаимно изпитване (на интерактивни и обикновени дъски, в тетрадки).

Класификация по вид на математическия модел

y = kx + b

y = kx 2

y = 3x + 2; k = 3 b = 2

у =3х2; k = 3

у =2х; k =2 b =0

y = - 3x 2; k =-3

у =2х; k =2 b =0

y = x 2; k =1

прав

парабола

Задача 2. Избройте свойствата на квадратична функция.

Показан е слайд 7

Учител. В математиката е важно да се разграничи един модел от друг, като се познават свойствата на всеки и могат да се използват различни езици (вербални, символни, графични), когато се описват тези свойства. В подготовката за урока група деца систематизираха обща информация за квадратичната функция в таблица, използвайки символичен език. На интерактивната дъска таблицата със свойствата на функцията е покрита със завеса. Нека си припомним какво знаем за свойствата на квадратичната функция.

След фронтална анкета за изброяване на свойствата на квадратична функция, използвайки техниката на завесата отляво надясно, се отваря първата колона на таблицата. Момчетата проверяват таблицата, за да видят дали всички имоти са именувани. След това се изброяват свойствата на функцията в зависимост от коефициента; по време на разговора едновременно се отварят редовете на таблицата - техниката на преместване на завесата надолу.

Изслушват се отговорите на учениците и се обобщават резултатите от повторението на свойствата на квадратната функция. Учениците упражняват самоконтрол.

Етап III. Прилагане на знания и умения

Практическа работа

Показан е слайд 8

Задача No3. „Конструирайте и опишете свойствата на частично дадена функция

Учител. И така, сега ще се опитаме да приложим всички знания на практика по различни начини.

Сега ще бъдете разделени на три групи:

Група № 1 „програмисти“» – изградете графика на функция с помощта на компютър.

Група № 2 „практики“– изграждат графика на функция без използване на компютър върху милиметрова хартия.

Група №3 „теоретици” –описват свойствата на дадена функция.

За децата от група №1 (посещаващи избираема дисциплина по ППО) на интерактивната дъска е изведен алгоритъм за работа по компютърно моделиране ( Показан е слайд 9) Група No2 използва бележката слайд 23, приложение № 2) , Група № 3 има на масата готова графика на тази функция, предварително попълнена от учениците в избираемата дисциплина ИПО ( слайд 14 ).

Задачата за деца от група № 2, със способности под средните, е разделена на подзадачи. Слабите ученици изграждат графика само на една квадратна функция, по-силните ученици изграждат графика на квадратна и линейна функция, напредналите изпълняват цялата задача.

Учителят проверява задачата на учениците, които са я изпълнили първи във всяка група. След това, когато практическата работа е завършена, учениците проверяват задачите си по веригата. Така ще се проверява работата на всички ученици. Тези ученици, които изпитват затруднения, се обръщат за помощ към учителя или другарите от съседната двойка.

Показан е слайд 10-15

Защита на завършена работа

Всяка група определя лидер, отговорен за защитата на работата. Учениците анализират етапите на конструиране и описание на свойствата на функция. Учениците от група № 2 упражняват самоконтрол, като сравняват своята графика с графиката на интерактивната дъска, построена чрез компютърно моделиране от учениците от група № 1. Учениците от група № 3 коментират свойствата на функцията, графиката от които е представен на дъската.

По време на защитата учителят задава въпроси, които помагат да се идентифицират предимствата и недостатъците на всеки метод за графика на функция:

Какво е предимството на този метод за графика на функция?

Какви недостатъци на този метод можете да посочите?

Защита на работа, извършена с помощта на компютър

Показан е слайд 16

Предимства на метода:

Визуализация, скорост на работа, точност на конструкцията, лекота на изпълнение, възможност за автоматизирана проверка на резултата; графикът се създава не само на хартия, но и в електронен вид.

Недостатъци на този метод:

Компютърните умения не се подобряват, няма връзка с теорията, липсва хардуер и софтуер.

Показан е слайд 17

Защита на работа, извършена без компютър

Предимства на метода:

Независимост от компютърните технологии, когато се използват; развитие на изчислителни умения, връзка с теорията.

Недостатъци на този метод:

Работата отнема много време, липсва прецизност в конструкцията, невъзможно е автоматизирането на проверката на резултата; Диаграмата се създава само на хартия.

Задача No4 „Решете уравнениетох 2 = 4 х - 4"

Показан е слайд 18

Учител. Каним ви да решите уравнението, като използвате два метода: графичен и аналитичен.

1. Графичен метод – по два начина (компютърно моделиране и без помощта на компютър).

2. Метод – аналитичен.

Анализирайки етапите на графично решаване на уравнение, учениците формулират алгоритъм за изпълнение на задачата. Показан е слайд 19

Когато използвате метода на аналитичното решение, е необходимо да запомните формулата за квадрата на разликата на два израза.

Методът на графичното решение може да бъде представен по два начина с помощта на компютърно моделиране и традиционно.

Задачата се изпълнява от ученици от групи № 1-3 по същата схема, както при изпълнение на практическа работа на задача № 3. Учениците изпълняват задачата и сравняват резултата.

Защита на завършена работа.

Група момчета, работещи на компютър, демонстрират резултата от работата си с помощта на мултимедиен проектор върху интерактивна бяла дъска, като посочват пресечната точка на графиките на функциите и подписват нейните координати. Група ученици № 3 - „теоретици”, решението се взема на редовна дъска. Група ученици № 3 – „практици“, проверете резултатите на интерактивната дъска.

Показан е слайд 20

Учител дава задача сравнете резултатите. Определете според вас по-ефективен метод.

Етап IV. Домашна работа.

Показан е слайд 21

Учител. В клас работихте по групи, по двойки, изпълнявайки една задача заедно. Вкъщи ще трябва да извършвате практическа работа въз основа на вашите способности. Задачата е диференцирана по нива на трудност ( слайд 22 - Приложение 2, слайд 23 ). На дъската е показан слайд с инструкции за изпълнение на работата.

Етап V. Обобщаване на урока. Класиране.

Показан е слайд 24

Днес обобщихме и систематизирахме знанията по темата „Функция y = x 2, нейните свойства и графика“ с помощта на компютърно моделиране и интерактивна дъска, разгледахме решението на математическа задача по няколко начина и разбрахме предимствата и недостатъците на всеки метод. За вас по-универсален метод се оказа използването на математическо моделиране. Изборът на конкретен метод обаче зависи и от целите, които си поставяме при решаването на конкретен проблем. Различните математически задачи ни дават възможност да прилагаме различни техники, методи и методи за конкретни практически задачи. И вие имате право да изберете тези, които ще бъдат по-подходящи при дадените условия. В следващия урок преминаваме към запознаване с нов математически модел, попълвайки запаса от изучавани функции. Всички знания и умения, придобити от конструирането на функционални графики по два начина, ще ви помогнат в бъдещата ви работа. Благодаря на всички за работата.

Литература

Списание "Математиката в училище", бр.10, 2008г

сп. "Информатика и образование", бр.10, 2008г.

А. Г. Мордкович. Алгебра 8 клас. Част 1. Учебник. М.: Мнемозина, 2005.

А. Г. Мордкович. Алгебра 8 клас. Част 2. Проблемна книга. М.: Мнемозина, 2005.

Л.А.Александрова. Алгебра 8 клас. Самостоятелни произведения / ред. А. Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2006.

А. Г. Мордкович. Алгебра 7-9. Методическо ръководство за учители. М.: Мнемозина, 2000.

Приложение 1

Бележка

1. Как да начертаем графика на функция.

Създайте таблица със стойности.

Конструирайте точки на координатната равнина.

Свържете точките с гладка линия.

Маркирайте графиката на функцията.

2. Как да намерим стойността на функция f (х ) навреме.

Намерете съответната стойност на променливата по оста x.

Начертайте перпендикуляр на графиката на функцията и фиксирайте точка върху него.

От тази точка начертайте перпендикуляр на ординатната ос.

Точка на пресичане на оста при – и е стойността на функцията f ( х ).

3. Как да проверим дали дадена точка принадлежи на графиката на функция.

Намерете стойността на функцията от абсцисата на точката.

Сравнете резултата с ординатата на точката.

Ако стойностите съвпадат, точката принадлежи на графиката на функцията.

Приложение 2

Практическа работа

Вариант А

1. Графика на функцията y = 2 х 2

а) значение при при х = -1; 2; 1/2

б) стойност х , ако y = -8

V) г макс. И г име върху сегмента [-1; 2]

3. Точка А (-5; 50) принадлежи ли на графиката на функцията?

Вариант Б

1. Графика на функцията y = - 0,5 х 2

2. За тази функция намерете:

а) значение при при х = -2; 0; 3

б) стойност х ако y = - 8

V) г макс. И г име на сегмента [- 4; 0]

3. Точка А принадлежи ли към графиката на функцията (-10; - 50)

Вариант В

1. Графика на функцията y = 3/2 х 2

2. За тази функция намерете:

а) значение при при х = 2; 1; 2/ 3

б) стойност х ако y = 6

V) г макс. И г име върху сегмента [- 2; 1]

3. Точка А (-8;- 96) принадлежи ли на графиката на функцията?

Дефиниция на линейна функция

Нека въведем дефиницията на линейна функция

Определение

Функция от вида $y=kx+b$, където $k$ не е нула, се нарича линейна функция.

Графиката на линейна функция е права линия. Числото $k$ се нарича наклон на правата.

Когато $b=0$ линейната функция се нарича функция на права пропорционалност $y=kx$.

Разгледайте фигура 1.

Ориз. 1. Геометрично значение на наклона на линия

Да разгледаме триъгълника ABC. Виждаме, че $ВС=kx_0+b$. Да намерим пресечната точка на правата $y=kx+b$ с оста $Ox$:

\ \

Така че $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Нека намерим отношението на тези страни:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

От друга страна, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Така можем да направим следния извод:

Заключение

Геометричен смисъл на коефициента $k$. Ъгловият коефициент на правата линия $k$ е равен на тангенса на ъгъла на наклона на тази права линия спрямо оста $Ox$.

Изследване на линейната функция $f\left(x\right)=kx+b$ и нейната графика

Първо, разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx+b$, където $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Следователно тази функция се увеличава в цялата област на дефиниция. Няма крайни точки.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Графика (фиг. 2).

Ориз. 2. Графики на функцията $y=kx+b$, за $k > 0$.

Сега разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx$, където $k

1. Областта на дефиниция са всички числа.
2. Диапазонът от стойности е всички числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функцията не е нито четна, нито нечетна.
4. За $x=0,f\left(0\right)=b$. Когато $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Пресечни точки с координатни оси: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Следователно функцията няма инфлексни точки.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Графика (фиг. 3).

Линейната функция y = kx + m, когато m = 0, приема формата y = kx. В този случай можете да забележите, че:

1. Ако x = 0, тогава y = 0. Следователно графиката на линейната функция y = kx минава през началото, независимо от стойността на k.
2. Ако x = 1, тогава y = k.

Нека разгледаме различните стойности на k и как y се променя от това.

Ако k е положително (k > 0), тогава правата линия (графиката на функцията), минаваща през началото, ще лежи в I и III координатни четвърти. В крайна сметка, с положително k, когато x е положително, тогава y също ще бъде положително. И когато х е отрицателно, у също ще бъде отрицателно. Например за функцията y = 2x, ако x = 0,5, тогава y = 1; ако x = –0,5, тогава y = –1.

Сега, ако приемем, че k е положително, разгледайте три различни линейни уравнения. Нека това са: y = 0,5x и y = 2x и y = 3x. Как се променя стойността на y за същото x? Очевидно то нараства с k: колкото по-голямо е, толкова по-голямо е y. Това означава, че правата линия (функционална графика) с по-голяма стойност на k ще има по-голям ъгъл между оста x (абсцисната ос) и функционалната графика. По този начин ъгълът, под който правата ос пресича оста x, зависи от k и следователно k се говори като наклон на линейната функция.

Сега нека проучим ситуацията, когато k x е положително, тогава y ще бъде отрицателно; и обратно: ако x y > 0. Така графиката на функцията y = kx за при k

Да предположим, че има линейни уравнения y = –0,5x, y = –2x, y = –3x. За x = 1 получаваме y = –0,5, y = –2, y = –3. За x = 2 получаваме y = –1, y = –2, y = –6. Следователно, колкото по-голямо е k, толкова по-голямо е y, ако x е положително.

Ако обаче x = –1, тогава y = 0,5, y = 2, y = 3. За x = –2 получаваме y = 1, y = 4, y = 6. Тук, когато стойността на k намалява, y при x нараства

Графика на функцията при k

Графиките на функциите от вида y = kx + m се различават от графиките y = km само по паралелно изместване.