Qué equilibrio de división por 45. División de enteros con el residuo, las reglas, los ejemplos.
Signos de números de divisibilidad.- Estas son reglas que permiten que las divisiones no productoras sean relativamente rápidamente, averigüe si este número se divide en un dado sin residuos.
Algunos de signos de divisibilidad Bastante simple, un poco más difícil. En esta página encontrará como signos de divisibilidad. números simples, como, por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11 y signos de divisibilidad de los componentes, como 6 o 12.
Espero que esta información sea útil para usted.
Aprendizaje agradable!
Signo de divisibilidad en 2
Este es uno de los signos más fáciles de divisibilidad. Parece esto: Si la grabación de un número natural termina con un lector, entonces está uniformemente (dividido sin un residuo por 2), y si el registro del número termina en un dígito impar, este número es impar.
En otras palabras, si el último número de dígitos es igual 2
, 4
, 6
, 8
o 0
- el número se divide en 2, si no, no está dividido
Por ejemplo, números: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
Se dividen en 2, porque son incluso.
Números: 23 5
, 137
, 2303
En 2 no están divididos, porque son extraños.
Signo de divisibilidad en 3
Esta característica de la división es completamente diferente: si el número de números se divide por 3, entonces el número está dividido por 3; Si la cantidad de número de números no está dividido por 3, entonces el número no está dividido por 3.
Entonces, para entender si el número se divide en 3, solo es necesario agregar los números entre ellos desde los que consiste.
Parece esto: 3987 y 141 se dividen por 3, porque en el primer caso 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 3 \u003d 9 - Se divide sin los restos de 3), y en el segundo 1 + 4 + 1 \u003d 6
(6: 3 \u003d 2 - También dividido sin los restos de 3).
Pero los números: 235 y 566 no se dividen en 3, porque 2 + 3 + 5 \u003d 10
y 5 + 6 + 6 \u003d 17
(Y sabemos que ni 10 ni 17 se dividen en 3 sin residuos).
Signo de divisibilidad en 4
Este signo de divisibilidad será más complicado. Si los últimos 2 dígitos de los números forman el número dividido por 4 o es 00, entonces el número se divide en 4, de lo contrario, este número no se divide en 4 sin residuos.
Por ejemplo: 1. 00
y 3. 64
dividido por 4, porque en el primer caso el número termina en 00
, y en el segundo 64
que a su vez se divide en 4 sin residuos (64: 4 \u003d 16)
Números 3. 57
y 8. 86
No dividas en 4 porque tampoco 57
norte. 86
4 no están divididos, y por lo tanto no corresponden a este signo de divisibilidad.
Signo de divisibilidad en 5
Y nuevamente, tenemos un signo bastante simple de divisibilidad: si la grabación del número natural termina con un número 0 o 5, entonces este número se divide sin un residuo por 5. Si el número del número termina con un dígito diferente, Luego, el número sin un residuo no se divide en 5.
Esto significa que cualquier número que termina en números. 0
y 5
, por ejemplo, 1235. 5
y 43. 0
, caen una regla y dividida por 5.
A, por ejemplo, 1549 3
y 56. 4
No termine en la Figura 5 o 0, lo que significa que no pueden compartir 5 sin residuos.
Signo de divisibilidad en 6
Tenemos un número compuesto 6, que es un producto de los números 2 y 3. Por lo tanto, un signo de divisibilidad por 6 también es compuesto: para que el número se divide por 6, debe corresponder a dos signos de divisibilidad simultáneamente: un signo De divisibilidad en 2 y un signo de divisibilidad por 3. Al mismo tiempo, tenga en cuenta que dicho número compuesto AS 4 tiene un signo individual de divisibilidad, porque es la evidencia del número 2 en sí misma. Pero de vuelta al signo de divisibilidad en 6.
Los números 138 y 474 se corresponden incluso a los signos de divisibilidad en 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 y 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), lo que significa que están divididos por 6. Pero 123 y 447, aunque se dividen en 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 y 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), pero son extrañas, y Por lo tanto, no corresponde al signo de divisibilidad por 2, y por lo tanto, no corresponden al signo de divisibilidad por 6.
Signo de divisibilidad en 7
Este signo de divisibilidad es más complicado: el número se divide en 7 si el resultado de la resta de la figura de doble duración de las decenas de este número se divide en 7 o igual a 0.
Suena bastante confuso, pero en la práctica es fácil. Véanse: Número 95
9 se divide en 7, porque 95
-2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 dividido por 7 sin residuos). Y si surgió el número con el número obtenido durante las transformaciones (debido a su tamaño, es difícil de entender, se divide en 7 o no, entonces este procedimiento puede continuarse tantas veces como se sienta necesario).
Por ejemplo, 45
5 I. 4580
1 Posee signos de divisibilidad a 7. En el primer caso, todo es bastante simple: 45
-2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. En el segundo caso haremos esto: 4580
-2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Es difícil para nosotros entender si se divide si 457
8 a 7, así que repetimos el proceso: 457
-2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. Y nuevamente usamos un signo de divisibilidad, porque todavía tenemos un número de tres dígitos 44
1. Entonces 44
-2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, es decir, es decir. 42 se divide en 7 sin un equilibrio, lo que significa que es 45801 dividido por 7.
Pero los números 11
1 I. 34
5 no están divididos en 7, porque 11
-2 * 1 \u003d 11-2 \u003d 9 (9 no se divide sin un residuo por 7) y 34
-2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 no se divide sin residuos por 7).
Signo de divisibilidad en 8
El signo de divisibilidad en 8 sonidos como este: si los últimos 3 dígitos forman un número dividido por 8, o es 000, entonces el número especificado se divide por 8.
Números 1. 000
o 1. 088
dividido por 8: los primeros extremos en 000
, segundo 88
: 8 \u003d 11 (dividido por 8 sin un residuo).
Pero el número 1 100
o 4. 757
No se dividen en 8, ya que los números. 100
y 757
No compartir sin residuos.
Signo de divisibilidad en 9
Este signo de divisibilidad es similar a un signo de divisibilidad en 3: si el número de números se divide por 9, entonces el número se divide en 9; Si el número de números no está dividido en 9, entonces el número no está dividido por 9.
Por ejemplo: 3987 y 144 se dividen en 9, porque en el primer caso 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 9 \u003d 3 - Se divide sin los restos de 9), y en el segundo 1 + 4 + 4 \u003d 9
(9: 9 \u003d 1 - También dividido sin los restos de 9).
Pero los números: 235 y 141 no se dividen en 9, porque 2 + 3 + 5 \u003d 10
y 1 + 4 + 1 \u003d 6
(Y sabemos que ni 10 ni 6 se dividen en 9 sin residuos).
Signos de divisibilidad en 10, 100, 1000 y otras unidades de bits.
Estos signos de divisibilidad que combiné porque pueden describirse por igual: el número se divide en una unidad de descarga si el número de ceros al final del número es mayor o igual al número de ceros en un bit.
En otras palabras, por ejemplo, tenemos tales números: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. De estos, todos están divididos en 1. 0
; 46400
y 867. 000
Se dividen en 1 00
; Y solo uno de ellos - 867 000
dividido por 1. 000
.
Cualquier número en el que el número de ceros al final es menor que el de la unidad de descarga, no se divide en esta unidad de descarga, por ejemplo, 600 30
y 7. 93
No comparta 1. 00
.
Signo de divisibilidad en 11
Para saber si el número se divide en 11, es necesario obtener la diferencia en las sumas de números pares e impares de este número. Si esta diferencia es igual a 0 o dividida por 11 sin residuos, entonces el número en sí está dividido por 11 sin un residuo.
Para que sea más claro, propongo considerar los ejemplos: 2
35
4 está dividido por 11, porque ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 también se divide en 11, ya que ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Pero 1. 1
1 o 4
35
4 no están divididos por 11, ya que en el primer caso tenemos (1 + 1) - 1
\u003d 1, y en el segundo ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Signo de divisibilidad en 12
El número 12 es compuesto. Su signo de divisibilidad es la correspondencia de los signos de divisibilidad por 3 y 4 al mismo tiempo.
Por ejemplo, 300 y 636 corresponden a los signos de divisibilidad en 4 (los últimos 2 dígitos son ceros o se dividen en 4) y signos de divisibilidad en 3 (la suma de los números y el primer y exhaustivo se divide en 3) , y se aplicará, se dividen por 12 sin un equilibrio.
Pero 200 o 630 no se dividen en 12, porque en el primer caso el número solo responde con un signo de divisibilidad por 4, y en el segundo, solo un signo de divisibilidad por 3. Pero no ambos signos al mismo tiempo .
Signo de divisibilidad en 13
El signo de divisibilidad en 13 es que si el número de decenas de números, plegado con multiplicado por 4 unidades de este número, será múltiple 13 o igual a 0, entonces el número en sí está dividido por 13.
Tomar como ejemplo 70
2. Entonces 70
+ 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 se divide sin un residuo por 13), significa 70
2 está dividido por 13 sin residuos. Otro ejemplo es el número. 114
4. 114
+ 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. El número 130 se divide en 13 sin un residuo, lo que significa que un número dado corresponde a un signo de divisibilidad por 13.
Si tomas numeros 12
5 o 21
2, entonces conseguimos 12
+ 4 * 5 \u003d 32 y 21
+ 4 * 2 \u003d 29 correspondió, y ni 32 ni 29 se dividen en 13 sin un residuo, lo que significa que los números especificados no se dividen sin un residuo por 13.
Dividumbre de los números
Como se puede ver desde lo anterior, se puede asumir que a cualquiera de números naturales Puede elegir su signo individual de divisibilidad o función "compuesto" si el número es múltiple de varios números diferentes. Pero como lo demuestra la práctica, principalmente cuanto mayor sea el número, más difícil es su signo. Quizás el tiempo empleado en la comprobación de un signo de divisibilidad puede ser igual o más que la división misma. Por lo tanto, usualmente usamos los signos más simples de la divisibilidad.
En este artículo analizaremos. división de enteros con el residuo.. Comencemos con el principio general de dividir los enteros con el residuo, formulamos y pruebamos el teorema sobre la divisibilidad de enteros con el residuo, rastreamos la conexión entre el divisible, divisor, privado incompleto y el residuo. Luego, vamos a expresar las reglas en las que se realiza la división de enteros con el residuo, y considere el uso de estas reglas al resolver ejemplos. Después de eso, aprenda cómo verificar el resultado de dividir los enteros con el residuo.
Navegando.
Vista general de la división de enteros con el residuo.
La división de enteros con el residuo consideraremos como una generalización de la división con el residuo de números naturales. Esto se debe al hecho de que los números naturales son parte de enteros
Comencemos con los términos y designaciones que se utilizan en la descripción.
Por analogía con la división de números naturales con el residuo, asumiremos que el resultado de dividir con el residuo de dos enteros A y B (B no es cero) son dos enteros C y D. Los números A y B se llaman divisible y divisor En consecuencia, el número D - residuo de la División A en B, y se llama un entero C privado incompleto (o simplemente privadoSi el residuo es cero).
Estamos de acuerdo en asumir que el residuo es un número no negativo, y su valor no excede B, es decir, nos conocimos, cuando nos dijeron sobre la comparación de tres y más enteros).
Si el número C es muy privado, y el número D es el residuo dividir un entero A por entero B, entonces este hecho registraremos brevemente como igualdad del formulario A: B \u003d C (OST. D).
Tenga en cuenta que al dividir un número entero A a un entero B, el residuo puede ser cero. En este caso, dicen que se divide en B sin residuos (o ncape). Por lo tanto, la división de enteros sin residuos es un caso especial de división de enteros con el residuo.
También vale la pena decir que al dividir cero para algunos enteros, siempre estamos tratando con una división sin un equilibrio, ya que en este caso el privado será cero (consulte la sección de la teoría de la división cero por un entero), y el residuo También será cero.
Determinado con la terminología y las designaciones, ahora entenderemos con el significado de dividir enteros con el remanente.
La división de un número completamente negativo a un número positivo de un número B también se puede dar al significado. Para hacer esto, considere un número negativo entero como deuda. Imagina esta situación. Una deuda que hace que los artículos deben pagar a la persona B al hacer la misma contribución. El valor absoluto de la C privada incompleta en este caso determinará la cantidad de deuda de cada una de estas personas, y el residuo D mostrará la cantidad de artículos que permanecerán después de pagar la deuda. Damos un ejemplo. Supongamos que 2 personas deben 7 manzanas. Si asumimos que cada uno de ellos debería ser de 4 manzanas, luego, después de pagar la deuda, permanecerán 1 Apple. Esta situación corresponde a la igualdad (-7): 2 \u003d -4 (OST. 1).
División con el residuo de un entero arbitrario A para un todo un número negativo No daremos ningún punto, pero dejaremos el derecho a existir.
Teorema sobre la divisibilidad de enteros con el residuo.
Cuando hablamos sobre la división de números naturales con el residuo, descubrieron que el Divisible A, Divider B, privado incompleto C y el residuo D están relacionados con la igualdad A \u003d B · C + D. Para enteros, A, B, C y D se caracteriza por la misma conexión. Este enlace está aprobado por los siguientes teorema de definición con el residuo..
Teorema.
Cualquier entero A puede ser el único camino a través de un número entero y diferente del número cero b como A \u003d B · Q + R, donde P y R son algunos enteros, y.
Evidencia.
Primero, probamos la posibilidad de representación A \u003d B · q + r.
Si los enteros A y B de tal manera se dividen en B apuntado, entonces, por definición, hay un entero q que A \u003d B · Q. En este caso, hay una igualdad A \u003d B · Q + R en R \u003d 0.
Ahora asumimos que B es un número positivo entero. Elija un entero q de tal manera que el producto B · q no exceda el número A, y el producto B · (Q + 1) ya fue mayor que A. Es decir, tomar q tal que las desigualdades b · q Queda por probar la posibilidad de representación A \u003d B · Q + R por negativo b. Dado que el módulo del número B en este caso es un número positivo, entonces para la presentación, donde Q 1 es un número entero, y R es una Condiciones de satisfacción entera. Luego, adoptando Q \u003d -Q 1, obtenemos la idea de la representación visual A \u003d B · Q + R por la B negativa. Ir a la prueba de la singularidad. Supongamos que, además de la representación A \u003d B · Q + R, Q y R, enteros y, hay otra representación A \u003d B · Q 1 + R 1, donde Q 1 y R 1 son algunos enteros, y Q 1 ≠ Q y. Después de restar desde la parte izquierda y derecha de la primera igualdad, respectivamente, la parte izquierda y derecha de la segunda igualdad, obtenemos 0 \u003d B · (Q - Q 1) + RR 1, que es equivalente a la igualdad RR 1 \u003d B · (Q 1 -Q). Entonces la igualdad de la especie debe ser cierta. De las condiciones y se puede concluir que. Como P y Q 1 son enteros y Q ≠ Q 1, luego, donde concluimos que Igualdad A \u003d B · C + D le permite encontrar una división desconocida, si se conoce un divisor B, incompleto C y el residuo d. Considere un ejemplo. Ejemplo. ¿Qué es igualmente divisible si es posible para un INTEGER -21, un privado incompleto 5 y un residuo 12? Decisión. Necesitamos calcular Delimi A, cuando se conoce el divisor B \u003d -21, lo suficientemente incompleto C \u003d 5 y el residuo D \u003d 12. Al contactar con la igualdad A \u003d B · C + D, obtenemos A \u003d (- 21) · 5 + 12. Observando, primero, primero gastamos la multiplicación de enteros -21 y 5 de acuerdo con la regla de multiplicación de enteros con diferentes signos, después de lo cual realizamos la adición de enteros con diferentes signos: (-21) · 5 + 12 \u003d -105 + 12 \u003d -93. Respuesta: −93
.
Las relaciones entre divisiones, divisorias, privadas incompletas y residuos también se expresan por igualdad de la forma B \u003d (A - D): C, C \u003d (A - D): B y D \u003d A-B · C. Estas igualdades permiten calcular el divisor, privado incompleto y residuos, respectivamente. A menudo tenemos que encontrar un residuo dividir un entero A a un entero B, cuando una división, divisor y privado incompleto, usando la fórmula D \u003d A-B · c. Para que no haya preguntas en el futuro, analizaremos un ejemplo de calcular el residuo. Ejemplo. Encuentre el saldo de dividir un INTEGER -19 a un entero 3, si se sabe que es un privado incompleto igual a -7. Decisión. Para calcular el residuo de la división, usamos la fórmula del formulario d \u003d a - b · c. A partir de la condición, tenemos todos los datos necesarios A \u003d -19, B \u003d 3, C \u003d -7. Obtenemos d \u003d ab · c \u003d -19-3 · (-7) \u003d -19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (diferencia -19 - (- 21) Calculamos de acuerdo con la regla de la resta de Todo un número negativo). Respuesta: Como hemos observado repetidamente, todos los números positivos son números naturales. Por lo tanto, la división con el residuo de números positivos enteros se realiza en todas las reglas de división con el residuo de números naturales. Es muy importante poder realizar fácilmente la división con el residuo de los números naturales, ya que es la base de dividir no solo los números positivos completos, sino también en el corazón de todas las reglas de la división con el residuo de enteros arbitrarios. Desde nuestro punto de vista, es más conveniente realizar una división por una columna, este método le permite obtener e incompleto privado (o simplemente privado) y el residuo. Considere un ejemplo de división con el residuo de números positivos enteros. Ejemplo. Realice una división con el residuo del número 14 671 por 54. Decisión. Realice la división de estos números positivos por el escenario: Privado incompleto resultó ser igual a 271, y el residuo es 37. Respuesta: 14 671: 54 \u003d 271 (OST. 37). Formulamos una regla que le permite realizar división con un número positivo completo a un número negativo completo. El privado incompleto desde la división de un número positivo de un entero a un número negativo de un número B es un número opuesto a privado incompleta de la división A al módulo del número B, y el residuo de la División A en B es igual al equilibrio de la división por . Esta regla implica que la privada incompleta de dividir el número positivo entero en un número negativo entero es una integridad. Rementamos la regla anunciada en el algoritmo de la división con el residuo de un número positivo completo de adecuado: Damos un ejemplo de usar un algoritmo para dividir un número positivo completo a todo un negativo. Ejemplo. Realice una división con el residuo de un número positivo 17 a un número negativo completo -5. Decisión. Utilizamos el algoritmo de la división con el residuo de un número positivo a un todo negativo. Intercambio El número es lo contrario del número 3 es -3. Por lo tanto, la privada incompleta deseada de la División 17 a -5 es -3, y el residuo es 2. Respuesta: 17: (- 5) \u003d - 3 (OST. 2). Ejemplo. Dividir 45 en -15. Decisión. Delimo y los módulos divisoros son 45 y 15, respectivamente. El número 45 se divide en 15 sin residuos, el privado es igual a 3. En consecuencia, un número de entero positivo 45 se divide en un número negativo entero -15 sin un residuo, el privado al mismo tiempo es igual al número opuesto a 3, es decir, -3. De hecho, según la regla de división de enteros con diferentes signos que tenemos. Respuesta: 45:(−15)=−3
.
Le daremos la redacción de las reglas de la División con el remanente de todo un número negativo a un todo positivo. Para obtener una CI incompleta privada de dividir un número negativo entero a un número positivo de un número B, debe tomar un número opuesto a de manera incompleta en privado de la división de los módulos de los números iniciales y deducir la unidad de ella, después de que el residuo D se calcula de acuerdo con la fórmula D \u003d AB · c. Desde esta regla de división con el residuo, se deduce que la división incompleta de división de todo un negativo para un número positivo completo es un número negativo completo. De la regla de voz implica el algoritmo de la división con el equilibrio de todo un número negativo A a toda la B: Analizaremos la solución del ejemplo en el que usamos el algoritmo grabado de la división con el residuo. Ejemplo. Encuentre un privado y residuo incompleto para dividir un número negativo completo -17 para un número positivo número 5. Decisión. El módulo dividera -17 es 17, y el módulo divisor 5 es 5. Intercambio 17 a 5, nos ponemos incompletos privados 3 y residuos 2. El número opuesto 3 es -3. Restamos de -3 Unidad: -3-1 \u003d -4. Por lo tanto, el privado incompleto deseado es -4. Queda por calcular el residuo. En nuestro ejemplo A \u003d -17, B \u003d 5, C \u003d -4, luego D \u003d A-B · C \u003d -17-5 · (-4) \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Por lo tanto, el privado incompleto de la división de todo un número negativo -17 a un número de entero positivo 5 es -4, y el residuo es 3. Respuesta: (-17): 5 \u003d -4 (OST. 3). Ejemplo. Divida todo el número negativo -1 404 por un número positivo 26. Decisión. El módulo de dividendos es 1 404, el módulo divisor es 26. Splitamos 1 404 en la etapa 26: Dado que el módulo de división se dividió en un módulo divisor sin un residuo, los enteros iniciales se dividen sin un residuo, y el privado deseado es igual al número opuesto a 54, es decir, -54. Respuesta: (−1 404):26=−54
.
Formulamos una regla de división con el residuo de números negativos enteros. Para obtener una civera privada incompleta de dividir un número negativo completo a un número negativo de un número B, es necesario calcular el privado incompleto en la división de los módulos de números iniciales y agregarle una unidad, después de eso el residuo D Calcula de acuerdo con la fórmula D \u003d AB · c. Esta regla implica que la división privada incompleta de números negativos enteros es un número positivo completo. Reescribimos la regla de voz en forma de algoritmo para dividir números negativos enteros: Considere el uso del algoritmo para dividir números negativos completos al resolver un ejemplo. Ejemplo. Encuentre un privado y residuo incompleto para dividir un número negativo completo -17 a un número negativo entero -5. Decisión. Utilizamos el algoritmo correspondiente de la división con el residuo. El módulo de dividendos es 17, el módulo divisor es 5. División 17 en 5 le da 3 y residuos privados incompletos 2. Por incompleto privado 3 Agregar unidad: 3 + 1 \u003d 4. En consecuencia, la privada incompleta deseada de la división -17 a -5 es 4. Queda por calcular el residuo. En este ejemplo, A \u003d -17, B \u003d -5, C \u003d 4, luego D \u003d A-B · C \u003d -17 - (- 5) · 4 \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Por lo tanto, el privado incompleto de dividir un número negativo completo -17 a un número negativo entero -5 es 4, y el residuo es 3. Respuesta: (-17): (- 5) \u003d 4 (OST. 3). Una vez realizada la determinación de enteros con el residuo, es útil verificar el resultado obtenido. El cheque se realiza en dos etapas. En la primera etapa se verifica si el residuo D es un número no negativo, y se verifica la condición. Si se realizan todas las condiciones de la primera etapa del cheque, entonces puede comenzar a la segunda etapa de la verificación, de lo contrario, se puede argumentar que se realizó un error al dividir con el residuo. En la segunda etapa, se verifica la validez de la igualdad A \u003d B · C + D. Si esta igualdad es válida, la división con el residuo se realizó correctamente, de lo contrario se realizó un error en algún lugar. Considere las soluciones de ejemplos en los que se realiza el resultado de dividir los enteros con el residuo. Ejemplo. Al dividir el número -521 en -12, se obtuvieron 44 y residuos privados incompletos 7, siguen el resultado. Decisión. -2 para B \u003d -3, C \u003d 7, D \u003d 1. Tengo b · C + D \u003d--3 · 7 + 1 \u003d -21 + 1 \u003d -20. Por lo tanto, la igualdad A \u003d B · C + D es incorrecta (en nuestro ejemplo A \u003d -19). En consecuencia, la división con el residuo era incorrecta. El artículo disellita el concepto de dividir enteros con el residuo. Probamos el teorema sobre la divisibilidad de los enteros con el residuo y veamos la relación entre divisiones y divisores, privado incompleto y residuos. Considere las reglas cuando los números enteros se dividen con los restos, examinados en detalle en los ejemplos. Al final de la decisión realizará un cheque. La división de enteros con el residuo se considera como una división generalizada con el residuo de números naturales. Esto se hace porque los números naturales son una parte integral del conjunto. La división con el residuo de un número arbitrario sugiere que un entero A se divide por el número B, diferente de cero. Si b \u003d 0, entonces no produce una división con el residuo. Además de la división de números naturales con el residuo, se hace la división de enteros A y B, con B diferentes de cero, en C y D. En este caso, A y B se llaman divisibles y divisorios, y D es el residuo de saldo, C es un entero o privado incompleto. Si asumimos que el residuo es un número no negativo, entonces su valor no es más grande que el número b. Escribimos de esta manera: 0 ≤ d ≤ b. Esta cadena de desigualdades se utiliza cuando se comparan 3 y más que el número de números. Si C es un privado incompleto, entonces D es el residuo dividiendo un entero A por B, se puede solucionar brevemente: A: B \u003d C (OST. D). El residuo durante la división de los números A en B es posible cero, entonces dicen que A se divide en B un enfoque, es decir, sin un residuo. La división sin residuos se considera un caso especial de división. Si dividimos cero por algún número, obtenemos como resultado de cero. El residuo de saldo también será cero. Esto se puede rastrear de la teoría de dividir cero por un entero. Ahora considere el significado de dividir enteros con el residuo. Se sabe que todos los números positivos son naturales, luego se dividen con el residuo, será el mismo sentido, como en la división de números naturales con el residuo. Al dividir todo un número negativo A, una b completa positiva, hay un significado. Considere en el ejemplo. Representando la situación cuando tenemos una deuda de objetos en la cantidad de A, que necesita pagar B. Para hacer esto, necesitas hacer la misma contribución a todos. Para determinar la cantidad de deuda para todos, es necesario prestar atención al tamaño del privado. El residuo D dice que una serie de artículos se conocen después de una descarga de responsabilidad con deudas. Considere en el ejemplo con las manzanas. Si 2 personas deben 7 manzanas. En caso de que se considere que todos deben regresar a 4 manzanas, después de un cálculo completo, permanecerán 1 Apple. Escribimos en forma de igualdad: (- 7): 2 \u003d - 4 (O con t. 1). La división de cualquier número y no tiene sentido, sino tal vez como una opción. Revelamos que A, esto es divisible, entonces B es un divisor, con - privado incompleto, y D es el residuo. Están conectados entre sí. Esta conexión se mostrará con la ayuda de la igualdad A \u003d B · C + D. La relación entre ellos se caracteriza por la división más te más tensa con el residuo. Teorema Cualquier entero solo se puede representar a través de un número entero y diferente del número cero B de esta manera: A \u003d B · Q + R, donde P y R son algunos enteros. Aquí tenemos 0 ≤ r ≤ b. Probamos la posibilidad de existencia A \u003d B · Q + R. Evidencia Si hay dos números A y B, y A se divide en B sin residuos, luego se desprende de la definición que hay un número Q, que será la verdadera igualdad A \u003d B · Q. Luego, la igualdad se puede considerar verdadera: A \u003d B · Q + R con R \u003d 0. Entonces es necesario tomar q tal que esta desigualdad B · Q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b . Tenemos que el valor de la expresión A - B · Q es mayor que cero y no es más valor del número B, sigue que R \u003d A - B · Q. Obtenemos que el número A se puede representar como A \u003d B · Q + R. Ahora es necesario considerar la posibilidad de representación A \u003d B · Q + R por valores negativos b. El módulo del número se obtiene positivo, entonces obtenemos A \u003d B · Q 1 + R, donde el valor Q 1 es un número entero, R es un número entero que se adapta a la condición 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b . Prueba de singularidad Supongamos que A \u003d B · Q + R, Q y R son enteros con una condición fiel 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где Q 1. y R 1 son algunos números donde q 1 ≠ q q 0 ≤ R 1< b . Cuando la desigualdad se resta de las partes izquierda y derecha, obtenemos 0 \u003d B · (Q - Q 1) + R 1, que es equivalente a R - R 1 \u003d B · Q 1 - Q. Dado que se utiliza el módulo, obtenemos la igualdad R - R 1 \u003d B · Q 1 - Q. La condición especificada sugiere que 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что P.y Q 1.- todo, y Q ≠ q 1, luego q 1 - q ≥ 1. Desde aquí tenemos que B · Q 1 - Q ≥ b. Recibió las desigualdades R - R 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае. De ello se deduce que se presenta un número A diferente a se puede presentar, excepto como un registro A \u003d B · Q + R. Con la ayuda de la igualdad A \u003d B · C + D, se puede encontrar una división desconocida cuando se conoce un divisor B con un C y el residuo d. Ejemplo 1. Determine los dividímees si se obtiene la división - 21, incompletos privados 5 y residuos 12. Decisión
Es necesario calcular Delimi A con el divisor B \u003d - 21, privado incompleto C \u003d 5 y el residuo D \u003d 12. Es necesario referirse a la igualdad A \u003d B · C + D, obtenemos A \u003d (- 21) · 5 + 12. Bajo el procedimiento para realizar acciones, multiplique - 21 a 5, después de eso obtenemos (- 21) · 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93. Respuesta: - 93 . La relación entre el divisor y el privado incompleto y el residuo se pueden expresar utilizando ecuaciones: B \u003d (A - D): C, C \u003d (A - D): B y D \u003d A - B · c. Con su ayuda, podemos calcular el divisor, privado incompleto y residuos. Esto se reduce al hallazgo constante de los residuos dividiendo a los enteros enteros a en B con un divisible, divisor y privado incompleto conocido. Se aplica la fórmula D \u003d A - B · C. Considere la decisión en detalle. Ejemplo 2. Encuentre el residuo de la división de un entero - 19 por un todo 3 con un privado incompleto conocido igual a 7. Decisión
Para calcular el residuo de la división, aplicamos la fórmula del formulario D \u003d A - B · c. Por condición, todos los datos A \u003d - 19, B \u003d 3, C \u003d - 7 están disponibles. Desde aquí obtenemos D \u003d A - B · C \u003d - 19 - 3 · (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (la diferencia es 19 - (- 21). Este ejemplo es Calculado de acuerdo con la regla de deducción. Todo un número negativo. Respuesta: 2 . Todos los números positivos enteros son naturales. De ello se deduce que la división se realiza en todas las reglas de división con el residuo de números naturales. La tasa de ejecución de la división con el residuo de números naturales es importante, ya que se basa no solo la división de positivos, sino también las reglas para dividir el arbitrario entero. El método más conveniente de la división es una columna, ya que es más fácil y más rápido ser incompleto o simplemente un privado con el residuo. Considere la decisión con más detalle. Ejemplo 3. Decisión 14671 por 54. Decisión
Esta división debe ser realizada por una columna: Es decir, el privado incompleto se obtiene igual a 271, y el residuo es 37. Respuesta: 14 671: 54 \u003d 271. (OST. 37) Para dividir con el residuo de un número positivo para un todo negativo, es necesario formular una regla. Definición 1. El privado incompleto de la división de un todo positivo A a un B total negativo B recibe un número que es opuesto a privado incompleto de dividir los números a por b. Luego, el residuo es igual al residuo al dividir una en b. Desde aquí, tenemos que incompletamente privado de división de todo un número de una sola vez para un número negativo entero se considera un número no mental entero. Obtenemos el algoritmo: Tenga en cuenta el ejemplo del algoritmo para dividir un número positivo completo a un todo negativo. Ejemplo 4. Realizar división con el residuo 17 a 5. Decisión
Aplique un algoritmo de división con un número positivo completo de todo un negativo. Es necesario dividir el módulo de 17 a 5. Desde aquí, conseguimos que el privado incompleto es 3, y el residuo es 2. Obtenemos que el número deseado de la División 17 a - 5 \u003d - 3 con el residuo es igual a 2. Respuesta: 17: (- 5) \u003d - 3 (Ost. 2). Ejemplo 5. Es necesario dividir 45 a 15. Decisión
Es necesario dividir los números por el módulo. El número 45 está dividido por 15, obtendremos un 3 privado sin residuos. Por lo tanto, el número 45 se divide en 15 sin residuos. En respuesta, obtendramos - 3, ya que la división se realizó en el módulo. 45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3 Respuesta: 45: (− 15) = − 3 . La redacción de las reglas de la división con el residuo es la siguiente. Definición 2. Para obtener una C privada incompleta, al dividir un total negativo A por positivo B, debe aplicar lo contrario a este número y restar de él 1, luego el residuo D será calculado por la fórmula: D \u003d A - B · C. Sobre la base de la regla, se puede concluir que al dividir, obtenemos un número no negativo. Para la exactitud de la solución, el algoritmo de la División A en B se utiliza con el residuo: Considere en el ejemplo de una solución donde se aplique este algoritmo. Ejemplo 6. Encuentre un privado incompleto y el equilibrio de la División - 17 a 5. Decisión
Dividimos los números especificados en el módulo. Obtenemos que en la división del privado igual a 3, y el resto 2. Ya que obtuvieron 3, opuestos - 3. Es necesario quitar 1. − 3 − 1 = − 4 . El valor deseado es 100º igual a 4. Para calcular el residuo, es necesario A \u003d - 17, B \u003d 5, C \u003d - 4, luego D \u003d A - B · C \u003d - 17 - 5 · (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Por lo tanto, el privado incompleto de la división es el número 4 con el residuo igual a 3. Respuesta: (- 17): 5 \u003d - 4 (OST. 3). Ejemplo 7. Dividir todo un número negativo - 1404 por positivo 26. Decisión
Es necesario dividir la columna y en Mudlyuly. Tenemos la división de los módulos de números sin residuos. Esto significa que la división se realiza sin un residuo, sino el privado artístico \u003d - 54. Respuesta: (− 1 404) : 26 = − 54 . Es necesario formular una regla de división con el residuo de números negativos enteros. Definición 3. Para obtener una civia privada incompleta de dividir un número negativo entero a a una b completa negativa B, es necesario calcular el módulo en el módulo, después de lo cual agregue 1, entonces podemos hacer cálculos de acuerdo con la fórmula D \u003d A - B · C. A partir de aquí se deduce que la división incompleta de la división de números negativos enteros será el número positivo. Formulamos esta regla como un algoritmo: Este algoritmo verá el ejemplo. Ejemplo 8. Encuentre un privado y residuo incompleto durante la División - 17 a 5. Decisión
Para la exactitud de la decisión, aplicamos un algoritmo para dividir con el residuo. Para comenzar a retirar el número en el módulo. Desde aquí obtenemos ese privado incompleto \u003d 3, y el residuo es 2. Según la regla, es necesario agregar privado incompleto y 1. Obtenemos que 3 + 1 \u003d 4. Desde aquí, obtenemos que el privado incompleto de la división de los números dados es 4. Para calcular el residuo, aplicamos la fórmula. Por condición, tenemos que A \u003d - 17, B \u003d - 5, C \u003d 4, luego, usando la fórmula, obtenemos D \u003d A - B · C \u003d - 17 - (- 5) · 4 \u003d - 17 - ( - 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. La respuesta deseada, es decir, el residuo es 3, y el privado incompleto es 4. Respuesta: (- 17): (- 5) \u003d 4 (OST. 3). Después de hacer la división de números con el residuo, debe verificar. Este cheque implica 2 etapas. Inicialmente, existe una verificación del residuo D a la no negatividad, el rendimiento de la condición 0 ≤ D< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка. Considere en los ejemplos. Ejemplo 9. Se produjo la división - 521 en - 12. Privado igual a 44, residuos 7. Realizar cheque. Decisión
Dado que el residuo es un número positivo, entonces su valor es menor que el módulo del divisor. El divisor es igual a 12, significa que su módulo es 12. Puede ir al siguiente artículo de cheque. Por condición, tenemos que A \u003d - 521, B \u003d - 12, C \u003d 44, D \u003d 7. Desde aquí, calculamos B · C + D, donde B · C + D \u003d - 12 · 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. De ello se deduce que la igualdad es correcta. Se pasa el cheque. Ejemplo 10. Compruebe la División (- 17): 5 \u003d - 3 (OST. - 2). Es la igualdad verdad? Decisión
El significado de la primera etapa es que es necesario verificar la división de enteros con el residuo. Se puede ver que la acción se realiza incorrectamente, ya que el residuo es igual a 2. El residuo no es un número negativo. Tenemos que se realiza la segunda condición, pero no suficiente para este caso. Respuesta: no. Ejemplo 11. El número 19 se dividió en 3. Privado incompleto igual a 7, y residuo 1. Compruebe si este cálculo es verdadero. Decisión
Dan un residuo igual a 1. Él es positivo. Por magnitud menor que el módulo divisor, significa que se realiza la primera etapa. Veamos a la segunda etapa. Calcule el valor de la expresión B · C + D. Por condición, tenemos que B \u003d - 3, C \u003d 7, D \u003d 1, significa que sustituya los valores numéricos, obtenemos B · C + D \u003d - 3 · 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Se deduce que la igualdad A \u003d B · C + D no se realiza, ya que la condición se da a \u003d - 19. De ahí la conclusión de que la división está hecha con un error. Respuesta: no. Si observa un error en el texto, selecciónelo y presione CTRL + ENTER Considere un ejemplo simple: A veces, el número natural es completamente capaz de dividir el enfoque. Por ejemplo, considere la tarea: Decisión: Sabemos que 16 no es compartir. El número más cerca que se divide por 5 es 15 y 1 en el resto. Número 15 Podemos pintar como 5⋅3. Como resultado (16 - Delimi, 5 - divisor, 3 - privado incompleto, 1 - residuo). Recibió fórmula división con el residuo.que se puede hacer cheque de solución. uNA.=
b.⋅
c.+
d. Respuesta: Cada niño tomará 3 juguetes y se quedará un juguete. El residuo siempre debe ser menor que el divisor. Si al dividir el residuo es cero, significa que el intercambio divisible ncape O sin un equilibrio en el divisor. Si al dividir el residuo es más divisor, significa que el número encontrado no es el más grande. Hay un número más grande que se divide y el residuo será menor que un divisor. Preguntas sobre el tema "Decisión con el residuo":
¿El residuo puede ser igual al divisor? ¿Cómo encontrar divisible en privado, divisor y residuo incompleto? Ejemplo número 1:
Decisión: 258 - Delimi, b) Dividimos la columna: 1873 - Delimi, Sustituto en la fórmula y verifique si decidimos resolver el ejemplo: Ejemplo número 2:
Respuesta: Ejemplo número 3:
Respuesta: Ejemplo número 4:
Decisión: b) resuelto con la ayuda de la fórmula: Una tarea:
Cable 4m. Es necesario cortar en trozos de 13 cm. ¿Cuántas piezas funcionará? Decisión: Respuesta: 30 piezas resultan y 10 cm. El cable se mantendrá.
, y en virtud de las propiedades del módulo del número y la igualdad. 
.
. De las desigualdades obtenidas y Sigue esa igualdad de la forma. Es imposible en nuestro supuesto. Por lo tanto, no hay otra representación del número A, excepto A \u003d B · q + r.Vínculos entre divisible, divisor, privado incompleto y residuos.
División con el residuo de números positivos enteros, ejemplos.
La regla de la división con el residuo de un número positivo de ejemplos adecuados.
División con todo un número negativo de entero positivo, ejemplos
La regla de la división con el residuo de números negativos enteros, ejemplos.
Compruebe el resultado de dividir enteros con el residuo.
Vista general de la división de enteros con residuos.
Teorema sobre la divisibilidad de enteros con el residuo.
Comunicación entre divisible, divisor, privado incompleto y residuo.
La regla de la división con el residuo de un número positivo de ejemplos adecuados.
La regla de la división con el residuo de números negativos enteros, ejemplos.
Compruebe el resultado de dividir enteros con el residuo.
15:5=3
En este ejemplo, el número natural de 15 dividimos. ncape3, sin equilibrio.
16 juguetes yacen en el armario. El grupo tenía cinco hijos. Cada niño tomó el mismo número de juguetes. ¿Cuántos juguetes tienen a cada niño?
Dividimos el número 16 en 5 columnas que recibimos:
uNA. - Delimi,
b. - divisor,
c. - privado incompleto,
d. - Equilibrio.Resto de la división
¿El resto puede ser más divisor?
Respuesta: No.
Respuesta: No.
Respuesta: Los valores del privado, divisor incompleto y el residuo se sustituyen en la fórmula y se encuentran divisibles. Fórmula:
a \u003d b⋅c + d
Realice una división con el residuo y comprobar: a) 258: 7 B) 1873: 8
a) Dividimos la columna: 
7 - Divider,
36 - privado incompleto,
6 - residuo. Residuo menos divisor 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
8 - Divider,
234 - privado incompleto,
1 - residuo. El residuo es menor que el divisor 1.<8.
8⋅234+1=1872+1=1873
¿Qué restos se obtienen al dividir los números naturales: a) 3 B) 8?
a) El residuo es menor que el divisor, por lo tanto, menos 3. En nuestro caso, el residuo puede ser igual a 0, 1 o 2.
b) El residuo es menor que el divisor, por lo tanto, menos de 8. En nuestro caso, el residuo puede ser igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7.
¿Cuál es el mayor residuo, puede resultar al dividir los números naturales: a) 9 B) 15?
a) El residuo es menor que el divisor, por lo tanto, menos de 9. Pero necesitamos especificar el mayor equilibrio. Ese es el número más cercano al divisor. Este es el número 8.
b) El residuo es menor que el divisor, por lo tanto, menos de 15. Pero necesitamos especificar el mayor balance. Ese es el número más cercano al divisor. Este es el número 14.
Encuentra divisible: a) a: 6 \u003d 3 (Ost 4) B) C: 24 \u003d 4 (East.11)
a) Soliendo con la ayuda de la fórmula:
a \u003d b⋅c + d
(A - Delimi, B - Divider, C - Residuos privados incompletos, D.)
A: 6 \u003d 3 (Ost.4)
(A - Delimi, 6 - divisor, 3 - privado incompleto, 4 - residuos). Sustituya los números en la fórmula:
A \u003d 6⋅3 + 4 \u003d 22
Respuesta: A \u003d 22
a \u003d b⋅c + d
(A - Delimi, B - Divider, C - Residuos privados incompletos, D.)
C: 24 \u003d 4 (East.11)
(C - Delimi, 24 - divisor, 4 - privado incompleto, 11 - residuos). Sustituya los números en la fórmula:
C \u003d 24⋅4 + 11 \u003d 107
Respuesta: C \u003d 107
Primero necesitas traducir metros a centímetros.
4m. \u003d 400cm.
Puedes compartir una columna o en la mente que obtendremos:
400: 13 \u003d 30 (Ost.10)
Cheque:
13⋅30+10=390+10=400
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