مقدار مشتق تابع را در نقطه x0 بیابید. مقدار مشتق تابع را در نقطه x0 پیدا کنید معادله مماس بر نمودار تابع

مسئله B9 نموداری از یک تابع یا مشتق را نشان می دهد که از آن باید یکی از کمیت های زیر را تعیین کرد:

1. مقدار مشتق در نقطه ای x 0،
2. نقاط بالا یا پایین (نقاط افراطی)،
3. فواصل توابع افزایش و کاهش (فواصل یکنواختی).

توابع و مشتقات ارائه شده در این مسئله همیشه پیوسته هستند که راه حل را تا حد زیادی ساده می کند. علیرغم این واقعیت که این کار به بخش تجزیه و تحلیل ریاضی تعلق دارد، حتی در اختیار ضعیف ترین دانش آموزان است، زیرا در اینجا به دانش نظری عمیقی نیاز نیست.

برای یافتن مقدار مشتق، نقاط افراطی و فواصل یکنواختی، الگوریتم های ساده و جهانی وجود دارد - همه آنها در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت.

شرایط مشکل B9 را با دقت بخوانید تا مرتکب اشتباهات احمقانه نشوید: گاهی اوقات متون کاملاً حجیم به دست می آیند، اما چند شرط مهم وجود دارد که بر روند راه حل تأثیر می گذارد.

محاسبه مقدار مشتق. روش دو نقطه ای

اگر به مسئله نموداری از تابع f(x)، مماس بر این نمودار در نقطه ای x 0 داده شود، و لازم است مقدار مشتق را در این نقطه پیدا کنیم، الگوریتم زیر اعمال می شود:

1. دو نقطه "کافی" را در نمودار مماس پیدا کنید: مختصات آنها باید عدد صحیح باشد. بیایید این نقاط را به صورت A (x 1 ; y 1) و B (x 2 ; y 2) نشان دهیم. مختصات را به درستی یادداشت کنید - این نکته کلیدی راه حل است و هر اشتباهی در اینجا منجر به پاسخ اشتباه می شود.
2. با دانستن مختصات، محاسبه افزایش آرگومان Δx = x 2 − x 1 و افزایش تابع Δy = y 2 − y 1 آسان است.
3. در نهایت، مقدار مشتق D = Δy/Δx را پیدا می کنیم. به عبارت دیگر، شما باید تابع افزایش را بر افزایش آرگومان تقسیم کنید - و این پاسخ خواهد بود.

یک بار دیگر، یادآور می‌شویم: نقاط A و B را باید دقیقاً روی مماس جستجو کرد، نه در نمودار تابع f(x، همانطور که اغلب اتفاق می‌افتد. مماس لزوماً شامل حداقل دو نقطه از این قبیل خواهد بود، در غیر این صورت مسئله به اشتباه فرمول بندی شده است.

نقاط A (-3; 2) و B (-1; 6) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

بیایید مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

وظیفه. شکل نمودار تابع y \u003d f (x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0؛ 3) و B (3؛ 0) را در نظر بگیرید، افزایش ها را پیدا کنید:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

اکنون مقدار مشتق را پیدا می کنیم: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

وظیفه. شکل نمودار تابع y \u003d f (x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 2) و B (5; 2) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

باقی مانده است که مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

از مثال آخر می‌توان این قانون را فرمول‌بندی کرد: اگر مماس موازی با محور OX باشد، مشتق تابع در نقطه مماس برابر با صفر است. در این مورد، شما حتی نیازی به محاسبه چیزی ندارید - فقط به نمودار نگاه کنید.

محاسبه امتیاز بالا و پایین

گاهی اوقات به جای نمودار یک تابع در مسئله B9، یک نمودار مشتق داده می شود و لازم است حداکثر یا حداقل نقطه تابع را پیدا کنید. در این سناریو، روش دو نقطه ای بی فایده است، اما الگوریتم دیگری حتی ساده تر وجود دارد. ابتدا بیایید اصطلاحات را تعریف کنیم:

1. نقطه x 0 حداکثر نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر نابرابری زیر در همسایگی این نقطه برقرار باشد: f(x 0) ≥ f(x).
2. نقطه x 0 را حداقل نقطه تابع f(x) می نامند اگر نابرابری زیر در همسایگی این نقطه برقرار باشد: f(x 0) ≤ f(x).

برای یافتن حداکثر و حداقل نقاط در نمودار مشتق، کافی است مراحل زیر را انجام دهید:

1. نمودار مشتق را دوباره ترسیم کنید، تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. همانطور که تمرین نشان می دهد، داده های اضافی فقط با راه حل تداخل می کنند. بنابراین، صفرهای مشتق را روی محور مختصات علامت گذاری می کنیم - و تمام.
2. نشانه های مشتق را در فواصل بین صفرها پیدا کنید. اگر برای نقطه ای x 0 معلوم شود که f'(x 0) ≠ 0، آنگاه فقط دو گزینه ممکن است: f'(x 0) ≥ 0 یا f'(x 0) ≤ 0. علامت مشتق است به راحتی می توان از ترسیم اصلی تعیین کرد: اگر نمودار مشتق بالای محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≥ 0. برعکس، اگر نمودار مشتق زیر محور OX قرار گیرد، آنگاه f'(x) ≤ 0 است.
3. دوباره صفرها و نشانه های مشتق را بررسی می کنیم. جایی که علامت از منفی به مثبت تغییر می کند، یک نقطه حداقل وجود دارد. برعکس، اگر علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، این حداکثر نقطه است. شمارش همیشه از چپ به راست انجام می شود.

این طرح فقط برای توابع پیوسته کار می کند - هیچ مورد دیگری در مشکل B9 وجود ندارد.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-5; 5]. حداقل نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم - فقط مرزها را ترک خواهیم کرد [-5; 5] و صفرهای مشتق x = -3 و x = 2.5. همچنین به علائم توجه کنید:

بدیهی است که در نقطه x = -3، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. این حداقل امتیاز است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7]. حداکثر نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و فقط مرزها را باقی بگذاریم [-3; 7] و صفرهای مشتق x = -1.7 و x = 5. به علائم مشتق در نمودار حاصل توجه کنید. ما داریم:

بدیهی است که در نقطه x = 5، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند - این حداکثر نقطه است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-6; 4]. تعداد حداکثر نقاط تابع f(x) را که به بازه [-4; 3].

از شرایط مسئله برمی‌آید که کافی است فقط بخشی از نمودار را که توسط بخش محدود شده است در نظر بگیریم [-4; 3]. بنابراین، ما یک نمودار جدید می سازیم که روی آن فقط مرزها را علامت گذاری می کنیم [-4; 3] و صفرهای مشتق داخل آن. یعنی نقاط x = -3.5 و x = 2. دریافت می کنیم:

در این نمودار، تنها یک نقطه حداکثر x = 2 وجود دارد. در آن است که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند.

یک نکته کوچک در مورد نقاط با مختصات غیر صحیح. به عنوان مثال، در مسئله آخر، نقطه x = -3.5 در نظر گرفته شد، اما با همان موفقیت می توانیم x = -3.4 را بگیریم. اگر مشکل به درستی فرموله شود، چنین تغییراتی نباید روی پاسخ تأثیر بگذارد، زیرا نکات "بدون محل اقامت ثابت" مستقیماً در حل مشکل دخالت ندارند. البته با امتیازهای صحیح چنین ترفندی کارساز نخواهد بود.

یافتن فواصل افزایش و کاهش یک تابع

در چنین مسئله ای، مانند نقاط حداکثر و حداقل، یافتن مناطقی پیشنهاد می شود که خود تابع از نمودار مشتق کم یا زیاد می شود. ابتدا بیایید تعریف کنیم که صعودی و نزولی چیست:

1. اگر برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره جمله درست باشد، تابع f(x) در یک قطعه افزایش می یابد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). به عبارت دیگر، هر چه مقدار آرگومان بزرگتر باشد، مقدار تابع نیز بزرگتر است.
2. تابع f(x) در یک پاره کاهنده نامیده می شود اگر برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره جمله درست باشد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). آن ها مقدار بزرگتر آرگومان مربوط به مقدار کوچکتر تابع است.

ما شرایط کافی برای افزایش و کاهش را تدوین می کنیم:

1. برای اینکه یک تابع پیوسته f(x) روی قطعه افزایش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه مثبت باشد، یعنی. f'(x) ≥ 0.
2. برای اینکه یک تابع پیوسته f(x) روی قطعه کاهش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه منفی باشد، یعنی. f'(x) ≤ 0.

ما این ادعاها را بدون دلیل می پذیریم. بنابراین، طرحی برای یافتن فواصل افزایش و کاهش به دست می‌آوریم که از بسیاری جهات شبیه الگوریتم محاسبه نقاط افراطی است:

1. تمام اطلاعات اضافی را حذف کنید. در نمودار اصلی مشتق، ما در درجه اول به صفرهای تابع علاقه داریم، بنابراین فقط آنها را رها می کنیم.
2. نشانه های مشتق را در فواصل بین صفرها مشخص کنید. در جایی که f'(x) ≥ 0 باشد، تابع افزایش می یابد و در جایی که f'(x) ≤ 0 باشد، کاهش می یابد. اگر مشکل محدودیت‌هایی روی متغیر x داشته باشد، آن‌ها را نیز در نمودار جدید علامت‌گذاری می‌کنیم.
3. اکنون که رفتار تابع و محدودیت را می دانیم، باقی مانده است که مقدار مورد نیاز در مسئله را محاسبه کنیم.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7.5]. بازه های تابع نزولی f(x) را بیابید. در پاسخ خود مجموع اعداد صحیح موجود در این فواصل را بنویسید.

طبق معمول، نمودار را دوباره ترسیم می کنیم و مرزها را علامت گذاری می کنیم [-3; 7.5]، و همچنین صفرهای مشتق x = -1.5 و x = 5.3. سپس نشانه های مشتق را مشخص می کنیم. ما داریم:

از آنجایی که مشتق در بازه (- 1.5) منفی است، این بازه تابع کاهشی است. باقی می ماند که تمام اعداد صحیحی که در این بازه هستند جمع شوند:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

وظیفه. شکل، نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می‌دهد که در بخش [-10; 4]. بازه های افزایش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود طول بزرگترین آنها را بنویسید.

بیایید از شر اطلاعات اضافی خلاص شویم. ما فقط مرزها را ترک می کنیم [-10; 4] و صفرهای مشتق، که این بار چهار شد: x = −8، x = −6، x = −3 و x = 2. به نشانه‌های مشتق توجه کنید و تصویر زیر را دریافت کنید:

ما علاقه مند به فواصل افزایش تابع هستیم، یعنی. که در آن f'(x) ≥ 0. دو بازه از این قبیل در نمودار وجود دارد: (-8؛ -6) و (-3؛ 2). بیایید طول آنها را محاسبه کنیم:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

از آنجایی که لازم است طول بزرگترین بازه ها را پیدا کنیم، در پاسخ مقدار l 2 = 5 را می نویسیم.

مثال 1

ارجاع: روش های زیر برای علامت گذاری یک تابع معادل هستند: در برخی کارها، تعیین تابع به عنوان "بازیکن" و در برخی به عنوان "ef from x" راحت است.

ابتدا مشتق را پیدا می کنیم:

مثال 2

مشتق یک تابع را در یک نقطه محاسبه کنید

, , مطالعه عملکرد کاملو غیره.

مثال 3

مشتق تابع را در نقطه محاسبه کنید. بیایید ابتدا مشتق را پیدا کنیم:

خب، این یک موضوع کاملا متفاوت است. مقدار مشتق را در نقطه زیر محاسبه کنید:

در صورتی که متوجه نشدید مشتق چگونه پیدا شد، به دو درس اول مبحث برگردید. در صورت وجود اشکال (سوء تفاهم) در مورد مماس قوس و معانی آن، لزوما مطالعه مواد روش شناختی نمودارها و خواص توابع ابتدایی- پاراگراف آخر زیرا هنوز به اندازه کافی برای سن دانش آموزی وجود دارد.

مثال 4

مشتق تابع را در نقطه محاسبه کنید.

معادله مماس بر نمودار تابع

برای تجمیع پاراگراف قبل، مسئله یافتن مماس بر را در نظر بگیرید گرافیک تابعدر این نقطه ما این وظیفه را در مدرسه انجام دادیم و در درس ریاضیات عالی نیز یافت می شود.

یک مثال ابتدایی "تظاهرات" را در نظر بگیرید.

معادله ای برای مماس بر نمودار تابع در نقطه ای با ابسیسا بنویسید. من بلافاصله یک راه حل گرافیکی آماده برای مشکل ارائه خواهم کرد (در عمل، این در اکثر موارد ضروری نیست):

یک تعریف دقیق از مماس توسط تعاریف مشتق یک تابع، اما در حال حاضر به بخش فنی موضوع مسلط خواهیم شد. مطمئناً تقریباً همه به طور شهودی درک می کنند که مماس چیست. اگر "روی انگشتان" را توضیح دهید، مماس بر نمودار تابع است سر راست، که مربوط به نمودار تابع در است تنهانقطه. در این حالت، تمام نقاط نزدیک خط مستقیم تا حد امکان نزدیک به نمودار تابع قرار می گیرند.

همانطور که در مورد ما اعمال می شود: در، مماس (نماد استاندارد) نمودار تابع را در یک نقطه لمس می کند.

و وظیفه ما این است که معادله یک خط مستقیم را پیدا کنیم.

مشتق تابع در یک نقطه

چگونه مشتق یک تابع را در یک نقطه پیدا کنیم؟ دو نکته بارز این تکلیف از جمله بندی به دست می آید:

1) باید مشتق را پیدا کرد.

2) محاسبه مقدار مشتق در یک نقطه معین ضروری است.

مثال 1

مشتق یک تابع را در یک نقطه محاسبه کنید

راهنما: روش های زیر برای علامت گذاری یک تابع معادل هستند:


در برخی کارها، تعیین تابع به عنوان "بازیکن" و در برخی به عنوان "ef from x" راحت است.

ابتدا مشتق را پیدا می کنیم:

من امیدوارم که بسیاری قبلاً برای یافتن چنین مشتقاتی به صورت شفاهی سازگار شده باشند.

در مرحله دوم، مقدار مشتق را در نقطه محاسبه می کنیم:

یک مثال گرم کردن کوچک برای یک راه حل مستقل:

مثال 2

مشتق یک تابع را در یک نقطه محاسبه کنید

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

نیاز به یافتن مشتق در یک نقطه در کارهای زیر ایجاد می شود: ساختن مماس بر نمودار یک تابع (بند بعدی) مطالعه یک تابع برای یک اکستروم , مطالعه تابع عطف نمودار , مطالعه عملکرد کامل و غیره.

اما تکلیف مورد بررسی در اوراق کنترل و به خودی خود یافت می شود. و، به عنوان یک قاعده، در چنین مواردی، عملکرد بسیار پیچیده است. در این زمینه به دو مثال دیگر توجه کنید.

مثال 3

مشتق یک تابع را محاسبه کنید در نقطه .
بیایید ابتدا مشتق را پیدا کنیم:

مشتق، در اصل، پیدا می شود، و مقدار مورد نیاز می تواند جایگزین شود. اما من واقعاً نمی خواهم کاری انجام دهم. عبارت بسیار طولانی است و مقدار "x" کسری است. بنابراین، ما سعی می کنیم تا حد امکان مشتق خود را ساده کنیم. در این مورد، بیایید سعی کنیم سه عبارت آخر را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم: در نقطه .

این یک مثال برای خودتان است.

چگونه مقدار مشتق تابع F(x) را در نقطه هو پیدا کنیم؟ چگونه آن را به طور کلی حل کنیم؟

اگر فرمول داده شد، مشتق را پیدا کنید و X-zero را به جای X جایگزین کنید. شمردن
اگر در مورد نمودار b-8 USE صحبت می کنیم، پس باید مماس زاویه (حاد یا مبهم) را پیدا کنید که مماس بر محور X را تشکیل می دهد (با استفاده از ساخت ذهنی یک مثلث قائم الزاویه و تعیین مماس زاویه زاویه)

تیمور عادل خوژایف

ابتدا باید در مورد علامت تصمیم بگیرید. اگر نقطه x0 در قسمت پایین صفحه مختصات باشد، علامت در پاسخ منفی و اگر بالاتر باشد، علامت + خواهد بود.
در مرحله دوم، شما باید بدانید که تانژ در یک مستطیل مستطیلی چیست. و این نسبت طرف مقابل (پا) به طرف مجاور (همچنین ساق) است. معمولاً چند لک سیاه روی نقاشی وجود دارد. از این علامت ها یک مثلث قائم الزاویه درست می کنید و تانژ را پیدا می کنید.

چگونه مقدار مشتق تابع f x را در نقطه x0 پیدا کنیم؟

در حالت کلی، برای یافتن مقدار مشتق یک تابع با توجه به یک متغیر در هر نقطه، لازم است تابع داده شده را با توجه به این متغیر متمایز کنیم. در مورد شما، توسط متغیر X. در عبارت حاصل، به جای X، مقدار x را در نقطه ای که باید مقدار مشتق را پیدا کنید، قرار دهید. در مورد شما، صفر X را جایگزین کرده و عبارت حاصل را محاسبه کنید.

خب میل شما به درک این موضوع به نظر من بدون شک سزاوار + است که من با وجدان آسوده عرض می کنم.

چنین فرمولی از مسئله یافتن مشتق اغلب برای تثبیت ماده در معنای هندسی مشتق مطرح می شود. یک نمودار از یک تابع خاص پیشنهاد شده است، کاملا دلخواه و با معادله ارائه نشده است، و لازم است مقدار مشتق (نه خود مشتق!) را در نقطه مشخص شده X0 پیدا کنید. برای این کار یک مماس بر تابع داده شده ساخته شده و نقاط تلاقی آن با محورهای مختصات پیدا می شود. سپس معادله این مماس به صورت y=kx+b ترسیم می شود.

در این معادله ضریب k و مقدار مشتق خواهد بود. تنها برای یافتن مقدار ضریب b باقی می ماند. برای انجام این کار، مقدار y را در x \u003d o پیدا می کنیم، بگذارید برابر با 3 باشد - این مقدار ضریب b است. مقادیر X0 و Y0 را در معادله اصلی جایگزین می کنیم و k - مقدار مشتق ما را در این نقطه پیدا می کنیم.