Todas las propiedades del trapecio con prueba. Qué es un trapezoide: propiedades de un cuadrilátero, teoremas y fórmulas

\[(\Large(\text(Trapezoide libre)))\]

Definiciones

Un trapezoide es un cuadrilátero convexo en el que dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos.

Los lados paralelos de un trapezoide se llaman bases y los otros dos lados se llaman lados laterales.

La altura de un trapezoide es la perpendicular trazada desde cualquier punto de una base a otra base.

Teoremas: propiedades de un trapecio

1) La suma de los ángulos laterales es \(180^\circ\) .

2) Las diagonales dividen el trapezoide en cuatro triángulos, dos de los cuales son semejantes y los otros dos son iguales en tamaño.

Prueba

1) porque \(AD\parallel BC\), entonces los ángulos \(\angle BAD\) y \(\angle ABC\) son unilaterales para estas rectas y la transversal \(AB\), por lo tanto, \(\angle MAL +\angle ABC=180^\circ\).

2) porque \(AD\parallel BC\) y \(BD\) son secantes, entonces \(\angle DBC=\angle BDA\) se encuentran transversalmente.
También \(\angle BOC=\angle AOD\) como vertical.
Por lo tanto, en dos ángulos \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Probemos que \(S_(\triángulo AOB)=S_(\triángulo COD)\). Sea \(h\) la altura del trapezoide. Entonces \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Entonces: \

Definición

La línea media de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados.

Teorema

La línea media del trapezoide es paralela a las bases e igual a su media suma.

Prueba*

1) Demostremos el paralelismo.

Dibujemos por el punto \(M\) la recta \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Entonces, según el teorema de Tales (ya que \(MN"\paralelo AD\paralelo BC, AM=MB\)) el punto \(N"\) es el medio del segmento \(CD\). Esto significa que los puntos \(N\) y \(N"\) coincidirán.

2) Probemos la fórmula.

Hagamos \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Dejar \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Entonces, según el teorema de Tales, \(M"\) y \(N"\) son los puntos medios de los segmentos \(BB"\) y \(CC"\), respectivamente. Esto significa que \(MM"\) es la línea media de \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) es la línea media de \(\triangle DCC"\) . Es por eso: \

Porque \(MN\paralelo AD\paralelo BC\) y \(BB", CC"\perp AD\), entonces \(B"M"N"C"\) y \(BM"N"C\) son rectángulos. Según el teorema de Tales, de \(MN\parallel AD\) y \(AM=MB\) se sigue que \(B"M"=M"B\) . Por lo tanto, \(B"M"N"C "\) y \(BM"N"C\) son rectángulos iguales, por lo tanto, \(M"N"=B"C"=BC\) .

De este modo:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Teorema: propiedad de un trapecio arbitrario

Los puntos medios de las bases, el punto de intersección de las diagonales del trapezoide y el punto de intersección de las extensiones de los lados laterales se encuentran en la misma línea recta.

Prueba*
Se recomienda familiarizarse con la demostración después de estudiar el tema "Semejanza de triángulos".

1) Demostremos que los puntos \(P\), \(N\) y \(M\) se encuentran en la misma recta.

Dibujemos una línea recta \(PN\) (\(P\) es el punto de intersección de las extensiones de los lados laterales, \(N\) es el medio de \(BC\)). Deja que interseca el lado \(AD\) en el punto \(M\) . Demostremos que \(M\) es el punto medio de \(AD\) .

Considere \(\triangle BPN\) y \(\triangle APM\) . Son similares en dos ángulos (\(\angle APM\) – general, \(\angle PAM=\angle PBN\) correspondientes en \(AD\parallel BC\) y \(AB\) secante). Medio: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Considere \(\triangle CPN\) y \(\triangle DPM\) . Son similares en dos ángulos (\(\angle DPM\) – general, \(\angle PDM=\angle PCN\) correspondientes en \(AD\parallel BC\) y \(CD\) secante). Medio: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

De aquí \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Pero \(BN=NC\) por lo tanto \(AM=DM\) .

2) Demostremos que los puntos \(N, O, M\) se encuentran en la misma recta.

Sea \(N\) el punto medio de \(BC\) y \(O\) el punto de intersección de las diagonales. Dibujemos una línea recta \(NO\) , cortará el lado \(AD\) en el punto \(M\) . Demostremos que \(M\) es el punto medio de \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) a lo largo de dos ángulos (\(\angle OBN=\angle ODM\) que se encuentran transversalmente en \(BC\parallel AD\) y \(BD\) secante; \(\angle BON=\angle DOM\) como vertical). Medio: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Asimismo \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Medio: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

De aquí \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Pero \(BN=CN\) por lo tanto \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(trapezoide isósceles)))\]

Definiciones

Un trapezoide se dice rectangular si uno de sus ángulos es recto.

Un trapezoide se llama isósceles si sus lados son iguales.

Teoremas: propiedades de un trapezoide isósceles

1) Un trapezoide isósceles tiene ángulos base iguales.

2) Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales.

3) Dos triángulos formados por diagonales y una base son isósceles.

Prueba

1) Considere el trapezoide isósceles \(ABCD\).

Desde los vértices \(B\) y \(C\), dejamos caer las perpendiculares \(BM\) y \(CN\) al lado \(AD\), respectivamente. Dado que \(BM\perp AD\) y \(CN\perp AD\) , entonces \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , entonces \(MBCN\) es un paralelogramo, por lo tanto, \(BM = CN\) .

Considere los triángulos rectángulos \(ABM\) y \(CDN\). Dado que sus hipotenusas son iguales y el cateto \(BM\) es igual al cateto \(CN\) , entonces estos triángulos son iguales, por lo tanto, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

Porque \(AB=CD, \ángulo A=\ángulo D, AD\)- general, luego según el primer signo. Por lo tanto, \(AC=BD\) .

3) porque \(\triángulo ABD=\triángulo ACD\), entonces \(\angle BDA=\angle CAD\) . Por lo tanto, el triángulo \(\triangle AOD\) es isósceles. De manera similar, se demuestra que \(\triangle BOC\) es isósceles.

Teoremas: signos de un trapezoide isósceles

1) Si un trapecio tiene ángulos en la base iguales, entonces es isósceles.

2) Si un trapezoide tiene diagonales iguales, entonces es isósceles.

Prueba

Considere el trapezoide \(ABCD\) tal que \(\angle A = \angle D\) .

Completemos el trapecio hasta el triángulo \(AED\) como se muestra en la figura. Dado que \(\angle 1 = \angle 2\) , entonces el triángulo \(AED\) es isósceles y \(AE = ED\) . Los ángulos \(1\) y \(3\) son iguales a los ángulos correspondientes de las rectas paralelas \(AD\) y \(BC\) y transversales \(AB\). De manera similar, los ángulos \(2\) y \(4\) son iguales, pero \(\angle 1 = \angle 2\), entonces \(\ángulo 3 = \ángulo 1 = \ángulo 2 = \ángulo 4\), por lo tanto, el triángulo \(BEC\) también es isósceles y \(BE = EC\) .

Eventualmente \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), es decir, \(AB = CD\), que es lo que faltaba demostrar.

2) Sea \(AC=BD\) . Porque \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), entonces denotamos su coeficiente de similitud como \(k\) . Entonces, si \(BO=x\) , entonces \(OD=kx\) . Similar a \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Porque \(AC=BD\) , luego \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Esto significa que \(\triangle AOD\) es isósceles y \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Así, según el primer signo \(\triángulo ABD=\triángulo ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- general). Entonces, \(AB=CD\) , ¿por qué?

- (trapecio griego). 1) en geometría, un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y dos no. 2) una figura adaptada para ejercicios gimnásticos. Diccionario de palabras extranjeras incluidas en el idioma ruso. Chudinov A.N., 1910. TRAPECIO... ... Diccionario de palabras extranjeras de la lengua rusa.

trapezoide- Trapezoide. TRAPECIO (del griego trapecio, literalmente mesa), cuadrilátero convexo en el que dos lados son paralelos (las bases del trapezoide). El área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de las bases (línea media) y la altura. ... Diccionario enciclopédico ilustrado

Cuadrilátero, proyectil, travesaño Diccionario de sinónimos rusos. sustantivo trapecio, número de sinónimos: 3 travesaño (21) ... Diccionario de sinónimos

- (del griego trapecio, literalmente mesa), un cuadrilátero convexo en el que dos lados son paralelos (las bases de un trapezoide). El área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de las bases (línea media) y la altura... enciclopedia moderna

- (del griego trapecio, literalmente mesa), un cuadrilátero en el que dos lados opuestos, llamados bases del trapezoide, son paralelos (en la figura AD y BC), y los otros dos no son paralelos. La distancia entre las bases se llama altura del trapezoide (en... ... Gran diccionario enciclopédico

TRAPEZO, figura plana cuadrangular en la que dos lados opuestos son paralelos. El área de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de los lados paralelos multiplicada por la longitud de la perpendicular entre ellos... Diccionario enciclopédico científico y técnico.

TRAPECIO, trapecio, mujer (Del griego mesa trapeza). 1. Cuadrilátero con dos lados paralelos y dos no paralelos (mat.). 2. Un aparato de gimnasia formado por un travesaño suspendido de dos cuerdas (deportes). Acrobático... ... Diccionario explicativo de Ushakov

TRAPECIO, y, femenino. 1. Un cuadrilátero con dos lados paralelos y dos no paralelos. Las bases del trapezoide (sus lados paralelos). 2. Un aparato de circo o gimnasia es una barra transversal suspendida de dos cables. Diccionario explicativo de Ozhegov. CON … Diccionario explicativo de Ozhegov

Mujer, geom. un cuadrilátero con lados desiguales, dos de los cuales son paralelos (paralelos). Trapezoide, un cuadrilátero similar en el que todos los lados se separan. Trapezoedro, cuerpo facetado por trapecios. Diccionario explicativo de Dahl. Y EN. Dahl. 1863 1866… Diccionario explicativo de Dahl

- (Trapecio), Estados Unidos, 1956, 105 min. Melodrama. El aspirante a acróbata Tino Orsini se une a una compañía de circo donde trabaja Mike Ribble, un famoso ex trapecista. Mike actuó una vez con el padre de Tino. El joven Orsini quiere a Mike... Enciclopedia del cine

Un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y los otros dos lados no son paralelos. Se llama la distancia entre lados paralelos. altura T. Si los lados paralelos y la altura contienen metros a, b y h, entonces el área de T contiene metros cuadrados... Enciclopedia de Brockhaus y Efron

Libros

Conjunto de mesas. Geometría. Octavo grado. 15 tablas + metodología, . Las tablas están impresas sobre cartón grueso impreso de 680 x 980 mm. El kit incluye un folleto con pautas didácticas para profesores. Álbum educativo de 15 hojas. Polígonos...
Conjunto de mesas. Matemáticas. Polígonos (7 tablas), . Álbum educativo de 7 hojas. Polígonos convexos y no convexos. Cuadriláteros. Paralelogramo y trapezoide. Signos y propiedades de un paralelogramo. Rectángulo. Rombo. Cuadrado. Cuadrado…

Un polígono es parte de un plano delimitado por una línea discontinua cerrada. Los ángulos de un polígono están indicados por los puntos de los vértices del polígono. Los vértices de las esquinas de un polígono y los vértices de un polígono son puntos coincidentes.

Definición. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Propiedades de un paralelogramo

1. Los lados opuestos son iguales.
En la Fig. once AB = CD; ANTES DE CRISTO. = ANUNCIO.

2. Los ángulos opuestos son iguales (dos ángulos agudos y dos obtusos).
En la Fig. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 diagonales (segmentos de línea que conectan dos vértices opuestos) se cruzan y se dividen por la mitad por el punto de intersección.

En la Fig. 11 segmentos A.O. = JEFE.; B.O. = SOBREDOSIS..

Definición. Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos lados opuestos son paralelos y los otros dos no.

Lados paralelos se llaman ella razones, y los otros dos lados son lados.

Tipos de trapecios

1. trapezoide, cuyos lados no son iguales,
llamado versátil(Figura 12).

2. Un trapezoide cuyos lados son iguales se llama isósceles(Figura 13).

3. Un trapezoide en el que un lado forma un ángulo recto con las bases se llama rectangular(Figura 14).

El segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales del trapezoide (Fig.15) se llama línea media del trapezoide ( Minnesota). La línea media del trapezoide es paralela a las bases e igual a su media suma.

Un trapezoide se puede llamar triángulo truncado (Fig. 17), por lo que los nombres de los trapecios son similares a los nombres de los triángulos (los triángulos son escalenos, isósceles, rectangulares).

Área de paralelogramo y trapezoide

Regla. Área de un paralelogramo es igual al producto de su lado por la altura dibujada hacia este lado.

Definiciones relacionadas

Elementos trapezoidales

Los lados paralelos se llaman razones trapecios.
Los otros dos lados se llaman lados.
El segmento que conecta los puntos medios de los lados se llama línea media del trapezoide.
La distancia entre las bases se llama altura del trapezoide.

Tipos de trapecios

trapezoide rectangular

Trapecio isósceles

Un trapezoide cuyos lados son iguales se llama isósceles o isósceles.
Un trapezoide que tiene ángulos rectos en sus lados se llama rectangular.

Propiedades generales

La línea media del trapezoide es paralela a las bases e igual a su media suma.
El segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la mitad de la diferencia de las bases.
Las líneas paralelas que cortan los lados de un ángulo cortan segmentos proporcionales de los lados del ángulo.
Se puede inscribir una circunferencia en un trapezoide si la suma de las bases del trapezoide es igual a la suma de sus lados.

Propiedades y signos de un trapecio isósceles.

La recta que pasa por los puntos medios de las bases es perpendicular a las bases y es el eje de simetría del trapezoide.
La altura bajada desde la parte superior hasta la base más grande la divide en dos segmentos, uno de los cuales es igual a la mitad de la suma de las bases y el otro, la mitad de la diferencia de las bases.
En un trapezoide isósceles, los ángulos en cualquier base son iguales.
En un trapezoide isósceles, las longitudes de las diagonales son iguales.
Si un trapezoide puede inscribirse en una circunferencia, entonces es isósceles.
Se puede describir un círculo alrededor de un trapecio isósceles.
Si las diagonales de un trapecio isósceles son perpendiculares, entonces la altura es igual a la mitad de la suma de las bases.

Círculo inscrito y circunscrito

Cuadrado

Estas fórmulas son iguales, ya que la mitad de la suma de las bases es igual a la línea media del trapezoide.

Consideremos varias direcciones para resolver problemas en los que un trapezoide está inscrito en un círculo.

¿Cuándo se puede inscribir un trapezoide en una circunferencia? Un cuadrilátero puede estar inscrito en una circunferencia si y sólo si la suma de sus ángulos opuestos es 180º. Resulta que Sólo puedes encajar un trapezoide isósceles en un círculo..

El radio de un círculo circunscrito por un trapezoide se puede encontrar como el radio de un círculo circunscrito por uno de los dos triángulos en los que se divide el trapezoide por su diagonal.

¿Dónde está el centro del círculo circunscrito por el trapezoide? Depende del ángulo entre la diagonal del trapezoide y su lado.

Si la diagonal de un trapezoide es perpendicular a su lado, entonces el centro del círculo descrito alrededor del trapezoide se encuentra en el medio de su base mayor. El radio del círculo circunscrito al trapezoide en este caso es igual a la mitad de su base mayor:

Si la diagonal de un trapezoide forma un ángulo agudo con su lado, el centro del círculo descrito alrededor del trapezoide se encuentra dentro del trapezoide.

Si la diagonal de un trapezoide forma un ángulo obtuso con su lado, el centro del círculo circunscrito alrededor del trapezoide se encuentra fuera del trapezoide, detrás de la base grande.

El radio de un círculo circunscrito alrededor de un trapecio se puede encontrar mediante un corolario del teorema de los senos. Del triángulo ACD

Del triángulo ABC

Otra opción para encontrar el radio del círculo circunscrito es

Los senos del ángulo D y del ángulo CAD se pueden encontrar, por ejemplo, a partir de los triángulos rectángulos CFD y ACF:

Al resolver problemas que involucran un trapezoide inscrito en un círculo, también puedes usar el hecho de que el ángulo inscrito es igual a la mitad de su ángulo central correspondiente. Por ejemplo,

Por cierto, también puedes usar los ángulos COD y CAD para encontrar el área de un trapezoide. Usando la fórmula para encontrar el área de un cuadrilátero usando sus diagonales