Funciones de variables aleatorias. Probabilidad y estadística: datos básicos sobre la transformación de variables aleatorias mediante la función delta

66.1. La relación (65.11), que determina la densidad de probabilidad de la variable transformada a través de la densidad de la variable aleatoria original, puede generalizarse al caso de transformación de variables aleatorias. Supongamos que las variables aleatorias tienen una densidad conjunta y se dan funciones y variables. Es necesario encontrar la densidad de probabilidad conjunta de variables aleatorias:

Este problema se diferencia de la formulación general, sección 6.4., por la condición: el número de variables aleatorias iniciales es igual al número de variables transformadas. La transformación inversa (66.1) se encuentra como solución de un sistema de ecuaciones con respecto a variables. Además, cada uno depende de. El conjunto de tales funciones forma una transformación inversa. En general, la transformación inversa es ambigua. Sea - - I la rama de la transformación inversa, entonces la siguiente relación es válida:

donde la suma se toma en todas las ramas de la transformación inversa,

Transformación jacobiana de variables aleatorias a variables aleatorias.

Si de cada conjunto de variables aleatorias se obtienen variables aleatorias, entonces se puede utilizar la fórmula (66.2) complementando el sistema con variables aleatorias, por ejemplo, con dichas variables. Entonces, si las variables aleatorias de la población están funcionalmente relacionadas con las cantidades restantes, la densidad dimensional contendrá funciones delta.

Las relaciones (64.4), (64.6) y (66.2) definen dos métodos para resolver el problema de calcular la densidad de una población de variables aleatorias obtenida por transformación funcional de las variables aleatorias originales con una densidad de probabilidad conjunta. La principal dificultad al aplicar el primer método es calcular la integral dimensional en un dominio complejo. En el segundo método, la principal dificultad es encontrar todas las ramas de la transformación inversa.

66.2. Consideremos un ejemplo sencillo de cálculo de la densidad de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias y con la densidad según la fórmula (66.2). Obviamente, la suma debe elegirse como primera cantidad transformada: , y como segunda (aunque puedes tomar y). Así, la transformación funcional de,a,está dada por el sistema de ecuaciones:

La transformación inversa es la solución de un sistema de ecuaciones con respecto a:

La transformación inversa es única, por lo tanto en (66.2) la suma consta de un término. Encontremos el jacobiano de la transformación:

Ahora (66.2) para toma la forma:

La función es la densidad de probabilidad conjunta de variables aleatorias y. Por tanto, la densidad de probabilidad de la suma se encuentra a partir de la condición de consistencia:

Consideremos el primer método para resolver el mismo problema. De (64.4) se sigue:

El problema se reduce a transformar la integral en el dominio definido por la condición. Esta integral se puede representar como:

De ahí la densidad de probabilidad:

De ahí la densidad de probabilidad:

que coincide con la fórmula (66.7).

Distribución de probabilidad chi-cuadrado

67.1. Una distribución chi-cuadrado con grados de libertad es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria, donde son variables aleatorias independientes y todas son gaussianas con expectativa y varianza matemática. De acuerdo con la fórmula (64.3), la función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria es igual a

donde es la densidad de probabilidad conjunta de las cantidades. Por condición, son independientes, por lo tanto iguales al producto de densidades unidimensionales:

De (67.1), (67.2) se deduce que la densidad de probabilidad de una variable aleatoria está determinada por la expresión:

El análisis de esta expresión, aparentemente, es la forma más sencilla de encontrarla, ya que aquí y (67.3) se pueden representar en la forma:

Aquí la integral es igual al volumen de la región - espacio dimensional, encerrado entre dos hiperesferas: - radio y - radio. Dado que el volumen de una hiperesfera de radio es proporcional, es decir , Eso

El volumen entre dos hiperesferas con radios y, que determina, hasta un factor, la integral (67.4). Sustituyamos (67.5) en (67.4), luego

donde es una constante que se puede determinar a partir de la condición de normalización:

Sustituyamos (67.6) en (67.7), luego

Sea, entonces, la integral (67.8)

donde - gamma es una función del argumento. A partir de (67.8) y (67.9) se determina una constante, cuya sustitución en (67.6) conduce al resultado

67.2. Calculemos la expectativa matemática y la varianza de la variable aleatoria. Desde (67.11)

De manera similar, el cuadrado medio de la cantidad es igual a

De (67.12), (67.13) dispersión

67.3. En problemas de estadística matemática, las distribuciones de probabilidad asociadas con la distribución normal son importantes. Estos son principalmente - distribución (distribución de Pearson), - distribución (distribución de estudiantes) y - distribución (distribución de Fisher). Una distribución es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria.

donde - independiente y eso es todo.

La distribución de Student (o distribución) es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria

donde y son variables aleatorias independientes, y.

La distribución de Fisher (distribución -) con grados de libertad es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria

Distribución chi-cuadrado y distribución de velocidad de Maxwell

La distribución de Maxwell sobre las velocidades de las moléculas de gas es la distribución de densidad de probabilidad del módulo de velocidad y está determinada por la relación

donde es el número de moléculas de gas, el número de moléculas cuyo módulo de velocidad se encuentra en el intervalo, es la constante del gas y es la temperatura absoluta del gas. La relación es la probabilidad de que el módulo de velocidad de una molécula se encuentre en el intervalo, luego la densidad de probabilidad del módulo de velocidad.

La distribución (68.1) se puede obtener basándose en las dos posiciones probabilísticas simples siguientes que definen el modelo de gas ideal. 1). Las proyecciones de velocidad sobre los ejes del sistema de coordenadas cartesianas son variables aleatorias independientes. 2). Cada proyección de velocidad es una variable aleatoria gaussiana con expectativa y varianza cero. El parámetro se establece en función de datos experimentales.

Determinemos la densidad de probabilidad de una variable aleatoria.

Evidentemente tiene una distribución chi-cuadrado con tres grados de libertad. Por tanto, su densidad de probabilidad está determinada por la fórmula (67.11) en:

porque el. Entonces, (68.3) es la densidad de probabilidad de la velocidad relativa al cuadrado.

El siguiente paso es pasar de la distribución de la velocidad al cuadrado a la distribución de su magnitud, . La transformación funcional tiene la forma: , y la inversa para, . Por tanto, la transformación inversa es única. Por tanto, según (65.1), la densidad de distribución del módulo tiene la forma

El último paso es pasar de la variable aleatoria a una nueva variable aleatoria.

La transformación inversa es inequívoca, por lo que la densidad de probabilidad de la variable aleatoria, según (65.1), toma la forma

que coincide con la fórmula (68.1).

La relación (68.5), que determina la relación entre las velocidades relativa y absoluta, se deriva de la tercera posición del modelo de gas ideal, que es una condición puramente física, a diferencia de las dos primeras condiciones probabilísticas. La tercera condición se puede formular como una afirmación sobre el valor de la energía cinética promedio de una molécula en la forma de la igualdad

donde es la constante de Boltzmann y representa, de hecho, un hecho experimental. Sea, donde es una constante, que además está determinada por la condición (68.7). Para encontrarlo, determinamos a partir de (68.4) el cuadrado medio de la velocidad relativa:

Entonces la energía cinética promedio de la molécula, donde está la masa de la molécula, y teniendo en cuenta (68.7), o.

Transformaciones de variables aleatorias.

Para cada variable aleatoria X determinar tres cantidades más - centradas Y, normalizado V y dado Ud.. Variable aleatoria centrada Y es la diferencia entre una variable aleatoria dada X y su expectativa matemática M(X), aquellos. Y = X-M(X). Expectativa de una variable aleatoria centrada Y es igual a 0, y la varianza es la varianza de una variable aleatoria dada: METRO(Y) = 0, D(Y) = D(X). Función de distribución FY(X) variable aleatoria centrada Y relacionado con la función de distribución F(X) variable aleatoria original X relación:

FY(X) = F(X + METRO(X)).

Las densidades de estas variables aleatorias satisfacen la igualdad.

f Y(X) = F(X + METRO(X)).

Variable aleatoria normalizada V es la razón de una variable aleatoria dada X a su desviación estándar, es decir . Expectativa y varianza de una variable aleatoria normalizada. V expresado a través de características X Entonces:

,

Dónde v– coeficiente de variación de la variable aleatoria original X. Para la función de distribución FV(X) y densidad f V(X) variable aleatoria normalizada V tenemos:

Dónde F(X) – función de distribución de la variable aleatoria original X, A F(X) – su densidad de probabilidad.

Variable aleatoria reducida Ud. es una variable aleatoria centrada y normalizada:

.

Para la variable aleatoria dada

Las variables aleatorias normalizadas, centradas y reducidas se utilizan constantemente tanto en estudios teóricos como en algoritmos, productos de software y documentación reglamentaria, técnica e instructiva. En particular, porque las igualdades permiten simplificar la justificación de métodos, la formulación de teoremas y fórmulas de cálculo.

Se utilizan transformaciones de variables aleatorias y otras más generales. Así que si Y = hacha + b, Dónde a Y b– algunos números, entonces

Ejemplo 7. si entonces Y es la variable aleatoria reducida, y las fórmulas (8) se transforman en fórmulas (7).

Con cada variable aleatoria X puedes asociar muchas variables aleatorias Y, dado por la fórmula Y = hacha + b en diferentes a> 0 y b. Este conjunto se llama familia de cambio de escala, generado por la variable aleatoria X. Funciones de distribución FY(X) constituyen una familia de distribuciones de cambio de escala generadas por la función de distribución F(X). En lugar de Y = hacha + b A menudo uso la grabación.

Número Con se llama parámetro de desplazamiento y el número d- parámetro de escala. La fórmula (9) muestra que X– el resultado de medir una cierta cantidad – entra en Ud.– el resultado de medir la misma cantidad si el comienzo de la medición se traslada al punto Con y luego use la nueva unidad de medida, en d veces más grande que el anterior.

Para la familia de desplazamiento de escala (9), la distribución de X se denomina estándar. En los métodos estadísticos probabilísticos de toma de decisiones y otras investigaciones aplicadas, se utilizan la distribución normal estándar, la distribución estándar de Weibull-Gnedenko, la distribución gamma estándar, etc. (ver más abajo).

También se utilizan otras transformaciones de variables aleatorias. Por ejemplo, para una variable aleatoria positiva X están considerando Y= iniciar sesión X, donde LG X– logaritmo decimal de un número X. Cadena de igualdades

F Y (x) = P( LG X< x) = P(X < 10x) = F( 10X)

conecta funciones de distribución X Y Y.

La tarea principal es establecer la ley de distribución de una función de variables aleatorias según una determinada ley de distribución de argumentos. El esquema general de razonamiento aquí es el siguiente. Sea la ley de distribución, entonces obviamente tenemos dónde está la imagen inversa completa del medio intervalo, es decir el conjunto de aquellos valores del vector £ del ZG para los cuales. La última probabilidad se puede encontrar fácilmente, ya que se conoce la ley de distribución de variables aleatorias E. De manera similar, en principio, se puede encontrar la ley de distribución de la función vectorial de argumentos aleatorios. La complejidad de la implementación del circuito depende únicamente del tipo específico de función (p y la ley de distribución de los argumentos. Este capítulo está dedicado a la implementación del circuito en situaciones específicas que son importantes para las aplicaciones. §1. Funciones de una variable Sea £ una variable aleatoria, cuya ley de distribución está dada por la función de distribución F( (x), rj = Si F4(y) es la función de distribución de la variable aleatoria rj, entonces las consideraciones anteriores dan FUNCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS donde y) denota la imagen inversa completa de la media línea (-oo, y). La relación (I) es una consecuencia obvia de (*) y para el caso considerado se ilustra en la Fig. 1. Transformación monótona de una variable aleatoria Sea (p(t) una función monótona continua (para mayor precisión, monótonamente no creciente) y r) = - Para la función de distribución Fn(y) obtenemos (aquí está la función , la inversa de la existencia de lo cual está asegurado por la monotonicidad y la continuidad. Para cálculos similares monótonamente no decrecientes se obtienen En particular, si - es lineal, entonces para a > O (Fig. 2) Las transformaciones lineales no cambian la naturaleza de la distribución, solo afectan sus parámetros. Transformación lineal de una variable aleatoria uniforme en [a, b] Let Transformación lineal de una variable aleatoria normal Let y en general si Let, por ejemplo, 0. De (4) concluimos que Poner en la última integral Este reemplazo da una importante La identidad, que es fuente de muchas aplicaciones interesantes, se puede obtener de la relación (3) con el Lema. Si es una variable aleatoria con una función de distribución continua F^(x), entonces la variable aleatoria r) = es uniforme en . Tenemos - monótonamente no disminuye y está contenido dentro de los límites o Por lo tanto, FUNCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS En el intervalo obtenemos Una de las posibles formas de utilizar el lema probado es, por ejemplo, el procedimiento para modelar una variable aleatoria con un valor arbitrario. ley de distribución F((x). Como se desprende del lema, para ello basta con poder obtener valores de uniforme en )