Geom progresión de la fórmula. Progresión geométrica
La progresión geométrica, junto con la aritmética, es importante. numerical Siguienteque se estudia en el año escolar de álgebra en el grado 9. En este artículo, considere el denominador de la progresión geométrica y cómo su valor afecta sus propiedades.
Definición de progresión geométrica
Para empezar, le damos la definición de esto. fila numérica. El progreso de la geométrica se llama una cantidad de números racionales, que está formada por la multiplicación consistente de su primer elemento para un número constante, que se denomina denominador.
Por ejemplo, los números en una fila 3, 6, 12, 24, ... es una progresión geométrica, porque si multiplica 3 (primer elemento) por 2, entonces obtenemos 6. Si se multiplica por 2, entonces obtenemos 12, y así sucesivamente.
Los miembros de la secuencia en consideración son habituales para significar el símbolo AI, donde i es un número entero que indica el número de elemento en la fila.
La definición anterior de progresión se puede escribir en el idioma de las matemáticas de la siguiente manera: AN \u003d BN-1 * A1, donde B es el denominador. Echa un vistazo a esta fórmula fácilmente: si n \u003d 1, luego B1-1 \u003d 1, y obtenemos A1 \u003d A1. Si n \u003d 2, entonces an \u003d b * a1, y volvemos a llegar a la definición de la cantidad de números en consideración. Se pueden continuar argumentos similares para valores grandes de N.
El denominador de la progresión de la geométrica.
El número B determina completamente qué personaje serán todas las series numéricas. El denominador B puede ser positivo, negativo y también tener un valor más de uno o menor. Todas las opciones enumeradas conducen a diferentes secuencias:
- b\u003e 1. Hay un número creciente de números racionales. Por ejemplo, 1, 2, 4, 8, ... si el elemento A1 es negativo, entonces toda la secuencia aumentará solo por el módulo, pero para disminuir con el signo de los números.
- b \u003d 1. A menudo, este caso no se llama progreso, ya que hay un número normal de números racionales idénticos. Por ejemplo, -4, -4, -4.
Fórmula para suma
Antes de moverse a consideración. tareas específicas Usando el denominador del tipo de progresión en consideración, es necesario traer una fórmula importante para la cantidad de sus primeros elementos N. La fórmula tiene la forma: SN \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1).
Puede obtener esta expresión si considera la secuencia recursiva de los miembros de la progresión. También observamos que en la fórmula anterior es suficiente saber solo el primer elemento y el denominador para encontrar la cantidad de un número arbitrario de miembros.
Secuencia infinitamente decreciente
Arriba se le dio una explicación de que representa. Ahora, conociendo la fórmula para SN, la aplicamos a esta fila numérica. Dado que cualquier número, cuyo módulo no excede el 1, cuando se erige en grados altos tiende a cero, es decir, b∞ \u003d\u003e 0, si -1
Dado que la diferencia (1 - b) siempre será positiva, independientemente de los valores del denominador, el signo de la cantidad de disminución infinitamente de la progresión de la geométrica S∞ está determinada únicamente por el signo de su primer elemento A1.
Ahora considere varias tareas en las que mostramos cómo aplicar los conocimientos adquiridos en números específicos.
Número de tarea 1. Cálculo de elementos desconocidos de progresión y cantidad
La progresión del geométrico, denominador de la progresión 2, y su primer elemento 3 es igual a sus miembros 7 y 10, ¿y cuál es la suma de sus siete elementos iniciales?
La condición del problema es bastante simple e implica el uso directo de las fórmulas anteriores. Entonces, para calcular el elemento con el número N, usamos la expresión AN \u003d BN-1 * A1. Para el séptimo elemento, tenemos: A7 \u003d B6 * A1, sustituyendo los datos conocidos, obtenemos: A7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. La misma forma se realiza para el 10º Miembro: A10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.
Utilizamos la fórmula conocida para la cantidad y determinamos este valor para los primeros elementos del 7 de la serie. Tenemos: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.
Número de tarea 2. Determinación de la cantidad de elementos arbitrarios de progresión.
Sea -2 sea igual a un denominador de progresión en la progresión geométrica de BN-1 * 4, donde n es un número entero. Es necesario determinar la cantidad del 5º al 10º elemento de esta serie inclusive.
El problema puede no ser resuelto directamente utilizando las fórmulas conocidas. Puede ser resuelto por 2 métodos diferentes. Para la integridad de la presentación del tema, traemos ambos.
Método 1. La idea de que sea simple: debe calcular las dos sumas relevantes de los primeros miembros y luego deducir de otro. Calcule una cantidad menor: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Ahora calculamos una gran cantidad: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Tenga en cuenta que en la última expresión solo se resumieron 4 términos, ya que el quinto ya está incluido en la cantidad que desea calcular bajo el problema del problema. Finalmente, tomamos la diferencia: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.
Método 2. Antes de sustituir los números y contar, es posible obtener una fórmula para la cantidad entre los miembros M y N de la serie en consideración. Hacemos absolutamente lo mismo que en el Método 1, solo trabajamos primero con la presentación del símbolo de la cantidad. Tenemos: SNM \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1) - (BM-1 - 1) * A1 / (B - 1) \u003d A1 * (BN - BM-1) / (B - 1) . En la expresión resultante, puede sustituir los números conocidos y calcular el resultado final: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.
Tarea # 3. ¿Qué es el denominador?
Deje que A1 \u003d 2, encuentre el denominador de la progresión de la geométrica, siempre que su cantidad infinita sea 3, y se sabe que este es un número decreciente de números.
Por la condición de la tarea, no es difícil adivinar qué fórmula debe usarse para resolverla. Por supuesto, por la suma de la progresión de la disminución infinitamente. Tenemos: S∞ \u003d A1 / (1 - B). Donde exprese el denominador: B \u003d 1 - A1 / S∞. Queda por sustituir los valores conocidos y obtener el número deseado: B \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 o -0.333 (3). Puede verificar cualitativamente este resultado si recuerda que para este tipo de secuencia, el módulo B no debe ir más allá de 1. Como se puede ver, | -1 / 3 |
Número de tarea 4. Restauración de una serie de números
Sea 2 elementos de la serie numérica, por ejemplo, el 5º igual al 30 y 10 igual a 60. Es necesario restaurar todo el rango de acuerdo con estos datos, sabiendo que satisface las propiedades de la progresión de la geométrica.
Para resolver la tarea, es necesario iniciar una expresión correspondiente para cada miembro conocido. Tenemos: A5 \u003d B4 * A1 y A10 \u003d B9 * A1. Ahora dividimos la segunda expresión en la primera, obtenemos: A10 / A5 \u003d B9 * A1 / (B4 * A1) \u003d B5. Desde aquí, determinamos el denominador, tomando la raíz del quinto grado de la relación conocida a partir de los términos de la tarea de los miembros, B \u003d 1,148698. El número resultante está sustituido en una de las expresiones para el elemento conocido, obtenemos: A1 \u003d A5 / B4 \u003d 30 / (1,148698) 4 \u003d 17,2304966.
Por lo tanto, encontramos, que es igual al denominador de la progresión de BN, y la progresión geométrica de BN-1 * 17,2304966 \u003d A, donde B \u003d 1,148698.
¿Dónde están la progresión de geométrica?
Si no fuera por el uso de esta serie numérica en la práctica, su estudio se reduciría a un interés puramente teórico. Pero esta solicitud existe.
Los siguientes son los 3 ejemplos más famosos:
- La paradoja de Zeno, en la que los dexteros Aquiles no pueden ponerse al día con una tortuga lenta, se resuelven utilizando el concepto de disminuir infinitamente secuencias de números.
- Si hay granos de trigo en cada celda del tablero de ajedrez, de modo que en la 1ª celda pone 1 grano, en el 2º - 2, en el 3er - 3, y así sucesivamente, luego para llenar todas las celdas del tablero se necesitarán 18446744073709551615 ¡Granos!
- En el juego "Hanoi Tower" para reorganizar los discos de una varilla a otra, es necesario realizar operaciones 2N - 1, es decir, su número aumenta en la progresión geométrica en el número de discos utilizados.
Calle Kyiv, 16 0016 Armenia, Ereván +374 11 233 255
La progresión geométrica es el nuevo tipo La secuencia numérica con la que tenemos que cumplir. Para un conocido exitoso no impide al menos saber y entender. Luego no habrá problemas con el progreso geométrico).
Qué progresión geométrica? El concepto de progresión geométrica.
Comenzamos la excursión, como de costumbre, desde el elemental. Estoy escribiendo una secuencia inacabada de números:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
¿Puedes atrapar un patrón y decir qué números irán más allá? La pimienta está clara, entonces los números son 100,000, 10,000,000 y así sucesivamente. Incluso sin mucha tensión mental, todo está claro, realmente porque?)
Bueno. Otro ejemplo. Estoy escribiendo esta secuencia:
1, 2, 4, 8, 16, …
Será capaz de decir qué números irán más allá, siguiendo el número 16 y llame octavo Miembro de secuencia? Si te diste cuenta de que será el número 128, es muy bueno. Entonces, la mitad del camino en la comprensión. significado y momentos clave La progresión geométrica ya se ha hecho. Puedes crecer más.)
Y ahora, de nuevo, vaya de sensaciones a matemáticas estrictas.
Puntos clave de progresión geométrica.
Punto clave número 1.
La progresión geométrica es secuencia de números. Como la progresión Nada astuto Sólo esta secuencia está dispuesta. diferentemente.Por lo tanto, naturalmente, y otro nombre usa, sí ...
Punto clave número 2.
Con el segundo punto clave, la cuestión del stylming será. Volvamos un poco atrás y recuerde la propiedad clave de la progresión aritmética. Aquí lo tienes: cada miembro difiere de la anterior. en la misma magnitud.
¿Es posible formular una propiedad clave similar para la progresión geométrica? Piensa un poco ... Echa un vistazo a los ejemplos dados. ¿Adivinar? ¡Sí! En la progresión geométrica (¡cualquiera!) Todos son diferentes de la anterior. en el mismo número de veces.¡Siempre!
En el primer ejemplo, esta es una docena. ¿Qué miembro de la secuencia no lo toma más que el anterior? diez veces.
En el segundo ejemplo, esto es un dos veces: cada miembro más que el anterior dos veces.
Es esta clave para la progresión geométrica y difiere de la aritmética. En progresión aritmética, cada miembro siguiente se obtiene. adquisición La misma magnitud para el miembro anterior. Y aquí - multiplicar El miembro anterior para la misma magnitud. Esa es toda la diferencia.)
Punto clave número 3.
Este punto clave es completamente idéntico a tal para la progresión aritmética. A saber: cada miembro de la progresión geométrica está en su lugar.Todo exactamente en punto como en la progresión de la aritmética y los comentarios, creo innecesario. Hay un primer miembro, hay cien primero, etc. Reorganizar al menos dos miembros: la regularidad (y junto con ella y la progresión geométrica) desaparecerán. Simplemente habrá una secuencia de números sin ninguna lógica.
Eso es todo. Ese es todo el punto de la progresión geométrica.
Términos y designaciones.
Pero ahora, habiendo entendido con el significado y los momentos clave de la progresión geométrica, es posible proceder a la teoría. Y, de lo contrario, ¿qué teoría sin entender el significado es verdadera?
¿Cómo denotar la progresión geométrica?
Cómo se registra la progresión geométrica en general? ¡No hay problema! Cada miembro de la progresión también está escrito en forma de la letra. Solo para la progresión aritmética, generalmente la letra utilizada. "pero"para geométrico - pico "B". Número de miembro, como de costumbre, se indica. el índice a la derecha a continuación. La progresión los propios mismos simplemente enumeran a través de la coma o el punto con una coma.
Como esto:
b 1b. 2 , b. 3 , b. 4 , b. 5 , b. 6 , …
Brevemente, esta progresión se registra así: (b N.) .
O así, para las progresiones finales:
B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6.
B 1, B 2, ..., B 29, B 30.
O, en un breve registro:
(b N.), nORTE.=30 .
Aquí, de hecho, todos los símbolos. De todos modos, solo la letra es diferente, sí.) Y ahora vamos directamente a la definición.
Determinación de la progresión geométrica.
La progresión geométrica es secuencia de números, el primer miembro de la cual es diferente de cero, y cada miembro posterior es igual al miembro anterior multiplicado por el mismo número distinto de cero.
Esa es toda definición. La mayoría de las palabras y frases son comprensibles y familiares para usted. Si, por supuesto, entiendes el significado de la progresión geométrica "en los dedos" y en general. Pero hay varias frases nuevas para las que me gustaría prestar especial atención.
Primeras palabras: "El primer miembro de que distraído de cero".
Esta restricción para el primer término no fue introducida por casualidad. ¿Qué crees que pasará si el primer miembro? b. 1 ¿Resultará ser cero? ¿Cuál será el segundo miembro, si cada miembro es más que el anterior? en el mismo número de veces? Supongamos tres veces? Veamos ... Multiplicamos el primer término (es decir, 0) para 3 y conseguir ... ¡cero! Y la tercera polla? ¡También cero! ¡Y la cuarta polla también es cero! Etc ...
Recibimos una bolsa de rebotes la secuencia de ceros:
0, 0, 0, 0, …
Por supuesto, tal secuencia tiene derecho a la vida, pero no representa ningún interés práctico. Todo está claro. Cualquiera su polla es cero. La cantidad de cualquier número de miembros es también cero ... ¿qué puedo hacer con ella interesante? Nada…
Siguiente Palabras clave: "Multiplicado al mismo número distinto de cero".
Este es el mismo número que también usa su nombre especial. denominador de progresión geométrica. Comenzamos a conocer.)
Denominador de progresión geométrica.
Todo es más fácil que simple.
Un denominador de progresión geométrica es un número no cero (o valor), que muestracuantas veces Cada miembro de la progresión más que el anterior.
Una vez más, por analogía con progreso aritmético, la palabra clave para prestar atención a esta definición es la palabra "más". Significa que cada miembro de la progresión geométrica se obtiene multiplicaren esto más denominador miembro anterior.
Yo explico.
Para calcular, digamos segundo Miembro, necesitas tomar primero Miembro I. multiplicar Su denominador. Para el cálculo décimo Miembro, necesitas tomar noveno Miembro I. multiplicar Su denominador.
El denominador en sí de la progresión geométrica puede ser al mismo tiempo para ser cualquiera. ¡Alguien! Todo, fraccional, positivo, negativo, irracional, a todos los sentidos. Además de cero. Esto se trata de esto y nos dice la palabra "no cero" en la definición. Por qué esta palabra se necesita aquí, sobre esto a continuación.
Denominador de progresión geométrica denota, con mayor frecuencia, pico p..
Como encontrarlo p. ? ¡No hay problema! Necesito tomar cualquier miembro de la progresión y cuota. La división es fracción. De ahí el nombre - "denominador de la progresión". El denominador, generalmente está en la fraria, sí ...) aunque, en lógica, la magnitud. p. debe ser llamado privado Progresión geométrica, por analogía con diferencia Para la progresión aritmética. Pero accedió a llamar denominador. Y tampoco estaremos inventando la bicicleta.)
Definimos, por ejemplo, el valor. p. Para tal progresión geométrica:
2, 6, 18, 54, …
Todo elemental Llevar alguien El número de secuencias. Lo que queremos, así que tome. Además de los primeros. Por ejemplo, 18. y dividir en número anterior. Es decir, por 6.
Obtenemos:
P. = 18/6 = 3
Eso es todo. Esta es la respuesta correcta. Para esta progresión geométrica, el denominador es tres.
Encuentra ahora el denominador p. Para otra progresión geométrica. Por ejemplo, esto es:
1, -2, 4, -8, 16, …
Todos iguales. Cualesquiera que sean signos de los propios miembros, todavía tomamos alguien El número de secuencias (por ejemplo, 16) y se dividen en número anterior (es decir, -8).
Obtenemos:
d. = 16/(-8) = -2
Y todas las cosas.) Esta vez, el denominador de la progresión fue negativo. Menos dos. Sucede.)
Tómese ahora esta es la progresión:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
Y nuevamente, independientemente del tipo de números que enfrenta la secuencia (al menos, al menos fraccional, incluso negativa, aunque irracional), tome cualquier número (por ejemplo, 1/9) y divida el número anterior (1/3). Según las reglas de acción con fracciones, naturalmente.
Obtenemos:
Y eso es todo.) Aquí, el denominador resultó ser fraccionado: p. = 1/3.
Pero esta es la "progresión" como usted?
3, 3, 3, 3, 3, …
Obviamente aquí p. = 1 . Formalmente, esta es también una progresión geométrica, solo con miembros idénticos.) Pero tales progresiones para estudiar y aplicación práctica no es interesante. Al igual que la progresión con los ceros sólidos. Por lo tanto, los consideraremos y no lo haremos.
¡Como puede ver, el denominador de progresión puede ser, todo, fraccional, positivo, negativo, de todas partes! No puede ser solo cero. ¿No adivinó por qué?
Bueno, veamos qué ejemplo específico, qué pasará si tome como un denominador p. Nolik.) Permítanos, por ejemplo, b. 1 = 2 , pero p. = 0 . ¿Cuál será el segundo término en igual que entonces?
Consideramos:
B. 2 = b. 1 · p. \u003d 2 · 0 \u003d 0
Y la tercera polla?
B. 3 = b. 2 · p. \u003d 0 · 0 \u003d 0
Tipos y comportamiento de las progresiones geométricas.
Con todo fue más o menos claro: si la diferencia de progresión d. Positivo, luego se aumenta la progresión. Si la diferencia es negativa, entonces la progresión disminuye. Sólo dos opciones. No hay tercero.)
¡Pero con el comportamiento de la progresión geométrica, todo será más interesante y más diverso!)
Tan pronto como los miembros se comporten aquí: y aumentan, y disminuyen, y son un enfoque ilimitado para cero, e incluso cambiar los signos, apresurándose alternativamente en la "plus", ¡luego en "menos"! Y en toda esta variedad, necesitas poder entender bien, sí ...
Entendemos?) Comenzamos desde el caso más sencillo.
El denominador es positivo ( p. >0)
Con un denominador positivo, en primer lugar, los miembros de la progresión geométrica pueden entrar más infinito (es decir, aumentar indefinidamente) y puede entrar en menos infinito(es decir, disminución ilimitada). Ya hemos recogido para tal comportamiento del progreso.
Por ejemplo:
(b N.): 1, 2, 4, 8, 16, …
Todo es simple aquí. Se obtiene a todos los miembros de la progresión. mas que anterior. Y cada miembro se obtiene multiplicar Miembro anterior en positivo Número +2 (es decir, p. = 2 ). El comportamiento de tal progresión es obvio: todos los miembros de la progresión están creciendo indefinidamente, entrando en el espacio. En más infinito ...
Y ahora esta es la progresión:
(b N.): -1, -2, -4, -8, -16, …
Aquí, también, cada miembro de la progresión se obtiene. multiplicar Miembro anterior en positivo Número +2. Pero el comportamiento de tal progresión ya es lo contrario: se obtiene a cada miembro de la progresión. menos que el anterior, Y todos sus miembros ilimitarán la disminución, dejando el menos infinito.
Y ahora pensemos: ¿qué pasa con estas dos progresiones? ¡Está bien, Denominador! Aquí y allá p. = +2 . Positivo.Dos. Y aquí comportamiento ¡Estas dos progresiones son fundamentalmente diferentes! ¿No adivinamos por qué? ¡Sí! Todos los negocios B. ¡Primer miembro!Es él, como dicen, y órdenes de música.) Nos vemos.
En el primer caso, el primer término de progresión. positivo (+1) y, se convirtió, todos los miembros posteriores obtenidos al multiplicar positivodenominador p. = +2 también será positivo.
Pero en el segundo caso, el primer miembro. negativo (-uno). Por lo tanto, todos los miembros posteriores de la progresión obtenidos multiplicando positivo p. = +2 también obtendré negativo. Para "menos" en la "plus" siempre da "menos", sí).
Como puede ver, en contraste con la progresión aritmética, la progresión geométrica puede comportarse de manera completamente diferente, no solo dependiendo de del denominadorp.pero también dependiendo desde el primer término, Sí.)
Recordamos: el comportamiento de la progresión geométrica está determinada de forma única por su primer miembro b. 1 y denominadorp. .
¡Y ahora comenzamos el análisis de menores casos menos familiares, pero mucho más interesantes!
Tomemos, por ejemplo, esta es la secuencia:
(b N.): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Esta secuencia es también una progresión geométrica! Cada miembro de esta progresión también se obtiene. multiplicar Miembro anterior, en el mismo número. Solo el número es - fraccionario: p. = +1/2 . O +0,5 . Y (IMPORTANTE!) Número, pequeñas unidades:p. = 1/2<1.
¿Qué es interesante esta progresión geométrica? ¿Dónde buscan sus miembros? Veamos:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
¿Qué interesante aquí se puede notar? Primero, inmediatamente sorprendiendo la disminución de los miembros de la progresión: cada uno de sus miembros menos Rivne anterior 2 veces. O, de acuerdo con la definición de progresión geométrica, cada miembro másanterior a la 1/2 vecesporque progresión denominadora p. = 1/2 . Y de la multiplicación en positivo, menos unidos, el resultado generalmente disminuye, sí ...
qué aún ¿Puedes notar en el comportamiento de esta progresión? ¿Sus miembros disminuyen? ilimitado¿Entrando en menos infinito? ¡No! Ellos disminuyen de una manera especial. Primero, disminuya bastante rápidamente, y luego todo es más lento y más lento. Y permanecer todo el tiempo positivo. Dejar y muy, muy pequeño. ¿Y por qué les gusta ellos mismos? ¿Adivinó? ¡Sí! ¡Se esfuerzan por cero!) Y preste atención a los miembros muy cero de nuestra progresión. ¡Nunca alcance!Solo infinitamente cerca de ella se acercan. Es muy importante.)
Una situación similar será en tal progresión:
(b N.): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Aquí b. 1 = -1 , pero p. = 1/2 . De todos modos, solo a cero, ahora los miembros se acercarán al otro lado a continuación. Todo el tiempo restante negativo.)
Dicha progresión geométrica, cuyos miembros enfoque ilimitado cero (No importa, con un lado positivo o negativo), en Mathematics usa un nombre especial. progresión geométrica infinitamente decreciente. Esta progresión es tan interesante e inusual que incluso será sobre ella. lección separada .)
Entonces, miramos todo lo posible. positivo Dannels - y unidades grandes y unidades más pequeñas. No consideramos la propia unidad como un denominador por las razones establecidas anteriormente (recuerde un ejemplo con una secuencia de triples ...)
Vamos a resumir:
positivo y más unidades (p.\u003e 1), luego miembros de la progresión:
uNA.) aumentar indefinidamente (sib. 1 >0);
b) Disminución ilimitada (sib. 1 <0).
Si el denominador de progresión geométrica. positivo y menos uno (0< p.<1), то члены прогрессии:
a) infinitamente cerca de cero desde arriba (si unb. 1 >0);
b) infinitamente cerca de cero debajo (si unb. 1 <0).
Queda ahora en considerar el caso. denominador negativo.
Denominador negativo ( p. <0)
Por ejemplo, no iremos lejos. ¿Qué, en realidad, vergüenza a la abuela?!) Dejar, por ejemplo, el primer término de la progresión será b. 1 = 1 , y el denominador tomará q \u003d -2..
Obtenemos esta secuencia:
(b N.): 1, -2, 4, -8, 16, …
Y así sucesivamente.) Se obtiene a todos los miembros de la progresión. multiplicar Miembro anterior en un número negativo -2. Al mismo tiempo, todos los miembros de pie en lugares impares (primero, tercero, quinto, etc.) serán positivo, y en lugares incluso (segundo, cuarto, etc.) - negativo. Señales estrictamente alternan. PLUS-MINUS PLUS-MINUS ... Se llama tal progresión geométrica - cada vez más alineando.
¿Dónde buscan sus miembros? Y en ninguna parte.) Sí, en valor absoluto (es decir, módulo) Los miembros de nuestra progresión aumentan cada vez más (por lo tanto, el nombre "aumentando"). Pero al mismo tiempo, cada miembro de la progresión se arroja alternativamente al calor, luego en el frío. Luego, en la "PLUS", luego en "menos". Nuestra progresión fluctúa ... y el alcance de las oscilaciones con cada paso está creciendo rápidamente, sí.) Se convirtió en el esfuerzo de los miembros de la progresión en algún lugar específicamente aquí no.Ni más infinito, ni a menos infinito, ni a cero, en ninguna parte.
Ahora consideramos un denominador fraccionario entre cero y menos uno.
Por ejemplo, déjalo ser b. 1 = 1 , pero q \u003d -1/2..
Luego obtenemos la progresión:
(b N.): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
¡Y otra vez tenemos alternancia de señales! Pero, a diferencia del ejemplo anterior, ya existe una tendencia clara de acercarse a los miembros a cero). Solo esta vez, nuestros miembros se acercan a cero no es estrictamente desde arriba o abajo, pero nuevamente vacilación. Alternativamente, aceptar valores positivos, luego negativos. Pero al mismo tiempo son módulos Acercarse y más cerca de la lengua preciada.)
Tal progresión geométrica se llama infinitamente disminuyendo alineación.
¿Cuáles son los interesantes estos dos ejemplos? Para que en ambos casos tenga lugar ¡Muestras alternas! Este chip es característico solo para el progreso con un denominador negativo, sí.) Se convirtió en si en alguna tarea, verá una progresión geométrica con un miembro alcalino, se conozca firmemente que su denominador es 100% negativo y no equivocado en el signo. .)
Por cierto, en el caso de un denominador negativo, el signo del primer miembro no afecta el comportamiento de la progresión en sí. De cualquier manera, el primer miembro de la progresión es, en cualquier caso, se observará la alineación de los miembros. Toda la pregunta es solo en que lugares (Incluso o extraño) soportará miembros con signos específicos.
Recuerda:
Si el denominador de progresión geométrica. negativo , luego signos de progresión de progresión. alterno.
Al mismo tiempo, los propios miembros:
a) aumentar indefinidamentepor módulo, si unp.<-1;
b) Enfoque sin cesar cero si -1< p.<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Eso es todo. Todos los casos de muestra son desmontados.)
En el proceso de desestimar una variedad de ejemplos de progresiones geométricas, usé periódicamente las palabras: "Ella se esfuerza por cero", "Ella se esfuerza por el más infinito", "Ella se esfuerza por menos infinito"... cualquier cosa terrible). Estas pérdidas de facturación del habla (y ejemplos específicos), solo un conocido inicial con comportamiento Valor secuencias numéricas. En el ejemplo de la progresión geométrica.
¿Por qué generalmente necesitamos conocer el comportamiento de la progresión? ¿Cuál es la diferencia donde ella busca? A cero, si, además del infinito, a menos infinito ... somos algo de esto?
El punto es que ya en la universidad, en el curso de las matemáticas más altas, necesitará la capacidad de trabajar con las secuencias numéricas más diferentes (con cualquiera, y no solo la progresión) y la capacidad de representar exactamente cómo este o Esa secuencia se comporta, ya sea que aumente, es ilimitada, ya sea que disminuye si se esfuerza por un número específico (y no necesariamente a cero) o incluso no busca ir a nada ... Este tema es una sección completa: este tema es En el curso de Matanalya. teoría de los límites. Un poco más específicamente - el concepto el límite de la secuencia numérica.Tema muy interesante! Tiene sentido ir al instituto y tratar.)
Algunos ejemplos de esta sección (secuencias que tienen un límite) y en particular, progresión geométrica infinitamente decreciente Empezar a levantarse a la escuela. Acostumbrarse a.)
Además, la capacidad de explorar bien el comportamiento de las secuencias en el futuro jugará una mano y muy útil en estudio de funciones. Una variedad de. ¡Pero la habilidad trabaja de manera competente con las funciones (calcule los derivados, para investigarlos en el programa completo, construir sus gráficos) ya aumenta bruscamente su nivel matemático! ¿Duda? No hacer. Todavía recuerdas mis palabras.)
Veamos la progresión geométrica en la vida?
En la vida circundante con progreso geométrico, nos enfrentamos muy a menudo. Incluso sin sospechar.)
Por ejemplo, varios microorganismos que nos rodean en todas partes en grandes cantidades y que ni siquiera vemos sin un microscopio, multiplicar precisamente en la progresión geométrica.
Digamos que una bacteria se multiplica por la división por la mitad, dando a descenso en 2 bacterias. A su vez, cada uno de ellos, multiplicando, también se divide en la mitad, dando a la descendencia general en 4 bacterias. La próxima generación ya dará 8 bacterias, luego 16 bacterias, 32, 64, etc. Con cada próxima generación, el número de bacterias se duplica. Ejemplo típico de progresión geométrica.)
También en progresión geométrica, algunos insectos están criando, moscas. Y los conejos a veces, por cierto, también.)
Otro ejemplo de progresión geométrica, más cercana a la vida cotidiana, es la llamada interés compuesto. Un fenómeno tan interesante se encuentra a menudo en los depósitos bancarios y se llama capitalización de interés. ¿Lo que es?
Tú mismo eres todavía, por supuesto, joven. En la escuela, aprenda, no apele en los bancos. Pero tus padres ya son adultos y personas independientes. Ve a trabajar, el dinero en el pan se gana, y parte del dinero puesto en el banco, haciendo ahorros.)
Digamos, su padre quiere podnapolizar una cierta cantidad de dinero para vacaciones familiares en Turquía y poner en un banco 50,000 rublos en un 10% anual por un período de tres años con la capitalización anual de interés. Y durante todo este período, nada se puede hacer con la contribución. Es imposible reponer la contribución ni tomar dinero de la cuenta. ¿Qué beneficio superará estos tres años?
Bueno, en primer lugar, es necesario averiguar qué es el 10% por año. Esto significa que en un año En la cantidad inicial del depósito por parte del Banco se acumulará un 10%. ¿De qué? Por supuesto, de cantidad de depósito inicial.
Consideramos el tamaño de la cuenta en un año. Si el monto inicial de la contribución fue de 50,000 rublos (es decir, 100%), entonces, en un año habrá cuántos por ciento? Derecha, 110%! De 50,000 rublos.
Aquí consideramos el 110% de 50,000 rublos:
50000 · 1.1 \u003d 55000 rublos.
Espero que entienda que encuentre el 110% del valor significa multiplicar esta cantidad por número 1.1. Si no entiende por qué este es exactamente el caso, recuerde los grados quinta y sexto. A saber - Comunicación de interés con fracciones y partes.
Por lo tanto, el aumento en el primer año será de 5,000 rublos.
¿Y cuánto dinero estará en la cuenta en dos años? 60000 rublos? Lamentablemente (o más bien, afortunadamente), todo no es tan simple. El enfoque de capitalización de todo el porcentaje es que con cada nueva acumulación de interés, estos más intereses se considerarán ya ¡De la nueva cantidad!De la que ya Mentiras en la cuenta en este momento.¡Y el interés acumulado por el período anterior se agrega al monto del depósito inicial y, por lo tanto, ellos mismos participan en la acumulación del nuevo porcentaje! Es decir, se convierten en una parte plena de la cuenta compartida. O en común capital.De ahí el nombre - capitalización de interés.
Esto está en la economía. Y en matemáticas dichos intereses se llaman porcentaje complejo.O por ciento por ciento.) Su chip está en el hecho de que con un interés de cálculo consistente cada vez que se consideran de un nuevo valor.Y no desde la inicial ...
Se convirtió en calcular la cantidad a través de dos añosNecesitamos calcular el 110% de la cantidad que estará en la cuenta. en un año. Es decir, ya de 55.000 rublos.
Consideramos el 110% de 55,000 rublos:
55000 · 1.1 \u003d 60500 rublos.
Por lo tanto, la ganancia porcentual para el segundo año será ya 5,500 rublos, y en dos años, 10,500 rublos.
Ahora ya es posible adivinar que después de tres años la cantidad en la cuenta será del 110% de 60,500 rublos. Es decir, 110% de nuevo de la anterior (el año pasado)cantidades.
Así que pensamos:
60500 · 1.1 \u003d 66550 rublos.
Y ahora construimos nuestras cantidades de dinero por año en la secuencia:
50000;
55000 \u003d 50,000 · 1.1;
60500 \u003d 55000 · 1.1 \u003d (50,000 · 1,1) · 1.1;
66550 \u003d 60500 · 1.1 \u003d (((50000 · 1,1) · 1,1) · 1,1
¿Así que cómo? ¿Qué no es la progresión geométrica? Primer miembro b. 1 = 50000 , y el denominador. p. = 1,1 . Cada miembro es más que el anterior estrictamente 1.1 veces. Todo está en estricto de acuerdo con la definición.)
¿Y cuántas bonificaciones de interés adicionales "juras" a su padre, mientras que fue de 500 rublos durante tres años en una cuenta bancaria?
Consideramos:
66550 - 50000 \u003d 16550 rublos
Nehuto, por supuesto. Pero esto es si la cantidad de depósito inicial es pequeña. Y si mas? ¿Decir, no 50, y 200 mil rublos? Luego, el aumento durante tres años ya tendrá 66,200 rublos (si se calculan). Lo que ya es muy bueno.) Y si la contribución es aún más? Eso es lo que es ...
Conclusión: cuanto mayor sea la contribución inicial, más rentable se convierte en la capitalización de interés. Es por eso que los bancos proporcionan depósitos con capitalización de interés por largos plazos. Digamos por cinco años.
También en progresión geométrica, todas las enfermedades no torrertivas del tipo de influenza, sarampión e incluso más enfermedades terribles (la misma neumonía atípica a principios de la década de 2000 o plaga en la Edad Media) se propagan. Desde aquí y tales escalas de epidemias, sí ...) y todo debido al hecho de que la progresión geométrica con todo un denominador positivo. (p.>1) - ¡Lo que está creciendo muy rápidamente! Recuerde la reproducción de bacterias: se obtienen dos de una bacteria, de dos a cuatro, de cuatro a ocho, y así sucesivamente ... con la distribución de cualquier infección de la misma.)
Las tareas más simples para la progresión geométrica.
Comencemos, como siempre, con una tarea simple. Significado puramente entendiendo.
1. Se sabe que el segundo miembro de la progresión geométrica es 6, y el denominador es -0.5. Encuentra los primeros, tercero y cuarto miembros.
Entonces, nos dan infinito Progresión geométrica, y conocido. segundo miembro Esta progresión:
b 2 \u003d 6
Además, todavía somos conocidos. progresión denominadora:
Q \u003d -0.5
Y necesitas encontrar primero, terceroy cuatromiembros de esta progresión.
Así que actúa. Secuencia de grabación por la condición de la tarea. Justo en general, donde el segundo miembro es el menor:
b 1, 6,b. 3 , b. 4 , …
Y ahora pasa a la búsqueda. Comenzamos, como siempre, desde lo más sencillo. Puedes contar, por ejemplo, la tercera polla. b 3.? ¡Lata! Ya sabemos contigo (derecho en el significado de la progresión geométrica) que la tercera polla (B 3) Más de segundo (b. 2 ) en "Q" ¡hora!
Nosotros escribimos:
b 3 \u003d.b. 2 · p.
Sustituamos en esta expresión seis en su lugar. b 2.y -0.5 en su lugar p. Y cree. Y no ignore los menos, por supuesto ...
b 3 \u003d 6 · (-0,5) \u003d -3
Como esto. El tercer miembro fue menos. No es de extrañar: nuestro denominador. p. - Negativo. Y más se multiplica por menos, será conocido, menos.)
Ahora consideramos el siguiente, cuarto plazo de progresión:
b 4 \u003d.b. 3 · p.
B 4 \u003d -3 · (-0,5) \u003d 1.5
Cuarto Dick - de nuevo con una ventaja. El quinto miembro será con un menos, el sexto, con una ventaja y así sucesivamente. Signos - ¡Alternativo!
Entonces, los miembros tercero y cuarto encontraron. Resultó esta secuencia:
b 1; 6; -3; 1.5; ...
Queda ahora para encontrar al primer miembro. b 1. Según un segundo conocido. Para hacer esto, camina en el otro lado, a la izquierda. Esto significa que, en este caso, el segundo miembro de la progresión que necesitamos para no multiplicar el denominador, y dividir
Dividimos y recibimos:
Eso es todo.) La respuesta a la tarea será así:
-12; 6; -3; 1,5; …
Como puede ver, el principio de resolver lo mismo que en. Saber alguna Miembro I. denominador Progresión geométrica: podemos encontrar a cualquier otro miembro. Lo que queremos, tal y apretar). Con la única diferencia de que la adición / resta se sustituye por multiplicación / división.
Recordamos: si somos conocidos por al menos un miembro y denominador de progresión geométrica, entonces siempre podemos encontrar a cualquier otro miembro de esta progresión.
La siguiente tarea, según la tradición, de la versión real de OGE:
2.
...; 150; X; 6; 1.2; ...
¿Así que cómo? Esta vez no hay primer miembro ni un denominador. p., solo se establece la secuencia de números ... ¡algo familiar ya es cierto? ¡Sí! ¡Una tarea similar ya ha desmontado en la progresión aritmética!
Así que no tengas miedo. Todos iguales. Enciende la cabeza y recuerda el significado elemental de la progresión geométrica. Miramos con cuidado en nuestra secuencia y creemos que los parámetros de la progresión geométrica de los tres principales (primer miembro, denominador, número de miembro) están ocultos en ella.
NÚMEROS DE MIEMBROS? No hay números de miembros, sí ... pero hay cuatro consistente números. ¿Qué significa esta palabra, no tiene sentido explicarlo en esta etapa?) ¿Tienes dos en esta secuencia? ¿Números conocidos adyacentes?¡Hay! Es 6 y 1.2. Para que podamos encontrar el denominador de progresión.Aquí y tome el número 1.2 y divida. en el número anterior. En el sexto.
Obtenemos:
Obtenemos:
x. \u003d 150 · 0.2 \u003d 30
Respuesta: x. = 30 .
Como ves, todo es bastante simple. La principal dificultad consiste solo en cálculos. Especialmente dura sucede en el caso de denominadores negativos y fraccionarios. ¡Así que los que tienen problemas, repiten la aritmética! Cómo trabajar con fracciones, cómo trabajar con números negativos y así sucesivamente ... De lo contrario, aquí se reducirá sin piedad.
Y ahora un poco modificado una tarea. ¡Ahora será interesante! Retire en él el último número 1.2. Aquí está una tarea ahora resolviendo:
3. Se escriben varios miembros sucesivos de la progresión geométrica:
...; 150; X; 6; ...
Encuentre un miembro de la progresión indicado por la letra X.
Todo lo mismo, solo dos vecinos famoso No tenemos progresión de la progresión. Este es el problema principal. Porque la cantidad p. a través de dos miembros vecinos, somos tan fáciles de determinar no podemos. ¿Tenemos la oportunidad de hacer frente a la tarea? ¡Seguro!
Cortar el miembro desconocido x."¡Directamente en el significado de la progresión geométrica! En general.
¡Sí Sí! ¡Derecho con un denominador desconocido!
Por un lado, para el IKSA, podemos registrar esta relación:
X. \u003d 150 ·p.
Por otro lado, el mismo XE, tenemos el derecho completo de pintar y a través de siguiente Miembro, a través de los seis! Compartiendo los seis al denominador.
Como esto:
X. = 6/ p.
Obviamente, ahora puedes equiparar estas dos relaciones. Desde nosotros expresamos lo mismo magnitud (x), pero dos diferentes caminos.
Obtenemos la ecuación:
Multiplicando todo por p.Simplificación, corte, obtenemos la ecuación:
q 2 \u003d 1/25
Decidimos y recibimos:
q \u003d ± 1/5 \u003d ± 0.2
¡UPS! ¡El denominador resultó ser doble! +0.2 y -0.2. ¿Y cuál elegir? ¿Callejón sin salida?
¡Tranquilidad! Sí, la tarea realmente tiene dos soluciones!Nada de malo con eso. Sucede). ¿No te sorprende cuando, por ejemplo, obtén dos raíces, resolviendo lo habitual? Aquí está la misma historia.)
Para q \u003d +0.2 Nosotros recibiremos:
X \u003d 150 · 0.2 \u003d 30
Y para p. = -0,2 estarán:
X \u003d 150 · (-0.2) \u003d -30
Obtenemos una doble respuesta: x. = 30; x. = -30.
¿Qué significa este hecho interesante? Y lo que existe dos progresión¡Satisfacer la condición de tareas!
Como estos:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Ambos son adecuados). ¿Qué piensas, debido a lo que tenemos una respuesta dividida? Una vez debido a la eliminación de un miembro en particular de la progresión (1.2), viniendo después de los seis. Y saber solo el miembro anterior (N-1) y posterior (n + 1), "N + 1), de la progresión geométrica, ya no podemos decir nada sobre el miembro de N-TH parado entre ellos. Dos opciones son posibles, con una ventaja y con un menos.
Pero no los problemas. Como regla general, en las tareas de progresión geométrica, hay información adicional que le da una respuesta inequívoca. Di palabras: "Alineación de la progresión"o "Progresión con un denominador positivo" Y así, en ... Son estas palabras y deben servir como un gancho, qué significado, más o menos, debe seleccionarse cuando se realiza la respuesta final. Si no hay tal información, entonces, sí, la tarea tendrá dos soluciones.)
Y ahora nos resolvemos.
4. Determine si el número 20 será miembro de progresión geométrica:
4 ; 6; 9; …
5. Progresión geométrica anunciada:
…; 5; x. ; 45; …
Encontrar un miembro de progresión marcado x. .
6. Encuentre el cuarto miembro positivo de la progresión geométrica:
625; -250; 100; …
7. El segundo miembro de la progresión geométrica es -360, y su quinto miembro es igual a 23.04. Encuentra el primer miembro de esta progresión.
Respuestas (en desorden): -15; 900; no; 2.56.
Felicitaciones, si todo sucedió!
¿Algo no está unido? ¿En algún lugar la respuesta doble resultó? ¡Leemos cuidadosamente la condición de la tarea!
¿La última tarea no sale? No hay nada complicado allí.) Trabajamos directamente en el significado de la progresión geométrica. Bueno, la imagen se puede dibujar. Ayuda.)
Como puedes ver, todo es elemental. Si la progresión es corta. Y si hace mucho tiempo? ¿O el número del miembro deseado es muy grande? Me gustaría, por analogía con progreso aritmético, de alguna manera obtén una fórmula conveniente que le permite encontrar fácilmente alguna Miembro de cualquier progresión geométrica. por su número. No multiplicando muchos, muchas veces en p.. Y hay tal fórmula!) Detalles - en la siguiente lección.
La fórmula del miembro N-TH de la progresión geométrica es la cosa es muy simple. Como en el significado y por la mente general. Pero las tareas en la fórmula del miembro de N-TH se encuentran todo tipo de, desde muy primitivo hasta bastante serio. Y en el proceso de nuestro conocido también consideraremos a los que y otros. Bueno, ¿conoce?)
Entonces, para el comienzo mismo mismo. fórmulanORTE.
Aqui esta ella:
b N. = b. 1 · q N. -1
Fórmula como fórmula, nada sobrenatural. Se ve incluso más fácil y más compacto que una fórmula similar para. El significado de la fórmula también es simple como las botas.
Esta fórmula le permite encontrar a cualquier miembro de la progresión geométrica por su número " nORTE.".
Como ves, en el sentido, una analogía completa con el progreso aritmético. Sabemos el número N - Podemos contar y un miembro bajo este número. Lo que nosotros queremos. No multiplicando secuencialmente en "Q" muchas, muchas veces. Ese es todo el punto.)
Entiendo que en este nivel de trabajo con la progresión de todos los ingresos en la fórmula de la magnitud, ya debe ser entendida, pero lo considero que mi deuda descifra cada uno. Por si acaso.
Entonces vamos:
B. 1 – primero un miembro de la progresión geométrica;
P. – ;
NORTE. - Número de miembro;
B N. – mejoranORTE.-y) Miembro de la progresión geométrica.
Esta fórmula se une a los cuatro parámetros principales de cualquier progresión geométrica. b. NORTE., b. 1 , p. y nORTE.. Y alrededor de estas cuatro figuras clave y todas las tareas de progresión, están girando.
"¿Y cómo se muestra?" - ¡Escucho una pregunta curiosa ... Elementary! ¡Mirar!
Lo que es igual segundo Miembro de la progresión? ¡No hay problema! Escribiendo directamente:
b 2 \u003d B 1 · Q
Y la tercera polla? ¡Tampoco es un problema! El segundo miembro está empujando una vez más enp..
Como esto:
B 3 \u003d B 2 · Q
Recuerde ahora que el segundo término, a su vez, es igual a B 1 · Q y sustituir esta expresión en nuestra igualdad:
B 3 \u003d B 2 · Q \u003d (B 1 · Q) · Q \u003d B 1 · Q · Q \u003d B 1 · Q 2
Obtenemos:
B. 3 \u003d B 1 · Q 2
Ahora lee nuestro récord en ruso: el tercero El miembro es igual al primer término multiplicado por q en segundo la licenciatura. ¿Captura? ¿Aún no? Bien, un paso más.
¿Qué es la cuarta polla? ¡Todos iguales! Multiplicar anterior (es decir, la tercera polla) en Q:
B 4 \u003d B 3 · Q \u003d (B 1 · Q 2) · Q \u003d B 1 · Q 2 · Q \u003d B 1 · Q 3
TOTAL:
B. 4 \u003d B 1 · Q 3
Y de nuevo traducir al ruso: cuatro El miembro es igual al primer término multiplicado por q en tercero la licenciatura.
Etc. ¿Así que cómo? Atrapado regularidad? ¡Sí! Para cualquier miembro con cualquier número, el número de factor idéntico q (es decir, el grado de denominador) siempre será por unidad menor que el número del miembro deseadonORTE..
Por lo tanto, nuestra fórmula, sin opciones:
b n \u003db. 1 · q N. -1
Eso es todas las cosas.)
Bueno, ellos cortan los desafíos, probablemente?)
Resolviendo tareas en la fórmula.nORTE.-El miembro de la progresión geométrica.
Comencemos, como de costumbre, con el uso directo de la fórmula. Aquí hay un problema típico:
En progresión geométrica se sabe que b. 1 \u003d 512 I. p. \u003d -1/2. Encuentra el décimo miembro de progresión.
Por supuesto, este problema generalmente puede resolver este problema. Directamente en el sentido de progresión geométrica. Pero tenemos que calentarnos con la fórmula de N-TH Miembro, ¿verdad? Así que respira.
Nuestros datos para la aplicación de la fórmula son los siguientes.
El primer término conocido. Esto es 512.
B. 1 = 512.
También conocido denominador de progresión: p. = -1/2.
Solo queda por resolver lo que es igual al número de n. ¡No hay problema! ¿Estamos interesados \u200b\u200ben el décimo miembro? Así que sustituimos en la fórmula general de los diez primeros en lugar de n.
Y considerar cuidadosamente la aritmética:
Respuesta 1.
Como puedes ver, el décimo miembro de progresión fue menos. Nada increíble: el denominador de progresión de los EE. UU. -1/2, es decir, negativo número. Y esto nos dice que los signos de nuestra progresión alternan, sí.)
Todo es simple aquí. Y aquí hay una tarea similar, pero un poco más complicada en términos de cálculos.
En progresión geométrica, se sabe que:
B. 1 = 3
Encuentra el triocho miembro de progresión.
De todos modos, solo esta vez el denominador de la progresión - irracional. Raíz de dos. Bueno, nada terrible. La fórmula es una cosa universal, con cualquier número de cóles.
Trabajamos directamente por la fórmula:
La fórmula, por supuesto, funcionó como debería, pero ... aquí hay algunos y cuelgan. ¿Qué hacer junto a la raíz? ¿Cómo construir una raíz en el doce grado?
Como ... Es necesario entender que cualquier fórmula, por supuesto, es buena, pero el conocimiento de la totalidad de las matemáticas anteriores no se cancela! ¿Cómo construir? Sí, las propiedades de los grados recuerden! Gire la raíz B. fraccionarioy - por la fórmula del grado de ejercicio.
Como esto:
Respuesta: 192.
Y todas las cosas.)
¿Cuál es la principal dificultad con el uso directo de la fórmula de miembro de N-TH? ¡Sí! La dificultad principal es ¡Trabaja con grados! Es decir, la construcción de números negativos, fracciones, raíces y los diseños similares. ¡Así que aquellos que tienen problemas con esto, la solicitud urgente para repetir el grado y sus propiedades! De lo contrario, en este tema se reducirá, sí ...)
Y ahora cortamos las tareas típicas para la búsqueda. uno de los elementos de la fórmula.Si se dan a todos los demás. Para resolver con éxito tales tareas, la receta es una y simple de horror. escribimos fórmulanORTE.-¡HO MIEMBRO EN GENERAL!Justo en el cuaderno al lado de la condición. Y luego, por la condición, creemos que estamos dados y lo que falta. Y expresar de la fórmula la magnitud deseada. ¡Todo!
Por ejemplo, una tarea tan inofensiva.
El quinto miembro de la progresión geométrica con Denominator 3 es 567. Encuentre el primer miembro de esta progresión.
Nada difícil Trabajamos directamente por hechizo.
¡Escribimos la fórmula del miembro de N-TH!
b N. = b. 1 · q N. -1
¿Qué nos da? Primero, se da un denominador de progresión: p. = 3.
Además, nos dan quinta polla: b. 5 = 567 .
¿Todo? ¡No! ¡Hemos dado un número n! Estos son los cinco: n \u003d 5.
Espero que ya lo entiendan en el registro. b. 5 = 567 Dos parámetros están ocultos a la vez, esta es la quinta Dick en sí (567) y su número (5). En una lección similar, ya he hablado de esto, pero también considero no superfluo para recordar.)
Ahora sustituimos nuestros datos en la fórmula:
567 = b. 1 · 3 5-1
Consideramos aritméticos, simplificamos y obtenemos una ecuación lineal simple:
81 b. 1 = 567
Decidimos y recibimos:
B. 1 = 7
Como ves, con la búsqueda del primer miembro de cualquier problema. Pero al buscar denominador p. y números nORTE. Las sorpresas también pueden reunirse. Y para ellos (a sorpresas), también, debe estar preparado, sí.)
Por ejemplo, tal tarea:
El quinto miembro de la progresión geométrica con un denominador positivo es igual a 162, y el primer término de esta progresión es 2. Encuentre el denominador de la progresión.
Esta vez nos dan los miembros del primer y quinto, y piden un denominador de progresión. Aquí y proceder.
Escribimos fórmulanORTE.-¡Ho miembro!
b N. = b. 1 · q N. -1
Nuestros datos de origen serán los siguientes:
B. 5 = 162
B. 1 = 2
NORTE. = 5
No es suficiente significado p.. ¡No hay problema! Ahora lo encontraremos). Nosotros sustituimos en la fórmula todo lo que sabemos.
Obtenemos:
162 \u003d 2 ·p. 5-1
2 p. 4 = 162
P. 4 = 81
Una ecuación simple del cuarto grado. Pero ahora - ¡con cuidado! En esta etapa de soluciones, muchos estudiantes alivian inmediatamente la raíz (cuarto grado) y reciben una respuesta. p.=3 .
Como esto:
Q 4 \u003d 81
P. = 3
Pero en realidad, esta es una respuesta sin terminar. Más precisamente, incompleto. ¿Por qué? El hecho es que la respuesta. p. = -3 también es adecuado: (-3) 4 también será 81!
Todo debido al hecho de que la ecuación de poder. x N. = uNA. siempre ha dos raíces opuestas por listonORTE. . Con una ventaja y con un minus:
Ambos son adecuados.
Por ejemplo, resolver (es decir, segundo la licenciatura)
x 2 \u003d 9
Por alguna razón no estás sorprendido por la apariencia. dos raíces x \u003d ± 3? Así que aquí está lo mismo. Y con cualquier otro pensamiento El grado (cuarto, sexto, décimo, etc.) también será el mismo. Detalles - en el tema de Pro
Por lo tanto, la decisión correcta será así:
P. 4 = 81
P. \u003d ± 3.
Bueno, con signos resistidos. ¿Qué son los correctos - plus o menos? Bueno, leemos una vez más la condición de la tarea en la búsqueda. información Adicional.Es, por supuesto, puede que no sea, pero en este problema dicha información. disponible.Nosotros, en la condición, el texto directo dice que la progresión de denominador positivo.
Por lo tanto, la respuesta es obvia:
P. = 3
Todo es simple aquí. ¿Y qué crees que sería si la redacción de la tarea fuera así:
El quinto miembro de la progresión geométrica es de 162, y el primer término de esta progresión es 2. Encuentre el denominador de la progresión.
¿Cuál es la diferencia? ¡Sí! En condicion nada No se dice sobre el signo del denominador. Ni recto ni indirectamente. Y aquí la tarea ya habría tenido dos soluciones!
P. = 3 y p. = -3
¡Sí Sí! Y más y con un menos.) Matemáticamente este hecho significaría que hay dos progresiónque son adecuados bajo la condición de la tarea. Y para cada uno - su denominador. Por el bien de los intereses, la práctica y anote los primeros cinco miembros de cada uno de ellos).
Y ahora el número de miembro está practicando. Esta tarea es la más difícil, sí. Pero pero más creativo.)
Dana progresión geométrica:
3; 6; 12; 24; …
¿Cuál es el número 768 en esta progresión?
El primer paso sigue siendo el mismo: escribimos fórmulanORTE.-¡Ho miembro!
b N. = b. 1 · q N. -1
Y ahora, como de costumbre, sustituimos los datos conocidos por nosotros. GM ... no sustituido! ¿Dónde está el primer miembro, dónde está el denominador, dónde está todo lo demás?
Donde-donde ... y los ojos, ¿por qué necesitamos? Pestañas aplaudiendo? Esta vez nos da la progresión directamente como secuencias. Primer miembro ve? ¡Vemos! Este es un triple (B 1 \u003d 3). ¿Y el denominador? Todavía no vemos, pero es muy fácil de considerar. Si, por supuesto, entienda.
Así que pensamos. Directamente dentro del significado de la progresión geométrica: lleve a cualquier persona (excepto la primera) y divida a la anterior.
Al menos así:
P. = 24/12 = 2
¿Qué más sabemos? Todavía se nos conocemos algunos miembros de esta progresión, igual a 768. Bajo un número N:
B N. = 768
El número no es desconocido para nosotros, pero nuestra tarea es solo que es encontrarlo). Así que estamos buscando. Todos los datos necesarios para la sustitución en la fórmula que ya descargamos. Desapercibido para ti mismo.)
Así que sustituimos:
768 \u003d 3 · 2 NORTE. -1
Hacemos elementales: dividimos ambas partes en los tres primeros y reescribimos la ecuación en la forma habitual: el desconocido izquierdo, conocido - derecho.
Obtenemos:
2 NORTE. -1 = 256
Aquí hay una ecuación tan interesante. Es necesario encontrar "n". ¿Qué es inusual? Sí, no discuto. En realidad, esto es lo más simple. Se llama así debido al hecho de que lo desconocido (en este caso es un número nORTE.) Vale la pena en indicador la licenciatura.
En la etapa de conocido con la progresión geométrica (este es el noveno grado), no se enseñan las ecuaciones exponenciales, sí ... Este es el tema de la escuela secundaria. Pero no hay nada terrible. Incluso si no sabe cómo se resuelven tales ecuaciones, intentemos encontrar nuestro nORTE., guiado por la simple lógica y el sentido común.
Comenzamos a razonar. A la izquierda tenemos un dos hasta cierto punto. Aún no sabemos lo que es específicamente para el grado, pero no tiene miedo. ¡Pero sabemos firmemente que este grado es 256! Así que recuerdo, en qué medida, Deucend nos da 256. ¿Recuerdas? ¡Sí! EN octavo ¡La licenciatura!
256 = 2 8
Si no recordaban o con el reconocimiento de los grados del problema, tampoco es nada terrible: solo erige constantemente un dos veces en el cuadrado, en el cubo, en el cuarto grado, quinto, etc. Selección, de hecho, pero a este nivel, bastante rodante.
De todos modos, obtendremos:
2 NORTE. -1 = 2 8
NORTE.-1 = 8
NORTE. = 9
Entonces, 768 es noveno Miembro de nuestra progresión. Todo, la tarea se resuelve.)
Respuesta: 9.
¿Qué? ¿Aburrido? ¿Cansado de un elemental? Estoy de acuerdo. Yo también. Escalonando al siguiente nivel.)
Tareas más complejas.
Y ahora resolvemos las tareas más abruptamente. No tanto superconded, pero sobre lo que tienen que trabajar un poco para llegar a la respuesta.
Por ejemplo, tal.
Encuentre el segundo miembro de la progresión geométrica si su cuarto miembro es igual a -24, y el séptimo miembro es 192.
Este es un género clásico. Hay algunos dos miembros diferentes de la progresión, y es necesario encontrar algo más miembro. Y todos los miembros no están vecinos. Lo que confunde al principio, sí ...
Como en, para resolver tales tareas, consideramos de dos maneras. El primer método es universal. Algebraico. Funciona de forma segura y con datos de origen. Por lo tanto, es de él y comienza.)
Describimos a cada miembro por la fórmula. nORTE.-¡Ho miembro!
Todo exactamente en punto como con el progreso aritmético. Sólo esta vez trabajamos con otro formula general. Eso es todo.) Pero la esencia es la misma: tomar y alternativamente Sustituamos nuestros datos de origen en la Fórmula N-TH. Por cada miembro, el suyo.
Para el cuarto miembro, escribe:
B. 4 = b. 1 · p. 3
-24 = b. 1 · p. 3
Hay. Una ecuación está lista.
Para el séptimo miembro escribimos:
B. 7 = b. 1 · p. 6
192 = b. 1 · p. 6
Total recibió dos ecuaciones para misma progresión .
Recopilamos el sistema:
A pesar de su visión formidable, el sistema es bastante simple. La solución más obvia es la sustitución habitual. Rápido b. 1 Desde la ecuación superior y sustituya a la parte inferior:
Mirando un poco con la ecuación inferior (reducción de grados y dividiendo en -24), obtenemos:
p. 3 = -8
A la misma ecuación, por cierto, ¡puedes venir y más fácil! ¿Qué? Ahora te demostraré otro secreto, pero la forma muy hermosa, poderosa y útil de resolver tales sistemas. Tales sistemas en las ecuaciones de los cuales están sentados. solo funcionaAl menos en uno. Llamada método de la detección de milen.una ecuación a otra.
Entonces, frente al sistema de Estados Unidos:
En ambas ecuaciones a la izquierda - composicióny correcto - solo un número. Esta es una muy buena señal.) Tomemoslo y ... Divida, digamos, ¡la ecuación inferior a la cima! Que significa, ¿Compartiste una ecuación a otra? Muy simple. Llevar parte izquierda una ecuación (menor) y delim. Ella en parte izquierda otra ecuación (arriba). Con el lado derecho de manera similar: parte correcta una ecuación delim. sobre el parte correcta Otro.
Todo el proceso de la división se ve así:
Ahora, reduciendo todo lo que se reduce, obtenemos:
P. 3 = -8
¿Qué es bueno de esta manera? ¡En el hecho de que en el proceso de dicha división, todo no es bueno e inconveniente puede reducir y permanecer de manera bastante inofensiva! Por eso es tan importante. solo multiplicaciones Al menos en una de las ecuaciones del sistema. No hay multiplicación, no hay nada que cortar, sí ...
En general, este método (como muchas otras formas no triviales de resolver sistemas) incluso merece una lección separada. Asegúrese de resolverlo con más detalle. Algún día…
Sin embargo, no importa cómo exactamente resuelves el sistema, en cualquier caso, ahora necesitamos resolver la ecuación resultante:
P. 3 = -8
No hay problema: ¡Retire la raíz (cúbica) y - listo!
Tenga en cuenta que aquí al extraerlo no es necesario poner más / menos. El grado inventivo (tercero) es la raíz. Y la respuesta también está sola, sí.)
Entonces, se encuentra el denominador de la progresión. Menos dos. ¡Excelente! El proceso va.)
Para el primer miembro (digamos, de la ecuación superior) obtendremos:
¡Excelente! Conocemos al primer miembro, conocemos el denominador. Y ahora tenemos la oportunidad de encontrar a cualquier miembro de la progresión. Incluyendo el segundo.)
Para el segundo miembro, todo es completamente simple:
b. 2 = b. 1 · p. \u003d 3 · (-2) \u003d -6
Respuesta: -6.
Entonces, la forma algebraica de resolver el problema, nos presentamos en los estantes. ¿Complicado? No muy, estoy de acuerdo. Largo y tedioso? Sí, por supuesto. Pero a veces puedes reducir significativamente la cantidad de trabajo. Para esto es método gráfico.Bien viejo y familiar por nosotros.
¡Dibuja una tarea!
¡Sí! Exactamente. Nuevamente representamos nuestra progresión en el eje numérico. No necesariamente en Lineber, no es necesario resistir intervalos iguales entre los miembros (que, por cierto, no serán los mismos, ¡porque la progresión es geométrica!), Pero simplemente esquemático Dibujamos nuestra secuencia.
Tengo así:
Y ahora miramos la foto y pensamos. ¿Cuántos multiplicadores idénticos "Q" comparten cuatro y séptimo Miembros? ¡True, tres!
Por lo tanto, tenemos el derecho completo de escribir:
-24 ·p. 3 = 192
A partir de aquí ahora se busca fácilmente por q:
p. 3 = -8
p. = -2
Eso está bien, el denominador ya está en su bolsillo. Y ahora miramos la foto de nuevo: cuántos denominantes se sienta entre segundo y cuatro miembros? ¡Dos! Por lo tanto, para registrar la conexión entre estos miembros, el denominador se erigirá en cuadrado.
Aquí escribimos:
b. 2 · p. 2 = -24 ¡De! b. 2 = -24/ p. 2
Sustituimos nuestro denominador encontrado en la expresión de B 2, creemos y obtengamos:
Respuesta: -6.
Como puede ver, todo es mucho más fácil y más rápido que a través del sistema. ¡Además, aquí todos ni siquiera necesitábamos considerar la primera polla! En absoluto.)
Aquí está un camino tan simple y visual. Pero él tiene una seria desventaja. ¿Adivinar? ¡Sí! Solo es adecuado para piezas de progresión muy cortas. Tales, donde las distancias entre los miembros de interés no son muy grandes. Pero en todos los demás casos, la imagen ya es difícil de dibujar, sí ... Luego resolvemos el problema analíticamente, a través del sistema). Y el sistema es universal. Con cualquier número de topes.
Otro problema épico:
El segundo miembro de la progresión geométrica es 10 más que la primera, y el tercer miembro es 30 más que el segundo. Encuentra un denominador de progresión.
¿Qué es genial? ¡Para nada! Todos iguales. Nuevamente traducimos la condición de la tarea en el álgebra puro.
1) Describe a cada miembro por fórmula nORTE.-¡Ho miembro!
Segundo término: B 2 \u003d B 1 · Q
Tercer Miembro: B 3 \u003d B 1 · Q 2
2) Escribe un enlace entre los miembros de la condición del problema.
Lea la condición: "El segundo miembro de la progresión geométrica es 10 más que la primera". Detente, es valioso!
Nosotros escribimos:
B. 2 = b. 1 +10
Y esta frase se traduce en matemáticas limpias:
B. 3 = b. 2 +30
Recibió dos ecuaciones. Los combinamos en el sistema:
El sistema es simple. Pero algo de muchos índices diferentes en los picos. ¡Sustituto en lugar de los miembros segundo y tercero de su expresión a través del primer miembro y el denominador! En vano, ¿qué los pintamos?
Obtenemos:
Pero este sistema ya no es un regalo, sí ... ¿cómo resolver? Desafortunadamente, un hechizo secreto universal en la resolución compleja. no lineal No hay sistemas en matemáticas y no pueden serlo. ¡Es fantástico! Pero lo primero que debería venir a la mente cuando se intenta sentir a un sólido Nuthek, es estimado, ¿No se reduce una de las ecuaciones del sistema a una hermosa vista que permite, por ejemplo, es fácil expresar una de las variables a través del otro?
Así que estimame. La primera ecuación del sistema es claramente más fácil para el segundo. Está sujeto a tortura.) Y no lo intentes de la primera ecuación. alguna cosa Rápido ¿alguna cosa? Ya que queremos encontrar un denominador. p., sería más rentable para nosotros expresar. b. 1 mediante p..
Así que intentaremos hacer este procedimiento con la primera ecuación, aplicando el bien antiguo:
b 1 q \u003d b 1 +10
B 1 q - b 1 \u003d 10
B 1 (Q-1) \u003d 10
¡Todo! Así que expresamos innecesario Variable de los Estados Unidos (B 1) a través de necesario (Q). Sí, no es la expresión más fácil recibida. La fracción es algo ... pero el sistema tenemos un nivel decente, sí.)
Típico. Qué hacer, saber.
Nosotros escribimos ... (¡requerido!) :
q ≠ 1.
Multiplicamos todo al denominador (Q-1) y reducimos todas las fracciones:
10 p. 2 = 10 p. + 30(p.-1)
Dividimos todo para los diez primeros, revelamos los corchetes, recogemos todo a la izquierda:
p. 2 – 4 p. + 3 = 0
Resolvemos los resultantes y obtuvimos dos raíces:
p. 1 = 1
p. 2 = 3
La respuesta final es una: p. = 3 .
Respuesta: 3.
Como puede ver, la ruta de resolver la mayoría de las tareas en la fórmula del miembro N-TH de la progresión geométrica es siempre una: lee con cuidado La condición de la tarea y el uso de la fórmula miembro de la N-Th, traducimos toda la información útil en un álgebra limpia.
A saber:
1) Nos describimos por separado cada uno dado en el miembro de la tarea por la fórmulanORTE.-El miembro.
2) De los términos de la tarea, traducimos el vínculo entre los miembros en forma matemática. Hacer una ecuación o sistema de ecuaciones.
3) Resuelve la ecuación o el sistema obtenido de ecuaciones, encontramos parámetros de progresión desconocidos.
4) En el caso de una respuesta ambigua, leemos cuidadosamente la condición del problema en busca de información adicional (si hay tal). Además, estamos aspirando a la respuesta resultante con el ODZ (si corresponde).
Y ahora enumeramos los principales problemas que más a menudo conducen a errores en el proceso de resolución de problemas de progresión geométrica.
1. Aritmética elemental. Acciones con fracciones y números negativos.
2. Si al menos uno de estos tres puntos del problema, inevitablemente se equivocará en este tema. Desafortunadamente ... así que no seas perezoso y repita lo mencionado anteriormente. Y en los enlaces - ir. A veces ayuda.)
Fórmulas modificadas y recurrentes.
Y ahora considere un par de tareas de examen típicas con un flujo de condición menos familiar. Sí, sí, ¿supones! eso modificado y recurrente Fórmulas N-TH Miembro. Con tales fórmulas, ya nos enfrentamos y trabajamos en la progresión aritmética. Aquí todo es similar. La esencia es la misma.
Por ejemplo, tal tarea de OGE:
La progresión geométrica es establecida por la fórmula. b N. \u003d 3 · 2 NORTE. . Encuentra la suma del primero y el cuarto de sus miembros.
Esta vez, la progresión no es muy familiar para nosotros. En forma de alguna fórmula. ¿Y qué? Esta fórmula - también fórmulanORTE.-¡Ho miembro! Sabemos con usted que la fórmula del miembro N-TH se puede escribir tanto en la forma general, a través de las letras y para progresión específica. DE específico Primer miembro y denominador.
En nuestro caso, en realidad hicimos la fórmula de un miembro general de la progresión geométrica aquí con tales parámetros:
b. 1 = 6
P. = 2
¿Comprobar?) Escribimos la fórmula del miembro de N-TH en general y sustituyemos en él. b. 1 y p.. Obtenemos:
B N. = b. 1 · q N. -1
B N. \u003d 6 · 2 NORTE. -1
Simplificamos utilizando la descomposición de los multiplicadores y las propiedades de los grados, y obtenemos:
b N. \u003d 6 · 2 NORTE. -1 \u003d 3 · 2 · 2 NORTE. -1 \u003d 3 · 2 NORTE. -1+1 \u003d 3 · 2 NORTE.
Como puedes ver, todo es honesto. Pero nuestro objetivo con usted no es demostrar la conclusión de una fórmula específica. Esto es así, el retiro de lítras. Puramente para la comprensión.) Nuestro objetivo es resolver la tarea de la fórmula, que nos da en la condición. Captura?) Así que trabajamos con una fórmula modificada directamente.
Consideramos el primer término. Sustituir nORTE.=1 En general fórmula:
b. 1 = 3 · 2 1 \u003d 3 · 2 \u003d 6
Como esto. Por cierto, no encajo y le presta atención al regazo típico con el cálculo del primer miembro. No, mirando la fórmula. b N. \u003d 3 · 2 NORTE.¡Inmediatamente se apresura a escribir que el primer miembro es Troika! Es un grave error, sí ...)
Continuamos. Sustituir nORTE.=4 y consideramos la cuarta polla:
B. 4 = 3 · 2 4 \u003d 3 · 16 \u003d 48
Bueno, finalmente, consideramos la cantidad requerida:
B. 1 + b. 4 = 6+48 = 54
Respuesta: 54.
Más tarea.
Se pregunta la progresión geométrica:
B. 1 = -7;
B N. +1 = 3 b N.
Encuentra el cuarto plazo de progresión.
Aquí la progresión está establecida por la fórmula recurrente. Bueno esta bien.) Cómo trabajar con tal fórmula. - También lo sabemos.
Así que actúa. Pasos.
1) Consideramos dos consistente Miembro de la progresión.
El primer miembro ya está configurado. Menos siete. Pero el siguiente, el segundo miembro puede calcular fácilmente en la fórmula recurrente. Si entiendes el principio de su trabajo, por supuesto.)
Aquí consideramos el segundo miembro. según el famoso primero:
B. 2 = 3 b. 1 \u003d 3 · (-7) \u003d -21
2) Consideramos el denominador de progresión.
Tampoco hay problemas. RECTO, DELIM. segundo Miembro de primero.
Obtenemos:
P. = -21/(-7) = 3
3) escribir fórmulanORTE.-El miembro de la forma habitual y considere el miembro deseado.
Entonces, el primer miembro, sabe, denominador, también. Aquí escribimos:
B N. \u003d -7 · 3 NORTE. -1
B. 4 \u003d -7 · 3 3 = -7 · 27 \u003d -189
Respuesta: -189
Como puede ver, trabajar con tales fórmulas para la progresión geométrica no es otra esencia de la progresión de la aritmética. Es importante entender la esencia general y el significado de estas fórmulas. Bueno, el significado de la progresión geométrica también debe entenderse, sí.) Y luego no habrá errores estúpidos.
Bueno, ¿joder a ti mismo?)
Tareas primarias completas, para el calentamiento:
1. Dana progresión geométrica en la que b. 1 \u003d 243, y p. \u003d -2/3. Encuentra el sexto miembro de la progresión.
2. El miembro general de la progresión geométrica está establecida por la fórmula. b N. = 5∙2 NORTE. +1 . Encuentre el número del último miembro de tres dígitos de esta progresión.
3. La progresión geométrica está establecida por los Términos:
B. 1 = -3;
B N. +1 = 6 b N.
Encuentra el quinto miembro de la progresión.
Un poco más complicado:
4. Progresión geométrica de Dana:
B. 1 =2048; p. =-0,5
¿Cuál es el sexto miembro negativo?
¿Qué parece superer? Para nada. Guarda la lógica y la comprensión del significado de la progresión geométrica. Bueno, la fórmula del miembro n-th, por supuesto.
5. El tercer miembro de la progresión geométrica es -14, y el octavo miembro es 112. Encuentra el denominador de la progresión.
6. La suma del primer y segundo miembro de la progresión geométrica es de 75, y la suma del segundo y tercer miembros es 150. Encuentre el sexto miembro de la progresión.
Respuestas (en desorden): 6; -3888; -uno; 800; -32; 448.
Eso es casi todo. Sólo sigue siendo aprender a considerarnos. la suma de los primeros miembros de la progresión geométrica. Si descubrir progresión geométrica infinitamente decreciente y su suma. Muy interesante e inusual, por cierto! Al respecto, en las siguientes lecciones.)
Matemáticas es que, por lo quelas personas controlan la naturaleza y por sí mismas.
Matemático soviético, académico A.n. Kolmogorov
Progresión geométrica.
Junto con las tareas de progresión aritmética, los problemas asociados con el concepto de progresión geométrica son comunes en las pruebas de entrada en matemáticas. Para resolver con éxito dichas tareas, es necesario conocer las propiedades de la progresión geométrica y tener buenas habilidades de uso.
Este artículo está dedicado a la presentación de las principales propiedades de la progresión geométrica. Aquí hay ejemplos de soluciones de tareas típicas., Tomado prestado de las tareas de las pruebas de ingreso en matemáticas.
Previamente tenga en cuenta las propiedades básicas de la progresión geométrica y recuerde las fórmulas y aprobación más importantes, asociado con este concepto.
Definición. La secuencia numérica se denomina progreso geométrico si cada uno de sus números comenzó desde el segundo igual al anterior multiplicado por el mismo número. El número se llama denominador de progresión geométrica.
Para la progresión geométricalas fórmulas son válidas
, (1)
dónde. La fórmula (1) se llama la fórmula de un miembro general de la progresión geométrica, y la fórmula (2) es la propiedad principal de la progresión geométrica: cada miembro de la progresión coincide con la geométrica promedio de sus miembros vecinos y.
Nota Qué exactamente debido a esta propiedad, la progresión en consideración se llama "geométrica".
Las fórmulas anteriores (1) y (2) se generalizan de la siguiente manera:
, (3)
Para calcular la suma Primero Miembros de progresión geométrica Se aplica la fórmula.
Si designa, entonces
dónde. Dado que, la fórmula (6) es una generalización de la fórmula (5).
En el caso cuando y progresión geométrica está infinitamente decreciente. Para calcular la sumatodos los miembros de la progresión geométrica infinitamente decreciente se usa fórmula
. (7)
Por ejemplo , Con la ayuda de la fórmula (7) puede mostrar, qué
dónde. Estas igualdades se obtienen de fórmula (7), siempre que, (primera igualdad) y, (segunda igualdad).
Teorema. Si, entonces
Evidencia. Si, entonces
El teorema está probado.
Recurramos a la consideración de ejemplos de resolver problemas sobre el tema "Progresión geométrica".
Ejemplo 1. Dano:, y. Encontrar .
Decisión. Si aplica la fórmula (5), entonces
Respuesta:.
Ejemplo 2.Deja que sea. Encontrar .
Decisión. Como, usamos las fórmulas (5), (6) y obtenemos el sistema de ecuaciones.
Si la segunda ecuación del sistema (9) se divide en la primera, entonces o. De ahí el I. . Considere dos casos.
1. Si, Luego, desde la primera ecuación del sistema (9) tenemos.
2. Si, entonces.
Ejemplo 3.Dejar, y. Encontrar .
Decisión. De la fórmula (2) se deduce que o. Desde entonces o.
Por condición. Sin embargo, por lo tanto. Desde Luego aquí tiene un sistema de ecuaciones.
Si la segunda ecuación del sistema se divide en la primera, entonces o.
Dado que, la ecuación tiene la única raíz adecuada. En este caso, desde la primera ecuación del sistema fluye.
Teniendo en cuenta la fórmula (7), obtenemos.
Respuesta:.
Ejemplo 4.Danar: y. Encontrar .
Decisión. Desde entonces.
Desde entonces o
Según la fórmula (2) tenemos. En este sentido, desde la igualdad (10) obtenemos o.
Sin embargo, por condición, por lo tanto.
Ejemplo 5. Se sabe que . Encontrar .
Decisión. Según el teorema tenemos dos igualdades.
Desde entonces o. Desde entonces.
Respuesta:.
Ejemplo 6. Danar: y. Encontrar .
Decisión. Teniendo en cuenta la fórmula (5), obtenemos
Desde entonces. Desde entonces y, entonces.
Ejemplo 7. Deja que sea. Encontrar .
Decisión. Según la fórmula (1) puede grabar
Por lo tanto, tenemos o. Se sabe que por lo tanto.
Respuesta:.
Ejemplo 8. Encuentre un denominador de la progresión geométrica disminuyenda infinita si
y.
Decisión. De la fórmula (7) sigue y . Desde aquí y desde los términos de la tarea obtenemos un sistema de ecuaciones.
Si la primera ecuación del sistema es construir un cuadrado., y luego la ecuación obtenida se divide en la segunda ecuación, Yo obtengo
O .
Respuesta:.
Ejemplo 9. Encuentra todos los valores en los que la secuencia es el progreso geométrico.
Decisión. Dejar, y. Según la fórmula (2), que establece la propiedad básica de la progresión geométrica, se puede registrar o.
Desde aquí tenemos una ecuación cuadrada., Las raíces de las cuales son y.
Realizar cheque: si, luego; Si, entonces, y.
En el primer caso tenemos Y, y en el segundo, y.
Respuesta: ,.
Ejemplo 10.Resolver la ecuación
, (11)
dónde y.
Decisión. La parte izquierda de la ecuación (11) es la suma de la progresión geométrica disminuyenda infinita, en la que, proporcionado: y.
De la fórmula (7) sigue, qué . En este sentido, la ecuación (11) toma o . Raíz adecuada la ecuación cuadrada es
Respuesta:.
Ejemplo 11.PAG tratado de números positivos. Forma progresión aritmética, pero - Progresión geométrica, ¿qué tiene que ver con eso? Encontrar .
Decisión.Como secuencia aritméticaT. (La propiedad principal de la progresión aritmética). En la medida en, entonces o. Esto implica , Esa progresión geométrica tiene el formulario.. Según la fórmula (2), luego escribe eso.
Como están las cosas . En este caso, la expresión. toma una vista o Por condición, Por lo tanto, de la ecuación Obtenemos la única solución al problema en consideración.. .
Respuesta:.
Ejemplo 12.Calcular la suma
. (12)
Decisión. Multiplique en 5 ambas partes de la igualdad (12) y obtén
Si está sometido de la expresión resultante (12)T.
o .
Para el cálculo, sustituimos en la fórmula (7) de los valores, y obtenemos. Desde entonces.
Respuesta:.
Los ejemplos de soluciones de resolución que se dan aquí serán útiles para los solicitantes al prepararse para las pruebas de introducción. Para un estudio más profundo de los métodos de resolución de problemas., asociado con el progreso geométrico, Puede usar libros de texto de la lista de literatura recomendada.
1. Recopilación de problemas en matemáticas para la entrada en el suelo / ed. MI. Schanavi. - M.: Mundo y Educación, 2013. - 608 p.
2. Suprun v.p. Matemáticas para estudiantes de secundaria: secciones adicionales del programa escolar. - M.: Lenand / Urss, 2014. - 216 p.
3. Médico M.M. Curso completo de matemáticas elementales en tareas y ejercicios. Libro 2: Secuencias numéricas y progresión. - M.: Oditus, 2015. - 208 p.
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Progresión aritmética y geométrica.
Información teórica
Información teórica
Progresión aritmética |
Progresión geométrica |
|
Definición |
Progresión aritmética uN. La secuencia se llama, cada miembro del cual, a partir de la segunda, es igual al miembro anterior, plegado con el mismo número d. (d. - Diferencia de progresión) |
Progresión geométrica b N. Se llama a la secuencia de números no cero, cada miembro del cual, a partir del segundo, es el miembro anterior, multiplicado por el mismo número p. (p. - denominador de progresión) |
Fórmula recurrente |
Para cualquier natural nORTE. |
Para cualquier natural nORTE. |
No hay fórmula |
a n \u003d A 1 + D (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Propiedad característica |  |
|
| N-primos miembros |  |
 |
Ejemplos de tareas con comentarios.
Ejercicio 1
En progresión aritmética ( uN.) un 1. = -6, un 2.
Según la fórmula del no miembro:
un 22. = un 1. + d (22 - 1) \u003d un 1. + 21 D.
Por condición:
un 1. \u003d -6, entonces un 22. \u003d -6 + 21 d.
Es necesario encontrar la diferencia en la progresión:
d \u003d a 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2
un 22. = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Respuesta: un 22. = -48.
Tarea 2.
Encuentre el quinto miembro de la progresión geométrica: -3; 6; ....
1er método (usando la fórmula N)
De acuerdo con la fórmula del no miembro de la progresión geométrica:
b 5 \u003d B 1 ∙ Q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Como b 1. = -3,
2do método (usando una fórmula recurrente)
Dado que el denominador de progresión es -2 (Q \u003d -2), luego:
b 3. = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4. = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5. = 24 ∙ (-2) = -48.
Respuesta: b 5. = -48.
Tarea 3.
En progresión aritmética ( a n) un 74 = 34; un 76. \u003d 156. Encuentre un setenta y quinto miembro de esta progresión.
Para la progresión aritmética, la propiedad característica tiene el formulario. 
.
Por lo tanto:
.
Sustituir datos en la fórmula:
Respuesta: 95.
Tarea 4.
En progresión aritmética ( a n) a n \u003d 3N - 4. Encuentra la suma de diecisiete primeros miembros.
Para encontrar la suma de los primeros miembros de la progresión aritmética, se utilizan dos fórmulas:
.
¿Qué pasa con ellos son más convenientes para aplicar?
Bajo la condición se conoce por la fórmula del miembro N-OMS de la progresión inicial ( uN.) uN. \u003d 3N - 4 se puede encontrar inmediatamente y un 1., I. un 16. sin encontrar d. Por lo tanto, usamos la primera fórmula.
Respuesta: 368.
Tarea 5.
En progresión aritmética ( uN.) un 1. = -6; un 2. \u003d -8. Encuentra un vigésimo segundo miembro de progresión.
Según la fórmula del no miembro:
un 22 \u003d A 1 + D (22 – 1) = un 1. + 21d.
Bajo la condición si un 1. \u003d -6 entonces un 22. \u003d -6 + 21d. Es necesario encontrar la diferencia en la progresión:
d \u003d. a 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2
un 22. = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Respuesta: un 22. = -48.
Tarea 6.
Se registran varios miembros consecutivos de la progresión geométrica:
Encuentre un miembro de la progresión indicado por la letra X.
Al resolver, usamos la fórmula del miembro N-TH b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 Para las progresiones geométricas. El primer miembro de la progresión. Para encontrar un denominador de la progresión de Q, debe tomar cualquiera de los datos de la progresión de la progresión y dividirlo en el anterior. En nuestro ejemplo, puedes tomar y dividir. Obtenemos que q \u003d 3. En lugar de n en la fórmula, sustituimos 3, ya que es necesario encontrar un tercer término dado por la progresión geométrica.
Sustitando los valores encontrados en la fórmula, obtenemos:
.
Respuesta:.
Tarea 7.
Desde el progreso aritmético dado a la fórmula del miembro N-TH, seleccione el que se realiza la condición un 27. > 9:
Dado que la condición especificada debe realizarse para el 27º Miembro de la progresión, sustituiremos 27 en lugar de n en cada una de las cuatro progresiones. En la cuarta progresión que recibimos:
.
Respuesta: 4.
Tarea 8.
En progresión aritmética un 1. \u003d 3, d \u003d -1.5. Especifique el valor más alto de N para la cual se realiza la desigualdad uN. > -6.
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