Teorema de Gauss para el vector de inducción eléctrica. Teorema de Ostrogradsky-Gauss

Teorema de Gauss para la inducción eléctrica (desplazamiento eléctrico)[

Para un campo en un medio dieléctrico, el teorema electrostático de Gauss se puede escribir de otra manera (alternativamente): a través del flujo del vector de desplazamiento eléctrico (inducción eléctrica). En este caso, la formulación del teorema es la siguiente: el flujo del vector de desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica libre dentro de esta superficie:

En forma diferencial:

Teorema de Gauss para la inducción magnética

El flujo del vector de inducción magnética a través de cualquier superficie cerrada es cero:

o en forma diferencial

Esto equivale al hecho de que en la naturaleza no existen "cargas magnéticas" (monopolos) que crearían un campo magnético, así como las cargas eléctricas crean un campo eléctrico. En otras palabras, el teorema de Gauss para la inducción magnética muestra que el campo magnético es (completamente) remolino.

Teorema de Gauss para la gravedad newtoniana

Para la intensidad del campo de la gravedad newtoniana (aceleración de la caída libre), el teorema de Gauss prácticamente coincide con el de la electrostática, excepto en el caso de las constantes (sin embargo, todavía dependen de una elección arbitraria del sistema de unidades) y, lo más importante, el signo. :

Dónde gramo- intensidad del campo gravitacional, METRO- carga gravitacional (es decir, masa) dentro de la superficie S, ρ - densidad de masa, GRAMO es la constante newtoniana.

Conductores en un campo eléctrico. El campo dentro del conductor y en su superficie.

Los conductores son cuerpos a través de los cuales pueden pasar cargas eléctricas de un cuerpo cargado a uno descargado. La capacidad de los conductores para pasar cargas eléctricas a través de ellos se explica por la presencia en ellos de portadores de carga libres. Conductores: cuerpos metálicos en estado sólido y líquido, soluciones líquidas de electrolitos. Las cargas libres de un conductor introducidas en un campo eléctrico comienzan a moverse bajo su acción. La redistribución de cargas provoca un cambio en el campo eléctrico. Cuando la intensidad del campo eléctrico en el conductor se vuelve cero, los electrones dejan de moverse. El fenómeno de separación de cargas opuestas en un conductor colocado en un campo eléctrico se llama inducción electrostática. No hay campo eléctrico dentro del conductor. Se utiliza para protección electrostática: protección con conductores metálicos contra un campo eléctrico. La superficie de un cuerpo conductor de cualquier forma en un campo eléctrico es una superficie equipotencial.

Condensadores

Para obtener dispositivos que, con un potencial pequeño en relación con el medio, acumularían (condensarían) cargas de magnitud notable, se utiliza el hecho de que la capacitancia eléctrica de un conductor aumenta cuando otros cuerpos se acercan a él. De hecho, bajo la acción de un campo creado por conductores cargados, aparecen cargas inducidas (en un conductor) o ligadas (en un dieléctrico) en un cuerpo que se le acerca (figura 15.5). Las cargas de signo opuesto a la carga del conductor q se ubican más cerca del conductor que las del mismo nombre con q y, por tanto, tienen una gran influencia sobre su potencial.

Por lo tanto, cuando se acerca un cuerpo a un conductor cargado, la intensidad del campo disminuye y, en consecuencia, el potencial del conductor disminuye. Según la ecuación, esto significa un aumento de la capacitancia del conductor.

El condensador consta de dos conductores (placas) (figura 15.6), separados por una capa dieléctrica. Cuando se aplica una determinada diferencia de potencial a un conductor, sus placas se cargan con cargas iguales de signo opuesto. La capacitancia eléctrica de un capacitor se entiende como una cantidad física proporcional a la carga q e inversamente proporcional a la diferencia de potencial entre las placas.

Determinemos la capacitancia de un condensador plano.

Si el área de la placa es S y la carga es q, entonces la intensidad del campo entre las placas

Por otro lado, la diferencia de potencial entre las placas de donde

La energía de un sistema de cargas puntuales, un conductor cargado y un condensador.

Cualquier sistema de cargas tiene cierta energía potencial de interacción, que es igual al trabajo gastado en la creación de este sistema. Energía de un sistema de cargas puntuales. q 1 , q 2 , q 3 ,… q norte se define de la siguiente manera:

Dónde φ 1 - el potencial del campo eléctrico creado por todas las cargas excepto q 1 en el punto donde está la carga q 1 etc. Si la configuración del sistema de cargas cambia, entonces la energía del sistema también cambia. Para cambiar la configuración del sistema, se debe trabajar.

La energía potencial de un sistema de cargas puntuales se puede calcular de otra forma. Energía potencial de dos cargas puntuales. q 1 , q 2 a una distancia entre sí son iguales. Si hay varias cargas, entonces la energía potencial de este sistema de cargas se puede definir como la suma de las energías potenciales de todos los pares de cargas que se pueden formar para este sistema. Entonces, para un sistema de tres cargas positivas, la energía del sistema es igual a

Energía de un conductor solitario cargado y un condensador.

Si un conductor solitario tiene una carga q, entonces hay un campo eléctrico a su alrededor, cuyo potencial en la superficie del conductor es , y la capacitancia es C. Aumentemos la carga en dq. Al transferir carga dq desde el infinito, trabajo igual a . Pero el potencial del campo electrostático de un conductor dado en el infinito es igual a cero. Entonces

Cuando la carga dq se transfiere desde el conductor hasta el infinito, las fuerzas del campo electrostático realizan el mismo trabajo. En consecuencia, con un aumento en la carga del conductor en dq, la energía potencial del campo aumenta, es decir

Integrando esta expresión, encontramos la energía potencial del campo electrostático de un conductor cargado a medida que su carga aumenta de cero a q:

Aplicando la relación , se pueden obtener las siguientes expresiones para la energía potencial W:

Para un condensador cargado, la diferencia de potencial (voltaje) es, por lo tanto, igual a la relación entre la energía total de su campo electrostático y tiene la forma

Formulación general: El flujo del vector de intensidad del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada elegida arbitrariamente es proporcional a la carga eléctrica encerrada dentro de esta superficie.

En el sistema GSSE:

En el sistema SI:

es el flujo del vector de intensidad del campo eléctrico a través de una superficie cerrada.

es la carga total contenida en el volumen que limita la superficie.

es la constante eléctrica.

Esta expresión es el teorema de Gauss en forma integral.

En forma diferencial, el teorema de Gauss corresponde a una de las ecuaciones de Maxwell y se expresa de la siguiente manera

en el sistema SI:

,

en el sistema GSSE:

Aquí, es la densidad de carga volumétrica (en el caso de la presencia de un medio, la densidad total de cargas libres y unidas), y es el operador nabla.

Para el teorema de Gauss, el principio de superposición es válido, es decir, el flujo del vector tensión a través de la superficie no depende de la distribución de carga dentro de la superficie.

La base física del teorema de Gauss es la ley de Coulomb o, en caso contrario, el teorema de Gauss es una formulación integral de la ley de Coulomb.

Teorema de Gauss para la inducción eléctrica (desplazamiento eléctrico).

Para un campo en una sustancia, el teorema electrostático de Gauss se puede escribir de otra manera: a través del flujo del vector de desplazamiento eléctrico (inducción eléctrica). En este caso, la formulación del teorema es la siguiente: el flujo del vector de desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica libre dentro de esta superficie:

Si consideramos el teorema de la intensidad de campo en una sustancia, entonces como carga Q es necesario tomar la suma de la carga libre ubicada dentro de la superficie y la carga de polarización (inducida, ligada) del dieléctrico:

,

Dónde ,
es el vector de polarización dieléctrica.

Teorema de Gauss para la inducción magnética

El flujo del vector de inducción magnética a través de cualquier superficie cerrada es cero:

.

Esto equivale al hecho de que en la naturaleza no existen "cargas magnéticas" (monopolos) que crearían un campo magnético, así como las cargas eléctricas crean un campo eléctrico. En otras palabras, el teorema de Gauss para la inducción magnética muestra que el campo magnético es un vórtice.

Aplicación del teorema de Gauss

Para calcular los campos electromagnéticos se utilizan las siguientes cantidades:

Densidad de carga aparente (ver arriba).

Densidad de carga superficial

donde dS es un área infinitesimal de la superficie.

Densidad de carga lineal

donde dl es la longitud de un segmento infinitesimal.

Considere el campo creado por un plano cargado infinito y homogéneo. Sea la densidad de carga superficial del avión igual e igual a σ. Imagine mentalmente un cilindro con generadores perpendiculares al plano y una base ΔS ubicada simétricamente con respecto al plano. Por la simetría. El flujo del vector de intensidad es igual a . Aplicando el teorema de Gauss obtenemos:

,

a partir del cual

en el sistema GSSE

Es importante señalar que a pesar de su universalidad y generalidad, el teorema de Gauss en forma integral tiene una aplicación relativamente limitada debido al inconveniente de calcular la integral. Sin embargo, en el caso de un problema simétrico, su solución resulta mucho más sencilla que utilizar el principio de superposición.

El más difícil es el estudio de los fenómenos eléctricos en un medio eléctrico no homogéneo. En tal medio, ε tiene valores diferentes, cambiando abruptamente en el límite de los dieléctricos. Supongamos que determinamos la intensidad del campo en la interfaz entre dos medios: ε 1 =1 (vacío o aire) y ε 2 =3 (líquido - aceite). En la interfaz, durante la transición del vacío al dieléctrico, la intensidad del campo disminuye en un factor de tres y el flujo del vector de fuerza disminuye en la misma cantidad (figura 12.25, a). Un cambio brusco en el vector de intensidad del campo electrostático en la interfaz entre dos medios crea ciertas dificultades en el cálculo de los campos. En cuanto al teorema de Gauss, en estas condiciones generalmente pierde su significado.

Dado que la polarizabilidad y la intensidad de dieléctricos diferentes son diferentes, el número de líneas de campo en cada dieléctrico también será diferente. Esta dificultad puede eliminarse introduciendo una nueva característica física del campo, la inducción eléctrica D (o el vector desplazamiento eléctrico ).

Según la fórmula

ε 1 mi 1 \u003d ε 2 mi 2 \u003d mi 0 \u003d constante

Multiplicando todas las partes de estas igualdades por la constante eléctrica ε 0 obtenemos

ε 0 ε 1 mi 1 = ε 0 ε 2 mi 2 = ε 0 mi 0 = constante

Introduzcamos la notación ε 0 εЕ=D entonces la penúltima relación tomará la forma

D 1 = D 2 = D 0 = constante

El vector D, igual al producto de la intensidad del campo eléctrico en el dieléctrico y su permitividad absoluta, se llamavector de desplazamiento eléctrico

(12.45)

La unidad de desplazamiento eléctrico es colgante por metro cuadrado(C/m2).

El desplazamiento eléctrico es una cantidad vectorial, también se puede expresar como

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

A diferencia de la tensión E, el desplazamiento eléctrico D es constante en todos los dieléctricos (figura 12.25, b). Por tanto, es conveniente caracterizar el campo eléctrico en un medio dieléctrico no homogéneo no por la intensidad E, sino por el vector de desplazamiento D. El vector D describe el campo electrostático creado por cargas libres (es decir, en el vacío), pero con una distribución en el espacio como en presencia de un dieléctrico, ya que las cargas ligadas que surgen en los dieléctricos pueden provocar una redistribución de cargas libres creando un campo. .

Campo vectorial se representa gráficamente mediante líneas de desplazamiento eléctrico de la misma manera que el campo representado por líneas de fuerza.

Línea de desplazamiento eléctrico son rectas cuyas tangentes en cada punto coinciden en dirección con el vector de desplazamiento eléctrico.

Las líneas del vector E pueden comenzar y terminar con cualquier carga, libres y ligadas, mientras que las líneas del vectorD- sólo con cargos gratuitos. Líneas vectorialesDa diferencia de las líneas de tensión son continuas.

Dado que el vector de desplazamiento eléctrico no experimenta una discontinuidad en la interfaz entre dos medios, todas las líneas de inducción provenientes de cargas rodeadas por alguna superficie cerrada lo atravesarán. Por lo tanto, para el vector de desplazamiento eléctrico, el teorema de Gauss conserva completamente su significado para un medio dieléctrico no homogéneo.

Teorema de Gauss para un campo electrostático en un dieléctrico : el flujo del vector de desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria es igual a la suma algebraica de las cargas encerradas dentro de esta superficie.

(12.47)

El objetivo de la lección: El teorema de Ostrogradsky-Gauss fue establecido por el matemático y mecánico ruso Mikhail Vasilievich Ostrogradsky en forma de un teorema matemático general y por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Este teorema se puede utilizar en el estudio de la física a nivel de perfil, ya que permite cálculos más racionales de los campos eléctricos.

Para derivar el teorema de Ostrogradsky-Gauss, es necesario introducir conceptos auxiliares tan importantes como el vector de inducción eléctrica y el flujo de este vector Ф.

Se sabe que el campo electrostático a menudo se representa mediante líneas de fuerza. Supongamos que determinamos la tensión en un punto que se encuentra en la interfaz entre dos medios: aire (=1) y agua (=81). En este punto, al pasar del aire al agua, la intensidad del campo eléctrico según la fórmula disminuirá 81 veces. Si despreciamos la conductividad del agua, entonces el número de líneas de fuerza disminuirá en el mismo factor. Al resolver diversos problemas de cálculo de campos, se crean ciertos inconvenientes debido a la discontinuidad del vector de fuerza en la interfaz entre los medios y los dieléctricos. Para evitarlos se introduce un nuevo vector, que se denomina vector de inducción eléctrica:

El vector de inducción eléctrica es igual al producto del vector por la constante eléctrica y la permitividad del medio en un punto dado.

Obviamente, al pasar por la frontera de dos dieléctricos, el número de líneas de inducción eléctrica no cambia para el campo de una carga puntual (1).

En el sistema SI, el vector de inducción eléctrica se mide en culombios por metro cuadrado (C / m 2). La expresión (1) muestra que el valor numérico del vector no depende de las propiedades del medio. El campo vectorial se representa gráficamente de manera similar al campo de tensión (por ejemplo, para una carga puntual, consulte la Fig. 1). Para un campo vectorial, se cumple el principio de superposición:

Flujo de inducción eléctrica

El vector de inducción eléctrica caracteriza el campo eléctrico en cada punto del espacio. Se puede introducir una cantidad más, dependiendo de los valores del vector, no en un punto, sino en todos los puntos de la superficie delimitada por un contorno plano y cerrado.

Para hacer esto, considere un conductor (circuito) plano y cerrado con un área de superficie S, colocado en un campo eléctrico uniforme. La normal al plano conductor forma un ángulo con la dirección del vector de inducción eléctrica (Fig. 2).

El flujo de inducción eléctrica a través de la superficie S se denomina valor igual al producto del módulo del vector de inducción por el área S y el coseno del ángulo entre el vector y la normal:

Este teorema permite encontrar el flujo de un vector de inducción eléctrica a través de una superficie cerrada dentro de la cual se encuentran cargas eléctricas.

Coloque primero una carga puntual q en el centro de una esfera de radio arbitrario r 1 (Fig. 3). Entonces ; . Calculemos el flujo total de inducción que pasa por toda la superficie de esta esfera: ; (). Si tomamos una esfera de radio, entonces también Ф = q. Si dibujamos una esfera que no encierra la carga q, entonces el flujo total Ф = 0 (ya que cada línea entrará a la superficie y otra vez saldrá de ella).

Así, Ф = q si la carga está ubicada dentro de la superficie cerrada y Ф = 0 si la carga está ubicada fuera de la superficie cerrada. El flujo F no depende de la forma de la superficie. Tampoco depende de la disposición de las cargas dentro de la superficie. Esto significa que el resultado obtenido es válido no solo para una carga, sino también para cualquier número de cargas ubicadas arbitrariamente, si por q solo entendemos la suma algebraica de todas las cargas ubicadas dentro de la superficie.

Teorema de Gauss: el flujo de inducción eléctrica a través de cualquier superficie cerrada es igual a la suma algebraica de todas las cargas dentro de la superficie: .

De la fórmula se puede ver que la dimensión del flujo eléctrico es la misma que la de la carga eléctrica. Por tanto, la unidad del flujo de inducción eléctrica es el colgante (C).

Nota: si el campo no es homogéneo y la superficie a través de la cual se determina el flujo no es un plano, entonces esta superficie se puede dividir en elementos infinitesimales ds y cada elemento se puede considerar plano, y el campo cercano a él es homogéneo. Por tanto, para cualquier campo eléctrico, el flujo del vector de inducción eléctrica a través del elemento de superficie es: dФ=. Como resultado de la integración, el flujo total a través de una superficie cerrada S en cualquier campo eléctrico no homogéneo es igual a: , donde q es la suma algebraica de todas las cargas rodeadas por una superficie cerrada S. Expresamos la última ecuación en términos de la intensidad del campo eléctrico (para el vacío): .

Ésta es una de las ecuaciones fundamentales de Maxwell para el campo electromagnético, escrita en forma integral. Muestra que la fuente de un campo eléctrico constante en el tiempo son cargas eléctricas inmóviles.

Determinemos ahora, utilizando el teorema de Ostrogradsky-Gauss, la intensidad del campo para varios casos.

1. Campo eléctrico de una superficie esférica cargada uniformemente.

Una esfera de radio R. Sea la carga +q distribuida uniformemente sobre una superficie esférica de radio R. La distribución de carga sobre la superficie se caracteriza por la densidad de carga superficial (Fig. 4). La densidad de carga superficial es la relación entre la carga y el área de superficie sobre la que se distribuye. . En SI.

Determinemos la intensidad del campo:

a) fuera de la superficie esférica,
b) dentro de una superficie esférica.

a) Tomemos el punto A, que está a una distancia r>R del centro de la superficie esférica cargada. Dibujemos mentalmente una superficie esférica S de radio r a través de ella, que tenga un centro común con una superficie esférica cargada. Es obvio por consideraciones de simetría que las líneas de fuerza son líneas rectas radiales perpendiculares a la superficie S y penetran uniformemente esta superficie, es decir la tensión en todos los puntos de esta superficie es de magnitud constante. Apliquemos el teorema de Ostrogradsky-Gauss a esta superficie esférica S de radio r. Entonces, ¿el flujo total a través de la esfera es N = E? S; norte=este. Por otro lado . Equiparar: . Por tanto: para r>R.

Así: la tensión creada por una superficie esférica cargada uniformemente en el exterior es la misma que si toda la carga estuviera en su centro (Fig. 5).

b) Encontremos la intensidad del campo en los puntos que se encuentran dentro de la superficie esférica cargada. Tomemos un punto B separado del centro de la esfera a una distancia . Entonces, E = 0 para r

2. Intensidad de campo de un plano infinito cargado uniformemente

Considere el campo eléctrico creado por un plano infinito cargado con una densidad constante en todos los puntos del plano. Por razones de simetría, podemos suponer que las líneas de tensión son perpendiculares al plano y están dirigidas desde él en ambas direcciones (Fig. 6).

Elegimos un punto A que se encuentra a la derecha del plano y calculamos en este punto utilizando el teorema de Ostrogradsky-Gauss. Como superficie cerrada, elegimos una superficie cilíndrica de modo que la superficie lateral del cilindro sea paralela a las líneas de fuerza, y sus bases sean paralelas al plano, y la base pase por el punto A (Fig. 7). Calculemos el flujo de tensión a través de la superficie cilíndrica considerada. El flujo a través de la superficie lateral es 0, porque Las líneas de tensión son paralelas a la superficie lateral. Entonces el flujo total es la suma de los flujos que pasan por las bases del cilindro y . Ambos flujos son positivos =+; =; =; ==; norte=2.

- una sección del plano que se encuentra dentro de la superficie cilíndrica seleccionada. La carga dentro de esta superficie es q.

Entonces ; - se puede tomar como una carga puntual) con el punto A. Para encontrar el campo total, es necesario sumar geométricamente todos los campos creados por cada elemento: ; .

La principal tarea aplicada de la electrostática es el cálculo de los campos eléctricos creados en diversos dispositivos y dispositivos. En general, este problema se resuelve utilizando la ley de Coulomb y el principio de superposición. Sin embargo, este problema se vuelve muy complicado cuando se considera un gran número de cargas puntuales o distribuidas espacialmente. Surgen dificultades aún mayores en presencia de dieléctricos o conductores en el espacio, cuando bajo la acción de un campo externo E 0 hay una redistribución de cargas microscópicas que crean su propio campo adicional E. Por lo tanto, para la solución práctica de estos problemas, auxiliar Se utilizan métodos y técnicas que utilizan un aparato matemático complejo. Consideraremos el método más simple basado en la aplicación del teorema de Ostrogradsky-Gauss. Para formular este teorema, introducimos varios conceptos nuevos:

a) densidad de carga

Si el cuerpo cargado es grande, entonces necesita conocer la distribución de cargas dentro del cuerpo.

Densidad de carga aparente- se mide por la carga por unidad de volumen:

Densidad de carga superficial- se mide por la carga de una unidad de superficie del cuerpo (cuando la carga se distribuye sobre la superficie):

Densidad de carga lineal(distribución de carga a lo largo del conductor):

b) vector de inducción electrostática

Inducción electrostática vectorial (vector de desplazamiento eléctrico) es una cantidad vectorial que caracteriza el campo eléctrico.

Vector es igual al producto del vector sobre la permitividad absoluta del medio en un punto dado:

Comprobemos la dimensión. D en el sistema SI de unidades:

, porque
,

entonces las dimensiones D y E no coinciden y sus valores numéricos también son diferentes.

De la definición se deduce que para el campo vectorial se aplica el mismo principio de superposición que para el campo :

Campo está representado gráficamente por líneas de inducción, al igual que el campo . Se trazan líneas de inducción de modo que la tangente en cada punto coincida con la dirección , y el número de líneas es igual al valor numérico de D en la ubicación dada.

Para entender el significado de la introducción. Veamos un ejemplo.

V) flujo vectorial de inducción electrostática

Considere una superficie S en un campo eléctrico y elija la dirección de la normal.

1. Si el campo es uniforme, entonces el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie S:

2. Si el campo no es uniforme, entonces la superficie se divide en elementos infinitesimales dS, que se consideran planos y el campo cerca de ellos es homogéneo. Por tanto, el flujo a través del elemento de superficie es: dN = D n dS,

mientras que el flujo total a través de cualquier superficie es:

(6)

El flujo de inducción N es un valor escalar; dependiendo de  puede ser > 0 o< 0, или = 0.