Esfera inscrita en un prisma triangular regular. Poliedros circunscritos alrededor de una esfera Un poliedro se llama circunscrito alrededor de una esfera si los planos de todas sus caras tocan la esfera

El tema "Diferentes problemas para poliedros, cilindros, conos y bolas" es uno de los más difíciles en el curso de geometría de 11 ° grado. Antes de resolver problemas geométricos, suelen estudiar las secciones relevantes de la teoría, a las que se hace referencia al resolver problemas. En el libro de texto de S. Atanasyan et al. Sobre este tema (p. 138), solo se pueden encontrar definiciones de un poliedro descrito alrededor de una esfera, un poliedro inscrito en una esfera, una esfera inscrita en un poliedro y una esfera descrita cerca de un poliedro. V pautas En este libro de texto (ver el libro "Estudio de geometría en los grados 10-11" por SM Sahakyan y V.F.Butuzov, p. 159) se dice qué combinaciones de cuerpos se consideran al resolver los problemas No. 629-646, y se dirige la atención a el hecho de que “a la hora de resolver un problema en particular, en primer lugar, es necesario asegurarse de que los alumnos tengan una buena idea de la posición relativa de los cuerpos indicados en la condición”. La siguiente es la solución a los problemas No. 638 (a) y No. 640.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, y el hecho de que las tareas más difíciles para los estudiantes son los problemas de combinar una pelota con otros cuerpos, es necesario sistematizar las disposiciones teóricas correspondientes y comunicarlas a los estudiantes.

Definiciones

1. Una bola se llama inscrita en un poliedro y un poliedro se llama circunscrito alrededor de una bola si la superficie de la bola toca todas las caras del poliedro.

2. Una bola se llama circunscrita alrededor de un poliedro y un poliedro se llama inscrito en una bola si la superficie de la bola pasa por todos los vértices del poliedro.

3. Una bola se llama inscrita en un cilindro, un cono truncado (cono) y un cilindro, un cono truncado (cono), se describe cerca de la bola si la superficie de la bola toca las bases (base) y todas las generatrices de el cilindro, cono truncado (cono).

(De esta definición se deduce que el gran círculo de la bola puede inscribirse en cualquier sección axial de estos cuerpos).

4. Una bola se llama circunscrita alrededor de un cilindro, un cono truncado (cono), si los círculos base (círculo base y vértice) pertenecen a la superficie de la bola.

(De esta definición se deduce que en cualquier sección axial de estos cuerpos se puede describir la circunferencia de un círculo más grande de la bola).

Observaciones generales sobre la posición del centro del balón.

1. El centro de una bola inscrita en un poliedro se encuentra en el punto de intersección de los planos bisectores de todos los ángulos diedros del poliedro. Está ubicado solo dentro del poliedro.

2. El centro de la bola circunscrito al poliedro se encuentra en la intersección de los planos perpendiculares a todos los bordes del poliedro y pasa por sus puntos medios. Puede ubicarse dentro, en la superficie y fuera del poliedro.

Combinación de bola con prisma.

1. Una bola inscrita en un prisma recto.

Teorema 1. Se puede inscribir una bola en un prisma recto si y solo si se puede inscribir un círculo en la base del prisma, y ​​la altura del prisma es igual al diámetro de este círculo.

Corolario 1. El centro de la bola inscrito en un prisma recto se encuentra en el medio de la altura del prisma que pasa por el centro del círculo inscrito en la base.

Corolario 2. Una bola, en particular, se puede inscribir en líneas rectas: triangular, regular, cuadrangular (en las que las sumas de los lados opuestos de la base son iguales entre sí), siempre que H = 2r, donde H es la altura del prisma. , r es el radio del círculo inscrito en la base.

2. Una bola descrita alrededor de un prisma.

Teorema 2. Una bola se puede describir cerca de un prisma si y solo si el prisma es recto y se puede describir un círculo cerca de su base.

Corolario 1... El centro de la bola descrita sobre un prisma recto se encuentra en el medio de la altura del prisma dibujado a través del centro del círculo descrito sobre la base.

Corolario 2. La esfera, en particular, se puede describir: cerca de un prisma triangular recto, cerca de un prisma regular, cerca de un paralelepípedo rectangular, cerca de un prisma cuadrangular recto, en el que la suma de los ángulos opuestos de la base es de 180 grados.

Del libro de texto de L.S. Atanasyan sobre la combinación de una bola con un prisma, se pueden proponer los problemas No. 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b).

Combinación de bola con pirámide.

1. Una bola descrita alrededor de una pirámide.

Teorema 3. Una bola se puede describir alrededor de una pirámide si y solo si se puede describir un círculo cerca de su base.

Corolario 1. El centro de la bola circunscrito alrededor de la pirámide se encuentra en el punto de intersección de una línea recta perpendicular a la base de la pirámide que pasa por el centro del círculo circunscrito alrededor de esta base y un plano perpendicular a cualquier borde lateral dibujado a través del medio de este borde.

Corolario 2. Si los bordes laterales de la pirámide son iguales entre sí (o están igualmente inclinados al plano de la base), entonces se puede describir una bola alrededor de dicha pirámide. El centro de esta bola en este caso se encuentra en el punto de intersección de la altura de la pirámide (o su continuación) con el eje de simetría del borde lateral que se encuentra en el plano lateral de la nervadura y altura.

Corolario 3. La bola, en particular, se puede describir: cerca de una pirámide triangular, cerca de una pirámide regular, cerca de una pirámide cuadrangular, en la que la suma de los ángulos opuestos es de 180 grados.

2. Una bola inscrita en una pirámide.

Teorema 4. Si las caras laterales de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto a la base, entonces se puede inscribir una bola en dicha pirámide.

Corolario 1. El centro de la bola inscrita en la pirámide, cuyas caras laterales están igualmente inclinadas a la base, se encuentra en el punto de intersección de la altura de la pirámide con la bisectriz del ángulo lineal de cualquier ángulo diedro en la base de la pirámide, el lado de los cuales es la altura de la cara lateral extraída de la parte superior de la pirámide.

Corolario 2. Puede inscribir una bola en la pirámide correcta.

Del libro de texto de L.S. Atanasyan sobre la combinación de una pelota con una pirámide, se pueden sugerir los problemas No. 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641.

Combinación de bola con pirámide truncada.

1. Una bola circunscrita a una pirámide truncada regular.

Teorema 5. Una bola se puede describir alrededor de cualquier pirámide truncada regular. (Esta condición es suficiente, pero no necesaria)

2. Una bola inscrita en una pirámide truncada regular.

Teorema 6. Una bola puede inscribirse en una pirámide truncada regular si y solo si la apotema de la pirámide es igual a la suma de las apotemas de las bases.

Solo hay un problema para la combinación de una pelota con una pirámide truncada en el libro de texto de L.S. Atanasyan (n. ° 636).

Una combinación de bola con cuerpos redondos.

Teorema 7. Una bola se puede describir alrededor de un cilindro, un cono truncado (circular recto) o un cono.

Teorema 8. Una bola puede inscribirse en un cilindro (circular recto) si y solo si el cilindro es equilátero.

Teorema 9. Una bola se puede inscribir en cualquier cono (circular recta).

Teorema 10. Una bola puede inscribirse en un cono truncado (circular recta) si y solo si su generador es igual a la suma de los radios de las bases.

Del libro de texto de L.S. Atanasyan, se pueden proponer los problemas № 642, 643, 644, 645, 646 para la combinación de una pelota con cuerpos redondos.

Para un estudio más exitoso del material sobre este tema, es necesario incluir tareas orales en el curso de las lecciones:

1. La arista del cubo es igual a a. Encuentra los radios de las bolas: inscritos en el cubo y descritos a su alrededor. (r = a / 2, R = a3).

2. ¿Es posible describir una esfera (bola) alrededor de: a) un cubo; B) paralelepípedo rectangular; c) un paralelepípedo inclinado, en cuya base hay un rectángulo; GRAMO) paralelepípedo recto; e) ¿un paralelepípedo inclinado? (a) sí; b) sí; c) no; d) no; e) no)

3. ¿Es cierto que una esfera se puede describir alrededor de cualquier pirámide triangular? (Sí)

4. ¿Es posible describir una esfera alrededor de cualquier pirámide cuadrangular? (No, no alrededor de ninguna pirámide cuadrangular)

5. ¿Qué propiedades debe tener una pirámide para describir una esfera a su alrededor? (En su base debe haber un polígono, alrededor del cual se puede describir un círculo)

6. Se inscribe una pirámide en la esfera, cuyo borde lateral es perpendicular a la base. ¿Cómo encuentro el centro de una esfera? (El centro de la esfera es el punto de intersección de dos lugares geométricos puntos en el espacio. La primera es una perpendicular trazada al plano de la base de la pirámide a través del centro del círculo circunscrito a ella. El segundo es un plano perpendicular a este borde lateral y dibujado a través de su centro)

7. ¿En qué condiciones se puede describir una esfera cerca de un prisma, en cuya base hay un trapezoide? (En primer lugar, el prisma debe ser recto y, en segundo lugar, el trapezoide debe ser isósceles para que se pueda describir un círculo a su alrededor)

8. ¿Qué condiciones debe satisfacer un prisma para describir una esfera a su alrededor? (El prisma debe ser recto y su base debe ser un polígono, alrededor del cual se puede describir un círculo)

9. Se describe una esfera cerca de un prisma triangular, cuyo centro se encuentra fuera del prisma. ¿Qué triángulo es la base del prisma? (Triángulo obtuso)

10. ¿Puedes describir una esfera alrededor de un prisma inclinado? (No)

11. ¿Bajo qué condición se ubicará el centro de una esfera descrita sobre un prisma triangular recto en una de las caras laterales del prisma? (En la base hay un triángulo rectángulo)

12. La base de la pirámide es un trapezoide isósceles La proyección ortogonal del vértice de la pirámide sobre el plano de la base es un punto ubicado fuera del trapezoide. ¿Es posible describir una esfera alrededor de un trapezoide así? (Sí se puede. El hecho de que la proyección ortogonal de la parte superior de la pirámide esté ubicada fuera de su base no importa. Es importante que en la base de la pirámide se encuentre Trapecio isósceles- un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo)

13. Se describe una esfera cerca de la pirámide regular. ¿Cómo se ubica su centro en relación con los elementos de la pirámide? (El centro de la esfera está en la perpendicular trazada al plano de la base a través de su centro)

14. ¿En qué condiciones se encuentra el centro de una esfera descrita sobre un prisma triangular recto: a) dentro del prisma; b) fuera del prisma? (En la base del prisma: a) un triángulo de ángulo agudo; b) triángulo obtuso)

15. Se describe una esfera alrededor de un paralelepípedo rectangular, cuyos bordes son iguales a 1 dm, 2 dm y 2 dm. Calcula el radio de la esfera. (1,5 dm)

16. ¿En qué cono truncado se puede inscribir la esfera? (En un cono truncado, en cuya sección axial se puede inscribir un círculo. La sección axial del cono es un trapezoide isósceles, la suma de sus bases debe ser igual a la suma de sus lados laterales. En otras palabras, el suma de los radios de las bases del cono debe ser igual a la generatriz)

17. Una esfera está inscrita en un cono truncado. ¿En qué ángulo es visible la generatriz del cono desde el centro de la esfera? (90 grados)

18. ¿Qué propiedad debe tener un prisma recto para poder inscribir una esfera en él? (En primer lugar, en la base de un prisma recto debe haber un polígono en el que se pueda inscribir un círculo y, en segundo lugar, la altura del prisma debe ser igual al diámetro del círculo inscrito en la base)

19. Da un ejemplo de una pirámide en la que no se pueda inscribir una esfera. (Por ejemplo, una pirámide cuadrangular, en la base de la cual hay un rectángulo o paralelogramo)

20. En la base del prisma recto hay un rombo. ¿Se puede inscribir una esfera en este prisma? (No, no se puede, ya que en el caso general no se puede describir un círculo alrededor de un rombo)

21. ¿En qué condiciones se puede inscribir una esfera en un prisma triangular recto? (Si la altura del prisma es el doble del radio del círculo inscrito en la base)

22. ¿En qué condiciones se puede inscribir una esfera en una pirámide truncada cuadrangular regular? (Si la sección de esta pirámide por un plano que pasa por el medio del lado de la base perpendicular a ella es un trapezoide isósceles en el que se puede inscribir un círculo)

23. Una esfera está inscrita en una pirámide triangular truncada. ¿Qué punto de la pirámide es el centro de la esfera? (El centro de la esfera inscrita en esta pirámide está en la intersección de tres planos bisectrales de los ángulos formados por las caras laterales de la pirámide con la base)

24. ¿Es posible describir una esfera alrededor de un cilindro (circular derecha)? (Sí tu puedes)

25. ¿Es posible describir una esfera alrededor de un cono, un cono truncado (circular recta)? (Sí se puede, en ambos casos)

26. ¿Se puede inscribir una esfera en cualquier cilindro? ¿Qué propiedades debe tener un cilindro para poder inscribir una esfera? (No, no todos: la sección axial del cilindro debe ser cuadrada)

27. ¿Se puede inscribir una esfera en cada cono? ¿Cómo determinar la posición del centro de una esfera inscrita en un cono? (Sí, en cualquiera. El centro de la esfera inscrita está en la intersección de la altura del cono y la bisectriz del ángulo de inclinación de la generatriz al plano de la base)

El autor cree que de las tres lecciones de planificación sobre el tema “Problemas diferentes para poliedros, un cilindro, un cono y una bola”, dos lecciones deberían dedicarse a resolver problemas que involucren una combinación de una bola con otros cuerpos. No se recomienda probar los teoremas dados anteriormente debido a la cantidad insuficiente de tiempo en las lecciones. Se puede ofrecer a los alumnos que tengan las habilidades suficientes para acreditarlas, indicando (a criterio del profesor) el curso o plan de la prueba.

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Poliedros circunscritos alrededor de una esfera Un poliedro se llama circunscrito alrededor de una esfera si los planos de todas sus caras tocan la esfera. La esfera en sí se llama inscrita en un poliedro. Teorema. Una esfera se puede inscribir en un prisma si y solo si se puede inscribir un círculo en su base, y la altura del prisma es igual al diámetro de este círculo. Teorema. En cualquier pirámide triangular, puede inscribir una esfera y, además, solo una.

Ejercicio 1 Borra el cuadrado y dibuja dos paralelogramos que representen la parte superior e inferior del cubo. Conecta sus vértices con segmentos. Obtenga una imagen de una esfera inscrita en un cubo. Dibuja una esfera inscrita en un cubo como en la diapositiva anterior. Para ello, dibuja una elipse inscrita en un paralelogramo obtenido al comprimir un círculo y un cuadrado 4 veces. Marca los polos de la esfera y los puntos de tangencia de la elipse y el paralelogramo.

Ejercicio 1 La esfera se inscribe en línea recta. prisma cuadrangular, en cuya base hay un rombo con un lado de 1 y un ángulo agudo de 60 °. Calcula el radio de la esfera y la altura del prisma. Solución. El radio de la esfera es igual a la mitad de la altura DG de la base, es decir La altura del prisma es igual al diámetro de la esfera, es decir

Ejercicio 4 La esfera está inscrita en un prisma cuadrangular recto, en cuya base hay un cuadrilátero, perímetro 4 y área 2. Calcula el radio r de la esfera inscrita. Solución. Tenga en cuenta que el radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en la base del prisma. Usaremos el hecho de que el radio de un círculo inscrito en un polígono es igual al área de este polígono dividida por su medio perímetro. Obtenemos

Ejercicio 3 Calcula el radio de una esfera inscrita en una pirámide triangular regular, el lado de la base de la cual es 2, y los ángulos diedros en la base son 60 °. Solución. Usemos el hecho de que el centro de la esfera inscrita es el punto de intersección de los planos bisectrales de los ángulos diedros en la base de la pirámide. Para el radio de la esfera OE, se mantiene la igualdad.

Ejercicio 4 Calcula el radio de una esfera inscrita en una pirámide triangular regular, cuyos bordes laterales son iguales a 1 y los ángulos planos en el vértice son 90 °. Respuesta: Decisión. En el tetraedro SABC, tenemos: SD = DE = SE = De la similitud de los triángulos SOF y SDE, obtenemos la ecuación resolviendo cuál, encontramos

Ejercicio 1 Encuentre el radio de una esfera inscrita en una pirámide cuadrangular regular, cuyas aristas son iguales a 1. Usemos el hecho de que para el radio r de un círculo inscrito en un triángulo, se cumple la siguiente fórmula: r = S / p, donde S es el área, p es el semiperímetro del triángulo ... En nuestro caso, S = p = Solución. El radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en el triángulo SEF, en el que SE = SF = EF = 1, SG = Por lo tanto,

Ejercicio 2 Encuentre el radio de una esfera inscrita en una pirámide cuadrangular regular, cuyo lado de la base es 1 y el borde lateral es 2. Usamos el hecho de que para el radio r de un círculo inscrito en un triángulo, la siguiente fórmula tiene lugar: r = S / p, donde S - área, p es el semiperímetro del triángulo. En nuestro caso, S = p = Solución. El radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en el triángulo SEF, en el que SE = SF = EF = 1, SG = Por lo tanto,

Ejercicio 3 Calcula el radio de una esfera inscrita en una pirámide cuadrangular regular, cuyo lado de la base es 2 y los ángulos diedros en la base son 60 °. Solución. Usemos el hecho de que el centro de la esfera inscrita es el punto de intersección de los planos bisectrales de los ángulos diedros en la base de la pirámide. Para el radio de la esfera OG se cumple la igualdad.

Ejercicio 4 La esfera unitaria está inscrita en una pirámide cuadrangular regular, cuyo lado de base es 4. Calcula la altura de la pirámide. Usaremos el hecho de que para el radio r de un círculo inscrito en un triángulo, se cumple la siguiente fórmula: r = S / p, donde S es el área, p es el semiperímetro del triángulo. En nuestro caso S = 2h, p = Solución. Denotemos la altura SG de la pirámide por h. El radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en el triángulo SEF, en el que SE = SF = EF = 4. Por tanto, tenemos una igualdad a partir de la cual encontramos

Ejercicio 1 Encuentra el radio de una esfera inscrita en una pirámide hexagonal regular con aristas de base iguales a 1 y aristas laterales iguales a 2. Usaremos el hecho de que para el radio r de un círculo inscrito en un triángulo, se cumple la siguiente fórmula: r = S / p, donde S es el área, p es el semiperímetro del triángulo. En nuestro caso, S = p = Por lo tanto, Solución. El radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en el triángulo SPQ, en el que SP = SQ = PQ = SH =

Ejercicio 2 Calcula el radio de una esfera inscrita en una pirámide hexagonal regular con aristas de base iguales a 1 y ángulos diedros en la base iguales a 60 grados. Solución. Usemos el hecho de que el centro de la esfera inscrita es el punto de intersección de los planos bisectrales de los ángulos diedros en la base de la pirámide. Para el radio de la esfera OH, se cumple la igualdad.
Ejercicio Calcula el radio de una esfera inscrita en un octaedro unitario. Respuesta: Decisión. El radio de la esfera es igual al radio del círculo inscrito en el rombo SESF, en el que SE = SF = EF = 1, SO = Entonces la altura del rombo, bajada desde el vértice E, será igual a La requerida el radio es igual a la mitad de la altura y es igual a O

Ejercicio Calcula el radio de una esfera inscrita en un icosaedro unitario. Solución. Usamos el hecho de que el radio OA de la esfera circunscrita es igual al radio AQ del círculo circunscrito alrededor de triángulo equilátero con el lado 1 es igual a Por el teorema de Pitágoras aplicado a triángulo rectángulo OAQ, haz ejercicio Calcula el radio de una esfera inscrita en un dodecaedro unitario. Solución. Usaremos el hecho de que el radio DE la esfera circunscrita es igual al radio FQ del círculo circunscrito alrededor de pentágono equilátero con el lado 1 es igual Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo OFQ, obtenemos

Ejercicio 1 ¿Puedes inscribir una esfera en un tetraedro truncado? Solución. Nótese que el centro O de la esfera inscrito en el tetraedro truncado debe coincidir con el centro de la esfera inscrito en el tetraedro, que coincide con el centro de la esfera, medio inscrito en el tetraedro truncado. Las distancias d 1, d 2 desde el punto O a las caras hexagonal y triangular se calculan mediante el teorema de Pitágoras: donde R es el radio de la esfera medio inscrita, r 1, r 2 son los radios de los círculos inscritos en el hexágono y triángulo, respectivamente. Dado que r 1> r 2, entonces d 1 r 2, luego d 1