Ecuaciones de una recta en el espacio. Línea recta

ÁNGULO ENTRE PLANOS

Consideremos dos planos α 1 y α 2 dados respectivamente por las ecuaciones:

Bajo ángulo entre dos planos nos referimos a uno de los ángulos diédricos formados por estos planos. Es obvio que el ángulo entre los vectores normales y los planos α 1 y α 2 es igual a uno de los ángulos diédricos adyacentes indicados o . Es por eso . Porque Y , Eso

Ejemplo. Determinar el ángulo entre planos. X+2y-3z+4=0 y 2 X+3y+z+8=0.

Condición de paralelismo de dos planos.

Dos planos α 1 y α 2 son paralelos si y sólo si sus vectores normales y son paralelos, y por tanto .

Entonces, dos planos son paralelos entre sí si y sólo si los coeficientes en las coordenadas correspondientes son proporcionales:

Condición de perpendicularidad de los planos.

Está claro que dos planos son perpendiculares si y sólo si sus vectores normales son perpendiculares y, por tanto, o .

De este modo, .

Ejemplos.

DIRECTO EN EL ESPACIO.

ECUACIÓN VECTORIAL DIRECTA.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DIRECTAS

La posición de una línea recta en el espacio se determina completamente especificando cualquiera de sus puntos fijos. METRO 1 y un vector paralelo a esta recta.

Un vector paralelo a una recta se llama estrella de guía el vector de esta recta.

Así que deja lo correcto yo pasa por un punto METRO 1 (X 1 , y 1 , z 1) situado sobre una recta paralela al vector .

Considere un punto arbitrario M(x,y,z) en línea recta. Se puede ver en la figura que .

Los vectores y son colineales, por lo que existe tal número. t, qué , dónde está el multiplicador t Puede tomar cualquier valor numérico dependiendo de la posición del punto. METRO en línea recta. Factor t se llama parámetro. Denotando los vectores de radio de puntos. METRO 1 y METRO respectivamente, a través de y , obtenemos . Esta ecuación se llama vector ecuación de línea recta. Muestra que cada valor de parámetro t corresponde al vector radio de algún punto METRO acostado en línea recta.

Escribimos esta ecuación en forma de coordenadas. Darse cuenta de , y desde aquí

Las ecuaciones resultantes se llaman paramétrico ecuaciones en linea recta.

Al cambiar el parámetro t cambio de coordenadas X, y Y z y punto METRO se mueve en línea recta.

ECUACIONES CANÓNICAS DIRECTAS

Dejar METRO 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punto que se encuentra en una línea recta yo, Y es su vector de dirección. De nuevo, tomamos un punto arbitrario en una línea recta. M(x,y,z) y considere el vector.

Está claro que los vectores y son colineales, por lo que sus respectivas coordenadas deben ser proporcionales, por lo tanto

– canónico ecuaciones en linea recta.

Observación 1. Tenga en cuenta que las ecuaciones canónicas de la recta podrían obtenerse a partir de las ecuaciones paramétricas eliminando el parámetro t. De hecho, de las ecuaciones paramétricas obtenemos o .

Ejemplo. Escribe la ecuación de una recta. de forma paramétrica.

Denotar , por eso X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observación 2. Sea la línea perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, por ejemplo, el eje Buey. Entonces el vector director de la recta es perpendicular Buey, por eso, metro=0. En consecuencia, las ecuaciones paramétricas de la recta toman la forma

Eliminando el parámetro de las ecuaciones. t, obtenemos las ecuaciones de la recta en la forma

Sin embargo, también en este caso acordamos escribir formalmente las ecuaciones canónicas de la recta en la forma . Por lo tanto, si el denominador de una de las fracciones es cero, significa que la línea es perpendicular al eje de coordenadas correspondiente.

De manera similar, las ecuaciones canónicas Corresponde a una recta perpendicular a los ejes. Buey Y Oye o eje paralelo Onz.

Ejemplos.

ECUACIONES GENERALES UNA LÍNEA DIRECTA COMO LÍNEA DE INTERCEPCIÓN DE DOS AVIONES

Por cada línea recta en el espacio pasa un número infinito de planos. Dos de ellos cualesquiera, al cruzarse, lo definen en el espacio. Por lo tanto, las ecuaciones de dos planos cualesquiera, considerados juntos, son las ecuaciones de esta recta.

En general, dos planos cualesquiera no paralelos dados por las ecuaciones generales

determinar su línea de intersección. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones generales derecho.

Ejemplos.

Construir una línea recta dada por ecuaciones.

Para construir una recta, basta con encontrar dos de sus puntos cualesquiera. La forma más sencilla es elegir los puntos de intersección de la línea con los planos coordenados. Por ejemplo, el punto de intersección con el plano. xoy obtenemos de las ecuaciones de una línea recta, suponiendo z= 0:

Resolviendo este sistema encontramos el punto METRO 1 (1;2;0).

De manera similar, suponiendo y= 0, obtenemos el punto de intersección de la recta con el plano xoz:

De las ecuaciones generales de una recta se puede pasar a sus ecuaciones canónicas o paramétricas. Para hacer esto, necesitas encontrar algún punto. METRO 1 en la recta y el vector dirección de la recta.

Coordenadas de puntos METRO 1 obtenemos de este sistema de ecuaciones, dando a una de las coordenadas un valor arbitrario. Para encontrar el vector dirección, tenga en cuenta que este vector debe ser perpendicular a ambos vectores normales. Y . Por tanto, para el vector director de la recta yo puedes tomar el producto cruzado de vectores normales:

Ejemplo. Dar las ecuaciones generales de la recta. a la forma canónica.

Encuentra un punto en una línea recta. Para ello, elegimos arbitrariamente una de las coordenadas, por ejemplo, y= 0 y resuelve el sistema de ecuaciones:

Los vectores normales de los planos que definen la recta tienen coordenadas Por tanto, el vector dirección será recto.

. Por eso, yo: .

ÁNGULO ENTRE DERECHOS

esquina entre rectas en el espacio llamaremos a cualquiera de los ángulos adyacentes formados por dos rectas trazadas por un punto arbitrario paralelo al dato.

Sean dos rectas en el espacio:

Obviamente, el ángulo φ entre las líneas se puede tomar como el ángulo entre sus vectores directores y . Desde , entonces de acuerdo con la fórmula para el coseno del ángulo entre los vectores obtenemos

Consideremos una solución de ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra las coordenadas de cualquier punto en una línea recta dada en el espacio por las ecuaciones de dos planos que se cruzan. .

Solución.

Reescribamos el sistema de ecuaciones de la siguiente forma

Como base menor de la matriz principal del sistema, tomamos la menor distinta de cero de segundo orden , es decir, z es una variable desconocida libre. Transfiramos los términos que contienen z a las partes derechas de las ecuaciones: .

Aceptemos , donde es un número real arbitrario, entonces .

Resolvamos el sistema de ecuaciones resultante:

Por tanto, la solución general del sistema de ecuaciones. tiene la forma , donde .

Si tomamos un valor específico del parámetro, obtendremos una solución particular del sistema de ecuaciones, que nos da las coordenadas deseadas de un punto que se encuentra en una línea recta dada. Tomémoslo entonces , por tanto, es el punto deseado de la recta.

Puede verificar las coordenadas de los puntos encontrados sustituyéndolas en las ecuaciones originales de dos planos que se cruzan:

Respuesta:

El vector de dirección de la línea a lo largo de la cual se cruzan los dos planos.

En un sistema de coordenadas rectangular, el vector director de una línea recta es inseparable de una línea recta. Cuando la línea a en un sistema de coordenadas rectangular en el espacio tridimensional está dada por las ecuaciones de dos planos que se cruzan y , entonces las coordenadas del vector director de la línea no son visibles. Ahora mostraremos cómo determinarlos.

Sabemos que una recta es perpendicular a un plano cuando es perpendicular a cualquier recta de ese plano. Entonces el vector normal del plano es perpendicular a cualquier vector distinto de cero que se encuentre en este plano. Usaremos estos hechos para encontrar el vector director de la línea recta.

La recta a se encuentra tanto en el plano como en el plano. Por tanto, el vector director de la recta a también es perpendicular al vector normal plano y el vector normal aviones. Por tanto, el vector director de la recta a es Y :

El conjunto de todos los vectores directores de la recta y lo podemos establecer como , donde es un parámetro que toma cualquier valor real distinto de cero.

Ejemplo.

Encuentre las coordenadas de cualquier vector de dirección de una línea dada en el sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio 3D mediante las ecuaciones de dos planos que se cruzan .

Solución.

Los vectores normales de los planos y son los vectores. Y respectivamente. El vector director de la recta, que es la intersección de dos planos dados, lo tomaremos como producto vectorial de vectores normales:

Respuesta:

Transición a ecuaciones paramétricas y canónicas de una recta en el espacio.

Hay casos en los que el uso de las ecuaciones de dos planos que se cruzan para describir una línea recta no es muy conveniente. Algunos problemas son más fáciles de resolver si las ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio de la forma o ecuaciones paramétricas de una línea recta en el espacio de la forma , donde x 1 , y 1 , z 1 son las coordenadas de algún punto de la recta, a x , a y , a z son las coordenadas del vector director de la recta y es un parámetro que toma valores reales arbitrarios. Describamos el proceso de transición de las ecuaciones directas de la forma. a ecuaciones canónicas y paramétricas de una línea recta en el espacio.

En los párrafos anteriores, aprendimos cómo encontrar las coordenadas de un determinado punto en una línea recta, así como las coordenadas de algún vector director de una línea recta, que está dada por las ecuaciones de dos planos que se cruzan. Estos datos son suficientes para escribir las ecuaciones canónicas y paramétricas de esta línea en un sistema de coordenadas rectangular en el espacio.

Considere la solución del ejemplo, y luego mostraremos otra forma de encontrar las ecuaciones canónicas y paramétricas de una línea recta en el espacio.

Ejemplo.

Solución.

Primero calculemos las coordenadas del vector director de la línea recta. Para hacer esto, encontramos el producto vectorial de vectores normales. Y aviones Y :

Eso es, .

Ahora determinemos las coordenadas de algún punto de la línea dada. Para ello, encontramos una de las soluciones del sistema de ecuaciones. .

Determinante es diferente de cero, lo tomamos como base menor de la matriz principal del sistema. Entonces la variable z es libre, transferimos los términos que la acompañan a los lados derechos de las ecuaciones y le damos a la variable z un valor arbitrario:

Resolvemos el sistema de ecuaciones resultante mediante el método de Cramer:

Por eso,

Aceptamos, mientras obtenemos las coordenadas del punto de la recta: .

Ahora podemos escribir las ecuaciones canónicas y paramétricas requeridas de la línea original en el espacio:

Respuesta:

Aquí está la segunda forma de resolver este problema.

Al encontrar las coordenadas de un determinado punto en línea recta, resolvemos el sistema de ecuaciones. . En general, sus soluciones se pueden escribir como .

Y estas son solo las ecuaciones paramétricas deseadas de una línea recta en el espacio. Si cada una de las ecuaciones obtenidas se resuelve con respecto al parámetro y luego se igualan los lados derechos de las igualdades, entonces obtenemos las ecuaciones canónicas de la recta en el espacio.

Mostremos la solución del problema anterior mediante este método.

Ejemplo.

Una línea recta en el espacio tridimensional está dada por las ecuaciones de dos planos que se cruzan. . Escribe las ecuaciones canónicas y paramétricas de esta recta.

Solución.

Resolvemos este sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas (la solución está dada en el ejemplo anterior, no la repetiremos). Al mismo tiempo, obtenemos . Estas son las ecuaciones paramétricas deseadas de una línea recta en el espacio.

Queda por obtener las ecuaciones canónicas de una recta en el espacio:

Las ecuaciones de la línea recta obtenidas difieren exteriormente de las ecuaciones obtenidas en el ejemplo anterior, pero son equivalentes, ya que determinan el mismo conjunto de puntos en el espacio tridimensional (y por tanto la misma línea recta).

Respuesta:

Bibliografía.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matemáticas avanzadas. Volumen uno: Elementos de álgebra lineal y geometría analítica.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometría analítica.

En un sistema de coordenadas rectangular en un plano, una línea recta puede estar dada por la ecuación canónica de una línea recta. En este artículo, primero derivamos, escribimos las ecuaciones canónicas de rectas en el plano que son paralelas a los ejes de coordenadas o coinciden con ellos, y también damos ejemplos. A continuación, mostramos la conexión entre la ecuación canónica de una recta en el plano y otros tipos de ecuaciones de esta recta. En conclusión, consideraremos en detalle las soluciones de ejemplos y problemas típicos para formular la ecuación canónica de una línea recta en un plano.

Navegación de páginas.

Ecuación canónica de una línea recta en un plano: descripción y ejemplos.

Deja que Oxy se fije en el avión. Pongámonos la tarea: obtener la ecuación de la recta a , si - algún punto de la recta a y - vector director de la recta a .

Sea el punto flotante de la recta a . Entonces el vector es el vector director de la recta a y tiene coordenadas (si es necesario, ver el artículo). Obviamente, el conjunto de todos los puntos del plano define una recta que pasa por el punto y tiene un vector director si y sólo si los vectores y son colineales.

Ejemplo.

Escribe la ecuación canónica de una recta que pasa por dos puntos y en un sistema de coordenadas rectangular Oxy en el plano.

Solución.

A partir de las coordenadas conocidas de los puntos inicial y final, podemos encontrar las coordenadas del vector: . Este vector es el vector director de la recta cuya ecuación buscamos. La ecuación canónica de una línea recta que pasa por un punto y tiene un vector director.

Solución.

línea vectorial normal tiene coordenadas , y este vector es el vector director de la recta, cuya ecuación buscamos debido a la perpendicularidad de las rectas. Por tanto, la ecuación canónica deseada de una línea recta en el plano se puede escribir como .

Respuesta:

Bibliografía.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matemáticas avanzadas. Volumen uno: Elementos de álgebra lineal y geometría analítica.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometría analítica.

Dejar yo- alguna línea de espacio. Como en planimetría, cualquier vector

A =/= 0, línea recta colineal yo, se llama vector guía esta línea recta.

La posición de una línea recta en el espacio se determina completamente especificando un vector director y un punto que pertenece a la línea recta.

deja la linea yo con vector guía A pasa por el punto M 0 y M es un punto arbitrario en el espacio. Evidentemente, el punto M (Fig. 197) pertenece a la recta yo si y sólo si el vector $\overrightarrow(M_0 M)$ es colineal con el vector A , es decir.

$\overrightarrow(M_0 M)$ = t a , t$\en$ R. (1)

Si los puntos M y M 0 están dados por sus vectores de radio r Y r 0 (Fig. 198) con respecto a algún punto O del espacio, entonces $\overrightarrow(M_0 M)$ = r - r 0 , y la ecuación (1) toma la forma

r = r 0 + t a , t$\en$ R. (2)

Las ecuaciones (1) y (2) se denominan ecuaciones vectoriales-paramétricas de una línea recta. Variable t en ecuaciones vectoriales-paramétricas, una línea recta se llama parámetro.

Sea el punto M 0 una línea recta. yo y el vector de dirección a están dados por sus coordenadas:

METRO 0 ( X 0 ; en 0 , z 0), A = (A 1 ; A 2 ; A 3).

Entonces sí ( X; y; z) - coordenadas de un punto arbitrario M de la línea yo, Eso

$\overrightarrow(M_0 M) $ = ( x-x 0 ; tu - tu 0 ; z-z 0)

y la ecuación vectorial (1) es equivalente a las tres ecuaciones siguientes:

x-x 0 = ejército de reserva 1 , tu - tu 0 = ejército de reserva 2 , z-z 0 = ejército de reserva 3

$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(cases) (3)$$

Las ecuaciones (3) se llaman ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio.

Tarea 1. Escribe las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por un punto.

M 0 (-3; 2; 4) y que tiene un vector de dirección A = (2; -5; 3).

En este caso X 0 = -3, en 0 = 2, z 0 = 4; A 1 = 2; A 2 = -5; A 3 = 3. Sustituyendo estos valores en las fórmulas (3), obtenemos las ecuaciones paramétricas de esta recta

$$ \begin(casos) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end(casos) $$

Excluir el parámetro t de las ecuaciones (3). Esto se puede hacer porque A =/= 0, y por tanto una de las coordenadas del vector A obviamente diferente de cero.

Primero, dejemos que todas las coordenadas sean diferentes de cero. Entonces

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

y por lo tanto

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Estas ecuaciones se llaman ecuaciones canónicas de la recta .

Tenga en cuenta que las ecuaciones (4) forman un sistema de dos ecuaciones con tres variables. x,y Y z.

Si en las ecuaciones (3) una de las coordenadas del vector A , Por ejemplo A 1 es igual a cero, entonces, excluyendo el parámetro t, obtenemos nuevamente un sistema de dos ecuaciones con tres variables x,y Y z:

$x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)$

Estas ecuaciones también se denominan ecuaciones canónicas de la recta. Para mayor uniformidad, también se escriben condicionalmente en la forma (4)

$\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)$

considerando que si el denominador es igual a cero, entonces el numerador correspondiente es igual a cero. Estas ecuaciones son ecuaciones de una línea recta que pasa por el punto M 0 ( X 0 ; en 0 , z 0) paralelo al plano coordenado yOz, ya que este plano es paralelo a su vector director (0; A 2 ; A 3).

Finalmente, si en las ecuaciones (3) dos coordenadas del vector A , Por ejemplo A 1 y A 2 son iguales a cero, entonces estas ecuaciones toman la forma

X = X 0 , y = en 0 , z = z 0 + t a 3 , t$\en$ R.

Estas son las ecuaciones de una línea recta que pasa por el punto M 0 ( X 0 ; en 0 ; z 0) paralelo al eje Onz. Para una persona tan directa X = X 0 , y = en 0 , un z- cualquier número. Y en este caso, para uniformidad, las ecuaciones de una recta se pueden escribir (con la misma reserva) en la forma (4)

$\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)$

Así, para cualquier línea en el espacio, se pueden escribir ecuaciones canónicas (4) y, a la inversa, cualquier ecuación de la forma (4) siempre que al menos uno de los coeficientes A 1 , A 2 , A 3 no es igual a cero, define alguna línea de espacio.

Tarea 2. Escribe las ecuaciones canónicas de una recta que pasa por el punto M 0 (- 1; 1, 7) paralela al vector. A = (1; 2; 3).

Las ecuaciones (4) en este caso se escriben de la siguiente manera:

$\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)$

Derivemos las ecuaciones de una línea recta que pasa por dos puntos dados M 1 ( X 1 ; en 1 ; z 1) y

M2( X 2 ; en 2 ; z 2). Es obvio que el vector director de esta recta se puede tomar como el vector a = (X 2 - X 1 ; en 2 - en 1 ; z 2 - z 1), pero más allá del punto M 0 por el que pasa la línea, por ejemplo, el punto M 1. Entonces las ecuaciones (4) se escribirán de la siguiente manera:

$\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)$ (5)

Estas son las ecuaciones de una línea recta que pasa por dos puntos M 1 ( X 1 ; en 1 ; z 1) y

M2( X 2 ; en 2 ;z 2).

Tarea 3. Escribe las ecuaciones de una línea recta que pasa por los puntos M 1 (-4; 1; -3) y M 2 (-5; 0; 3).

En este caso X 1 = -4, en 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, en 2 = 0, z 2 = 3. Sustituyendo estos valores en las fórmulas (5), obtenemos

$\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)$

Tarea 4. Escribe las ecuaciones de una recta que pasa por los puntos M 1 (3; -2; 1) y

M2 (5; -2; 1/2).

Después de sustituir las coordenadas de los puntos M 1 y M 2 en las ecuaciones (5), obtenemos

$\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))$

Dejemos que Oxyz se fije en un espacio tridimensional. Definamos una línea recta en él. Elijamos la siguiente forma de especificar una línea recta en el espacio: especifique el punto por el que pasa la línea recta a y el vector director de la línea recta a . Supondremos que el punto se encuentra en la recta a y - vector director de una recta a.

Obviamente, el conjunto de puntos en el espacio tridimensional define una recta si y sólo si los vectores y son colineales.

Preste atención a los siguientes hechos importantes:

Aquí hay un par de ejemplos de ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio:

Recopilación de ecuaciones canónicas de una recta en el espacio.

Entonces, las ecuaciones canónicas de una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular fijo Oxyz en un espacio tridimensional de la forma corresponden a una recta que pasa por el punto , y el vector director de esta recta es el vector . Por lo tanto, si conocemos la forma de las ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio, entonces podemos escribir inmediatamente las coordenadas del vector director de esta línea recta, y si las coordenadas del vector director de la línea recta y las coordenadas de algún punto de esta recta, entonces podemos escribir inmediatamente sus ecuaciones canónicas.

Mostremos soluciones a tales problemas.

Ejemplo.

Una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular Oxyz en un espacio tridimensional viene dada por las ecuaciones canónicas de una línea recta de la forma . Escribe las coordenadas de todos los vectores directores de esta recta.

Solución.

Los números en los denominadores de las ecuaciones canónicas de la recta son las coordenadas correspondientes del vector director de esta recta, es decir, - uno de los vectores de dirección de la línea original. Entonces el conjunto de todos los vectores directores de la recta se puede dar como , donde es un parámetro que toma cualquier valor real excepto cero.

Respuesta:

Ejemplo.

Escribe las ecuaciones canónicas de una línea recta que en el sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio pasa por el punto , y el vector director de la recta tiene coordenadas .

Solución.

Por la condición que tenemos. Es decir, tenemos todos los datos para escribir las ecuaciones canónicas requeridas de una recta en el espacio. En nuestro caso

.

Respuesta:

Hemos considerado el problema más simple de compilar las ecuaciones canónicas de una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular dado en un espacio tridimensional, cuando se conocen las coordenadas del vector director de la línea recta y las coordenadas de algún punto de la línea recta. . Sin embargo, son mucho más comunes las tareas en las que primero es necesario encontrar las coordenadas del vector director de la línea recta y solo luego escribir las ecuaciones canónicas de la línea recta. Como ejemplo, podemos citar problemas para encontrar las ecuaciones de una línea recta que pasa por un punto dado en el espacio paralela a una línea recta dada y problemas para encontrar las ecuaciones de una línea recta que pasa por un punto dado en el espacio perpendicular a un plano dado. .

Casos particulares de ecuaciones canónicas de una recta en el espacio.

Ya hemos observado que uno o dos de los números en las ecuaciones canónicas de la recta en el espacio de la forma puede ser cero. Entonces la entrada se considera formal (ya que los denominadores de una o dos fracciones tendrán ceros) y debe entenderse como , Dónde .

Echemos un vistazo más de cerca a todos estos casos especiales de ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio.

Dejar , o , o , entonces las ecuaciones canónicas de las rectas tienen la forma

o

o

En estos casos, en el sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio, las líneas se encuentran en los planos , o , respectivamente, que son paralelos a los planos de coordenadas Oyz , Oxz u Oxy , respectivamente (o coinciden con estos planos de coordenadas en , o ) . La figura muestra ejemplos de tales líneas.

En , o , o las ecuaciones canónicas de rectas se escriben como

o

o

respectivamente.

En estos casos, las líneas son paralelas a los ejes de coordenadas Oz, Oy u Ox respectivamente (o coinciden con estos ejes en , o ). De hecho, los vectores directores de las rectas consideradas tienen coordenadas , o , o , es obvio que son colineales con los vectores , o , o respectivamente, donde están los vectores directores de las rectas coordenadas. Mire las ilustraciones de estos casos particulares de las ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio.

Queda por consolidar el material de este párrafo para considerar las soluciones de ejemplos.

Ejemplo.

Escribe las ecuaciones canónicas de las rectas coordenadas Ox, Oy y Oz.

Solución.

Los vectores directores de las líneas de coordenadas Ox, Oy y Oz son los vectores de coordenadas y correspondientemente. Además, las líneas de coordenadas pasan por el origen de coordenadas, por el punto. Ahora podemos escribir las ecuaciones canónicas de las rectas coordenadas Ox, Oy y Oz, tienen la forma y correspondientemente.

Respuesta:

Ecuaciones canónicas de la línea de coordenadas Ox, - ecuaciones canónicas del eje y Oy, - ecuaciones canónicas del eje aplicado.

Ejemplo.

Escribe las ecuaciones canónicas de una línea recta que en el sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio pasa por el punto y paralelo al eje de ordenadas Oy.

Solución.

Dado que la línea recta, cuyas ecuaciones canónicas debemos componer, es paralela al eje de coordenadas Oy, entonces su vector director es el vector. Entonces las ecuaciones canónicas de esta recta en el espacio tienen la forma.

Respuesta:

Ecuaciones canónicas de una línea recta que pasa por dos puntos dados en el espacio.

Plantémonos la tarea: escribir las ecuaciones canónicas de una línea recta que pasa en un sistema de coordenadas rectangular Oxyz en un espacio tridimensional a través de dos puntos no coincidentes y .

Como vector director de una línea recta dada, puedes tomar un vector (si te gusta más el vector, puedes tomarlo). Según las coordenadas conocidas de los puntos M 1 y M 2, se pueden calcular las coordenadas del vector: . Ahora podemos escribir las ecuaciones canónicas de la recta, ya que conocemos las coordenadas de un punto de la recta (en nuestro caso, incluso las coordenadas de dos puntos M 1 y M 2 ), y conocemos las coordenadas de su vector de dirección. Por lo tanto, una línea dada en el sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio tridimensional está determinada por ecuaciones canónicas de la forma o . este es el deseado ecuaciones canónicas de una recta que pasa por dos puntos dados en el espacio.

Ejemplo.

Escribe las ecuaciones canónicas de una línea recta que pasa por dos puntos en el espacio tridimensional. Y .

Solución.

Por la condición que tenemos. Sustituimos estos datos en las ecuaciones canónicas de una recta que pasa por dos puntos. :

Si utilizamos las ecuaciones directas canónicas de la forma , entonces obtenemos
.

Respuesta:

Transición de ecuaciones canónicas de línea recta en el espacio a otros tipos de ecuaciones de línea recta.

Para resolver algunos problemas, las ecuaciones canónicas de una recta en el espacio. puede resultar menos conveniente que las ecuaciones paramétricas de una línea recta en el espacio de la forma . Y a veces es preferible definir una línea recta en el sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio a través de las ecuaciones de dos planos que se cruzan como . Por tanto, surge el problema de la transición de las ecuaciones canónicas de una recta en el espacio a las ecuaciones paramétricas de una recta o a las ecuaciones de dos planos que se cruzan.

Es fácil pasar de las ecuaciones de una recta en forma canónica a las ecuaciones paramétricas de esta recta. Esto requiere que cada una de las fracciones en las ecuaciones canónicas de la línea recta en el espacio se tome igual al parámetro y se resuelvan las ecuaciones resultantes para las variables x, y y z:

En este caso, el parámetro puede tomar cualquier valor real (ya que las variables x, y y z pueden tomar cualquier valor real).

Ahora mostraremos cómo a partir de las ecuaciones canónicas de la recta. Obtenga las ecuaciones de dos planos que se cruzan y que definen la misma recta.

doble igualdad es esencialmente un sistema de tres ecuaciones de la forma (Igualamos por parejas las fracciones de las ecuaciones canónicas de la línea recta). Como entendemos la proporción como , entonces

Así que tenemos
.

Dado que los números a x , a y y a z no son iguales a cero al mismo tiempo, entonces la matriz principal del sistema resultante es igual a dos, ya que

y al menos uno de los determinantes de segundo orden

diferente de cero.

Por tanto, una ecuación que no participa en la formación de la base menor puede excluirse del sistema. Así, las ecuaciones canónicas de una recta en el espacio serán equivalentes a un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, que son las ecuaciones de planos que se cruzan, y la recta de intersección de estos planos será una recta, determinada por la ecuaciones canónicas en línea recta de la forma .

Para mayor claridad, damos una solución detallada del ejemplo, en la práctica todo es más sencillo.

Ejemplo.

Escribe las ecuaciones de dos planos que se cruzan y que definen una recta definida en el sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio mediante las ecuaciones canónicas de la recta. Escribe las ecuaciones para dos planos que se cruzan a lo largo de esta línea.

Solución.

Igualar por parejas las fracciones que forman las ecuaciones canónicas de la recta:

El determinante de la matriz principal del sistema resultante de ecuaciones lineales es igual a cero (si es necesario, consulte el artículo), y el menor de segundo orden es diferente de cero, lo tomaremos como base menor. Por tanto, el rango de la matriz principal del sistema de ecuaciones. es igual a dos, y la tercera ecuación del sistema no participa en la formación del menor básico, es decir, la tercera ecuación puede excluirse del sistema. Por eso, . Entonces obtuvimos las ecuaciones requeridas de dos planos que se cruzan y que definen la línea recta original.

Respuesta:

Bibliografía.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matemáticas avanzadas. Volumen uno: Elementos de álgebra lineal y geometría analítica.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometría analítica.