Voy a decidir la progresión geométrica del EGE. Miembro de la fórmula N-TH de la progresión geométrica
La progresión geométrica es secuencia de números, cuyo primer miembro es diferente de cero, y cada término siguiente es igual al miembro anterior multiplicado por el mismo número de no cero. La progresión geométrica se denota por B1, B2, B3, ..., BN, ...
Propiedades de la progresión geométrica
La actitud de cualquier miembro del error geométrico hacia su miembro anterior es igual al mismo número, es decir, B2 / B1 \u003d B3 / B2 \u003d B4 / B3 \u003d ... \u003d BN / B (N-1) \u003d B ( n + 1) / bn \u003d .... Debe ser directamente desde la definición. progresión aritmética. Este número se llama un denominador de progresión geométrica. Típicamente, el denominador de progresión geométrica se denota por la letra Q.
Una forma de establecer la progresión geométrica es especificar su primer término B1 y denominador del error geométrico Q. Por ejemplo, B1 \u003d 4, Q \u003d -2. Estas dos condiciones establecen la progresión geométrica de 4, -8, 16, -32, ....
Si Q\u003e 0 (Q no es 1), entonces la progresión es una secuencia monótona. Por ejemplo, una secuencia, 2, 4,8,16.32, ... es una secuencia de aumento monótonamente (B1 \u003d 2, Q \u003d 2).
Si en el error geométrico del denominador Q \u003d 1, entonces todos los miembros de la progresión geométrica serán iguales entre sí. En tales casos, se dice que la progresión es una secuencia constante.
Miembro de la fórmula N-TH de la progresión.
Para que la secuencia numérica (BN) sea una progresión geométrica, es necesario que cada uno de sus miembros que comience desde el segundo sea el promedio de miembros geométricos vecinos. Es decir, es necesario realizar la siguiente ecuación - (B (N + 1)) ^ 2 \u003d BN * B (N + 2), para cualquier N\u003e 0, donde N pertenece al conjunto números naturales NORTE.
La fórmula del no miembro de la progresión geométrica tiene la forma:
bn \u003d b1 * q ^ (n - 1), donde N pertenece al conjunto de números naturales N.
Considere un ejemplo simple:
En la progresión geométrica de B1 \u003d 6, Q \u003d 3, n \u003d 8 para encontrar BN.
Utilizamos la fórmula del no miembro de la progresión geométrica.
Progresión aritmética y geométrica.
Información teórica
Información teórica
Progresión aritmética |
Progresión geométrica |
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Definición |
Progresión aritmética uN. La secuencia se llama, cada miembro del cual, a partir de la segunda, es igual al miembro anterior, plegado con el mismo número d. (d. - Diferencia de progresión) |
Progresión geométrica b N. Se llama a la secuencia de números no cero, cada miembro del cual, a partir del segundo, es el miembro anterior, multiplicado por el mismo número p. (p. - denominador de progresión) |
Fórmula recurrente |
Para cualquier natural nORTE. |
Para cualquier natural nORTE. |
No hay fórmula |
a n \u003d A 1 + D (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Propiedad característica |  |
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| N-primos miembros |  |
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Ejemplos de tareas con comentarios.
Ejercicio 1
En progresión aritmética ( uN.) un 1. = -6, un 2.
Según la fórmula del no miembro:
un 22. = un 1. + D (22 - 1) \u003d un 1. + 21 D.
Por condición:
un 1. \u003d -6, entonces un 22. \u003d -6 + 21 d.
Es necesario encontrar la diferencia en la progresión:
d \u003d. a 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2
un 22. = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Respuesta: un 22. = -48.
Tarea 2.
Encuentre el quinto miembro de la progresión geométrica: -3; 6; ....
1er método (usando la fórmula N)
De acuerdo con la fórmula del no miembro de la progresión geométrica:
b 5 \u003d B 1 ∙ Q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Como b 1. = -3,
2do método (usando una fórmula recurrente)
Dado que el denominador de progresión es -2 (Q \u003d -2), entonces:
b 3. = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4. = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5. = 24 ∙ (-2) = -48.
Respuesta: b 5. = -48.
Tarea 3.
En progresión aritmética ( a n) un 74 = 34; un 76. \u003d 156. Encuentre un setenta y quinto miembro de esta progresión.
Para la progresión aritmética, la propiedad característica tiene el formulario. 
.
Por lo tanto:
.
Sustituir datos en la fórmula:
Respuesta: 95.
Tarea 4.
En progresión aritmética ( a n) a n \u003d 3N - 4. Encuentra la suma de diecisiete primeros miembros.
Para encontrar la suma de los primeros miembros de la progresión aritmética, se utilizan dos fórmulas:
.
¿Qué pasa con ellos son más convenientes para aplicar?
Bajo la condición se conoce por la fórmula del miembro N-OMS de la progresión inicial ( uN.) uN. \u003d 3N - 4 se puede encontrar inmediatamente y un 1., I. un 16. sin encontrar d. Por lo tanto, usamos la primera fórmula.
Respuesta: 368.
Tarea 5.
En progresión aritmética ( uN.) un 1. = -6; un 2. \u003d -8. Encuentra un vigésimo segundo miembro de progresión.
Según la fórmula del no miembro:
un 22 \u003d A 1 + D (22 – 1) = un 1. + 21d.
Bajo la condición si un 1. \u003d -6 entonces un 22. \u003d -6 + 21d. Es necesario encontrar la diferencia en la progresión:
d \u003d. a 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2
un 22. = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Respuesta: un 22. = -48.
Tarea 6.
Se registran varios miembros consecutivos de la progresión geométrica:
Encuentre un miembro de la progresión indicado por la letra X.
Al resolver, usamos la fórmula del miembro N-TH b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 Para las progresiones geométricas. El primer miembro de la progresión. Para encontrar un denominador de la progresión de Q, debe tomar cualquiera de los datos de la progresión de la progresión y dividirlo en el anterior. En nuestro ejemplo, puedes tomar y dividir. Obtenemos que q \u003d 3. En lugar de n en la fórmula, sustituimos 3, ya que es necesario encontrar un tercer término dado por la progresión geométrica.
Sustitando los valores encontrados en la fórmula, obtenemos:
.
Respuesta:.
Tarea 7.
De las progresiones aritméticas. fórmula definida N-TH Miembro, seleccione la condición para la que se cumpla la condición un 27. > 9:
Dado que la condición especificada debe realizarse para el 27º Miembro de la progresión, sustituiremos 27 en lugar de n en cada una de las cuatro progresiones. En la cuarta progresión que recibimos:
.
Respuesta: 4.
Tarea 8.
En progresión aritmética un 1. \u003d 3, d \u003d -1.5. Especificar el mayor valor n para que se realiza la desigualdad uN. > -6.
La progresión geométrica es la secuencia numérica, cuyo primer término es diferente de cero, y cada término siguiente es igual al miembro anterior, multiplicado por el mismo y el mismo número distinto de cero.
Se indica la progresión geométrica. B1, B2, B3, ..., BN, ....
La actitud de cualquier miembro del error geométrico hacia su miembro anterior es igual al mismo número, es decir, B2 / B1 \u003d B3 / B2 \u003d B4 / B3 \u003d ... \u003d BN / B (N-1) \u003d B ( n + 1) / bn \u003d .... Esto debe ser directamente desde la determinación de la progresión aritmética. Este número se llama un denominador de progresión geométrica. Típicamente, el denominador de progresión geométrica se denota por la letra Q.
Secuencia monótona y constante.
Una forma de establecer la progresión geométrica es especificar su primer término B1 y denominador del error geométrico Q. Por ejemplo, B1 \u003d 4, Q \u003d -2. Estas dos condiciones establecen la progresión geométrica de 4, -8, 16, -32, ....
Si Q\u003e 0 (Q no es igual a 1), entonces la progresión es secuencia monótona. Por ejemplo, una secuencia, 2, 4,8,16.32, ... es una secuencia de aumento monótonamente (B1 \u003d 2, Q \u003d 2).
Si en el error geométrico del denominador Q \u003d 1, entonces todos los miembros de la progresión geométrica serán iguales entre sí. En tales casos, se dice que la progresión es secuencia constante.
La fórmula del miembro N-BOUS de la progresión geométrica.
Para que la secuencia numérica (BN) sea una progresión geométrica, es necesario que cada uno de sus miembros que comience desde el segundo sea el promedio de miembros geométricos vecinos. Es decir, es necesario realizar la siguiente ecuación.
(B (N + 1)) ^ 2 \u003d BN * B (N + 2), para cualquier N\u003e 0, donde N pertenece al conjunto de números naturales N.
La fórmula del no miembro de la progresión geométrica tiene la forma:
bn \u003d b1 * q ^ (n-1),
donde n pertenece al conjunto de números naturales N.
Fórmula de la suma de los primeros miembros de la progresión geométrica.
La fórmula de los primeros miembros de la progresión geométrica es:
SN \u003d (BN * Q - B1) / (Q-1), donde q no es igual a 1.
Considere un ejemplo simple:
En la progresión geométrica de B1 \u003d 6, Q \u003d 3, n \u003d 8 para encontrar SN.
Para encontrar S8 utilizamos la fórmula de los primeros miembros de la progresión geométrica.
S8 \u003d (6 * (3 ^ 8 -1)) / (3-1) \u003d 19,680.
Un ejemplo de progresión geométrica: 2, 6, 18, 54, 162.
Aquí, cada miembro después de las primeras 3 veces más que la anterior. Es decir, cada término posterior es el resultado de la multiplicación del miembro anterior para 3:
2 · 3 \u003d. 6
6 · 3 \u003d 18
18 · 3 \u003d 54
54 · 3 \u003d 162 .
En nuestro ejemplo, al dividir el segundo miembro al primer, tercero en el segundo, etc. Obtenemos 3. El número 3 es el denominador de esta progresión geométrica.
Ejemplo:
Volvamos a nuestra progresión geométrica 2, 6, 18, 54, 162. Tome un miembro mental y déjelo a la plaza:
54 2 = 2916.
Ahora cambie los miembros de pie a la izquierda y derecha desde el número 54:
18 · 162 \u003d 2916.
Como puede ver, el cuadrado del tercer miembro es igual al producto de los miembros del segundo y cuarto vecino.
Ejemplo 1.: Tome una progresión geométrica, en la que el primer término es 2, y el denominador de progresión geométrica es 1.5. Debemos encontrar el 4º Miembro de esta progresión.
Dado:
b. 1 = 2
p. = 1,5
nORTE. = 4
————
b. 4 - ?
Decisión.
Utilizamos la fórmula. b N. \u003d B 1 · Q NORTE. - 1, insertando los valores correspondientes en él:
b. 4 \u003d 2 · 1.5 4 - 1 \u003d 2 · 1.5 3 \u003d 2 · 3,375 \u003d 6.75.
Respuesta: El cuarto término de una progresión geométrica dada es el número 6.75.
Ejemplo 2.: Encontraremos el quinto miembro de la progresión geométrica, si los miembros del primer y tercer tercero son iguales, respectivamente, 12 y 192.
Dado:
b. 1 = 12
b. 3 = 192
————
b. 5 - ?
Decisión.
1) Primero, debemos encontrar un denominador de progresión geométrica, sin la cual sea imposible resolver el problema. Como primer paso, con la ayuda de nuestra fórmula, derivamos la fórmula para B 3:
b. 3 \u003d B 1 · Q 3 - 1 \u003d B 1 · Q 2
Ahora podemos encontrar un denominador de progresión geométrica:
b. 3 192
p. 2 = —— = —— = 16
b. 1 12
p. \u003d √16 \u003d 4 o -4.
2) Queda por encontrar un valor. b. 5 .
Si un p. \u003d 4, entonces
b. 5 = b. 1 Q 5-1 \u003d 12 · 4 4 \u003d 12 · 256 \u003d 3072.
Para p. \u003d -4 resultado será el mismo. Por lo tanto, la tarea tiene una solución.
Respuesta: El quinto miembro de una progresión geométrica dada es el número 3072.
Ejemplo: Encuentre la suma de los primeros cinco miembros de la progresión geométrica ( b N.), en el que el primer término es 2, y el denominador de la progresión geométrica 3.
Dado:
b. 1 = 2
p. = 3
nORTE. = 5
————
S. 5 - ?
Decisión.
Utilizamos la segunda fórmula de los dos anteriores:
b. 1 (p. 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 · (243 - 1) 484
S. 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
p. - 1 3 - 1 2 2
Respuesta: La suma de los primeros cinco miembros de una progresión geométrica dada es de 242.
La suma de la progresión geométrica infinita.
Debe distinguirse por los conceptos de "la suma de la progresión geométrica infinita" y "la cantidad nORTE. Miembros de la progresión geométrica ". El segundo concepto se refiere a cualquier progresión geométrica, y la primera es única, donde el denominador es inferior a 1 módulo.
Ya estoy en eso Antiguo Egipto Sabían no solo aritméticos, sino también la progresión geométrica. Aquí, por ejemplo, la tarea de los papiros de Rinda: "en siete personas en siete gatos; Cada gato come en siete ratones, cada ratón come más de siete semillas, de cada espota puede cultivar siete medidas de cebada. ¿Cómo son los números de esta serie y su cantidad? "
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Higo. 1. Antigua tarea egipcia del progreso geométrico. |
Esta tarea se ha repetido muchas veces con diferentes variaciones en otros pueblos a otras ocasiones. Por ejemplo, escrito en el siglo XIII. "Libro en Abaka" Leonardo Pisansky (Fibonacci) es un desafío en el que 7 trabajadores antiguos se dirigen a Roma (obviamente, peregrinos), cada uno de los cuales tiene 7 mulas, en cada una de las cuales 7 bolsas, en cada una de las cuales 7 panes, cada uno de Que son 7 cuchillos, cada uno de los cuales es 7 vainas. Se pregunta la tarea cuántos artículos.
La suma del primer miembro N de la progresión geométrica s n \u003d b 1 (Q n - 1) / (Q - 1). Esta fórmula se puede probar, por ejemplo, de la siguiente manera: S N \u003d B 1 + B 1 Q + B 1 Q 2 + B 1 Q 3 + ... + B 1 Q N - 1.
AGREGAR A S N NURE B 1 Q N y GET:
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De ahí el S N (Q - 1) \u003d B 1 (Q n - 1), y obtenemos la fórmula necesaria.
Ya en una de las placas de arcilla de la antigua Babilonia relacionadas con el siglo VI. antes de Cristo e., Contiene la cantidad 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 \u003d 2 10 - 1. VERDADERO, como en varios otros casos, no sabemos dónde se conoció este hecho por los babilonios.
Aumento rápido de la progresión geométrica En una serie de culturas, en particular, en India, se utiliza repetidamente como un símbolo visual de la irrazonable del universo. En la famosa leyenda, la aparición del ajedrez, el Lorélico les proporciona al inventor la oportunidad de elegir la recompensa en sí misma, y \u200b\u200bél solicita una serie de granos de trigo, lo que funcionará si se pone en la primera celda del tablero de ajedrez, Dos, en el segundo, cuatro, en el tercero, ocho, en el cuarto y, etc., el número aumenta dos veces. Vladyka pensó que era sobre los más grandes, sobre varias bolsas, pero fue calculado. Es fácil ver que para las 64 células del tablero de ajedrez, el inventor tendría que obtener (2 64 - 1) grano, que se expresa por un número de 20 dígitos; Incluso si se establecen toda la superficie de la Tierra, sería necesario tomar al menos 8 años para recolectar la cantidad de granos requeridos. Esta leyenda a veces se interpreta como una indicación de posibilidades prácticamente ilimitadas ocultas en un juego de ajedrez.
El hecho de que este número sea realmente de 20 dígitos, vea no difícil:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 \u003d 1.6 ∙ 10 19 (un cálculo más preciso da 1.84 ∙ 10 19). Pero me pregunto si puedes averiguar qué número finaliza este número?
La progresión geométrica está aumentando si el denominador es módulo mayor que 1, o disminuyendo, si es menor que uno. EN ultimo caso El número Q n con un N lo suficientemente grande puede ser pequeño como pequeño. Mientras que la creciente progresión geométrica aumenta inesperadamente rápidamente, disminuyendo tan rápidamente.
El mayor N, cuanto más débil el número Q n difiere de cero, y cuanto más cierre la suma de los miembros de la progresión geométrica s n \u003d b 1 (1 - Q n) / (1 - Q) al número S \u003d B 1 / (1 - q). (Tan razonado, por ejemplo, F. Viet). El número S se llama la suma de progresión geométrica infinitamente decreciente. Sin embargo, siglos a largo plazo, la pregunta de qué sentido es resumir toda la progresión geométrica, con su número infinito de miembros, no estaba claro para los matemáticos.
La progresión geométrica descendente se puede ver, por ejemplo, en las aporidades de Zenon "División por la mitad y" Aquiles y tortuga ". En el primer caso, se muestra claramente que toda la carretera (suposiciones, longitudes 1) es la suma del número infinito de segmentos de 1/2, 1/4, 1/8, etc., por supuesto, Hay desde el punto de vista de las ideas sobre suma definitiva Progresión geométrica infinita. Y sin embargo, ¿cómo puede ser?
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Higo. 2. Progresión con 1/2 coeficiente |
En la apriología sobre Aquiles, la situación es ligeramente más complicada, porque el denominador de la progresión no es 1/2, sino algún otro número. Deje que, por ejemplo, Aquiles se ejecuta con la velocidad V, la tortuga se mueve a la velocidad U, y la distancia inicial entre ellos es igual a l. Esta distancia Aquiles se ejecuta durante L / V, se moverá una tortuga durante este tiempo a la distancia LU / V. Cuando Aquiles también rompe este segmento, la distancia entre ella y la tortuga se volverán igual a L (U / V) 2, etc. Resulta que es posible ponerse al día con la tortuga: significa encontrar la suma de infinitamente disminuyendo la progresión geométrica con el primer término L y el denominador U / V. Esta cantidad es un segmento, que eventualmente ejecuta los Aquiles al lugar de reunión con la tortuga, es igual a L / (1 - U / V) \u003d LV / (V - U). Pero, nuevamente, cómo interpretar este resultado y por qué generalmente tiene cierto sentido, no fue muy claro durante mucho tiempo.
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Higo. 3. Progresión geométrica con un coeficiente de 2/3. |
La cantidad de progresión geométrica utilizó Arquímedes al determinar el área del segmento de parábola. Deje que este segmento de parábola esté delimitado por Horde AB y deje que la parábola vapor sea paralela a AB. Sea C en medio de la AB, E es el centro de la CA, F - el centro de la CB. Llevamos a cabo directamente, paralelo DC, a través de puntos A, E, F, B; Deje que la tangente, realizada en el punto D, estos intersectan directamente en los puntos K, L, M, N. También realizamos segmentos AD y DB. Deje que la recta El cruce el anuncio directo en el punto G, y Parábola en el punto H; Direct FM cruza el DB directo en el punto Q, y la parábola en R. De acuerdo a teoría general secciones cónicas, DC - Diámetro parabola (es decir, un segmento paralelo a su eje); Y la tangente en el punto D puede servir como ejes de las coordenadas X e Y en las que la ecuación de parábola se escribe como Y 2 \u003d 2px (x - la distancia de D a cualquier punto de este diámetro, Y, la longitud del período de tangente paralelo desde este punto de diámetro del diámetro algún punto en parábola).
En virtud de la ecuación de parábola, DL 2 \u003d 2 ∙ P ∙ LH, DK 2 \u003d 2 ∙ P ∙ KA, y desde DK \u003d 2DL, luego ka \u003d 4LH. T. K. KA \u003d 2LG, LH \u003d HG. El área de segmento ADB de parábola es igual al área del triángulo ΔAdb y las áreas de segmentos AHD y DRB, combinados. A su vez, el cuadrado del segmento AHD es igualmente igual al área del triángulo AHD y los segmentos restantes de AH y HD, con cada uno de los cuales puede pasar la misma operación, para dividir el triángulo (δ) y los dos Segmentos restantes (), etc.:
El área del triángulo ΔAHD es igual a la mitad del área del triángulo Δald (tienen una base común de anuncio, y las alturas difieren en 2 veces), lo que, a su vez, es igual a la mitad del área de El triángulo ΔAKD, y por lo tanto la mitad del área del triángulo ΔACD. Por lo tanto, el área del triángulo ΔAHD es igual a un cuarto del área del triángulo ΔACD. De manera similar, el área del triángulo ΔDRB es igual a un cuarto del área del triángulo Δdfb. Por lo tanto, el área de triángulos ΔAHD y ΔDRB, en conjunto, son iguales a un cuarto del área del triángulo ΔAdb. La repetición de esta operación en la solicitud a los segmentos AH, HD, DR y RB asignará de ellos triángulos cuyo área, combinada, será 4 veces menos que el área de triángulos ΔAHD y ΔDBRB, combinados y, por lo tanto, 16 veces menos, que el área del triángulo ΔAdb. Etc:
Por lo tanto, Archimeda demostró que "un segmento concluido entre la recta y la parábola es cuatro tercios de un triángulo que tiene la misma base con ella y la misma altura".
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