En geometría, a menudo se considera el concepto de “vértice de un triángulo”. Este es el punto de intersección de dos lados de una figura dada. Este concepto aparece en casi todos los problemas, por lo que tiene sentido considerarlo con más detalle.

Determinando el vértice de un triángulo

En un triángulo hay tres puntos donde los lados se cruzan formando tres ángulos. Se llaman vértices y los lados sobre los que descansan se llaman lados del triángulo.

Arroz. 1. Vértice de un triángulo.

Los vértices de los triángulos se indican con letras mayúsculas. Por lo tanto, la mayoría de las veces en matemáticas, los lados se indican con dos letras latinas mayúsculas, después de los nombres de los vértices que entran en los lados. Por ejemplo, el lado AB es el lado de un triángulo que conecta los vértices A y B.

Arroz. 2. Designación de vértices en un triángulo.

Características del concepto

Si tomamos un triángulo orientado arbitrariamente en un plano, entonces en la práctica es muy conveniente expresar sus características geométricas a través de las coordenadas de los vértices de esta figura. Por tanto, el vértice A de un triángulo se puede expresar como un punto con ciertos parámetros numéricos A(x; y).

Conociendo las coordenadas de los vértices del triángulo, puedes encontrar los puntos de intersección de las medianas, la longitud de la altura bajada a uno de los lados de la figura y el área del triángulo.

Para ello se utilizan las propiedades de los vectores representados en el sistema de coordenadas cartesiano, porque la longitud del lado de un triángulo se determina a través de la longitud del vector con los puntos en los que se ubican los vértices correspondientes de esta figura.

Usando el vértice de un triángulo

Para cualquier vértice de un triángulo, se puede encontrar un ángulo que será adyacente al ángulo interno de la figura en cuestión. Para ello, tendrás que extender uno de los lados del triángulo. Como hay dos lados en cada vértice, hay dos ángulos externos en cada vértice. Un ángulo exterior es igual a la suma de dos ángulos interiores de un triángulo que no son adyacentes a él.

Arroz. 3. Propiedad del ángulo externo de un triángulo.

Si construyes dos ángulos externos en un vértice, serán iguales, como los verticales.

¿Qué hemos aprendido?

Uno de los conceptos geométricos importantes al observar diferentes tipos de triángulos es el vértice. Este es el punto donde se cruzan los dos lados del ángulo de una figura geométrica determinada. Se indica con una de las letras mayúsculas del alfabeto latino. El vértice de un triángulo se puede expresar en términos de coordenadas xey, esto ayuda a definir la longitud del lado del triángulo como la longitud de un vector.

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¿Cómo aprender a resolver problemas de geometría analítica?
Problema típico con un triángulo en un plano.

Esta lección está creada sobre el acercamiento al ecuador entre la geometría del plano y la geometría del espacio. Actualmente surge la necesidad de sistematizar la información acumulada y responder a una pregunta muy importante: ¿Cómo aprender a resolver problemas de geometría analítica? La dificultad es que puedes plantear un número infinito de problemas de geometría, y ningún libro de texto contendrá toda la multitud y variedad de ejemplos. No es derivada de una función con cinco reglas de diferenciación, una tabla y varias técnicas….

¡Hay una solucion! No hablaré en voz alta sobre el hecho de que he desarrollado algún tipo de técnica grandiosa, sin embargo, en mi opinión, existe un enfoque eficaz para el problema en cuestión, que permite que incluso un muñeco completo logre buenos y excelentes resultados. Al menos, el algoritmo general para resolver problemas geométricos tomó forma muy claramente en mi cabeza.

LO QUE NECESITAS SABER Y PODER HACER
para resolver exitosamente problemas de geometría?

No hay escapatoria para esto: para no tocar los botones al azar con la nariz, es necesario dominar los conceptos básicos de la geometría analítica. Por lo tanto, si acabas de empezar a estudiar geometría o la has olvidado por completo, comienza con la lección. Vectores para tontos. Además de los vectores y las acciones con ellos, es necesario conocer los conceptos básicos de la geometría plana, en particular, ecuación de una recta en un plano Y . La geometría del espacio se presenta en artículos. Ecuación plana, Ecuaciones de una recta en el espacio, Problemas básicos sobre recta y plano y algunas lecciones más. Las líneas curvas y las superficies espaciales de segundo orden se distinguen un poco y no plantean tantos problemas específicos.

Supongamos que el estudiante ya tiene conocimientos y habilidades básicos para resolver los problemas más simples de geometría analítica. Pero sucede así: lees el enunciado del problema y... quieres cerrar todo del todo, tirarlo a un rincón y olvidarlo, como si fuera un mal sueño. Además, esto no depende fundamentalmente del nivel de sus calificaciones; de vez en cuando, yo mismo me encuentro con tareas cuya solución no es obvia. ¿Qué hacer en tales casos? ¡No hay por qué tener miedo de una tarea que no comprendes!

En primer lugar, debe instalarse - ¿Es este un problema “plano” o espacial? Por ejemplo, si la condición incluye vectores con dos coordenadas, entonces, por supuesto, esta es la geometría de un plano. Y si el maestro cargó al oyente agradecido con una pirámide, entonces claramente existe la geometría del espacio. Los resultados del primer paso ya son bastante buenos, porque logramos eliminar una gran cantidad de información innecesaria para esta tarea.

Segundo. La condición generalmente le concierne a alguna figura geométrica. De hecho, camine por los pasillos de su universidad natal y verá muchas caras preocupadas.

En los problemas “planos”, sin mencionar los puntos y líneas obvios, la figura más popular es un triángulo. Lo analizaremos con gran detalle. Luego viene el paralelogramo, y mucho menos comunes son el rectángulo, el cuadrado, el rombo, el círculo y otras formas.

En problemas espaciales, pueden volar las mismas figuras planas + los propios planos y pirámides triangulares comunes con paralelepípedos.

Pregunta dos - ¿Sabes todo sobre esta figura? Supongamos que la condición habla de un triángulo isósceles y recuerdas muy vagamente qué tipo de triángulo es. Abrimos un libro de texto escolar y leemos sobre un triángulo isósceles. Qué hacer... el doctor dijo rombo, eso significa rombo. La geometría analítica es geometría analítica, pero el problema se resolverá mediante las propiedades geométricas de las propias figuras., conocido por el plan de estudios de la escuela. Si no sabes cuál es la suma de los ángulos de un triángulo, puedes sufrir durante mucho tiempo.

Tercero. SIEMPRE intenta seguir el dibujo.(en un borrador/copia final/mentalmente), incluso si la condición no lo exige. En los problemas "planos", el propio Euclides ordenó tomar una regla y un lápiz, y no solo para comprender la condición, sino también para realizar una autoevaluación. En este caso, la escala más conveniente es 1 unidad = 1 cm (2 celdas de cuaderno). No hablemos de estudiantes y matemáticos descuidados que se dan vueltas en sus tumbas; es casi imposible cometer un error en tales problemas. Para tareas espaciales, realizamos un dibujo esquemático, que también ayudará a analizar la condición.

Un dibujo o un dibujo esquemático a menudo permite ver inmediatamente la forma de resolver un problema. Por supuesto, para ello es necesario conocer los fundamentos de la geometría y comprender las propiedades de las formas geométricas (ver el párrafo anterior).

Cuatro. Desarrollo de un algoritmo de solución.. Muchos problemas de geometría son de varios pasos, por lo que es muy conveniente dividir la solución y su diseño en puntos. A menudo, el algoritmo viene a la mente inmediatamente después de leer la condición o completar el dibujo. En caso de dificultades, comenzamos con la PREGUNTA de la tarea.. Por ejemplo, según la condición "necesitas construir una línea recta...". Aquí la pregunta más lógica es: “¿Qué es suficiente saber para construir esta línea recta?” Supongamos que "conocemos el punto, necesitamos conocer el vector de dirección". Nos hacemos la siguiente pregunta: “¿Cómo encontrar este vector dirección? ¿Dónde?" etc.

A veces hay un "error": el problema no se resuelve y eso es todo. Los motivos de la parada pueden ser los siguientes:

– Grave laguna en los conocimientos básicos. En otras palabras, no sabes y/o no ves algo muy simple.

– Desconocimiento de las propiedades de las figuras geométricas.

– La tarea fue difícil. Sí, sucede. De nada sirve vaporizar durante horas y recoger lágrimas en un pañuelo. Pide consejo a tu profesor, a tus compañeros de estudios o haz una pregunta en el foro. Además, es mejor concretar su afirmación sobre esa parte de la solución que no comprende. Un grito en forma de “¿Cómo solucionar el problema?” no tiene muy buena pinta... y, sobre todo, por tu propia reputación.

Etapa cinco. Decidimos-comprobamos, decidimos-comprobamos, decidimos-comprobamos-damos una respuesta. Es beneficioso comprobar cada punto de la tarea. inmediatamente después de que se complete. Esto le ayudará a detectar el error inmediatamente. Naturalmente, nadie prohíbe resolver rápidamente todo el problema, pero existe el riesgo de reescribir todo nuevamente (a menudo, varias páginas).

Estas son quizás todas las consideraciones principales que se deben seguir al resolver problemas.

La parte práctica de la lección se presenta en geometría plana. Sólo habrá dos ejemplos, pero no parecerán suficientes =)

Repasemos el hilo del algoritmo que acabo de ver en mi pequeño trabajo científico:

Ejemplo 1

Se dan tres vértices de un paralelogramo. Encuentra la cima.

Empecemos a entender:

Paso uno: Es obvio que estamos hablando de un problema “plano”.

Segundo paso: El problema trata con un paralelogramo. ¿Todos recuerdan esta figura del paralelogramo? No hay necesidad de sonreír, muchas personas reciben su educación a los 30-40-50 años o más, por lo que incluso los hechos más simples pueden borrarse de la memoria. La definición de paralelogramo se encuentra en el Ejemplo No. 3 de la lección. Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores.

Paso tres: Hagamos un dibujo en el que marcamos tres vértices conocidos. Es curioso que no sea difícil construir inmediatamente el punto deseado:

Construirlo es, por supuesto, bueno, pero la solución debe formularse analíticamente.

Paso cuatro: Desarrollo de un algoritmo de solución. Lo primero que me viene a la mente es que un punto se puede encontrar como la intersección de líneas. No conocemos sus ecuaciones, por lo que tendremos que abordar este tema:

1) Los lados opuestos son paralelos. Por puntos Encontremos el vector dirección de estos lados. Este es el problema más simple que se discutió en clase. Vectores para tontos.

Nota: es más correcto decir "la ecuación de una recta que contiene un lado", pero aquí y en adelante por brevedad usaré las frases "ecuación de un lado", "vector director de un lado", etc.

3) Los lados opuestos son paralelos. Usando los puntos, encontramos el vector director de estos lados.

4) Creemos una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director.

En los párrafos 1-2 y 3-4, en realidad resolvimos el mismo problema dos veces, por cierto, se discutió en el ejemplo número 3 de la lección. Los problemas más simples con una línea recta en un avión.. Fue posible tomar una ruta más larga: primero encontrar las ecuaciones de las líneas y solo luego "sacar" de ellas los vectores de dirección.

5) Ahora se conocen las ecuaciones de las rectas. Solo queda componer y resolver el correspondiente sistema de ecuaciones lineales (ver ejemplos No. 4, 5 de la misma lección Los problemas más simples con una línea recta en un avión.).

Se ha encontrado el punto.

La tarea es bastante sencilla y su solución obvia, ¡pero hay un camino más corto!

Segunda solución:

Las diagonales de un paralelogramo son bisecadas por su punto de intersección. Marqué el punto, pero para no saturar el dibujo, no dibujé las diagonales.

Creemos una ecuación para el lado punto por punto:

Para comprobarlo, debes sustituir mentalmente o en un borrador las coordenadas de cada punto en la ecuación resultante. Ahora encontremos la pendiente. Para hacer esto, reescribimos la ecuación general en forma de ecuación con un coeficiente de pendiente:

Por tanto, la pendiente es:

De manera similar, encontramos las ecuaciones de los lados. No veo mucho sentido en describir lo mismo, así que daré inmediatamente el resultado final:

2) Encuentra la longitud del lado. Este es el problema más simple cubierto en clase. Vectores para tontos. Por puntos utilizamos la fórmula:

Usando la misma fórmula es fácil encontrar las longitudes de otros lados. La comprobación se puede realizar muy rápidamente con una regla normal.

Usamos la fórmula .

Encontremos los vectores:

De este modo:

Por cierto, en el camino encontramos las longitudes de los lados.

Como resultado:

Bueno, parece ser cierto; para que resulte convincente, puedes colocar un transportador en la esquina.

¡Atención! No confundas el ángulo de un triángulo con el ángulo entre rectas. El ángulo de un triángulo puede ser obtuso, pero el ángulo entre rectas no (ver el último párrafo del artículo Los problemas más simples con una línea recta en un avión.). Sin embargo, para encontrar el ángulo de un triángulo, también puedes usar las fórmulas de la lección anterior, pero la aspereza es que esas fórmulas siempre dan un ángulo agudo. Con su ayuda, resolví este problema en borrador y obtuve el resultado. Y en la copia final tendría que escribir excusas adicionales, eso...

4) Escribe una ecuación para una recta que pasa por un punto paralelo a la recta.

Tarea estándar, analizada en detalle en el ejemplo No. 2 de la lección. Los problemas más simples con una línea recta en un avión.. De la ecuación general de la recta Saquemos el vector guía. Creemos una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director:

¿Cómo encontrar la altura de un triángulo?

5) Creemos una ecuación para la altura y encontremos su longitud.

No hay forma de escapar de las definiciones estrictas, por lo que tendrás que robar de un libro de texto escolar:

Altura del triángulo Se llama perpendicular trazada desde el vértice del triángulo hasta la recta que contiene el lado opuesto.

Es decir, es necesario crear una ecuación para una perpendicular trazada desde el vértice hacia el lado. Esta tarea se analiza en los ejemplos No. 6, 7 de la lección. Los problemas más simples con una línea recta en un avión.. De la ecuación. eliminar el vector normal. Compongamos la ecuación de altura usando un punto y un vector de dirección:

Tenga en cuenta que no conocemos las coordenadas del punto.

A veces, la ecuación de la altura se encuentra a partir de la relación de los coeficientes angulares de las líneas perpendiculares: . En este caso, entonces: . Compongamos la ecuación de altura usando un punto y un coeficiente angular (ver el comienzo de la lección Ecuación de una línea recta en un plano.):

La longitud de la altura se puede encontrar de dos maneras.

Hay un camino indirecto:

a) encontrar – el punto de intersección de la altura y el lado;
b) encuentre la longitud del segmento usando dos puntos conocidos.

pero en clase Los problemas más simples con una línea recta en un avión. Se consideró una fórmula conveniente para la distancia de un punto a una línea. Se conoce el punto: , también se conoce la ecuación de la recta: , De este modo:

6) Calcula el área del triángulo. En el espacio, el área de un triángulo se calcula tradicionalmente utilizando producto vectorial de vectores, pero aquí se nos da un triángulo en un plano. Usamos la fórmula escolar:
– El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura.

En este caso:

¿Cómo encontrar la mediana de un triángulo?

7) Creemos una ecuación para la mediana.

mediana de un triangulo llamado segmento que conecta el vértice de un triángulo con la mitad del lado opuesto.

a) Encuentra el punto: la mitad del lado. Usamos Fórmulas para las coordenadas del punto medio de un segmento.. Se conocen las coordenadas de los extremos del segmento: , entonces las coordenadas del medio:

De este modo:

Compongamos la ecuación mediana punto por punto. :

Para verificar la ecuación, debes sustituir las coordenadas de los puntos en ella.

8) Encuentra el punto de intersección de la altura y la mediana. Creo que todo el mundo ya ha aprendido a realizar este elemento del patinaje artístico sin caerse:

CapítuloV. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL AVIÓN

Y EN EL ESPACIO

La sección incluye tareas que se analizan en el tema "Geometría analítica en el plano y en el espacio": elaboración de varias ecuaciones de líneas rectas en el plano y en el espacio; determinar la posición relativa de líneas en un plano, líneas rectas, una línea recta y un plano, planos en el espacio; Imagen de curvas de segundo orden. Cabe señalar que en este apartado se presentan problemas de contenido económico, cuya solución utiliza información de la geometría analítica en un plano.

A la hora de resolver problemas de geometría analítica, es recomendable utilizar libros de texto de los siguientes autores: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremer, D.T. Escrito por V. I. Malykhina, porque Esta literatura cubre una gama más amplia de tareas que pueden utilizarse para el autoestudio sobre este tema. La aplicación de la geometría analítica a la resolución de problemas económicos se presenta en publicaciones educativas de M.S. Krass y V.I. Ermakova.

Problema 5.1. Dadas las coordenadas de los vértices del triángulo.A B C . Necesario

a) escribe las ecuaciones de los lados del triángulo;

b) escribe la ecuación de la altura de un triángulo dibujado desde el vérticeCON por el ladoAB y encuentra su longitud;

c) escribe la ecuación de la mediana de un triángulo dibujado desde el vérticeEN por el ladoC.A. ;

d) encontrar los ángulos del triángulo y establecer su tipo (rectangular, agudo, obtuso);

e) encontrar las longitudes de los lados del triángulo y determinar su tipo (escaleno, isósceles, equilátero);

e) encontrar las coordenadas del centro de gravedad (el punto de intersección de las medianas) del triánguloA B C ;

g) encontrar las coordenadas del ortocentro (el punto de intersección de altitudes) del triánguloA B C .

Para cada uno de los puntos a) – c) de la solución, haga dibujos en un sistema de coordenadas. En los dibujos marca las líneas y puntos correspondientes a los puntos de la tarea.

Ejemplo 5.1

Dadas las coordenadas de los vértices del triángulo.A B C : . Es necesario a) escribir las ecuaciones de los lados del triángulo; b) escribe la ecuación de la altura de un triángulo dibujado desde el vértice CON por el ladoAB y encuentra su longitud; c) escribe la ecuación de la mediana de un triángulo dibujado desde el vérticeEN por el ladoC.A. ; d) encontrar las longitudes de los lados del triángulo y determinar su tipo (escaleno, isósceles, equilátero); e) encontrar los ángulos del triángulo y establecer su tipo (rectangular, agudo, obtuso); e) encontrar las coordenadas del centro de gravedad (el punto de intersección de las medianas) del triángulo A B C ; g) encontrar las coordenadas del ortocentro (el punto de intersección de altitudes) del triánguloA B C .

Solución

A) Para cada lado del triángulo, se conocen las coordenadas de dos puntos que se encuentran en las rectas requeridas, lo que significa que las ecuaciones de los lados del triángulo son las ecuaciones de las rectas que pasan por dos puntos dados.

,

Dónde
Y
las coordenadas correspondientes de los puntos.

Así, sustituyendo en la fórmula (5.1) las coordenadas de los puntos correspondientes a las rectas, obtenemos

,
,
,

desde donde, después de las transformaciones, escribimos las ecuaciones de los lados

En la Fig. 7 representamos los lados correspondientes del triángulo.
derecho.

Respuesta:

b) Dejar
– altura extraída desde el vértice por el lado
. Porque el
pasa por un punto perpendicular al vector
, luego componeremos la ecuación de la recta usando la siguiente fórmula

Dónde
– coordenadas del vector perpendicular a la línea deseada,
– coordenadas de un punto perteneciente a esta línea. Encuentra las coordenadas del vector perpendicular a la recta.
y sustituir en la fórmula (5.2)

,
,

.

Encuentra la longitud de la altura. CH como distancia desde el punto a una línea recta

,

Dónde
– ecuación de una línea recta
,
– coordenadas de puntos .

En el párrafo anterior se encontró

Sustituyendo los datos en la fórmula (5.3), obtenemos

,

En la Fig. 8 dibuja un triángulo y la altura encontrada CH.

Respuesta: .

R es. 8

V) mediana
triángulo
divide el lado
en dos partes iguales, es decir punto es el punto medio del segmento
. En base a esto, puedes encontrar las coordenadas.
puntos

, ,

Dónde
Y
Y , sustituyendo lo cual en las fórmulas (5.4), obtenemos

;
.

Ecuación mediana
triángulo
Escribámoslo como una ecuación de una recta que pasa por los puntos
Y
según la fórmula (5.1)

,

.

Respuesta:(Figura 9).

R es. 9

GRAMO) Encontramos las longitudes de los lados del triángulo como las longitudes de los vectores correspondientes, es decir

,
,
.

Fiestas
Y
triángulo
son iguales, lo que significa que el triángulo es isósceles con la base
.

Respuesta: triángulo
isósceles con base
;

,
.

d)Ángulos de un triángulo
Encontremos los ángulos entre los vectores que emanan de los vértices correspondientes de un triángulo dado, es decir

,
,
.

Como el triangulo es isósceles con base
, Eso

,

Calculamos los ángulos entre los vectores usando la fórmula (4.4), que requiere productos escalares de vectores.
,
.

Encontremos las coordenadas y magnitudes de los vectores necesarios para calcular los ángulos.

,
;

,
,
.

Sustituyendo los datos encontrados en la fórmula (4.4), obtenemos

,

Como los cosenos de todos los ángulos encontrados son positivos, entonces el triángulo
es de ángulo agudo.

Respuesta: triángulo
de ángulo agudo;

,
,
.

mi) Dejar

, entonces las coordenadas
puntos
se puede encontrar usando las fórmulas (5.5)

, ,

Dónde
,
Y
– coordenadas de los puntos respectivamente , Y , por eso,

,
.

Respuesta:
– centro de gravedad del triángulo
.

y) Dejar – ortocentro del triángulo
. Encuentra las coordenadas del punto. como las coordenadas del punto de intersección de las altitudes del triángulo. Ecuación de altura
fue encontrado en b). Encontremos la ecuación de la altura.
:

,
,

.

Porque el
, entonces la solución del sistema

son las coordenadas del punto , donde encontramos
.

Respuesta:
– ortocentro del triángulo
.

Problema 5.2. Los costos fijos en una empresa al producir algunos productos sonF V 0 frotar. por unidad de producción, con ingresos que ascienden aR 0 frotar. por unidad de producto fabricado. Crear una función de beneficioPAG (q ) (q

Datos para la condición del problema correspondiente a las opciones:

Ejemplo 5.2

Los costos fijos en una empresa al producir algunos productos son
frotar. por mes, costos variables –
frotar. por unidad de producción, con ingresos que ascienden a
frotar. por unidad de producto fabricado. Crear una función de beneficioPAG (q ) (q – cantidad de productos producidos); construya su gráfica y determine el punto de equilibrio.

Solución

Calculemos los costos totales de producción al momento del lanzamiento. q unidades de algunos productos

si se vende q unidades de producción, entonces el ingreso total será

Con base en las funciones obtenidas de ingresos totales y costos totales, encontramos la función de beneficio.

,

.

Punto de equilibrio: el punto en el que la ganancia es cero o el punto en el que los costos totales son iguales a los ingresos totales.

,

,

¿De dónde lo encontramos?

- punto de equilibrio.

Para trazar una gráfica (Fig.10) de la función de beneficio, encontraremos un punto más.

Respuesta: función de beneficio
, punto de equilibrio
.

Problema 5.3. Las leyes de la oferta y la demanda de un determinado producto están determinadas respectivamente por las ecuacionespag = pag D (q ), pag = pag S (q ), Dóndepag – precio del producto,q - Cantidad de bienes. Se supone que la demanda está determinada únicamente por el precio del producto en el mercado.pag CON , y la oferta es solo por preciopag S recibidos por los proveedores. Necesario

a) determinar el punto de equilibrio del mercado;

b) el punto de equilibrio después de la introducción de un impuesto igual at . Determinar el aumento del precio y la disminución del volumen de ventas de equilibrio;

c) encontrar un subsidios , lo que supondrá un aumento de las ventas enq 0 unidades con respecto al original (definido en el párrafo a));

d) encontrar un nuevo punto de equilibrio y de ingreso del gobierno al introducir un impuesto proporcional al precio e igualnorte %;

e) determinar cuánto dinero gastará el gobierno en comprar el excedente al fijar un precio mínimo igual a pag 0 .

Para cada punto de solución, haz un dibujo en el sistema de coordenadas. En la figura, marque las líneas y puntos correspondientes al punto de la tarea.

Datos para la condición del problema correspondiente a las opciones: