Как да решим намаляването на дробите до общ знаменател. Преобразуване на дроби в нов знаменател - правило и примери

Събиране и изваждане на дроби със същия знаменател
Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели
Разбиране на НОК
Преобразуване на дроби в един и същ знаменател
Как да добавите цяло число и дроб

1 Събиране и изваждане на дроби със същия знаменател

За да добавите дроби със същия знаменател, добавете техните числители и оставете знаменателя същия, например:

За да извадите дроби със същия знаменател, извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и оставете знаменателя същия, например:

За да добавите смесени дроби, трябва да добавите техните цели части поотделно и след това да добавите техните частични части и да запишете резултата със смесена дроб,

Пример 1:

Пример 2:

Ако при добавяне на дробни части се получи неправилна дроб, изберете цялата част от нея и я добавете към цялата част, например:

2 Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

За да добавяте или изваждате дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги доведете до един и същ знаменател и след това да продължите, както е посочено в началото на тази статия. Общият знаменател на множество дроби е LCM (най-малкото общо кратно). За числителя на всяка от дробите се намират допълнителни фактори чрез разделяне на LCM на знаменателя на тази дроб. Ще разгледаме пример по-късно, след като разберем какво е LCM.

3 най-малко общо множество (LCM)

Най -малкото общо кратно на две (LCM) е най -малкото естествено число, което се дели на двете числа без остатък. Понякога LCM може да бъде намерен устно, но по-често, особено при работа с големи числа, трябва да намерите LCM писмено, като използвате следния алгоритъм:

За да намерите LCM на няколко числа, трябва:

Разбийте тези числа на фактори
Вземете най-голямото разширение и запишете тези числа като продукт
Изберете в други разложения числата, които не се срещат при най -голямото разлагане (или се появяват в него по -малък брой пъти), и ги добавете към продукта.
Умножете всички числа в продукта, това ще бъде LCM.

Например, нека намерим LCM на числа 28 и 21:

4 Преобразуване на дроби в един и същ знаменател

Нека се върнем към добавянето на дроби с различни знаменатели.

Когато намалим дроби до един и същ знаменател, равен на LCM на двата знаменателя, трябва да умножим числителите на тези дроби по допълнителни множители... Можете да ги намерите, като разделите LCM на знаменателя на съответната дроб, например:

По този начин, за да намалите дробите до един показател, първо трябва да намерите LCM (тоест най -малкото число, делимо от двата знаменателя) на знаменателите на тези дроби, след което да добавите допълнителни фактори към числителите на дробите. Можете да ги намерите, като разделите общия знаменател (LCM) на знаменателя на съответната дроб. След това трябва да умножите числителя на всяка дроб с допълнителен фактор и да поставите LCM като знаменател.

5 Как да добавите цяло число и дроб

За да добавите цяло число и дроб, просто трябва да добавите това число пред дробата и получавате смесена дроб, например:

Ако добавим цяло число и смесена дроб, добавяме това число към цялата дроб, например:

Симулатор 1

Събиране и изваждане на дроби с един и същ знаменател.

Срок: 0

Навигация (само номера на задания)

0 от 20 въпроса са изпълнени

Информация

Този тест тества способността за събиране на дроби със същия знаменател. В този случай трябва да се спазват две правила:

Ако резултатът е неправилна дроб, трябва да я преобразувате в смесено число.
Ако дробът може да бъде съкратен, не забравяйте да го съкратите, в противен случай грешният отговор ще бъде отчетен.

Вече сте се явявали на теста. Не можете да го стартирате отново.

Тестът се зарежда ...

Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.

Трябва да изпълните следните тестове, за да започнете този:

резултати

Правилни отговори: 0 от 20

Твоето време:

Времето изтече

Спечелихте 0 от 0 точки (0)

С отговора
Означено като гледано

Първоначално исках да включа общи методи на знаменатели в параграфа за добавяне и изваждане на дроби. Но имаше толкова много информация и нейното значение е толкова голямо (в края на краищата общите знаменатели не са само за числови дроби), че е по -добре да се проучи този въпрос отделно.

Така че, да речем, че имаме две дроби с различни знаменатели. И искаме да се уверим, че знаменателите стават същите. На помощ идва основното свойство на дроба, което, припомнете си, звучи така:

Фракцията няма да се промени, ако нейният числител и знаменател се умножат по едно и също ненулево число.

Така, ако факторите са избрани правилно, знаменателите на дробите стават равни - този процес се нарича редукция на общ знаменател. И необходимите числа, „изравняващи“ знаменателите, се наричат допълнителни фактори.

Защо изобщо трябва да довеждате дроби до общ знаменател? Ето само няколко причини:

Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Няма друг начин за извършване на тази операция;
Сравнение на дроби. Понякога превръщането в общ знаменател прави тази задача много по -лесна;
Решаване на проблеми за акции и проценти. Процентите всъщност са често срещани изрази, които съдържат дроби.

Има много начини за намиране на числа, които, умножени по, правят знаменателите на дроби равни. Ще разгледаме само три от тях - с цел увеличаване на сложността и в известен смисъл ефективност.

Кръстосано умножение

Най -лесният и безопасен начин да се гарантира изравняване на знаменателите. Ще продължим напред: умножете първата дроб с знаменателя на втората дроб, а втората с знаменателя на първата. В резултат на това знаменателите на двете дроби ще станат равни на произведението на оригиналните знаменатели. Погледни:

Помислете за знаменателите на съседните дроби като допълнителни фактори. Получаваме:

Да, толкова е просто. Ако тепърва започвате да изучавате дроби, по -добре е да работите с този конкретен метод - по този начин ще се застраховате от много грешки и гарантирано ще получите резултата.

Единственият недостатък на този метод е, че трябва да броите много, тъй като знаменателите се умножават "преди време" и в резултат на това могат да се получат много големи числа. Това е цената, която трябва да се плати за надеждността.

Метод на общите делители

Тази техника помага значително да се намалят изчисленията, но, за съжаление, рядко се използва. Методът е както следва:

Преди да продължите (т.е. метода на кръстосано кръстосване), разгледайте знаменателите. Може би един от тях (този, който е по-голям) е разделен на другия.
Числото, получено в резултат на такова деление, ще бъде допълнителен фактор за дроба с по-нисък знаменател.
В този случай дробът с голям знаменател изобщо не е необходимо да се умножава по нищо - това са спестяванията. В същото време вероятността от грешка е рязко намалена.

Задача. Намерете стойностите на изразите:

Обърнете внимание, че 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Тъй като и в двата случая единият знаменател се дели на другия без остатък, ние прилагаме метода на общите фактори. Ние имаме:

Обърнете внимание, че втората дроб никога не се умножава с нищо. Всъщност намалихме количеството на изчисленията наполовина!

Между другото, взех дробите в този пример с причина. Ако сте любопитни, опитайте да ги преброите напречно. След намаляване отговорите ще бъдат същите, но ще има много повече работа.

Това е силата на метода на общите делители, но отново може да се приложи само когато един от знаменателите се дели на другия без остатък. Което е достатъчно рядко.

Най -малко често срещан множествен метод

Когато довеждаме дроби до общ знаменател, ние по същество се опитваме да намерим число, което се дели на всеки от знаменателите. След това довеждаме знаменателите на двете дроби до това число.

Има много такива числа и най-малкият от тях не е задължително да бъде равен на директното произведение на знаменателите на оригиналните дроби, както се приема в метода „кръстосан кръст“.

Например за знаменателите 8 и 12 числото 24 е добре, тъй като 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Това число е много по-малко от произведението 8 12 = 96.

Най -малкото число, което се дели на всеки от знаменателите, се нарича тяхното най -малко общо кратно (LCM).

Нотация: най -малкото общо кратно на a и b се обозначава с LCM (a; b). Например, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Ако можете да намерите такъв номер, общата сума на изчисленията ще бъде минимална. Разгледайте примери:

Задача. Намерете стойностите на изразите:

Обърнете внимание, че 234 = 117 · 2; 351 = 117 3. Факторите 2 и 3 са относително прости (нямат общи делители освен 1), а факторът 117 е общ. Следователно LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

По същия начин 15 = 5 · 3; 20 = 5 4. Факторите 3 и 4 са относително прости, а фактор 5 е често срещан. Следователно LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Сега довеждаме дробите до общи знаменатели:

Обърнете внимание колко полезно е факторирането на първоначалните знаменатели:

След като открихме едни и същи фактори, веднага стигнахме до най -малкото общо кратно, което като цяло е нетривиален проблем;
От полученото разширение можете да разберете кои фактори "липсват" за всяка от дробите. Например 234 3 = 702, следователно за първата дроб допълнителният фактор е 3.

За да прецените колко колосални печалби дава методът с най-малко често срещано множество, опитайте да изчислите същите примери, като използвате метода на кръстосано кръстосване. Без калкулатор, разбира се. Мисля, че след това коментарите ще са излишни.

Не мислете, че няма да има такива сложни дроби в реалните примери. Те се срещат непрекъснато, а горните задачи не са границата!

Единственият проблем е как да се намери точно този НОК. Понякога всичко се открива за няколко секунди, буквално „на око“, но като цяло това е сложна изчислителна задача, която изисква отделно разглеждане. Тук няма да засягаме това.

Как да приведем алгебрични (рационални) дроби към общ знаменател?

1) Ако знаменателите на дробите са полиноми, трябва да опитате един от известните начини.

2) Най -малкият общ знаменател (LCN) се състои от от всички взети фактори най-великия степен.

Най -малкият общ знаменател за числа се търси устно като най -малкото число, делимо на останалите числа.

3) За да се намери допълнителен фактор за всяка дроб, новият знаменател трябва да бъде разделен на стария.

4) Числителят и знаменателят на първоначалната дроб се умножават по допълнителен коефициент.

Помислете за примери за редуциране на алгебрични дроби до общ знаменател.

За да намерите общ знаменател за числа, изберете по -голямо число и проверете дали се дели на по -малкото. 15 не се дели на 9. Умножаваме 15 по 2 и проверяваме дали полученото число се дели на 9. 30 не се дели на 9. Умножаваме 15 по 3 и проверяваме дали полученото число се дели на 9. 45 се дели на 9, което означава, че общият знаменател на числата е 45.

Най -ниският общ знаменател се състои от всички фактори, взети в най -голяма степен. По този начин общият знаменател на тези дроби е 45 bc (буквите обикновено се пишат по азбучен ред).

За да се намери допълнителен фактор за всяка дроб, новият знаменател трябва да бъде разделен на стария. 45bc: (15b) = 3c, 45bc: (9c) = 5b. Умножаваме числителя и знаменателя на всяка дроб с допълнителен фактор:

Първо, търсим общ знаменател за числата: 8 на 6 не се дели, 8 ∙ 2 = 16 на 6 не се дели, 8 ∙ 3 = 24 на 6 се дели. Всяка от променливите трябва да бъде включена в общия знаменател веднъж. От градусите вземаме степента с голям показател.

По този начин общият знаменател на тези дроби е 24a³bc.

За да намерите допълнителен фактор за всяка дроб, трябва да разделите новия знаменател на стария: 24a³bc: (6a³c) = 4b, 24a³bc: (8a²bc) = 3a.

Допълнителният фактор се умножава по числителя и знаменателя:

Полиномите в знаменателите на тези дроби са задължителни. Знаменателят на първата дроб е пълният квадрат на разликата: x²-18x + 81 = (x-9) ²; във втория знаменател-разликата в квадратите: x²-81 = (x-9) (x + 9):

Общият знаменател се състои от всички фактори, взети в най-голяма степен, тоест равни на (x-9) ² (x + 9). Намерете допълнителни фактори и ги умножете по числителя и знаменателя на всяка дроб:

Тази статия обяснява как да приведете дроби към общ знаменател и как да намерите най -ниския общ знаменател. Дават се дефиниции, дава се правило за намаляване на дробите до общ знаменател и се разглеждат практически примери.

Какво представлява намаляването на общия знаменател?

Обикновените дроби имат числител в горната част и знаменател в долната част. Ако дробите имат един и същ знаменател, се казва, че са доведени до общ знаменател. Например дробите 11 14, 17 14, 9 14 имат един и същ знаменател 14. С други думи, те са доведени до общ знаменател.

Ако дробите имат различни знаменатели, те винаги могат да бъдат доведени до общ знаменател с помощта на прости действия. За да направите това, трябва да умножите числителя и знаменателя по определени допълнителни фактори.

Очевидно дробите 4 5 и 3 4 не са доведени до общ знаменател. За да направите това, трябва да ги доведете до знаменател 20, като използвате допълнителни фактори 5 и 4. Как точно да направите това? Умножете числителя и знаменателя на 4 5 по 4 и умножете числителя и знаменателя на 3 4 по 5. Вместо дроби 4 5 и 3 4 получаваме съответно 16 20 и 15 20.

Общ знаменател на дроби

Привеждането на дроби до общ знаменател е умножаване на числителите и знаменателите на дроби по фактори, така че резултатът да е еднакви дроби със същия знаменател.

Общ знаменател: определение, примери

Какъв е общият знаменател?

Общ знаменател

Общият знаменател на дробите е всяко положително число, което е общото кратно на всички дадени дроби.

С други думи, общият знаменател на набор от дроби ще бъде естествено число, което се дели равномерно на всички знаменатели на тези дроби.

Диапазонът от естествени числа е безкраен и следователно, по дефиниция, всеки набор от обикновени дроби има безкраен набор от общи знаменатели. С други думи, има безкрайно много общи кратни за всички знаменатели на първоначалния набор от дроби.

Общият знаменател за множество дроби е лесно да се намери с помощта на определението. Нека има дроби 1 6 и 3 5. Общият знаменател на дробите е всяко положително общо кратно на 6 и 5. Тези положителни общи кратни са 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и т.н.

Нека разгледаме един пример.

Пример 1. Общ знаменател

Може ли дроба 1 3, 21 6, 5 12 да се сведе до общ знаменател, който е 150?

За да разберете дали това е така, трябва да проверите дали 150 е общо кратно за знаменателите на дроби, тоест за числата 3, 6, 12. С други думи, числото 150 трябва да се дели на 3, 6, 12 без остатък. Да проверим:

150 ÷ 3 = 50, 150 ÷ 6 = 25, 150 ÷ 12 = 12, 5

Следователно 150 не е общият знаменател на тези дроби.

Най-малък общ знаменател

Най -малкото естествено число от множеството общи знаменатели на набор от дроби се нарича най -ниският общ знаменател.

Най -малък общ знаменател

Най -ниският общ знаменател на дроб е най -малкото число сред всички общи знаменатели на тези дроби.

Най-малкият общ делител на даден набор от числа е най-малкото общо кратно (LCM). LCM на всички знаменатели на дроби е най -ниският общ знаменател на тези дроби.

Как намирате най -ниския общ знаменател? Намирането му се свежда до намирането на най -малкото общо кратно на дробите. Нека разгледаме един пример:

Пример 2. Намерете най -малкия общ знаменател

Намерете най -ниския общ знаменател за дробите 1 10 и 127 28.

Търсим LCM на числа 10 и 28. Нека ги разложим на основни фактори и получим:

10 = 2 5 28 = 2 2 7 H O K (15, 28) = 2 2 5 7 = 140

Как да доведем дробите до най -ниския общ знаменател

Има правило, което обяснява как да доведем дроби до общ знаменател. Правилото се състои от три точки.

Правилото за редуциране на дроби до общ знаменател

Намерете най -ниския общ знаменател на дробите.
Намерете допълнителен фактор за всяка дроб. За да намерите фактора, трябва да разделите най-малкия общ знаменател на знаменателя на всяка дроб.
Умножете числителя и знаменателя с допълнителния намерен фактор.

Нека разгледаме приложението на това правило с конкретен пример.

Пример 3. Свеждане на дроби до общ знаменател

Има дроби 3 14 и 5 18. Нека ги доведем до най-малкия общ знаменател.

По правило първо намираме LCM на знаменателите на дробите.

14 = 2 7 18 = 2 3 3 H O K (14, 18) = 2 3 3 7 = 126

Изчисляваме допълнителни фактори за всяка фракция. За 3 14 допълнителният множител е 126 ÷ 14 = 9, а за дроб 5 18 допълнителният множител ще бъде 126 ÷ 18 = 7.

Умножаваме числителя и знаменателя на дробите с допълнителни фактори и получаваме:

3 9 14 9 = 27 126, 5 7 18 7 = 35 126.

Намаляване на множество дроби до най-малкия общ знаменател

Според разглежданото правило не само двойки дроби могат да бъдат редуцирани до общ знаменател, но и по -голям брой от тях.

Нека дадем още един пример.

Пример 4. Редуциране на дроби до общ знаменател

Намалете дробите 3 2, 5 6, 3 8 и 17 18 до най-малкия общ знаменател.

Нека изчислим LCM на знаменателите. Намираме LCM от три или повече числа:

H O C (2, 6) = 6 H O C (6, 8) = 24 H O C (24, 18) = 72 H O C (2, 6, 8, 18) = 72

За 3 2 допълнителният множител е 72 ÷ 2 = 36, за 5 6 допълнителният множител е 72 ÷ 6 = 12, за 3 8 допълнителният множител е 72 ÷ 8 = 9, накрая, за 17 18 допълнителният множител е 72 ÷ 18 = 4.

Умножаваме дробите по допълнителни фактори и отиваме до най -ниския общ знаменател:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Как да конвертираме дроби в общ знаменател

Ако обикновените дроби имат същите знаменатели, те казват, че това са дробите се довеждат до общ знаменател.

Пример 1

Например дробите $ \ frac (3) (18) $ и $ \ frac (20) (18) $ имат един и същ знаменател. Твърди се, че имат общ знаменател от 18 долара. Дробите $ \ frac (1) (29) $, $ \ frac (7) (29) $ и $ \ frac (100) (29) $ също имат същия знаменател. Твърди се, че те имат общ знаменател от 29 долара.

Ако дробите имат различни знаменатели, те могат да бъдат редуцирани до общ знаменател. За да направите това, трябва да умножите техните числители и знаменатели с определени допълнителни фактори.

Пример 2

Как да намалим две дроби $ \ frac (6) (11) $ и $ \ frac (2) (7) $ до общ знаменател.

Решение.

Умножете дробите $ \ frac (6) (11) $ и $ \ frac (2) (7) $ съответно с допълнителни фактори $ 7 $ и $ 11 $ и ги доведете до общ знаменател $ 77 $:

$ \ frac (6 \ cdot 7) (11 \ cdot 7) = \ frac (42) (77) $

$ \ frac (2 \ cdot 11) (7 \ cdot 11) = \ frac (22) (77) $

Поради това, редуциране на дроби до общ знаменателсе нарича умножение на числителя и знаменателя на тези дроби с допълнителни фактори, които в резултат на това дават възможност да се получат дроби със същите знаменатели.

Общ знаменател

Определение 1

Всеки положителен общ кратен на всички знаменатели на някакъв набор от дроби се нарича общ знаменател.

С други думи, общият знаменател на дадените дроби е всяко естествено число, което може да бъде разделено на всички знаменатели на дадените дроби.

Определението предполага безкраен набор от общи знаменатели за даден набор от дроби.

Пример 3

Намерете общите знаменатели на дробите $ \ frac (3) (7) $ и $ \ frac (2) (13) $.

Решение.

Тези дроби имат знаменатели съответно $7 и $13. Положителните общи кратни на $ 2 $ и $ 5 $ са $ 91, 182, 273, 364 $ и т.н.

Всяко от тези числа може да се използва като общ знаменател на дробите $ \ frac (3) (7) $ и $ \ frac (2) (13) $.

Пример 4

Определете дали дробите $ \ frac (1) (2) $, $ \ frac (16) (7) $ и $ \ frac (11) (9) $ могат да бъдат намалени до общ знаменател $ 252 $.

Решение.

За да определите как да доведете дроба до общ знаменател от $ 252 $, трябва да проверите дали числото $ 252 $ е общо кратно на знаменателите на $ 2, $ 7 и $ 9 $. За да направите това, разделяме числото $ 252 $ на всеки от знаменателите:

$ \ frac (252) (2) = 126, $ $ \ frac (252) (7) = 36 $, $ \ frac (252) (9) = 28 $.

Числото $252 се дели на всички знаменатели, т.е. е общо кратно на $ 2, $ 7 и $ 9 $. Следователно дадените дроби $ \ frac (1) (2) $, $ \ frac (16) (7) $ и $ \ frac (11) (9) $ могат да бъдат сведени до общ знаменател $ 252 $.

Отговор: можете.

Най-малък общ знаменател

Определение 2

Сред всички общи знаменатели на дадените дроби може да се различи най-малкото естествено число, което се нарича най -нисък общ знаменател.

Защото LCM е най-малкият положителен общ знаменател на даден набор от числа, тогава LCM на знаменателите на дадените дроби е най-малкият общ знаменател на тези дроби.

Следователно, за да намерите най-малкия общ знаменател на дробите, трябва да намерите LCM на знаменателите на тези дроби.

Пример 5

Дадени са дробите $ \ frac (4) (15) $ и $ \ frac (37) (18) $. Намерете техния най-малък общ знаменател.

Решение.

Знаменателите на тези дроби са $15 и $18. Намерете най -малкия общ знаменател като LCM на числата $ 15 $ и $ 18 $. За това използваме разлагането на числата на прости множители:

$ 15 = 3 \ cdot 5 $, $ 18 = 2 \ cdot 3 \ cdot 3 $

$ LCM (15, 18) = 2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5 = 90 $.

Отговор: $ 90 $.

Правилото за намаляване на дробите до най -ниския общ знаменател

Най-често при решаване на задачи по алгебра, геометрия, физика и др. обичайно е обикновените дроби да се редуцират до най -ниския общ знаменател, а не до някакъв общ знаменател.

Алгоритъм:

Използвайки LCM на знаменателите на дадените дроби, намерете най -малкия общ знаменател.
2. Изчислете допълнителен фактор за дадените дроби. За да направите това, намереният най-нисък общ знаменател трябва да бъде разделен на знаменателя на всяка дроб. Полученото число ще бъде допълнителен фактор за тази част.
Умножете числителя и знаменателя на всяка дроб с намерения допълнителен фактор.

Пример 6

Намерете най-малкия общ знаменател на дробите $ \ frac (4) (16) $ и $ \ frac (3) (22) $ и редуцирайте и двете дроби до него.

Решение.

Нека използваме алгоритъма за намаляване на дробите до най -ниския общ знаменател.

Изчислете най -малкото общо кратно на $ 16 $ и $ 22 $:

Нека разделим знаменателите на прости множители: $ 16 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 $, $ 22 = 2 \ cdot 11 $.

$ LCM (16, 22) = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 11 = 176 $.

Нека изчислим допълнителните фактори за всяка дроб:

$ 176 \ div 16 = 11 $ - за фракцията $ \ frac (4) (16) $;

$ 176 \ div 22 = 8 $ - за фракцията $ \ frac (3) (22) $.

Умножете числителите и знаменателите на дробите $ \ frac (4) (16) $ и $ \ frac (3) (22) $ с допълнителни фактори съответно $ 11 $ и $ 8 $. Получаваме:

$ \ frac (4) (16) = \ frac (4 \ cdot 11) (16 \ cdot 11) = \ frac (44) (176) $

$ \ frac (3) (22) = \ frac (3 \ cdot 8) (22 \ cdot 8) = \ frac (24) (176) $

И двете дроби са доведени до най -ниския общ знаменател от $ 176 $.

Отговор: $ \ frac (4) (16) = \ frac (44) (176) $, $ \ frac (3) (22) = \ frac (24) (176) $.

Понякога, за да намерите най-малкия общ знаменател, трябва да извършите серия от отнемащи време изчисления, които може да не оправдаят целта за решаване на проблема. В този случай можете да използвате най-простия начин - да намалите дробите до общ знаменател, който е продукт на знаменателите на тези дроби.