Lo que se encuentra en la base de paralelepípedo directo. Figuras geometricas

En esta lección, todos podrán explorar el tema "rectangular paralelepípedo". Al comienzo de la lección, repetiremos lo que son los paralelepipedades arbitrarios y directos, recuerde las propiedades de sus caras opuestas y diagonales de los paralelepípedos. Luego considere lo que está paralelepípedo rectangular y discuta sus propiedades básicas.

TEMA: PERPENDICULIDAD DE RECUERDO Y PLANES.

LECCIÓN: Paralelepípedo rectangular

La superficie compuesta por dos paralelogramas iguales de AbsD y 1 en 1 C 1 D 1 y cuatro paralelogramas de ABV 1 A 1, ASC 1 en 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, llamado paralelepípedo (Figura 1).

Higo. 1 paralelepípedo

Es decir: tenemos dos paralelogramas iguales de AbsD y 1 en 1 C 1 d 1 (base), se encuentran en planos paralelos de modo que las costillas laterales AA 1, BB 1, DD 1, SS 1 son paralelas. Por lo tanto, se llama compuesta de la superficie del paralelogramo. paralelepípedo.

Por lo tanto, la superficie del paralelepípedo es la suma de todos los paralelogramas desde los cuales se compila el paralelepípedo.

1. Las caras opuestas de los paralelepípedos son paralelos e iguales.

(Las figuras son iguales, es decir, se pueden combinar con la imposición)

Por ejemplo:

Avd \u003d a 1 en 1 c 1 d 1 (iguales paralelogramas por definición),

AA 1 en 1 V \u003d DD 1 C 1 C (como AA 1 en 1 V y DD 1 con 1 C - Las caras opuestas de los paralelepípedos),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (ya que AA 1 D 1 D y BB 1 C 1 S son las caras opuestas de los paralelepípedos).

2. Las diagonales de los paralelepipados se intersectan en un punto y se dividen por este punto por la mitad.

La diagonal de la CA 1 paralelepípida, en 1 D, y 1 C, D 1 en intersección en un punto O, y cada diagonal se divide por este punto a la mitad (Fig. 2).

Higo. 2 diagonales de los paralelepipados se intersecan y dividen el punto de intersección por la mitad.

3. Hay tres cuatro de los bordes iguales y paralelos de los paralelepipidos.: 1 - AB, A 1 en 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definición. El paralelepípedo se llama directamente si sus costillas laterales son perpendiculares a los terrenos.

Deje que el borde lateral de AA 1 perpendicular a la base (Fig. 3). Esto significa que el AA 1 recto es perpendicular al anuncio directo y AB, que se encuentran en el plano base. Y, significa que los rectángulos se encuentran en el lado del margen. Y en las bases son paralelogramas arbitrarios. Denote por ∠Bad \u003d φ, el ángulo φ puede ser cualquiera.

Higo. 3 paralelepípedo recto

Por lo tanto, paralelepípedo directo es un paralelepípedo, en el que las costillas laterales son perpendiculares a las bases de los paralelepípedos.

Definición. Paralelepípedo se llama rectangular, Si sus costillas laterales son perpendiculares a la base. Las cuencas son rectángulos.

Parallepiped Avda 1 en 1 C1 D 1 - rectangular (Fig. 4), si:

1. AA 1 ⊥ AVD (borde lateral perpendicular al plano de la Fundación, es decir, paralelepípedo directo).

2. ∠VD \u003d 90 °, es decir, en la base es un rectángulo.

Higo. 4 paralelepípedo rectangular

El paralelepípedo rectangular tiene todas las propiedades de los paralelepípedos arbitrarios. Pero hay propiedades adicionales que se derivan de la definición de un paralelepípedo rectangular.

Entonces, paralelepípedo rectangular - Esto es un paralelepímetro, cuyas costillas laterales son perpendiculares a la base. La base de la paralela rectangular es un rectángulo..

1. En un paralelepípedo rectangular, las seis caras de rectángulos.

Absd y 1 en 1 C 1 d 1 - Rectángulos por definición.

2. Bordes laterales perpendiculares a la base.. Entonces, todas las caras laterales de los paralelepípedos rectangulares son rectángulos.

3. Todas las esquinas dumartidas del rectangular paralelepípedo directo.

Considere, por ejemplo, una esquina diurral de un rectangular paralelepípedo con un borde de AV, es decir, el ángulo dihedral entre los aviones AVB 1 y ABS.

AV - Edge, punto A 1 se encuentra en el mismo plano, en el plano de ABV 1, y punto D en el otro, en el plano A 1 en 1 S 1 D 1. Luego, el ángulo dihedral conspiró aún se puede indicar de la siguiente manera: ∠A 1 AVD.

Tome el punto A en el borde de AB. AA 1 - perpendicular al borde de AV en el plano de ABV-1, anuncio perpendicular al borde de AB en el plano ABC. Entonces, ∠a 1 AD es el ángulo lineal de este ángulo dihedral. ∠A 1 AD \u003d 90 °, lo que significa que el ángulo del enano en el borde de la AV es 90 °.

∠ (AVB 1, ABC) \u003d ∠ (AV) \u003d ∠A 1 AVD \u003d ∠A 1 AD \u003d 90 °.

De manera similar, se demuestra que cualquier cavado en las esquinas del rectangular paralelepípedo directo.

La diagonal cuadrada del paralelepípedo rectangular es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones.

Nota. La longitud de las tres costillas que emanan de un vértice de los paralelepípedos rectangulares son mediciones de un paralelepípedo rectangular. A veces se llaman la longitud, el ancho, la altura.

Se da: AVDA 1 en 1 C 1 D 1 - Paralelepípedo rectangular (Fig. 5).

Probar:

Higo. 5 rectangular paralelepípedo

Evidencia:

Dirigir SS 1 perpendicular al plano ABC, y, por lo tanto, el altavoz recto. Entonces, el triángulo SS 1 A es rectangular. Según el teorema de Pythagore:

Considere el triángulo rectangular ABC. Según el teorema de Pythagore:

Pero el sol y el anuncio son direcciones opuestas del rectángulo. Entonces, sol \u003d anuncio. Luego:

Como , pero luego. Dado que el SS 1 \u003d AA 1, entonces lo que se requirió para probar.

Las diagonales de los paralelepípedos rectangulares son iguales.

Denote por las mediciones del ABC paralelepípedo como A, B, C (ver Fig. 6), luego el AU 1 \u003d CA 1 \u003d en 1 d \u003d db 1 \u003d

Un paralelepípedo se llama prisma, cuyas bases son paralelogramas. En este caso, todos los bordes serán paralelogramas.
Cada paralelepípedo se puede considerar como un prisma de tres maneras diferentes, ya que para las bases se pueden tomar todas las dos caras opuestas (por maldita sea 5 caras de ABCD y una "B" C "D", o AVA "B" y CDC " D ", o VV" C "y ADA" D ").
El cuerpo bajo consideración tiene doce eduario, cuatro iguales y paralelos entre ellos.
Teorema 3. . La diagonal del paralelepípedo se está cruzando en un punto que coincide con el medio de cada uno de ellos.
Parallelepiped ABCDA "B" C "D" (Maldición 5) tiene cuatro DIAGONALES DE AC ", BD", CA ", DB". Debemos demostrar que la mitad de los dos, como CA y BD, coinciden. Esto se desprende del hecho de que la figura ABC "D", que tiene un lado igual y paralelo de AV y C "D", es un paralelogramo .
Definición 7. . Parallelepíped directo se llama el paralelepípedo, que son los prismas directos simultáneamente, es decir, los paralelepípedos, cuyas costillas laterales son perpendiculares al plano base.
Definición 8. . Un paralelepípedo rectangular se llama paralelepípedo directo, cuya base es un rectángulo. Al mismo tiempo, todas sus caras serán rectángulos.
El rectangular paralelepípedo es un prisma directo, que de sus caras hemos tomado la base, ya que cada uno de su borde es perpendicular al ROBRAM que emerge de un vértice, y, por lo tanto, será perpendicular a los planos de las caras definidas por estas costillas. . En contraste con esta línea, pero no rectangular, los paralelepípedos pueden verse como un prisma directo en una sola manera.
Definición 9. . La longitud de las tres costillas de paralelepídea rectangular, de las cuales no dos son paralelas entre sí (por ejemplo, tres bordes que salen de un vértice) se denominan sus medidas. Dos | Paralelepípedos rectangulares que tienen mediciones respectivamente iguales, obviamente, son iguales entre sí.
Definición 10. . CUBO se llama paralelepípedo rectangular, de las tres dimensiones de las cuales son iguales entre sí, por lo que todas sus caras son cuadradas. Dos cubos, las costillas de las cuales son iguales entre sí son iguales.
Definición 11. . El paralelepípedo inclinado, en el que todas las costillas son iguales entre sí y los ángulos de todas las caras son iguales o repuestos, llamados el rombohedro.
Todos los bordes del Rhombre - diamantes iguales. (La forma de un rombohedro tiene algunos cristales que son de gran importancia, por ejemplo, los cristales de la plilla islandesa). En Rhobeeedre, puede encontrar un vértice de este tipo (e incluso dos vértices opuestos) que todos los ángulos adyacentes a ella sean igual entre ellos
Teorema 4. . Las diagonales de los paralelepípedos rectangulares son iguales entre sí. El cuadrado es diagonalmente igual a la suma de los cuadrados de tres dimensiones.
En el rectangular paralelo a ABCDA "B" C "D" (Maldición 6), las diagonales de AC "y BD" son iguales, ya que el cuadrilatador ABC es un rectángulo (directo AV perpendicular al plano de WVC "con" While ") .
Además, AC "2 \u003d BD" 2 \u003d AB2 + AD "2 basado en el teorema en el cuadrado de hipotenuse. Pero sobre la base del mismo anuncio del teorema" 2 \u003d AA "2 + + A" D "2; de Aquí tenemos:
AU "2 \u003d AB 2 + AA" 2 + A "D" 2 \u003d AB 2 + AA "2 + AD 2.

El paralelepípedo es una figura geométrica, las 6 caras de las cuales son los paralelogramas.

Dependiendo del tipo de estos paralelogramas, se distinguen los siguientes tipos de paralelepípedos:

• derecho;
• inclinado;
• rectangular.

El depósito de paralelo directo se llama prisma cuadrangular, cuyas costillas son con el ángulo plano de la base de 90 °.

El paralelepípedo rectangular se llama prisma cuadrangular, toda la cara cuáles son los rectángulos. El cubo es una variedad de prisma cuadrangular, en el que todas las caras y costillas son iguales entre sí.

Las características de la figura predeterminan sus propiedades. Estos incluyen 4 de las siguientes afirmaciones:

Recuerde que todas las propiedades anteriores son simplemente, son fáciles de entender y se emiten lógicamente en función de las especies y características del cuerpo geométrico. Sin embargo, las declaraciones sin complicaciones pueden ser increíblemente útiles cuando se resuelven las asignaciones típicas del uso y ahorrarán tiempo requerido para pasar la prueba.

Fórmulas paralelepipadas

Para buscar respuestas a la tarea no es suficiente para saber solo las propiedades de la figura. También se pueden necesitar algunas fórmulas para encontrar el área y el volumen del cuerpo geométrico.

El área base también es como el indicador de paramelogramo o rectángulo correspondiente. Puedes elegir la base del paralelogramo tú mismo. Como regla general, al resolver problemas, es más fácil trabajar con Priscios, en la base de la que se encuentra el rectángulo.

La fórmula para encontrar la superficie lateral del paralelepípedo también se puede necesitar en las tareas de prueba.

Ejemplos de soluciones de asignaciones típicas del examen.

Ejercicio 1.

Dano: Rectangular paralelepipado con mediciones 3, 4 y 12 cm.
Necesario Encuentre la longitud de una de las diagonales principales de la figura.
Decisión: Cualquier decisión de la tarea geométrica debe comenzar con la construcción de un dibujo correcto y claro, en el que se indicará el "Dado" y el valor deseado. La figura a continuación muestra un ejemplo del diseño correcto de las condiciones de configuración.

Habiendo considerado el dibujo y recordando todas las propiedades del cuerpo geométrico, llegamos a la única manera correcta de resolver. Aplicando 4 propiedades paralelepípedas, obtenemos la siguiente expresión:

Después de cálculos sin complicaciones, obtenemos la expresión B2 \u003d 169, por lo tanto, B \u003d 13. La respuesta de la tarea se encuentra, su búsqueda y su registro deben gastarse no más de 5 minutos.

Tarea 2.

Dano: Paralelepípedo inclinado con un borde lateral de 10 cm, Rectángulo KLNM con medidas de 5 y 7 cm, que es una sección transversal de la forma paralela al borde especificado.
Necesario Encuentra la superficie lateral del prisma cuadrangular.
Decisión: Primero necesitas boceto dado.

Para resolver esta tarea, debe aplicar una mezcla. Se puede ver en la figura que las partes KL y AD son desiguales como un par de ML y DC. Sin embargo, los perímetros de estos paralelogramas son obviamente iguales.

En consecuencia, el área lateral de la figura será igual al área de la sección multiplicada en el borde del AA1, ya que bajo la condición del borde perpendicular a la sección transversal. Respuesta: 240 cm2.

Paralelepípedo rectangular

El paralelepípedo rectangular es tan recto paralelepípedo, cuyas caras son rectángulos.

Es suficiente mirar a su alrededor, y veremos que los artículos que nos rodean tienen la forma similar al paralelepípedo. Se pueden distinguir por color, tienen muchas partes adicionales, pero si estas sutilezas se descartan, se puede decir que, por ejemplo, un gabinete, una caja, etc., tiene aproximadamente la misma forma.

Con el concepto de paralelepípedo rectangular, ¡estamos enfrentados casi todos los días! Mira a mi alrededor y dime dónde ves paralelepípedos rectangulares? ¡Mira el libro, porque es así una forma! La misma forma tiene una barra de ladrillo, match, barra de madera, e incluso en este momento está dentro de un paralelepípedo rectangular, porque el aula es la interpretación más brillante de esta forma geométrica.

La tarea: ¿Y qué ejemplos de paralelepípedos pueden llamar?

Veamos cuidados cuidadosamente los paralelepípedos rectangulares. Y ¿qué vemos?

Primero, vemos que esta cifra está formada a partir de seis rectángulos, que son los bordes del paralelepípedo rectangular;

En segundo lugar, el rectangular paralelepípedo tiene ocho vértices y doce bordes. Las costillas de la paralela rectangular es el lado de sus caras, y los picos de los paralelepípedos son las tapas de las caras.

La tarea:

1. ¿Qué nombre es cada una de las caras del paralelepípedo rectangular? 2. ¿Gracias a qué parámetros se pueden medir con paralelogramas? 3. Dar la definición de caras opuestas.

Vistas de paralelepípedo

Pero los paralelepípedos no solo son rectangulares, sino que también pueden ser rectos e inclinados, y solo deben hacerlo y están divididos en rectangular, indirectal y cubos.

Tarea: mira la imagen y dime qué paralelepípedos se representan. ¿Qué es el rectangular paralelepipado diferente de Cuba?

Propiedades de la rectangular paralelepipeda

Paralelepípedo rectangular posee una serie de propiedades esenciales:

Primero, el cuadrado de la diagonal de esta forma geométrica es igual a la suma de los cuadrados de los tres parámetros principales: altura, anchos y longitudes.

En segundo lugar, todas sus cuatro diagonales son absolutamente idénticas.

En tercer lugar, si los tres parámetros de los paralelepípedos son los mismos, es decir, la longitud, la anchura y la altura son iguales, entonces tal paralelepípedo se llama un cubo, y todas sus caras serán iguales al mismo cuadrado.

La tarea

1. ¿Paralelas rectangulares son las caras iguales? Si hay esos disponibles, luego muéstreles en la imagen. 2. ¿De qué formas geométricas consisten en un borde de un paralelepípedo rectangular? 3. ¿Qué lugar tiene caras iguales en relación entre sí? 4. Nombra el número de pares de caras iguales de esta figura. 5. Encuentra las costillas en un espacio paralelo rectangular que denote la longitud, el ancho, la altura. ¿Cuánto los cuentaste?

Una tarea

Para organizar bellamente un regalo para el cumpleaños de mi madre, Tanya tomó una caja en forma de un paralelepípedo rectangular. Tamaño de esta caja 25 cm * 35 cm * 45 cm. Para hacer que este embalaje sea hermoso, Tanya decidió, se despierta con un hermoso papel, cuyo valor es 3 Hryvnia para 1 DM2. ¿Cuánto necesitas para gastar dinero en papel de embalaje?

Y sabes que el famoso ilusionista David Blaine en el marco del experimento celebró 44 días en un vaso paralelepípedo, suspendido por encima del tú. No comían estos 44 días, pero solo bebían agua. En su combustible voluntario, David solo tomó accesorios escritos, una almohada y un colchón y pañuelos.

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parallelepiped, foto paralelepípeda
Paralelepípedo (Dr.-griego. Παραλληλ-επίπεδον del Dr. Griego. Παρ-άλληλος - "paralelo" y otro, que tiene seis caras y cada uno de ellos. paralelogramo.

• 1 tipos de paralelepipeda
• 2 elementos básicos
• 3 propiedades
• 4 fórmulas básicas
  • 4.1 Straight Parallepiped
  • 4.2 Paralelepípedo rectangular
  • 4.3 metros cúbicos
  • 4.4 Arbitrary Parallelepiped
• 5 análisis matemático
• 6 notas
• 7 enlaces

Tipos de paralelepipeda

Múltiples tipos de paralelepípedos difieren:

• El rectangular paralelepípedo es un paralelepípedo, que tiene todas las caras: rectángulos.
• El paralelepípedo inclinado es un espacio paralelo, las caras laterales de las cuales no son perpendiculares a los terrenos.

Elementos principales

Dos caras de los paralelepípedos, que no tienen un borde común se llaman opuestos, y tienen un borde común, adyacente. Dos vértices de paralelepípedos, que no pertenecen a una cara, se llaman opuestos. El segmento que conecta los vértices opuestos se llama diagonal del paralelepípedo. La longitud de las tres costillas de un parallepípedo rectangular, que tiene un vértice total, se denomina mediciones.

Propiedades

• La paralelepínea es simétrica sobre la mitad de ella es diagonal.
• Cualquier segmento con los extremos que pertenece a la superficie del paralelepípedo y que pase a través de la mitad de ella está diagonalmente, se divide en ella por la mitad; En particular, todas las diagonales de paralelepípedos se intersectan en un momento y compartenlo por la mitad.
• Las caras opuestas de los paralelepípedos son paralelos e iguales.
• El cuadrado de la longitud diagonal del paralelepípedo rectangular es igual a la suma de los cuadrados de las tres dimensiones.

Fórmulas básicas

Paralelepípedo directo

Área de superficie lateral sb \u003d ro * h, donde ro es el perímetro de la base, h - altura

Superficie especial SP \u003d SB + 2SO, donde se encuentra el área.

Volumen V \u003d SO * H

Paralelepípedo rectangular

SB \u003d 2C SIGHT STÁNDICO (A + B), donde A, B - Lado de la base, C - Borde lateral de un paralelepípedo rectangular

Muelles de la superficie completa SP \u003d 2 (AB + BC + AC)

VOLUMEN V \u003d ABC, donde A, B, C - Mediciones de los paralelepipidos rectangulares.

Cúbico

Área de superficie:
Volumen: Dónde - El borde del cubo.

Paralelepípedo arbitrario

El volumen y las proporciones en paralelepípedo inclinado a menudo se determinan utilizando un álgebra vectorial. El volumen de paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores definidos por los tres lados del saliente paralelepípedo de un vértice. La relación entre las longitudes de los lados paralelepípedos y las esquinas entre ellos le da a la afirmación de que el determinante de gramo de estos tres vectores es igual al cuadrado de su trabajo mixto: 215.

En análisis matemático.

En análisis matemático, bajo paralelepípedo rectangular n-dimensional, muchos puntos de la especie entienden

Notas

1. Diccionario griego-ruso antiguo de la mayordomo "παραλληλ-επίπεδον"
2. Gussetnikov PB, Reznichenko S.V. Vector álgebra en ejemplos y tareas. - M.: Escuela Superior, 1985. - 232 p.

Enlaces

• Paralelepípedo rectangular
• Película educativa paralelepípeda.

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Información paralela O.