Métodos para resolver ecuaciones logarítmicas. Logaritmos: ejemplos y soluciones Resolver ecuaciones logarítmicas en la raíz

Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b *a c = a b+c). Esta ley matemática fue deducida por Arquímedes y, más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de exponentes enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para un mayor descubrimiento de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todos los lugares donde sea necesario simplificar una multiplicación engorrosa mediante una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. En un lenguaje sencillo y accesible.

Definición en matemáticas

Un logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log a b=c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo (es decir, cualquier positivo) “b” a su base “a” se considera la potencia “c ” al cual se debe elevar la base “a” para finalmente obtener el valor “b”. Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar una potencia tal que de 2 a la potencia requerida obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos mentales, ¡obtenemos el número 3! Y eso es cierto, porque 2 elevado a 3 da la respuesta 8.

Tipos de logaritmos

Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero en realidad los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres tipos distintos de expresiones logarítmicas:

Logaritmo natural en a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
Decimal a, donde la base es 10.
Logaritmo de cualquier número b en base a>1.

Cada uno de ellos se resuelve de forma estándar, incluyendo simplificación, reducción y posterior reducción a un solo logaritmo mediante teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, conviene recordar sus propiedades y la secuencia de acciones a la hora de resolverlos.

Reglas y algunas restricciones.

En matemáticas existen varias reglas-restricciones que se aceptan como axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son la verdad. Por ejemplo, es imposible dividir números por cero y también es imposible extraer la raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puedes aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:

La base “a” siempre debe ser mayor que cero, y no igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque “1” y “0” en cualquier grado siempre son iguales a sus valores;
si a > 0, entonces a b >0, resulta que “c” también debe ser mayor que cero.

¿Cómo resolver logaritmos?

Por ejemplo, la tarea es encontrar la respuesta a la ecuación 10 x = 100. Esto es muy fácil, debes elegir una potencia elevando el número diez a lo que obtenemos 100. Esto, por supuesto, es 10 2 = 100.

Ahora representemos esta expresión en forma logarítmica. Obtenemos log 10 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones prácticamente convergen para encontrar la potencia a la que es necesario ingresar la base del logaritmo para obtener un número determinado.

Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, es necesario aprender a trabajar con una tabla de grados. Se parece a esto:

Como puedes ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tienes una mente técnica y conocimientos de la tabla de multiplicar. Sin embargo, para valores mayores necesitarás una tabla de potencia. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no saben nada sobre temas matemáticos complejos. La columna de la izquierda contiene números (base a), la fila superior de números es el valor de la potencia c a la que se eleva el número a. En la intersección, las celdas contienen los valores numéricos que son la respuesta (a c =b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y la elevamos al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más verdadero lo entenderá!

Ecuaciones y desigualdades

Resulta que bajo ciertas condiciones el exponente es el logaritmo. Por tanto, cualquier expresión numérica matemática se puede escribir como una igualdad logarítmica. Por ejemplo, 3 4 =81 se puede escribir como el logaritmo en base 3 de 81 igual a cuatro (log 3 81 = 4). Para potencias negativas las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Veremos ejemplos y soluciones de ecuaciones a continuación, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.

Se da la siguiente expresión: log 2 (x-1) > 3 - es una desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido “x” está bajo el signo logarítmico. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número deseado en base dos es mayor que el número tres.

La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (por ejemplo, el logaritmo 2 x = √9) implican uno o más valores numéricos específicos en la respuesta, mientras que al resolver una desigualdad, tanto el rango de valores aceptables Los valores y los puntos se determinan rompiendo esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta a una ecuación, sino una serie o conjunto continuo de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Al resolver problemas primitivos de encontrar los valores de un logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Veremos ejemplos de ecuaciones más adelante; primero veamos cada propiedad con más detalle.

La identidad principal se ve así: a logaB =B. Se aplica sólo cuando a es mayor que 0, distinto de uno y B es mayor que cero.
El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. En este caso, la condición obligatoria es: d, s 1 y s 2 > 0; a≠1. Puedes dar una prueba de esta fórmula logarítmica, con ejemplos y solución. Sean log a s 1 = f 1 y log a s 2 = f 2, luego a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propiedades de grados), y luego por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que es lo que había que demostrar.
El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula se llama "propiedad del grado de logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es sorprendente, porque todas las matemáticas se basan en postulados naturales. Veamos la prueba.

Sea log a b = t, resulta a t =b. Si elevamos ambas partes a la potencia m: a tn = b n ;

pero como a tn = (a q) nt/q = b n, entonces log a q b n = (n*t)/t, entonces log a q b n = n/q log a b. El teorema ha sido demostrado.

Ejemplos de problemas y desigualdades

Los tipos más comunes de problemas sobre logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también son una parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a una universidad o aprobar exámenes de ingreso en matemáticas, es necesario saber cómo resolver correctamente dichas tareas.

Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, pero se pueden aplicar ciertas reglas a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, conviene averiguar si la expresión se puede simplificar o reducir a una forma general. Puedes simplificar expresiones logarítmicas largas si usas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos rápidamente.

A la hora de resolver ecuaciones logarítmicas debemos determinar qué tipo de logaritmo tenemos: una expresión de ejemplo puede contener un logaritmo natural o uno decimal.

A continuación se muestran ejemplos ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesitan determinar la potencia a la que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para resolver logaritmos naturales, es necesario aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.

Cómo utilizar fórmulas logarítmicas: con ejemplos y soluciones

Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas básicos sobre logaritmos.

La propiedad del logaritmo de un producto se puede utilizar en tareas donde es necesario descomponer un valor grande del número b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La respuesta es 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como puede ver, usando la cuarta propiedad de la potencia del logaritmo, logramos resolver una expresión aparentemente compleja e irresoluble. Sólo necesitas factorizar la base y luego quitar los valores del exponente del signo del logaritmo.

Asignaciones del Examen Estatal Unificado

Los logaritmos se encuentran a menudo en los exámenes de ingreso, especialmente muchos problemas logarítmicos en el Examen Estatal Unificado (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la parte de prueba más sencilla del examen), sino también en la parte C (las tareas más complejas y voluminosas). El examen requiere un conocimiento preciso y perfecto del tema "Logaritmos naturales".

Se toman ejemplos y soluciones a problemas de las versiones oficiales del Examen Estatal Unificado. Veamos cómo se resuelven tales tareas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribamos la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2, por definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4, por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.

Es mejor reducir todos los logaritmos a la misma base para que la solución no sea engorrosa ni confusa.
Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, cuando se saca como multiplicador el exponente de una expresión que está bajo el signo del logaritmo y como base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.

La preparación para la prueba final de matemáticas incluye una sección importante: "Logaritmos". Las tareas de este tema están necesariamente contenidas en el Examen Estatal Unificado. La experiencia de años anteriores muestra que las ecuaciones logarítmicas causaron dificultades a muchos escolares. Por lo tanto, los estudiantes con diferentes niveles de formación deben saber cómo encontrar la respuesta correcta y afrontarlas rápidamente.

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Al prepararse para el Examen Estatal Unificado, los graduados de la escuela secundaria necesitan una fuente confiable que brinde la información más completa y precisa para resolver con éxito los problemas del examen. Sin embargo, no siempre se dispone de un libro de texto y la búsqueda de las reglas y fórmulas necesarias en Internet suele llevar tiempo.

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En esta lección revisaremos los hechos teóricos básicos sobre los logaritmos y consideraremos cómo resolver las ecuaciones logarítmicas más simples.

Recordemos la definición central: la definición de logaritmo. Se trata de resolver una ecuación exponencial. Esta ecuación tiene una sola raíz, se llama logaritmo de b en base a:

Definición:

El logaritmo de b en base a es el exponente al que se debe elevar la base a para obtener b.

Déjanos recordarte identidad logarítmica básica.

La expresión (expresión 1) es la raíz de la ecuación (expresión 2). Sustituya el valor x de la expresión 1 en lugar de x en la expresión 2 y obtenga la identidad logarítmica principal:

Entonces vemos que cada valor está asociado a un valor. Denotamos b por x(), c por y, y así obtenemos una función logarítmica:

Por ejemplo:

Recordemos las propiedades básicas de la función logarítmica.

Prestemos atención aquí una vez más, ya que bajo un logaritmo puede haber una expresión estrictamente positiva, como la base del logaritmo.

Arroz. 1. Gráfica de una función logarítmica con diferentes bases

La gráfica de la función en se muestra en negro. Arroz. 1. Si el argumento aumenta de cero a infinito, la función aumenta de menos a más infinito.

La gráfica de la función en se muestra en rojo. Arroz. 1.

Propiedades de esta función:

Dominio: ;

Rango de valores: ;

La función es monótona en todo su dominio de definición. Cuando aumenta monótonamente (estrictamente), un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función. Cuando disminuye monótonamente (estrictamente), un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.

Las propiedades de la función logarítmica son la clave para resolver una variedad de ecuaciones logarítmicas.

Consideremos la ecuación logarítmica más simple; todas las demás ecuaciones logarítmicas, por regla general, se reducen a esta forma.

Dado que las bases de los logaritmos y los logaritmos mismos son iguales, las funciones bajo el logaritmo también son iguales, pero no debemos perdernos el dominio de la definición. Debajo del logaritmo sólo puede aparecer un número positivo, tenemos:

Descubrimos que las funciones f y g son iguales, por lo que basta con elegir cualquier desigualdad para cumplir con la ODZ.

Así, tenemos un sistema mixto en el que hay una ecuación y una desigualdad:

Como regla general, no es necesario resolver una desigualdad, basta con resolver la ecuación y sustituir las raíces encontradas en la desigualdad, realizando así la verificación.

Formulemos un método para resolver las ecuaciones logarítmicas más simples:

Igualar las bases de logaritmos;

Igualar funciones sublogarítmicas;

Realizar verificación.

Veamos ejemplos específicos.

Ejemplo 1: resuelve la ecuación:

Las bases de los logaritmos son inicialmente iguales, tenemos derecho a igualar expresiones sublogarítmicas, no nos olvidemos de la ODZ, elegimos el primer logaritmo para componer la desigualdad:

Ejemplo 2: resuelve la ecuación:

Esta ecuación se diferencia de la anterior en que las bases de los logaritmos son menores que uno, pero esto no afecta de ninguna manera la solución:

Encontremos la raíz y sustituyémosla en la desigualdad:

Recibimos una desigualdad incorrecta, lo que significa que la raíz encontrada no satisface la ODZ.

Ejemplo 3: resuelve la ecuación:

Las bases de los logaritmos son inicialmente iguales, tenemos derecho a igualar expresiones sublogarítmicas, no nos olvidemos de la ODZ, elegimos el segundo logaritmo para componer la desigualdad:

Encontremos la raíz y sustituyémosla en la desigualdad:

Obviamente, sólo la primera raíz satisface la ODZ.

Ecuaciones y desigualdades logarítmicas. en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas se dedica a problema C3 . Todo estudiante debe aprender a resolver las tareas C3 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas si quiere aprobar el próximo examen con "bueno" o "excelente". Este artículo proporciona una breve descripción general de las ecuaciones y desigualdades logarítmicas más comunes, así como de los métodos básicos para resolverlas.

Entonces, veamos algunos ejemplos hoy. ecuaciones y desigualdades logarítmicas, que se ofrecieron a los estudiantes en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas de años anteriores. Pero empezaremos con un breve resumen de los principales puntos teóricos que necesitaremos para solucionarlos.

función logarítmica

Definición

Función de la forma

0,\, a\ne 1 \]" title="Representado por QuickLaTeX.com">!}

llamado función logarítmica.

Propiedades básicas

Propiedades básicas de la función logarítmica. y= iniciar sesión una x:

La gráfica de una función logarítmica es curva logarítmica:

Propiedades de los logaritmos

Logaritmo del producto dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de estos números:

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Logaritmo del cociente dos números positivos es igual a la diferencia entre los logaritmos de estos números:

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Si a Y b a≠ 1, luego para cualquier número r la igualdad es verdadera:

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Igualdad registro a t= iniciar sesión a s, Dónde a > 0, a ≠ 1, t > 0, s> 0, válido si y sólo si t = s.

Si a, b, C son números positivos y a Y C son diferentes de la unidad, entonces la igualdad ( fórmula para pasar a una nueva base logarítmica):

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Teorema 1. Si F(X) > 0 y gramo(X) > 0, entonces la ecuación logarítmica log una f(X) = iniciar sesión una g(X) (Dónde a > 0, a≠ 1) es equivalente a la ecuación F(X) = gramo(X).

Resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación:

Solución. El rango de valores aceptables incluye solo aquellos X, para el cual la expresión bajo el signo del logaritmo es mayor que cero. Estos valores están determinados por el siguiente sistema de desigualdades:

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Teniendo en cuenta que

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obtenemos el intervalo que define el rango de valores permitidos de esta ecuación logarítmica:

Basándonos en el Teorema 1, cuyas condiciones se cumplen aquí, procedemos a la siguiente ecuación cuadrática equivalente:

El rango de valores aceptables incluye solo la primera raíz.

Respuesta: x = 7.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación:

Solución. El rango de valores aceptables de la ecuación está determinado por el sistema de desigualdades:

ql-right-eqno">

Solución. El rango de valores aceptables de la ecuación se determina aquí fácilmente: X > 0.

Usamos sustitución:

La ecuación se convierte en:

Sustitución inversa:

Ambos respuesta están dentro del rango de valores aceptables de la ecuación porque son números positivos.

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación:

Solución. Comencemos la solución nuevamente determinando el rango de valores aceptables de la ecuación. Está determinada por el siguiente sistema de desigualdades:

ql-right-eqno">

Las bases de los logaritmos son las mismas, por lo que en el rango de valores aceptables podemos proceder a la siguiente ecuación cuadrática:

La primera raíz no está dentro del rango de valores aceptables de la ecuación, pero la segunda sí.

Respuesta: X = -1.

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación:

Solución. Buscaremos soluciones intermedias X > 0, X≠1. Transformemos la ecuación a una equivalente:

Ambos respuesta están dentro del rango de valores aceptables de la ecuación.

Ejemplo 6. Resuelve la ecuación:

Solución. El sistema de desigualdades que define el rango de valores permisibles de la ecuación esta vez tiene la forma:

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Usando las propiedades del logaritmo, transformamos la ecuación en una ecuación que sea equivalente en el rango de valores aceptables:

Usando la fórmula para pasar a una nueva base de logaritmo, obtenemos:

El rango de valores aceptables incluye solo uno respuesta: X = 4.

Pasemos ahora a desigualdades logarítmicas . Esto es exactamente con lo que tendrás que lidiar en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Para resolver más ejemplos necesitamos el siguiente teorema:

Teorema 2. Si F(X) > 0 y gramo(X) > 0, entonces:
en a> 1 desigualdad logarítmica log a F(X) > registrar un gramo(X) equivale a una desigualdad del mismo significado: F(X) > gramo(X);
en 0< a < 1 логарифмическое неравенство log a F(X) > registrar un gramo(X) equivale a una desigualdad con significado opuesto: F(X) < gramo(X).

Ejemplo 7. Resuelve la desigualdad:

Solución. Comencemos por definir el rango de valores aceptables de la desigualdad. La expresión bajo el signo de la función logarítmica debe tomar sólo valores positivos. Esto significa que el rango requerido de valores aceptables está determinado por el siguiente sistema de desigualdades:

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Dado que la base del logaritmo es un número menor que uno, la función logarítmica correspondiente será decreciente y, por tanto, según el Teorema 2, la transición a la siguiente desigualdad cuadrática será equivalente:

Finalmente, teniendo en cuenta el rango de valores aceptables, obtenemos respuesta:

Ejemplo 8. Resuelve la desigualdad:

Solución. Empecemos de nuevo definiendo el rango de valores aceptables:

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Sobre el conjunto de valores admisibles de la desigualdad realizamos transformaciones equivalentes:

Después de la reducción y transición a la desigualdad equivalente mediante el Teorema 2, obtenemos:

Teniendo en cuenta el rango de valores aceptables, obtenemos el resultado final. respuesta:

Ejemplo 9. Resolver desigualdad logarítmica:

Solución. El rango de valores aceptables de desigualdad está determinado por el siguiente sistema:

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Se puede observar que en el rango de valores aceptables, la expresión en la base del logaritmo es siempre mayor que uno, por lo que, según el Teorema 2, la transición a la siguiente desigualdad será equivalente:

Teniendo en cuenta el rango de valores aceptables, obtenemos la respuesta final:

Ejemplo 10. Resuelve la desigualdad:

Solución.

El rango de valores aceptables de desigualdad está determinado por el sistema de desigualdades:

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Método I Usemos la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo y pasemos a una desigualdad que sea equivalente en el rango de valores aceptables.

Las matemáticas son más que ciencia., este es el lenguaje de la ciencia.

El físico y figura pública danesa Niels Bohr

Ecuaciones logarítmicas

Entre las tareas típicas, ofrecido en las pruebas de ingreso (competitivas), son las tareas, relacionado con la resolución de ecuaciones logarítmicas. Para resolver con éxito este tipo de problemas, es necesario tener un buen conocimiento de las propiedades de los logaritmos y tener las habilidades para utilizarlos.

Este artículo presenta primero los conceptos y propiedades básicos de los logaritmos., y luego se consideran ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas.

Conceptos y propiedades básicos.

Primero, presentamos las propiedades básicas de los logaritmos., cuyo uso permite resolver con éxito ecuaciones logarítmicas relativamente complejas.

La identidad logarítmica principal se escribe como

, (1)

Entre las propiedades más conocidas de los logaritmos se encuentran las siguientes igualdades:

1. Si , , y , entonces , ,

2. Si , , y , entonces .

3. Si , y , entonces .

4. Si , , y número natural, Eso

5. Si , , y número natural, Eso

6. Si , y , entonces .

7. Si , y , entonces .

Las propiedades más complejas de los logaritmos se formulan mediante las siguientes afirmaciones:

8. Si , , y , entonces

9. Si , y , entonces

10. Si , , y , entonces

La demostración de las dos últimas propiedades de los logaritmos se encuentra en el libro de texto del autor “Matemáticas para estudiantes de secundaria: secciones adicionales de matemáticas escolares” (M.: Lenand / URSS, 2014).

También vale la pena señalar Cuál es la función esta incrementando, si , y decreciente , si .

Veamos ejemplos de problemas para resolver ecuaciones logarítmicas., ordenados en orden de dificultad creciente.

Ejemplos de resolución de problemas

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

. (2)

Solución. De la ecuación (2) tenemos. Transformemos la ecuación de la siguiente manera: , o .

Porque , entonces la raíz de la ecuación (2) es.

Respuesta: .

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación

Solución. La ecuación (3) es equivalente a las ecuaciones

O .

De aquí obtenemos.

Respuesta: .

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación

Solución. De la ecuación (4) se deduce, Qué . Usando la identidad logarítmica básica (1), podemos escribir

o .

Si pones entonces de aquí obtenemos una ecuación cuadrática, que tiene dos raíces Y . Sin embargo, por lo tanto y una raíz adecuada de la ecuación es solo . Desde entonces o .

Respuesta: .

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación

Solución.Rango de valores permitidos de la variable.en la ecuación (5) son.

Déjalo ser . Desde la funciónen el dominio de la definición está disminuyendo, y la función aumenta a lo largo de toda la recta numérica, entonces la ecuación no puede tener más de una raíz.

Por selección encontramos la única raíz..

Respuesta: .

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación.

Solución. Si ambos lados de la ecuación se toman logarítmicamente en base 10, entonces

O .

Resolviendo la ecuación cuadrática para , obtenemos y . Por lo tanto, aquí tenemos y .

Respuesta: , .

Ejemplo 6. Resuelve la ecuación

. (6)

Solución.Usemos la identidad (1) y transformemos la ecuación (6) de la siguiente manera:

O .

Respuesta: , .

Ejemplo 7. Resuelve la ecuación

. (7)

Solución. Teniendo en cuenta la propiedad 9, tenemos . En este sentido, la ecuación (7) toma la forma

De aquí obtenemos o .

Respuesta: .

Ejemplo 8. Resuelve la ecuación

. (8)

Solución.Usemos la propiedad 9 y reescribamos la ecuación (8) en la forma equivalente.

Si luego designamos, entonces obtenemos una ecuación cuadrática, Dónde . Desde la ecuacióntiene una sola raíz positiva, entonces o . Esto implica .

Respuesta: .

Ejemplo 9. Resuelve la ecuación

. (9)

Solución. Dado que de la ecuación (9) se deduce entonces aquí. Según propiedad 10, se puede escribir.

En este sentido, la ecuación (9) será equivalente a las ecuaciones

O .

De aquí obtenemos la raíz de la ecuación (9).

Ejemplo 10. Resuelve la ecuación

. (10)

Solución. El rango de valores permitidos de la variable en la ecuación (10) es. Según la propiedad 4, aquí tenemos

. (11)

Dado que , entonces la ecuación (11) toma la forma de una ecuación cuadrática, donde . Las raíces de una ecuación cuadrática son y .

Desde, entonces y. De aquí obtenemos y .

Respuesta: , .

Ejemplo 11. Resuelve la ecuación

. (12)

Solución. Denotemos entonces y la ecuación (12) toma la forma

. (13)

Es fácil ver que la raíz de la ecuación (13) es. Demostremos que esta ecuación no tiene otras raíces. Para ello se divide ambos lados entre y se obtiene la ecuación equivalente

. (14)

Dado que la función es decreciente y creciente en todo el eje numérico, entonces la ecuación (14) no puede tener más de una raíz. Como las ecuaciones (13) y (14) son equivalentes, la ecuación (13) tiene una raíz única.

Desde, entonces y.

Respuesta: .

Ejemplo 12. Resuelve la ecuación

. (15)

Solución. Denotemos y . Dado que la función disminuye en el dominio de definición y aumenta para cualquier valor, la ecuación no puede tener la misma raíz. Por selección directa establecemos que la raíz deseada de la ecuación (15) es .

Respuesta: .

Ejemplo 13. Resuelve la ecuación

. (16)

Solución. Usando las propiedades de los logaritmos, obtenemos

Desde entonces y tenemos desigualdad

La desigualdad resultante coincide con la ecuación (16) solo en el caso en que o .

Por sustitución de valoren la ecuación (16) estamos convencidos de que, Qué es su raíz.

Respuesta: .

Ejemplo 14. Resuelve la ecuación

. (17)

Solución. Desde aquí, entonces la ecuación (17) toma la forma.

Si ponemos , obtenemos la ecuación.

, (18)

Dónde . De la ecuación (18) se deduce: o . Desde entonces, la ecuación tiene una raíz adecuada. Sin embargo, es por eso.

Ejemplo 15. Resuelve la ecuación

. (19)

Solución. Denotemos , entonces la ecuación (19) toma la forma . Si llevamos esta ecuación a base 3, obtenemos

De ello se deduce que y . Desde, entonces y. En este sentido, y.

Respuesta: , .

Ejemplo 16. Resuelve la ecuación

. (20)

Solución. Ingresemos el parámetroy reescribir la ecuación (20) en forma de ecuación cuadrática con respecto al parámetro, es decir.

. (21)

Las raíces de la ecuación (21) son

o , . Dado que tenemos ecuaciones y . De aquí obtenemos y .

Respuesta: , .

Ejemplo 17. Resuelve la ecuación

. (22)

Solución. Para establecer el dominio de definición de la variable en la ecuación (22), es necesario considerar un conjunto de tres desigualdades: , y .

Aplicando la propiedad 2, de la ecuación (22) obtenemos

. (23)

Si en la ecuación (23) ponemos, entonces obtenemos la ecuación

. (24)

La ecuación (24) se resolverá de la siguiente manera:

De ello se deduce que y , es decir la ecuación (24) tiene dos raíces: y .

Desde , entonces , o , .

Respuesta: , .

Ejemplo 18. Resuelve la ecuación

. (25)

Solución. Usando las propiedades de los logaritmos, transformamos la ecuación (25) de la siguiente manera:

, , .

De aquí obtenemos.

Ejemplo 19. Resuelve la ecuación

. (26)

Solución. Desde entonces.

A continuación tenemos. Por eso , la igualdad (26) se satisface sólo si, cuando ambos lados de la ecuación son iguales a 2 al mismo tiempo.

De este modo , la ecuación (26) es equivalente al sistema de ecuaciones

De la segunda ecuación del sistema obtenemos

O .

es fácil de ver Cuál es el significado también satisface la primera ecuación del sistema.

Respuesta: .

Para un estudio más profundo de los métodos para resolver ecuaciones logarítmicas, puede consultar los libros de texto de la lista de literatura recomendada.

1. Kushnir A.I. Obras maestras de las matemáticas escolares (problemas y soluciones en dos libros). – Kyiv: Astarté, libro 1, 1995. – 576 p.

2. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Paz y Educación, 2013. – 608 p.

3. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: secciones adicionales del plan de estudios escolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

4. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: tareas de mayor complejidad. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200 p.

5. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos no estándar para la resolución de problemas. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.

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