Permanece que encontraremos los nodos. Algoritmo Euclida - Encontrar el mayor divisor común

El mayor divisor común (Nodo) Dos números llamados el número más grande al que ambos números se dividirán sin un residuo.

Designacion: Nodo (a; c).

EJEMPLO. Encontramos los nodos de los números 4 y 6.

• El número 4 sin un residuo se divide por: 1, 2 y 4.
• El número 6 sin un residuo se divide por: 1, 2, 3 y 6.
• El mayor divisor común de los números 4 y 6 será el número 2.
• Nodo (4; 6) \u003d 2

Este es un ejemplo simple. ¿Y qué hay de los grandes números para los que es necesario encontrar nodos?

En tales casos, los números se rechazan a factores simples, después de lo cual se observan los mismos multiplicadores en ambas expansiones, el producto de los multiplicadores simples marcados y será el asentimiento.

EJEMPLO. Encontraremos los nodos de los números 81 y 45.

81 = 3 · 3 · 3 · 3 45 \u003d 3 · 3 · 5 nodo (81; 45) \u003d 3 · 3 = 9

En los casos en que dos números no tienen multiplicadores simples idénticos, el único número natural que se dividirá en tales números será 1. Nodizos de tales números \u003d 1. Por ejemplo: nodo (7; 15) \u003d 1.

¿Qué es NOK?

El número A se llama múltiple El número, si se divide en sin un residuo (apuntado). Por ejemplo, 10 se divide por 5, por lo tanto, 10 veces 5; 11 no se divide por enfoque en 5, por lo tanto, 11 no es múltiple 5.

La pintura común más pequeña (NOC) de dos números naturales se llama el número más pequeño, múltiples estos dos números.

Designacion: NOK (A; B).

Nok Finding Regla:

• descomponer ambos números en factores simples, tenga en cuenta los mismos multiplicadores simples en ambas descomposición, si corresponde;
• el producto de todos los multiplicadores simples de uno de los números (en realidad, el número de) y todos los multiplicadores no marcados harán NOC.

EJEMPLO. Encontramos números NOC 81 y 45.

81 = 3 · 3 · 3 · 3 45 \u003d 3 · 3 · 5 NOC (81; 45) \u003d 81 · 5 \u003d 405

405 es el múltiplo más pequeño para los números 81 y 45: 405/81 \u003d 5; 405/45 \u003d 9.

Si dos números no tienen multiplicadores simples idénticos, entonces el ANC para tales números será igual al producto de estos números.

14 \u003d 2 · 7 15 \u003d 3 · 5 NOC (14; 15) \u003d 14 · 15 \u003d 210

El mayor divisor común y los múltiples generales más pequeños son conceptos aritméticos clave que permiten sin esfuerzo operar con fracciones ordinarias. NOC y más a menudo se utilizan para buscar un denominador común de varias fracciones.

Conceptos básicos

Un divisor número entero X es otro entero y, que x se divide sin un residuo. Por ejemplo, el divisor 4 es 2, y 36 - 4, 6, 9. Un múltiplo de la X entero es un número de Y, que se divide en X sin un residuo. Por ejemplo, 3 veces 15, y 6 - 12.

Para cualquier par de números, podemos encontrar a sus divisores comunes y múltiples. Por ejemplo, para 6 y 9, el múltiplo total es 18, y un divisor común - 3. Es obvio que los divisores y los múltiples pares pueden ser algo, por lo tanto, durante los cálculos, se utilizan el divisor de nodo más grande y los múltiples NOK más pequeños. .

El divisor más pequeño no tiene sentido, ya que para cualquier número es siempre una unidad. El múltiplo más grande también es sin sentido, ya que la secuencia de múltiplos se precipita hacia el infinito.

Encontrando nodo

Para buscar al mayor divisor común, hay muchos métodos, los más famosos de los cuales:

• busto secuencial de los divisores, la elección de común a la pareja y la búsqueda de los más grandes de ellos;
• descomposición de números para factores indivisibles;
• algoritmo euclida;
• algoritmo binario.

Hoy en día, en las instituciones educativas son los métodos más populares de descomposición en multiplicadores simples y el algoritmo de euclida. El último a su vez se usa en la resolución de ecuaciones de diofantina: se requiere una búsqueda de nodos para probar la ecuación a la capacidad de resolverlo en enteros.

NOK.

El múltiplo total más pequeño también se determina mediante un bullicio o descomposición consistente de multiplicadores indivisibles. Además, es fácil encontrar NOC, si el divisor más grande ya está definido. Para los números X e Y, NOC y Nod están conectados por la siguiente proporción:

NOK (X, Y) \u003d x × y / nodo (x, y).

Por ejemplo, si asenta (15.18) \u003d 3, luego NOK (15.18) \u003d 15 × 18/3 \u003d 90. El ejemplo más obvio del uso de la COUS es la búsqueda de un denominador común, que es el múltiplo común más pequeño para Las fracciones dadas.

Números mutuamente simples

Si el par de números no tiene divisores comunes, entonces una pareja se llama mutuamente simple. El nodo para tales pares es siempre igual a uno, y en función de la conexión de divisores y múltiples, los NOCS para mutuamente simples es igual a su trabajo. Por ejemplo, los números 25 y 28 son mutuamente simples, porque no tienen divisores comunes, y NOK (25, 28) \u003d 700, que corresponden a su trabajo. Dos números indivisibles siempre serán mutuamente simples.

Calculadora del divisor general y múltiples.

Con nuestra calculadora, puede calcular NUNT y NIC para un número arbitrario de números para elegir. Las tareas para el cálculo de divisores comunes y múltiples se encuentran en la aritmética 5, grado 6, pero SINDE y NOC son los conceptos clave de las matemáticas y se utilizan en la teoría de los números, la planimetría y el álgebra comunicativa.

Ejemplos de la vida real

Fracciones de denominador común

El total más pequeño se utiliza al buscar un denominador común de varias fracciones. Supongamos en la tarea aritmética que necesita para resumir 5 fracciones:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Para agregar fracciones, la expresión debe ser llevada a un denominador común, que se reduce a la tarea de encontrar el NOC. Para hacer esto, seleccione los 5 números en la calculadora e ingrese los valores de los denominadores a las celdas correspondientes. El programa calculará el NOC (8, 9, 12, 15, 18) \u003d 360. Ahora es necesario calcular multiplicadores adicionales para cada fracción, que se definen como la relación de la NAC al denominador. Por lo tanto, se verán multiplicadores adicionales:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Después de eso, multiplicamos todas las fracciones en el factor adicional correspondiente y obtengan:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Podemos resumir fácilmente dichas fracciones y obtener el resultado en la forma de 159/360. Reducimos la fracción de 3 y vemos la respuesta final - 53/120.

Solución de ecuaciones diofánticas lineales.

Las ecuaciones de diophantía lineal son expresiones de la forma AX + por \u003d D. Si la proporción D / NODE (A, B) es un número entero, la ecuación es solucionable en enteros. Vamos a verificar un par de ecuaciones para una solución entera. Primero, verifique la ecuación 150x + 8y \u003d 37. Con la ayuda de la calculadora encontramos un nodo (150.8) \u003d 2. Delim 37/2 \u003d 18.5. El número no es entero, por lo tanto, la ecuación no tiene raíces enteras.

Verificamos la ecuación 1320x + 1760y \u003d 10120. Utilizamos una calculadora para encontrar un nodo (1320, 1760) \u003d 440. Divimos 10120/440 \u003d 23. Como resultado, obtenemos un número entero, por lo tanto, la ecuación de diófantía es solucible En todos los coeficientes.

Conclusión

Los nodos y los NCS desempeñan un papel importante en la teoría de los números, y los conceptos en sí mismos son ampliamente utilizados en diversos campos de las matemáticas. Use nuestra calculadora para calcular los mayores divisores y el múltiplo más pequeño de cualquier número de números.

El mayor divisel común

Definición 2.

Si el número natural A se divide en el número natural de $ B $, entonces $ B $ se llama el divisor número de $ A $, y el número $ A $ se llama múltiplo de los $ B $.

Deje $ a $ y $ b $ b $-NUTRALES. El número $ C $ se llama un divisor común y por $ A $ y por $ B $.

Muchos divisores comunes de $ A $ y $ B $ son, por supuesto, ya que ninguno de estos divisores puede ser más de $ a $. Significa que hay el más grande entre estos divisores, que se llama el mayor divisor común de $ A $ y $ B $ y escribe registros para su designación:

$ Nodo \\ (a; b) \\ o \\ d \\ (a; b) $

Para encontrar el divisor común más grande de dos, los números necesitan:

1. Encuentre un producto de números que se encuentran en el paso 2. El número resultante será el divisor común más grande deseado.

Ejemplo 1.

Encuentra nodos $ 121 $ y $ 132. $

$ 242 \u003d 2 \\ CDOT 11 \\ CDOT $ 11

$ 132 \u003d 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 3 \\ CDOT 11 $

Seleccione los números que se incluyen en la descomposición de estos números.

$ 242 \u003d 2 \\ CDOT 11 \\ CDOT $ 11

$ 132 \u003d 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 3 \\ CDOT 11 $

Encuentre el producto de los números que se encuentran en el Paso 2. Se ha recibido el número y será el famoso divisor común más grande.

$ Nodo \u003d 2 \\ cdot 11 \u003d 22 $

Ejemplo 2.

Encuentre un nodo de homorales $ 63 $ y $ 81 $.

Encontraremos de acuerdo con el algoritmo presentado. Para esto:

Sprete los números en multiplicadores simples.

$ 63 \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT $ 7

$ 81 \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT $ 3

Elija los números que se incluyen en la descomposición de estos números.

$ 63 \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT $ 7

$ 81 \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT $ 3

Encontraremos un producto de los números que se encuentran en el Paso 2. El número recibido y será el divisor común más grande deseado.

$ NODE \u003d 3 \\ CDOT 3 \u003d 9 $

Es posible encontrar un nodo de dos números de una manera diferente, utilizando muchos divisores de números.

Ejemplo 3.

Encuentre un número de nodo $ 48 y $ 60 $.

Decisión:

Encontramos a muchos divisores del número $ 48 $: $ \\ \\ a izquierda \\ (((\\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \\ derecha \\) $

Ahora encontramos a muchos divisores del número $ 60 $: $ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (((\\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \\ derecha \\) $

Encontraremos la intersección de estos conjuntos: $ \\ izquierda \\ (((\\ rm 1,2,3,4,6,,12) \\ derecha \\) $ - Este conjunto determinará el conjunto de divisores comunes de $ 48 y $ 60 PS El elemento más grande de este conjunto será el número de $ 12 $. Así que el mayor divisor común de $ 48 $ y $ 60 $ será de $ 12 $.

NOK.

Definición 3.

Múltiples números naturales comunes $ A $ y $ B $ se llama un número natural que es múltiple y $ A $ y $ B $.

Los números múltiples comunes se denominan números que se dividen en Fuente sin residuos. Por ejemplo, formas $ 25 y $ 50 $ 50 por múltiples números comunes $ 50,100,150,200 $, etc.

El múltiplo más pequeño del total se denominará múltiplo común más pequeño y se denota por el NOC $ (A; B) $ o K $ (A; B). $

Para encontrar el NOC de dos números, necesita:

1. Números de despacho para factores simples
2. Para anotar los multiplicadores en el primer número y agregarlos multiplicadores, que forman parte del segundo y no vayan a la primera

Ejemplo 4.

Encontrar números NOC $ 99 $ y $ 77 $.

Encontraremos de acuerdo con el algoritmo presentado. Para esto

Números de despacho para factores simples

$ 99 \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT $ 11

Para anotar los multiplicadores en la primera.

agregue los multiplicadores, que forman parte del segundo y no vayan a la primera.

Encuentre un producto de números que se encuentran en el paso 2. Se ha recibido el número y será el más pequeño más pequeño deseado

$ NOK \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT 11 \\ CDOT 7 \u003d $ 693

Elaboración de listas de divisores de números es a menudo una ocupación muy laboriosa. Hay una manera de encontrar un nodo llamado el algoritmo de euclidea.

Las declaraciones en las que se fundó el algoritmo Euclide:

Si $ A $ y $ B $ - representa, y $ A \\ VDOTS B $, luego $ D (A; B) \u003d B $

Si $ A $ y $ B $ - representa, de tal manera que $ b

Usando $ D (A; B) \u003d D (A-B; B) $, uno puede reducir constantemente los números en consideración hasta que hagamos a un par de números que uno de ellos se divide en otro. Luego, el menor de estos números será el divisor común más grande deseado para los números $ A $ y $ B $.

Propiedades asintiendo y nok

1. Cualquier número múltiple común $ A $ y $ B $ se divide en K $ (A; B) $
2. Si $ A \\ VDOTS B $, luego a $ (A; B) \u003d A $

Si a $ (a; b) \u003d k $ y $ m $-NUMBERURA, luego a $ (am; bm) \u003d km $

Si $ D $ - Divisor de papel por $ A $ y $ B $, a ($ \\ frac (a) (d); \\ frac (b) (d) $) \u003d $ \\ \\ frac (k) (D ) $

Si $ A \\ VDOTS C $ y $ B \\ VDOTS C $, luego $ \\ FRAC (AB) (C) $ - Total de números múltiples $ A $ y $ B $

Para cualquier número natural, se realiza una igualdad de $ A $ y $ B $

$ D (A; B) \\ CDOT a (A; B) \u003d AB $

Cualquier divisor común de números $ A $ y $ B $ es un divisor del número $ D (A; B) $

El mayor divisel común

Definición 2.

Si el número natural A se divide en el número natural de $ B $, entonces $ B $ se llama el divisor número de $ A $, y el número $ A $ se llama múltiplo de los $ B $.

Deje $ a $ y $ b $ b $-NUTRALES. El número $ C $ se llama un divisor común y por $ A $ y por $ B $.

Muchos divisores comunes de $ A $ y $ B $ son, por supuesto, ya que ninguno de estos divisores puede ser más de $ a $. Significa que hay el más grande entre estos divisores, que se llama el mayor divisor común de $ A $ y $ B $ y escribe registros para su designación:

$ Nodo \\ (a; b) \\ o \\ d \\ (a; b) $

Para encontrar el divisor común más grande de dos, los números necesitan:

1. Encuentre un producto de números que se encuentran en el paso 2. El número resultante será el divisor común más grande deseado.

Ejemplo 1.

Encuentra nodos $ 121 $ y $ 132. $

$ 242 \u003d 2 \\ CDOT 11 \\ CDOT $ 11

$ 132 \u003d 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 3 \\ CDOT 11 $

Seleccione los números que se incluyen en la descomposición de estos números.

$ 242 \u003d 2 \\ CDOT 11 \\ CDOT $ 11

$ 132 \u003d 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 3 \\ CDOT 11 $

Encuentre el producto de los números que se encuentran en el Paso 2. Se ha recibido el número y será el famoso divisor común más grande.

$ Nodo \u003d 2 \\ cdot 11 \u003d 22 $

Ejemplo 2.

Encuentre un nodo de homorales $ 63 $ y $ 81 $.

Encontraremos de acuerdo con el algoritmo presentado. Para esto:

Sprete los números en multiplicadores simples.

$ 63 \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT $ 7

$ 81 \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT $ 3

Elija los números que se incluyen en la descomposición de estos números.

$ 63 \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT $ 7

$ 81 \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT $ 3

Encontraremos un producto de los números que se encuentran en el Paso 2. El número recibido y será el divisor común más grande deseado.

$ NODE \u003d 3 \\ CDOT 3 \u003d 9 $

Es posible encontrar un nodo de dos números de una manera diferente, utilizando muchos divisores de números.

Ejemplo 3.

Encuentre un número de nodo $ 48 y $ 60 $.

Decisión:

Encontramos a muchos divisores del número $ 48 $: $ \\ \\ a izquierda \\ (((\\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \\ derecha \\) $

Ahora encontramos a muchos divisores del número $ 60 $: $ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (((\\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \\ derecha \\) $

Encontraremos la intersección de estos conjuntos: $ \\ izquierda \\ (((\\ rm 1,2,3,4,6,,12) \\ derecha \\) $ - Este conjunto determinará el conjunto de divisores comunes de $ 48 y $ 60 PS El elemento más grande de este conjunto será el número de $ 12 $. Así que el mayor divisor común de $ 48 $ y $ 60 $ será de $ 12 $.

NOK.

Definición 3.

Múltiples números naturales comunes $ A $ y $ B $ se llama un número natural que es múltiple y $ A $ y $ B $.

Los números múltiples comunes se denominan números que se dividen en Fuente sin residuos. Por ejemplo, formas $ 25 y $ 50 $ 50 por múltiples números comunes $ 50,100,150,200 $, etc.

El múltiplo más pequeño del total se denominará múltiplo común más pequeño y se denota por el NOC $ (A; B) $ o K $ (A; B). $

Para encontrar el NOC de dos números, necesita:

1. Números de despacho para factores simples
2. Para anotar los multiplicadores en el primer número y agregarlos multiplicadores, que forman parte del segundo y no vayan a la primera

Ejemplo 4.

Encontrar números NOC $ 99 $ y $ 77 $.

Encontraremos de acuerdo con el algoritmo presentado. Para esto

Números de despacho para factores simples

$ 99 \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT $ 11

Para anotar los multiplicadores en la primera.

agregue los multiplicadores, que forman parte del segundo y no vayan a la primera.

Encuentre un producto de números que se encuentran en el paso 2. Se ha recibido el número y será el más pequeño más pequeño deseado

$ NOK \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT 11 \\ CDOT 7 \u003d $ 693

Elaboración de listas de divisores de números es a menudo una ocupación muy laboriosa. Hay una manera de encontrar un nodo llamado el algoritmo de euclidea.

Las declaraciones en las que se fundó el algoritmo Euclide:

Si $ A $ y $ B $ - representa, y $ A \\ VDOTS B $, luego $ D (A; B) \u003d B $

Si $ A $ y $ B $ - representa, de tal manera que $ b

Usando $ D (A; B) \u003d D (A-B; B) $, uno puede reducir constantemente los números en consideración hasta que hagamos a un par de números que uno de ellos se divide en otro. Luego, el menor de estos números será el divisor común más grande deseado para los números $ A $ y $ B $.

Propiedades asintiendo y nok

1. Cualquier número múltiple común $ A $ y $ B $ se divide en K $ (A; B) $
2. Si $ A \\ VDOTS B $, luego a $ (A; B) \u003d A $

Si a $ (a; b) \u003d k $ y $ m $-NUMBERURA, luego a $ (am; bm) \u003d km $

Si $ D $ - Divisor de papel por $ A $ y $ B $, a ($ \\ frac (a) (d); \\ frac (b) (d) $) \u003d $ \\ \\ frac (k) (D ) $

Si $ A \\ VDOTS C $ y $ B \\ VDOTS C $, luego $ \\ FRAC (AB) (C) $ - Total de números múltiples $ A $ y $ B $

Para cualquier número natural, se realiza una igualdad de $ A $ y $ B $

$ D (A; B) \\ CDOT a (A; B) \u003d AB $

Cualquier divisor común de números $ A $ y $ B $ es un divisor del número $ D (A; B) $

Encontrar el dolor común más pequeño (NOC) y el mayor divisel común (Asentir) Dos números usan nuestra calculadora en línea:

Ingrese números: y
NOK:
Nodo:

Determinar

Simplemente ingrese números y obtenga el resultado.

Cómo encontrar un nok dos números

El múltiplo total más pequeño (NOK) Dos o más números son el número más pequeño que se puede dividir en cada uno de estos números sin un residuo.

Para encontrar los dos números más pequeños de múltiples (NOC), puede usar el siguiente algoritmo (Grado 5):

1. Ambos números (primero el número más alto).
2. Compara varios números con menos multiplicadores. Resaltamos todos los multiplicadores de un número más pequeño que no son más.
3. Agregue los multiplicadores dedicados de un número más pequeño a múltiples fallas.
4. Encontraré el NOC, moviendo una serie de multiplicadores recibidos en el párrafo 3.

Ejemplo

Por ejemplo, definimos los números de NOC. 8 y 22 .

1) Desbloquear en factores simples:

2) Asignar todos los multiplicadores de 8, que no son 22:

8 = 2⋅2 ⋅2

3) Agregue los multiplicadores seleccionados de 8 a multiplicadores de la 22ª:

NOK (8; 22) \u003d 2 · 11 · 2 · 2

4) Calcular el NOC:

NOK (8; 22) \u003d 2 · 11 · 2 · 2 \u003d 88

Cómo encontrar un nodo dos números

El mayor divisor común (nodo) Dos o más números son el mayor entero natural en el que se pueden dividir estos números sin un residuo.

Para encontrar el divisor común más grande (nodo) de los dos números, primero debe descomponerlos en multiplicadores simples. Luego, debe asignar factores generales que también están disponibles en el primer número y el segundo. Moviéndolos, será el nodo. Para comprender mejor el algoritmo, considere un ejemplo:

Ejemplo

Por ejemplo, definimos los nodos. 20 y 30 .

20 = 2 ⋅2⋅5

30 = 2 ⋅3⋅5

Nodo (20.30) = 2⋅5 = 10