Възлагане на степен на тригонометрично число. Повишаване на комплексни числа в степен

Нека започнем с любим квадрат.

Пример 9

Квадратура на комплексно число

Тук можете да отидете по два начина, първият начин е да пренапишете степента като произведение на фактори и да умножите числата според правилото за умножение на полиноми.

Вторият начин е да използвате добре познатата училищна формула за съкратено умножение:

За комплексно число е лесно да извлечете своя собствена формула за съкратено умножение:

Подобна формула може да се изведе за квадрата на разликата, както и за куба на сбора и куба на разликата. Но тези формули са по-подходящи за сложни задачи за анализ. Ами ако комплексното число трябва да се повиши до, да речем, 5-та, 10-та или 100-та степен? Ясно е, че в алгебрична форма е почти невъзможно да се направи такъв трик, наистина, помислете как ще решите пример като?

И тук на помощ идва тригонометричната форма на комплексно число и т.нар Moivre формула: Ако комплексното число е представено в тригонометрична форма, тогава когато се повдигне на естествена степен, формулата е вярна:

Просто възмутително.

Пример 10

Дадено комплексно число, намерете.

Какво трябва да се направи? Първо, трябва да представите даденото число в тригонометрична форма. Внимателните читатели ще забележат, че в Пример 8 вече сме направили това:

Тогава, според формулата на Moivre:

Не дай Боже, не е нужно да разчитате на калкулатор, но в повечето случаи ъгълът трябва да се опрости. Как да опростя? Образно казано, трябва да се отървете от ненужните завои. Един оборот е радиан или 360 градуса. Нека разберем колко завои имаме в спора. За удобство правим дроба правилна:, след което става ясно видимо, че можете да извадите един оборот :. Надявам се всички да разберат, че са от един и същи ъгъл.

Така крайният отговор ще бъде написан така:

Отделен вид проблема за степенуването е степенуването на чисто въображаеми числа.

Пример 12

Повишете комплексните числа на степен ,,

Тук също всичко е просто, основното е да запомните известното равенство.

Ако въображаемата единица се повиши до четна степен, тогава техниката на решение е следната:

Ако въображаемата единица се повиши до нечетна степен, тогава ние „отщипваме“ едно „и“, получавайки четна мощност:

Ако има минус (или някакъв валиден коефициент), тогава първо трябва да се раздели:

Извличане на корени от комплексни числа. Квадратно уравнение с комплексни корени

Нека разгледаме пример:

Не можете да извлечете корена? Ако говорим за реални числа, тогава наистина е невъзможно. В комплексни числа можете да извлечете корена! Или по-скоро, двекорен:

Наистина ли намерените корени са решение на уравнението? Да проверим:

Което трябваше да бъде проверено.

Често се използва съкратена нотация, и двата корена са написани на един ред под "един гребен":.

Такива корени също се наричат конюгирани сложни корени.

Мисля, че всеки разбира как се извличат квадратни корени от отрицателни числа: ,,,, и т.н. Във всички случаи се оказва двеконюгирани сложни корени.

Нека започнем с любим квадрат.

Пример 9

Квадратура на комплексно число

Тук можете да отидете по два начина, първият начин е да пренапишете степента като произведение на фактори и да умножите числата според правилото за умножение на полиноми.

Вторият начин е да използвате добре познатата училищна формула за съкратено умножение:

За комплексно число е лесно да извлечете своя собствена формула за съкратено умножение:

Подобна формула може да се изведе за квадрата на разликата, както и за куба на сбора и куба на разликата. Но тези формули са по-подходящи за сложни задачи за анализ. Ами ако комплексното число трябва да се повиши до, да речем, 5-та, 10-та или 100-та степен? Ясно е, че в алгебрична форма е почти невъзможно да се направи такъв трик, наистина, помислете как ще решите пример като?

И тук на помощ идва тригонометричната форма на комплексно число и т.нар Moivre формула: Ако комплексното число е представено в тригонометрична форма, тогава когато се повдигне на естествена степен, формулата е вярна:

Просто възмутително.

Пример 10

Дадено комплексно число, намерете.

Какво трябва да се направи? Първо, трябва да представите даденото число в тригонометрична форма. Внимателните читатели ще забележат, че в Пример 8 вече сме направили това:

Тогава, според формулата на Moivre:

Не дай Боже, не е нужно да разчитате на калкулатор, но в повечето случаи ъгълът трябва да се опрости. Как да опростя? Образно казано, трябва да се отървете от ненужните завои. Един оборот е радиан или 360 градуса. Нека разберем колко завои имаме в спора. За удобство правим дроба правилна:, след което става ясно видимо, че можете да извадите един оборот :. Надявам се всички да разберат, че са от един и същи ъгъл.

Така крайният отговор ще бъде написан така:

Отделен вид проблема за степенуването е степенуването на чисто въображаеми числа.

Пример 12

Повишете комплексните числа на степен ,,

Тук също всичко е просто, основното е да запомните известното равенство.

Ако въображаемата единица се повиши до четна степен, тогава техниката на решение е следната:

Ако въображаемата единица се повиши до нечетна степен, тогава ние „отщипваме“ едно „и“, получавайки четна мощност:

Ако има минус (или някакъв валиден коефициент), тогава първо трябва да се раздели:

Извличане на корени от комплексни числа. Квадратно уравнение с комплексни корени

Нека разгледаме пример:

Не можете да извлечете корена? Ако говорим за реални числа, тогава наистина е невъзможно. В комплексни числа можете да извлечете корена! Или по-скоро, двекорен:

Наистина ли намерените корени са решение на уравнението? Да проверим:

Което трябваше да бъде проверено.

Често се използва съкратена нотация, и двата корена са написани на един ред под "един гребен":.

Такива корени също се наричат конюгирани сложни корени.

Мисля, че всеки разбира как се извличат квадратни корени от отрицателни числа: ,,,, и т.н. Във всички случаи се оказва двеконюгирани сложни корени.

Пример 13

Решаване на квадратно уравнение

Нека изчислим дискриминанта:

Дискриминантът е отрицателен и уравнението няма решение в реални числа. Но коренът може да бъде извлечен в комплексни числа!

Според добре познатите училищни формули получаваме два корена: - спрегнати сложни корени

По този начин уравнението има два спрегнати комплексни корена:,

Сега можете да решите всяко квадратно уравнение!

И като цяло всяко уравнение с полином от "n-та" степен има равни корени, някои от които могат да бъдат комплексни.

Прост пример за решение "направи си сам":

Пример 14

Намерете корените на уравнението и разложете квадратния бином.

Факторизацията се извършва отново по стандартната училищна формула.