Решението е методът на изменение на произволни константи. Примери за метода на изменение на произволната константа
Разгледайте сега линейно нехомогенно уравнение
. (2)
Да 1, Y 2, .., Y N - основната система на решенията, и е общото решение на съответното хомогенно уравнение l (Y) \u003d 0. Подобно на случая на уравненията от първия ред, ние ще търсим решението на уравнението (2) като
. (3)
Уверете се, че съществува решението в тази форма. За да направите това, ние ще заменим функцията на уравнението. За да замени тази функция към уравнението, ще намерите неговите производни. Първото производно е равно 
. (4)
При изчисляване на второто производно в дясната страна (4) ще има четири термина при изчисляване на третото производно - осем термина и т.н. Следователно, за удобство на по-нататъшна сметка, първият срок в (4) трябва да е нула. Като се вземе предвид това, второто производно е равно 
. (5)
Според същото, съображения, в (5), ние също вярваме в първия термин, равен на нула. И накрая, деривативният дериватив е равен 
. (6)
Замествайки получените стойности на производни в първоначалното уравнение, ние имаме 
. (7)
Вторият термин в (7) е нула, тъй като функциите y J, J \u003d 1,2,., N са разтвори на съответното хомогенно уравнение L (Y) \u003d 0. Комбиниране с предишния, получаваме система от алгебрични уравнения за намиране на функции C "J (x) 
(8)
Детерминанта на тази система е определянето на Bronsky фундаментална система на разтвори Y 1, Y2, .., Y N от съответното хомогенно уравнение L (Y) \u003d 0 и следователно не е нула. Следователно, има единственото решение на системата (8). След като го намерихме, получаваме функцията C "J (x), J \u003d 1,2, ..., N, и следователно, C J (x), J \u003d 1,2, ..., n заместване на тези Стойности в (3), получаваме разтвор на линейно нехомогенно уравнение.
Очертаният метод се нарича метод на вариация чрез произволен метод на постоянен или лаграндъра.
Пример номер 1. Намерете общо решение на уравнение Y "+ 4Y" + 3Y \u003d 9E -3 x. Помислете за съответното хомогенно уравнение Y "" + 4Y + 3Y \u003d 0. Корените на нейното характерно уравнение R2 + 4R + 3 \u003d 0 са -1 и - 3. Следователно основната система на разтворите на хомогенно уравнение се състои от функции y 1 \u003d e-x и y2 \u003d e -3 x. Разтворът на нехомогенното уравнение изглежда като във формата y \u003d C1 (x) e-x + С2 (x) e -3 х. За да намерите деривативи c "1, c" 2 правим система от уравнения (8)
C '1 · e -x + c' 2 · e -3x \u003d 0
-C '1 · e -x -3c' 2 · e -3x \u003d 9e -3x
решаване, които откриваме, интегрираме получените функции, имаме 
Най-накрая
Пример номер 2. Решаване на линейни диференциални уравнения на втори ред с постоянни коефициенти чрез промяна на произволното положение: 
y (0) \u003d 1 + 3LN3
y '(0) \u003d 10ln3
Решение:
Това диференциално уравнение се отнася до линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.
Решението на уравнението ще бъде подписано като y \u003d e rx. За да направите това, ние компилираме характерно уравнение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти:
r2 -6 R + 8 \u003d 0
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 8 \u003d 4
Корените на характерното уравнение: R1 \u003d 4, R2 \u003d 2
Следователно основната система на решенията е функциите: y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
Общото решение на хомогенно уравнение има формата: y \u003d c 1 · e 4x + c2 · e 2x
Търсене на самостоятелно решение чрез изменение чрез произволна константа.
За да намерите дериватите на C ", ние представляваме система от уравнения:
C '1 · e 4x + c' 2 · e 2x \u003d 0
C '1 (4E 4X) + C' 2 (2E 2X) \u003d 4 / (2 + e -2x)
Експрес C "1 от първото уравнение:
C "1 \u003d -C2 e -2x
и заместваме втората. В резултат на това получаваме:
C "1 \u003d 2 / (e 2x + 2E 4X)
C "2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2E 4X)
Ние интегрираме получените функции c "I:
C 1 \u003d 2LN (e -2x +2) - e -2x + c * 1
C 2 \u003d LN (2E 2X +1) - 2x + C * 2
От y \u003d c 1 · e 4x + c2 · e 2x, след това напишете получените изрази във формата:
C 1 \u003d (2LN (e -2x +2) - e -2x + c * 1) е 4x \u003d 2 e 4x ln (e -2x +2) - е 2x + c * 1 e 4x
C 2 \u003d (LN (2X +1) - 2x + C * 2) e 2x \u003d e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + c * 2 e 2x
Така общото решение на диференциалното уравнение е:
y \u003d 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + c * 1 e 4x + e 2x ln (2x 2x +1) - 2x e 2x + c * 2 e 2x
или
y \u003d 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2x +1) - 2x e 2x + c * 1 e 4x + c * 2 e 2x
Ще намерим лично решение:
y (0) \u003d 1 + 3LN3
y '(0) \u003d 10ln3
Заместване x \u003d 0, в установеното уравнение, получаваме:
y (0) \u003d 2 ln (3) - 1 + ln (3) + c * 1 + c * 2 \u003d 3 ln (3) - 1 + c * 1 + c * 2 \u003d 1 + 3ln3
Намираме първото производно на полученото общо решение:
y '\u003d 2E 2x (2C 1E 2X + C2 -2X +4 E 2X ln (e -2x +2) + ln (2e 2x +1) -2)
Заместник x \u003d 0, получаваме:
y '(0) \u003d 2 (2С1 + С2 +4 ln (3) + ln (3) -2) \u003d 4с 1 + 2С2 +10 ln (3) -4 \u003d 10ln3
Получаваме система от две уравнения:
3 ln (3) - 1 + c * 1 + c * 2 \u003d 1 + 3ln3
4C 1 + 2C2 +10 ln (3) -4 \u003d 10ln3
или
C * 1 + C * 2 \u003d 2
4C 1 + 2C 2 \u003d 4
или
C * 1 + C * 2 \u003d 2
2C 1 + C 2 \u003d 2
Местоположение: c 1 \u003d 0, c * 2 \u003d 2
Частното решение ще бъде записано като:
y \u003d 2E 4X · ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x · ln (2e 2x +1) - 2x · e 2x + 2 · e 2x
Методът на изменение на произволни константи се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения. Този урок е предназначен за тези студенти, които вече са повече или по-малко ориентирани в темата. Ако просто започнете да се запознавате с du, т.е. Вие сте чайник, препоръчвам ви да започнете от първия урок: Диференциални уравнения на първия ред. Примери за решения. И ако вече приключите, моля, пуснете възможно предубедено мнение, че методът е сложен. Защото той е прост.
В какви случаи е методът на изменение на произволни константи?
1) При решаване може да се използва метод за изменение на произволната константа линейно нечовешки ред du 1-та поръчка. Тъй като уравнението от първия ред е скоро, константата (постоянна) също е сама.
2) метод на изменение на произволни константи се използва за решаване на някои линейни инхоогенни уравнения втори ред. Две постоянни (константи) варират тук.
Логично е да се предположи, че урокът ще се състои от два параграфа .... Тук написах тази оферта и 10 минути замислено мислех каквото и да е смарт глупост, да добавя към плавен преход към практически примери. Но по някаква причина няма мисли след празниците, въпреки че изглежда и не злоупотребява с нищо. Ето защо ние веднага получаваме по първия параграф.
Метод на изменение на произволната константа
за линейно и нехомогенно уравнение за първи ред
Преди да разгледате метода на изменение на произволната константа, е желателно да се запознаете с статията Линейни диференциални уравнения на първия ред. На този урок разработихме първият начин за решаване Нехомогенна поръчка. Това първо решение се напомня, наречено метод за замяна или метод Бернули (да не се бърка с уравнение Бернули!!!)
Сега ще разгледаме вторият начин за решаване - метод за изменение на произволната константа. Ще дам само три примера и ще ги взема от гореспоменатия урок. Защо толкова малко? Защото в действителност решението ще бъде много подобно на решението по първия начин. Освен това, според моите наблюдения, методът на изменение на произволни константи се прилага по-рядко от метода за замяна.
Пример 1.
(Разпространение от пример № 2 урок Линейно нечовешки ред du 1-та поръчка)
Решение: Това уравнение е линейно и нехомогенно и има познат вид: 
На първия етап е необходимо да се реши по-просто уравнение: 
Това е, глупаво нулира дясната страна - вместо да пише нула.
Уравнението Ще се обадя спомагателно уравнение.
В този пример трябва да решите следния спомагателен капитал:
Преди нас уравнение с разделителни променливиЧието решение (надявам се) вече не представлява трудности за вас: 
По този начин: 
- общо решение на спомагателното уравнение.
На втората стъпка заместник Постоянен докато отново Неизвестна функция, която зависи от "x":
Оттук и името на метода - променя константата. Алтернативно, константа може да е някаква функция, която трябва да намерим сега.
В източник Хетерогенно уравнение Да заменим:
Заместител I. 
в уравнение :
Проверете момента - двата компонента в лявата страна са намалени. Ако това не се случи, трябва да търсите грешка по-горе.
В резултат на замяната се получава уравнение с разделителни променливи. Ние споделяме променливи и интегрираме.
Каква благодат, изложителите също са намалени:
Също така добавям "нормална" постоянна до намерената:
На последния етап си спомням замяната си:
Функцията току-що намерена!
По този начин, общото решение: 
Отговор: Общо решение: 
Ако отпечатате два начина за решаване, лесно ще забележите, че и в двата случая открихме същите интеграли. Разликата само в алгоритъма на разтвора.
Сега нещо по-сложно, вторият пример, аз също коментирам:
Пример 2.
Намерете общо решение на диференциалното уравнение 
(Разлика от пример № 8 урок Линейно нечовешки ред du 1-та поръчка)
Решение: Даваме уравнението на формата :
Премахната дясната страна и твърдото спомагателно уравнение:
Общо решение на спомагателното уравнение:
В нехомогенното уравнение ще заменим:
Според правилото на диференциацията, работата: 
Заместител I. В оригиналното нехомогенно уравнение:
Двата компонента в лявата страна са намалени, това означава, че сме на прав път: 
Ние се интегрираме в части. Вкусното писмо от формулата за интеграция в части вече е включено в решението, така че ние използваме например буквите "А" и "Бъди":
Сега помнете замяната:
Отговор: Общо решение:
И един пример за независимо решение:
Пример 3.
Намерете частно решение на диференциално уравнение, съответстващо на дадено първоначално състояние.
,
(Разлика от пример № 4 урок Линейно нечовешки ред du 1-та поръчка)
Решение:
Този du е линеен нехомогенен. Използвайте метода на вариация на произволни константи. Решавам спомагателното уравнение:
Ние споделяме променливи и интегрираме: 
Общо решение: 
В нехомогенно уравнение ще заменим: 
Извършете заместване: 
По този начин, общото решение: 
Ще намерим лично решение, което отговаря на посоченото първоначално състояние: 
Отговор: Частно решение:
Решението в края на урока може да служи като примерна извадка за определение на задачата.
Метод на изменение на произволната константа
за линейно и нехомогенно уравнение на втори ред
с постоянни коефициенти
Често е било необходимо да се чуе мнението, че методът на изменение на произволни константи за уравнението втори ред не е белите дробове. Но аз приемам следното: най-вероятно методът изглежда трудно за мнозина, защото не е толкова често. Но в действителност няма специални трудности - ходът на решаването е ясен, прозрачен, разбираем. И красив.
За да овладеят метода, е желателно да може да се решат нехомогенни уравнения втори поредица от метода на подбор на частно решение по външен вид на дясната част. Този метод е обсъден подробно в статията. Не-равномерно 2-ри ред. Спомням си, че линейното нехомогенно уравнение на втория ред с постоянни коефициенти е:
Методът на подбор, който се счита за гореспоменатия урок, преминава само в ограничен в случаите, когато полиномите, експонентите, синусите, косините са разположени от дясната страна. Но какво да правя, кога да направя, например, фракция, логаритъм, допирателна? В такава ситуация методът на вариация на постоянното идва да помогне.
Пример 4.
Намерете общо решение на диференциалното уравнение втори ред 
Решение: В дясната част на това уравнение има фракция, така че може да се каже веднага, че методът за избор на частно решение не се търкаля. Използвайте метода на вариация на произволни константи.
Нищо не предвещава гръмотевиците, началото на решението е напълно обичайно:
намирам общо решение съответния униформа Уравнения: 
Също така ще решим характерното уравнение: 
- Получени конюгатни сложни корени, така че общото решение:
Обърнете внимание на вписването на общото решение - ако има скоби, тогава ги разкрийте.
Сега правим почти същия трик, както за уравнението от първия ред: променяйте константи, като ги замените с неизвестни функции. I.e, общо решение на хетерогенноще се търсят уравнения във формата:
Където - докато отново Неизвестни функции.
Прилича на депониране на битови отпадъци, но сега всичко е сортирано.
Неизвестните са изпълнени функции. Нашата цел е да намерим деривати, а дериватите трябва да отговарят на първото и второто уравнение на системата.
Откъде идват хидраса? Щъркел ги носи. Разглеждаме полученото по-рано решение и записваме:
Намерете деривати:
С лявата част са изработени. Какво да правим?
- Това е дясната страна на първоначалното уравнение, в този случай:
Коефициентът е коефициент с второто производно:
На практика почти винаги и нашият пример не е изключение.
Всичко се оказа, сега можете да създадете система: 
Системата обикновено решава според Крамер ФормулиИзползване на стандартен алгоритъм. Единствената разлика е, че вместо числа имаме функции.
Ние намираме основния детерминант на системата: 
Ако сте забравили как се разкрива детерминатът "два до две", консултирайте се с урок Как да изчислим детерминанта? Връзката води до борда на сянка \u003d)
Така че: това означава, че системата има едно решение.
Намерете дериват: 
Но това не е всичко, докато не намерихме само дериват.
Самата функция се възстановява чрез интеграция:
Ние разбираме с втората функция: 
Тук добавяме "нормална" постоянна
На последния етап, помня решения, в каква форма търсихме общото решение на нехомогенното уравнение? По такъв:
Необходимите функции просто намерени! 
Остава да извърши заместване и да напишете отговора:
Отговор: Общо решение:
По принцип, в отговор е възможно да се разкрият скоби.
Пълната проверка на отговора се извършва съгласно стандартната схема, която е била разгледана в урока. Не-равномерно 2-ри ред. Но проверката ще бъде трудна, защото има доста тежки деривати за намиране и извършване на обемист заместител. Това е неприятна функция, когато решите такива дифузори.
Пример 5.
Решаване на диференциалното уравнение чрез изменение на произволната константа
Това е пример за независимо решение. Всъщност и в дясната част, фракцията. Спомняме си тригонометричната формула, тя, между другото, ще трябва да се приложи в хода на решението.
Методът на изменение на произволната константа е най-универсалният метод. Те могат да разрешат всяко уравнение, което е решено метод за избор на частно решение по външен вид на дясната част. Възниква въпросът и защо да не използваме метода на изменение на произволни константи? Отговорът е очевиден: подборът на частно решение, което се смяташе за урока Нехомогенни уравнения втори редЗначително ускорява разтвора и намалява записа - няма трахч с детерминанти и интеграли.
Разгледайте два примера с задача на Cauchy..
Пример 6.
Намерете частно решение на диференциално уравнение, съответстващо на посочените първоначални условия.
, 
Решение: Отново, фракция и експонати на интересно място.
Използвайте метода на вариация на произволни константи.
намирам общо решение съответния униформа Уравнения: 
- Получават се различни валидни корени, така че общото решение:
Общо решение на хетерогенно Уравненията гледат както във формата: където - докато отново Неизвестни функции.
Направете система:
В такъв случай:
,
Намерете деривати: 
, 
По този начин: 
Система, разтворим от роботни формули:
Така системата има едно решение.
Възстановяваме функцията чрез интеграция:
Използван тук метод за сумиране на функция под знака на диференциал.
Възстановяваме втората функция за интеграция: 
Такъв интеграл е решен чрез замяна на променливата:
От самото заместване, ние изразяваме:
По този начин: 
Този интеграл може да бъде намерен. метод за разпределение на пълен квадратНо в примери с дифузори, които предпочитам да поставя част метод на несигурни коефициенти:
Намерени и двете функции:
В резултат на това общото решение на нехомогенното уравнение:
Ще намерим частно решение, което отговаря на първоначалните условия. .
Технически, разтворът на разтвора се извършва по стандартния начин, който се разглежда в изделието. Диференциални уравнения в нехомогенна възраст.
Задръжте, сега ще намерим дериват на откритото общо решение:
Тук е такова позор. Не е необходимо да се опрости, по-лесно е незабавно да се направи система от уравнения. В съответствие с първоначалните условия :
Заменете основите, намерени константи 
Като цяло:
В отговор логаритмите могат да се използват малко.
Отговор: Частно решение: 
Както можете да видите, трудностите могат да възникнат в интеграли и деривати, но по никакъв начин в алгоритъма на вариацията на произволни константи. Не ме води, това е цялата колекция на Кузнецов!
За релаксация, крайният, по-прост пример за независимо решение:
Пример 7.
Решаване на задачата на cauchy
, 
Пример е прост, но творчески, кога да направите система, внимателно погледнете го, преди да решите ;-),
В резултат на това общото решение:
Намерете частно решение, което отговаря на първоначалните условия .
Заместване на установените стойности на константи в общото решение:
Отговор: Частно решение:
Метод на изменение на произволната константа
Метод на изменение на произволни константи за изграждане на разтвор на линейно нехомогенно диференциално уравнение
а. н. (t.)z. (н.) (t.) + а. н. − 1 (t.)z. (н. − 1) (t.) + ... + а. 1 (t.)z."(t.) + а. 0 (t.)z.(t.) = е.(t.)
тя се състои в замяна на произволна константа ° С. к. Като цяло
z.(t.) = ° С. 1 z. 1 (t.) + ° С. 2 z. 2 (t.) + ... + ° С. н. z. н. (t.)
съответното хомогенно уравнение
а. н. (t.)z. (н.) (t.) + а. н. − 1 (t.)z. (н. − 1) (t.) + ... + а. 1 (t.)z."(t.) + а. 0 (t.)z.(t.) = 0
на помощни функции ° С. к. (t.) получени от които отговарят на линейната алгебрична система
Определянето на системата (1) е функциите на функциите z. 1 ,z. 2 ,...,z. н. който осигурява неговата недвусмислена режима.
Ако сте примитивни, взети при фиксирани стойности на постоянна интеграция, след това функцията
това е решение на първоначалното линейно нехомогенно диференциално уравнение. Така интегрирането на нехомогенното уравнение в присъствието на общ разтвор на съответното хомогенно уравнение се намалява до квадратури.
Метод на изменение на произволната константа за изграждане на разтвори на система от линейни диференциални уравнения във векторна нормална форма
състои се в изграждането на частно решение (1) под формата на
където Z.(t.) - основата на разтворите на съответното хомогенно уравнение, записано под формата на матрица, и векторна функция, заместваща вектора на произволни константи, се определя от съотношението. Второ частно решение (с нулеви начални стойности t. = t. 0 има видове
За система с постоянни коефициенти последният израз е опростен:
Матрицата Z.(t.)Z. - 1 (τ) Наречен cauchy matrix. Оператор Л. = А.(t.) .
Разглежда се начинът за решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнения на по-високи поръчки с постоянни коефициенти чрез вариация на постоянния лагранж. Методът Lagrange е приложим и за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения, ако е известна фундаментална система от разтвори на хомогенно уравнение.
СъдържаниеВижте също:
Метод на лаграндъра (изменение на постоянното)
Помислете за линейно нехомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти на арбитратен N-такъв ред:
(1)
.
Методът на изменение на постоянния, разгледан от нас за уравнението от първото поръчка, също се прилага за уравнения на по-високи поръчки.
Разтворът се извършва на два етапа. На първия етап изхвърляме дясната страна и решаваме хомогенно уравнение. В резултат на това получаваме разтвор, съдържащ N произволни константи. Във втория етап варираме постоянна. Това означава, че тези константи са функции от независима променлива x и намират формата на тези функции.
Въпреки че разглеждаме тук уравненията с постоянни коефициенти, но методът на Lagrange също се прилага за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения. За това обаче трябва да се извести фундаментална система на разтвори на хомогенно уравнение.
Стъпка 1. Разтвор на хомогенно уравнение
Както в случая на уравненията от първия ред, първоначално търсим общо решение на хомогенно уравнение, приравнявайки правото нехомогенна част до нула:
(2)
.
Общото решение на такова уравнение има формата:
(3)
.
Тук - произволна константа; - n линейно независими решения на хомогенно уравнение (2), които образуват основна система на решения на това уравнение.
Стъпка 2. Вариация на постоянните - заместващи постоянни функции
Във втория етап ще се справим с вариацията на постоянните. С други думи, ние ще заменим постоянната функция от независима променлива x:
.
Това означава, че търсим решението на първоначалното уравнение (1) в следната форма:
(4)
.
Ако заменим (4) в (1), получаваме едно диференциално уравнение за N функции. В същото време можем да свържем тези функции с допълнителни уравнения. След това ще бъдат N уравнения, от които могат да се определят N функции. Допълнителни уравнения могат да бъдат направени по различни начини. Но ние ще го направим, така че решението да има най-простия поглед. За това, когато диференцирането трябва да се равнява на нулеви термини, съдържащи деривативи от функции. Ще го демонстрираме.
За да замените очакваното решение (4) в първоначалното уравнение (1), трябва да намерим производните на първите n поръчки на функцията, записана във формата (4). Разграничаване (4), прилагане на правилата за диференциране на сумата и работата: \\ t
.
Ние групираме членове. Първо, отблъскваме членовете с деривати от, и след това - членове с деривати от:
.
Предлагаме първо място за функции:
(5.1)
.
След това изразът за първото производно на софтуера ще има по-проста форма:
(6.1)
.
По същия начин откриваме второто дериват:
.
Да оставим второто условие:
(5.2)
.
Тогава
(6.2)
.
И т.н. При допълнителни условия ние приравняваме членовете, съдържащи производни функции до нула.
По този начин, ако изберете следните допълнителни уравнения за функции:
(5.k) ,
Първите деривати на софтуера ще имат най-лесният изглед:
(6.k) .
Тук .
Ние намираме N-дериват:
(6.N)
.
Ние заменяме в първоначалното уравнение (1):
(1)
;
.
Ние отчитаме, че всички функции отговарят на уравнението (2):
.
Тогава сумата на членовете, съдържаща дава нула. В резултат на това получаваме:
(7)
.
В резултат на това получихме система от линейни уравнения за деривати:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.N-1) ;
(7 ') .
Решаване на тази система, ние намираме изрази за производни като функции от x. Интегриране, получаваме:
.
Тук - вече не зависи от X постоянната. Заместване на (4), получаваме общо решение на уравнението на източника.
Имайте предвид, че за да се определят стойностите на производните, ние не сме използвали никъде, че коефициентите, които съм постоянен. Следователно методът на Lagrange е приложим за решаване на линейни нехомогенни уравненияАко е известна фундаментална система за разтвори на хомогенно уравнение (2).
Примери
Решаване на уравнения чрез вариацията на постоянната (лагранж).
Решаване на примери \u003e\u003e\u003e
Решение на уравненията на по-високи поръчки от Bernoulli
Разтвор на линейни нехомогенни диференциални уравнения на по-високи поръчки с постоянни коефициенти на линейно заместване
Зареждане...