Decisión con la decisión de residuos. División de números naturales con el residuo: reglas, ejemplos y soluciones.

Antes de describir en detalle todos los pasos del algoritmo de división de números naturales con el residuo, responderán tres preguntas: ¿Qué es lo que inicialmente se le conoce que necesitamos encontrar y sobre la base de qué consideraciones haremos esto? Inicialmente, conocemos Delimi A y Divider B. Tenemos que encontrar una C y un residuo privado incompleto. La igualdad A \u003d B · C + D establece la relación entre divisible, divisor, privado incompleto y residuos. De la igualdad registrada se deduce que si nos presentamos divisibles a en la forma de la cantidad B · C + D, en la que D es menor que B (ya que el residuo es siempre más pequeño que el divisor), veremos e incomplete Privado C y el residuo d.

Sólo sigue siendo averiguar cómo el Delimi A está en la forma de la cantidad B · C + D. El algoritmo que permite que esto es muy similar al algoritmo de dividir los números naturales sin un residuo. Describimos todos los pasos, y al mismo tiempo mantendremos el ejemplo de un ejemplo para una mayor claridad. Dividimos 899 por 47.

Se permitirá que los primeros cinco puntos del algoritmo se presentarán divisibles como una suma de varios términos. Cabe señalar que las acciones de estos artículos se repiten cíclicamente una y otra vez hasta que se encontrarán todos los términos que rigen en la cantidad de divisibles. En el sexto párrafo final, la cantidad obtenida se convierte en la forma B · C + D (si la cantidad recibida ya no tendrá tal forma), donde el privado y residuo incompleto deseado se vuelve visible.

Entonces, proceda a la presentación de la división 899 como una suma de varios términos.

Primero, calcule cuánto es mayor que el número de signos en el registro de división es mayor que el número de señales en el registro del divisor, y recuerde este número.

En nuestro ejemplo, en los registros de la muestra de división 3 (899 - número de tres dígitos), y en el registro de los signos divisorios (47 - número de dos dígitos), por lo tanto, en el registro de divisible a uno firmar más , y recordamos el número 1.

Ahora, en los registros del divisor en el final correcto, las figuras 0 en la cantidad determinada por el número obtenido en el párrafo anterior. Al mismo tiempo, si el número registrado es más divisible, entonces el número se recuerda en el párrafo anterior.

Regreso a nuestro ejemplo. En el registro del divisor 47, agregue un dígito 0, y obtenemos el número 470. Desde 470.<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Después de eso, a la Figura 1, atribuye los números 0 en una cantidad determinada por el número que se almacena en el párrafo anterior. Al mismo tiempo, obtenemos una unidad de alta, con la que trabajaremos más.

En nuestro ejemplo, a la Figura 1, atribuimos 1 dígito 0, mientras que obtenemos el número 10, es decir, trabajaremos con la descarga de docenas.

Ahora se multiplican constantemente el divisor el 1, 2, 3, ... las unidades de la descarga de trabajo hasta el momento en que recibimos un número, más o igual a la división.

Descubrimos que en nuestro ejemplo, la descarga de trabajo es la descarga de decenas. Por lo tanto, primero multiplicamos un divisor en una unidad de descarga de docenas, es decir, multiplicamos 47 por 10, obtenemos 47 · 10 \u003d 470. El número 770 resultante está menos dividido 899, por lo que pasamos a la multiplicación del divisor en dos unidades de la descarga de docenas, es decir, 47 multiplicar por 20. Tenemos 47 · 20 \u003d 940. Tenemos un número que es más de 899.

El número obtenido en la penúltima etapa con multiplicación consistente es el primero de los términos deseados.

En un ejemplo desmontado, el término deseado es el número 470 (este número es igual al producto 47 · 100, esta es la igualdad que utilizamos más adelante).

Después de eso, encontramos la diferencia entre lo divisible y la primera categoría encontrada. Si el número resultante es más divisor, continúe con la búsqueda de los segundos términos. Para hacer esto, repetimos todos los pasos del algoritmo, pero el número recibido aquí ya es aceptado como divisible. Si se obtiene nuevamente el número en este punto, luego procedemos a encontrar los terceros términos, repitiendo una vez más los pasos del algoritmo, adoptando el número resultante como divisible. Y así, actúe aún más, encontrando los términos cuarto, quinto y subsiguientes, mientras que el número recibido en este punto no será menor que el divisor. Tan pronto como esto sucedió, el número recibido aquí se toma como los últimos términos deseados (corriendo hacia adelante, digamos que es igual al residuo), y vamos a la etapa final.

Regreso a nuestro ejemplo. En este paso, tenemos 899-470 \u003d 429. Desde 429\u003e 47, tomamos este número tan divisible y repite con ella todas las etapas del algoritmo.

En el registro del número 429 por un signo, más que en el número de números 47, por lo tanto, recuerde el número 1.

Ahora, en los registros de la división, terminamos un dígito 0, obtenemos el número 470, que es mayor que el número 429. Por lo tanto, desde el almacenado en el párrafo 1 anterior, restamos 1, obtenemos un número 0, que recuerdo.

Dado que en el párrafo anterior, recordamos el número 0, luego a la Figura 1, no es necesario que debe atribuir cualquier número 0. Al mismo tiempo, tenemos un número 1, es decir, la descarga de trabajo es la descarga de unidades.

Ahora se multiplican constantemente el divisor 47 por 1, 2, 3, ... no nos detendremos en este detalle. Digamos que 47 · 9 \u003d 423<429 , а 47·10=470>429. El segundo término deseado es el número 423 (que es 47 · 9, que usamos en).

La diferencia entre 429 y 423 es 6. Este número es menor que el divisor 47, por lo que es el tercero (y el último) de los términos deseados. Ahora podemos pasar a la etapa final.

Bueno, vinimos a etapa final. Todas las acciones anteriores estaban dirigidas a presentar un divisor en forma de suma de varios términos. Ahora, la cantidad resultante queda por convertir B · C + D. Con esta tarea, ayudaremos a hacer frente a la propiedad de distribución de la multiplicación en relación con la adición. Después de eso, se verá el privado y residuo incompleto deseado.

En nuestro ejemplo, Deli-899 es igual a la suma de los tres términos 470, 423 y 6. La suma de 470 + 423 + 6 se puede reescribir en el formulario 47 · 10 + 47 · 9 + 6 (recuerde, prestamos atención a la igualdad 470 \u003d 47 · 10 y 423 \u003d 47 · 9). Ahora aplique la propiedad de multiplicar un número natural a la cantidad, mientras obtenemos 47 · 10 + 47 · 9 + 6 \u003d 47 · (10 + 9) + 6 \u003d 47 · 19 + 6. Por lo tanto, divisible se transformó a la forma anterior 899 \u003d 47 · 19 + 6, desde donde es fácilmente incompleto privado 19 y un residuo 6.

Entonces, 899: 47 \u003d 19 (OST. 6).

Por supuesto, al resolver ejemplos, no describirá en tales detalles la división de la remisión.

Lea la lección: "Decisión con el residuo". ¿Qué sabes ya sobre este tema?

¿Se puede descomponer a 8 ciruelas por igual en dos placas (Fig. 1)?

Higo. 1. Ilustración, por ejemplo,

En cada placa, puede poner 4 ciruelas (Fig. 2).

Higo. 2. Ilustración, por ejemplo,

La acción que realizamos se puede escribir de modo.

8: 2 = 4

¿Qué crees que es posible poner 8 gotas para descomponerse en 3 placas (Fig. 3)?

Higo. 3. Ilustración, por ejemplo,

Actuaremos así. Primero, ponga cada plato en una ciruela, luego en la segunda ciruela. Tendremos 2 ciruelas, pero 3 placas. Entonces, no podemos descomponernos más. Ponemos en cada placa de 2 ciruelas, y 2 ciruelas a la izquierda (Fig. 4).

Higo. 4. Ilustración, por ejemplo,

Continuar la observación.

Números de lectura. Entre estos números, encuentre los que están divididos por 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Compruébate a ti mismo.

Los números restantes (11, 13, 14, 16, 17, 19) no se dividen en 3, o dicen "Compartir con el resto".

Encuentra el valor de privado.

Aprendemos cuántas veces 3 están contenidas entre las 17 (Fig. 5).

Higo. 5. Ilustración, por ejemplo,

Vemos que se ajusta a 3 ovalados 5 veces y 2 ovalados.

La acción realizada se puede escribir de modo que.

17: 3 \u003d 5 (OST. 2)

Se puede grabar en la columna (Fig. 6)

Higo. 6. Ilustración, por ejemplo,

Considere los dibujos. Explique las firmas a estos dibujos (Fig. 7).

Higo. 7. Ilustración, por ejemplo,

Considere el primer dibujo (Fig. 8).

Higo. 8. Ilustración, por ejemplo,

Vemos que 15 óvalos se dividieron por 2. En 2, se repitió 7 veces, en el residuo - 1 óvalo.

Considere el segundo dibujo (Fig. 9).

Higo. 9. Ilustración por ejemplo

En esta figura, se dividieron 15 cuadrados por 4. 4, se repitió 3 veces, en el residuo - 3 cuadrados.

Considere el tercer dibujo (Fig. 10).

Higo. 10. Ilustración por ejemplo

Se puede decir que 15 óvalos se dividieron por 3. 3 por 3 repetidamente 5 veces igualmente. En tales casos, dicen que el residuo es 0.

Realizar la división.

Siete cuadrados divididos tres. Obtenemos dos grupos, y se quedaremos un cuadrado. Escribimos la decisión (Fig. 11).

Higo. 11. Ilustración por ejemplo

Realizar la división.

Aprendemos cuántas veces cuatro se encuentran entre los 10. Vemos que entre los 10 cuatro cuatro contienen 2 veces y 2 cuadrados permanecen. Escribimos la solución (Fig. 12).

Higo. 12. Ilustración por ejemplo

Realizar la división.

Aprendemos cuántas veces dos están contenidas entre las 11. Vemos que entre las 11 dos dos contienen 5 veces y 1 restos cuadrados. Escribimos la solución (Fig. 13).

Higo. 13. Ilustración, por ejemplo,

Haz una conclusión. Divida con el residuo: significa saber cuántas veces el divisor está contenido en la división y cuántas unidades permanecerán.

La división con el residuo se puede realizar en la raya numérica.

En el rayo numérico, observamos los segmentos de 3 divisiones y ver que tres divisiones resultaban ser tres veces y se dejó una división (Fig. 14).

Higo. 14. Ilustración por ejemplo

Escribimos la decisión.

10: 3 \u003d 3 (OST.1)

Realizar la división.

En el haz numérico, observamos los segmentos de 3 divisiones y observamos que se mantuvieron tres divisiones en tres veces y dos divisiones (Fig. 15).

Higo. 15. Ilustración, por ejemplo,

Escribimos la decisión.

11: 3 \u003d 3 (Ost.2)

Realizar la división.

En la radio numérica, observamos los segmentos de 3 divisiones y vemos que obtuvimos exactamente 4 veces, el residuo está ausente (Fig. 16).

Higo. 16. Ilustración, por ejemplo,

Escribimos la decisión.

12: 3 = 4

Hoy, en la lección, conocimos la división con el residuo, aprendió a realizar el efecto con nombre utilizando el dibujo y el haz numérico, se entrenaron para resolver ejemplos sobre el tema de la lección.

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Tarea

1. Beber números que se dividen en 2 sin residuos.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Tome una división con el remanente con el dibujo.

3. Coloque la separación con el remanente con un haz numérico.

4. Haga una tarea para sus compañeros sobre el tema de la lección.

División con el resto. - Esta es la división de un número a otro, en el que el residuo no es igual a cero.

La división no siempre es posible, ya que hay casos en que un número no se divide en otro. Por ejemplo, el número 11 no se divide en 3, ya que no existe tal número natural, al multiplicar 3 serían 11.

Cuando no se puede hacer la división, no es posible dividir todo dividir, pero solo su mayor parte que se puede dividir en un divisor. EN este ejemplo La parte más grande de la división, que se puede dividir en 3, esto es 9 (como resultado, obtenemos 3), la parte más pequeña restante de la división - 2 no se divide en 3.

Hablando de la División 11 a las 3, 11 todavía se llama divisible, 3 - divisor, el resultado de la división: se llama el número 3 privado incompleto, y número 2 - residuo de la división. La división en este caso se llama división con el residuo.

Privado incompleto llamado el mayor númeroque al multiplicar al divisor le da un producto que no exceda la división. La diferencia entre divisible y este producto se llama el residuo. El residuo siempre es menor que un divisor, de lo contrario, también podría dividirse en un divisor.

La división con el residuo se puede grabar así:

11: 3 \u003d 3 (residuo 2)

Si, al dividir un número natural a otro en el residuo, resulta 0, se dice que el primer número está dividido por el segundo dirigido. Por ejemplo, 4 se divide en 2 apuntados. El número 5 no está dividido en 2 apuntado. La palabra generalmente se reduce para la brevedad y dice: este número se divide en otro, por ejemplo: 4 está dividido por 2, y 5 no se divide en 2.

Verificación de la división con el residuo.

Compruebe que el resultado de dividir con el residuo puede ser de la siguiente manera: Privado incompleto multiplicado al divisor (o viceversa) y agregue los residuos al producto resultante. Si el resultado es una división igual a la división, la división con el residuo se realiza correctamente:

11: 3 \u003d 3 (residuo 2)

En este artículo consideramos cuidadosamente. división con el resto.. Vamos a empezar por S. vista general sobre esta acción, luego descubra el significado de la división de números naturales con el residuo.E introducimos los términos necesarios. Luego, resolver el rango de tareas resueltas dividiendo los números naturales con el residuo. En conclusión, moraremos en todo tipo de vínculos entre divisibles, divisorios, incompletos de residuos privados y de rescate.

Navegando.

Respuesta:

Delimiya es 79.

También se debe tener en cuenta que verificar el resultado de dividir los números naturales con el residuo se lleva a cabo marcando la justicia de la igualdad obtenida A \u003d B · C + D.

Encontrar el residuo, si conoce delimi, divisor y privado incompleto

En términos de su significado, el residuo D es el número de elementos que permanece en el conjunto original después de la exclusión de los elementos B b veces de acuerdo con los elementos C. En consecuencia, debido al significado de multiplicar los números naturales y el significado de restar números naturales, la igualdad es justa. d \u003d a-b · c . De este modo, el residuo D de la división del número natural A en el número natural B es igual a la diferencia de dividir A y el producto del divisor B en privado incompleto C.

El bono resultante D \u003d A-B · C le permite encontrar un residuo cuando sea divisible, divisor y privado incompleto. Considere la solución del ejemplo.

¿Cómo enseñar a un niño a dividir? El método más fácil es - para aprender la división de la columna.. Es mucho más fácil que llevar a cabo los cálculos en la mente, no se necesita confundirse, no "perder" números y desarrollar un esquema mental que continuará trabajando automáticamente.

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Como correr

La entrega con el residuo es un método en el que el número no se puede dividir exactamente en varias partes. Como resultado de esta acción matemática, además de toda la parte, permanece una pieza indivisible.

Vamos a dar un ejemplo simple Cómo compartir con el residuo:

Hay un banco para 5 litros de agua y 2 latas de 2 litros. Cuando, desde los latas de cinco litros, el agua se transfila en dos litros, 1 litro de agua no utilizada permanecerá en cinco litros. Este es el saldo. En una versión digital se ve así:

5: 2 \u003d 2 Ost (1). ¿De dónde vino 1? 2x2 \u003d 4, 5-4 \u003d 1.

Ahora considere el orden de la división en una columna con el residuo. Esto facilita visualmente el proceso de cálculo y ayuda a no perder números.

El algoritmo determina la ubicación de todos los elementos y la secuencia de acciones en las que se realiza el cálculo. Como ejemplo, dividimos 17 a 5.

Pasos principales:

1. Registro adecuado. Delimi (17) - Ubicado en el lado izquierdo. El derecho de la división escribe el divisor (5). Entre ellos realice una línea vertical (denotando un signo de fisión), y luego, desde esta línea, pasan horizontales, enfatizando el divisor. Las características principales están marcadas con naranja.
2. Buscar un todo. Además, se lleva a cabo el primer y sencillo cálculo: cuántos divistadores encajan en Delim. Utilizamos la tabla de multiplicación y verificamos el orden: 5 * 1 \u003d 5 - Se coloca, 5 * 2 \u003d 10 - Se coloca, 5 * 3 \u003d 15 - colocados, 5 * 4 \u003d 20 - no colocados. Cinco veces cuatro - más de diecisiete años, significa que el cuarto cinco no encaja. Volver a tres. En el frasco de 17 litros, se ajustarán a 3 cinco litros. Registre la forma del resultado: 3 Escriba debajo de la línea, debajo del divisor. 3 es privado incompleto.
3. Determinación del saldo. 3 * 5 \u003d 15. 15 escribe bajo divisible. Vamos a obtener una línea (indica el signo "\u003d"). Restamos del número dividido: 17-15 \u003d 2. Escribimos el resultado a continuación debajo de la línea, en la columna (de ahí el nombre del algoritmo). 2 es el residuo.

¡Nota! Al dividir de esta manera, el residuo siempre debe ser menor que el divisor.

Cuando el divisor es más divible.

Causar casos de dificultad cuando el divisor resulta más divisible. Fracciones decimales El programa para el 3er grado aún no se ha estudiado, pero al seguir la lógica, la respuesta debe grabarse en forma de una fracción, en el mejor decimal, en el peor de los casos, sencillo. Pero (!) Además del programa, la metodología de cálculo. limita la tarea: ¡Es necesario no dividir, y encontrar el resto! ¡Parte de ellos no es! ¿Cómo resolver esa tarea?

¡Nota! Hay una regla para los casos en que el divisor es más divisible: privado incompleto igual a 0, el residuo es divisible.

¿Cómo dividir el número 5 por el número 6, resaltando el residuo? ¿Cuántos latas de 6 litros se metan en cinco litros? Porque 6 más de 5.

En la tarea, debe completar 5 litros, no se llena uno. Entonces, todos 5. Respuesta: privado incompleto \u003d 0, residuos \u003d 5.

La división está comenzando a estudiar en la tercera clase de la escuela. En este momento, ya se debe permitir que los discípulos hagan que la división de números de dos dígitos sea inequívoca.

Decide la tarea: 18 caramelos deben recibir cinco hijos. ¿Cuántos caramelos permanecerán?

Ejemplos:

Encontramos privado incompleto: 3 * 1 \u003d 3, 3 * 2 \u003d 6, 3 * 3 \u003d 9, 3 * 4 \u003d 12, 3 * 5 \u003d 15. 5 - Busto. Volviendo a 4.

El residuo: 3 * 4 \u003d 12, 14-12 \u003d 2.

Respuesta: Incompleto privado 4, 2 izquierda.

Puede preguntar por qué al dividir 2, el residuo es igual a 1 o 0. en la tabla de multiplicar, entre los números, varios dos hay una diferencia en uno.

Otra tarea: 3 pasteles deben dividirse para dos.

4 pasteles divididos para dos.

5 pasteles divididos para dos.

Trabajar con números multivaludes

El programa para el grado 4 ofrece un proceso más complejo de dividir con un aumento en los números calculados. Si en la tercera clase, los cálculos se llevaron a cabo sobre la base de la tabla de multiplicación de la base de datos que oscila entre 1 y 10, luego los alumnos de cuarto de cálculo se realizan con números de varios valorados más de 100.

Esta acción es más conveniente para realizar en la columna, ya que el privado incompleto también será un número de dos dígitos (en la mayoría de los casos), y el algoritmo de la columna facilita los cálculos y los hace más visuales.

Adelgazar números multivaluados en dos dígitos: 386:25

Este ejemplo difiere de la cantidad anterior de niveles de cálculo, aunque los cálculos se llevan a cabo por el mismo principio que antes. Considere un Más detalles:

386 - Delimi, 25 - Divider. Es necesario encontrar privado incompleto y asignar el residuo.

Primer nivel

El divisor es un número de dos dígitos. Delimi - tres dígitos. Asignamos los dos primeros números de la izquierda de la dividera: es 38. Compáralos con un divisor. 38 más 25? Sí, significa que 38 se puede dividir en 25. ¿Cuántos como un total de 25 están en 38?

25 * 1 \u003d 25, 25 * 2 \u003d 50. 50 más de 38 años, vuelve un paso atrás.

Respuesta - 1. Graba una unidad en la zona. no lleno de privado.

38-25 \u003d 13. Escriba el número 13 debajo de la función.

Segundo nivel

13 más 25? No, significa que puede "omitir" el número 6 hacia abajo, agregándolo junto a 13, a la derecha. Resultó 136. 136 Más de 25? Sí, significa que puedes restarlo. ¿Cuántas veces 25 caben en 136?

25 * 1 \u003d 25, 25 * 2 \u003d 50, 25 * 3 \u003d 75, 25 * 4 \u003d 100, 25 * 5 \u003d 125, 256 * \u003d 150. 150 Más 136 - Volvemos a un paso. Escribimos 5 en la zona privada incompleta, a la derecha de uno.

Calcular el residuo:

136-125 \u003d 11. Escrito bajo la característica. 11 más 25? No, la división es imposible. Delimo dejó figuras? No, no hay nada más que compartir. Se completan los cálculos.

Respuesta: Privado incompleto igual a 15, en el residuo 11.

Y si se propone tal división cuando el divisor de dos dígitos más primero ¿Dos dígitos de la división multivaluada? En este caso, la tercera (cuarta, quinta y posterior) figura de la división participa en los cálculos de inmediato.

Damos ejemplos Para división con números de tres y cuatro dígitos:

75 - Número de dos dígitos. 386 - TRES DIGITOS. Compare los dos primeros dígitos a la izquierda con el divisor. 38 más 75? No, la división es imposible. Tome los 3 dígitos. 386 más de 75? Sí, se puede hacer la división. Calcular.

75 * 1 \u003d 75, 75 * 2 \u003d 150, 75 * 3 \u003d 225, 75 * 4 \u003d 300, 75 * 5 \u003d 375, 75 * 6 \u003d 450. 450 más 386 - devolvemos un paso atrás. Escribimos 5 a la zona privada incompleta.

Encontramos el residuo: 386-375 \u003d 11. 11 más de 75? No. ¿Todavía dejas figuras de dividir? No. Se completan los cálculos.

Respuesta: Privado incompleto \u003d 5, en el residuo - 11.

Realizar cheque: 11 más de 35? No, la división es imposible. ¿Sustituamos el tercer número - 119 más de 35? Sí, podemos realizar acciones.

35 * 1 \u003d 35, 35 * 2 \u003d 70, 35 * 3 \u003d 105, 35 * 4 \u003d 140. 140 Más 119 - Regresamos un paso atrás. Escribimos 3 en la zona de saldo incompleta.

Encontramos el residuo: 119-105 \u003d 14. 14 más de 35? No. ¿Quedan los números entregados? No. Se completan los cálculos.

Respuesta: Privado incompleto \u003d 3, izquierda - 14.

Comprobar: 11 más de 99? No, sustituimos otra figura. 119 más de 99? Sí - iniciar cálculos.

11<99, 119>99.

99 * 1 \u003d 99, 99 * 2 \u003d 198 - busto. Escribimos 1 a privado incompleto.

Encontramos el residuo: 119-99 \u003d 20. veinte<99. Опускаем 5. 205>99. Calcular.

99 * 1 \u003d 99, 99 * 2 \u003d 198, 99 * 3 \u003d 297. Bruep. Escribimos 2 en privado incompleto.

Encontramos el residuo: 205-198 \u003d 7.

Respuesta: Privado incompleto \u003d 12, residuos - 7.

Decisión con el residuo - Ejemplos.

Aprendiendo a dividir en una columna con el residuo.

Producción

Por lo tanto, se llevan a cabo cálculos. Si está atento y ejecuta las reglas, no se complique nada aquí. Cada colegial puede aprender a ser considerado una columna, porque es rápida y conveniente.