Ecuación de movimiento en un círculo. Movimiento circular uniforme

El movimiento de un cuerpo en un círculo con una velocidad de módulo constante. es un movimiento en el que el cuerpo describe los mismos arcos en intervalos de tiempo iguales.

Se determina la posición del cuerpo en la circunferencia. vector de radio\ (~ \ vec r \) dibujado desde el centro del círculo. El módulo del vector de radio es igual al radio del círculo R(Figura 1).

Durante el tiempo Δ t cuerpo moviéndose desde el punto A exactamente V, hace que un desplazamiento \ (~ \ Delta \ vec r \) sea igual a la cuerda AB, y recorre un camino igual a la longitud del arco l.

El vector de radio se gira en un ángulo Δ φ ... El ángulo se expresa en radianes.

La velocidad \ (~ \ vec \ upsilon \) del movimiento del cuerpo a lo largo de la trayectoria (círculo) se dirige tangencialmente a la trayectoria. Se llama velocidad linear... El módulo de velocidad lineal es igual a la relación de la longitud del arco de un círculo l al intervalo de tiempo Δ t por lo que se pasa este arco:

\ (~ \ upsilon = \ frac (l) (\ Delta t). \)

Escalar cantidad física, numéricamente igual a la relación entre el ángulo de rotación del vector de radio y el intervalo de tiempo durante el cual ocurrió esta rotación, se llama velocidad angular:

\ (~ \ omega = \ frac (\ Delta \ varphi) (\ Delta t). \)

En SI, la unidad de velocidad angular es radianes por segundo (rad / s).

Con un movimiento uniforme alrededor de un círculo, la velocidad angular y el módulo de la velocidad lineal son valores constantes: ω = const; υ = const.

La posición del cuerpo se puede determinar si el módulo del vector de radio \ (~ \ vec r \) y el ángulo φ que compone con el eje Buey(coordenada angular). Si en el momento inicial del tiempo t 0 = 0 la coordenada angular es φ 0, y en el momento del tiempo t es igual φ , entonces el ángulo de rotación Δ φ radio-vector en el tiempo \ (~ \ Delta t = t - t_0 = t \) es igual a \ (~ \ Delta \ varphi = \ varphi - \ varphi_0 \). Entonces de la última fórmula se puede obtener ecuación cinemática de movimiento punto material circunferencialmente:

\ (~ \ varphi = \ varphi_0 + \ omega t. \)

Te permite determinar la posición del cuerpo en cualquier momento. t... Considerando que \ (~ \ Delta \ varphi = \ frac (l) (R) \), obtenemos \ [~ \ omega = \ frac (l) (R \ Delta t) = \ frac (\ upsilon) (R) \ Flecha correcta \]

\ (~ \ upsilon = \ omega R \) - la fórmula para la relación entre la velocidad lineal y angular.

Intervalo de tiempo Τ , durante el cual el cuerpo hace una revolución completa, se llama período de rotación:

\ (~ T = \ frac (\ Delta t) (N), \)

donde norte- el número de revoluciones realizadas por el cuerpo durante el tiempo Δ t.

Durante el tiempo Δ t = Τ el cuerpo sigue el camino \ (~ l = 2 \ pi R \). Por eso,

\ (~ \ upsilon = \ frac (2 \ pi R) (T); \ \ omega = \ frac (2 \ pi) (T). \)

La magnitud ν , la inversa del período, que muestra cuántas revoluciones da el cuerpo por unidad de tiempo, se llama Velocidad rotacional:

\ (~ \ nu = \ frac (1) (T) = \ frac (N) (\ Delta t). \)

Por eso,

\ (~ \ upsilon = 2 \ pi \ nu R; \ \ omega = 2 \ pi \ nu. \)

Literatura

Aksenovich L.A. Física en escuela secundaria: Teoría. Tareas. Pruebas: Libro de texto. subsidio para instituciones que proporcionan el recibo de obs. medio ambiente, educación / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Minsk: Adukatsya i vyhavanne, 2004. - págs. 18-19.

Dado que la velocidad lineal cambia de dirección uniformemente, el movimiento a lo largo de un círculo no puede llamarse uniforme, es igualmente acelerado.

Velocidad angular

Elija un punto en el círculo 1 ... Construyamos un radio. En una unidad de tiempo, el punto se moverá al punto 2 ... En este caso, el radio describe el ángulo. La velocidad angular es numéricamente igual al ángulo de rotación del radio por unidad de tiempo.

Periodo y frecuencia

Periodo de rotacion T- este es el tiempo durante el cual el cuerpo hace una revolución.

La velocidad de rotación es el número de revoluciones por segundo.

La frecuencia y el período están interrelacionados por la relación

Relación de velocidad angular

Velocidad linear

Cada punto del círculo se mueve a cierta velocidad. Esta velocidad se llama lineal. La dirección del vector de velocidad lineal siempre coincide con la tangente al círculo. Por ejemplo, las chispas de una amoladora se mueven en la misma dirección que la velocidad instantánea.

Considere un punto en un círculo que hace una revolución, el tiempo que toma es un período T El camino que supera el punto es la circunferencia.

Aceleración centrípeta

Cuando se mueve a lo largo de un círculo, el vector de aceleración siempre es perpendicular al vector de velocidad, dirigido al centro del círculo.

Usando las fórmulas anteriores, se pueden derivar las siguientes relaciones

Los puntos que se encuentran en una línea recta que sale del centro del círculo (por ejemplo, estos pueden ser puntos que se encuentran en el radio de una rueda) tendrán la misma velocidad angular, período y frecuencia. Es decir, girarán de la misma forma, pero con diferentes velocidades lineales. Cuanto más lejos esté el punto del centro, más rápido se moverá.

La ley de la suma de velocidades también es válida para movimiento rotatorio... Si el movimiento de un cuerpo o un marco de referencia no es uniforme, entonces se aplica la ley para velocidades instantáneas. Por ejemplo, la velocidad de una persona que camina a lo largo del borde de un carrusel giratorio es igual a la suma vectorial de la velocidad lineal de rotación del borde del carrusel y la velocidad de movimiento de la persona.

La Tierra participa en dos movimientos de rotación principales: diurno (alrededor de su eje) y orbital (alrededor del Sol). El período de rotación de la Tierra alrededor del Sol es de 1 año o 365 días. La Tierra gira alrededor de su eje de oeste a este, el período de esta rotación es de 1 día o 24 horas. La latitud es el ángulo entre el plano ecuatorial y la dirección desde el centro de la Tierra hasta un punto de su superficie.

Según la segunda ley de Newton, la fuerza es la causa de cualquier aceleración. Si un cuerpo en movimiento experimenta una aceleración centrípeta, entonces la naturaleza de las fuerzas que causan esta aceleración puede ser diferente. Por ejemplo, si un cuerpo se mueve en círculo sobre una cuerda atada a él, entonces la fuerza que actúa es la fuerza elástica.

Si un cuerpo que yace sobre un disco gira con el disco alrededor de su eje, esa fuerza es la fuerza de fricción. Si la fuerza deja de actuar, el cuerpo se moverá en línea recta.

Considere el movimiento de un punto en un círculo de A a B. La velocidad lineal es igual a

Pasemos ahora a un sistema estacionario conectado a la tierra. La aceleración total del punto A seguirá siendo la misma tanto en magnitud como en dirección, ya que al pasar de un marco de referencia inercial a otro, la aceleración no cambia. Desde el punto de vista de un observador estacionario, la trayectoria del punto A ya no es un círculo, sino una curva más compleja (cicloide) a lo largo de la cual el punto se mueve de manera desigual.

Movimiento uniforme circunferencialmente Es el ejemplo más simple. Por ejemplo, el extremo de la manecilla del reloj se mueve a lo largo del círculo a lo largo de la esfera. La velocidad de movimiento del cuerpo en un círculo se llama Linea de velocidad.

Con un movimiento uniforme del cuerpo alrededor de la circunferencia, el módulo de la velocidad del cuerpo no cambia con el tiempo, es decir, v = constante, y solo la dirección del vector de velocidad cambia en este caso (ar = 0), y el cambio en el vector de velocidad en la dirección se caracteriza por una cantidad llamada aceleración centrípeta() una no una CA. En cada punto, el vector de aceleración centrípeta se dirige al centro del círculo a lo largo del radio.

El módulo de aceleración centrípeta es

a CA = v 2 / R

Donde v es la velocidad lineal, R es el radio del círculo

Arroz. 1,22. El movimiento del cuerpo en círculo.

Al describir el movimiento de un cuerpo en un círculo, se utiliza ángulo de rotación del radio- el ángulo φ, por el cual, en el tiempo t, el radio gira desde el centro del círculo hasta el punto en el que se encuentra el cuerpo en movimiento en ese momento. El ángulo de rotación se mide en radianes. igual al ángulo entre dos radios de un círculo, la longitud del arco entre los cuales es igual al radio del círculo (Fig. 1.23). Es decir, si l = R, entonces

1 radianes = l / R

Porque circunferencia es igual a

l = 2πR

360 о = 2πR / R = 2π rad.

Por eso

Me alegro. = 57,2958 o = 57 o 18 '

Velocidad angular El movimiento uniforme del cuerpo a lo largo de la circunferencia es el valor de ω, igual a la relación entre el ángulo de rotación del radio φ y el intervalo de tiempo durante el cual se realizó esta rotación:

ω = φ / t

La unidad de medida de la velocidad angular es radianes por segundo [rad / s]. El módulo de velocidad lineal está determinado por la relación entre la longitud de la trayectoria recorrida l y el intervalo de tiempo t:

v = l / t

Velocidad linear con movimiento uniforme a lo largo de un círculo, se dirige tangencialmente a un punto dado del círculo. Cuando un punto se mueve, la longitud l del arco circular atravesado por el punto está relacionada con el ángulo de rotación φ por la expresión

l = Rφ

donde R es el radio del círculo.

Entonces, en el caso de movimiento uniforme del punto, las velocidades lineal y angular están relacionadas por la relación:

v = l / t = Rφ / t = Rω o v = Rω

Arroz. 1,23. Radián.

Periodo de circulacion- este es el período de tiempo T, durante el cual el cuerpo (punto) hace una revolución alrededor de la circunferencia. Frecuencia de llamada Es el recíproco del período de revolución: el número de revoluciones por unidad de tiempo (por segundo). La frecuencia de la llamada se indica con la letra n.

n = 1 / T

En un período, el ángulo de rotación φ de un punto es 2π rad, por lo tanto 2π = ωT, de donde

T = 2π / ω

Es decir, la velocidad angular es

ω = 2π / T = 2πn

Aceleración centrípeta se puede expresar en términos del período T y la frecuencia de circulación n:

una CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

El movimiento circular es el caso más simple de movimiento corporal curvilíneo. Cuando el cuerpo se mueve alrededor de un punto, junto con el vector de desplazamiento, es conveniente introducir el desplazamiento angular ∆ φ (el ángulo de rotación alrededor del centro del círculo), medido en radianes.

Conociendo el movimiento angular, puede calcular la longitud del arco circular (trayectoria) que ha recorrido el cuerpo.

∆ l = R ∆ φ

Si el ángulo de rotación es pequeño, entonces ∆ l ≈ ∆ s.

Ilustremos lo dicho:

Velocidad angular

En el movimiento curvilíneo, se introduce el concepto de velocidad angular ω, es decir, la tasa de cambio en el ángulo de rotación.

Definición. Velocidad angular

La velocidad angular en un punto dado de la trayectoria es el límite de la relación entre el desplazamiento angular ∆ φ y el intervalo de tiempo ∆ t durante el cual ocurrió. ∆ t → 0.

ω = ∆ φ ∆ t, ∆ t → 0.

La unidad de medida de la velocidad angular es radianes por segundo (rad s).

Existe una relación entre las velocidades angular y lineal de un cuerpo cuando se mueve en círculo. Fórmula para encontrar la velocidad angular:

Con un movimiento uniforme alrededor de la circunferencia, las velocidades vy ω permanecen sin cambios. Solo cambia la dirección del vector de velocidad lineal.

En este caso, un movimiento uniforme alrededor de la circunferencia del cuerpo actúa como centrípeto o aceleración normal dirigido a lo largo del radio del círculo hasta su centro.

una norte = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

El módulo de aceleración centrípeta se puede calcular mediante la fórmula:

una norte = v 2 R = ω 2 R

Demostremos estas relaciones.

Consideremos cómo cambia el vector v → en un pequeño intervalo de tiempo ∆ t. ∆ v → = v B → - v A →.

En los puntos A y B, el vector de velocidad se dirige tangencialmente al círculo, mientras que los módulos de velocidad en ambos puntos son iguales.

Por definición de aceleración:

a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Echemos un vistazo a la imagen:

Los triángulos OAB y BCD son similares. De esto se deduce que O A A B = B C C D.

Si el valor del ángulo ∆ φ es pequeño, la distancia A B = ∆ s ≈ v ∆ t. Teniendo en cuenta que O A = R y C D = ∆ v para lo anterior triángulos similares obtenemos:

R v ∆ t = v ∆ vo ∆ v ∆ t = v 2 R

Cuando ∆ φ → 0, la dirección del vector ∆ v → = v B → - v A → se acerca a la dirección al centro del círculo. Tomando que ∆ t → 0, obtenemos:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t; ∆ t → 0; una norte → = v 2 R.

Con un movimiento uniforme a lo largo de un círculo, el módulo de aceleración permanece constante y la dirección del vector cambia con el tiempo, manteniendo la orientación hacia el centro del círculo. Por eso esta aceleración se llama centrípeta: el vector en cualquier momento se dirige al centro del círculo.

El registro de la aceleración centrípeta en forma vectorial se ve así:

a norte → = - ω 2 R →.

Aquí R → es el vector de radio de un punto en un círculo con el origen en su centro.

En el caso general, la aceleración al moverse alrededor de un círculo consta de dos componentes: normal y tangencial.

Considere el caso en el que el cuerpo se mueve de manera desigual alrededor del círculo. Introduzcamos el concepto de aceleración tangencial (tangencial). Su dirección coincide con la dirección de la velocidad lineal del cuerpo y en cada punto del círculo se dirige tangencialmente a él.

a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆ t → 0

Aquí ∆ v τ = v 2 - v 1 es el cambio en el módulo de velocidad en el intervalo ∆ t

La dirección de la aceleración total está determinada por la suma vectorial de la aceleración normal y tangencial.

El movimiento circular en un plano se puede describir usando dos coordenadas: xey. En cada momento, la velocidad del cuerpo se puede descomponer en componentes v x y v y.

Si el movimiento es uniforme, los valores v x y v y, así como las coordenadas correspondientes, cambiarán en el tiempo de acuerdo con una ley armónica con un período T = 2 π R v = 2 π ω

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