¿Cuál puede ser el valor de la media aritmética? ¿Cómo encontrar la media aritmética y la media geométrica de los números? Media aritmética simple

) y media muestral (muestras).

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  Denotemos el conjunto de datos X = (X 1 , X 2 , …, X norte), la media de la muestra suele indicarse mediante una barra horizontal sobre la variable (pronunciada " X con una línea ").

  La letra griega μ se usa para denotar la media aritmética de toda la población. Para una variable aleatoria para la que se determina el valor medio, μ es media probabilística o expectativa matemática variable aleatoria... Si el conjunto X es una colección de números aleatorios con una media probabilística μ, entonces para cualquier muestra X I de esta colección μ = E ( X I) es la expectativa matemática de esta muestra.

  En la práctica, la diferencia entre μ y x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) es que μ es una variable típica porque puede ver la muestra en lugar de la población completa. Por lo tanto, si la muestra se presenta al azar (en términos de teoría de probabilidad), entonces x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(pero no μ) puede tratarse como una variable aleatoria con una distribución de probabilidad en la muestra (distribución de probabilidad de la media).

  Ambas cantidades se calculan de la misma manera:

  x ¯ = 1 norte ∑ yo = 1 norte x yo = 1 norte (x 1 + ⋯ + x norte). (\ Displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)

  Ejemplos de

  • Para tres números, súmelos y divídalos por 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3. (\ Displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)
  • Para cuatro números, súmelos y divídalos por 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ Displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)

  O más simplemente 5 + 5 = 10, 10: 2. Debido a que sumamos 2 números, lo que significa cuántos números sumamos, dividimos entre tantos.

  Variable aleatoria continua

  f (x) ¯ [a; b] = 1 segundo - una ∫ abf (x) dx (\ Displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)

  Algunos problemas de usar la media

  Falta de robustez

  Aunque la media aritmética se usa a menudo como promedios o tendencias centrales, no es una estadística robusta, lo que significa que la media aritmética está fuertemente influenciada por "grandes desviaciones". Cabe señalar que para distribuciones con un coeficiente de asimetría grande, la media aritmética puede no corresponder con el concepto de "media", y los valores medios de las estadísticas robustas (por ejemplo, la mediana) pueden describir mejor la tendencia central.

  Un ejemplo clásico es el cálculo de la renta media. La media aritmética puede malinterpretarse como la mediana, lo que puede llevar a la conclusión de que hay más personas con ingresos más altos de lo que realmente son. El ingreso “promedio” se interpreta de tal manera que el ingreso de la mayoría de las personas se acerca a este número. Este ingreso "promedio" (en el sentido de la media aritmética) es más alto que el ingreso de la mayoría de las personas, ya que un ingreso alto con una gran desviación de la media hace que la media aritmética esté fuertemente sesgada (en contraste, el ingreso mediano "resiste" tal sesgo). Sin embargo, este ingreso “promedio” no dice nada sobre el número de personas cerca del ingreso medio (y no dice nada sobre el número de personas cerca del ingreso modal). Sin embargo, si toma a la ligera los conceptos de "promedio" y "mayoría de la gente", puede llegar a la conclusión equivocada de que la mayoría de la gente tiene ingresos más altos de lo que realmente son. Por ejemplo, un informe de ingresos netos "promedio" en Medina, Washington, calculado como el promedio aritmético de los ingresos netos anuales de todos los residentes, arrojaría resultados sorprendentemente Número grande por Bill Gates. Considere la muestra (1, 2, 2, 2, 3, 9). La media aritmética es 3,17, pero cinco de los seis valores están por debajo de este promedio.

  Interés compuesto

  Si los números multiplicar, pero no pliegue, debe utilizar la media geométrica, no la media aritmética. La mayoría de las veces, este incidente ocurre al calcular el retorno de la inversión en finanzas.

  Por ejemplo, si las acciones cayeron un 10% en el primer año y aumentaron un 30% en el segundo año, entonces es incorrecto calcular el aumento "promedio" durante estos dos años como la media aritmética (-10% + 30%). / 2 = 10%; el promedio correcto en este caso viene dado por la tasa de crecimiento anual acumulada, a la cual el crecimiento anual es solo alrededor de 8.16653826392% ≈ 8.2%.

  La razón de esto es que los porcentajes tienen un nuevo punto de partida cada vez: 30% es 30%. de un número menor que el precio al comienzo del primer año: si la acción estaba en $ 30 al principio y cayó un 10%, está en $ 27 al comienzo del segundo año. Si la acción ha subido un 30%, vale $ 35,1 al final del segundo año. El promedio aritmético de este crecimiento es del 10%, pero dado que la acción es de solo $ 5.1 en 2 años, un aumento promedio del 8.2% da el resultado final de $ 35.1:

  [$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1]. Si usamos la media aritmética del 10% de la misma manera, no obtendremos el valor real: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $ 36.3].

  Interés compuesto al final del año 2: 90% * 130% = 117%, es decir, un aumento total del 17% y un interés compuesto anual promedio 117% ≈ 108,2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ aproximadamente 108,2 \%), es decir, un crecimiento medio anual del 8,2%. Este número es incorrecto por dos razones.

  El valor promedio de la variable cíclica, calculado utilizando la fórmula anterior, se desplazará artificialmente desde el promedio real hacia la mitad del rango numérico. Debido a esto, la media se calcula de forma diferente, es decir, se elige como media el número con la menor varianza (punto central). Además, en lugar de restar, se usa la distancia modular (es decir, la distancia circunferencial). Por ejemplo, la distancia modular entre 1 ° y 359 ° es 2 °, no 358 ° (en un círculo entre 359 ° y 360 ° == 0 ° - un grado, entre 0 ° y 1 ° - también 1 °, en total - 2 °).

  Esencia e importancia de las medias.

  Valores absolutos y relativos.

  Tipos de agrupaciones.

  Dependiendo de las tareas resueltas con la ayuda de agrupaciones, se distinguen los siguientes tipos:

  Tipológico

  Estructural

  Analítico

  La principal tarea de la tipología es clasificar los fenómenos socioeconómicos identificando grupos que sean homogéneos en términos de relaciones de calidad.

  En este caso, se entiende por homogeneidad cualitativa en el sentido de que en relación con la propiedad estudiada, todas las unidades del agregado obedecen a la misma ley de desarrollo. Por ejemplo: agrupación de industrias de la economía.

  Un valor absoluto es un indicador que expresa el tamaño de un fenómeno socioeconómico.

  Un valor relativo en estadística es un indicador que expresa una relación cuantitativa entre fenómenos. Se obtiene dividiendo un valor absoluto por otro valor absoluto. El valor con el que hacemos comparaciones se llama base o base de comparación.

  Las cantidades absolutas siempre se denominan cantidades.

  Los valores relativos se expresan en proporciones, porcentajes, ppm, etc.

  El valor relativo muestra cuántas veces, o en qué porcentaje, el valor comparado es mayor o menor que la base de comparación.

  En estadística, hay 8 tipos de valores relativos:

  Los promedios son algunas de las estadísticas de resumen más comunes. Su objetivo es caracterizar una población estadística que consta de una minoría de unidades con un número. Los valores medios están estrechamente relacionados con la ley de los grandes números. La esencia de esta dependencia radica en el hecho de que con un gran número de observaciones, las desviaciones aleatorias de las estadísticas generales se anulan y, en promedio, se manifiesta más claramente una regularidad estadística.

  Usando el método medio Se resuelven las siguientes tareas principales:

  1. Características del nivel de desarrollo de los fenómenos.

  2. Comparación de dos o más niveles.

  3. Estudio de la relación de fenómenos socioeconómicos.

  4. Análisis de la ubicación de los fenómenos socioeconómicos en el espacio.

  Para abordar estos desafíos, la metodología estadística ha desarrollado varios tipos de promedios.

  Para aclarar la metodología para calcular la media aritmética, usamos la siguiente notación:

  X - signo aritmético

  X (X1, X2, ... X3): variantes de una determinada característica

  n es el número de unidades en la población

  Valor medio de la característica

  Dependiendo de los datos iniciales, la media aritmética se puede calcular de dos formas:

  1. Si los datos de observación estadística no están agrupados o las variantes agrupadas tienen las mismas frecuencias, se calcula la media aritmética simple:

  2. Si las frecuencias agrupadas en los datos son diferentes, entonces se calcula la media aritmética ponderada:

  

  El número (frecuencia) de variantes

  Suma de frecuencias

  La media aritmética se calcula de forma diferente en series de variación discreta y de intervalo.

  En series discretas, las variantes de la característica se multiplican por las frecuencias, estos productos se suman y la suma resultante de los productos se divide por la suma de las frecuencias.

  Considere un ejemplo de cálculo de la media aritmética en una serie discreta:

  En series de intervalos, el valor de una característica se establece, como se sabe, en forma de intervalos, por lo tanto, antes de calcular la media aritmética, debe pasar de una serie de intervalos a una discreta.

  La mitad de los intervalos correspondientes se utiliza como las variantes Xi. Se definen como la mitad de la suma de los límites superior e inferior.

  Si un intervalo no tiene límite inferior, entonces su medio se determina como la diferencia entre el límite superior y la mitad del valor de los siguientes intervalos. En ausencia de límites superiores, la mitad del intervalo se determina como la suma del límite inferior y la mitad del valor del intervalo anterior. Después de la transición a una serie discreta, se realizan cálculos adicionales de acuerdo con la metodología discutida anteriormente.

  Si pesos fi no se dan en términos absolutos, sino en términos relativos, entonces la fórmula para calcular la media aritmética será la siguiente:

  

  pi: valores relativos de la estructura, que muestran qué porcentaje son las frecuencias de las variantes en la suma de todas las frecuencias.

  Si los valores relativos de la estructura no se especifican en porcentaje, sino en fracciones, la media aritmética se calculará mediante la fórmula:

  Significar

  Significar- una característica numérica de un conjunto de números o funciones (en matemáticas); - algún número entre el más pequeño y el más grande de sus valores.

  Información básica

  El punto de partida para la formación de la teoría de los valores medios fue el estudio de proporciones por parte de la escuela de Pitágoras. Al mismo tiempo, no se hizo una distinción estricta entre los conceptos de tamaño medio y proporción. Un impulso significativo al desarrollo de la teoría de las proporciones desde un punto de vista aritmético fue dado por los matemáticos griegos Nicomachus de Geras (finales del siglo I a principios del siglo II d.C.) y Pappus de Alejandría (siglo III d.C.). La primera etapa en el desarrollo del concepto de promedio es la etapa en la que el promedio comenzó a ser considerado el término central de una proporción continua. Pero el concepto de promedio como significado central de la progresión no permite derivar el concepto de promedio en relación con una secuencia de n términos, independientemente del orden en que se suceden. Para ello, es necesario recurrir a una generalización formal de promedios. La siguiente etapa es la transición de proporciones continuas a progresiones: aritmética, geométrica y armónica ( inglés).

  En la historia de la estadística, por primera vez, el uso generalizado de promedios se asocia con el nombre del científico inglés W. Petty. W. Petty fue uno de los primeros en intentar dar un significado estadístico al promedio, vinculándolo con categorías económicas. Pero Petty no describió el concepto de tamaño medio, su aislamiento. A. Quetelet se considera el fundador de la teoría de los valores medios. Fue uno de los primeros en desarrollar consistentemente la teoría de los promedios, tratando de proporcionarle una base matemática. A. Quetelet distinguió dos tipos de promedios: en realidad, promedios y promedios aritméticos. En realidad, los promedios representan una cosa, un número que realmente existe. En realidad, los promedios o promedios estadísticos deben deducirse de fenómenos de la misma calidad, idénticos en su significado interno. Las medias aritméticas son números que dan una idea lo más cercana posible sobre muchos números, diferentes, aunque homogéneos.

  Cada uno de los tipos de promedio puede ser en forma de promedio simple o en forma de promedio ponderado. La exactitud de la elección de la forma media se deriva de la naturaleza material del objeto de investigación. Se utilizan fórmulas de promedio simple si los valores individuales de la característica promediada no se repiten. Cuando, en la investigación práctica, los valores individuales del rasgo en estudio ocurren varias veces en unidades de la población estudiada, entonces la frecuencia de repetición de los valores individuales del rasgo está presente en las fórmulas calculadas de promedios de potencia. En este caso, se denominan fórmulas de promedio ponderado.

  Jerarquía de medios en matemáticas

  • el valor medio de una función es un concepto que se define de muchas formas.
    • Más específicamente, pero sobre la base de funciones arbitrarias, se determinan las medias de Kolmogorov para un conjunto de números.
      • la media de potencia es un caso especial de las medias de Kolmogorov para ϕ (x) = x α (\ displaystyle \ phi (x) = x ^ (\ alpha)). Los promedios de varios grados están vinculados por la desigualdad sobre los promedios. Los casos especiales más habituales:
        1. media aritmética (α = 1 (\ displaystyle \ alpha = 1))
        2. raíz cuadrada media (α = 2 (\ displaystyle \ alpha = 2))
        3. media armónica (α = - 1 (\ displaystyle \ alpha = -1))
        4. por continuidad como α → 0 (\ displaystyle \ alpha \ to 0), se redefine la media geométrica, que también es la media de Kolmogorov para ϕ (x) = log ⁡ x (\ displaystyle \ phi (x) = \ log x)
  • Promedio ponderado: generalización del promedio al caso de una combinación lineal arbitraria:
    • Media aritmética ponderada.
    • Media geométrica ponderada.
    • Media armónica ponderada.
  • Promedio cronológico: resume los valores de una característica para la misma unidad o población en su conjunto, cambiando con el tiempo.
  • media logarítmica, definida por la fórmula a ¯ = a 1 - a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\ textstyle (\ bar (a)) = (\ frac (a_ (1) -a_ (2)) ( \ ln (a_ (1) / a_ (2))))), utilizado en ingeniería de calefacción
  • el promedio logarítmico, determinado en aislamiento eléctrico de acuerdo con GOST 27905.4-88, se define como l o g a ¯ = log ⁡ a 1 + l o g a 2 +. ... ... +. ... ... l o g a n a 1 + a 2 +. ... ... + an (\ textstyle log (\ bar (a)) = (\ frac (\ log a_ (1) + loga_ (2) + ... + ... loga_ (n)) (a_ (1) + a_ ( 2) + ... + a_ (n)))) (logaritmo a cualquier base)

  En teoría de probabilidad y estadística

  Articulo principal: Indicadores del centro de distribución
  • medias no paramétricas - moda, mediana.
  • el valor medio de una variable aleatoria es el mismo que la expectativa matemática de una variable aleatoria. De hecho, es el valor medio de su función de distribución.

  ¿Cuál es el signo de la media aritmética?

  Digamos que la suma es epsilon capital ...

  Ksenia

  La media aritmética es el límite alrededor del cual se agrupan los valores individuales de las características observadas y estudiadas, la media aritmética es el cociente de dividir la suma de los valores de cualquier atributo por el número de elementos de la población. En estadística, la media aritmética generalmente se denota a través de valores individuales de una característica (o resultados particulares de un experimento), hasta x1, x2, x3, etc., y el número total de características (o el número de experimentos) es norte.
  A un número grande mediciones, los errores aleatorios positivos y negativos son igualmente comunes. Por múltiples mediciones cualquier cantidad física puedes determinar su media aritmética. Varias mediciones también permiten establecer la precisión de la medición, tanto para el resultado final como para las mediciones individuales, es decir, para encontrar los límites dentro de los cuales se encuentra el resultado obtenido del valor medido.
  En n mediciones de una determinada cantidad, obtenemos n valores diferentes. Lo más cercano al valor real del valor medido será la media aritmética de todas las mediciones.
  Si denotamos mediciones individuales mediante a \, az, a3, ..ap, entonces el valor medio aritmético del valor medido se determina mediante la fórmula:
  NS
  n - en + a + - + A „_ \ 1 a, -
  a _ ------------------
  = Y- ^
  ^ J П
  Los valores de las medidas individuales difieren de la media aritmética a0 en las siguientes cantidades:
  Los valores absolutos de las diferencias (Da ^ Dag, ...) entre la media aritmética del valor medido y el valor de las mediciones individuales se denominan errores absolutos de las mediciones individuales. La media aritmética de los errores absolutos de todas las mediciones, que es necesaria para determinar el error de medición relativo y registrar el resultado final, se calcula mediante la fórmula:
  ^-. (2)
  Este error se denomina error de medición absoluto promedio. Tomando un signo de errores absolutos, tomamos conscientemente el mayor error posible.
  

  ¿Qué es la media aritmética? ¿Cómo encontrar la media aritmética?

  ¿Fórmula para la media aritmética?

  Alex-89

  La media aritmética de varios números es la suma de estos números dividida por su número.

  x cf - media aritmética

  S - la suma de números

  n es el número de números.

  Por ejemplo, necesitamos encontrar la media aritmética de los números 3, 4, 5 y 6.

  Para hacer esto, necesitamos sumarlos y dividir la cantidad resultante entre 4:

  (3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

  Alsou - sh

  Como matemático, me interesan las preguntas sobre este tema.

  Comenzaré con la historia del problema. Los valores medios se han pensado desde la antigüedad. Media aritmética, media geométrica, media armónica. Estos conceptos se proponen en antigua Grecia los pitagóricos.

  Y ahora la pregunta que nos interesa. Qué quiere decir la media aritmética de varios números:

  Entonces, para encontrar la media aritmética, debe sumar todos los números y dividir la suma resultante por el número de términos.

  La fórmula tiene lugar:

  
  

  Ejemplo. Encuentra la media aritmética de los números: 100, 175, 325.

  Usemos la fórmula para encontrar la media aritmética de tres números (es decir, en lugar de n habrá 3; debe sumar los 3 números y dividir la suma resultante por su número, es decir, por 3). Tenemos: x = (100 + 175 + 325) / 3 = 600/3 = 200.

  Respuesta: 200.

  La aritmética se considera la rama más elemental de las matemáticas y estudia operaciones simples con números. Por lo tanto, la media aritmética también es muy fácil de encontrar. Comencemos con una definición. La media aritmética es un valor que muestra qué número está más cerca de la verdad para varias acciones consecutivas del mismo tipo. Por ejemplo, al correr cien metros, una persona muestra cada vez un tiempo diferente, pero el valor promedio estará dentro de, por ejemplo, 12 segundos. Encontrar la media aritmética de esta manera se reduce a la suma secuencial de todos los números de una determinada serie (resultados de carreras) y dividir esta suma por el número de estas carreras (intentos, números). En forma de fórmula, se ve así:

  Sarif = (X1 + X2 + .. + Xn) / n

  La media aritmética es el promedio entre varios números.

  Por ejemplo, entre los números 2 y 4, el número promedio es 3.

  La fórmula para encontrar la media aritmética es la siguiente:

  Debe sumar todos los números y dividir por el número de estos números:

  

  Por ejemplo, tenemos 3 números: 2, 5 y 8.

  Encuentra la media aritmética:

  X = (2 + 5 + 8) / 3 = 15/3 = 5

  El alcance de la media aritmética es suficientemente amplio.

  Por ejemplo, conociendo las coordenadas de dos puntos de un segmento, encuentre las coordenadas del punto medio de este segmento.

  Por ejemplo, las coordenadas del segmento: (X1, Y1, Z1) - (X2, Y2, Z2).

  Designemos el centro de este segmento por las coordenadas X3, Y3, Z3.

  Encuentra el medio para cada coordenada por separado:

  Hermoso claro

  La media aritmética, estos son los números sumados y divididos por su número, la respuesta recibida es la media aritmética.

  Por ejemplo: Katya puso 50 rublos en la alcancía, Maxim 100 rublos y Sasha puso 150 rublos en la alcancía. 50 + 100 + 150 = 300 rublos en la alcancía, ahora dividimos esta cantidad entre tres (tres personas ponen el dinero). Entonces 300: 3 = 100 rublos. Estos 100 rublos serán la media aritmética, cada uno de ellos depositado en una alcancía.

  Hay un ejemplo tan simple: una persona come carne, otra come repollo y, en promedio, ambos comen rollitos de repollo.

  El salario medio se calcula de la misma forma ...

  La media aritmética es el promedio de los dados ...

  Aquellos. simplemente, tenemos el número de palos de diferentes longitudes y queremos saber su valor promedio.

  Es lógico que para ello las juntemos, consiguiendo un palo largo, y luego lo dividamos en la cantidad requerida de partes.

  Entonces sale la media aritmética.

  Así es como se muestra la fórmula: Sa = (S (1) + .. S (n)) / n ..

  Pájaro2014

  La media aritmética es la suma de todos los valores y se divide por su número.

  Por ejemplo, los números 2, 3, 5, 6. Debes agregarlos 2+ 3+ 5 + 6 = 16

  Divida 16 entre 4 y obtenga la respuesta 4.

  4 es la media aritmética de estos números.

  Azamatik

  La media aritmética es la suma de números dividida por el número de estos mismos números. Y encontrar la media aritmética es muy simple.

  Como se desprende de la definición, debemos tomar los números, sumarlos y dividir por su número.

  Pongamos un ejemplo: dados los números 1, 3, 5, 7 y necesitamos encontrar la media aritmética de estos números.

  • primero sumamos estos números (1 + 3 + 5 + 7) y obtenemos 16
  • necesitamos dividir el resultado obtenido por 4 (número): 16/4 y obtenemos el resultado 4.

  Entonces, la media aritmética de los números 1, 3, 5 y 7 es 4.

  Media aritmética: el valor promedio entre los indicadores especificados.

  Se obtiene dividiendo la suma de todos los indicadores por su número.

  Por ejemplo, tengo 5 manzanas que pesan 200, 250, 180, 220 y 230 gramos.

  Encontramos el peso promedio de 1 manzana de la siguiente manera:

  • estamos buscando el peso total de todas las manzanas (la suma de todos los indicadores): es igual a 1080 gramos,
  • Divida el peso total por el número de manzanas 1080: 5 = 216 gramos. Esta es la media aritmética.

  Este es el indicador más utilizado en estadística.

  Empanadas verdes

  Sabemos esto de la escuela. Cualquiera que tuviera un buen profesor de matemáticas podría recordar esta simple acción la primera vez.

  Al encontrar la media aritmética, es necesario sumar todos los números disponibles y dividir por su número.

  Por ejemplo, compré 1 kg de manzanas, 2 kg de plátanos, 3 kg de naranjas y 1 kg de kiwi en una tienda. Cuántos kilogramos en promedio compré fruta.

  7/4 = 1,8 kilogramos. Esta será la media aritmética.

  Biemont epu

  Recuerdo como pasé la prueba final de matemáticas

  Entonces allí fue necesario encontrar la media aritmética.

  Es bueno que la gente amable me dijera qué hacer, de lo contrario es un desastre.

  Por ejemplo, tenemos 4 números.

  Sumar los números y dividir por su número (en este caso 4)

  Por ejemplo, los números 2,6,1,1. Sumar 2 + 6 + 1 + 1 y dividir por 4 = 2.5

  Como ves, nada complicado. Entonces, la media aritmética es el promedio de todos los números.

  En matemáticas, la media aritmética de los números (o simplemente el promedio) es la suma de todos los números en un conjunto dado, dividida por su número. Este es el concepto más generalizado y extendido de la media. Como ya entendió, para encontrar el valor promedio, debe sumar todos los números que se le dieron y dividir el resultado por el número de términos.

  ¿Qué es la media aritmética?

  Pongamos un ejemplo.

  Ejemplo 1... Números dados: 6, 7, 11. Necesitas encontrar su valor promedio.

  Solución.

  Primero, encontremos la suma de todos estos números.

  Ahora dividamos la suma resultante por el número de términos. Como tenemos tres términos, respectivamente, lo dividiremos por tres.

  Por lo tanto, el promedio de los números 6, 7 y 11 es 8. ¿Por qué exactamente 8? Porque la suma de 6, 7 y 11 será igual a tres ochos. Esto se ve claramente en la ilustración.

  El promedio es algo similar a la "alineación" de una serie de números. Como puede ver, las pilas de lápices se han convertido en un nivel.

  Consideremos otro ejemplo para consolidar los conocimientos adquiridos.

  Ejemplo 2. Números dados: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Necesitas encontrar su media aritmética.

  Solución.

  Encontramos la cantidad.

  3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

  Divida por el número de términos (en este caso, 15).

  Por tanto, el valor medio de esta serie de números es 22.

  Ahora considera números negativos... Recordemos cómo resumirlos. Por ejemplo, tiene dos números 1 y -4. Encontremos su suma.

  1 + (-4) = 1 – 4 = -3

  Con esto en mente, considere otro ejemplo.

  Ejemplo 3. Encuentra el valor promedio de una serie de números: 3, -7, 5, 13, -2.

  Solución.

  Calcula la suma de los números.

  3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

  Como hay 5 términos, dividimos la suma resultante entre 5.

  Por lo tanto, la media aritmética de los números 3, -7, 5, 13, -2 es 2.4.

  En nuestro tiempo de progreso tecnológico, es mucho más conveniente utilizar programas de computadora para encontrar el valor promedio. Microsoft Office Excel es uno de ellos. Encontrar el promedio en Excel es rápido y fácil. Además, este programa está incluido en el paquete de software de Microsoft Office. Veamos una guía rápida sobre cómo encontrar la media aritmética usando este programa.

  Para calcular el valor promedio de una serie de números, debe usar la función PROMEDIO. La sintaxis de esta función es:
  = Promedio (argumento1, argumento2, ... argumento255)
  donde argumento1, argumento2, ... argumento255 son números o referencias de celda (las celdas significan rangos y matrices).

  Para hacerlo más claro, probemos los conocimientos adquiridos.

  

  1. Ingrese los números 11, 12, 13, 14, 15, 16 en las celdas C1 - C6.
  2. Seleccione la celda C7 haciendo clic en ella. En esta celda, mostraremos el valor promedio.
  3. Haga clic en la pestaña Fórmulas.
  4. Elija Más funciones> Estadísticas para abrir la lista desplegable.
  5. Seleccione PROMEDIO. Después de eso, debería abrirse un cuadro de diálogo.
  6. Seleccione y arrastre las celdas C1 - C6 allí para establecer el rango en el cuadro de diálogo.
  7. Confirme sus acciones con la tecla "Aceptar".
  8. Si hizo todo correctamente, en la celda C7 debería tener la respuesta: 13.7. Al hacer clic en la celda C7, la función (= Promedio (C1: C6)) se mostrará en la barra de fórmulas.

  Es muy conveniente utilizar esta función para contabilidad, facturación o cuando solo necesita encontrar el promedio de una serie de números muy larga. Por lo tanto, se usa a menudo en oficinas y grandes compañias... Esto le permite mantener los registros en orden y hace posible calcular algo rápidamente (por ejemplo, el ingreso promedio por mes). Además, con Excel, puede encontrar el valor promedio de la función.

  Promedio

  Este término tiene otros significados, ver media.

  Promedio(en matemáticas y estadística) un conjunto de números es la suma de todos los números dividida por su número. Es una de las medidas más comunes de la tendencia central.

  Fue propuesto (junto con la media geométrica y la media armónica) por los pitagóricos.

  Los casos especiales de la media aritmética son la media (de la población general) y la media muestral (muestras).

  Introducción

  Denotemos el conjunto de datos X = (X 1 , X 2 , …, X norte), la media de la muestra suele indicarse mediante una barra horizontal sobre la variable (x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))), pronunciada " X con una línea ").

  La letra griega μ se usa para denotar la media aritmética de toda la población. Para una variable aleatoria para la que se determina el valor medio, μ es media probabilística o la expectativa matemática de una variable aleatoria. Si el conjunto X es una colección de números aleatorios con una media probabilística μ, entonces para cualquier muestra X I de esta colección μ = E ( X I) es la expectativa matemática de esta muestra.

  En la práctica, la diferencia entre μ y x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) es que μ es una variable típica porque puede ver la muestra en lugar de la población completa. Por lo tanto, si la muestra se presenta al azar (en términos de la teoría de la probabilidad), entonces x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (pero no μ) se puede tratar como una variable aleatoria que tiene una distribución de probabilidad sobre la muestra (distribución de probabilidad de la media).

  Ambas cantidades se calculan de la misma manera:

  X ¯ = 1 norte ∑ yo = 1 norte x yo = 1 norte (x 1 + ⋯ + x norte). (\ Displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)

  Si X es una variable aleatoria, entonces la expectativa matemática X puede considerarse como la media aritmética de valores en mediciones repetidas de una cantidad X... Esta es una manifestación de la ley de los grandes números. Por lo tanto, la media de la muestra se utiliza para estimar la expectativa matemática desconocida.

  Está probado en álgebra elemental que la media norte+ 1 números por encima del promedio norte números si y solo si el nuevo número es mayor que el promedio anterior, menos si y solo si el nuevo número es menor que el promedio, y no cambia si y solo si el nuevo número es igual al promedio. Cuanto mas norte, menor es la diferencia entre los promedios nuevos y antiguos.

  Tenga en cuenta que hay varios otros valores de "media", incluida la media de potencia, la media de Kolmogorov, la media armónica, la media aritmética-geométrica y varias medias ponderadas (p. Ej., Media aritmética ponderada, media geométrica ponderada, media armónica ponderada).

  Ejemplos de

  • Para tres números, súmelos y divídalos por 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3. (\ Displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)
  • Para cuatro números, súmelos y divídalos por 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ Displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)

  O más simplemente 5 + 5 = 10, 10: 2. Debido a que sumamos 2 números, lo que significa cuántos números sumamos, dividimos entre tantos.

  Variable aleatoria continua

  Para una cantidad distribuida continuamente f (x) (\ displaystyle f (x)), la media aritmética sobre el segmento [a; b] (\ displaystyle) se define en términos de la integral definida:

  F (x) ¯ [a; b] = 1 segundo - una ∫ abf (x) dx (\ Displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)

  Algunos problemas de usar la media

  Falta de robustez

  Articulo principal: Robustez en las estadísticas

  Aunque la media aritmética se usa a menudo como promedios o tendencias centrales, no es una estadística robusta, lo que significa que la media aritmética está fuertemente influenciada por "grandes desviaciones". Cabe señalar que para distribuciones con un coeficiente de asimetría grande, la media aritmética puede no corresponder con el concepto de "media", y los valores medios de las estadísticas robustas (por ejemplo, la mediana) pueden describir mejor la tendencia central.

  Un ejemplo clásico es el cálculo de la renta media. La media aritmética puede malinterpretarse como la mediana, lo que puede llevar a la conclusión de que hay más personas con ingresos más altos de lo que realmente son. El ingreso “promedio” se interpreta de tal manera que el ingreso de la mayoría de las personas se acerca a este número. Este ingreso "promedio" (en el sentido de la media aritmética) es más alto que el ingreso de la mayoría de las personas, ya que un ingreso alto con una gran desviación de la media hace que la media aritmética esté fuertemente sesgada (en contraste, el ingreso mediano "resiste" tal sesgo). Sin embargo, este ingreso “promedio” no dice nada sobre el número de personas cerca del ingreso medio (y no dice nada sobre el número de personas cerca del ingreso modal). Sin embargo, si toma a la ligera los conceptos de "promedio" y "mayoría de la gente", puede llegar a la conclusión equivocada de que la mayoría de la gente tiene ingresos más altos de lo que realmente son. Por ejemplo, un informe sobre el ingreso neto "promedio" en Medina, Washington, calculado como el promedio aritmético de los ingresos netos anuales de todos los residentes, daría un número sorprendentemente grande debido a Bill Gates. Considere la muestra (1, 2, 2, 2, 3, 9). La media aritmética es 3,17, pero cinco de los seis valores están por debajo de este promedio.

  Interés compuesto

  Articulo principal: Retorno de la inversión

  Si los números multiplicar, pero no pliegue, debe utilizar la media geométrica, no la media aritmética. La mayoría de las veces, este incidente ocurre al calcular el retorno de la inversión en finanzas.

  Por ejemplo, si las acciones cayeron un 10% en el primer año y aumentaron un 30% en el segundo año, entonces es incorrecto calcular el aumento "promedio" durante estos dos años como la media aritmética (-10% + 30%). / 2 = 10%; el promedio correcto en este caso viene dado por la tasa de crecimiento anual acumulada, a la cual el crecimiento anual es solo alrededor de 8.16653826392% ≈ 8.2%.

  La razón de esto es que los porcentajes tienen un nuevo punto de partida cada vez: 30% es 30%. de un número menor que el precio al comienzo del primer año: si la acción estaba en $ 30 al principio y cayó un 10%, está en $ 27 al comienzo del segundo año. Si la acción ha subido un 30%, vale $ 35,1 al final del segundo año. El promedio aritmético de este crecimiento es del 10%, pero dado que la acción es de solo $ 5.1 en 2 años, un aumento promedio del 8.2% da el resultado final de $ 35.1:

  [$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1]. Si usamos la media aritmética del 10% de la misma manera, no obtendremos el valor real: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $ 36.3].

  Compuesto al final del año 2: 90% * 130% = 117%, para un aumento total del 17% y una tasa compuesta anual de 117% ≈ 108.2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ approx 108.2 \ %), es decir, un crecimiento medio anual del 8,2%.

  Direcciones

  Articulo principal: Estadísticas de destino

  Al calcular la media aritmética de alguna variable que cambia cíclicamente (por ejemplo, fase o ángulo), se debe tener especial cuidado. Por ejemplo, el promedio de 1 ° y 359 ° sería 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180 °. Este número es incorrecto por dos razones.

  • Primero, los estándares angulares solo se definen para el rango de 0 ° a 360 ° (o 0 a 2π cuando se miden en radianes). Por lo tanto, el mismo par de números podría escribirse como (1 ° y −1 °) o como (1 ° y 719 °). El promedio de cada par será diferente: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) + (- 1 ^ (\ circ))) (2)) = 0 ^ (\ circ)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +719 ^ (\ circ)) (2)) = 360 ^ (\ circ)) .
  • En segundo lugar, en este caso, 0 ° (equivalente a 360 °) sería la media geométricamente mejor, ya que los números se desvían menos de 0 ° que de cualquier otro valor (0 ° tiene la menor varianza). Comparar:
    • el número 1 ° se desvía de 0 ° solo 1 °;
    • el número 1 ° se desvía del promedio calculado de 180 ° por 179 °.

  El valor promedio de la variable cíclica, calculado utilizando la fórmula anterior, se desplazará artificialmente desde el promedio real hacia la mitad del rango numérico. Debido a esto, la media se calcula de forma diferente, es decir, se elige como media el número con la menor varianza (punto central). Además, en lugar de restar, se usa la distancia modular (es decir, la distancia circunferencial). Por ejemplo, la distancia modular entre 1 ° y 359 ° es 2 °, no 358 ° (en un círculo entre 359 ° y 360 ° == 0 ° - un grado, entre 0 ° y 1 ° - también 1 °, en total - 2 °).

  Promedio ponderado: ¿qué es y cómo calcularlo?

  En el proceso de estudiar matemáticas, los escolares se familiarizan con el concepto de media aritmética. Más adelante, en estadística y algunas otras ciencias, los estudiantes se enfrentan al cálculo de otros valores medios. ¿Qué pueden ser y en qué se diferencian entre sí?

  Valores medios: significado y diferencias

  Los indicadores no siempre precisos permiten comprender la situación. Para evaluar una situación particular, a veces es necesario analizar una gran cantidad de cifras. Y luego los promedios vienen al rescate. Permiten evaluar la situación en su conjunto.

  
  Desde la época escolar, muchos adultos recuerdan la existencia de la media aritmética. Es muy fácil de calcular: la suma de una secuencia de n miembros es divisible por n. Es decir, si necesita calcular la media aritmética en la secuencia de valores 27, 22, 34 y 37, entonces necesita resolver la expresión (27 + 22 + 34 + 37) / 4, ya que 4 valores se utilizan en los cálculos. En este caso, el valor requerido será igual a 30.

  A menudo, en el marco del curso escolar, también se estudia la media geométrica. El cálculo de este valor se basa en la extracción de la raíz enésimo grado del producto de n-términos. Si tomamos los mismos números: 27, 22, 34 y 37, entonces el resultado de los cálculos será 29,4.

  Media armónica en escuela comprensiva generalmente no es un tema de estudio. Sin embargo, se usa con bastante frecuencia. Este valor es el recíproco de la media aritmética y se calcula como un cociente de n - el número de valores y la suma 1 / a 1 + 1 / a 2 + ... + 1 / a n. Si volvemos a tomar la misma serie de números para el cálculo, entonces el armónico será 29,6.

  

  Promedio ponderado: características

  Sin embargo, es posible que no todos los valores anteriores se utilicen en todas partes. Por ejemplo, en estadística, al calcular algunos valores promedio, el "peso" de cada número utilizado en los cálculos juega un papel importante. Los resultados son más indicativos y correctos porque tienen en cuenta más información. Este grupo de valores se denomina colectivamente "promedio ponderado". No pasan en la escuela, por lo que vale la pena hablar de ellos con más detalle.

  En primer lugar, vale la pena decir qué se entiende por "peso" de tal o cual valor. La forma más sencilla de explicar esto es con un ejemplo específico. La temperatura corporal de cada paciente se mide dos veces al día en el hospital. De 100 pacientes en diferentes departamentos del hospital, 44 tendrán una temperatura normal: 36,6 grados. Otros 30 tendrán un valor incrementado - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, y los dos restantes - 40. Y si tomamos la media aritmética, entonces este valor en general para el hospital será más de 38 grados! Pero casi la mitad de los pacientes tienen una temperatura completamente normal. Y aquí será más correcto usar el valor promedio ponderado, y el "peso" de cada valor será el número de personas. En este caso, el resultado del cálculo será 37,25 grados. La diferencia es obvia.

  En el caso de los cálculos de promedios ponderados, el "peso" se puede tomar como el número de envíos, el número de personas que trabajan en un día determinado, en general, cualquier cosa que se pueda medir y afectar el resultado final.

  

  Variedades

  El promedio ponderado corresponde al promedio aritmético discutido al principio del artículo. Sin embargo, el primer valor, como ya se mencionó, también tiene en cuenta el peso de cada número utilizado en los cálculos. Además, también existen valores medios ponderados geométricos y armónicos.

  Hay otra variación interesante utilizada en la serie de números. Este es un promedio móvil ponderado. Sobre esta base se calculan las tendencias. Además de los valores en sí mismos y sus pesos, también se utiliza allí la periodicidad. Y al calcular el valor medio en algún momento, también se tienen en cuenta los valores de los intervalos de tiempo anteriores.

  Calcular todos estos valores no es tan difícil, pero en la práctica solo se suele utilizar el promedio ponderado habitual.

  Métodos de cálculo

  En una era de informatización masiva, no es necesario calcular manualmente el promedio ponderado. Sin embargo, será útil conocer la fórmula de cálculo para que puedas comprobar y, si es necesario, corregir los resultados obtenidos.

  La forma más fácil de considerar el cálculo es con un ejemplo específico.

  Es necesario averiguar cuál es el salario promedio en esta empresa, teniendo en cuenta el número de trabajadores que reciben tal o cual ingreso.

  Entonces, el promedio ponderado se calcula usando la siguiente fórmula:

  x = (una 1 * w 1 + una 2 * w 2 + ... + una norte * w norte) / (w 1 + w 2 + ... + w norte)

  Por ejemplo, el cálculo será así:

  x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33,48

  Evidentemente, no existe ninguna dificultad especial para calcular manualmente el promedio ponderado. La fórmula para calcular este valor en una de las aplicaciones más populares con fórmulas, Excel, se parece a la función SUMPRODUCTO (serie de números; serie de pesos) / SUM (serie de pesos).

  ¿Cómo encontrar el promedio en Excel?

  ¿Cómo encontrar la media aritmética en Excel?

  Vladimir09854

  Tan fácil como un pastel. Solo se necesitan 3 celdas para encontrar el promedio en Excel. En el primero escribiremos un número, en el segundo, otro. Y en la tercera celda, martillaremos una fórmula que nos dará el valor promedio entre estos dos números de la primera y segunda celdas. Si la celda número 1 se llama A1, la celda número 2 se llama B1, entonces en la celda con la fórmula debe escribir lo siguiente:

  Esta fórmula calcula la media aritmética de dos números.

  Por la belleza de nuestros cálculos, puede seleccionar celdas con líneas, en forma de placa.

  También hay una función para determinar el valor promedio en el propio Excel, pero utilizo el método antiguo e ingreso la fórmula que necesito. Por lo tanto, estoy seguro de que Excel calculará exactamente como lo necesito y no generará algún tipo de redondeo propio.

  M3sergey

  Es muy fácil si los datos ya se han ingresado en las celdas. Si solo está interesado en un número, basta con seleccionar el rango / rangos requeridos, y el valor de la suma de estos números, su media aritmética y su número aparecerán en la parte inferior derecha de la barra de estado.

  Puede seleccionar una celda vacía, hacer clic en el triángulo (lista desplegable) "Autosuma" y seleccionar "Promedio" allí, y luego aceptar el rango propuesto para el cálculo, o elegir el suyo propio.

  Finalmente, puede usar fórmulas directamente haciendo clic en Insertar función junto a la barra de fórmulas y la dirección de la celda. La función PROMEDIO se ubica en la categoría "Estadística" y acepta como argumentos tanto números como referencias de celda, etc. Allí también puede elegir opciones más complejas, por ejemplo, PROMEDIO SI - calculando el promedio por condición.

  Encontrar el promedio en Excel es una tarea bastante sencilla. Aquí debe comprender si desea utilizar este valor promedio en algunas fórmulas o no.

  Si necesita obtener solo el valor, entonces es suficiente seleccionar el rango requerido de números, después de lo cual Excel calculará automáticamente el valor promedio; se mostrará en la barra de estado bajo el encabezado "Promedio".

  En el caso de que desee utilizar el resultado obtenido en fórmulas, puede hacer esto:

  1) Suma las celdas usando la función SUMA y divídelo todo por el número de números.

  

  2) Una opción más correcta es usar una función especial llamada PROMEDIO. Los argumentos de esta función pueden ser números especificados secuencialmente o un rango de números.

  

  Vladimir tikhonov

  Encierre en un círculo los valores que participarán en el cálculo, haga clic en la pestaña "Fórmulas", allí verá "Autosuma" a la izquierda y al lado un triángulo apuntando hacia abajo. haga clic en este triángulo y elija "Promedio". Listo, listo) en la parte inferior de la barra verá el promedio :)

  Ekaterina mutalapova

  Empecemos por el principio y en orden. ¿Qué significa significa?

  Promedio es un valor que es la media aritmética, es decir se calcula sumando un conjunto de números y luego dividiendo la suma completa de los números por su número. Por ejemplo, para los números 2, 3, 6, 7, 2 habrá 4 (la suma de los números 20 se divide por su número 5)

  En una hoja de cálculo de Excel para mí personalmente, la forma más fácil era usar la fórmula = PROMEDIO. Para calcular el valor promedio, debe ingresar datos en la tabla, escribir la función = PROMEDIO () debajo de la columna de datos, y entre paréntesis indique el rango de números en las celdas, resaltando la columna de datos. Después de eso, presione ENTER, o simplemente haga clic izquierdo en cualquier celda. El resultado se mostrará en la celda debajo de la columna. Parece incomprensible, pero en realidad es cuestión de minutos.

  Aventurero 2000

  El programa de Ecxel es diverso, por lo que existen varias opciones que te permitirán encontrar el promedio:

  Primera opción. Simplemente suma todas las celdas y divide por su número;

  Segunda opción. Use un comando especial, escriba en la celda requerida la fórmula "= PROMEDIO (y luego especifique el rango de celdas)";

  La tercera opción. Si selecciona el rango requerido, tenga en cuenta que en la página siguiente, también se muestra el valor promedio en estas celdas.

  Por lo tanto, hay muchas formas de encontrar el valor promedio, solo necesita elegir la mejor para usted y usarla constantemente.

  En Excel, con la función PROMEDIO, puede calcular la media aritmética de los primos. Para hacer esto, necesita introducir una serie de valores. Presione igual y seleccione en la Categoría Estadística, entre las cuales seleccione la función PROMEDIO

  
  

  
  

  Además, utilizando fórmulas estadísticas, puede calcular la media aritmética ponderada, que se considera más precisa. Para calcularlo, necesitamos los valores y la frecuencia del indicador.

  ¿Cómo encontrar el promedio en Excel?

  La situación es la siguiente. Existe la siguiente tabla:

  Las barras sombreadas en rojo contienen los valores numéricos de las calificaciones de las asignaturas. En la columna " Puntuación media"Se requiere calcular su valor promedio.
  El problema es el siguiente: hay entre 60 y 70 elementos en total y algunos de ellos están en otra hoja.
  Miré en otro documento, el promedio ya estaba calculado, y en la celda hay una fórmula como
  = "nombre de la hoja"! | E12
  pero lo hizo algún programador que fue despedido.
  Por favor, dígame quién entiende esto.

  Héctor

  En la línea de funciones, inserta de las funciones ofrecidas "PROMEDIO" y elige desde dónde deben calcularse (B6: N6) para Ivanov, por ejemplo. No sé exactamente sobre las hojas vecinas, pero seguro que está contenida en la ayuda estándar de Windows.

  Dime como calcular el valor promedio en una palabra

  Por favor, dígame cómo calcular el valor promedio en Word. Es decir, el promedio de las calificaciones, no el número de personas que recibieron las calificaciones.
  
  
  

  Julia Pavlova

  Word puede hacer mucho con las macros. Presione ALT + F11 y escriba un programa de macro.
  Además, Insert-Object ... te permitirá utilizar otros programas, incluso Excel, para crear una hoja con una tabla dentro de un documento de Word.
  Pero en este caso, debe escribir sus números en la columna de la tabla e ingresar el promedio en la celda inferior de la misma columna, ¿verdad?
  Para hacer esto, inserte un campo en la celda inferior.
  Insertar-Campo ... -Fórmula
  Contenido de campo
  [= PROMEDIO (ARRIBA)]
  da el promedio de la suma de las celdas situadas arriba.
  Si se selecciona el campo y se presiona el botón derecho del mouse, entonces se puede actualizar si los números han cambiado,
  ver el código o valor del campo, cambie el código directamente en el campo.
  Si algo sale mal, elimine todo el campo de la celda y vuelva a crearlo.
  PROMEDIO significa promedio, ARRIBA significa aproximadamente, es decir, la fila de celdas de arriba.
  Yo mismo no sabía todo esto, pero lo encontré fácilmente en AYUDA, por supuesto, pensando un poco.

  En la mayoría de los casos, los datos se concentran alrededor de algún punto central. Por lo tanto, para describir cualquier conjunto de datos, es suficiente indicar el valor promedio. Consideremos secuencialmente tres características numéricas que se utilizan para estimar el valor medio de la distribución: media aritmética, mediana y moda.

  Promedio

  La media aritmética (a menudo denominada simplemente media) es la estimación más común de la media de una distribución. Es el resultado de dividir la suma de todos los valores numéricos observados por su número. Para una muestra de números X 1, X 2, ..., Xnorte, la media muestral (indicada por el símbolo ) es igual a = (X 1 + X 2 + ... + Xnorte) / norte, o

  donde es la media muestral, norte- tamaño de la muestra, XI – i-ésimo elemento muestreo.

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  Considere calcular la media aritmética del rendimiento anual promedio de cinco años de 15 fondos mutuos con muy nivel alto riesgo (Fig. 1).

  

  Arroz. 1. Rentabilidad media anual de 15 fondos de inversión de muy alto riesgo

  La media de la muestra se calcula de la siguiente manera:

  

  Este es un buen rendimiento, especialmente en comparación con el 3-4% de los ingresos que recibieron los depositantes de bancos o cooperativas de crédito durante el mismo período de tiempo. Si clasifica los rendimientos, es fácil ver que ocho fondos tienen rendimientos más altos y siete, por debajo del promedio. La media aritmética actúa como un punto de equilibrio para que los fondos de bajos ingresos compensen los fondos de altos ingresos. Todos los elementos de la muestra están involucrados en el cálculo del promedio. Ninguna de las otras estimaciones de la media de la distribución tiene esta propiedad.

  Cuándo calcular la media aritmética. Dado que la media aritmética depende de todos los elementos de la muestra, la presencia de valores extremos afecta significativamente el resultado. En tales situaciones, la media aritmética puede distorsionar el significado de los datos numéricos. Por lo tanto, al describir un conjunto de datos que contiene valores extremos, es necesario indicar la mediana o la media aritmética y la mediana. Por ejemplo, si elimina el rendimiento del fondo RS Emerging Growth de la muestra, el rendimiento promedio de la muestra de 14 fondos disminuirá en casi un 1% hasta el 5,19%.

  Mediana

  La mediana es la mediana de una matriz ordenada de números. Si la matriz no contiene números duplicados, la mitad de sus elementos serán menos y la mitad más que la mediana. Si la muestra contiene valores extremos, es mejor utilizar la mediana en lugar de la media aritmética para estimar la media. Para calcular la mediana de una muestra, primero se debe ordenar.

  Esta fórmula es ambigua. Su resultado depende de si el número es par o impar. norte:

  • Si la muestra contiene un número impar de elementos, la mediana es (n + 1) / 2 th elemento.
  • Si la muestra contiene un número par de elementos, la mediana se encuentra entre los dos elementos medios de la muestra y es igual a la media aritmética calculada sobre estos dos elementos.

  Para calcular la mediana de una muestra de 15 retornos de fondos mutuos de muy alto riesgo, primero debe ordenar los datos originales (Figura 2). Entonces la mediana será opuesta al número del elemento medio de la muestra; en nuestro ejemplo # 8. Excel tiene una función especial = MEDIAN (), que también funciona con matrices desordenadas.

  

  Arroz. 2. Mediana de 15 fondos

  Entonces la mediana es 6.5. Esto significa que la rentabilidad de la mitad de los fondos con un nivel de riesgo muy alto no supera el 6,5, mientras que la rentabilidad de la otra mitad no lo supera. Tenga en cuenta que la mediana de 6,5 no es mucho más alta que la media de 6,08.

  Si eliminamos el rendimiento del fondo RS Emerging Growth de la muestra, entonces la mediana de los 14 fondos restantes disminuirá al 6.2%, es decir, no tan significativamente como la media aritmética (Fig. 3).

  

  Arroz. 3. Mediana de 14 fondos

  Moda

  El término fue acuñado por primera vez por Pearson en 1894. Moda es el número que aparece con mayor frecuencia en la muestra (más de moda). Moda describe bien, por ejemplo, la reacción típica de los conductores a una señal de tráfico para dejar de conducir. Un ejemplo clásico del uso de la moda es elegir el tamaño del lote de zapatos producido o el color del papel tapiz. Si una distribución tiene varios modos, se dice que es multimodal o multimodal (tiene dos o más "picos"). La multimodalidad de la distribución proporciona información importante sobre la naturaleza de la variable en estudio. Por ejemplo, en las encuestas de opinión, si una variable representa una preferencia o actitud hacia algo, entonces la multimodalidad puede significar que hay varias opiniones definitivamente diferentes. La multimodalidad también sirve como indicador de que la muestra no es homogénea y las observaciones posiblemente se generen mediante dos o más distribuciones "superpuestas". A diferencia de la media aritmética, los valores atípicos no afectan la moda. Para las variables aleatorias distribuidas continuamente, por ejemplo, para los indicadores de rendimiento anual promedio de los fondos mutuos, la moda a veces no existe en absoluto (o no tiene sentido). Dado que estos indicadores pueden adoptar una amplia variedad de valores, los valores repetidos son extremadamente raros.

  Cuartiles

  Los cuartiles son métricas que se utilizan con mayor frecuencia para estimar la distribución de datos al describir las propiedades de muestras numéricas grandes. Mientras que la mediana divide una matriz ordenada por la mitad (el 50% de los elementos de la matriz son menos que la mediana y el 50% más), los cuartiles dividen el conjunto de datos ordenados en cuatro partes. Los valores Q 1, mediana y Q 3 son los percentiles 25, 50 y 75, respectivamente. El primer cuartil de Q 1 es el número que divide la muestra en dos partes: el 25% de los elementos son menos y el 75% - mas que el primero cuartilla.

  El tercer cuartil, Q 3, es el número que también divide la muestra en dos partes: el 75% de los elementos son menos y el 25% es más que el tercer cuartil.

  Para calcular los cuartiles en versiones de Excel anteriores a 2007, se utilizó la función = CUARTIL (matriz; parte). A partir de la versión Excel2010, se aplican dos funciones:

  • = CUARTIL.INC (matriz, parte)
  • = CUARTIL.EXC (matriz, parte)

  Estas dos funciones dan poco diferentes significados(figura 4). Por ejemplo, al calcular los cuartiles de una muestra que contiene datos sobre el rendimiento anual promedio de 15 fondos mutuos de muy alto riesgo, Q 1 = 1.8 o –0.7 para QUARTILE.INCL y QUARTILE.EXCL, respectivamente. Por cierto, la función CUARTIL utilizada anteriormente corresponde a función moderna APARTAMENTO INCL. Para calcular cuartiles en Excel usando las fórmulas anteriores, no es necesario ordenar la matriz de datos.

  

  Arroz. 4. Cálculo de cuartiles en Excel

  Destaquemos de nuevo. Excel puede calcular cuartiles para unidimensional serie discreta que contiene los valores de una variable aleatoria. El cálculo de los cuartiles para una asignación basada en frecuencia se da en la sección siguiente.

  Significado geometrico

  A diferencia de la media aritmética, la media geométrica le permite estimar el grado de cambio en una variable a lo largo del tiempo. La media geométrica es la raíz. norte-th grado del trabajo norte valores (en Excel, se usa la función = SRGEOM):

  GRAMO= (X 1 * X 2 *… * X n) 1 / n

  Un parámetro similar, la media geométrica de la tasa de rendimiento, se determina mediante la fórmula:

  G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) *… * (1 + R n)] 1 / n - 1,

  dónde R i- tasa de rendimiento para I el período de tiempo.

  Por ejemplo, suponga que la inversión inicial es de $ 100 000. Al final del primer año, cae a $ 50 000 y, al final del segundo año, se recupera a los $ 100 000 originales. La tasa de rendimiento de esta inversión durante un período de dos años es igual a 0, ya que los fondos inicial y final son iguales entre sí. Sin embargo, la media aritmética tasas anuales el beneficio es = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 o 25%, ya que la tasa de beneficio en el primer año R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = –0,5, y en el segundo R 2 = (100.000 - 50.000 ) / 50.000 = 1. Al mismo tiempo, la media geométrica de la tasa de beneficio durante dos años es: G = [(1–0,5) * (1 + 1)] 1/2 - 1 = ½ - 1 = 1 - 1 = 0. Por lo tanto, la media geométrica refleja con mayor precisión el cambio (más precisamente, la ausencia de cambios) en el volumen de inversiones durante un período de dos años que la media aritmética.

  Datos interesantes. Primero, la media geométrica siempre será menor que la media aritmética de los mismos números. Excepto cuando todos los números tomados sean iguales entre sí. En segundo lugar, considerando las propiedades triángulo rectángulo, puedes entender por qué la media se llama geométrica. La altura de un triángulo rectángulo, rebajado a la hipotenusa, es el promedio proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, y cada cateto es el promedio proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa (Fig.5). Esto proporciona una forma geométrica de construir la media geométrica de dos (longitudes) de segmentos: necesita construir un círculo sobre la suma de estos dos segmentos como en el diámetro, luego la altura, restaurada desde el punto de su conexión a la intersección con el círculo, dará el valor deseado:

  

  Arroz. 5. La naturaleza geométrica de la media geométrica (dibujo de Wikipedia)

  La segunda propiedad importante de los datos numéricos es su variación caracterizar el grado de variación de los datos. Dos muestras diferentes pueden diferir tanto en valores medios como en variaciones. Sin embargo, como se muestra en la Fig. 6 y 7, las dos muestras pueden tener la misma variación pero diferentes medios, o los mismos medios y variaciones completamente diferentes. Los datos correspondientes al polígono B en la Fig. 7, cambia mucho menos que los datos en los que el polígono A.

  

  Arroz. 6. Dos distribuciones simétricas en forma de campana con la misma extensión y diferentes valores medios

  

  Arroz. 7. Dos distribuciones simétricas en forma de campana con los mismos valores medios y diferente dispersión

  Hay cinco estimaciones de variación de datos:

  • alcance,
  • rango intercuartil,
  • dispersión,
  • Desviación Estándar,
  • el coeficiente de variación.

  Columpio

  El rango es la diferencia entre los elementos más grandes y más pequeños de la muestra:

  Deslizar = XMáx - XMin

  El rango de una muestra que contiene datos sobre los rendimientos anuales promedio de 15 fondos mutuos de muy alto riesgo se puede calcular usando una matriz ordenada (ver Figura 4): Span = 18.5 - (–6.1) = 24.6. Esto significa que la diferencia entre los rendimientos anuales promedio más altos y más bajos de los fondos con un nivel de riesgo muy alto es del 24,6%.

  Span mide la dispersión general de los datos. Si bien el tamaño de la muestra es una estimación muy simple de la distribución general de los datos, su debilidad es que no tiene en cuenta cómo se distribuyen los datos entre los elementos mínimo y máximo. Este efecto se ve claramente en la Fig. 8, que ilustra muestras que tienen el mismo intervalo. La escala B demuestra que si la muestra contiene al menos un valor extremo, el intervalo muestral resulta ser una estimación muy imprecisa de la dispersión de los datos.

  

  Arroz. 8. Comparación de tres muestras con el mismo rango; el triángulo simboliza el apoyo de la balanza, y su posición corresponde al valor promedio de la muestra

  Rango intercuartil

  El rango intercuartílico, o medio, es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil de la muestra:

  Rango intercuartílico = Q 3 - Q 1

  Este valor permite estimar la dispersión del 50% de los elementos y no tener en cuenta la influencia de elementos extremos. El rango intercuartílico de una muestra que contiene datos sobre los rendimientos anuales promedio de 15 fondos mutuos de muy alto riesgo se puede calcular utilizando los datos de la Fig. 4 (por ejemplo, para la función QUARTILE.EXC): Rango intercuartílico = 9,8 - (–0,7) = 10,5. El intervalo delimitado por los números 9,8 y –0,7 a menudo se denomina mitad central.

  Cabe señalar que los valores de Q 1 y Q 3, y por ende el rango intercuartílico, no dependen de la presencia de valores atípicos, ya que su cálculo no tiene en cuenta ningún valor que sea menor a Q 1 o mayor. que Q 3. Total características cuantitativas como la mediana, el primer y tercer cuartiles y el rango intercuartílico, que no se ven afectados por valores atípicos, se denominan medidas robustas.

  Aunque el rango y el rango intercuartílico proporcionan una estimación de la dispersión general y media de la muestra, respectivamente, ninguna de estas estimaciones tiene en cuenta cómo se distribuyen los datos. Dispersión y desviación estándar carecen de esta desventaja. Estas métricas proporcionan una estimación del grado en que los datos fluctúan alrededor de la media. Varianza de la muestra es una aproximación de la media aritmética, calculada a partir de los cuadrados de las diferencias entre cada elemento muestral y la media muestral. Para una muestra X 1, X 2, ... X n, la varianza muestral (denotada por el símbolo S 2 viene dada por la siguiente fórmula:

  

  En general, la varianza muestral es la suma de los cuadrados de las diferencias entre los elementos de la muestra y la media muestral, dividida por el valor igual al tamaño de la muestra menos uno:

  

  dónde - significado aritmetico, norte- tamaño de la muestra, X yo - I elemento de muestra X... En Excel antes de 2007, se usó la función = VARP () para calcular la varianza de la muestra; desde 2010, se usa la función = VARV ().

  La estimación más práctica y ampliamente aceptada de la dispersión de los datos es desviación estándar de la muestra... Este indicador se denota con el símbolo S y es igual a raíz cuadrada de la varianza de la muestra:

  

  En Excel antes de 2007, se usó la función = DESVEST () para calcular la desviación estándar de la muestra; desde 2010, se usa la función = DESVEST.V (). Para el cálculo de estas funciones, el conjunto de datos puede estar desordenado.

  Ni la varianza muestral ni la desviación estándar muestral pueden ser negativas. La única situación en la que los indicadores S 2 y S pueden ser cero es si todos los elementos de la muestra son iguales entre sí. En este caso altamente improbable, la amplitud y el rango intercuartílico también son cero.

  Los datos numéricos son inherentemente volátiles. Cualquier variable puede asumir el conjunto diferentes significados... Por ejemplo, diferentes fondos mutuos tienen diferentes tasas de rendimiento y pérdida. Debido a la variabilidad de los datos numéricos, es muy importante estudiar no solo las estimaciones de la media, que son de naturaleza acumulativa, sino también las estimaciones de varianza, que caracterizan la dispersión de los datos.

  La varianza y la desviación estándar le permiten estimar la dispersión de los datos alrededor de la media, en otras palabras, para determinar cuántos elementos de la muestra son menores que la media y cuántos son más. La dispersión tiene algo valioso propiedades matemáticas... Sin embargo, su valor es el cuadrado de la unidad de medida: porcentaje cuadrado, dólar cuadrado, pulgada cuadrada, etc. Por lo tanto, la medida natural de la varianza es la desviación estándar, que se expresa en unidades de medida comunes: porcentaje de ingresos, dólares o pulgadas.

  La desviación estándar le permite estimar la cantidad de fluctuación de los elementos de la muestra alrededor de la media. En casi todas las situaciones, la mayoría de los valores observados se encuentran en el intervalo más o menos una desviación estándar de la media. Por lo tanto, conociendo la media aritmética de los elementos de la muestra y la desviación estándar de la muestra, es posible determinar el intervalo al que pertenece la mayor parte de los datos.

  La desviación estándar del rendimiento de los 15 fondos mutuos de muy alto riesgo es 6.6 (Figura 9). Esto significa que la rentabilidad del grueso de los fondos difiere del valor medio en no más del 6,6% (es decir, fluctúa en el rango de - S= 6,2 - 6,6 = -0,4 a + S= 12,8). De hecho, en este intervalo se sitúa la rentabilidad media anual quinquenal del 53,3% (8 de 15) fondos.

  

  Arroz. 9. Desviación estándar de la muestra

  Tenga en cuenta que a medida que se agregan las diferencias al cuadrado, la muestra más alejada de la media gana más peso que la muestra más cercana. Esta propiedad es la razón principal por la que la media aritmética se utiliza con mayor frecuencia para estimar la media de una distribución.

  El coeficiente de variación

  A diferencia de las estimaciones anteriores del diferencial, el coeficiente de variación es una estimación relativa. Siempre se mide como un porcentaje, no en términos de datos brutos. El coeficiente de variación, denotado por CV, mide la dispersión de los datos en relación con la media. El coeficiente de variación es igual a la desviación estándar dividida por la media aritmética y multiplicada por 100%:

  

  dónde S- desviación estándar de la muestra, - muestra promedio.

  El coeficiente de variación le permite comparar dos muestras, cuyos elementos se expresan en diferentes unidades de medida. Por ejemplo, un gerente de entrega de correo tiene la intención de renovar la flota de camiones. Al cargar paquetes, hay dos tipos de restricciones a considerar: el peso (en libras) y el volumen (en pies cúbicos) de cada paquete. Para una muestra de 200 bolsas, suponga que el peso promedio es 26.0 libras, la desviación estándar del peso es 3.9 libras, el volumen promedio de la bolsa es 8.8 pies cúbicos y la desviación estándar del volumen es 2.2 pies cúbicos. ¿Cómo compara el rango de peso y volumen de las bolsas?

  Dado que las unidades de medida de peso y volumen difieren entre sí, el gerente debe comparar la distribución relativa de estos valores. El coeficiente de variación del peso es CV W = 3.9 / 26.0 * 100% = 15%, y el coeficiente de variación del volumen CV V = 2.2 / 8.8 * 100% = 25%. Por tanto, la distribución relativa en el volumen de los paquetes es mucho mayor que la distribución relativa en su peso.

  Formulario de distribución

  La tercera propiedad importante de la muestra es la forma de su distribución. Esta distribución puede ser simétrica o asimétrica. Para describir la forma de la distribución, es necesario calcular su media y mediana. Si estos dos indicadores coinciden, la variable se considera distribuida simétricamente. Si el valor medio de una variable es mayor que la mediana, su distribución tiene un sesgo positivo (Fig. 10). Si la mediana es mayor que la media, la distribución de la variable está sesgada negativamente. La asimetría positiva se produce cuando la media aumenta a un valor inusualmente alto. valores altos... La asimetría negativa ocurre cuando la media disminuye a valores inusualmente pequeños. Una variable se distribuye simétricamente si no toma valores extremos en ninguna dirección, de modo que los valores altos y bajos de la variable se equilibren entre sí.

  

  Arroz. 10. Tres tipos de distribuciones

  Los datos representados en la escala A tienen un sesgo negativo. Esta figura muestra una cola larga y un sesgo hacia la izquierda causado por valores inusualmente bajos. Estos valores extremadamente pequeños desplazan el promedio hacia la izquierda y se vuelve menor que la mediana. Los datos que se muestran en la escala B están distribuidos simétricamente. Las mitades izquierda y derecha de la distribución son sus imágenes especulares. Los valores alto y bajo se cancelan entre sí, y la media y la mediana son iguales. Los datos que se muestran en la escala B están sesgados positivamente. Esta figura muestra una cola larga y un sesgo hacia la derecha causado por valores inusualmente altos. Estos valores demasiado altos desplazan el promedio hacia la derecha y se vuelve más grande que la mediana.

  En Excel, se pueden obtener estadísticas descriptivas utilizando el complemento Paquete de análisis... Ir a través del menú Datos → Análisis de los datos, en la ventana que se abre, seleccione la línea Estadísticas descriptivas y haga clic en OK... En la ventana Estadísticas descriptivas asegúrese de indicar Intervalo de entrada(figura 11). Si desea ver estadísticas descriptivas en la misma hoja que los datos originales, seleccione el botón de opción Intervalo de salida y especifique la celda donde se debe colocar la esquina superior izquierda de las estadísticas de salida (en nuestro ejemplo, $ C $ 1). Si desea enviar datos a una nueva hoja o en Nuevo libro, simplemente seleccione el botón de opción apropiado. Marque la casilla junto a Resumen estadístico... Opcionalmente, también puede elegir Nivel de dificultad,kth más pequeño ykth más grande.

  Si está en depósito Datos en el área de Análisis no tienes un pictograma Análisis de los datos, primero debes instalar el complemento Paquete de análisis(ver, por ejemplo).

  

  Arroz. 11. Estadísticas descriptivas de la rentabilidad anual media quinquenal de los fondos con niveles de riesgo muy elevados, calculadas mediante el complemento Análisis de los datos Programas de Excel

  Excel calcula una variedad de estadísticas discutidas anteriormente: media, mediana, moda, desviación estándar, varianza, rango ( intervalo), tamaño mínimo, máximo y muestral ( cheque). Además, Excel calcula algunas estadísticas que son nuevas para nosotros: error estándar, curtosis y asimetría. Error estándar igual a la desviación estándar dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Asimetría caracteriza la desviación de la simetría de la distribución y es una función que depende del cubo de diferencias entre los elementos de la muestra y la media. La curtosis es una medida de la concentración relativa de datos alrededor de la media frente a las colas de la distribución y depende de las diferencias entre la muestra y la media elevada a la cuarta potencia.

  Calcular estadísticas descriptivas para una población

  La media, la extensión y la forma de la distribución discutida anteriormente son características determinadas a partir de la muestra. Sin embargo, si el conjunto de datos contiene medidas numéricas toda la población general, puede calcular sus parámetros. Estos parámetros incluyen la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar de la población general.

  Valor esperado es igual a la suma de todos los valores de la población general dividida por el tamaño de la población general:

  

  dónde µ - valor esperado, XI- I-a observación de una variable X, norte- el volumen de la población general. Excel usa la misma función para calcular la expectativa matemática que para la media aritmética: = PROMEDIO ().

  Varianza de la población igual a la suma de los cuadrados de las diferencias entre los elementos de la población general y mat. expectativa dividida por el tamaño de la población general:

  

  dónde σ 2- varianza de la población general. En Excel antes de 2007, la función = VARP () se usa para calcular la varianza de la población, desde 2010 = VARP.G ().

  Desviación estándar de población es igual a la raíz cuadrada de la varianza de la población:

  

  En Excel antes de 2007, la función = STDEVP () se utiliza para calcular la desviación estándar de la población, desde 2010 = STDEV.Y (). Tenga en cuenta que las fórmulas para la varianza y la desviación estándar de la población son diferentes de las fórmulas para la varianza y la desviación estándar de la muestra. Al calcular las estadísticas de la muestra S 2 y S el denominador de la fracción es n - 1, y al calcular los parámetros σ 2 y σ - el volumen de la población general norte.

  Regla de oro

  En la mayoría de las situaciones, una gran proporción de observaciones se concentra alrededor de la mediana, formando un grupo. En los conjuntos de datos con asimetría positiva, este grupo se ubica a la izquierda (es decir, debajo) de la expectativa matemática, y en los conjuntos de datos con asimetría negativa, este grupo se ubica a la derecha (es decir, arriba) de la expectativa matemática. Los datos simétricos tienen la misma expectativa matemática y mediana, y las observaciones se concentran alrededor de la expectativa matemática, formando una distribución en forma de campana. Si la distribución no tiene una asimetría pronunciada y los datos se concentran alrededor de un cierto centro de gravedad, se puede aplicar una regla empírica para evaluar la variabilidad, que dice: si los datos tienen una distribución en forma de campana, entonces aproximadamente 68 El% de las observaciones no tienen más de una desviación estándar de la expectativa matemática. Aproximadamente el 95% de las observaciones no tienen más de dos desviaciones estándar de la expectativa matemática y el 99,7% de las observaciones no tienen más de tres desviaciones estándar de la expectativa matemática.

  Por lo tanto, la desviación estándar, que es una estimación de la variación media alrededor de la media, ayuda a comprender cómo se distribuyen las observaciones y a identificar valores atípicos. Se deduce de una regla empírica que para las distribuciones en forma de campana, solo un valor de cada veinte difiere de la expectativa matemática en más de dos desviaciones estándar. Por tanto, los valores fuera del intervalo µ ± 2σ, pueden considerarse valores atípicos. Además, solo tres de cada 1000 observaciones difieren de la expectativa matemática en más de tres desviaciones estándar. Por tanto, los valores fuera del intervalo µ ± 3σ son casi siempre valores atípicos. Para distribuciones muy sesgadas o sin forma de campana, se puede aplicar la regla empírica de Biename-Chebyshev.

  Hace más de cien años, los matemáticos Biename y Chebyshev descubrieron de forma independiente propiedad útil Desviación Estándar. Descubrieron que para cualquier conjunto de datos, independientemente de la forma de la distribución, el porcentaje de observaciones que se encuentran a una distancia de no más de k desviaciones estándar de la expectativa matemática, no menos (1 – 1/ k 2) * 100%.

  Por ejemplo, si k= 2, la regla de Biename-Chebyshev establece que al menos (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% de las observaciones deben estar en el intervalo µ ± 2σ... Esta regla es válida para cualquiera. k mayor que uno. La regla Biename-Chebyshev es muy general y es válida para distribuciones de cualquier tipo. Indica el número mínimo de observaciones, la distancia desde la cual a la expectativa matemática no excede valor ajustado... Sin embargo, si la distribución tiene forma de campana, la regla empírica estima con mayor precisión la concentración de datos alrededor del valor esperado.

  Calcular estadísticas descriptivas para una distribución basada en frecuencias

  Si los datos originales no están disponibles, la asignación de frecuencia se convierte en la única fuente de información. En tales situaciones, puede calcular los valores aproximados de los indicadores de distribución cuantitativos, como la media aritmética, la desviación estándar, los cuartiles.

  Si los datos de muestra se presentan en forma de distribución de frecuencia, se puede calcular un valor aproximado de la media aritmética, asumiendo que todos los valores dentro de cada clase se concentran en el punto medio de la clase:

  

  dónde - muestra promedio, norte- el número de observaciones o el tamaño de la muestra, con- el número de clases en la distribución de frecuencias, m j- punto medio j ir a clase Fj es la frecuencia correspondiente j clase.

  Para calcular la desviación estándar de la distribución de frecuencia, también se supone que todos los valores dentro de cada clase están centrados en el punto medio de la clase.

  

  Para comprender cómo se determinan los cuartiles de la serie en función de las frecuencias, consideremos el cálculo del cuartil inferior basado en datos de 2013 sobre la distribución de la población de Rusia en términos de ingreso monetario promedio per cápita (Fig.12).

  

  Arroz. 12. La proporción de la población de Rusia con ingresos monetarios promedio per cápita en promedio por mes, rublos

  Para calcular el primer cuartil de una serie de variación de intervalo, puede utilizar la fórmula:

  

  donde Q1 es el valor del primer cuartil, хQ1 es el límite inferior del intervalo que contiene el primer cuartil (el intervalo está determinado por la frecuencia acumulada, la primera excede el 25%); i es el tamaño del intervalo; Σf es la suma de las frecuencias de toda la muestra; probablemente siempre igual al 100%; SQ1-1 es la frecuencia acumulada del intervalo que precede al intervalo que contiene el cuartil inferior; fQ1 es la frecuencia del intervalo que contiene el cuartil inferior. La fórmula para el tercer cuartil difiere en que en todos los lugares, en lugar de Q1, debe usar Q3, y en lugar de sustituir ¾.

  En nuestro ejemplo (Fig. 12), el cuartil inferior está en el rango 7000.1 - 10,000, cuya frecuencia acumulada es 26.4%. El límite inferior de este intervalo es 7000 rublos, el valor del intervalo es 3000 rublos, la frecuencia acumulada del intervalo que precede al intervalo que contiene el cuartil inferior es 13,4%, la frecuencia del intervalo que contiene el cuartil inferior es 13,0%. Así: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 = 9677 rublos.

  Errores con la estadística descriptiva

  En esta publicación, analizamos cómo describir un conjunto de datos utilizando varias estadísticas que estiman su media, propagación y distribución. El siguiente paso es el análisis y la interpretación de los datos. Hasta ahora, hemos estudiado las propiedades objetivas de los datos y ahora pasamos a su interpretación subjetiva. Dos errores acechan al investigador: un tema de análisis incorrectamente elegido y una interpretación incorrecta de los resultados.

  El análisis del desempeño de 15 fondos mutuos de muy alto riesgo es bastante imparcial. Llevó a conclusiones completamente objetivas: todos los fondos mutuos tienen rendimientos diferentes, el margen de los rendimientos de los fondos oscila entre –6,1 y 18,5 y el rendimiento medio es 6,08. La objetividad del análisis de datos está asegurada la elección correcta indicadores cuantitativos totales de distribución. Se consideraron varios métodos para estimar la media y la dispersión de los datos, se indicaron sus ventajas y desventajas. ¿Cómo eliges las estadísticas correctas que proporcionan un análisis objetivo e imparcial? Si la distribución de sus datos está ligeramente sesgada, ¿debería elegir la mediana sobre la media aritmética? ¿Qué indicador caracteriza con mayor precisión la dispersión de los datos: desviación estándar o rango? ¿Se debe apuntar a una asimetría positiva de la distribución?

  Por otro lado, la interpretación de datos es un proceso subjetivo. Gente diferente llegar a conclusiones diferentes interpretando los mismos resultados. Todos tienen su propio punto de vista. Alguien considera buenos los indicadores totales de rentabilidad media anual de 15 fondos con un nivel de riesgo muy alto y está bastante satisfecho con los ingresos recibidos. Otros pueden pensar que estos fondos tienen un rendimiento demasiado bajo. Por tanto, la subjetividad debe compensarse con honestidad, neutralidad y claridad de conclusiones.

  Cuestiones éticas

  El análisis de datos está indisolublemente ligado a cuestiones éticas. Hay que ser crítico con la información difundida por los periódicos, la radio, la televisión e Internet. Con el tiempo, aprenderá a ser escéptico no solo sobre los resultados, sino también sobre los objetivos, el tema y la objetividad de la investigación. El famoso político británico Benjamin Disraeli lo dijo lo mejor de todo: "Hay tres tipos de mentiras: mentiras, mentiras descaradas y estadísticas".

  Como se indica en la nota, surgen problemas éticos en la selección de los resultados que se informarán. Deben publicarse tanto los resultados positivos como los negativos. Además, al realizar un informe o un informe escrito, los resultados deben presentarse de manera honesta, neutral y objetiva. Distinga entre presentación fallida y deshonesta. Para hacer esto, es necesario determinar cuáles fueron las intenciones del hablante. A veces, el presentador pierde información importante por ignorancia y, a veces, deliberadamente (por ejemplo, si usa la media aritmética para estimar la media de datos claramente asimétricos con el fin de obtener el resultado deseado). También es injusto pasar por alto los resultados que no corresponden al punto de vista del investigador.

  Materiales usados ​​del libro Levin y otras estadísticas para gerentes. - M.: Williams, 2004 .-- p. 178-209

  Función CUARTIL retenida por compatibilidad con versiones anteriores de Excel

  Se obtiene sumando todos los miembros de una serie numérica y dividiendo la suma por el número de miembros. Por ejemplo, el valor aritmético de 7, 20, 152 y 305 es 484/4 = 121. Sin embargo, el promedio no nos permite juzgar la distribución de los números. comparar: media geométrica.

  
  

  Negocio. Diccionario explicativo... - M.: "INFRA-M", Editorial "Ves Mir". Graham Betts, Barry Braindley, S. Williams y col. Edición general: Doctor en Economía Osadchaya I.M.. 1998 .

  Vea qué es "PROMEDIO ARITMÉTICO" en otros diccionarios:

  - (media aritmética) La suma de N números x1 x2, ..., xN dividido por N, que se expresa mediante la fórmula (Σixi) / N. La media aritmética se puede calcular para cualquier secuencia finita de N números, donde pueden ser positivos, iguales a cero o ... ... Diccionario económico

  - (media aritmética) El valor medio obtenido sumando todos los miembros de una serie numérica y dividiendo la suma por el número de miembros, por ejemplo, la media aritmética de 7, 20, 107 y 350 es 484/4 = 121. Sin embargo , el valor medio no permite juzgar ... ... Vocabulario financiero

  significado aritmetico- aritmetinis vidurkis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. media aritmética; significado aritmetico; media aritmética vok. arithmetischer Mittelwert, m; arithmetisches Mittel, n rus. media aritmética, n; media aritmética, n ... Fizikos terminų žodynas

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  Este término tiene otros significados, ver media. En matemáticas y estadística, la media aritmética es una de las medidas más comunes de tendencia central, que es la suma de todos los valores observados divididos por sus ... ... Wikipedia

  promedio- 3,1 media aritmética; media aritmética / promedio: la suma de los valores dividida por su número. [ISO 3534 1: 1993, 2.26] Fuente ... Diccionario-libro de referencia de términos de documentación normativa y técnica

  El valor promedio que caracteriza a un grupo de observaciones; calculado sumando números de esta serie y luego dividiendo la suma resultante por el número de números sumados. Si uno o más números incluidos en el grupo ... ... Términos médicos

  NÚMERO PROMEDIO, ARITMÉTICA PROMEDIO- (media aritmética) un valor promedio que caracteriza cualquier grupo de observaciones; se calcula sumando los números de esta serie y luego dividiendo la suma resultante por el número de números sumados. Si uno o más números, ... ... Diccionario explicativo de medicina

  - (promedio) Un número que representa una serie de números; significar. Ver: media aritmética; significado geometrico; mediana. Negocio. Diccionario explicativo. M.: INFRA M, Editorial ... ... Glosario empresarial

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