Condiciones necesarias para el equilibrio de un cuerpo rígido. “Formación de condiciones de equilibrio para un cuerpo sólido” en un curso básico de física escolar

DEFINICIÓN

Equilibrio estable- se trata de un equilibrio en el que un cuerpo, retirado de una posición de equilibrio y abandonado a sí mismo, vuelve a su posición anterior.

Esto ocurre si, con un ligero desplazamiento del cuerpo en cualquier dirección desde la posición original, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se vuelve distinta de cero y se dirige hacia la posición de equilibrio. Por ejemplo, una pelota que se encuentra en el fondo de una depresión esférica (Fig. 1 a).

DEFINICIÓN

Equilibrio inestable- se trata de un equilibrio en el que un cuerpo, sacado de una posición de equilibrio y abandonado a sí mismo, se desviará aún más de la posición de equilibrio.

En este caso, con un ligero desplazamiento del cuerpo desde la posición de equilibrio, la resultante de las fuerzas que se le aplican no es cero y está dirigida desde la posición de equilibrio. Un ejemplo es una bola ubicada en el punto superior de una superficie esférica convexa (Fig. 1 b).

DEFINICIÓN

Equilibrio indiferente- se trata de un equilibrio en el que un cuerpo, sacado de una posición de equilibrio y abandonado a su suerte, no cambia su posición (estado).

En este caso, con pequeños desplazamientos del cuerpo desde su posición original, la resultante de las fuerzas aplicadas al cuerpo permanece igual a cero. Por ejemplo, una pelota que reposa sobre una superficie plana (Fig. 1c).

Figura 1. Diferentes tipos de equilibrio corporal sobre un soporte: a) equilibrio estable; b) equilibrio inestable; c) equilibrio indiferente.

Equilibrio estático y dinámico de los cuerpos.

Si como resultado de la acción de fuerzas el cuerpo no recibe aceleración, puede estar en reposo o moverse uniformemente en línea recta. Por tanto, podemos hablar de equilibrio estático y dinámico.

DEFINICIÓN

equilibrio estático- Se trata de un equilibrio cuando, bajo la influencia de fuerzas aplicadas, el cuerpo está en reposo.

Balance dinámico- Se trata de un equilibrio cuando, debido a la acción de fuerzas, el cuerpo no cambia su movimiento.

Una linterna suspendida de cables, o cualquier estructura de edificio, se encuentra en un estado de equilibrio estático. Como ejemplo de equilibrio dinámico, considere una rueda que rueda sobre una superficie plana en ausencia de fuerzas de fricción.

Equilibrio de un sistema mecánico.- es un estado en el que todos los puntos de un sistema mecánico están en reposo con respecto al sistema de referencia considerado. Si el sistema de referencia es inercial, el equilibrio se llama absoluto, si no es inercial - relativo.

Para encontrar las condiciones de equilibrio de un cuerpo absolutamente rígido, es necesario descomponerlo mentalmente en una gran cantidad de elementos bastante pequeños, cada uno de los cuales puede representarse mediante un punto material. Todos estos elementos interactúan entre sí; estas fuerzas de interacción se llaman interno. Además, las fuerzas externas pueden actuar sobre varios puntos del cuerpo.

Según la segunda ley de Newton, para que la aceleración de un punto sea cero (y la aceleración de un punto en reposo sea cero), la suma geométrica de las fuerzas que actúan sobre ese punto debe ser cero. Si un cuerpo está en reposo, entonces todos sus puntos (elementos) también están en reposo. Por tanto, para cualquier punto del cuerpo podemos escribir:

¿Dónde está la suma geométrica de todas las fuerzas externas e internas que actúan sobre iº elemento del cuerpo.

La ecuación significa que para que un cuerpo esté en equilibrio es necesario y suficiente que la suma geométrica de todas las fuerzas que actúan sobre cualquier elemento de este cuerpo sea igual a cero.

De esto es fácil obtener la primera condición para el equilibrio de un cuerpo (sistema de cuerpos). Para hacer esto, basta con resumir la ecuación para todos los elementos del cuerpo:

.

La segunda suma es igual a cero según la tercera ley de Newton: la suma vectorial de todas las fuerzas internas del sistema es igual a cero, ya que cualquier fuerza interna corresponde a una fuerza igual en magnitud y de dirección opuesta.

Por eso,

.

La primera condición para el equilibrio de un cuerpo rígido.(sistemas de cuerpos) es la igualdad a cero de la suma geométrica de todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo.

Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Esto es fácil de comprobar recordando la acción giratoria de un par de fuerzas, cuya suma geométrica también es cero.

La segunda condición para el equilibrio de un cuerpo rígido. es la igualdad a cero de la suma de los momentos de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo con respecto a cualquier eje.

Por tanto, las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido en el caso de un número arbitrario de fuerzas externas se ven así:

.

El cálculo estático de estructuras de ingeniería en muchos casos se reduce a considerar las condiciones de equilibrio de una estructura que consta de un sistema de cuerpos conectados por algún tipo de conexiones. Las conexiones que conectan las partes de esta estructura se llamarán interno A diferencia de externo Conexiones que conectan la estructura a cuerpos no incluidos en ella (por ejemplo, a soportes).

Si, después de descartar las conexiones externas (soportes), la estructura permanece rígida, entonces los problemas de estática se resuelven como para un cuerpo absolutamente rígido. Sin embargo, puede haber estructuras de ingeniería que no permanezcan rígidas después de descartar las conexiones externas. Un ejemplo de este diseño es un arco de tres bisagras. Si descartamos los soportes A y B, entonces el arco no será rígido: sus partes pueden girar alrededor de la bisagra C.

Según el principio de solidificación, el sistema de fuerzas que actúa sobre dicha estructura debe, en equilibrio, satisfacer las condiciones de equilibrio de un cuerpo sólido. Pero estas condiciones, como se ha indicado, si bien son necesarias, no serán suficientes; por lo tanto, es imposible determinar todas las cantidades desconocidas a partir de ellos. Para resolver el problema, es necesario considerar adicionalmente el equilibrio de una o más partes de la estructura.

Por ejemplo, al componer condiciones de equilibrio para las fuerzas que actúan sobre un arco de tres bisagras, obtenemos tres ecuaciones con cuatro incógnitas X A, Y A, X B, Y B . Habiendo considerado además las condiciones de equilibrio de la mitad izquierda (o derecha), obtenemos tres ecuaciones más que contienen dos nuevas incógnitas X C, Y C, en la Fig. 61 no se muestra. Al resolver el sistema resultante de seis ecuaciones, encontramos las seis incógnitas.

14. Casos especiales de reducción de un sistema espacial de fuerzas.

Si, al llevar un sistema de fuerzas a un tornillo dinámico, el momento principal de la dinamo resulta ser igual a cero y el vector principal es diferente de cero, entonces esto significa que el sistema de fuerzas se reduce a una resultante, y el eje central es la línea de acción de esta resultante. Averigüemos bajo qué condiciones relacionadas con el vector principal Fp y el momento principal M 0 puede suceder esto. Dado que el momento principal del dinamismo M* es igual a la componente del momento principal M 0 dirigido a lo largo del vector principal, el caso considerado M* = O significa que el momento principal M 0 es perpendicular al vector principal, es decir, / 2 = Fo*M 0 = 0. Se sigue inmediatamente que si el vector principal F 0 no es igual a cero, y el segundo invariante es igual a cero, Fo≠O, / 2 = F 0 *M 0 =0, (7.9 ) entonces el considerado el sistema se reduce a la resultante.

En particular, si para cualquier centro de reducción F 0 ≠0 y M 0 = 0, esto significa que el sistema de fuerzas se reduce a una resultante que pasa por este centro de reducción; en este caso también se cumplirá la condición (7.9). Generalicemos el teorema sobre el momento de la resultante (teorema de Varignon) dado en el capítulo V al caso de un sistema espacial de fuerzas. Si el sistema espacial. las fuerzas se reducen a una resultante, entonces el momento de la resultante con respecto a un punto arbitrario es igual a la suma geométrica de los momentos de todas las fuerzas con respecto al mismo punto. PAG
Sea el sistema de fuerzas una resultante R y un punto ACERCA DE se encuentra en la línea de acción de esta resultante. Si llevamos un sistema de fuerzas dado a este punto, obtenemos que el momento principal es igual a cero.
Tomemos algún otro centro de reducción O1; (7.10)C
por otro lado, con base en la fórmula (4.14) tenemosMo1=Mo+Mo1(Fo), (7.11) ya que M 0 = 0. Comparando las expresiones (7.10) y (7.11) y teniendo en cuenta que en este caso F 0 = R, obtenemos (7.12).

Por tanto, el teorema queda demostrado.

Sea, para cualquier elección del centro de reducción, Fo=O, M ≠0. Dado que el vector principal no depende del centro de reducción, es igual a cero para cualquier otra elección del centro de reducción. Por tanto, el momento principal tampoco cambia cuando cambia el centro de reducción y, por tanto, en este caso el sistema de fuerzas se reduce a un par de fuerzas con un momento igual a M0.

Recopilamos ahora una tabla de todos los casos posibles de reducción del sistema espacial de fuerzas:

Si todas las fuerzas están en el mismo plano, por ejemplo, en el plano Oh, luego sus proyecciones sobre el eje GRAMO y momentos sobre los ejes X Y en será igual a cero. Por tanto, Fz=0; Mox=0, Moy=0. Introduciendo estos valores en la fórmula (7.5), encontramos que el segundo invariante de un sistema plano de fuerzas es igual a cero, obtenemos el mismo resultado para un sistema espacial de fuerzas paralelas. De hecho, sean todas las fuerzas paralelas al eje. z. Entonces sus proyecciones sobre el eje. X Y en y los momentos respecto al eje z serán iguales a 0. Fx=0, Fy=0, Moz=0

Con base en lo demostrado, se puede argumentar que un sistema de fuerzas plano y un sistema de fuerzas paralelas no se reducen a un tornillo dinámico.

11. Equilibrio de un cuerpo en presencia de fricción por deslizamiento. Si dos cuerpos / y // (figura 6.1) interactúan entre sí, tocándose en un punto A, entonces la reacción R A, que actúa, por ejemplo, desde el lado del cuerpo // y se aplica al cuerpo /, siempre se puede descomponer en dos componentes: N.4, dirigido a lo largo de la normal común a la superficie de los cuerpos en contacto en punto A, y T 4, que se encuentran en el plano tangente. El componente N.4 se denomina reacción normal fuerza T l se llama fuerza de fricción deslizante - evita que el cuerpo se deslice / a lo largo del cuerpo //. De acuerdo con el axioma 4 (3er z-on de Newton) una fuerza de reacción de igual magnitud y dirección opuesta actúa sobre el cuerpo // desde el lado del cuerpo /. Su componente perpendicular al plano tangente se llama fuerza de la presión normal. Como se mencionó anteriormente, la fuerza de fricción t A = Ah, si las superficies de contacto son perfectamente lisas. En condiciones reales, las superficies son rugosas y en muchos casos no se puede despreciar la fuerza de fricción. Para aclarar las propiedades básicas de las fuerzas de fricción, llevaremos a cabo un experimento según el esquema presentado en la Fig. 6.2, A. Al cuerpo 5, ubicado sobre una placa estacionaria D, se une un hilo tirado sobre el bloque C, cuyo extremo libre está equipado con una plataforma de soporte. A. Si la almohadilla A cargar gradualmente, luego con un aumento en su peso total la tensión del hilo aumentará S, que tiende a mover el cuerpo hacia la derecha. Sin embargo, mientras la carga total no sea demasiado grande, la fuerza de fricción T mantendrá el cuerpo EN en reposo. En la Fig. 6.2, b Se representan actos sobre el cuerpo. EN fuerzas, y P denota la fuerza de gravedad, y N denota la reacción normal de la placa D. Si la carga es insuficiente para romper el resto, son válidas las siguientes ecuaciones de equilibrio: norte- PAG = 0, (6.1) S-T = 0. (6.2) De esto se deduce que norte = PAGY T = S. Así, mientras el cuerpo está en reposo, la fuerza de fricción sigue siendo igual a la fuerza de tensión del hilo S. Denotaremos por Tmáx fuerza de fricción en el momento crítico del proceso de carga, cuando el cuerpo EN Pierde el equilibrio y comienza a deslizarse sobre la losa. D. Por lo tanto, si el cuerpo está en equilibrio, entonces T≤Tmax.Fuerza de fricción máxima t tah Depende de las propiedades de los materiales con los que están hechos los cuerpos, su estado (por ejemplo, de la naturaleza del tratamiento de la superficie), así como del valor de la presión normal. NORTE. Como muestra la experiencia, la fuerza de fricción máxima es aproximadamente proporcional a la presión normal, es decir mi. hay igualdad Tmáx= fN. (6.4) Esta relación se llama Ley de Amonton-Coulomb. El coeficiente adimensional / se llama coeficiente de fricción por deslizamiento. Como se desprende de la experiencia, el valor no depende dentro de amplios límites del área de las superficies de contacto, pero depende del material y del grado de rugosidad de las superficies de contacto. Los valores del coeficiente de fricción se determinan empíricamente y se pueden encontrar en tablas de referencia. La desigualdad" (6.3) ahora se puede escribir como T≤fN (6.5). El caso de igualdad estricta en (6.5) corresponde al valor máximo de la fuerza de fricción. Esto significa que la fuerza de fricción se puede calcular usando la fórmula t = fN sólo en los casos en los que se sabe de antemano que está ocurriendo un incidente crítico. En todos los demás casos, la fuerza de fricción debe determinarse a partir de las ecuaciones de equilibrio. Consideremos un cuerpo situado sobre una superficie rugosa. Supondremos que como resultado de la acción de fuerzas activas y fuerzas de reacción, el cuerpo se encuentra en equilibrio límite. En la Fig. 6.6, a Se muestran la reacción límite R y sus componentes N y Tmax (en la posición que se muestra en esta figura, las fuerzas activas tienden a mover el cuerpo hacia la derecha, la fuerza de fricción máxima Tmax se dirige hacia la izquierda). Esquina F entre reacción límite R y la normal a la superficie se llama ángulo de fricción. Encontremos este ángulo. De la Fig. 6.6, y tenemos tgφ=Tmax/N o, usando la expresión (6.4), tgφ= f (6-7) De esta fórmula queda claro que en lugar del coeficiente de fricción, se puede establecer el ángulo de fricción (en las tablas de referencia pag

se dan ambas cantidades).

El sistema de fuerzas se llama equilibrado, si bajo la influencia de este sistema el cuerpo permanece en reposo.

Condiciones de equilibrio:
La primera condición para el equilibrio de un cuerpo rígido:
Para que un cuerpo rígido esté en equilibrio es necesario que la suma de las fuerzas externas aplicadas al cuerpo sea igual a cero.
La segunda condición para el equilibrio de un cuerpo rígido:
Cuando un cuerpo rígido está en equilibrio, la suma de los momentos de todas las fuerzas externas que actúan sobre él con respecto a cualquier eje es igual a cero.
Condición general para el equilibrio de un cuerpo rígido.:
Para que un cuerpo rígido esté en equilibrio, la suma de las fuerzas externas y la suma de los momentos de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo deben ser cero. La velocidad inicial del centro de masa y la velocidad angular de rotación del cuerpo también deben ser iguales a cero.

Teorema. Tres fuerzas equilibran un cuerpo rígido sólo si todas se encuentran en el mismo plano.

11. Sistema de fuerza plana– estas son fuerzas ubicadas en un plano.

Tres formas de ecuaciones de equilibrio para un sistema plano:

Centro de gravedad del cuerpo.

Centro de gravedad Se llama cuerpo de dimensiones finitas al punto alrededor del cual la suma de los momentos de gravedad de todas las partículas del cuerpo es igual a cero. En este punto se aplica la fuerza de gravedad del cuerpo. El centro de gravedad de un cuerpo (o sistema de fuerzas) suele coincidir con el centro de masa del cuerpo (o sistema de fuerzas).

Centro de gravedad de una figura plana:

Un método práctico para encontrar el centro de masa de una figura plana.: colgar el cuerpo en un campo de gravedad para que pueda girar libremente alrededor del punto de suspensión O1 . En equilibrio el centro de masa CON está en la misma vertical que el punto de suspensión (debajo de él), ya que es igual a cero

momento de gravedad, que puede considerarse aplicado en el centro de masa. Cambiando el punto de suspensión encontramos otra recta de la misma forma. O2C , pasando por el centro de masa. La posición del centro de masa viene dada por el punto de su intersección.

Centro de velocidad de masa:

El momento de un sistema de partículas es igual al producto de la masa de todo el sistema. METRO= Σmi sobre la velocidad de su centro de masa V :

El centro de masa caracteriza el movimiento del sistema en su conjunto.

15. Fricción por deslizamiento– fricción durante el movimiento relativo de cuerpos en contacto.

Fricción estática– fricción en ausencia de movimiento relativo de los cuerpos en contacto.

Fuerza de fricción deslizante ftr entre las superficies de cuerpos en contacto durante su movimiento relativo depende de la fuerza de la reacción normal norte , o por la fuerza de la presión normal pn , y Ftr=kN o Ftr=kPn , donde k – coeficiente de fricción por deslizamiento , dependiendo de los mismos factores que el coeficiente de fricción estática k0 , así como sobre la velocidad del movimiento relativo de los cuerpos en contacto.

16. Fricción rodante- Este es el rodar de un cuerpo sobre otro. La fuerza de fricción por deslizamiento no depende del tamaño de las superficies de fricción, sino sólo de la calidad de las superficies de los cuerpos de fricción y de la fuerza que reduce las superficies de fricción y se dirige perpendicular a ellas. F=kN, Dónde F- fuerza de fricción, norte– la magnitud de la reacción normal y k – coeficiente de fricción por deslizamiento.

17. Equilibrio de cuerpos en presencia de fricción.- esta es la fuerza de adherencia máxima proporcional a la presión normal del cuerpo sobre el avión.

El ángulo entre la reacción total, basado en la mayor fuerza de fricción para una reacción normal dada, y la dirección de la reacción normal se llama ángulo de fricción.

Un cono con un vértice en el punto de aplicación de la reacción normal de una superficie rugosa, cuya generatriz forma un ángulo de fricción con esta reacción normal, se llama cono de fricción.

Dinámica.

1. EN dinámica Se considera la influencia de las interacciones entre cuerpos sobre su movimiento mecánico.

Peso- Esta es una pintura característica de un punto material. La masa es constante. La masa es adjetivo (aditivo)

Fuerza - este es un vector que caracteriza completamente la interacción de un punto material con otros puntos materiales.

punto material– un cuerpo cuyas dimensiones y forma no son importantes en el movimiento considerado (por ejemplo: en el movimiento de traslación un cuerpo rígido puede considerarse un punto material)

sistema de materiales puntos llamados un conjunto de puntos materiales que interactúan entre sí.

Primera ley de Newton: cualquier punto material mantiene un estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme hasta que influencias externas cambian este estado.

Segunda ley de Newton: la aceleración adquirida por un punto material en un sistema de referencia inercial es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre el punto, inversamente proporcional a la masa del punto y coincide en dirección con la fuerza: a=F/m

Las condiciones de equilibrio de un cuerpo sólido en un curso de física de la escuela secundaria se estudian en la sección "Mecánica" cuando se estudia la estática como una rama de la mecánica. Se destaca el hecho de que el movimiento de un cuerpo es de dos tipos: traslacional y rotacional. Traslacional es un movimiento en el que cualquier línea recta trazada a través de dos puntos cualesquiera del cuerpo en un sistema de referencia inercial determinado permanece paralela a sí misma durante el movimiento. El movimiento de rotación es un movimiento en el que todos los puntos que pertenecen a un cuerpo giran en el mismo ángulo con respecto al eje de rotación durante un período de tiempo determinado.

Se ingresa el centro de gravedad del cuerpo. Para ello, el cuerpo se divide mentalmente en muchos elementos. El centro de gravedad será el punto de intersección de las líneas, sobre el cual se encuentran los vectores de gravedad que actúan sobre los elementos del cuerpo. A continuación, consideramos casos especiales que ilustran la dependencia del tipo de movimiento de un cuerpo rígido del punto de aplicación de una fuerza externa:

1. Deje que la fuerza se aplique al centro de gravedad o a un eje de rotación no fijo: el cuerpo se moverá traslacionalmente, no habrá rotación;
2. Supongamos que se aplique una fuerza a un punto arbitrario del cuerpo, mientras el eje de rotación está fijo: el cuerpo girará, no habrá movimiento de traslación;
3. Supongamos que se aplique una fuerza a un punto arbitrario del cuerpo, mientras que el eje de rotación no esté fijo: el cuerpo girará alrededor de su eje y al mismo tiempo se moverá traslacionalmente.

Se introduce el momento de fuerza. El momento de fuerza es una cantidad física vectorial que caracteriza el efecto rotacional de una fuerza. Matemáticamente, en un curso universitario de física general, el momento de fuerza se introduce como el producto vectorial del brazo de fuerza y ​​el vector de una fuerza dada:

¿Dónde está el apalancamiento de la fuerza? Es obvio que la ecuación (2) es consecuencia de la ecuación (1).

Se explica a los estudiantes que el brazo de una fuerza es la distancia más corta desde el punto de apoyo (o eje de rotación) hasta la línea de acción de la fuerza.

La primera condición (ecuación (3)) asegura la ausencia de movimiento de traslación, la segunda condición (ecuación (4)) asegura la ausencia de movimiento de rotación. Sería bueno prestar atención al hecho de que la ecuación (3) es un caso especial de la segunda ley de Newton (en ).

Los estudiantes deben aprender que el momento de fuerza es una cantidad vectorial, por lo tanto, al escribir la ecuación escalar (4), es necesario tener en cuenta el signo del momento. Para los estudiantes de la escuela, las reglas son las siguientes:

1. Si una fuerza tiende a hacer girar un cuerpo en sentido contrario a las agujas del reloj, su momento con respecto a un eje determinado es positivo;
2. Si una fuerza tiende a girar un cuerpo en el sentido de las agujas del reloj, su momento con respecto a un eje dado es negativo.

Un ejemplo de la aplicación de las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido es el uso de palancas y bloques. Deje que una fuerza actúe sobre un brazo de la palanca y el otro (Fig. 1).

En este caso, imaginemos que el soporte del cuerpo está inmóvil, por lo que sólo necesitamos la segunda condición de equilibrio:

En forma escalar, teniendo en cuenta los signos, obtenemos:

La expresión resultante se llama condición de equilibrio de palanca. Los estudiantes deben comprender firmemente que este es sólo un caso especial y que en casos más generales es necesario confiar en la ecuación (4).

Como sabes del curso de séptimo grado, los bloques pueden ser móviles y fijos. Utilizando condiciones de equilibrio, se analiza el trabajo de levantar uniformemente una carga utilizando un bloque estacionario y un sistema de bloques móviles y estacionarios.

1. Bloque fijo.
Deje que el diámetro del bloque d. Usando la condición de equilibrio (4), obtenemos: El hecho obtenido ilustra que un bloque estacionario no proporciona una ganancia de fuerza, es decir, tendremos que aplicar una fuerza igual en magnitud al peso de la carga para levantar la carga. Un bloque fijo se utiliza sólo por conveniencia, principalmente junto con un bloque móvil.
2. Bloque móvil.
Usemos la ecuación (4) de manera similar al caso con un bloque fijo:

Descubrimos que en un sistema de bloques móviles y fijos en ausencia de fuerzas de fricción, la ganancia de fuerza es 2 veces. En este caso, los diámetros de los bloques eran los mismos. Será útil para los estudiantes analizar formas de obtener un aumento de fuerza de 4, 6, etc.

En conclusión, habiendo analizado lo comentado anteriormente, se formula la “regla de oro” de la mecánica. Se resuelven problemas que involucran palancas, bloques y otros casos de equilibrio de cuerpos.