¿Cuáles son los números racionales y qué ejemplos irracionales? Números

Número racional - El número representado por una fracción ordinaria de M / N, donde el numerador M es un número entero, y el denominador N es un número natural. Cualquier número racional es ideológico en forma de una fracción decimal interminable periódica. El conjunto de números racionales se denota por Q.

Si un número válido no es racional, entonces numero irracional. Fracciones decimales que expresan números irracionales son infinitos y no periódicos. Muchos números irracionales generalmente se indican por el título de la letra latina I.

Se llama un número válido algebraicoSi es la raíz de algún polinomio (grado distinto de cero) con coeficientes racionales. Se llama cualquier número no compartido. trascendente.

Algunas propiedades:

Una pluralidad de números racionales se encuentra en el eje numérico en todas partes, densamente: entre dos números racionales diferentes, al menos un número racional se encuentra (y, por lo tanto, el conjunto infinito de números racionales). Sin embargo, resulta que el conjunto de números racionales q y el conjunto de números naturales n son equivalentes, es decir, es posible establecer una coincidencia mutuamente inequívoca entre ellos (todos los elementos del conjunto de números racionales se pueden alquilar).

El conjunto q los números racionales se cierran en relación con la adición, la resta, la multiplicación y la división, es decir, la cantidad, la diferencia, el producto y los dos números racionales privados también son números racionales.

Todos los números racionales son algebraicos (la declaración opuesta es incorrecta).

Cada número trascendental real es irracional.

Cada número irracional es algebraico o trascendental.

Muchos números irracionales en todas partes densamente en una dirección numérica: entre dos números, existe un número irracional (y, por lo tanto, el conjunto infinito de números irracionales).

Se incurren muchos números irracionales.

Al resolver tareas, es conveniente junto con el número irracional A + B-C (donde A, B es números racionales, C, un cuadrado completo de un número natural), considere el número "conjugado" A - B√ C: su suma y trabajar con números iniciales - racionales. Así que A + B-C y A - B-C son raíces de una ecuación cuadrada con coeficientes enteros.

Tareas con soluciones

1. Probar que

a) Número √ 7;

b) el número de LG 80;

c) el número √ 2 + 3 √ 3;

es irracional

a) Supongamos que el número es √ 7 racional. Luego, existen tales p y q mutuamente simples, que es √ 7 \u003d p / q, desde donde obtenemos p 2 \u003d 7q 2. Dado que P y Q son mutuamente simples, entonces P 2, y por lo tanto P se divide por 7. Entonces p \u003d 7k, donde k es un número natural. De ahí la Q 2 \u003d 7K 2 \u003d PK, que contradice el hecho de que P y Q son mutuamente simples.

Entonces, el supuesto es falso, significa que el número √ 7 es irracional.

b) Supongamos que el número de LG 80 es racional. Luego, hay tales P y Q que LG 80 \u003d P / Q, o 10 P \u003d 80 Q, desde donde obtenemos 2 p-4Q \u003d 5 Q-P. Teniendo en cuenta que los números 2 y 5 son mutuamente simples, obtenemos que la última igualdad es posible solo en P-4Q \u003d 0 y QP \u003d 0. De dónde P \u003d Q \u003d 0, que no es posible, ya que P y Q están seleccionados por natural.

Entonces, el supuesto es falso, significa que el número LG 80 es irracional.

c) Denote por este número a través de X.

Luego (x - √ 2) 3 \u003d 3, o x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 · (3x 2 + 2). Después de la construcción de esta ecuación en la plaza, obtenemos que X debería satisfacer la ecuación.

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 \u003d 0.

Sus raíces racionales solo pueden ser números 1 y -1. Los cheques muestran que 1 y -1 no son raíces.

Por lo tanto, este número es √ 2 + 3 √ 3 \u200b\u200bes irracional.

2. Se sabe que los números A, B, √ A-B, - Racional. Pruebalo √ a y √ b- También números racionales.

Considerar el trabajo

(√ a - √ b) · (√ a + √ b) \u003d a - b.

Número √ A + √ B, que es igual a la relación de los números A - B y √ A-B, Es racional, ya que el privado dividiendo dos números racionales es un número racional. La suma de dos números racionales

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- El número es racional, su diferencia,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) \u003d √ b,

también un número racional, que se requirió para probar.

3. Demuestre que hay números irracionales positivos A y B, para los cuales el número A B es natural.

4. ¿Hay algún número racional a, b, c, d igualdad satisfactoria?

(A + B √ 2) 2n + (C + D√ 2) 2N \u003d 5 + 4√ 2,

¿Dónde n es un número natural?

Si se realiza la igualdad, se da en la condición, y el número A, B, C, D es racional, luego se realiza la igualdad:

(A - b √ 2) 2n + (C - D√ 2) 2N \u003d 5 - 4√ 2.

Pero 5 - 4√ 2 (A - B√ 2) 2N + (C - D√ 2) 2N\u003e 0. La contradicción resultante demuestra que la igualdad inicial es imposible.

Respuesta: No existes.

5. Si los segmentos con las longitudes A, B, C forman un triángulo, entonces para todos n \u003d 2, 3, 4 ,. . . Segmentos con longitudes n √ a, n √ b, n √ c solo forman un triángulo. Pruébalo.

Si los segmentos con las longitudes de A, B, C forman un triángulo, entonces la desigualdad del triángulo da

Por lo tanto, tenemos

(n √ a + n √ b) n\u003e a + b\u003e c \u003d (n √ c) n,

N √ a + n √ b\u003e n √ c.

Los casos restantes de verificación de la desigualdad del triángulo se tratan de manera similar, desde donde sigue.

6. Demuestre que la fracción decimal infinita 0,1234567891011121314 ... (Después de los punto y coma en una fila, todos los números naturales están escritos en orden) es un número irracional.

Como se sabe, los números racionales se expresan por fracciones decimales que tienen un período de algún signo. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que esta fracción no es periódica de ninguna señal. Supongamos que este no es el caso, y cierta secuencia T, que consiste en n números, es un período de fracción, a partir de la mañana después de una coma. Está claro que entre los números después de la marca M-th, no hay un nozero, por lo tanto, hay un dígito distinto de cero en la secuencia de números. Esto significa que comenzando con los números M-TH después de la coma, entre los números N en una fila, hay un dígito distinto de cero. Sin embargo, en el registro decimal de esta fracción, debe haber un registro decimal del número 100 ... 0 \u003d 10 K, donde k\u003e m y k\u003e n. Está claro que esta entrada se reunirá con el derecho de los números M-OH y contenga más n ceros en una fila. Por lo tanto, obtenemos una contradicción, evidencia definitiva.

7. Una fracción decimal infinita se administra 0, A 1 A 2 .... Demuestre que los números en su registro decimal se pueden reorganizar de modo que la fracción resultante exprese el número racional.

Recuerde que la fracción expresa un número racional en eso y solo el caso cuando es periódico, comenzando desde algún signo. Figuras de 0 a 9 Dividimos en dos clases: en la primera clase, incluiremos esos números que se encuentran en la fracción original. El número final de veces en la segunda clase: aquellos encontrados en la fracción original de un número infinito de veces. Comenzamos a escribir una fracción periódica que se puede obtener de la permutación inicial de los números. Al principio, después de cero y la coma, escriba todos los números de la primera clase en cualquier orden, cada vez que se encuentra en la grabación de la fracción original. Los dígitos de primera clase registrados precederán al período en la parte fraccionaria de la fracción decimal. A continuación, escribimos en algún orden a una vez los números de la segunda clase. Esta combinación declarará el período y repetirá su número infinito de veces. Por lo tanto, cumplimos una fracción periódica deseada que expresa algún número racional.

8. Demuestre que en cada fracción decimal infinita hay una secuencia de signos decimales de longitud arbitraria, que en la descomposición del Fraci se produce infinitamente muchas veces.

Sea M un número natural especificado arbitrariamente. Rompemos esta fracción decimal infinita en los segmentos, en los números M en cada uno. Habrá infinitamente muchos de estos segmentos. Por otro lado, existen varios sistemas que consisten en números M solo 10 m, es decir, el número final. En consecuencia, al menos uno de estos sistemas debe repetirse aquí indefinidamente muchas veces.

Comentario. Para números irracionales √ 2, π o mI. Ni siquiera sabemos qué dígitos se repiten infinitamente muchas veces en la representación de sus infinitas fracciones decimales, aunque cada uno de estos números, de manera fácil, contiene al menos dos números diferentes.

9. Probar la forma elemental que la raíz positiva de la ecuación.

es irracional

Para x\u003e 0, la parte izquierda de la ecuación aumenta con el aumento de x, y es fácil ver que en x \u003d 1.5 es menor que 10, y en x \u003d 1.6 - más de 10. Por lo tanto, la única raíz positiva de La ecuación está dentro del intervalo (1.5; 1.6).

Escribimos la raíz como una fracción insolvente P / Q, donde P y Q son algunos números naturales mutuamente simples. Luego, en x \u003d p / q, la ecuación tomará el siguiente formulario:

p 5 + PQ 4 \u003d 10Q 5,

desde donde se deduce que P es divisor 10, por lo tanto, p es igual a uno de los números 1, 2, 5, 10. Sin embargo, prescribe las fracciones con los números 1, 2, 5, 10, notamos de inmediato que ninguno de ellos cae dentro del intervalo (1.5; 1.6).

Por lo tanto, la raíz positiva de la ecuación de la fuente no se puede representar como una fracción ordinaria, lo que significa un número irracional.

10. a) ¿Hay tres puntos de este tipo A, B y C en el plano, que para cualquier punto x la longitud de al menos uno de los segmentos XA, XB y XC irracional?

b) Las coordenadas de los vértices del triángulo son racionales. Demuestre que las coordenadas del centro de su círculo descrito también son racionales.

c) ¿Hay tal esfera en la que hay exactamente un punto racional? (Punto racional: un punto, que tiene las tres coordenadas cartesianas: números racionales).

a) Sí, existe. Sea C ser el medio de la AB. Luego xc 2 \u003d (2xa 2 + 2xb 2 - AB 2) / 2. Si el número AB 2 es irracionalmente, los números XA, XB y XC no pueden ser racionales.

b) Deje (a 1; B 1), (a 2; B 2) y (a 3; B 3) - Las coordenadas de los vértices del triángulo. Las coordenadas del centro de su círculo descrito están establecidas por el sistema de ecuaciones:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Es fácil verificar que estas ecuaciones son lineales, y por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones en cuestión es racionalmente.

c) existe tal esfera. Por ejemplo, la esfera con la ecuación.

(X - √ 2) 2 + y 2 + z 2 \u003d 2.

Punto O con coordenadas (0; 0; 0) - Punto racional sobre esta área. Los puntos restantes de la esfera es irracional. Lo demostramos.

Supongamos lo contrario: deja (x; y; z) - el punto racional de la esfera, diferente del punto O. Está claro que X es diferente de 0, ya que en X \u003d 0 hay una solución única (0; 0; 0) que ahora no estamos interesados. Soportes de recuperación y expreso √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

lo que no puede ser con Rational X, Y, Z y Irracional √ 2. Entonces, O (0; 0; 0) es el único punto racional en el sector en consideración.

Tareas sin soluciones.

1. Probar que el número

\\ [\\ Sqrt (10+ \\ sqrt (24) + \\ sqrt (40) + \\ sqrt (60)) \\]

es irracional

2. En lo que se realiza la otra igualdad de M y N (5 + 3√ 2) m \u003d (3 + 5√ 2) n?

3. ¿Hay un número A para que el número A sea √ 3 y 1 / a + √ 3 fuera entero?

4. ¿Pueden los números 1, √ 2, 4 ser miembros (no necesariamente adyacentes) progresión aritmética?

5. Demostrar que con cualquier N natural, la ecuación (X + O√ 3) 2N \u003d 1 + √ 3 no tiene soluciones en números racionales (x; y).

¿Qué son los números irracionales? ¿Por qué se llaman así? ¿Dónde están usados \u200b\u200by qué están presentes? Pocos pueden ser sin pensar en responder a estas preguntas. Pero, de hecho, las respuestas a ellos son bastante simples, aunque no todos se necesitan en situaciones muy raras.

Esencia y designación.

Los números irracionales son una necesidad no periódica infinita de introducir este concepto debido al hecho de que resolver nuevos problemas que anteriormente no hayan existentes conceptos de números válidos o racionales, válidos, de enteros, naturales. Por ejemplo, para calcular, el cuadrado de qué valor es 2, es necesario usar fracciones decimales sin fin no periódicas. Además, muchas ecuaciones simples también no tienen ninguna solución sin la introducción del concepto de un número irracional.

Este conjunto se indica como I. Y, como ya se desprende, estos valores no pueden representarse como una fracción simple, en el numerador de los cuales habrá un entero, y en el denominador.

Por primera vez o de otro tipo, los matemáticos indios en el siglo VII se enfrentaron a este fenómeno cuando se encontró que las raíces cuadradas de algunos valores no se pueden indicar explícitamente. Y la primera prueba de la existencia de tales números se atribuye a los hipopótamos pitagóricos, lo que lo hizo en el proceso de estudiar un triángulo rectangular igualmente visible. Una seria contribución al estudio de este conjunto trajo a algunos científicos más que vivieron a nuestra era. La introducción del concepto de números irracionales condujo a la revisión del sistema matemático existente, por lo que son tan importantes.

Origen del nombre

Si la proporción traducida del latín, esta es una "fracción", "Actitud", luego el prefijo "IL"
Da esta palabra el valor opuesto. Por lo tanto, el nombre del conjunto de estos números sugiere que no se pueden correlacionar con un todo o fraccional, tener un lugar separado. Esto implica de su esencia.

Lugar en la clasificación general

Los números irracionales junto con racional se refieren al grupo de reales o válidos, lo que a su vez se refiere al complejo. Sin embargo, no hay subconjuntos, distinguen la variedad algebraica y trascendente, que se discutirán a continuación.

Propiedades

Dado que los números irracionales son parte del conjunto de válidos, entonces todas sus propiedades son aplicables a ellos, que se estudian en aritmética (también se denominan leyes algebraicas importantes).

a + B \u003d B + A (conmutativo);

(A + B) + C \u003d A + (B + C) (asociatividad);

a + (-A) \u003d 0 (la existencia del número opuesto);

aB \u003d BA (Ley de Movimiento);

(AB) C \u003d A (BC) (Distribución);

a (B + C) \u003d AB + CA (Ley Distribuible);

a x 1 / a \u003d 1 (la existencia del número inverso);

La comparación también se lleva a cabo de acuerdo con las leyes y principios generales:

Si A\u003e B y B\u003e C, A entonces, A\u003e C (la transitividad de la proporción) y. t. d.

Por supuesto, todos los números irracionales se pueden convertir utilizando una acción aritmética básica. No hay reglas especiales.

Además, la acción de Arquímedes aximartes se aplica a números irracionales. Afirma que para cualquiera de las dos magnitudes A y B, la afirmación es cierta que, tomando un número considerable de veces, puede exceder de B.

Utilizando

A pesar de que, en la vida ordinaria, no se enfrenta tan a menudo con ellos, los números irracionales no son susceptibles de un proyecto de ley. Su enorme set, pero son prácticamente imperceptibles. Estamos rodeando los números irracionales en todas partes. Los ejemplos familiares para todos son el número de PI, igual a 3,1415926 ..., o E, de hecho, la base del logaritmo natural, 2,718281828 ... en álgebra, trigonometría y geometría los usan permanentemente. Por cierto, el famoso valor de la "sección de oro", es decir, la proporción de la mayor parte de lo más pequeño y lo contrario, también

se refiere a este conjunto. Menos conocido "plata", también.

En el Direct numérico, se encuentran muy ajustados, de modo que existen irracionales que se encuentran entre los dos valores relacionados con el conjunto de racionales.

Hasta ahora, hay muchos problemas no resueltos asociados con este conjunto. Hay criterios como la medida de la irracionalidad y la normalidad del número. Las matemáticas continúan explorando los ejemplos más significativos en su pertenencia a un grupo en particular. Por ejemplo, se cree que E es un número normal, es decir, la probabilidad de diferentes números en sus grabaciones es la misma. En cuanto a PI, el estudio aún se está llevando a cabo. La medida de la irracionalidad se llama el valor que indica lo bueno que puede ser uno u otro puede ser aproximadamente números racionales.

Algebraico y trascendental

Como ya se mencionó, los números irracionales están divididos condicionalmente en algebraico y trascendental. Condicionalmente, ya que, estrictamente hablando, esta clasificación se usa para dividir el conjunto C.

Bajo esta designación, los números complejos están ocultos, que incluyen válidos o reales.

Por lo tanto, el algebraico se llama tal valor que es la raíz de un polinomio, no igual a cero. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 se referirá a esta categoría, ya que es una solución de la ecuación x 2 - 2 \u003d 0.

Sin embargo, los números reales restantes que no satisfacen esta condición se denominan trascendentales. Esta especie incluye los ejemplos más conocidos y ya mencionados, el número de PI y la base del logaritmo natural E.

Lo que es interesante, ninguno ni el segundo fue originalmente criado por los matemáticos en esta capacidad, su irracionalidad y trascendencia se probaron muchos años después de su descubrimiento. Para la prueba PI, se mostró en 1882 y se simplificó en 1894, que puso fin a las disputas del desafío de los cuadrados del círculo, que duraron 2,5 mil años. Todavía no se estudia hasta el final, por lo que hay matemáticos modernos sobre qué trabajar. Por cierto, el primer cálculo bastante preciso de este valor fue llevado a cabo por Arquímedes. Ante él, todos los cálculos eran demasiado aproximados.

Para E (Número de Euler o NEFE), su prueba de su trascendencia se encontró en 1873. Se utiliza para resolver ecuaciones logarítmicas.

Otros ejemplos son los valores del seno, el coseno y la tangente para cualquier valor algebraico no cero.

El conjunto de todos los números naturales se denota por la letra N. Números naturales, estos son los números que utilizamos para las cuentas de los artículos: 1,2,3,4, ... en algunas fuentes, el número 0 también incluye Los números naturales.

El conjunto de todos los enteros se denota por la letra Z. Los números enteros son todos los números naturales, cero y números negativos:

1,-2,-3, -4, …

Ahora únase al conjunto de todos los enteros, muchas de todas las fracciones ordinarias: 2/3, 18/17, -4/5 y que a continuación. Luego tenemos muchos números racionales.

Muchos números racionales

El conjunto de todos los números racionales se denota por la letra Q. El conjunto de todos los números racionales (Q) es un conjunto que consiste en números del formulario M / N, -M / N y número 0. Cualquier número natural puede actuar como n , m. Cabe señalar que todos los números racionales se pueden representar en forma de una fracción decimal minorista finita o infinita. También es cierto que cualquier fracción decimal periódica finita o infinita se puede escribir en forma de un número racional.

Pero, ¿cómo ser, por ejemplo, con un número 2.0100100010 ...? Es una fracción decimal infinitamente incomprensible. Y no se aplica a números racionales.

En el año escolar, los álgebras son estudiados solo por números reales (o válidos). El conjunto de todos los números válidos está indicado por la letra R. El conjunto R consiste en todos los números racionales y de todos los irracionales.

El concepto de números irracionales.

Los números irracionales son todas infinitas fracciones decimales no periódicas. Los números irracionales no tienen una designación especial.

Por ejemplo, todos los números obtenidos por la extracción de una raíz cuadrada de números naturales que no son cuadrados de números naturales son irracionales. (√2, √3, √5, √6, etc.).

Pero no piense que los números irracionales se obtienen solo por la extracción de raíces cuadradas. Por ejemplo, el número "PI" también es irracional, y se obtiene por división. Y cómo no lo intentas, no podrá obtenerlo, eliminando la raíz cuadrada de ningún número natural.

Numero irracional - esto es numero totalque no es racional, es decir, no se puede representar como una fracción, donde - enteros ,. El número irracional se puede representar como una fracción decimal no periódica infinita.

Muchos números irracionales generalmente se denotan por la letra latina del título en una costura en negrita sin llenado. Así:, es decir,. Muchos números irracionales tienen la diferencia de conjuntos de números reales y racionales.

Sobre la existencia de números irracionales, más precisamente. los recortes que son inconmensurables con un segmento de una sola longitud, ya conocían los antiguos matemáticos: se conocían, por ejemplo, la diagonal incompleta y el lado del cuadrado, lo que equivale a la irracionalidad del número.

Propiedades

• Cualquier número real se puede escribir en forma de una fracción decimal infinita, mientras que los números irracionales y solo se registran por fracciones decimales infinitas no periódicas.
• Los números irracionales determinan las deducciones de la sección en un conjunto de números racionales, que en la clase baja no hay más grande, y en la parte superior no hay un número más pequeño.
• Cada número trascendental real es irracional.
• Cada número irracional es algebraico o trascendental.
• Muchos números irracionales en todas partes densamente en una dirección numérica: entre dos números, hay un número irracional.
• El orden en el conjunto de números irracionales es isomorfo sobre el conjunto de números trascendentales reales.
• Muchos números irracionales son innecesarios, es una multitud de la segunda categoría.

Ejemplos

Irracionales son:

Ejemplos de evidencia de irracionalidad.

Raíz de 2.

Supongamos que lo contrario: racional, es decir, se representa en forma de una fracción inestable, donde es un número entero, pero un número natural. Erigió la igualdad estimada en el cuadrado:

A partir de aquí sigue lo que es claramente, significa que y. Deja que el todo. Luego

En consecuencia, significa que también es. Tenemos que son negros, lo que contradice la inconsistencia de la fracción. Significa que la suposición inicial era incorrecta, y es un número irracional.

Logaritmo binario número 3

Supongamos que lo contrario: racional, es decir, parece que en forma de fracción, donde y - enteros. Desde entonces, y se puede seleccionar positivo. Luego

Pero incluso, y en extraño. Obtenemos una contradicción.

mI.

Historia

El concepto de números irracionales fue percibido implícitamente por los matemáticos indios en el siglo VII a BC, cuando MANAVA (aprox. 750 aC. E. - OK. 690 aC. ER) Descubrió que las raíces cuadradas de algunos números naturales, como 2 y 61, no se puede expresar.

La primera prueba de la existencia de números irracionales generalmente se atribuye a la hyprosfase desde el Metapont (aprox. 500 Gg. AC), Pitágorico, que encontró esta prueba, estudiando la longitud de los lados del pentagrama. En el momento de los pitagóricos, se creía que hay una sola longitud de longitud, suficientemente pequeña e indivisible, que es un entero en cualquier segmento. Sin embargo, Hippas justificó que no hay una sola longitud de longitud, ya que la suposición de su existencia conduce a una contradicción. Mostró que si la hipotenusa de un triángulo rectangular equificable contiene una unidad de enteros de segmentos individuales, entonces este número debe ser incluso incluso, y extraño. La prueba se veía de la siguiente manera:

• La relación de la longitud de las hipotenus a la longitud de la proporción de un triángulo rectangular equificable puede expresarse como uNA.:b.dónde uNA. y b. Elegido lo más pequeño posible.
• Según el teorema de Pythagore: uNA.² \u003d 2. b.².
• Como uNA.² incluso uNA. Debe ser incluso (ya que el cuadrado de un número impar sería extraño).
• En la medida en uNA.:b. inestable b. Debe ser extraño
• Como uNA. Incluso, denotado uNA. = 2y.
• Luego uNA.² \u003d 4. y² \u003d 2. b.².
• b.² \u003d 2. y², por lo tanto b.² incluso, entonces y b. incluso.
• Sin embargo, se demostró que b. impar. Contradicción.

Matemáticas griegas llamadas este índice de valores inconmensurables alogos (inexpresable), pero de acuerdo con las leyendas no le dieron el debido respeto al hipopasio. Hay una leyenda que Hippas hizo un descubrimiento, estar en la caminata al mar, y se lanzó por la borda con otros pitagóricos "para la creación de un elemento del universo, que niega la doctrina que todas las entidades en el universo pueden reducirse a números enteros. y sus relaciones ". La apertura de HIPPAS ha entregado un problema grave frente a las matemáticas de Pitágoras, destruyendo el supuesto que ha caído en la base que los números y los objetos geométricos están unidos e inseparables.

¿Qué números son irracionales? Numero irracional - Esto no es un número real racional, es decir,. No se puede representar como una fracción (como una proporción de dos enteros), donde mETRO. - entero nORTE.- número natural . Numero irracional Se puede imaginar como una fracción decimal no periódica infinita.

Numero irracional No puede tener un significado preciso. Solo en el formato de 3,333333 .... por ejemplo, La raíz cuadrada de dos, es un número irracional.

¿Qué es irracional? Numero irracional (A diferencia de la racional), se llama una fracción no periódica decimal infinita.

Muchos números irracionales A menudo, denota la letra latina del título en una inscripción audaz sin relleno. Entonces.:

Esos. Muchos números irracionales son la diferencia de conjuntos de números reales y racionales.

Propiedades de los números irracionales.

• La suma de 2 números irracionales no negativos puede ser un número racional.
• Los números irracionales definen las deducidas de la sección en una variedad de números racionales, en la clase baja, que no tienen el número más grande, y no hay más pequeño en la parte superior.
• Cualquier número trascendental real es un número irracional.
• Todos los números irracionales son algebraica, o trascendental.
• Muchos números irracionales en todas partes densamente en una línea numérica: entre cada par de números hay un número irracional.
• El orden en el conjunto de números irracionales es isomorfo sobre el conjunto de números trascendentales reales.
• Muchos números irracionales son infinitamente, es una multitud de la segunda categoría.
• El resultado de cada operación aritmética con números racionales (excepto la división por 0) es números racionales. El resultado de las operaciones aritméticas sobre números irracionales puede ser un número racional e irracional.
• La cantidad de números racionales e irracionales siempre será un número irracional.
• La cantidad de números irracionales puede ser un número racional. Por ejemplo, permitir x. irracional, entonces y \u003d x * (- 1) también irracional; x + y \u003d 0, Un número 0 Racional (si, por ejemplo, dobló la raíz de cualquier extensión de 7 y menos la raíz del mismo grado de siete, obtenemos un número racional 0).

Números irracionales, ejemplos.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — Δs. — α — mI. — π — δ