Как да отваряте скоби в изрази и уравнения. Правила на математиката

Скобите се използват за посочване на реда, в който се извършват действията в числови и азбучни изрази, както и в изрази с променливи. Удобно е да преминете от израз със скоби към идентично равен израз без скоби. Тази техника се нарича отваряне на скоби.

Разширяването на скоби означава да премахнете израза на тези скоби.

Друг момент заслужава специално внимание, който се отнася до особеностите на решенията за писане при отваряне на скоби. Можем да запишем първоначалния израз със скоби и получения резултат след отваряне на скобите като равенство. Например, след отваряне на скобите, вместо израза
3−(5−7) получаваме израза 3−5+7. Можем да запишем и двата израза като равенството 3−(5−7)=3−5+7.

И още един важен момент. В математиката, за да се намалят вписванията, е обичайно да не се пише знак плюс, ако е първият в израз или в скоби. Например, ако добавим две положителни числа, например седем и три, тогава пишем не +7 + 3, а просто 7 + 3, въпреки факта, че седем също е положително число. По същия начин, ако видите например израза (5 + x) - знайте, че има плюс пред скобата, който не е изписан, и има плюс + (+5 + x) пред пет.

Правило за разширяване на скоби за събиране

При отваряне на скоби, ако има плюс преди скобите, тогава този плюс се пропуска заедно със скобите.

Пример. Отворете скобите в израза 2 + (7 + 3) Преди скобите плюс, след това знаците пред числата в скобите не се променят.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правилото за разширяване на скоби при изваждане

Ако има минус преди скобите, тогава този минус се пропуска заедно със скобите, но термините, които са били в скобите, променят знака си на обратен. Отсъствието на знак преди първия член в скоби означава знак +.

Пример. Отворени скоби в израз 2 − (7 + 3)

Преди скобите има минус, така че трябва да смените знаците преди числата от скобите. Няма знак в скоби преди числото 7, което означава, че седемте е положително, счита се, че знакът + е пред него.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Когато отваряме скобите, премахваме минуса от примера, който беше преди скобите, а самите скоби 2 − (+ 7 + 3) и променяме знаците, които бяха в скобите, на противоположните.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Разширяване на скоби при умножение

Ако пред скобите има знак за умножение, тогава всяко число в скобите се умножава по коефициента пред скобите. В същото време, умножаването на минус по минус дава плюс, а умножаването на минус по плюс, като умножаването на плюс по минус, дава минус.

По този начин скобите в продуктите се разширяват в съответствие с разпределителното свойство на умножението.

Пример. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

При умножаване на скоби по скоби, всеки член от първата скоба се умножава с всеки член от втората скоба.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Всъщност няма нужда да запомняте всички правила, достатъчно е да запомните само едно, това: c(a−b)=ca−cb. Защо? Защото ако заместим едно вместо c, получаваме правилото (a−b)=a−b. И ако заместим минус едно, получаваме правилото −(a−b)=−a+b. Е, ако замените друга скоба вместо c, можете да получите последното правило.

Разгъване на скоби при разделяне

Ако след скобите има знак за деление, тогава всяко число в скобите се дели на делителя след скобите и обратно.

Пример. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Как да разширите вложените скоби

Ако изразът съдържа вложени скоби, те се разширяват по ред, започвайки с външни или вътрешни.

В същото време, когато отваряте една от скобите, е важно да не докосвате другите скоби, а просто да ги пренапишете така, както са.

Пример. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Линейни уравнения. Решение, примери.

Внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Линейни уравнения.

Линейните уравнения не са най-трудната тема в училищната математика. Но има някои трикове, които могат да озадачават дори обучен ученик. Ще разберем ли?)

Линейното уравнение обикновено се дефинира като уравнение от вида:

брадва + б = 0 където а и б- всякакви числа.

2x + 7 = 0. Ето a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Тук a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Тук a=12, b=1/2

Нищо сложно, нали? Особено ако не забелязвате думите: "където a и b са произволни числа"... И ако забележите, но небрежно мислите за това?) В крайна сметка, ако a=0, b=0(възможни са някакви числа?), тогава получаваме забавен израз:

Но това не е всичко! ако кажи, a=0,но b=5,излиза нещо доста абсурдно:

Това, което напряга и подкопава доверието в математиката, да...) Особено на изпитите. Но от тези странни изрази трябва да намерите и X! Което изобщо не съществува. И изненадващо, този X е много лесен за намиране. Ще се научим как да го направим. В този урок.

Как да разпознаем линейно уравнение на външен вид? Зависи какъв външен вид.) Номерът е, че линейните уравнения се наричат не само уравнения от вида брадва + б = 0 , но и всички уравнения, които се свеждат до тази форма чрез трансформации и опростявания. И кой знае дали е намален или не?)

В някои случаи линейното уравнение може да бъде ясно разпознато. Да кажем, ако имаме уравнение, в което има само неизвестни от първа степен, да, числа. И уравнението не е така фракции, разделени на неизвестен , важно е! И разделяне на номер,или числова дроб - това е! Например:

Това е линейно уравнение. Тук има дроби, но няма х в квадрата, в куба и т.н., и няма х в знаменателите, т.е. Не деление на х. И ето го уравнението

не може да се нарече линейна. Тук всички x са в първа степен, но има деление по израз с х. След опростявания и трансформации можете да получите линейно уравнение, и квадратно, и каквото искате.

Оказва се, че е невъзможно да се намери линейно уравнение в някакъв сложен пример, докато почти не го решите. Това е разстройващо. Но в задачите, като правило, те не питат за формата на уравнението, нали? В задачите уравненията са подредени реши.Това ме радва.)

Решение на линейни уравнения. Примери.

Цялото решение на линейните уравнения се състои от идентични трансформации на уравнения. Между другото, тези трансформации (до две!) лежат в основата на решенията всички математически уравнения.С други думи, решението всякаквиУравнението започва със същите тези трансформации. В случай на линейни уравнения, то (решението) на тези трансформации завършва с пълноценен отговор. Има смисъл да следвате връзката, нали?) Освен това има и примери за решаване на линейни уравнения.

Нека започнем с най-простия пример. Без никакви подводни камъни. Да кажем, че трябва да решим следното уравнение.

x - 3 = 2 - 4x

Това е линейно уравнение. Всички X са на първа степен, няма деление на X. Но всъщност не ни интересува какво е уравнението. Трябва да го решим. Схемата тук е проста. Съберете всичко с x от лявата страна на уравнението, всичко без x (числа) от дясната.

За да направите това, трябва да прехвърлите - 4x вляво, със смяна на знака, разбира се, но - 3 - надясно. Между другото, това е първо идентично преобразуване на уравнения.Изненадан? И така, те не последваха връзката, но напразно ...) Получаваме:

x + 4x = 2 + 3

Ние даваме подобни, считаме:

Какво ни трябва, за да сме напълно щастливи? Да, така че отляво да има чисто X! Петима пречат. Отърви се от петте с второ идентично преобразуване на уравнения.А именно, разделяме и двете части на уравнението на 5. Получаваме готов отговор:

Елементарен пример, разбира се. Това е за загряване.) Не е много ясно защо си припомних идентични трансформации тук? Добре. Хващаме бика за рогата.) Да решим нещо по-впечатляващо.

Например, ето това уравнение:

Откъде да започнем? С X - наляво, без X - вдясно? Може и така. Малки крачки по дългия път. И можете веднага, по универсален и мощен начин. Освен ако, разбира се, във вашия арсенал няма идентични трансформации на уравнения.

Задавам ви един ключов въпрос: Какво най-много не ви харесва в това уравнение?

95 души от 100 ще отговорят: фракции ! Отговорът е правилен. Така че нека се отървем от тях. Така че започваме веднага с втора идентична трансформация. С какво се нуждаете, за да умножите дроба отляво, така че знаменателят да бъде напълно намален? Точно така, 3. А отдясно? По 4. Но математиката ни позволява да умножим и двете страни по същия номер. Как да се измъкнем? Нека умножим двете страни по 12! Тези. към общ знаменател. Тогава трите ще бъдат намалени, а четирите. Не забравяйте, че трябва да умножите всяка част изцяло. Ето как изглежда първата стъпка:

Разширяване на скобите:

Забележка! Числител (x+2)Взех в скоби! Това е така, защото при умножаване на дроби числителят се умножава по цялото, изцяло! И сега можете да намалите дробите и да намалите:

Отваряне на останалите скоби:

Не пример, а чисто удоволствие!) Сега си припомняме заклинанието от по-ниските класове: с х - наляво, без х - вдясно!И приложете тази трансформация:

Ето някои като:

И двете части разделяме на 25, т.е. приложете отново втората трансформация:

Това е всичко. Отговор: х=0,16

Обърнете внимание: за да приведем оригиналното объркващо уравнение в приятна форма, използвахме две (само две!) идентични трансформации- превод ляво-дясно със смяна на знака и умножение-деление на уравнението на същото число. Това е универсалният начин! Ще работим по този начин всякакви уравнения! Абсолютно всякакви. Ето защо непрекъснато повтарям тези идентични трансформации.)

Както можете да видите, принципът на решаване на линейни уравнения е прост. Взимаме уравнението и го опростяваме с помощта на идентични трансформации, докато получим отговора. Основните проблеми тук са в изчисленията, а не в принципа на решението.

Но ... В процеса на решаване на най-елементарните линейни уравнения има такива изненади, че те могат да доведат до силен ступор ...) За щастие може да има само две такива изненади. Да ги наречем специални случаи.

Специални случаи при решаване на линейни уравнения.

Първо изненада.

Да предположим, че срещнете елементарно уравнение, нещо като:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Леко отегчени, прехвърляме с X наляво, без X - вдясно ... С промяна на знака всичко е кинар ... Получаваме:

2x-5x+3x=5-2-3

Вярваме и... о, боже! Получаваме:

Само по себе си това равенство не подлежи на възражение. Нулата наистина е нула. Но X го няма! И ние трябва да напишем в отговора, на какво е равно х.Иначе решението не се брои, да...) Задънена улица?

Спокоен! В такива съмнителни случаи спасяват най-общите правила. Как се решават уравнения? Какво означава да се реши уравнение? Това означава, намерете всички стойности на x, които, когато бъдат заместени в оригиналното уравнение, ще ни дадат правилното равенство.

Но имаме правилното равенство вечесе случи! 0=0, къде всъщност?! Остава да разберем при какви х се получава това. С какви стойности на x могат да бъдат заместени оригиналенуравнение, ако тези x все още се свива до нула?Хайде?)

Да!!! Xs могат да бъдат заместени всякакви!Какво искаш. Най-малко 5, поне 0,05, поне -220. Те пак ще се свият. Ако не ми вярвате, можете да го проверите.) Заменете всички стойности на x в оригиналенуравнение и изчисляване. През цялото време ще се получава чистата истина: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и т.н.

Ето вашия отговор: x е произволно число.

Отговорът може да бъде написан с различни математически символи, същността не се променя. Това е напълно правилен и пълен отговор.

Изненада второ.

Да вземем същото елементарно линейно уравнение и да променим само едно число в него. Ето какво ще решим:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

След същите идентични трансформации получаваме нещо интригуващо:

Като този. Реших линейно уравнение, получих странно равенство. Математически казано, имаме погрешно равенство.И с прости думи, това не е вярно. Рейв. Но въпреки това тази глупост е доста добра причина за правилното решение на уравнението.)

Отново мислим на базата на общи правила. Какво ще ни даде x, когато бъде заместено в оригиналното уравнение правилноравенство? Да, никаква! Няма такива ксове. Каквото и да замените, всичко ще се намали, глупостите ще останат.)

Ето вашия отговор: няма решения.

Това също е напълно валиден отговор. В математиката такива отговори често се срещат.

Като този. Сега, надявам се, загубата на Xs в процеса на решаване на което и да е (не само линейно) уравнение изобщо няма да ви притеснява. Въпросът е познат.)

Сега, когато се справихме с всички клопки в линейните уравнения, има смисъл да ги разрешим.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Не всички уравнения, съдържащи скоби, се решават по същия начин. Разбира се, най-често те трябва да отворят скобите и да дадат подобни термини (все пак начините за отваряне на скобите се различават). Но понякога не е нужно да отваряте скобите. Нека разгледаме всички тези случаи с конкретни примери:

5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).
2x - 3(x + 5) = -12.
(x + 1)(7x - 21) = 0.

Решаване на уравнения чрез отваряне на скоби

Този метод за решаване на уравнения е най-разпространеният, но дори при цялата си привидна универсалност, той се разделя на подвидове в зависимост от начина на отваряне на скобите.

1) Решение на уравнението 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).

В това уравнение има знаци минус и плюс пред скобите. За да отворите скобите в първия случай, когато те са предхождани от знак минус, всички знаци вътре в скобите трябва да бъдат обърнати. Втората двойка скоби се предхожда от знак плюс, който няма да повлияе на знаците в скоби, така че те могат просто да бъдат пропуснати. Получаваме:

5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16.

Прехвърляме членовете с x в лявата страна на уравнението, а останалите вдясно (знаците на прехвърлените членове ще се променят на обратното):

5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7.

Ето подобни термини:

За да намерите неизвестния фактор x, разделете произведението 18 на известния фактор 6:

x = 18 / 6 = 3.

2) Решение на уравнението 2x - 3(x + 5) = -12.

В това уравнение също първо трябва да отворите скобите, но прилагайки разпределителното свойство: за да умножите -3 по сумата (x + 5), трябва да умножите -3 по всеки член в скоби и да добавите получените продукти:

2x - 3x - 15 = -12

х = 3 / (-1) = 3.

Решаване на уравнения без отваряне на скоби

Третото уравнение (x + 1) (7x - 21) \u003d 0 също може да бъде решено чрез отваряне на скобите, но е много по-лесно в такива случаи да се използва свойството на умножение: продуктът е нула, когато един от факторите е нула . означава:

x + 1 = 0 или 7x - 21 = 0.

Едно от най-важните умения в прием в 5 класе способността да се решават прости уравнения. Тъй като 5 клас не е толкова далеч от началното училище, няма толкова много видове уравнения, които ученикът може да реши. Ще ви запознаем с всички основни видове уравнения, които трябва да можете да решавате, ако искате запишете се във физико-математическо училище.

1 тип: "луковичен"
Това са уравнения, които почти сигурно ще срещнете кога прием във всяко училищеили кръг от 5 клас като отделна задача. Те са лесни за разграничаване от другите: съдържат променлива само веднъж. Например, или.
Решават се много просто: просто трябва да "стигнете" до неизвестното, като постепенно "премахвате" всичко излишно, което го заобикаля - сякаш белите лук - оттук и името. За да го разрешите, достатъчно е да запомните няколко правила от втория клас. Нека ги изброим всички:

Добавяне

член1 + член2 = сума
член1 = сума - член2
член2 = сума - член1

Изваждане

minuend - subtrahend = разлика
minuend = изваждане + разлика
subtrahend = minuend - разлика

Умножение

множител1 * множител2 = продукт
множител1 = продукт: множител2
множител2 = продукт: множител1

дивизия

дивидент: делител = частно
дивидент = делител * частно
делител = дивидент: частно

Нека да разгледаме пример как да приложим тези правила.

Имайте предвид, че споделяме и получаваме . В тази ситуация знаем делителя и частното. За да намерите дивидента, трябва да умножите делителя по частното:

Приближихме се малко до себе си. Сега виждаме това добавен и получен. И така, за да намерите един от термините, трябва да извадите известния член от сумата:

И още един "пласт" се отстранява от неизвестното! Сега виждаме ситуация с известна стойност на продукта () и един известен множител ().

Сега ситуацията е "намалено - извадено = разлика"

И последната стъпка е известният продукт () и един от факторите ()

2 тип: уравнения със скоби
Уравнения от този тип най-често се срещат в задачи - 90% от всички задачи за прием в 5 клас. За разлика от "лукови уравнения"променливата тук може да се появи няколко пъти, така че е невъзможно да се реши с методите от предишния параграф. Типични уравнения: или
Основната трудност е правилното отваряне на скобите. След като успеем да направим това правилно, трябва да донесем подобни термини (числа към числа, променливи към променливи) и след това да получим най-простото "уравнение на лука"които можем да решим. Но първо нещата.

Разширяване на скоби. Ще дадем няколко правила, които трябва да се използват в този случай. Но, както показва практиката, ученикът започва правилно да отваря скобите само след 70-80 решени задачи. Основното правило е следното: всеки фактор извън скобите трябва да се умножи по всеки член в скобите. А минусът преди скобата променя знака на всички изрази, които са вътре. И така, основните правила за разкриване:

Донасяне на подобни. Тук всичко е много по-лесно: прехвърляйки термините през знака за равенство, трябва да гарантирате, че от една страна има само термини с неизвестно, а от друга - само числа. Основното правило е следното: всеки пренесен термин сменя знака си – ако е бил с, тогава ще стане с и обратно. След успешно прехвърляне е необходимо да се преброят общия брой неизвестни, крайното число от другата страна на равенството от променливите и да се реши просто "уравнение на лука".

Уравнение с едно неизвестно, което след отваряне на скобите и намаляване на подобни членове приема формата

ах + b = 0, където a и b са произволни числа, се нарича линейно уравнение с едно неизвестно. Днес ще разберем как да решим тези линейни уравнения.

Например всички уравнения:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3х = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - линеен.

Стойността на неизвестното, която превръща уравнението в истинско равенство, се нарича решение или коренът на уравнението .

Например, ако в уравнението 3x + 7 \u003d 13 заместим числото 2 вместо неизвестното x, тогава получаваме правилното равенство 3 2 + 7 \u003d 13. Това означава, че стойността x = 2 е решението или корена на уравнението.

И стойността x \u003d 3 не превръща уравнението 3x + 7 \u003d 13 в истинско равенство, тъй като 3 2 + 7 ≠ 13. Следователно стойността x = 3 не е решение или корен на уравнението.

Решението на всяко линейно уравнение се свежда до решението на уравнения от вида

ах + b = 0.

Прехвърляме свободния член от лявата страна на уравнението надясно, като променяме знака пред b на обратния, получаваме

Ако a ≠ 0, тогава x = – b/a .

Пример 1 Решете уравнението 3x + 2 =11.

Прехвърляме 2 от лявата страна на уравнението надясно, докато сменяме знака пред 2 на обратния, получаваме
3x \u003d 11 - 2.

Тогава нека направим изваждането
3x = 9.

За да намерите x, трябва да разделите продукта на известен фактор, т.е.
х = 9:3.

Така че стойността x = 3 е решението или корена на уравнението.

Отговор: х = 3.

Ако a = 0 и b = 0, тогава получаваме уравнението 0x \u003d 0. Това уравнение има безкрайно много решения, тъй като при умножаване на произволно число по 0 получаваме 0, но b също е 0. Решението на това уравнение е произволно число.

Пример 2Решете уравнението 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Нека разширим скобите:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Ето подобни членове:
0x = 0.

Отговор: x е произволно число.

Ако a = 0 и b ≠ 0, тогава получаваме уравнението 0x = - b. Това уравнение няма решения, тъй като при умножаване на произволно число по 0 получаваме 0, но b ≠ 0.

Пример 3Решете уравнението x + 8 = x + 5.

Нека групираме термините, съдържащи неизвестни от лявата страна, и свободните термини от дясната страна:
x - x \u003d 5 - 8.

Ето подобни членове:
0x = - 3.

Отговор: няма решения.

На Фигура 1 е показана схемата за решаване на линейното уравнение

Нека съставим обща схема за решаване на уравнения с една променлива. Помислете за решението на пример 4.

Пример 4 Нека решим уравнението

1) Умножете всички членове на уравнението по най-малкото общо кратно на знаменателите, равно на 12.

2) След намаляване получаваме
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) За да разделите членове, съдържащи неизвестни и свободни членове, отворете скобите:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) В едната част групираме термините, съдържащи неизвестни, а в другата - свободни термини:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Ето подобни членове:
- 22x = - 154.

6) Разделете на - 22 , Получаваме
х = 7.

Както можете да видите, коренът на уравнението е седем.

Общо взето такива уравненията могат да бъдат решени по следния начин:

а) приведете уравнението до целочислен вид;

б) отворени скоби;

в) групирайте членовете, съдържащи неизвестното в едната част на уравнението, и свободните членове в другата;

г) довеждат подобни членове;

д) решава уравнение от вида aх = b, което се получава след привеждане на подобни членове.

Тази схема обаче не е необходима за всяко уравнение. При решаване на много по-прости уравнения трябва да се започне не от първото, а от второто ( Пример. 2), трети ( Пример. 13) и дори от петия етап, както в пример 5.

Пример 5Решете уравнението 2x = 1/4.

Намираме неизвестното x \u003d 1/4: 2,
х = 1/8 .

Помислете за решението на някои линейни уравнения, срещани на главния държавен изпит.

Пример 6Решете уравнение 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Отговор: - 0,125

Пример 7Решете уравнението - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Отговор: 2.3

Пример 8 Решете уравнението

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Пример 9Намерете f(6), ако f (x + 2) = 3 7

Решение

Тъй като трябва да намерим f(6) и знаем f (x + 2),
тогава х + 2 = 6.

Решаваме линейното уравнение x + 2 = 6,
получаваме x = 6 - 2, x \u003d 4.

Ако х = 4 тогава
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Отговор: 27.

Ако все още имате въпроси, има желание да се занимавате с решението на уравнения по-задълбочено. Ще се радвам да ви помогна!

TutorOnline също така препоръчва да гледате нов видео урок от нашия преподавател Олга Александровна, който ще ви помогне да разберете както линейните уравнения, така и други.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.