Logaritmo: propiedades, fórmulas, gráfica. Logaritmos complejos Logaritmo natural de un número complejo

logaritmo real

Logaritmo de un registro de números reales a b tiene sentido con style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Los tipos de logaritmos más utilizados son:

Si consideramos el número logarítmico como una variable, obtenemos función logarítmica, Por ejemplo: . Esta función se define en el lado derecho de la recta numérica: X> 0, es continuo y diferenciable allí (ver Fig. 1).

Propiedades

Logaritmos naturales

Cuando la igualdad es verdadera

(1)

En particular,

Esta serie converge más rápido y, además, el lado izquierdo de la fórmula ahora puede expresar el logaritmo de cualquier número positivo.

Relación con el logaritmo decimal: .

Logaritmos decimales

Arroz. 2. Escala logarítmica

Logaritmos en base 10 (símbolo: lg a) antes de la invención de las calculadoras, se utilizaban ampliamente para los cálculos. La escala desigual de los logaritmos decimales también suele estar marcada en reglas de cálculo. Una escala similar se usa ampliamente en varios campos de la ciencia, por ejemplo:

• Química: actividad de los iones de hidrógeno ().
• Teoría musical: una escala de notas, en relación con las frecuencias de las notas musicales.

La escala logarítmica también se usa ampliamente para identificar el exponente en relaciones de poder y el coeficiente en el exponente. En este caso, un gráfico construido en escala logarítmica a lo largo de uno o dos ejes toma la forma de una línea recta, que es más fácil de estudiar.

logaritmo complejo

Función multivalor

superficie de riemann

Una función logarítmica compleja es un ejemplo de superficie de Riemann; su parte imaginaria (Fig. 3) consta de un número infinito de ramas retorcidas como una espiral. Esta superficie está simplemente conectada; su único cero (de primer orden) se obtiene en z= 1, puntos singulares: z= 0 y (puntos de ramificación de orden infinito).

La superficie de Riemann del logaritmo es la cobertura universal del plano complejo sin el punto 0.

Bosquejo histórico

logaritmo real

La necesidad de realizar cálculos complejos creció rápidamente en el siglo XVI, y gran parte de la dificultad consistía en multiplicar y dividir números de varios dígitos. A finales de siglo, a varios matemáticos, casi simultáneamente, se les ocurrió la idea: sustituir la laboriosa multiplicación por una simple suma, utilizando tablas especiales para comparar las progresiones geométricas y aritméticas, siendo la geométrica la original. Entonces la división es reemplazada automáticamente por la resta, infinitamente más simple y confiable. Fue el primero en publicar esta idea en su libro “ Aritmética integra"Michael Stiefel, quien, sin embargo, no hizo esfuerzos serios para implementar su idea.

En la década de 1620, Edmund Wingate y William Oughtred inventaron la primera regla de cálculo, antes de la llegada de las calculadoras de bolsillo, una herramienta indispensable para los ingenieros.

Una comprensión cercana a la moderna de la logaritmación, como la operación inversa de elevar a una potencia, apareció por primera vez con Wallis y Johann Bernoulli, y finalmente fue legitimada por Euler en el siglo XVIII. En el libro "Introducción al análisis de infinitos" (), Euler dio definiciones modernas de funciones exponenciales y logarítmicas, las amplió a series de potencias y destacó especialmente el papel del logaritmo natural.

A Euler también se le atribuye la extensión de la función logarítmica al dominio complejo.

logaritmo complejo

Los primeros intentos de extender los logaritmos a números complejos los hicieron Leibniz y Johann Bernoulli a finales de los siglos XVII y XVIII, pero no lograron crear una teoría holística, principalmente porque el concepto mismo de logaritmo aún no estaba claramente definido. La discusión sobre este tema tuvo lugar primero entre Leibniz y Bernoulli, y a mediados del siglo XVIII, entre d'Alembert y Euler. Bernoulli y d'Alembert creían que debería determinarse registro(-x) = registro(x). La teoría completa de los logaritmos de números negativos y complejos fue publicada por Euler en 1747-1751 y esencialmente no se diferencia de la moderna.

Aunque la disputa continuó (D'Alembert defendió su punto de vista y lo argumentó en detalle en un artículo de su Enciclopedia y en otras obras), el punto de vista de Euler rápidamente ganó reconocimiento universal.

Tablas logarítmicas

Tablas logarítmicas

De las propiedades del logaritmo se deduce que en lugar de la laboriosa multiplicación de números de varios dígitos, basta con encontrar (a partir de tablas) y sumar sus logaritmos, y luego, utilizando las mismas tablas, realizar la potenciación, es decir, encontrar el valor del resultado a partir de su logaritmo. La única diferencia entre hacer división es que se restan logaritmos. Laplace dijo que la invención de los logaritmos "alargó la vida de los astrónomos" al acelerar enormemente el proceso de cálculo.

Al mover el punto decimal en un número a norte dígitos, el valor del logaritmo decimal de este número cambia a norte. Por ejemplo, log8314.63 = log8.31463 + 3. De ello se deduce que basta con compilar una tabla de logaritmos decimales para números en el rango del 1 al 10.

Las primeras tablas de logaritmos fueron publicadas por John Napier (), y contenían sólo logaritmos de funciones trigonométricas y con errores. Independientemente de él, Joost Bürgi, amigo de Kepler (), publicó sus tablas. En 1617, el profesor de matemáticas de Oxford, Henry Briggs, publicó tablas que ya incluían logaritmos decimales de los propios números, del 1 al 1000, con 8 (luego 14) dígitos. Pero también hubo errores en las tablas de Briggs. La primera edición sin errores basada en las tablas Vega () no apareció hasta 1857 en Berlín (tablas Bremiwer).

En Rusia, las primeras tablas de logaritmos se publicaron en 1703 con la participación de L. F. Magnitsky. En la URSS se publicaron varias colecciones de tablas de logaritmos.

• Bradis V. M. Tablas matemáticas de cuatro dígitos. 44ª edición, M., 1973.

Definición y propiedades

El cero complejo no tiene logaritmo porque el exponente complejo no toma el valor cero. distinto de cero texvc se puede representar en forma demostrativa:

No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Ver matemáticas/README - ayuda con la configuración.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Dónde No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): k- entero arbitrario

Entonces No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte Math/README para obtener ayuda con la configuración.): \mathrm(Ln)\,z se encuentra mediante la fórmula:

No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Ver matemáticas/README - ayuda con la configuración.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Aquí No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \ln\,r= \ln\,|z|- logaritmo real. De esto se desprende:

De la fórmula se desprende claramente que uno y sólo uno de los valores tiene una parte imaginaria en el intervalo No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc . Este valor se llama importancia principal logaritmo natural complejo. La función correspondiente (ya inequívoca) se llama rama principal logaritmo y se denota No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \ln\,z. A veces a través de No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \ln\, z También denotamos el valor del logaritmo que no se encuentra en la rama principal. Si No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): z es un número real, entonces el valor principal de su logaritmo coincide con el logaritmo real ordinario.

De la fórmula anterior también se deduce que la parte real del logaritmo se determina de la siguiente manera a través de los componentes del argumento:

No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

La figura muestra que la parte real en función de las componentes es centralmente simétrica y depende únicamente de la distancia al origen. Se obtiene girando la gráfica del logaritmo real alrededor del eje vertical. Cuando se acerca a cero, la función tiende a No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Ver matemáticas/README - ayuda con la configuración.): -\infty.

El logaritmo de un número negativo se encuentra mediante la fórmula:

No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ pm 2\puntos)

Ejemplos de valores de logaritmos complejos

Presentemos el valor principal del logaritmo ( No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración.): \ln) y su expresión general ( No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \mathrm(Ln)) para algunos argumentos:

No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Ver matemáticas/README - ayuda con la configuración.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Debes tener cuidado al convertir logaritmos complejos, teniendo en cuenta que son multivaluados y, por lo tanto, la igualdad de los logaritmos de cualquier expresión no implica la igualdad de estas expresiones. Ejemplo erróneo razonamiento:

No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Ver matemáticas/README - ayuda con la configuración.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- un error obvio.

Tenga en cuenta que a la izquierda está el valor principal del logaritmo y a la derecha está el valor de la rama subyacente ( No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Ver matemáticas/README - ayuda con la configuración.): k=-1). La causa del error es el uso descuidado de la propiedad. No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, que, en general, implica en el caso complejo todo el conjunto infinito de valores del logaritmo, y no solo el valor principal.

Función logarítmica compleja y superficie de Riemann

Debido a su simple conexión, la superficie de Riemann del logaritmo es una cobertura universal para el plano complejo sin punto. No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc .

Continuación analítica

El logaritmo de un número complejo también se puede definir como la continuación analítica del logaritmo real en todo el plano complejo. deja que la curva No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc comienza en uno, no pasa por cero y no cruza la parte negativa del eje real. Entonces el valor principal del logaritmo en el punto final No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): w torcido No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración.): \Gamma se puede determinar mediante la fórmula:

No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Si No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración.): \Gamma- una curva simple (sin autointersecciones), luego, para los números que se encuentran en ella, se pueden usar identidades logarítmicas sin temor, por ejemplo:

No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

La rama principal de la función logarítmica es continua y diferenciable en todo el plano complejo, excepto en la parte negativa del eje real, en la que la parte imaginaria cambia abruptamente a No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Ver matemáticas/README - ayuda con la configuración.): 2\pi. Pero este hecho es consecuencia de la limitación artificial de la parte imaginaria del valor principal por el intervalo No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración.): (-\pi, \pi]. Si consideramos todas las ramas de la función, entonces la continuidad ocurre en todos los puntos excepto cero, donde la función no está definida. Si resuelves la curva No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración.): \Gamma cruza la parte negativa del eje real, luego la primera de estas intersecciones transfiere el resultado de la rama del valor principal a la rama adyacente, y cada intersección posterior provoca un desplazamiento similar a lo largo de las ramas de la función logarítmica (ver figura).

De la fórmula de continuación analítica se deduce que en cualquier rama del logaritmo:

No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Para cualquier círculo No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): S, cubriendo el punto No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): 0 :

No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

La integral se toma en dirección positiva (en sentido antihorario). Esta identidad subyace a la teoría de los residuos.

También se puede definir la continuación analítica del logaritmo complejo utilizando series conocidas para el caso real:

Sin embargo, de la forma de estas series se deduce que en uno la suma de la serie es igual a cero, es decir, la serie se refiere únicamente a la rama principal de la función multivaluada del logaritmo complejo. El radio de convergencia de ambas series es 1.

Conexión con funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas.

No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README - ayuda con la configuración.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Ver matemáticas/README - ayuda con la configuración.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- seno hiperbólico inverso No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README - ayuda con la configuración): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- coseno hiperbólico inverso No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- tangente hiperbólica inversa No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- cotangente hiperbólica inversa

Bosquejo histórico

Los primeros intentos de extender los logaritmos a números complejos los hicieron Leibniz y Johann Bernoulli a finales de los siglos XVII y XVIII, pero no lograron crear una teoría holística, principalmente porque el concepto mismo de logaritmo aún no estaba claramente definido. La discusión sobre esta cuestión tuvo lugar primero entre Leibniz y Bernoulli, y a mediados del siglo XVIII entre D'Alembert y Euler. Bernoulli y D'Alembert creían que debía determinarse No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): \log(-x) = \log(x), mientras que Leibniz demostró que el logaritmo de un número negativo es un número imaginario. La teoría completa de los logaritmos de números negativos y complejos fue publicada por Euler en 1747-1751 y esencialmente no se diferencia de la moderna. Aunque el debate continuó (D'Alembert defendió su punto de vista y lo argumentó en detalle en un artículo de su Enciclopedia y en otras obras), el enfoque de Euler recibió reconocimiento universal a finales del siglo XVIII.

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Literatura

Teoría de los logaritmos

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja. - M.: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - editor. 6to. - M.: Nauka, 1966. - 680 p.

Historia de los logaritmos

• Matemáticas del siglo XVIII // / Editado por A. P. Yushkevich, en tres volúmenes. - M.: Ciencia, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (eds.). Matemáticas del siglo XIX. Geometría. Teoría de funciones analíticas. - M.: Ciencia, 1981. - T. II.

Notas

1. Función logarítmica. // . - M.: Enciclopedia soviética, 1982. - T. 3.
2. , Tomo II, págs. 520-522.
3. , Con. 623..
4. , Con. 92-94..
5. , Con. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Biblioteca Kvant, número 21).
7. , Tomo II, págs. 522-526.
8. , Con. 624..
9. , Con. 325-328..
10. Rýbnikov K. A. Historia de las matemáticas. En dos volúmenes. - M.: Editorial. Universidad Estatal de Moscú, 1963. - T. II. - pág. 27, 230-231..
11. , Con. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Ciencia, 1987. - T. II. Geometría. - págs. 159-161. - 416 segundos.

Un extracto que caracteriza el logaritmo complejo.

Por el horror salvaje que se apoderó de nosotros, corrimos como balas por un amplio valle, sin siquiera pensar que podríamos pasar rápidamente a otro “piso”... Simplemente no tuvimos tiempo para pensar en ello, estábamos demasiado asustados.
La criatura voló justo encima de nosotros, chasqueando ruidosamente su enorme pico con dientes, y nosotros corrimos lo más rápido que pudimos, salpicando repugnantes y viscosas salpicaduras a los lados y rezando mentalmente para que de repente algo más interesara a este espeluznante “pájaro milagroso”... Se sintió que ella era mucho más rápida y que simplemente no teníamos oportunidad de separarnos de ella. Quiso la suerte que cerca no creciera ni un solo árbol, no había arbustos, ni siquiera piedras detrás de las cuales esconderse, sólo se podía ver a lo lejos una siniestra roca negra.
- ¡Allá! – gritó Stella, señalando con el dedo la misma roca.
Pero de repente, inesperadamente, justo frente a nosotros, apareció de alguna parte una criatura, cuya vista literalmente nos heló la sangre en las venas... Apareció como "salido directamente de la nada" y fue realmente aterrador... El enorme cadáver negro estaba completamente cubierto de pelo largo y áspero, lo que lo hacía parecer un oso barrigón, solo que este "oso" era tan alto como una casa de tres pisos... La cabeza grumosa del monstruo estaba "coronada" con dos enormes curvas. cuernos, y la espeluznante boca estaba decorada con un par de colmillos increíblemente largos, afilados como cuchillos, con solo mirarlos, de miedo, nuestras piernas cedieron... Y luego, sorprendiéndonos increíblemente, el monstruo saltó fácilmente y. .. recogió la “basura” voladora en uno de sus enormes colmillos… Nos quedamos helados del shock.
- ¡¡¡Corramos!!! – chilló Stella. – ¡Corramos mientras él está “ocupado”!
Y estábamos listos para correr nuevamente sin mirar atrás, cuando de repente una voz débil sonó a nuestras espaldas:
- ¡¡¡Chicas, esperen!!! ¡No hay necesidad de huir!... ¡Dean te salvó, él no es un enemigo!
Nos giramos bruscamente - detrás de nosotros estaba parada una niña diminuta, muy hermosa, de ojos negros... ¡y acariciaba tranquilamente al monstruo que se había acercado a ella!... Nuestros ojos se abrieron con sorpresa... ¡Era increíble! Ciertamente, ¡fue un día de sorpresas!... La niña, mirándonos, sonrió acogedoramente, sin miedo en absoluto al monstruo peludo que estaba a nuestro lado.
- Por favor, no le tengas miedo. El es muy amable. Vimos que Ovara te perseguía y decidimos ayudar. Dean fue genial, llegó a tiempo. ¿De verdad, querida?
"Bien", ronroneó, que sonó como un ligero terremoto, y, inclinando la cabeza, lamió la cara de la niña.
– ¿Quién es Owara y por qué nos atacó? - Yo pregunté.
"Ella ataca a todos, es una depredadora". Y muy peligroso”, respondió la niña con calma. – ¿Puedo preguntar qué estás haciendo aquí? ¿No sois de aquí, chicas?
- No, de aquí no. Estábamos simplemente caminando. Pero la misma pregunta para ti: ¿qué haces aquí?
“Voy a ver a mi madre…” la niña se puso triste. "Morimos juntos, pero por alguna razón ella terminó aquí". Y ahora vivo aquí, pero no le digo esto, porque ella nunca estará de acuerdo con eso. Ella piensa que simplemente voy a venir...
– ¿No es mejor simplemente venir? ¡Es tan terrible aquí!… – Stella se encogió de hombros.
“No puedo dejarla aquí sola, la estoy vigilando para que no le pase nada”. Y aquí Dean está conmigo... Él me ayuda.
Simplemente no podía creerlo... ¡Esta pequeña niña valiente dejó voluntariamente su hermoso y amable “piso” para vivir en este mundo frío, terrible y extraño, protegiendo a su madre, que de alguna manera era muy “culpable”! No creo que haya muchas personas tan valientes y desinteresadas (¡ni siquiera adultos!) que se atrevan a emprender tal hazaña... E inmediatamente pensé: tal vez ella simplemente no entendía a qué se iba a condenar. ?!
– ¿Cuánto tiempo llevas aquí, niña, si no es un secreto?
“Recientemente…” respondió tristemente la bebé de ojos negros, tirando de un mechón negro de su cabello rizado con sus dedos. – ¡Me encontré en un mundo tan hermoso cuando morí!... ¡Era tan amable y brillante!... Y entonces vi que mi madre no estaba conmigo y corrí a buscarla. ¡Al principio daba tanto miedo! Por alguna razón ella no estaba por ningún lado... Y luego caí en este mundo terrible... Y entonces la encontré. Estaba tan asustada aquí... Tan sola... Mamá me dijo que me fuera, incluso me regañó. Pero no puedo dejarla... Ahora tengo un amigo, mi buen Dean, y de alguna manera ya puedo existir aquí.
Su “buen amigo” volvió a gruñir, lo que nos puso a Stella y a mí una enorme piel de gallina en el “astral inferior”... Después de recomponerme, traté de calmarme un poco y comencé a mirar más de cerca este milagro peludo... Y él, Inmediatamente sintiendo que lo notaban, descubrió terriblemente su boca con colmillos... Salté hacia atrás.
- ¡Oh, no tengas miedo, por favor! "Él te está sonriendo", aseguró la niña.
Sí... Aprenderás a correr rápido con una sonrisa así... - pensé para mis adentros.
- ¿Cómo fue que te hiciste amigo de él? – preguntó Estela.
– Cuando vine aquí por primera vez, estaba muy asustado, especialmente cuando monstruos como tú atacaban hoy. Y entonces, un día, cuando casi muero, Dean me salvó de un montón de “pájaros” voladores espeluznantes. Al principio también le tenía miedo, pero luego me di cuenta del corazón de oro que tiene... ¡Es el mejor amigo! Nunca tuve algo así, ni siquiera cuando viví en la Tierra.
- ¿Cómo te acostumbraste tan rápido? Su apariencia no es del todo, digamos, familiar...
– Y aquí entendí una verdad muy simple, que por alguna razón no noté en la Tierra: la apariencia no importa si una persona o criatura tiene buen corazón... Mi madre era muy hermosa, pero a veces estaba muy enojada. también. Y luego toda su belleza desapareció en alguna parte... Y Dean, aunque da miedo, siempre es muy amable y siempre me protege, siento su bondad y no tengo miedo de nada. Pero puedes acostumbrarte a la apariencia...
– ¿Sabes que estarás aquí por mucho tiempo, mucho más tiempo del que vive la gente en la Tierra? ¿De verdad quieres quedarte aquí?...
"Mi madre está aquí, así que tengo que ayudarla". Y cuando ella “se vaya” a vivir de nuevo en la Tierra, yo también me iré... A donde haya más bondad. En este mundo terrible, la gente es muy extraña, como si no vivieran en absoluto. ¿Porqué es eso? ¿Sabes algo sobre esto?
– ¿Quién te dijo que tu madre se iría a vivir otra vez? – Stella se interesó.
- Decano, por supuesto. Él sabe mucho, vive aquí desde hace mucho tiempo. También dijo que cuando nosotros (mi madre y yo) volvamos a vivir, nuestras familias serán diferentes. Y entonces ya no tendré más a esta madre... Por eso quiero estar con ella ahora.
- ¿Cómo le hablas a él, tu decano? – preguntó Estela. – ¿Y por qué no quieres decirnos tu nombre?
Pero es verdad: ¡todavía no sabíamos su nombre! Y tampoco sabían de dónde venía...
– Mi nombre era María… ¿Pero eso realmente importa aquí?
- ¡Seguramente! – Estela se rió. - ¿Cómo puedo comunicarme con usted? Cuando te vayas te darán un nuevo nombre, pero mientras estés aquí tendrás que vivir con el antiguo. ¿Hablaste con alguien más aquí, niña María? – preguntó Stella, saltando de tema en tema por costumbre.
“Sí, hablé…” dijo la niña vacilante. "Pero son muy extraños aquí". Y tan infelices... ¿Por qué son tan infelices?
– ¿Lo que ves aquí es propicio para la felicidad? – Me sorprendió su pregunta. – ¡Incluso la “realidad” local mata cualquier esperanza de antemano!... ¿Cómo puedes ser feliz aquí?
- No lo sé. Cuando estoy con mi madre, me parece que aquí también puedo ser feliz... Es cierto que aquí da mucho miedo y a ella realmente no le gusta estar aquí... Cuando dije que acepté quedarme con ella, me gritó y dijo que soy su “descerebrada desgracia”... Pero no me ofendo... Sé que ella sólo está asustada. Tal como yo...
– ¿Quizás ella solo quería protegerte de tu decisión “extrema” y solo quería que volvieras a tu “piso”? – preguntó Stella con cuidado, para no ofender.
– No, por supuesto… Pero gracias por las buenas palabras. Mamá a menudo me llamaba con nombres no muy buenos, incluso en la Tierra... Pero sé que esto no fue por ira. Ella simplemente no estaba contenta de que yo naciera y, a menudo, me decía que le arruiné la vida. Pero no fue mi culpa, ¿verdad? Siempre traté de hacerla feliz, pero por alguna razón no tuve mucho éxito... Y nunca tuve un papá. – María estaba muy triste, y le temblaba la voz, como si estuviera a punto de llorar.
Stella y yo nos miramos y estaba casi seguro de que pensamientos similares la visitaban... Ya no me gustaba mucho esta “madre” mimada y egoísta que, en lugar de preocuparse por su hijo, no se preocupaba por Su heroico sacrificio no lo entendí en absoluto y, además, también la lastimé dolorosamente.
"¡Pero Dean dice que soy bueno y que lo hago muy feliz!" – balbuceó la niña más alegremente. "Y él quiere ser mi amigo". Y otros que he conocido aquí son muy fríos e indiferentes, y a veces incluso malvados... Especialmente aquellos que tienen monstruos apegados...
“Monstruos—¿qué?…” no entendíamos.
- Bueno, tienen monstruos terribles sentados en sus espaldas y diciéndoles lo que deben hacer. Y si no escuchan, los monstruos se burlan terriblemente de ellos... Intenté hablar con ellos, pero estos monstruos no me lo permiten.
No entendimos absolutamente nada de esta “explicación”, pero el hecho mismo de que algunos seres astrales estuvieran torturando a las personas no podía ser “explorado” por nosotros, por lo que inmediatamente le preguntamos cómo podíamos ver este fenómeno sorprendente.
- ¡Oh, sí en todas partes! Especialmente en la “montaña negra”. Ahí está, detrás de los árboles. ¿Quieres que vayamos contigo también?
- ¡Por supuesto que estaremos muy felices! – respondió inmediatamente Stella encantada.
Para ser honesto, tampoco sonreí ante la perspectiva de salir con otra persona, "espeluznante e incomprensible", especialmente solo. Pero el interés venció al miedo, y nosotros, por supuesto, hubiéramos ido, a pesar de que teníamos un poco de miedo... Pero cuando un defensor como Dean caminó con nosotros, inmediatamente se volvió más divertido...
Y luego, al cabo de un breve momento, el auténtico Infierno se desplegó ante nuestros ojos, abiertos de par en par por el asombro... La visión recordaba a los cuadros de El Bosco (o Bosc, según el idioma al que se traduzca), un artista “loco” quien una vez conmocionó al mundo entero con su mundo del arte... Él, por supuesto, no estaba loco, sino simplemente un vidente que por alguna razón solo podía ver el Astral inferior. Pero debemos darle lo que le corresponde: lo retrató magníficamente... Vi sus pinturas en un libro que estaba en la biblioteca de mi padre, y todavía recordaba la sensación espeluznante que transmitían la mayoría de sus pinturas...
“¡Qué horror!” susurró Stella, sorprendida.
Probablemente se podría decir que ya hemos visto mucho aquí, en los “suelos”... ¡Pero ni siquiera nosotros pudimos imaginar esto en nuestra más terrible pesadilla!... Detrás de la “roca negra” algo completamente impensable se abrió. ... Parecía un enorme "caldero" plano excavado en la roca, en cuyo fondo burbujeaba "lava" carmesí... El aire caliente "estalló" por todas partes con extrañas burbujas rojizas parpadeantes, de las cuales brotó vapor hirviendo. y cayó en grandes gotas al suelo, o a las personas que cayeron debajo de él en ese momento... Se escucharon gritos desgarradores, pero inmediatamente se hizo silencio, mientras las más repugnantes criaturas se sentaban en las espaldas de las mismas personas, quienes con un mirada satisfecha “controlaba” a sus víctimas, sin prestar la menor atención a su sufrimiento... Bajo los pies desnudos de las personas, las piedras calientes se volvían rojas, la tierra carmesí, estallando de calor, burbujeaba y “se derretía”... Salpicaduras de calor El vapor irrumpió a través de enormes grietas y, quemando los pies de los seres humanos que sollozaban de dolor, fue llevado a las alturas, evaporándose con un ligero humo ... Y en medio del "pozo" fluía un río rojo brillante, ancho y ardiente, en el que, de vez en cuando, los mismos monstruos repugnantes arrojaban inesperadamente una u otra entidad atormentada, que, al caer, provocaba sólo un breve estallido de chispas anaranjadas, y luego, convirtiéndose por un momento en una nube blanca y esponjosa, desaparecía. .. para siempre... Era un verdadero infierno, y Stella y yo queríamos “desaparecer” de allí lo antes posible...
“¿Qué vamos a hacer?” susurró Stella con silencioso horror. - ¿Quieres bajar allí? ¿Hay algo que podamos hacer para ayudarlos? ¡Mira cuantos hay!..
Estábamos parados en un acantilado negro-marrón, secado por el calor, observando la "mezcla" de dolor, desesperanza y violencia que se extendía debajo, llena de horror y sintiéndonos tan infantilmente impotentes que incluso mi militante Stella esta vez dobló categóricamente su "con volantes". alas.” “y estaba lista a la primera llamada para correr hacia su “piso” superior, tan querido y confiable...

La función exponencial de una variable real (con base positiva) se determina en varios pasos. Primero, para los valores naturales, como producto de factores iguales. La definición luego se extiende a números enteros negativos y valores distintos de cero según las reglas. A continuación, consideramos exponentes fraccionarios en los que el valor de la función exponencial se determina mediante raíces: . En el caso de los valores irracionales, la definición ya está relacionada con el concepto básico del análisis matemático: con el paso al límite, por razones de continuidad. Todas estas consideraciones no son de ninguna manera aplicables a los intentos de extender la función exponencial a valores complejos del indicador, y qué es, por ejemplo, no está del todo claro.

Por primera vez, Euler introdujo una potencia con un exponente complejo con base natural basándose en un análisis de una serie de construcciones de cálculo integral. A veces, expresiones algebraicas muy similares, cuando se integran, dan respuestas completamente diferentes:

Al mismo tiempo, aquí la segunda integral se obtiene formalmente de la primera cuando se reemplaza por

De esto podemos concluir que con la definición adecuada de una función exponencial con un exponente complejo, las funciones trigonométricas inversas están relacionadas con los logaritmos y, por lo tanto, la función exponencial está relacionada con las trigonométricas.

Euler tuvo el coraje y la imaginación para dar una definición razonable de una función exponencial con base, a saber,

Esta es una definición y, por lo tanto, esta fórmula no se puede probar; solo se pueden buscar argumentos a favor de la razonabilidad y conveniencia de tal definición. El análisis matemático proporciona muchos argumentos de este tipo. Nos limitaremos a uno solo.

Se sabe que de verdad existe una relación limitante: . En el lado derecho hay un polinomio que también tiene sentido para valores complejos de . El límite de una secuencia de números complejos se determina de forma natural. Una secuencia se considera convergente si las secuencias de partes reales e imaginarias convergen y se acepta.

Encontrémoslo. Para hacer esto, pasemos a la forma trigonométrica y, como argumento, seleccionaremos valores del intervalo. Con esta elección queda claro que para . Más,

Para llegar al límite, es necesario verificar la existencia de límites para y encontrar estos límites. Está claro que

Así, en la expresión

la parte real tiende a , la parte imaginaria tiende a así

Este simple argumento proporciona uno de los argumentos a favor de la definición de Euler de la función exponencial.

Establezcamos ahora que al multiplicar los valores de una función exponencial los exponentes suman. En realidad:

2. Fórmulas de Euler.

Pongamos la definición de función exponencial. Obtenemos:

Reemplazando b con -b, obtenemos

Sumando y restando estas igualdades término por término, encontramos las fórmulas

llamadas fórmulas de Euler. Establecen una conexión entre funciones trigonométricas y funciones exponenciales con exponentes imaginarios.

3. Logaritmo natural de un número complejo.

Un número complejo dado en forma trigonométrica se puede escribir en la forma Esta forma de escribir un número complejo se llama exponencial. Conserva todas las buenas propiedades de la forma trigonométrica, pero es aún más concisa. Además, por tanto, es natural suponer que la parte real del logaritmo de un número complejo es el logaritmo de su módulo y la parte imaginaria es su argumento. Esto explica hasta cierto punto la propiedad "logarítmica" del argumento: el argumento del producto es igual a la suma de los argumentos de los factores.

Plan:

Introducción

• 1 logaritmo real
  • 1.1 Propiedades
  • 1.2 función logarítmica
  • 1.3 Logaritmos naturales
  • 1.4 Logaritmos decimales
• 2 logaritmo complejo
  • 2.1 Definición y propiedades
  • 2.2 Ejemplos
  • 2.3 Continuación analítica
  • 2.4 superficie de riemann
• 3 Bosquejo histórico
  • 3.1 logaritmo real
  • 3.2 logaritmo complejo
• 4 Tablas logarítmicas
• 5 aplicaciones
Literatura
Notas

Introducción

Arroz. 1. Gráficas de funciones logarítmicas

Logaritmo de un número b Residencia en a (del griego λόγος - “palabra”, “actitud” y ἀριθμός - “número”) se define como un indicador de la potencia a la que se debe elevar la base a para obtener el numero b. Designación: . De la definición se deduce que los registros y son equivalentes.

Por ejemplo, porque.

1. Logaritmo real

Logaritmo de un registro de números reales a b tiene sentido cuando. Como se sabe, la función exponencial y = a X es monótono y cada valor toma solo una vez, y el rango de sus valores contiene todos los números reales positivos. De ello se deduce que el valor del logaritmo real de un número positivo siempre existe y está determinado de forma única.

Los tipos de logaritmos más utilizados son:

1.1. Propiedades

Prueba

Demostrémoslo.

(ya que por condición bc > 0). ■

Prueba

Probemos que

(ya que por condición ■

Prueba

Usamos la identidad para probarlo. Logaritmemos ambos lados de la identidad en base c. Obtenemos:

Prueba

Demostrémoslo.

(porque b pag> 0 por condición). ■

Prueba

Probemos que

Prueba

Logaritmo de los lados izquierdo y derecho de la base. C :

Lado izquierdo: Lado derecho:

La igualdad de expresiones es obvia. Dado que los logaritmos son iguales, debido a la monotonía de la función logarítmica, las expresiones mismas son iguales. ■

1.2. función logarítmica

Si consideramos el número logarítmico como una variable, obtenemos función logarítmica y= iniciar sesión a X (ver figura 1). Se define en . Rango de valores: .

La función es estrictamente creciente en a> 1 y estrictamente decreciente en 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Derecho X= 0 es una asíntota vertical izquierda, ya que en a> 1 y en 0< a < 1 .

La derivada de la función logarítmica es igual a:

Prueba

I. Demostremos que

Anotemos la identidad. mi en X = X y diferenciar sus lados izquierdo y derecho

Obtenemos eso, de lo cual se deduce que

II. Probemos que

La función logarítmica realiza un isomorfismo entre el grupo multiplicativo de los números reales positivos y el grupo aditivo de todos los números reales.

1.3. Logaritmos naturales

Relación con el logaritmo decimal: .

Como se indicó anteriormente, la derivada del logaritmo natural tiene una fórmula simple:

Por este motivo, en la investigación matemática se utilizan predominantemente logaritmos naturales. A menudo aparecen al resolver ecuaciones diferenciales, estudiar dependencias estadísticas (por ejemplo, la distribución de números primos), etc.

La integral indefinida del logaritmo natural se puede encontrar fácilmente integrando por partes:

La expansión de la serie de Taylor se puede representar de la siguiente manera:
cuando la igualdad es verdadera

(1)

En particular,

Esta serie converge más rápido y, además, el lado izquierdo de la fórmula ahora puede expresar el logaritmo de cualquier número positivo.

1.4. Logaritmos decimales

Arroz. 2a. Escala logarítmica

Arroz. 2b. Escala logarítmica con símbolos.

Logaritmos en base 10 (símbolo: lg a) antes de la invención de las calculadoras, se utilizaban ampliamente para los cálculos. La escala desigual de logaritmos decimales suele aplicarse a las reglas de cálculo. Se utiliza una escala similar en muchos campos de la ciencia, por ejemplo:

• Física: intensidad del sonido (decibelios).
• Astronomía: escala de brillo de las estrellas.
• Química: actividad de los iones de hidrógeno (pH).
• Sismología - Escala de Richter.
• Teoría musical: una escala de notas, en relación con las frecuencias de las notas musicales.
• La historia es una escala de tiempo logarítmica.

La escala logarítmica también se usa ampliamente para identificar el exponente en relaciones de poder y el coeficiente en el exponente. En este caso, un gráfico construido en escala logarítmica a lo largo de uno o dos ejes toma la forma de una línea recta, que es más fácil de estudiar.

2. Logaritmo complejo

2.1. Definición y propiedades

Para números complejos, el logaritmo se define de la misma forma que uno real. En la práctica se utiliza casi exclusivamente el logaritmo natural complejo, que denotamos y definimos como el conjunto de todos los números complejos. z tal que mi z = w . El logaritmo complejo existe para cualquier , y su parte real está determinada de forma única, mientras que la parte imaginaria tiene un número infinito de valores. Por esta razón se le llama función multivaluada. si te imaginas w en forma demostrativa:

,

entonces el logaritmo se encuentra mediante la fórmula:

Aquí está el logaritmo real, r = | w | , k- número entero arbitrario. El valor obtenido cuando k= 0, llamado importancia principal logaritmo natural complejo; se acostumbra tomar el valor del argumento que contiene en el intervalo (− π,π]. La función correspondiente (ya de un solo valor) se llama rama principal logaritmo y se denota por . A veces también indican un valor de logaritmo que no está en la rama principal.

De la fórmula se sigue:

• La parte real del logaritmo está determinada por la fórmula:

• El logaritmo de un número negativo se encuentra mediante la fórmula:

Dado que las funciones trigonométricas complejas están relacionadas con el exponente (fórmula de Euler), el logaritmo complejo, como función inversa de la exponencial, está relacionado con las funciones trigonométricas inversas. Un ejemplo de tal conexión:

2.2. Ejemplos

Demos el valor principal del logaritmo para algunos argumentos:

Debes tener cuidado al convertir logaritmos complejos, teniendo en cuenta que son multivaluados y, por lo tanto, la igualdad de los logaritmos de cualquier expresión no implica la igualdad de estas expresiones. Ejemplo de razonamiento defectuoso:

iπ = ln(- 1) = ln((- i) 2) = 2ln(- i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - puro absurdo.

Tenga en cuenta que a la izquierda está el valor principal del logaritmo y a la derecha está el valor de la rama subyacente ( k= − 1 ). La causa del error es el uso descuidado de la propiedad, que, en general, implica en el caso complejo todo el conjunto infinito de valores de logaritmos, y no sólo el valor principal.

2.3. Continuación analítica

Arroz. 3. Logaritmo complejo (parte imaginaria)

El logaritmo de un número complejo también se puede definir como la extensión analítica del logaritmo real a todo el plano complejo. Dejemos que la curva Γ comience en la unidad, no pase por cero y no corte la parte negativa del eje real. Entonces el valor principal del logaritmo en el punto final w La curva Γ se puede determinar mediante la fórmula:

Si Γ es una curva simple (sin autointersecciones), entonces, para los números que se encuentran en ella, se pueden aplicar identidades logarítmicas sin temor, por ejemplo

Si se permite que la curva Γ cruce la parte negativa del eje real, entonces la primera de esas intersecciones transfiere el resultado de la rama del valor principal a la rama adyacente, y cada intersección posterior provoca un desplazamiento similar a lo largo de las ramas de la función logarítmica ( ver figura).

De la fórmula de continuación analítica se deduce que en cualquier rama del logaritmo

Para cualquier círculo S, cubriendo el punto 0:

La integral se toma en dirección positiva (en sentido antihorario). Esta identidad subyace a la teoría de los residuos.

También se puede definir la continuación analítica del logaritmo complejo utilizando la serie anterior (1), generalizada al caso de un argumento complejo. Sin embargo, del tipo de expansión se deduce que en la unidad es igual a cero, es decir, la serie se refiere únicamente a la rama principal de la función multivaluada del logaritmo complejo.

2.4. superficie de riemann

Una función logarítmica compleja es un ejemplo de superficie de Riemann; su parte imaginaria (Fig. 3) consta de un número infinito de ramas retorcidas en forma de espiral. Esta superficie está simplemente conectada; su único cero (de primer orden) se obtiene en z= 1, puntos singulares: z= 0 y (puntos de ramificación de orden infinito).

La superficie de Riemann del logaritmo es la cobertura universal del plano complejo sin el punto 0.

3. Bosquejo histórico

3.1. logaritmo real

La necesidad de realizar cálculos complejos creció rápidamente en el siglo XVI, y gran parte de la dificultad consistía en multiplicar y dividir números de varios dígitos y echar raíces. A finales de siglo, a varios matemáticos, casi simultáneamente, se les ocurrió la idea: sustituir la laboriosa multiplicación por una simple suma, utilizando tablas especiales para comparar las progresiones geométricas y aritméticas, siendo la geométrica la original. Luego, la división se reemplaza automáticamente por la resta, infinitamente más simple y confiable, y al extraer la raíz del grado norte se reduce a dividir el logaritmo de la expresión radical por norte. Fue el primero en publicar esta idea en su libro “ Aritmética integra"Michael Stiefel, quien, sin embargo, no hizo ningún esfuerzo serio para implementar su idea.

En 1614, el matemático aficionado escocés John Napier publicó un ensayo en latín titulado " Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos."(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descripción ). Contenía una breve descripción de los logaritmos y sus propiedades, así como tablas de 8 dígitos de logaritmos de senos, cosenos y tangentes, con un paso de 1". Término logaritmo, propuesto por Napier, se ha consolidado en la ciencia. Napier describió la teoría de los logaritmos en su otro libro “ Construyendo una asombrosa tabla de logaritmos"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicado póstumamente en 1619 por su hijo.

El concepto de función aún no existía y Napier definió el logaritmo cinemáticamente, comparando el movimiento uniforme y logarítmicamente lento; por ejemplo, definió el logaritmo del seno de la siguiente manera:

El logaritmo de un seno dado es un número que siempre aumentó aritméticamente a la misma velocidad en que el seno total comenzó a disminuir geométricamente.

En notación moderna, el modelo cinemático de Napier se puede representar mediante la ecuación diferencial: dx/x = -dy/M, donde M es un factor de escala introducido para garantizar que el valor resulte ser un número entero con el número requerido de dígitos (las fracciones decimales aún no se usaban ampliamente). Napier tomó M = 10000000.

Estrictamente hablando, Napier tabuló la función equivocada, que ahora se llama logaritmo. Si denotamos su función LogNap(x), entonces se relaciona con el logaritmo natural de la siguiente manera:

Obviamente, LogNap(M) = 0, es decir, el logaritmo del "seno completo" es cero; esto es lo que Napier logró con su definición. .

La propiedad principal del logaritmo de Napier: si las cantidades forman una progresión geométrica, entonces sus logaritmos forman una progresión aritmética. Sin embargo, las reglas del logaritmo para la función neper diferían de las reglas del logaritmo moderno.

Por ejemplo, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Desafortunadamente, todos los valores de la tabla de Napier contenían un error de cálculo después del sexto dígito. Sin embargo, esto no impidió que el nuevo método de cálculo ganara gran popularidad y muchos matemáticos europeos, incluido Kepler, comenzaron a compilar tablas logarítmicas. Apenas cinco años después, en 1619, el profesor de matemáticas de Londres John Spidell ( John Speidell) reeditó las tablas de Napier, transformadas para que efectivamente se convirtieran en tablas de logaritmos naturales (aunque Spidell conservó la escala a números enteros). El término "logaritmo natural" fue propuesto por el matemático italiano Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) a mediados del siglo XVI.

En la década de 1620, Edmund Wingate y William Oughtred inventaron la primera regla de cálculo, antes de la llegada de las calculadoras de bolsillo, una herramienta indispensable para los ingenieros.

Una comprensión cercana a la moderna de la logaritmización, como la operación inversa de elevar a una potencia, apareció por primera vez con Wallis y Johann Bernoulli, y finalmente fue legitimada por Euler en el siglo XVIII. En el libro "Introducción al análisis de infinitos" (1748), Euler dio definiciones modernas de funciones exponenciales y logarítmicas, las amplió a series de potencias y destacó especialmente el papel del logaritmo natural.

A Euler también se le atribuye la extensión de la función logarítmica al dominio complejo.

3.2. logaritmo complejo

Los primeros intentos de extender los logaritmos a números complejos los hicieron Leibniz y Johann Bernoulli a finales de los siglos XVII y XVIII, pero no lograron crear una teoría holística, principalmente porque el concepto mismo de logaritmo aún no estaba claramente definido. La discusión sobre este tema tuvo lugar primero entre Leibniz y Bernoulli, y a mediados del siglo XVIII, entre d'Alembert y Euler. Bernoulli y d'Alembert creían que debería determinarse registro(-x) = registro(x). La teoría completa de los logaritmos de números negativos y complejos fue publicada por Euler en 1747-1751 y esencialmente no se diferencia de la moderna.

Aunque la disputa continuó (D'Alembert defendió su punto de vista y lo argumentó en detalle en un artículo de su Enciclopedia y en otras obras), el punto de vista de Euler rápidamente ganó reconocimiento universal.

4. Tablas logarítmicas

Tablas logarítmicas

De las propiedades del logaritmo se deduce que en lugar de una laboriosa multiplicación de números de varios dígitos, basta con encontrar (a partir de tablas) y sumar sus logaritmos, y luego usar las mismas tablas para realizar la potenciación, es decir, encontrar el valor del resultado a partir de su logaritmo. La única diferencia entre hacer división es que se restan logaritmos. Laplace dijo que la invención de los logaritmos "alargó la vida de los astrónomos" al acelerar enormemente el proceso de cálculo.

Al mover el punto decimal en un número a norte dígitos, el valor del logaritmo decimal de este número cambia a norte. Por ejemplo, log8314.63 = log8.31463 + 3. De ello se deduce que basta con compilar una tabla de logaritmos decimales para números en el rango del 1 al 10.

Las primeras tablas de logaritmos fueron publicadas por John Napier (1614), y contenían sólo logaritmos de funciones trigonométricas y con errores. Independientemente de él, Joost Burgi, amigo de Kepler, publicó sus tablas (1620). En 1617, el profesor de matemáticas de Oxford, Henry Briggs, publicó tablas que ya incluían logaritmos decimales de los propios números, del 1 al 1000, con 8 (luego 14) dígitos. Pero también hubo errores en las tablas de Briggs. La primera edición sin errores basada en las tablas Vega (1783) no apareció hasta 1857 en Berlín (tablas Bremiwer).

En Rusia, las primeras tablas de logaritmos se publicaron en 1703 con la participación de L. F. Magnitsky. En la URSS se publicaron varias colecciones de tablas de logaritmos.

• Bradis V. M. Tablas matemáticas de cuatro dígitos. 44ª edición, M., 1973.

Las tablas de Bradis (1921) se utilizaron en instituciones educativas y en cálculos de ingeniería que no requerían gran precisión. Contenían mantisas de logaritmos decimales de números y funciones trigonométricas, logaritmos naturales y algunas otras herramientas de cálculo útiles.

• VegaG. Tablas de logaritmos de siete dígitos, 4ª edición, M., 1971.

Colección profesional para cálculos precisos.

• Tablas de cinco dígitos de valores naturales de cantidades trigonométricas, sus logaritmos y logaritmos de números, 6ª ed., M.: Nauka, 1972.
• Tablas de logaritmos naturales, 2.ª edición, en 2 volúmenes, M.: Nauka, 1971.

Hoy en día, con la proliferación de las calculadoras, ha desaparecido la necesidad de utilizar tablas de logaritmos.

M, Característica (análisis complejo).

Se dan las propiedades básicas del logaritmo, gráfico de logaritmos, dominio de definición, conjunto de valores, fórmulas básicas, creciente y decreciente. Se considera encontrar la derivada de un logaritmo. Así como integrales, expansión y representación de series de potencias mediante números complejos.

Contenido

Dominio, conjunto de valores, creciente, decreciente.

El logaritmo es una función monótona, por lo que no tiene extremos. Las principales propiedades del logaritmo se presentan en la tabla.

Dominio	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rango de valores	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monótono	aumenta monótonamente	disminuye monótonamente
Ceros, y = 0	x = 1	x = 1
Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = 0	No	No
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valores privados

El logaritmo en base 10 se llama logaritmo decimal y se denota de la siguiente manera:

Logaritmo a base mi llamado logaritmo natural:

Fórmulas básicas para logaritmos.

Propiedades del logaritmo que surgen de la definición de la función inversa:

La principal propiedad de los logaritmos y sus consecuencias.

Fórmula de reemplazo base

Logaritmo es la operación matemática de tomar un logaritmo. Al tomar logaritmos, los productos de factores se convierten en sumas de términos.
La potenciación es la operación matemática inversa al logaritmo. Durante la potenciación, una base determinada se eleva hasta el grado de expresión sobre el cual se realiza la potenciación. En este caso, las sumas de términos se transforman en productos de factores.

Prueba de fórmulas básicas para logaritmos.

Las fórmulas relacionadas con los logaritmos se derivan de fórmulas para funciones exponenciales y de la definición de función inversa.

Considere la propiedad de la función exponencial.
.
Entonces
.
Apliquemos la propiedad de la función exponencial.
:
.

Probemos la fórmula de reemplazo de bases.
;
.
Suponiendo c = b, tenemos:

Función inversa

La inversa de un logaritmo en base a es una función exponencial con exponente a.

Si entonces

Si entonces

Derivada del logaritmo

Derivada del logaritmo del módulo x:
.
Derivada de enésimo orden:
.
Derivando fórmulas > > >

Para encontrar la derivada de un logaritmo, se debe reducir a la base. mi.
;
.

Integral

La integral del logaritmo se calcula integrando por partes: .
Entonces,

Expresiones usando números complejos

Considere la función de números complejos z:
.
Expresemos un número complejo. z vía módulo r y argumento φ :
.
Luego, usando las propiedades del logaritmo, tenemos:
.
O

Sin embargo, el argumento φ no definido unívocamente. Si pones
, donde n es un número entero,
entonces será el mismo número para diferentes norte.

Por tanto, el logaritmo, como función de una variable compleja, no es una función univaluada.

Expansión de series de potencias

Cuando se produce la ampliación:

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.

Ver también: