4 x cubo dimensional. Cybercube: el primer paso hacia la cuarta dimensión

La imagen es una proyección (perspectiva) de un cubo de cuatro dimensiones en un espacio tridimensional.

Según el Oxford Dictionary, la palabra "tesseract" fue acuñada y utilizada en 1888 por Charles Howard Hinton (1853-1907) en su libro A New Age of Thought. Más tarde, algunas personas llamaron a la misma figura "tetracubo".

Geometría

Un tesseract ordinario en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones se define como la envolvente convexa de puntos (±1, ±1, ±1, ±1). En otras palabras, se puede representar como el siguiente conjunto:

El teseracto está limitado por ocho hiperplanos, cuya intersección con el propio teseracto define sus caras tridimensionales (que son cubos ordinarios). Cada par de caras 3D no paralelas se cruzan para formar caras 2D (cuadrados), y así sucesivamente. Finalmente, un teseracto tiene 8 caras 3D, 24 2D, 32 aristas y 16 vértices.

Descripción popular

Tratemos de imaginar cómo se verá el hipercubo sin salir del espacio tridimensional.

En un "espacio" unidimensional, en una línea, seleccionamos un segmento AB de longitud L. En un plano bidimensional a una distancia L de AB, dibujamos un segmento DC paralelo a él y conectamos sus extremos. Obtenga el cuadrado ABCD. Repitiendo esta operación con un plano, obtenemos un cubo tridimensional ABCDHEFG. Y desplazando el cubo en la cuarta dimensión (perpendicular a las tres primeras) una distancia L, obtenemos el hipercubo ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

El segmento unidimensional AB sirve como lado del cuadrado bidimensional ABCD, el cuadrado es el lado del cubo ABCDHEFG, el cual, a su vez, será el lado del hipercubo tetradimensional. Un segmento de línea recta tiene dos puntos límite, un cuadrado tiene cuatro vértices y un cubo tiene ocho. Así, en un hipercubo de cuatro dimensiones habrá 16 vértices: 8 vértices del cubo original y 8 vértices desplazados en la cuarta dimensión. Tiene 32 aristas: 12 de cada una dan las posiciones inicial y final del cubo original, y 8 aristas más "dibujan" ocho de sus vértices que se han movido a la cuarta dimensión. El mismo razonamiento se puede hacer para las caras del hipercubo. En el espacio bidimensional, es uno (el cuadrado mismo), el cubo tiene 6 de ellos (dos caras del cuadrado movido y cuatro más describirán sus lados). Un hipercubo de cuatro dimensiones tiene 24 caras cuadradas: 12 cuadrados del cubo original en dos posiciones y 12 cuadrados de doce de sus bordes.

De manera similar, podemos continuar con el razonamiento de los hipercubos de mayor número de dimensiones, pero es mucho más interesante ver cómo se verá un hipercubo de cuatro dimensiones para nosotros, habitantes del espacio tridimensional. Usemos para esto el ya familiar método de las analogías.

Despliegue de tesseract

Tomemos el cubo de alambre ABCDHEFG y mirémoslo con un ojo desde el lado de la cara. Veremos y podemos dibujar dos cuadrados en el plano (sus caras cercana y lejana), conectados por cuatro líneas: bordes laterales. De manera similar, un hipercubo de cuatro dimensiones en un espacio tridimensional se verá como dos "cajas" cúbicas insertadas entre sí y conectadas por ocho bordes. En este caso, las propias "cajas" (caras tridimensionales) se proyectarán en "nuestro" espacio, y las líneas que las conectan se estirarán en la cuarta dimensión. También puede intentar imaginar un cubo no en proyección, sino en una imagen espacial.

Así como un cubo tridimensional está formado por un cuadrado desplazado por la longitud de una cara, un cubo desplazado a la cuarta dimensión formará un hipercubo. Está limitado por ocho cubos, que en el futuro se verán como una figura bastante compleja. Su parte, que quedó en “nuestro” espacio, está dibujada con líneas sólidas, y la parte que se fue al hiperespacio está discontinua. El hipercubo de cuatro dimensiones en sí consta de un número infinito de cubos, al igual que un cubo tridimensional se puede "cortar" en un número infinito de cuadrados planos.

Al cortar seis caras de un cubo tridimensional, puede descomponerlo en una figura plana: una red. Tendrá un cuadrado a cada lado de la cara original, más uno más: la cara opuesta. Un desarrollo tridimensional de un hipercubo de cuatro dimensiones consistirá en el cubo original, seis cubos que "crecen" a partir de él, más uno más: la "hipercara" final.

Las propiedades de un teseracto son una extensión de las propiedades de las figuras geométricas de menor dimensión en un espacio de cuatro dimensiones.

proyecciones

al espacio bidimensional

Esta estructura es difícil de imaginar, pero es posible proyectar un teseracto en espacios 2D o 3D. Además, la proyección sobre un plano facilita la comprensión de la ubicación de los vértices del hipercubo. De esta forma es posible obtener imágenes que ya no reflejan las relaciones espaciales dentro de un teseracto, sino que ilustran la estructura de conexión de los vértices, como en los siguientes ejemplos:


al espacio tridimensional

La proyección del tesseract en el espacio tridimensional son dos cubos tridimensionales anidados, cuyos vértices correspondientes están conectados por segmentos. Los cubos interior y exterior tienen diferentes tamaños en el espacio 3D, pero son cubos iguales en el espacio 4D. Para comprender la igualdad de todos los cubos del teseracto, se creó un modelo giratorio del teseracto.

Seis pirámides truncadas a lo largo de los bordes del teseracto son imágenes de seis cubos iguales.
par estéreo

Un estereopar de un teseracto se representa como dos proyecciones en un espacio tridimensional. Esta representación del tesseract fue diseñada para representar la profundidad como una cuarta dimensión. El par estéreo se ve de manera que cada ojo ve solo una de estas imágenes, surge una imagen estereoscópica que reproduce la profundidad del teseracto.

Despliegue de tesseract

La superficie de un tesseract se puede desplegar en ocho cubos (similar a cómo la superficie de un cubo se puede desplegar en seis cuadrados). Hay 261 despliegues diferentes del teseracto. Los despliegues de un tesseract se pueden calcular trazando las esquinas conectadas en el gráfico.

Teseracto en el arte

En New Plain de Edwine A. Abbott, el hipercubo es el narrador.
En un episodio de Las aventuras de Jimmy Neutron: "Boy Genius", Jimmy inventa un hipercubo de cuatro dimensiones idéntico a la caja plegable de Glory Road de 1963 de Heinlein.
Robert E. Heinlein ha mencionado hipercubos en al menos tres historias de ciencia ficción. En La casa de las cuatro dimensiones (La casa que construyó Teel) (1940), describió una casa construida como el despliegue de un teseracto.
En la novela Glory Road de Heinlein, se describen platos de gran tamaño que eran más grandes por dentro que por fuera.
El cuento de Henry Kuttner "Mimsy Were the Borogoves" describe un juguete educativo para niños del futuro lejano, similar en estructura al tesseract.
En la novela de Alex Garland (1999), el término "tesseract" se usa para el despliegue tridimensional de un hipercubo de cuatro dimensiones, en lugar del hipercubo en sí. Esta es una metáfora diseñada para mostrar que el sistema cognoscente debería ser más amplio que el cognoscible.
La trama de Cube 2: Hypercube se centra en ocho extraños atrapados en un "hipercubo", o red de cubos conectados.
La serie de televisión Andrómeda utiliza generadores de tesseract como dispositivo de conspiración. Su objetivo principal es controlar el espacio y el tiempo.
El cuadro "Crucifixión" (Corpus Hypercubus) de Salvador Dalí (1954)
El cómic de Nextwave representa un vehículo que incluye 5 zonas de tesseract.
En el álbum Voivod Nothingface, una de las canciones se llama "In my hypercube".
En la novela Route Cube de Anthony Pierce, una de las lunas orbitales de IDA se denomina tesseract que se ha comprimido en 3 dimensiones.
En la serie "School" Black Hole "" en la tercera temporada hay un episodio "Tesseract". Lucas presiona el botón secreto y la escuela comienza a tomar forma como un teseracto matemático.
El término "tesseract" y el término "tesse" derivado de él se encuentran en la historia de Madeleine L'Engle "Wrinkle of Time".

en geometría hipercubo- esta norte-analogía dimensional de un cuadrado ( norte= 2) y cubo ( norte= 3). Esta es una figura convexa cerrada, que consta de grupos de líneas paralelas ubicadas en los bordes opuestos de la figura y conectadas entre sí en ángulo recto.

Esta figura también se conoce como teseracto(teseracto). El teseracto es al cubo lo que el cubo es al cuadrado. Más formalmente, un tesseract se puede describir como un politopo (politopo) de cuatro dimensiones convexo regular cuyo límite consta de ocho celdas cúbicas.

Según el Oxford English Dictionary, la palabra "tesseract" fue acuñada en 1888 por Charles Howard Hinton y utilizada en su libro A New Era of Thought. La palabra se formó del griego "τεσσερες ακτινες" ("cuatro rayos"), tiene la forma de cuatro ejes de coordenadas. Además, en algunas fuentes, la misma figura fue llamada tetracubo(tetracubo).

norte El hipercubo bidimensional también se llama n-cubo.

Un punto es un hipercubo de dimensión 0. Si desplaza un punto en una unidad de longitud, obtiene un segmento de unidad de longitud, un hipercubo de dimensión 1. Además, si desplaza un segmento en una unidad de longitud en una dirección perpendicular a la dirección del segmento, se obtiene un cubo, un hipercubo de dimensión 2. Al desplazar el cuadrado una unidad de longitud en la dirección perpendicular al plano del cuadrado, se obtiene un cubo, un hipercubo de dimensión 3. Este proceso puede generalizarse a cualquier número de dimensiones. Por ejemplo, si desplazas un cubo por una unidad de longitud en la cuarta dimensión, obtienes un teseracto.

La familia de los hipercubos es uno de los pocos poliedros regulares que se pueden representar en cualquier dimensión.

Elementos de hipercubo

Hipercubo de dimensión norte tiene 2 norte"lados" (la línea unidimensional tiene 2 puntos; el cuadrado bidimensional - 4 lados; el cubo tridimensional - 6 caras; el tesseract tetradimensional - 8 celdas). El número de vértices (puntos) del hipercubo es 2 norte(por ejemplo, para un cubo - 2 3 vértices).

Cantidad metro-hipercubos dimensionales en el límite norte-cubo es igual

Por ejemplo, en el borde de un hipercubo hay 8 cubos, 24 cuadrados, 32 aristas y 16 vértices.

Proyección plana

La formación de un hipercubo se puede representar de la siguiente manera:

• Dos puntos A y B se pueden conectar para formar el segmento de línea AB.
• Dos segmentos paralelos AB y CD se pueden conectar para formar un cuadrado ABCD.
• Dos cuadrados paralelos ABCD y EFGH se pueden unir para formar el cubo ABCDEFGH.
• Dos cubos paralelos ABCDEFGH e IJKLMNOP se pueden conectar para formar un hipercubo ABCDEFGHIJKLMNOP.

Esta última estructura no es fácil de imaginar, pero es posible representar su proyección en dos o tres dimensiones. Además, las proyecciones en un plano 2D pueden ser más útiles al reorganizar las posiciones de los vértices proyectados. En este caso, se pueden obtener imágenes que ya no reflejan las relaciones espaciales de los elementos dentro del teseracto, sino que ilustran la estructura de las conexiones de los vértices, como en los ejemplos a continuación.

La primera ilustración muestra cómo se forma un tesseract en principio al unir dos cubos. Este esquema es similar al esquema para crear un cubo a partir de dos cuadrados. El segundo diagrama muestra que todos los bordes del tesseract tienen la misma longitud. Este esquema también se ve obligado a buscar cubos conectados entre sí. En el tercer diagrama, los vértices del teseracto están ubicados de acuerdo con las distancias a lo largo de las caras en relación con el punto inferior. Este esquema es interesante porque se utiliza como esquema básico para la topología de red de conexión de procesadores en la organización de la computación paralela: la distancia entre dos nodos no supera las 4 longitudes de borde, y hay muchas formas diferentes de equilibrar la carga.

Hipercubo en el arte

El hipercubo ha aparecido en la ciencia ficción desde 1940, cuando Robert Heinlein, en la historia "La casa que construyó Teal" ("Y él construyó una casa torcida"), describió una casa construida en forma de teseracto. En la historia, este Más allá, esta casa se pliega, convirtiéndose en un teseracto de cuatro dimensiones. Después de eso, el hipercubo aparece en muchos libros y novelas.

Cube 2: Hypercube trata sobre ocho personas atrapadas en una red de hipercubos.

La pintura Crucifixión (Corpus Hypercubus), 1954 de Salvador Dali representa a Jesús crucificado en un escaneo de teseracto. Esta pintura se puede ver en el Museo de Arte (Museo Metropolitano de Arte) en Nueva York.

Conclusión

El hipercubo es uno de los objetos de cuatro dimensiones más simples, en cuyo ejemplo se puede ver toda la complejidad e inusual de la cuarta dimensión. Y lo que parece imposible en tres dimensiones es posible en cuatro, por ejemplo, figuras imposibles. Entonces, por ejemplo, las barras de un triángulo imposible en cuatro dimensiones estarán conectadas en ángulo recto. Y esta figura se verá así desde todos los puntos de vista, y no estará distorsionada, a diferencia de las implementaciones del triángulo imposible en el espacio tridimensional (ver Fig.

Comencemos explicando qué es un espacio de cuatro dimensiones.

Este es un espacio unidimensional, es decir, simplemente el eje OX. Cualquier punto en él se caracteriza por una coordenada.

Ahora dibujemos el eje OY perpendicular al eje OX. Entonces obtuvimos un espacio bidimensional, es decir, el plano XOY. Cualquier punto en él se caracteriza por dos coordenadas: la abscisa y la ordenada.

Dibujemos el eje OZ perpendicular a los ejes OX y OY. Obtendrás un espacio tridimensional en el que cualquier punto tiene una abscisa, una ordenada y una aplicada.

Es lógico que el cuarto eje, OQ, sea perpendicular a los ejes OX, OY y OZ al mismo tiempo. Pero no podemos construir con precisión dicho eje y, por lo tanto, solo queda intentar imaginarlo. Cada punto en el espacio de cuatro dimensiones tiene cuatro coordenadas: x, y, z y q.

Ahora veamos cómo apareció el cubo de cuatro dimensiones.

La imagen muestra una figura del espacio unidimensional: una línea.

Si realiza una traslación paralela de esta línea a lo largo del eje OY y luego conecta los extremos correspondientes de las dos líneas resultantes, obtiene un cuadrado.

De manera similar, si hacemos una traslación paralela del cuadrado a lo largo del eje OZ y conectamos los vértices correspondientes, obtenemos un cubo.

Y si hacemos una traslación paralela del cubo a lo largo del eje OQ y conectamos los vértices de estos dos cubos, obtendremos un cubo de cuatro dimensiones. Por cierto, se llama teseracto.

Para dibujar un cubo en un plano, lo necesitas proyecto. Visualmente se ve así:

Imagina que en el aire sobre la superficie cuelga modelo de estructura alámbrica cubo, es decir, como si estuviera "hecho de alambre", y encima de él, una bombilla. Si enciende la bombilla, trace la sombra del cubo con un lápiz y luego apague la bombilla, luego se mostrará una proyección del cubo en la superficie.

Pasemos a algo un poco más complicado. Mira de nuevo el dibujo con la bombilla: como puedes ver, todos los rayos convergieron en un punto. Se llama punto de fuga y sirve para construir proyección en perspectiva(y a veces paralelo, cuando todos los rayos son paralelos entre sí. El resultado es que no hay sensación de volumen, pero es más ligero, y si el punto de fuga está lo suficientemente lejos del objeto proyectado, entonces la diferencia entre estos dos proyecciones apenas se nota). Para proyectar un punto dado en un plano dado usando un punto de fuga, dibuje una línea a través del punto de fuga y el punto dado, y luego encuentre el punto de intersección de la línea resultante y el plano. Y para proyectar una figura más compleja, por ejemplo, un cubo, debe proyectar cada uno de sus vértices y luego conectar los puntos correspondientes. se debe notar que algoritmo de proyección del espacio al subespacio se puede generalizar a 4D->3D, no solo a 3D->2D.

Como dije, no podemos imaginar exactamente cómo se ve el eje OQ, y tampoco el teseracto. ¡Pero podemos tener una idea limitada si lo proyectamos en un volumen y luego lo dibujamos en una pantalla de computadora!

Ahora hablemos de la proyección del teseracto.

A la izquierda está la proyección del cubo sobre el plano, ya la derecha está el teseracto sobre el volumen. Son bastante similares: la proyección de un cubo parece dos cuadrados, pequeño y grande, uno dentro del otro, con los vértices correspondientes conectados por líneas. Y la proyección del teseracto parece dos cubos, pequeño y grande, uno dentro del otro, y cuyos vértices correspondientes están conectados. Pero todos hemos visto el cubo, y podemos decir con confianza que tanto el cuadrado pequeño como el grande, y los cuatro trapecios arriba, abajo, a la derecha e izquierda del cuadrado pequeño, son en realidad cuadrados, además, son iguales. Lo mismo ocurre con el Teseracto. Y un cubo grande, un cubo pequeño y seis pirámides truncadas en los lados de un cubo pequeño: todos estos son cubos, y son iguales.

Mi programa no solo puede dibujar la proyección del teseracto sobre el volumen, sino también girarlo. Veamos cómo se hace esto.

Primero te diré lo que es rotación paralela al plano.

Imagina que el cubo gira alrededor del eje OZ. Entonces cada uno de sus vértices describe un círculo alrededor del eje OZ.

Un círculo es una figura plana. Y los planos de cada uno de estos círculos son paralelos entre sí, y en este caso son paralelos al plano XOY. Es decir, podemos hablar no solo de rotación alrededor del eje OZ, sino también de rotación paralela al plano XOY, como puedes ver, para puntos que giran paralelos al eje XOY, solo cambian la abscisa y la ordenada, mientras que la aplicada permanece sin cambios Y, de hecho, podemos hablar de rotación alrededor de una línea recta solo cuando estamos tratando con un espacio tridimensional. En 2D todo gira alrededor de un punto, en 4D todo gira alrededor de un plano, en el espacio 5D estamos hablando de rotación alrededor de un volumen. Y si podemos imaginar la rotación alrededor de un punto, entonces la rotación alrededor del plano y el volumen es algo impensable. Y si hablamos de rotación paralela al plano, entonces en cualquier espacio n-dimensional un punto puede rotar paralelamente al plano.

Muchos de ustedes probablemente han oído hablar de la matriz de rotación. Multiplicando un punto por él, obtenemos un punto girado paralelo al plano por un ángulo phi. Para un espacio bidimensional, se ve así:

Cómo multiplicar: x de un punto rotado por un ángulo phi = coseno del ángulo phi*x del punto original menos el seno del ángulo phi*y del punto original;
y del punto rotado por el ángulo phi=seno del ángulo phi*x del punto original más el coseno del ángulo phi*y del punto original.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya
, donde Xa y Ya son las abscisas y ordenadas del punto a rotar, Xa` y Ya` son las abscisas y ordenadas del punto ya rotado

Para un espacio tridimensional, esta matriz se generaliza de la siguiente manera:

Rotación paralela al plano XOY. Como puede ver, la coordenada Z no cambia, solo cambian X e Y.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (esencialmente Za`=Za)

Rotación paralela al plano XOZ. Nada nuevo,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 - sinФ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (de hecho, Ya`=Ya)
Za`=sinФ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za

Y la tercera matriz.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (esencialmente Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya - sinФ*Za
Za`=Xa*0 + sinФ*Ya + cosФ*Za

Y para la cuarta dimensión, se ven así:


Creo que ya entendiste por qué multiplicar, así que no lo volveré a pintar. ¡Pero observo que hace lo mismo que la matriz para rotar paralelamente al plano en el espacio tridimensional! Tanto ese como este cambian solo la ordenada y la aplicada, y el resto de coordenadas no se tocan, por lo que se puede utilizar en el caso tridimensional, simplemente ignorando la cuarta coordenada.

Pero con la fórmula de proyección no todo es tan sencillo. No importa cuánto lea los foros, ninguno de los métodos de proyección me convenía. Paralelo no me convenía, ya que la proyección no parecerá tridimensional. En algunas fórmulas de proyección, para encontrar un punto, necesitas resolver un sistema de ecuaciones (y no sé cómo enseñarle a una computadora a resolverlas), simplemente no entendí otras ... En general, decidí para llegar a mi propio camino. Considere para esto la proyección 2D->1D.

pov significa "Punto de vista" (punto de vista), ptp significa "Punto a proyectar" (el punto a proyectar), y ptp` es el punto deseado en el eje OX.

Los ángulos povptpB y ptpptp`A son iguales como correspondientes (la línea punteada es paralela al eje OX, la línea povptp es secante).
La x de ptp` es igual a la x de ptp menos la longitud del segmento ptp`A. Este segmento se puede encontrar a partir del triángulo ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangente del ángulo ptpptp`A. Podemos encontrar esta tangente del triángulo povptpB: tangente del ángulo ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Respuesta: Xptp`=Xptp-Yptp/tangente del ángulo ptpptp`A.

No describí este algoritmo en detalle aquí, ya que hay muchos casos especiales en los que la fórmula cambia un poco. A quién le importa: busque en el código fuente del programa, todo está escrito en los comentarios.

Para proyectar un punto en un espacio tridimensional sobre un plano, simplemente consideramos dos planos, XOZ y YOZ, y resolvemos este problema para cada uno de ellos. En el caso de un espacio de cuatro dimensiones, es necesario considerar ya tres planos: XOQ, YOQ y ZOQ.

Y por último, sobre el programa. Funciona así: inicializa dieciséis vértices del tesseract -> dependiendo de los comandos ingresados ​​por el usuario, gíralo -> proyecta en el volumen -> dependiendo de los comandos ingresados ​​por el usuario, gira su proyección -> proyecta en un plano -> dibujar.

Proyecciones y rotaciones las escribí yo mismo. Funcionan según las fórmulas que acabo de describir. La biblioteca OpenGL dibuja líneas y también mezcla colores. Y las coordenadas de los vértices del tesseract se calculan de esta forma:

Coordenadas de vértice de línea centradas en el origen y longitud 2 - (1) y (-1);
- "-" - un cuadrado - "-" - y una arista de longitud 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) y (-1; -1);
- " - " - cubo - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Como puede ver, el cuadrado está una línea por encima del eje OY y una línea por debajo del eje OY; un cubo está un cuadrado delante del plano XOY y otro detrás; un tesseract es un cubo en el otro lado del volumen XOYZ, y uno en este lado. Pero es mucho más fácil percibir esta alternancia de unidades y unidades negativas si se escriben en una columna.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

En la primera columna, uno y menos uno se alternan. En la segunda columna, primero hay dos ventajas, luego dos desventajas. En el tercero, cuatro más uno, y luego cuatro menos uno. Estas fueron las partes superiores del cubo. El tesseract tiene el doble de ellos, y por lo tanto fue necesario escribir un ciclo para declararlos, de lo contrario es muy fácil confundirse.

Mi programa también sabe dibujar anaglifos. Los felices propietarios de anteojos 3D pueden ver una imagen estereoscópica. No hay nada complicado en hacer un dibujo, solo dibuja dos proyecciones en un plano, para los ojos derecho e izquierdo. Pero el programa se vuelve mucho más visual e interesante, y lo más importante, da una mejor idea del mundo de cuatro dimensiones.

Funciones menos significativas: resaltar una de las caras en rojo, para que pueda ver mejor los giros, así como comodidades menores: ajustar las coordenadas de los puntos del "ojo", aumentar y disminuir la velocidad de rotación.

Archivo con el programa, código fuente e instrucciones de uso.

Tan pronto como pude dar una conferencia después de la operación, la primera pregunta que hicieron los estudiantes fue:

¿Cuándo dibujarás un cubo de 4 dimensiones para nosotros? ¡Ilyas Abdulkhaevich nos lo prometió!

Recuerdo que a mis queridos amigos a veces les gusta un minuto de programa educativo matemático. Por lo tanto, escribiré aquí una parte de mi conferencia para matemáticos. Y trataré de no avergonzarme. En algunos puntos leí la conferencia de manera más estricta, por supuesto.

Pongámonos de acuerdo primero. El espacio de 4 dimensiones, y más aún de 5-6-7, y generalmente k-dimensional, no se nos da en las sensaciones sensoriales.
"Somos pobres porque solo somos tridimensionales", dijo mi maestro de escuela dominical, quien primero me dijo qué era un cubo de 4 dimensiones. La escuela dominical era, por supuesto, extremadamente religiosa: matemática. En ese momento, estábamos estudiando hipercubos. Una semana antes de esto, inducción matemática, una semana después de eso, ciclos hamiltonianos en gráficos, respectivamente, este es el séptimo grado.

No podemos tocar, oler, escuchar o ver un cubo de 4 dimensiones. ¿Qué podemos hacer con él? ¡Podemos imaginarlo! Porque nuestro cerebro es mucho más complejo que nuestros ojos y manos.

Entonces, para entender qué es un cubo de 4 dimensiones, primero comprendamos qué está disponible para nosotros. ¿Qué es un cubo tridimensional?

¡BIEN BIEN! No te estoy pidiendo una definición matemática clara. Solo imagina el cubo tridimensional más simple y común. ¿Representado?

Bueno.
Para entender cómo generalizar un cubo de 3 dimensiones en un espacio de 4 dimensiones, averigüemos qué es un cubo de 2 dimensiones. Es tan simple: ¡es un cuadrado!

Un cuadrado tiene 2 coordenadas. El cubo tiene tres. Los puntos de un cuadrado son puntos con dos coordenadas. El primero es de 0 a 1. Y el segundo es de 0 a 1. Los puntos del cubo tienen tres coordenadas. Y cada uno es cualquier número entre 0 y 1.

Es lógico imaginar que un cubo de 4 dimensiones es algo que tiene 4 coordenadas y todo del 0 al 1.

/* También es lógico imaginar un cubo unidimensional, que no es más que un simple segmento de 0 a 1. */

Entonces, espera, ¿cómo dibujas un cubo de 4 dimensiones? ¡Después de todo, no podemos dibujar un espacio de 4 dimensiones en un plano!
Pero después de todo, tampoco dibujamos un espacio tridimensional en un plano, lo dibujamos proyección en el plano de dibujo 2D. Colocamos la tercera coordenada (z) en ángulo, imaginando que el eje desde el plano del dibujo va "hacia nosotros".

Ahora está bastante claro cómo dibujar un cubo de 4 dimensiones. De la misma manera que colocamos el tercer eje en algún ángulo, tomemos el cuarto eje y colóquelo también en algún ángulo.
¡Y voilá! -- proyección de un cubo de 4 dimensiones sobre un plano.

¿Qué? ¿Qué es de todos modos? Siempre escucho susurros desde los escritorios traseros. Permítanme explicar con más detalle qué es esta mezcolanza de líneas.
Mira primero el cubo tridimensional. ¿Qué hemos hecho? Tomamos un cuadrado y lo arrastramos a lo largo del tercer eje (z). Es como un montón de cuadrados de papel pegados en una pila.
Es lo mismo con un cubo de 4 dimensiones. Llamemos al cuarto eje por conveniencia y propósitos de ciencia ficción el "eje del tiempo". Necesitamos tomar un cubo tridimensional ordinario y arrastrarlo a través del tiempo desde el momento "ahora" hasta el momento "dentro de una hora".

Tenemos un cubo "ahora". Es rosa en la foto.

Y ahora lo arrastramos a lo largo del cuarto eje, a lo largo del eje del tiempo (lo mostré en verde). Y obtenemos el cubo del futuro: azul.

Cada vértice del "cubo ahora" deja un rastro en el tiempo: un segmento. Conectando su presente con su futuro.

En resumen, sin letras: dibujamos dos cubos tridimensionales idénticos y conectamos los vértices correspondientes.
Al igual que hicimos con un cubo 3D (dibuja 2 cubos 2D idénticos y conecta los vértices).

Para dibujar un cubo 5D, dibujaría dos copias del cubo 4D (un cubo 4D con la quinta coordenada 0 y un cubo 4D con la quinta coordenada 1) y conectaría los vértices correspondientes con los bordes. Es cierto que tal mezcolanza de bordes saldrá en el avión que será casi imposible entender nada.

Una vez que hemos imaginado un cubo de 4 dimensiones e incluso hemos podido dibujarlo, podemos explorarlo de cualquier manera. Sin olvidar explorarlo tanto en la mente como en la imagen.
Por ejemplo. Un cubo bidimensional está limitado en 4 lados por cubos unidimensionales. Esto es lógico: para cada una de las 2 coordenadas, tiene un principio y un final.
Un cubo tridimensional está delimitado en 6 lados por cubos bidimensionales. Para cada una de las tres coordenadas, tiene un principio y un final.
Entonces, un cubo de 4 dimensiones debe limitarse a ocho cubos de 3 dimensiones. Para cada una de las 4 coordenadas - desde dos lados. En la figura de arriba, vemos claramente 2 caras que lo limitan a lo largo de la coordenada de "tiempo".

Aquí hay dos cubos (son ligeramente oblicuos porque tienen 2 dimensiones proyectadas sobre el plano en ángulo), limitando nuestro hipercubo a la izquierda y a la derecha.

Es fácil notar lo "superior" y lo "inferior" también.

Lo más difícil es entender visualmente dónde están el "frente" y el "trasero". El frontal comienza desde la cara frontal del "cubo ahora" y hasta la cara frontal del "cubo del futuro": es rojo. Trasero, respectivamente, morado.

Son los más difíciles de detectar, porque otros cubos se confunden bajo los pies, lo que limita el hipercubo a una coordenada proyectada diferente. ¡Pero tenga en cuenta que los cubos siguen siendo diferentes! Aquí está la imagen nuevamente, donde se resaltan el "cubo ahora" y el "cubo del futuro".

Por supuesto, es posible proyectar un cubo de 4 dimensiones en un espacio de 3 dimensiones.
El primer modelo espacial posible es claro: debe tomar 2 marcos de cubo y conectar sus vértices correspondientes con un nuevo borde.
Este modelo no lo tengo ahora. En una conferencia, muestro a los estudiantes un modelo tridimensional ligeramente diferente de un cubo de 4 dimensiones.

Ya sabes cómo se proyecta un cubo en un plano como este.
Como si estuviéramos mirando el cubo desde arriba.

El extremo cercano, por supuesto, es grande. Y el lado lejano parece más pequeño, lo vemos a través del cercano.

Así es como puedes proyectar un cubo de 4 dimensiones. El cubo es más grande ahora, el cubo del futuro que vemos a lo lejos, por lo que parece más pequeño.

Por otro lado. Desde el lado de la parte superior.

Directamente exactamente desde el lado del borde:

Del lado de la costilla:

Y el último ángulo, asimétrico. De la sección "todavía dices que le miré entre las costillas".

Bueno, entonces puedes pensar en cualquier cosa. Por ejemplo, al igual que sucede cuando un cubo tridimensional se despliega en un plano (es como cortar una hoja de papel para obtener un cubo cuando se pliega), un cubo de 4 dimensiones se despliega en el espacio. Es como cortar un trozo de madera para que al plegarlo en un espacio de 4 dimensiones obtengamos un teseracto.

Puede estudiar no solo un cubo de 4 dimensiones, sino cubos de n dimensiones en general. Por ejemplo, ¿es cierto que el radio de una esfera circunscrita a un cubo de n dimensiones es menor que la longitud de una arista de este cubo? O aquí hay una pregunta más simple: ¿cuántos vértices tiene un cubo de n dimensiones? ¿Y cuántas aristas (caras unidimensionales)?

La evolución del cerebro humano tuvo lugar en el espacio tridimensional. Por eso, nos cuesta imaginar espacios con dimensiones mayores a tres. De hecho, el cerebro humano no puede imaginar objetos geométricos con más de tres dimensiones. Y al mismo tiempo, podemos imaginar fácilmente objetos geométricos con dimensiones no solo tres, sino también con dimensiones dos y uno.

La diferencia y analogía entre 1D y 2D, y la diferencia y analogía entre 2D y 3D nos permiten aclarar un poco el misterio que nos aísla de los espacios de dimensiones superiores. Para entender cómo se usa esta analogía, considere un objeto de cuatro dimensiones muy simple: un hipercubo, es decir, un cubo de cuatro dimensiones. Para mayor precisión, digamos que queremos resolver un problema específico, a saber, contar el número de caras cuadradas de un cubo de cuatro dimensiones. Toda la consideración a continuación será muy vaga, sin ninguna evidencia, puramente por analogía.

Para entender cómo se construye un hipercubo a partir de un cubo ordinario, primero se debe observar cómo se construye un cubo ordinario a partir de un cuadrado ordinario. Por la originalidad de la presentación de este material, llamaremos aquí un SubCubo cuadrado ordinario (y no lo confundiremos con un súcubo).

Para construir un cubo a partir de un subcubo, es necesario extender el subcubo en una dirección perpendicular al plano del subcubo en la dirección de la tercera dimensión. Al mismo tiempo, crecerá un subcubo de cada lado del subcubo inicial, que es una cara bidimensional lateral del cubo, que limitará el volumen tridimensional del cubo de cuatro lados, dos perpendiculares a cada dirección en el plano del subcubo. Y a lo largo del nuevo tercer eje, también hay dos subcubos que limitan el volumen tridimensional del cubo. Esta es la cara bidimensional donde se encontraba originalmente nuestro subcubo y la cara bidimensional del cubo donde se encontraba el subcubo al final de la construcción del cubo.

Lo que acabas de leer está expuesto con excesivo detalle y con muchas aclaraciones. Y no casualmente. Ahora haremos tal truco, reemplazaremos algunas palabras en el texto anterior formalmente de esta manera:
cubo -> hipercubo
subcubo -> cubo
plano -> volumen
tercero -> cuarto
2D -> 3D
cuatro -> seis
tridimensional -> tetradimensional
dos -> tres
plano -> espacio

Como resultado, obtenemos el siguiente texto significativo, que ya no parece demasiado detallado.

Para construir un hipercubo a partir de un cubo, debe estirar el cubo en una dirección perpendicular al volumen del cubo en la dirección de la cuarta dimensión. Al mismo tiempo, crecerá un cubo de cada lado del cubo original, que es la cara tridimensional lateral del hipercubo, que limitará el volumen tetradimensional del hipercubo de seis lados, tres perpendiculares a cada dirección en el espacio del cubo. Y a lo largo del nuevo cuarto eje, también hay dos cubos que limitan el volumen tetradimensional del hipercubo. Esta es la cara tridimensional donde originalmente estaba ubicado nuestro cubo y la cara tridimensional del hipercubo, donde quedó el cubo al final de la construcción del hipercubo.

¿Por qué estamos tan seguros de haber recibido la descripción correcta de la construcción del hipercubo? Sí, porque exactamente por la misma sustitución formal de palabras obtenemos una descripción de la construcción de un cubo a partir de una descripción de la construcción de un cuadrado. (Compruébalo por ti mismo.)

Ahora está claro que si de cada lado del cubo debe crecer otro cubo tridimensional, entonces debe crecer una cara de cada borde del cubo inicial. En total, el cubo tiene 12 aristas, lo que significa que habrá 12 caras nuevas adicionales (subcubos) para esos 6 cubos que limitan el volumen de cuatro dimensiones a lo largo de los tres ejes del espacio tridimensional. Y hay dos cubos más que limitan este volumen de cuatro dimensiones desde abajo y desde arriba a lo largo del cuarto eje. Cada uno de estos cubos tiene 6 caras.

En total obtenemos que el hipercubo tiene 12+6+6=24 caras cuadradas.

La siguiente imagen muestra la estructura lógica de un hipercubo. Es como una proyección de un hipercubo en un espacio tridimensional. En este caso, se obtiene un marco tridimensional de nervaduras. En la figura, por supuesto, también se ve la proyección de este marco sobre un plano.

En este marco, el cubo interior es, por así decirlo, el cubo inicial, a partir del cual comenzó la construcción y que limita el volumen tetradimensional del hipercubo a lo largo del cuarto eje desde la parte inferior. Estiramos este cubo inicial hacia arriba a lo largo del eje de la cuarta dimensión y entra en el cubo exterior. Así que los cubos exterior e interior de esta figura limitan el hipercubo a lo largo del eje de la cuarta dimensión.

Y entre estos dos cubos se ven 6 cubos nuevos más, que están en contacto con los dos primeros por caras comunes. Estos seis cubos limitan nuestro hipercubo a lo largo de tres ejes de espacio tridimensional. Como puede ver, no solo están en contacto con los primeros dos cubos, que son internos y externos en este marco tridimensional, sino que todavía están en contacto entre sí.

Puedes calcular directamente en la figura y asegurarte de que el hipercubo realmente tiene 24 caras. Pero aquí viene la pregunta. Este marco de hipercubo 3D está lleno de ocho cubos 3D sin espacios. Para hacer un hipercubo real a partir de esta proyección tridimensional del hipercubo, es necesario dar la vuelta a este marco para que los 8 cubos limiten el volumen de 4 dimensiones.

Se hace así. Invitamos a un residente del espacio de cuatro dimensiones a visitarnos y le pedimos que nos ayude. Agarra el cubo interior de este marco y lo desplaza hacia la cuarta dimensión, que es perpendicular a nuestro espacio 3D. Nosotros en nuestro espacio tridimensional lo percibimos como si todo el marco interior hubiera desaparecido y solo quedara el marco del cubo exterior.

A continuación, nuestro asistente 4D se ofrece a ayudar en partos sin dolor, pero nuestras mujeres embarazadas están aterrorizadas ante la perspectiva de que el bebé simplemente desaparezca del vientre y termine en un espacio 3D paralelo. Por lo tanto, el cuádruple es cortésmente rechazado.

Y nos preguntamos si algunos de nuestros cubos se despegaron cuando se volteó el marco del hipercubo. Después de todo, si algunos cubos tridimensionales que rodean al hipercubo tocan a sus vecinos en el marco, también tocarán las mismas caras si el tetradimensional da la vuelta al marco.

Volvamos de nuevo a la analogía con los espacios de menor dimensión. Compare la imagen de la estructura alámbrica del hipercubo con la proyección del cubo 3D en el plano que se muestra en la siguiente imagen.

Los habitantes del espacio bidimensional construyeron un marco de proyección de un cubo en un plano sobre un plano y nos invitaron a nosotros, residentes tridimensionales, a darle la vuelta a este marco. Tomamos los cuatro vértices del cuadrado interior y los movemos perpendicularmente al plano. Al mismo tiempo, los residentes bidimensionales ven la desaparición completa de todo el marco interior y solo tienen el marco del cuadrado exterior. Con tal operación, todos los cuadrados que estaban en contacto con sus aristas continúan tocándose como antes con las mismas aristas.

Por lo tanto, esperamos que el esquema lógico del hipercubo tampoco se viole cuando el marco del hipercubo se invierte, y el número de caras cuadradas del hipercubo no aumentará en este caso y permanecerá igual a 24. Esto, de Por supuesto, no es una prueba en absoluto, sino puramente una conjetura por analogía.

Después de leer todo aquí, puedes dibujar fácilmente el marco lógico de un cubo de cinco dimensiones y calcular cuántos vértices, aristas, caras, cubos e hipercubos tiene. No es difícil en absoluto.