Общото уравнение на права линия и неговите разновидности. Права

Крива от втори ред— геометрично разположение на точките в равнината, правоъгълни координати

които удовлетворяват уравнение от вида:

в която поне един от коефициентите а 11, а 12, а 22не е равно на нула.

Инварианти на криви от втори ред.

Формата на кривата зависи от 4 инварианти, дадени по-долу:

Инварианти по отношение на въртене и изместване на координатната система:

Инвариантна спрямо въртенето на координатната система ( полуинвариантен):

За да изучавате криви от втори ред, разгледайте продукта КАТО.

Общ уравнение на кривата от втори редизглежда така:

Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

Ако A*C > 0 елиптичен тип. Всеки елиптичен

уравнението е уравнение или на обикновена елипса, или на изродена елипса (точка), или на въображаема

елипса (в този случай уравнението не определя единичен геометричен образ на равнината);

Ако A*C< 0 , тогава уравнението приема формата на уравнение хиперболичен тип. Всяко хиперболично

уравнението изразява или проста хипербола, или изродена хипербола (две пресичащи се прави);

Ако A*C = 0, тогава линията от втори ред няма да бъде централна. Уравнения от този тип се наричат

уравнения параболичен типи изразете на равнината или проста парабола, или 2 успоредни

(или съвпадащи) прави линии, или не изразяват единичен геометричен образ на равнината;

Ако A*C ≠ 0, кривата от втори ред ще бъде

Нека установим правоъгълна координатна система на равнината и разгледаме общото уравнение от втора степен

в който
.

Множеството от всички точки на равнината, чиито координати отговарят на уравнение (8.4.1), се нарича крив (линия) втора поръчка.

За всяка крива от втори ред има правоъгълна координатна система, наречена канонична, в която уравнението на тази крива има една от следните форми:

1)
(елипса);

2)
(въображаема елипса);

3)
(двойка въображаеми пресичащи се линии);

4)
(хипербола);

5)
(чифт пресичащи се линии);

6)
(парабола);

7)
(чифт успоредни линии);

8)
(двойка въображаеми успоредни прави);

9)
(двойка съвпадащи линии).

Уравнения 1)–9) се наричат канонични уравнения на криви от втори ред.

Решаването на проблема за редуциране на уравнението на крива от втори ред до канонична форма включва намиране на каноничното уравнение на кривата и каноничната координатна система. Намаляването до канонична форма позволява да се изчислят параметрите на кривата и да се определи нейното местоположение спрямо оригиналната координатна система. Преход от оригиналната правоъгълна координатна система
към канонични
извършва се чрез завъртане на осите на първоначалната координатна система около точката ОТНОСНОдо определен ъгъл  и последваща паралелна транслация на координатната система.

Инварианти на крива от втори ред(8.4.1) са такива функции на коефициентите на неговото уравнение, чиито стойности не се променят при преминаване от една правоъгълна координатна система към друга от същата система.

За крива от втори ред (8.4.1), сумата от коефициентите за квадратните координати

,

детерминанта, съставена от коефициенти на водещи членове

и детерминанта от трети ред

са инварианти.

Стойността на инвариантите s, ,  може да се използва за определяне на типа и съставяне на каноничното уравнение на кривата от втори ред (Таблица 8.1).

Таблица 8.1

Класификация на криви от втори ред въз основа на инварианти

Нека разгледаме по-отблизо елипсата, хиперболата и параболата.

Елипса(фиг. 8.1) е геометричното място на точките в равнината, за които сумата от разстоянията до две фиксирани точки
този самолет, наречен фокуси на елипса, е постоянна стойност (по-голяма от разстоянието между фокусите). В този случай не е изключено съвпадението на фокусите на елипсата. Ако фокусите съвпадат, тогава елипсата е кръг.

Полусумата на разстоянията от точка на елипса до нейните фокуси се означава с А, половината от разстоянията между фокусите – с. Ако правоъгълна координатна система на равнина е избрана така, че фокусите на елипсата да са разположени на оста ОТНОСНОхсиметрично спрямо началото, тогава в тази координатна система елипсата е дадена от уравнението

, (8.4.2)

Наречен канонично уравнение на елипса, Където
.

Ориз. 8.1

При посочения избор на правоъгълна координатна система елипсата е симетрична спрямо координатните оси и началото. Осите на симетрия на елипса се наричат брадви, а центърът на симетрия е центъра на елипсата. В същото време осите на елипсата често се наричат ​​​​числа 2 аи 2 b, и числата аИ b – голямИ второстепенна оссъответно.

Точките на пресичане на елипса с нейните оси се наричат върховете на елипсата. Върховете на елипсата имат координати ( А, 0), (–А, 0), (0, b), (0, –b).

Ексцентричност на елипсаизвикан номер

. (8.4.3)

От 0  ° С < а, ексцентрицитет на елипса 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Това показва, че ексцентричността характеризира формата на елипса: колкото по-близо е  до нула, толкова повече елипсата прилича на кръг; с увеличаване на  елипсата става по-удължена.

Позволявам
– произволна точка на елипсата,
И
– разстояние от точката Мпреди трикове Е 1 и Е 2 съответно. Числа r 1 и r 2 се наричат фокусни радиуси на точка М елипсаи се изчисляват по формулите

Директоркиразличен от кръг елипсас каноничното уравнение (8.4.2) се наричат ​​две линии

.

Директрисите на елипсата са разположени извън елипсата (фиг. 8.1).

Съотношение на фокусния радиус точкиМелипса до разстояние  на тази елипса (фокусът и директрисата се считат за съответстващи, ако са разположени от една и съща страна на центъра на елипсата).

Хипербола(фиг. 8.2) е геометричното място на точките в равнината, за които модулът на разликата в разстоянията до две фиксирани точки И този самолет, наречен трикове с хипербола, е постоянна стойност (не равна на нула и по-малка от разстоянието между фокусите).

Нека разстоянието между фокусите е 2 с, а зададеният модул на разликата в разстоянието е равен на 2 А. Нека изберем правоъгълна координатна система по същия начин, както при елипсата. В тази координатна система хиперболата е дадена от уравнението

, (8.4.4)

Наречен канонично уравнение на хипербола, Където
.

Ориз. 8.2

При този избор на правоъгълна координатна система координатните оси са осите на симетрия на хиперболата, а началото е нейният център на симетрия. Осите на симетрия на хипербола се наричат брадви, а центърът на симетрия е центъра на хиперболата. Правоъгълник със страни 2 аи 2 b, разположени, както е показано на фиг. 8.2, т.нар основен правоъгълник на хипербола. Числа 2 аи 2 bса осите на хиперболата, а числата аИ b- нея полуоски. Образуват се правите линии, които са продължение на диагоналите на основния правоъгълник асимптоти на хипербола

.

Пресечни точки на хиперболата с оста волса наречени върхове на хипербола. Върховете на хиперболата имат координати ( А, 0), (–А, 0).

Ексцентричност на хиперболатаизвикан номер

. (8.4.5)

Тъй като с > а, ексцентрицитет на хиперболата  > 1. Нека пренапишем равенството (8.4.5) във вида

.

Това показва, че ексцентричността характеризира формата на главния правоъгълник и следователно формата на самата хипербола: колкото по-малък е , толкова повече се удължава основният правоъгълник, а след него самата хипербола по оста вол.

Позволявам
– произволна точка на хиперболата,
И
– разстояние от точката Мпреди трикове Е 1 и Е 2 съответно. Числа r 1 и r 2 се наричат фокусни радиуси на точка М хиперболии се изчисляват по формулите

Директорки хиперболис каноничното уравнение (8.4.4) се наричат ​​две линии

.

Директрисите на хиперболата пресичат главния правоъгълник и минават между центъра и съответния връх на хиперболата (фиг. 8.2).

ОТНОСНО съотношение на фокусния радиус точкиМ хиперболи към разстояние от тази точка до тази, съответстваща на фокуса директриса е равна на ексцентричност на тази хипербола (фокусът и директрисата се считат за съответстващи, ако са разположени от една и съща страна на центъра на хиперболата).

Парабола(фиг. 8.3) е геометричното място на точките в равнината, за които разстоянието до някаква фиксирана точка Е (фокус на парабола) на тази равнина е равно на разстоянието до някаква фиксирана права линия ( директриси на парабола), също разположени в разглежданата равнина.

Да изберем началото ОТНОСНОправоъгълна координатна система в средата на сегмента [ FD], което е перпендикуляр извън фокуса Евърху директрисата (приема се, че фокусът не принадлежи на директрисата), и осите волИ ОйНека го насочим, както е показано на фиг. 8.3. Нека дължината на отсечката [ FD] е равно стр. След това в избраната координатна система
И уравнение на канонична параболаизглежда като

. (8.4.6)

величина стрНаречен параболичен параметър.

Параболата има ос на симетрия, наречена оста на параболата. Пресечната точка на парабола с нейната ос се нарича върха на параболата. Ако парабола е дадена от нейното канонично уравнение (8.4.6), тогава оста на параболата е оста вол. Очевидно върхът на параболата е началото.

Пример 1.Точка А= (2, –1) принадлежи на елипсата, точка Е= (1, 0) е неговият фокус, съответният Едиректрисата се дава от уравнението
. Напишете уравнение за тази елипса.

Решение.Координатната система ще считаме за правоъгълна. След това разстоянието от точка Ана директорката
в съответствие с релацията (8.1.8), в която


, равно на

.

Разстояние от точка Ада се съсредоточи Еравно на

,

което ни позволява да определим ексцентричността на елипсата

.

Позволявам М = (х, г) е произволна точка от елипсата. След това разстоянието
от точка Мна директорката
съгласно формула (8.1.8) е равно на

и разстоянието от точка Мда се съсредоточи Еравно на

.

Тъй като за всяка точка от елипсата отношението е постоянна величина, равна на ексцентрицитета на елипсата, следователно имаме

,

Пример 2.Кривата е дадена от уравнението

в правоъгълна координатна система. Намерете каноничната координатна система и каноничното уравнение на тази крива. Определете вида на кривата.

Решение.Квадратна форма
има матрица

.

Неговият характерен полином

има корени  1 = 4 и  2 = 9. Следователно в ортонормалната база на собствените вектори на матрицата Аразглежданата квадратна форма има канонична форма

.

Нека пристъпим към конструиране на матрица на ортогонална трансформация на променливи, привеждайки разглежданата квадратична форма до посочената канонична форма. За да направим това, ще конструираме фундаментални системи от решения на хомогенни системи от уравнения
и ги ортонормализирайте.

При
тази система изглежда така

Общото му решение е
. Тук има една свободна променлива. Следователно основната система от решения се състои от един вектор, например вектора
. Като го нормализираме, получаваме вектора

.

При
нека построим и вектор

.

Вектори И вече са ортогонални, тъй като се отнасят до различни собствени стойности на симетричната матрица А. Те представляват каноничната ортонормална основа на дадена квадратна форма. Необходимата ортогонална матрица (матрица на въртене) се конструира от колоните на техните координати

.

Нека проверим дали матрицата е намерена правилно Рспоред формулата
, Където
– матрица с квадратна форма в основата
:

Матрица Рнамерени правилно.

Нека трансформираме променливите

и напишете уравнението на тази крива в нова правоъгълна координатна система със стария център и вектори на посоката
:

Където
.

Получихме каноничното уравнение на елипсата

.

Поради факта, че получената трансформация на правоъгълни координати се определя от формулите

,

,

канонична координатна система
има начало
и вектори на посоката
.

Пример 3.Използвайки инвариантната теория, определете типа и създайте каноничното уравнение на кривата

Решение.Тъй като

,

в съответствие с табл. 8.1 заключаваме, че това е хипербола.

Тъй като s = 0, характерният полином на матрицата е с квадратична форма

Неговите корени
И
позволяват да напишем каноничното уравнение на кривата

Където СЪСсе намира от условието

,

.

Исканото канонично уравнение на кривата

.

В задачите от този раздел координатитех, гсе приемат за правоъгълни.

8.4.1. За елипси
И
намирам:

а) оси;

б) трикове;

в) ексцентричност;

г) директрисни уравнения.

8.4.2. Напишете уравнения за елипса, като знаете нейния фокус
, отговаряща на директорката х= 8 и ексцентричност . Намерете втория фокус и втората директриса на елипсата.

8.4.3. Напишете уравнение за елипса, чиито фокуси имат координати (1, 0) и (0, 1) и чиято главна ос е две.

8.4.4. Като се има предвид хипербола
. Намирам:

а) полуоси аИ b;

б) трикове;

в) ексцентричност;

г) уравнения на асимптоти;

д) директрисни уравнения.

8.4.5. Като се има предвид хипербола
. Намирам:

а) полуоси АИ b;

б) трикове;

в) ексцентричност;

г) уравнения на асимптоти;

д) директрисни уравнения.

8.4.6. Точка
принадлежи на хипербола, чийто фокус
, а съответната директриса е дадена от уравнението
. Напишете уравнение за тази хипербола.

8.4.7. Напишете уравнение за парабола с фокус
и директорка
.

8.4.8. Даден е върхът на парабола
и уравнението на директрисата
. Напишете уравнение за тази парабола.

8.4.9. Напишете уравнение за парабола, чийто фокус е в

и директрисата е дадена от уравнението
.

8.4.10. Напишете уравнение от втори ред за кривата, като знаете нейния ексцентрицитет
, фокус
и съответната директорка
.

8.4.11. Определете вида на кривата от втори ред, съставете нейното канонично уравнение и намерете каноничната координатна система:

G)
;

8.4.12.

е елипса. Намерете дължините на полуосите и ексцентрицитета на тази елипса, координатите на центъра и фокусите, създайте уравнения за осите и директрисите.

8.4.13. Докажете, че кривата от втори ред, дадена от уравнението

е хипербола. Намерете дължините на полуосите и ексцентрицитета на тази хипербола, координатите на центъра и фокусите, създайте уравнения за осите, директрисите и асимптотите.

8.4.14. Докажете, че кривата от втори ред, дадена от уравнението

,

е парабола. Намерете параметъра на тази парабола, координатите на върховете и фокуса, напишете уравненията на оста и директрисата.

8.4.15. Редуцирайте всяко от следните уравнения до канонична форма. Начертайте на чертежа съответната крива от втори ред спрямо оригиналната правоъгълна координатна система:

8.4.16. Използвайки инвариантната теория, определете типа и създайте каноничното уравнение на кривата.

Както е показано по-горе, уравненията на една и съща права могат да бъдат записани в поне три форми: общи уравнения на правата, параметрични уравнения на правата и канонични уравнения на правата. Нека разгледаме въпроса за прехода от уравнения на права линия от един тип към уравнения на права линия в друга форма.

Първо, отбелязваме, че ако уравненията на линия са дадени в параметрична форма, тогава точката, през която минава линията, и векторът на посоката на линията са дадени по този начин. Следователно не е трудно да се запишат уравненията на права линия в канонична форма.

Пример.

Уравненията на правата са дадени в параметрична форма

Решение.

Права линия минава през точка
и има вектор на посоката
. Следователно каноничните уравнения на правата имат формата

.

Проблемът за прехода от каноничните уравнения на правата към параметричните уравнения на правата се решава по подобен начин.

Преходът от каноничните уравнения на правата към общите уравнения на правата се обсъжда по-долу с помощта на пример.

Пример.

Дадени са каноничните уравнения на правата

.

Запишете общите уравнения на права линия.

Решение.

Нека запишем каноничните уравнения на правата под формата на система от две уравнения

.

Като се отървем от знаменателите, като умножим двете страни на първото уравнение по 6 и второто уравнение по 4, получаваме системата

.

.

Получената система от уравнения е общите уравнения на правата линия.

Нека разгледаме прехода от общи уравнения на правата към параметрични и канонични уравнения на правата. За да напишете канонични или параметрични уравнения на права, трябва да знаете точката, през която минава правата, и вектора на посоката на правата. Ако определим координатите на две точки
И
, лежащ на права линия, тогава векторът m може да се приеме за вектор на посоката
. Координатите на две точки, лежащи на права, могат да бъдат получени като решения на система от уравнения, които определят общите уравнения на правата. Можете да вземете всяка от точките като точка, през която минава линията
И
. Нека илюстрираме горното с пример.

Пример.

Дадени са общите уравнения на правата

.

Решение.

Нека намерим координатите на две точки, лежащи на права линия, като решения на тази система от уравнения. Вярвайки
, получаваме система от уравнения

.

Решавайки тази система, намираме
. Следователно точката
лежи на права линия. Вярвайки
, получаваме система от уравнения

,

решаване, което намираме
. Следователно правата минава през точката
. Тогава можем да приемем вектора като вектор на посоката

.

Така че правата минава през точката
и има вектор на посоката
. Следователно параметричните уравнения на линията имат формата

.

Тогава каноничните уравнения на правата ще бъдат записани във формата

.

Друг начин за намиране на вектора на посоката на права линия с помощта на общите уравнения на права линия се основава на факта, че в този случай са дадени уравненията на равнините, а оттам и нормалите към тези равнини.

Нека общите уравнения на правата имат формата

И - нормали съответно към първа и втора равнина. След това векторът
може да се приеме за насочващ вектор. Всъщност правата линия, която е линията на пресичане на тези равнини, е едновременно перпендикулярна на векторите И . Следователно той е колинеарен на вектора
и това означава, че този вектор може да се приеме за насочващ вектор на правата линия. Нека разгледаме един пример.

Пример.

Дадени са общите уравнения на правата

.

Запишете параметричните и каноничните уравнения на правата.

Решение.

Правата линия е линията на пресичане на равнини с нормали
И
. Вземаме директния вектор като вектор на посоката

Нека намерим точка, лежаща на права. Нека намерим точка, лежаща на права. Позволявам
. След това получаваме системата

.

Решавайки системата, намираме
.Оттук точка
лежи на права линия. Тогава параметричните уравнения на правата могат да бъдат записани във формата

.

Каноничните уравнения на правата имат формата

.

И накрая, човек може да премине към канонични уравнения, като елиминира една от променливите в едно от уравненията и след това друга променлива. Нека разгледаме този метод с пример.

Пример.

Дадени са общите уравнения на правата

.

Запишете каноничните уравнения на правата.

Решение.

Нека изключим променливата y от второто уравнение, като добавим към него първото, умножено по четири. Получаваме

.

.

Сега нека изключим променливата от второто уравнение , добавяйки към него първото уравнение, умножено по две. Получаваме

.

.

От тук получаваме каноничното уравнение на правата

.

.

.

В тази статия ще разгледаме общото уравнение на права линия в равнина. Нека дадем примери за построяване на общо уравнение на права, ако са известни две точки от тази права или ако са известни една точка и нормалният вектор на тази права. Нека представим методи за трансформиране на уравнение в общ вид в канонични и параметрични форми.

Нека е дадена произволна декартова правоъгълна координатна система Окси. Помислете за първа степен или линейно уравнение:

Axe+By+C=0,

(1)

Където А, Б, В− някои константи и поне един от елементите АИ бразличен от нула.

Ще покажем, че линейно уравнение на равнина определя права линия. Нека докажем следната теорема.

Теорема 1. В произволна декартова правоъгълна координатна система върху равнина всяка права линия може да бъде определена с линейно уравнение. Обратно, всяко линейно уравнение (1) в произволна декартова правоъгълна координатна система в равнина определя права линия.

Доказателство. Достатъчно е да се докаже, че правата линия Лсе определя от линейно уравнение за всяка една декартова правоъгълна координатна система, тъй като тогава ще се определя от линейно уравнение за всеки избор на декартова правоъгълна координатна система.

Нека на равнината е дадена права линия Л. Нека изберем координатна система, така че оста волсъвпадна с права линия Л, и оста Ойбеше перпендикулярно на него. След това уравнението на правата Лще приеме следната форма:

y=0.

(2)

Всички точки на права Лще отговарят на линейно уравнение (2) и всички точки извън тази линия няма да удовлетворяват уравнение (2). Първата част на теоремата е доказана.

Нека е дадена декартова правоъгълна координатна система и е дадено линейно уравнение (1), където поне един от елементите АИ бразличен от нула. Нека намерим геометричното място на точките, чиито координати отговарят на уравнение (1). Тъй като поне един от коефициентите АИ бе различно от нула, тогава уравнение (1) има поне едно решение М(х 0 ,г 0). (Например, когато А≠0, точка М 0 (−C/A, 0) принадлежи на даденото геометрично място от точки). Замествайки тези координати в (1), получаваме идентичността

брадва 0 +от 0 +° С=0.

(3)

Нека извадим идентичността (3) от (1):

А(х−х 0)+б(г−г 0)=0.

(4)

Очевидно уравнение (4) е еквивалентно на уравнение (1). Следователно е достатъчно да се докаже, че (4) определя определена линия.

Тъй като разглеждаме декартова правоъгълна координатна система, от равенството (4) следва, че векторът с компоненти ( x−x 0 , y−y 0 ) ортогонален на вектора нс координати ( А,Б}.

Нека разгледаме някаква права линия Л, минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0) и перпендикулярна на вектора н(Фиг. 1). Нека точката М(х,y) принадлежи на линията Л. След това векторът с координати x−x 0 , y−y 0 перпендикулярно ни уравнение (4) е изпълнено (скаларен продукт на вектори ни равно на нула). Обратно, ако точка М(х,y) не лежи на права Л, след това вектора с координати x−x 0 , y−y 0 не е ортогонален на вектора ни уравнение (4) не е изпълнено. Теоремата е доказана.

Доказателство. Тъй като линии (5) и (6) определят една и съща линия, тогава нормалните вектори н 1 ={А 1 ,б 1) и н 2 ={А 2 ,б 2) колинеарен. Тъй като вектори н 1 ≠0, н 2 ≠0, значи има такова число λ , Какво н 2 =н 1 λ . От тук имаме: А 2 =А 1 λ , б 2 =б 1 λ . Нека докажем това ° С 2 =° С 1 λ . Очевидно съвпадащите прави имат обща точка М 0 (х 0 , г 0). Умножавайки уравнение (5) по λ и като извадим уравнение (6) от него, получаваме:

Тъй като първите две равенства от изразите (7) са изпълнени, то ° С 1 λ −° С 2 =0. Тези. ° С 2 =° С 1 λ . Забележката е доказана.

Обърнете внимание, че уравнение (4) определя уравнението на правата линия, минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0) и има нормален вектор н={А,Б). Следователно, ако нормалният вектор на правата и точката, принадлежаща на тази права, са известни, тогава общото уравнение на правата може да бъде конструирано с помощта на уравнение (4).

Пример 1. Права линия минава през точка М=(4,−1) и има нормален вектор н=(3, 5). Съставете общото уравнение на права.

Решение. Ние имаме: х 0 =4, г 0 =−1, А=3, б=5. За да изградим общото уравнение на права линия, заместваме тези стойности в уравнение (4):

Отговор:

Векторът е успореден на правата Ли следователно перпендикулярна на нормалния вектор на правата Л. Нека построим нормален вектор Л, като се има предвид, че скаларното произведение на векторите ни равно на нула. Можем да напишем, например, н={1,−3}.

За да съставим общото уравнение на права линия, използваме формула (4). Нека заместим координатите на точката в (4) М 1 (можем също да вземем координатите на точката М 2) и нормален вектор н:

Заместване на координатите на точките М 1 и М 2 в (9) можем да се уверим, че правата, дадена от уравнение (9), минава през тези точки.

Отговор:

Извадете (10) от (1):

Получихме каноничното уравнение на правата. вектор р={−б, А) е векторът на посоката на линия (12).

Вижте обратно преобразуване.

Пример 3. Права линия в равнина се представя със следното общо уравнение:

Нека преместим втория член надясно и разделим двете страни на уравнението на 2·5.

Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Безкрайно много прави линии могат да бъдат начертани през всяка точка.

През всеки две несъвпадащи точки може да се прекара една права линия.

Две различни прави в една равнина се пресичат в една точка или се пресичат

паралелен (следва от предишния).

В триизмерното пространство има три варианта за взаимното разположение на две линии:

• линиите се пресичат;

• линиите са успоредни;

• пресичат се прави линии.

Направо линия— алгебрична крива от първи ред: права линия в декартовата координатна система

се дава на равнината чрез уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на права линия.

Определение. Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

и постоянна А, Бне са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича общ

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, БИ СЪСВъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- права линия минава през началото

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- права линия, успоредна на оста о

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠0- правата линия съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠0- правата линия съвпада с оста о

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от всяка даденост

начални условия.

Уравнение на права от точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярна на правата, дадена от уравнението

Ax + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права, минаваща през точка A(1, 2)перпендикулярен на вектора (3, -1).

Решение. При A = 3 и B = -1, нека съставим уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За да намерим коефициента C

Нека заместим в получения израз координатите на дадената точка A. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно

C = -1. Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 = 0.

Уравнение на права, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)И M2 (x 2, y 2, z 2),Тогава уравнение на права,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено:

Ако x 1 ≠ x 2И x = x 1, Ако x 1 = x 2 .

Фракция = kНаречен наклон прав.

Пример. Намерете уравнението на правата, минаваща през точки A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Прилагайки формулата, написана по-горе, получаваме:

Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата Ax + Wu + C = 0води до:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права от точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задачата

права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор (α 1, α 2), чиито компоненти отговарят на условието

Aα 1 + Bα 2 = 0Наречен насочващ вектор на права линия.

Ax + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точката A(1, 2).

Решение. Ще търсим уравнението на желаната права във формата: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на следните условия:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на правата има формата: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

при x = 1, y = 2получаваме C/A = -3, т.е. необходимо уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общото уравнение на правата Ах + Ву + С = 0 С≠0, тогава, разделяйки на -С, получаваме:

или къде

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос оА b- координата на пресечната точка на правата с оста OU.

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права в сегменти.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права.

Ако и двете страни на уравнението Ax + Wu + C = 0разделяне на число което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на права.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ*C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия,

А φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста о

Пример. Дадено е общото уравнение на правата 12x - 5y - 65 = 0. Изисква се за писане на различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права в сегменти:

Уравнението на тази права с наклона: (раздели на 5)

Уравнение на права:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгълът между прави в равнина.

Определение. Ако са дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези прави

ще се определи като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две линии са перпендикулярни

Ако k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.

Директен Ax + Wu + C = 0И A 1 x + B 1 y + C 1 = 0паралелно, когато коефициентите са пропорционални

A 1 = λA, B 1 = λB. Ако също С 1 = λС, тогава линиите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права.

Определение. Права, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярна на правата y = kx + b

представено от уравнението:

Разстояние от точка до права.

Теорема. Ако се даде точка M(x 0, y 0),след това разстоянието до правата линия Ax + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляр, пуснат от точка Мза даденост

директен. След това разстоянието между точките МИ М 1:

(1)

Координати х 1И на 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно

дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.