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Una igualdad que contiene una incógnita bajo el signo de una función trigonométrica (`sin x, cos x, tg x` o `ctg x`) se llama ecuación trigonométrica, y consideraremos sus fórmulas más a fondo.

Las ecuaciones más simples son `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, donde `x` es el ángulo que se va a encontrar, `a` es cualquier número. Escribamos las fórmulas raíz para cada uno de ellos.

1. Ecuación `sen x=a`.

Para `|a|>1` no tiene soluciones.

Con `|a| \leq 1` tiene un número infinito de soluciones.

Fórmula raíz: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuación `cos x=a`

Para `|a|>1` - como en el caso del seno, no hay soluciones entre los números reales.

Con `|a| \leq 1` tiene un número infinito de soluciones.

Fórmula raíz: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Casos especiales de seno y coseno en gráficas.

3. Ecuación `tg x=a`

Tiene un número infinito de soluciones para cualquier valor de "a".

Fórmula raíz: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuación `ctg x=a`

También tiene un número infinito de soluciones para cualquier valor de "a".

Fórmula raíz: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Fórmulas para las raíces de ecuaciones trigonométricas en la tabla.

Para los senos nasales:
Para coseno:
Para tangente y cotangente:
Fórmulas para resolver ecuaciones que contienen funciones trigonométricas inversas:

Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.

La solución de cualquier ecuación trigonométrica consta de dos etapas:

usando para convertirlo al más simple;
resuelve la ecuación simple resultante usando las fórmulas anteriores para las raíces y las tablas.

Consideremos los principales métodos de solución utilizando ejemplos.

método algebraico.

En este método se realiza la sustitución de una variable y su sustitución en igualdad.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

haga un reemplazo: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, luego `2y^2-3y+1=0`,

encontramos las raíces: `y_1=1, y_2=1/2`, de lo que se siguen dos casos:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Respuesta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorización.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `sen x+cos x=1`.

Solución. Mover hacia la izquierda todos los términos de igualdad: `sin x+cos x-1=0`. Usando , transformamos y factorizamos el lado izquierdo:

`pecado x - 2pecado^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sen x/2 (cos x/2-sen x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sen x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Respuesta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducción a una ecuación homogénea

Primero, debes llevar esta ecuación trigonométrica a una de dos formas:

`a sin x+b cos x=0` (ecuación homogénea de primer grado) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuación homogénea de segundo grado).

Luego divida ambas partes por `cos x \ne 0` para el primer caso y por `cos^2 x \ne 0` para el segundo. Obtenemos ecuaciones para `tg x`: `a tg x+b=0` y `a tg^2 x + b tg x +c =0`, que deben resolverse utilizando métodos conocidos.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Solución. Escribamos el lado derecho como `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`pecado^2 x+pecado x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Esta es una ecuación trigonométrica homogénea de segundo grado, dividiendo sus partes izquierda y derecha por `cos^2 x \ne 0`, obtenemos:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Introduzcamos el reemplazo `tg x=t`, como resultado `t^2 + t - 2=0`. Las raíces de esta ecuación son `t_1=-2` y `t_2=1`. Entonces:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Respuesta. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \en Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \en Z`.

Ir a media esquina

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `11 sen x - 2 cos x = 10`.

Solución. Aplicando las fórmulas de los ángulos dobles, el resultado es: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Aplicando el método algebraico descrito anteriormente, obtenemos:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Respuesta. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \en Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \en Z`.

Introducción de un ángulo auxiliar.

En la ecuación trigonométrica `a sin x + b cos x =c`, donde a,b,c son coeficientes y x es una variable, dividimos ambas partes por `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Los coeficientes del lado izquierdo tienen las propiedades del seno y el coseno, es decir, la suma de sus cuadrados es igual a 1 y su módulo no es mayor que 1. Denotalos de la siguiente manera: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, entonces:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Echemos un vistazo más de cerca al siguiente ejemplo:

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `3 sen x+4 cos x=2`.

Solución. Dividiendo ambos lados de la ecuación por `sqrt (3^2+4^2)`, obtenemos:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sen x+4/5 porque x=2/5`.

Denota `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Como `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tomamos `\varphi=arcsin 4/5` como ángulo auxiliar. Luego escribimos nuestra igualdad en la forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicando la fórmula para la suma de ángulos del seno, escribimos nuestra igualdad de la siguiente forma:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcosen 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcosin 2/5-` `arcossin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Respuesta. `x=(-1)^n arcosin 2/5-` `arcossin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuaciones trigonométricas fraccionarias-racionales

Se trata de igualdades con fracciones, en cuyos numeradores y denominadores hay funciones trigonométricas.

Ejemplo. Resuelve la ecuación. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solución. Multiplica y divide el lado derecho de la ecuación por `(1+cos x)`. Como resultado, obtenemos:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin^2 x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin^2 x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Dado que el denominador no puede ser cero, obtenemos `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Iguala el numerador de la fracción a cero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Entonces `sin x=0` o `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \en Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dado que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, las soluciones son `x=2\pi n, n \in Z` y `x=\pi /2+2\pi n` , `n\en Z`.

Respuesta. `x=2\pi n`, `n \en Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \en Z`.

La trigonometría, y las ecuaciones trigonométricas en particular, se utilizan en casi todas las áreas de la geometría, la física y la ingeniería. El estudio comienza en el décimo grado, siempre hay tareas para el examen, así que trata de recordar todas las fórmulas de ecuaciones trigonométricas: ¡definitivamente te serán útiles!

Sin embargo, ni siquiera es necesario memorizarlos, lo principal es comprender la esencia y poder deducir. No es tan difícil como parece. Compruébalo tú mismo viendo el vídeo.

Para resolver exitosamente ecuaciones trigonométricas conveniente de usar método de reducción a problemas previamente resueltos. Veamos cuál es la esencia de este método.

En cualquier problema propuesto, es necesario ver el problema previamente resuelto y luego, con la ayuda de sucesivas transformaciones equivalentes, intentar reducir el problema que se le ha presentado a uno más simple.

Entonces, al resolver ecuaciones trigonométricas, generalmente forman una secuencia finita de ecuaciones equivalentes, cuyo último eslabón es una ecuación con una solución obvia. Sólo es importante recordar que si no se desarrollan las habilidades para resolver las ecuaciones trigonométricas más simples, la solución de ecuaciones más complejas será difícil e ineficaz.

Además, a la hora de resolver ecuaciones trigonométricas, nunca debes olvidarte de la posibilidad de que existan varias soluciones.

Ejemplo 1. Encuentra el número de raíces de la ecuación cos x = -1/2 en el intervalo.

Solución:

Yo camino. Trazamos las gráficas de las funciones y = cos x e y = -1/2 y encontramos el número de sus puntos comunes en el intervalo (Fig. 1).

Dado que las gráficas de funciones tienen dos puntos comunes en el intervalo, la ecuación contiene dos raíces en este intervalo.

II camino. Utilizando el círculo trigonométrico (Fig. 2), encontramos el número de puntos que pertenecen al intervalo en el que cos x = -1/2. La figura muestra que la ecuación tiene dos raíces.

III camino. Usando la fórmula de las raíces de la ecuación trigonométrica, resolvemos la ecuación cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k es un número entero (k€Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k es un número entero (k€Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k es un número entero (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k es un número entero (k ∈ Z).

Las raíces 2π/3 y -2π/3 + 2π pertenecen al intervalo, k es un número entero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces en un intervalo dado.

Respuesta: 2.

En el futuro, las ecuaciones trigonométricas se resolverán mediante uno de los métodos propuestos, lo que en muchos casos no excluye el uso de otros métodos.

Ejemplo 2. Encuentre el número de soluciones de la ecuación tg (x + π/4) = 1 en el intervalo [-2π; 2π].

Solución:

Usando la fórmula de las raíces de la ecuación trigonométrica, obtenemos:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k es un número entero (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k es un número entero (k € Z);

x = πk, k es un número entero (k€Z);

El intervalo [-2π; 2π] pertenecen a los números -2π; -π; 0; π; 2π. Entonces, la ecuación tiene cinco raíces en un intervalo dado.

Respuesta: 5.

Ejemplo 3. Encuentre el número de raíces de la ecuación cos 2 x + sin x cos x = 1 en el intervalo [-π; π].

Solución:

Dado que 1 = sen 2 x + cos 2 x (identidad trigonométrica básica), la ecuación original se convierte en:

porque 2 x + pecado x porque x = pecado 2 x + porque 2 x;

pecado 2 x - pecado x porque x = 0;

sen x(sin x - cos x) = 0. El producto es igual a cero, lo que significa que al menos uno de los factores debe ser igual a cero, por lo tanto:

pecado x \u003d 0 o pecado x - cos x \u003d 0.

Dado que el valor de la variable, en el que cos x = 0, no son las raíces de la segunda ecuación (el seno y el coseno del mismo número no pueden ser iguales a cero al mismo tiempo), entonces dividimos ambas partes de la segunda ecuación por cos x:

sen x = 0 o sen x / cos x - 1 = 0.

En la segunda ecuación, usamos el hecho de que tg x = sen x / cos x, entonces:

sin x = 0 o tg x = 1. Usando fórmulas, tenemos:

x = πk o x = π/4 + πk, k es un número entero (k ∈ Z).

Desde la primera serie de raíces hasta el intervalo [-π; π] pertenecen a los números -π; 0; π. De la segunda serie: (π/4 – π) y π/4.

Así, las cinco raíces de la ecuación original pertenecen al intervalo [-π; π].

Respuesta: 5.

Ejemplo 4. Encuentre la suma de las raíces de la ecuación tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 en el intervalo [-π; 1,1π].

Solución:

Reescribamos la ecuación de la siguiente forma:

tg 2 x + ñtg 2 x + 3(tg x + ñtgx) + 4 = 0 y haz un cambio.

Sea tg x + ñtgx = a. Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

(tg x + ñtg x) 2 = a 2 . Ampliemos los corchetes:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Dado que tg x сtgx \u003d 1, entonces tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, lo que significa

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 - 2.

Ahora la ecuación original queda así:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Usando el teorema de Vieta, obtenemos que a = -1 o a = -2.

Haciendo la sustitución inversa tenemos:

tg x + ctgx = -1 o tg x + ctgx = -2. Resolvamos las ecuaciones obtenidas.

tgx + 1/tgx = -1 o tgx + 1/tgx = -2.

Por la propiedad de dos números mutuamente recíprocos, determinamos que la primera ecuación no tiene raíces, y de la segunda ecuación tenemos:

tg x = -1, es decir x = -π/4 + πk, k es un número entero (k € Z).

El intervalo [-π; 1,1π] las raíces pertenecen: -π/4; -π/4 + π. Su suma:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Respuesta: π/2.

Ejemplo 5. Encuentre la media aritmética de las raíces de la ecuación sin 3x + sin x = sin 2x en el intervalo [-π; 0,5π].

Solución:

Usamos la fórmula sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), entonces

sen 3x + sen x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x y la ecuación queda

2sen 2x porque x = pecado 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Sacamos el factor común sin 2x entre paréntesis

sen 2x(2cos x - 1) = 0. Resolvamos la ecuación resultante:

pecado 2x = 0 o 2cos x - 1 = 0;

sen 2x = 0 o cos x = 1/2;

2x = πk o x = ±π/3 + 2πk, k es un número entero (k € Z).

Así tenemos raíces

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k es un número entero (k € Z).

El intervalo [-π; 0,5π] pertenecen a las raíces -π; -π/2; 0; π/2 (de la primera serie de raíces); π/3 (de la segunda serie); -π/3 (de la tercera serie). Su media aritmética es:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Respuesta: -π/6.

Ejemplo 6. Encuentre el número de raíces de la ecuación sin x + cos x = 0 en el intervalo [-1,25π; 2π].

Solución:

Esta ecuación es una ecuación homogénea de primer grado. Divide ambas partes por cosx (el valor de la variable en el que cos x = 0 no son raíces de esta ecuación, ya que el seno y el coseno de un mismo número no pueden ser iguales a cero al mismo tiempo). La ecuación original se ve así:

x = -π/4 + πk, k es un número entero (k ∈ Z).

Brecha [-1,25π; 2π] tienen raíces -π/4; (-π/4 + π); y (-π/4 + 2π).

Por tanto, tres raíces de la ecuación pertenecen al intervalo dado.

Respuesta: 3.

Aprenda a hacer lo más importante: presentar claramente un plan para resolver el problema y luego cualquier ecuación trigonométrica estará sobre sus hombros.

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>> Arco tangente y arco tangente. Solución de las ecuaciones tgx = a, ctgx = a

§ 19. Arco tangente y arco tangente. Solución de las ecuaciones tgx = a, ctgx = a

En el Ejemplo 2 del §16, no pudimos resolver tres ecuaciones:

Ya hemos resuelto dos de ellos: el primero en el § 17 y el segundo en el § 18, para ello tuvimos que introducir los conceptos arco coseno y arcoseno. Considere la tercera ecuación x = 2.
Las gráficas de las funciones y \u003d tg x e y \u003d 2 tienen infinitos puntos comunes, las abscisas de todos estos puntos se parecen a la abscisa del punto de intersección de la recta y \u003d 2 con la rama principal de la tangente. (Figura 90). Para el número x1, los matemáticos idearon la designación arstg 2 (se lee "arco tangente de dos"). Entonces todas las raíces de la ecuación x=2 se pueden describir mediante la fórmula x=arstg 2 + pc.
¿Qué es el arte 2? este es el numero tangente que es igual a 2 y que pertenece al intervalo
Consideremos ahora la ecuación tg x = -2.
Gráficos de funciones tienen infinitos puntos en común, las abscisas de todos estos puntos tienen la forma abscisa del punto de intersección de la recta y \u003d -2 con la rama principal de la tangente. Para el número x 2, los matemáticos idearon la notación arstg (-2). Entonces todas las raíces de la ecuación x = -2 se pueden describir mediante la fórmula

¿Qué es arstg(-2)? Se trata de un número cuya tangente es -2 y que pertenece al intervalo. Preste atención (ver Fig.90): x 2 \u003d -x 2. Esto significa que arctg(-2) = - arctg 2.
Formulemos la definición del arco tangente en términos generales.

Definición 1. arstg a (arco tangente a) es un número del intervalo cuya tangente es a. Entonces,

Ahora estamos en condiciones de sacar una conclusión general sobre la solución. ecuaciones x=a: la ecuación x=a tiene soluciones

Notamos anteriormente que arctg (-2) = -arctg 2. En general, para cualquier valor de a, la fórmula

Ejemplo 1 Calcular:

Ejemplo 2 Resolver ecuaciones:

A) Hagamos una fórmula de solución:

En este caso no podemos calcular el valor del arco tangente, por lo que dejaremos el registro de las soluciones de la ecuación en la forma obtenida.
Respuesta:
Ejemplo 3 Resolver desigualdades:
La desigualdad de la forma se puede resolver gráficamente, siguiendo los siguientes planes.
1) construir una tangentoide y \u003d tg x y una línea recta y \u003d a;
2) seleccionar para la rama principal del tannheisoide un intervalo del eje x en el que se satisface la desigualdad dada;
3) teniendo en cuenta la periodicidad de la función y \u003d tg x, escriba la respuesta en forma general.
Apliquemos este plan a la solución de las desigualdades dadas.

: a) Construimos gráficas de las funciones y \u003d tgx e y \u003d 1. En la rama principal de la tangente, se cruzan en el punto

Seleccionamos el intervalo del eje x, en el que se encuentra la rama principal de la tangente debajo de la línea recta y \u003d 1, este es el intervalo
Teniendo en cuenta la periodicidad de la función y \u003d tgx, concluimos que la desigualdad dada se satisface en cualquier intervalo de la forma:

La unión de todos esos intervalos es la solución general de la desigualdad dada.
La respuesta también se puede escribir de otra forma:

b) Construimos gráficas de funciones y \u003d tg x e y \u003d -2. En la rama principal de la tangente (Fig. 92), se cruzan en el punto x = arctg (-2).

Seleccionamos el intervalo del eje x, en el que se encuentra la rama principal de la tangente.

Considere una ecuación con tg x=a, donde a>0. Las gráficas de las funciones y \u003d ctg x e y \u003d a tienen infinitos puntos comunes, las abscisas de todos estos puntos se ven así: x \u003d x 1 + pc, donde x 1 \u003d arcctg a - la abscisa de punto de intersección de la recta y \u003d a con la rama principal de la tangente (Fig. .93). Por tanto, arcctg a es un número cuya cotangente es igual a a y que pertenece al intervalo (0, n); en este intervalo se construye la rama principal de la gráfica de la función y \u003d сtg x.

En la fig. 93 también presenta una ilustración gráfica de la solución de la ecuación c1tg = -a. Las gráficas de las funciones y \u003d ctg x e y \u003d -a tienen infinitos puntos comunes, las abscisas de todos estos puntos tienen la forma x \u003d x 2 + pc, donde x 2 \u003d arcctg (-a) es la abscisa del punto de intersección de la recta y \u003d -a con la rama principal de la tangente. Por tanto, arcctg(-a) es un número cuya cotangente es -a y que pertenece al intervalo (0, n); en este intervalo se construye la rama principal de la gráfica de la función Y = сtg x.

Definición 2. arcctg a (arco cotangente a) es un número del intervalo (0, n) cuya cotangente es a.
Entonces,

Ahora estamos en condiciones de sacar una conclusión general sobre la solución de la ecuación ctg x=a: la ecuación ctg x = a tiene soluciones:

Preste atención (ver Fig. 93): x 2 \u003d n-x 1. Esto significa que

Ejemplo 4 Calcular:

a) pongamos

La ecuación ñtg x=a casi siempre se puede convertir a la forma. La excepción es la ecuación ñtg x=0. Pero en este caso, aprovechando el hecho de que puedes ir a
cos x=0 ecuación. Por tanto, una ecuación de la forma x=a no tiene interés independiente.

A.G. Álgebra de Mordkovich Grado 10

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En esta lección, continuaremos el estudio del arco tangente y la solución de ecuaciones de la forma tg x = a para cualquier a. Al comienzo de la lección, resolveremos la ecuación con un valor tabular e ilustraremos la solución en la gráfica y luego en el círculo. A continuación, resolvemos la ecuación tgx = a en forma general y derivamos la fórmula general para la respuesta. Ilustremos los cálculos en la gráfica y en el círculo y consideremos las distintas formas de respuesta. Al final de la lección, resolveremos varios problemas con una ilustración de las soluciones en la tabla y en el círculo.

Tema: Ecuaciones trigonométricas.

Lección: Arctangente y resolución de la ecuación tgx=a (continuación)

1. Tema de la lección, introducción

En esta lección, consideraremos la solución de la ecuación para cualquier real

2. Solución de la ecuación tgx=√3

Tarea 1. Resuelve la ecuación.

Encontremos una solución usando gráficas de funciones. (Figura 1).

Considere el intervalo. En este intervalo, la función es monótona, lo que significa que se alcanza solo en un valor de la función.

Respuesta:

Resolvamos la misma ecuación usando un círculo numérico (Fig. 2).

Respuesta:

3. Solución de la ecuación tgx=a en forma general

Resolvamos la ecuación en forma general (Fig. 3).

En el intervalo, la ecuación tiene una solución única.

El período positivo más pequeño.

Ilustremos en un círculo numérico (Fig. 4).

4. Resolución de problemas

Tarea 2. Resuelve la ecuación.

cambiemos la variable

Tarea 3. Resuelve el sistema:

Solución (Figura 5):

En el punto, el valor es por lo tanto la solución del sistema es solo el punto

Respuesta:

Tarea 4. Resuelve la ecuación.

Resolvamos por el método de cambio de variable:

Problema 5. Encuentra el número de soluciones de la ecuación en el intervalo.

Resolvamos el problema usando la gráfica (Fig. 6).

La ecuación tiene tres soluciones en un intervalo dado.

Lo ilustraremos con un círculo numérico (Fig. 7), aunque esto no es tan claro como en el gráfico.

Respuesta: Tres soluciones.

5. Conclusión, conclusión

Resolvimos la ecuación para cualquier real usando el concepto de arco tangente. En la próxima lección, nos familiarizaremos con el concepto de arco tangente.

Bibliografía

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Tarea

Álgebra y los inicios del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de tareas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Recursos web adicionales

1. Matemáticas.

2. Problemas del portal de Internet. ru.

3. Portal educativo para la preparación de exámenes.