آنچه به آن تبدیل یکسان بیان می گویند. تبدیل بیان

آخرین عملیات حسابی که هنگام محاسبه مقدار عبارت انجام می شود "اصلی" است.

یعنی اگر تعدادی (هر) عددی را به جای حروف جایگزین کنید و سعی کنید مقدار عبارت را محاسبه کنید، اگر آخرین عمل ضرب باشد، یک محصول خواهیم داشت (عبارت به عامل تجزیه می شود).

اگر آخرین عمل جمع یا تفریق باشد، به این معنی است که عبارت فاکتور نمی شود (و بنابراین نمی توان آن را کاهش داد).

برای اینکه خودتان آن را درست کنید، چند مثال:

مثال ها:

راه حل ها:

1. امیدوارم فوراً برای برش عجله نکرده باشید و؟ هنوز "کاهش" واحدهایی مانند این کافی نبود:

اولین قدم باید فاکتورسازی باشد:

4. جمع و تفریق کسرها. آوردن کسرها به مخرج مشترک.

جمع و تفریق کسرهای معمولی یک عملیات شناخته شده است: ما به دنبال مخرج مشترک می گردیم، هر کسری را در ضریب گم شده ضرب می کنیم و اعداد را جمع یا تفریق می کنیم.

یادمان باشد:

پاسخ ها:

1. مخرج و هم اول هستند، یعنی فاکتورهای مشترک ندارند. بنابراین LCM این اعداد برابر است با حاصلضرب آنها. این مخرج مشترک خواهد بود:

2. در اینجا مخرج مشترک این است:

3. در اینجا، اول از همه، کسرهای مخلوط را به کسرهای نامناسب تبدیل می کنیم، و سپس - طبق طرح معمول:

اگر کسرها دارای حروف باشند، به عنوان مثال:

بیایید ساده شروع کنیم:

الف) مخرج ها حروف ندارند

در اینجا همه چیز مانند کسرهای عددی معمولی است: یک مخرج مشترک پیدا می کنیم، هر کسری را در ضریب گم شده ضرب می کنیم و اعداد را جمع / تفریق می کنیم:

اکنون در صورت حساب می توانید موارد مشابه را در صورت وجود بیاورید و آنها را فاکتور بگیرید:

خودتان انرا آزمایش کنید:

پاسخ ها:

ب) مخرج شامل حروف است

بیایید اصل پیدا کردن مخرج مشترک بدون حروف را به خاطر بسپاریم:

اول از همه، عوامل مشترک را تعیین می کنیم.

سپس همه عوامل مشترک را یک بار می نویسیم.

و آنها را در همه عوامل دیگر ضرب کنید نه عوامل رایج.

برای تعیین عوامل مشترک مخرج ها، ابتدا آنها را به عوامل ساده تجزیه می کنیم:

ما بر عوامل مشترک تأکید می کنیم:

حالا یک بار عوامل مشترک را می نویسیم و همه عوامل غیر مشترک (بدون خط کشی) را به آنها اضافه می کنیم:

این وجه مشترک است.

برگردیم به نامه ها. مخرج ها دقیقاً به همین صورت آورده می شوند:

ما مخرج ها را به عوامل تجزیه می کنیم.

تعیین ضرایب مشترک (یکسان)؛

همه عوامل مشترک را یک بار بنویسید.

ما آنها را در همه عوامل دیگر ضرب می کنیم، نه عوامل رایج.

بنابراین، به ترتیب:

1) مخرج ها را به عوامل تجزیه کنید:

2) عوامل مشترک (یکسان) را تعیین کنید:

3) همه عوامل مشترک را یک بار بنویسید و آنها را در همه عوامل دیگر (بدون خط کشی) ضرب کنید:

پس مخرج مشترک اینجاست. کسر اول باید در ضرب شود، دومی - در:

به هر حال، یک ترفند وجود دارد:

برای مثال: .

ما عوامل یکسانی را در مخرج ها می بینیم، فقط همه با شاخص های متفاوت. مخرج مشترک خواهد بود:

به حدی

به حدی

به حدی

در درجه

بیایید کار را پیچیده کنیم:

چگونه می توان کسرها را مخرج یکسانی ساخت؟

بیایید ویژگی اصلی یک کسری را به خاطر بسپاریم:

در هیچ کجا گفته نشده است که همان عدد را می توان از صورت و مخرج کسر کم کرد (یا اضافه کرد). چون درست نیست!

خودتان ببینید: برای مثال، هر کسری را بردارید و به صورت و مخرج عددی اضافه کنید، برای مثال، . چه چیزی آموخته شده است؟

بنابراین، یک قانون تزلزل ناپذیر دیگر:

وقتی کسرها را به مخرج مشترک می آورید، فقط از عملیات ضرب استفاده کنید!

اما برای بدست آوردن چه چیزی باید ضرب کنید؟

در اینجا و ضرب کنید. و ضرب در:

عباراتی که نمی توانند فاکتورسازی شوند، «عوامل ابتدایی» نامیده می شوند.

به عنوان مثال، یک عامل ابتدایی است. - هم. اما - نه: به عوامل تجزیه می شود.

در مورد بیان چطور؟ ابتدایی است؟

خیر، زیرا می توان آن را فاکتور گرفت:

(شما قبلاً در مورد فاکتورسازی در مبحث "" خوانده اید).

بنابراین، عوامل اولیه ای که شما یک عبارت را با حروف تجزیه می کنید، مشابه عوامل ساده ای هستند که اعداد را به آنها تجزیه می کنید. و ما همین کار را با آنها انجام خواهیم داد.

می بینیم که هر دو مخرج یک عامل دارند. این به مخرج مشترک در قدرت خواهد رفت (یادتان هست چرا؟).

ضریب ابتدایی است و آنها مشترکی با آن ندارند، به این معنی که کسر اول به سادگی باید در آن ضرب شود:

مثالی دیگر:

راه حل:

قبل از اینکه این مخرج ها را در وحشت ضرب کنید، باید به این فکر کنید که چگونه آنها را فاکتور بگیرید؟ هر دو نشان دهنده:

خوب! سپس:

مثالی دیگر:

راه حل:

طبق معمول، مخرج ها را فاکتور می گیریم. در مخرج اول، به سادگی آن را خارج از پرانتز قرار می دهیم. در دوم - تفاوت مربع ها:

به نظر می رسد که هیچ عامل مشترکی وجود ندارد. اما اگر از نزدیک نگاه کنید، آنها قبلاً بسیار شبیه هستند ... و حقیقت این است:

پس بیایید بنویسیم:

یعنی اینطور شد: در داخل براکت، اصطلاحات را عوض کردیم و در همان زمان، علامت جلوی کسر به عکس تغییر کرد. توجه داشته باشید، باید این کار را اغلب انجام دهید.

حال به یک مخرج مشترک می رسیم:

فهمیدم؟ حالا بیایید بررسی کنیم.

وظایف برای راه حل مستقل:

پاسخ ها:

در اینجا باید یک چیز دیگر را به خاطر بسپاریم - تفاوت مکعب ها:

لطفا توجه داشته باشید که مخرج کسر دوم شامل فرمول "مربع مجموع" نیست! مجذور مجموع به شکل زیر خواهد بود:

A به اصطلاح مربع ناقص مجموع است: جمله دوم در آن حاصل ضرب اول و آخر است و نه حاصل ضرب دو برابر شده آنها. مجذور ناقص مجموع یکی از عوامل بسط اختلاف مکعب هاست:

اگر از قبل سه کسر وجود داشته باشد چه؟

بله همینطوره! اول از همه، مطمئن می شویم که حداکثر تعداد فاکتورها در مخرج ها یکسان است:

توجه کنید: اگر علائم داخل یک براکت را تغییر دهید، علامت جلوی کسری به عکس تغییر می کند. وقتی علامت های براکت دوم را تغییر می دهیم، علامت جلوی کسر دوباره معکوس می شود. در نتیجه او (علامت جلوی کسر) تغییر نکرده است.

مخرج اول را به طور کامل در مخرج مشترک می نویسیم و سپس تمام عواملی که هنوز نوشته نشده اند را از دومی و سپس سومی را به آن اضافه می کنیم (و به همین ترتیب اگر کسرهای بیشتری وجود داشته باشد). یعنی اینجوری میشه:

هوم ... با کسرها، مشخص است که چه باید کرد. اما در مورد این دو چطور؟

ساده است: شما می دانید چگونه کسرها را اضافه کنید، درست است؟ بنابراین، شما باید مطمئن شوید که دوس تبدیل به کسری می شود! به یاد داشته باشید: کسری یک عملیات تقسیم است (اگر ناگهان فراموش کردید، صورت بر مخرج تقسیم می شود). و هیچ چیز ساده تر از تقسیم یک عدد بر آن نیست. در این مورد، خود عدد تغییر نمی کند، بلکه به کسری تبدیل می شود:

دقیقا همان چیزی که لازم است!

5. ضرب و تقسیم کسرها.

خب، سخت ترین بخش اکنون به پایان رسیده است. و پیش روی ما ساده ترین، اما در عین حال مهم ترین است:

روش

روش محاسبه یک عبارت عددی چگونه است؟ به یاد داشته باشید که ارزش چنین عبارتی را در نظر بگیرید:

حساب کردی؟

باید کار کند.

بنابراین، من به شما یادآوری می کنم.

اولین مرحله محاسبه مدرک است.

دوم ضرب و تقسیم است. اگر چندین ضرب و تقسیم همزمان وجود داشته باشد، می توانید آنها را به هر ترتیبی انجام دهید.

و در نهایت جمع و تفریق را انجام می دهیم. باز هم به هر ترتیبی.

اما: عبارت پرانتز شده بدون ترتیب ارزیابی می شود!

اگر چند براکت در یکدیگر ضرب یا تقسیم شوند، ابتدا عبارت هر یک از براکت ها را ارزیابی کرده و سپس آنها را ضرب یا تقسیم می کنیم.

اگر پرانتزهای دیگری در داخل پرانتز وجود داشته باشد چطور؟ خوب، بیایید فکر کنیم: مقداری عبارت در داخل پرانتز نوشته شده است. اولین کاری که باید هنگام ارزیابی یک عبارت انجام داد چیست؟ درست است، براکت ها را محاسبه کنید. خوب، ما متوجه شدیم: ابتدا براکت های داخلی را محاسبه می کنیم، سپس همه چیز را.

بنابراین، ترتیب اقدامات برای عبارت بالا به شرح زیر است (عمل فعلی با رنگ قرمز برجسته شده است، یعنی عملی که من در حال حاضر انجام می دهم):

خوب، همه چیز ساده است.

اما این همان عبارت با حروف نیست، درست است؟

نه همینطوره! فقط به جای عملیات حسابی باید عملیات جبری انجام داد، یعنی عملیاتی که در قسمت قبل توضیح داده شد: آوردن مشابه، جمع کسرها، کسر کسرها و غیره. تنها تفاوت در عمل فاکتورگیری چندجمله ای ها خواهد بود (ما اغلب هنگام کار با کسرها از آن استفاده می کنیم). اغلب، برای فاکتورسازی، باید از i استفاده کنید یا به سادگی فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنید.

معمولاً هدف ما نمایش یک عبارت به عنوان یک محصول یا ضریب است.

برای مثال:

بیایید بیان را ساده کنیم.

1) ابتدا عبارت داخل پرانتز را ساده می کنیم. در آنجا ما تفاوت کسرها را داریم و هدف ما نمایش آن به عنوان یک محصول یا ضریب است. بنابراین، کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم و اضافه می کنیم:

ساده کردن این عبارت غیرممکن است، همه عوامل در اینجا ابتدایی هستند (آیا هنوز به یاد دارید که این به چه معناست؟).

2) دریافت می کنیم:

ضرب کسری: چه چیزی می تواند آسان تر باشد.

3) اکنون می توانید کوتاه کنید:

باشه الان تموم شد هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟

مثالی دیگر:

بیان را ساده کنید.

ابتدا سعی کنید خودتان آن را حل کنید و تنها پس از آن به راه حل نگاه کنید.

راه حل:

اول از همه، بیایید رویه را تعریف کنیم.

ابتدا کسرهای داخل پرانتز را با هم جمع می کنیم، به جای دو کسر، یک کسر درست می شود.

سپس تقسیم کسرها را انجام می دهیم. خوب، نتیجه را با کسر آخر اضافه می کنیم.

من به صورت شماتیک مراحل را شماره گذاری می کنم:

اکنون کل فرآیند را نشان می دهم و عمل فعلی را با رنگ قرمز رنگ آمیزی می کنم:

1. در صورت وجود موارد مشابه باید فوراً آورده شوند. در هر لحظه که موارد مشابه داریم، توصیه می شود فورا آنها را بیاوریم.

2. در مورد کسر کسرها هم همینطور: به محض اینکه فرصتی برای کاهش پیش آمد باید از آن استفاده کرد. استثنا کسری است که اضافه یا تفریق می کنید: اگر اکنون مخرج های یکسانی دارند، پس کاهش باید برای بعد باقی بماند.

در اینجا چند کار وجود دارد که می توانید آن را به تنهایی حل کنید:

و در همان ابتدا قول داد:

پاسخ ها:

راه حل ها (مختصر):

اگر حداقل با سه مثال اول کنار آمدید، در نظر بگیرید که به موضوع تسلط دارید.

حالا به یادگیری!

تبدیل بیان. خلاصه و فرمول اساسی

عملیات ساده سازی اساسی:

• آوردن مشابه: برای اضافه کردن (کاهش) عبارت‌های لایک، باید ضرایب آنها را اضافه کنید و قسمت حرف را اختصاص دهید.
• فاکتورسازی:خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز، اعمال و غیره
• کاهش کسری: صورت و مخرج کسری را می توان در همان عدد غیر صفر ضرب یا تقسیم کرد که مقدار کسری از آن تغییر نمی کند.
  1) صورت و مخرج فاکتوریزه کردن
  2) در صورت وجود عوامل مشترک در صورت و مخرج، می توان آنها را خط زد.

  مهم: فقط ضریب ها را می توان کاهش داد!

• جمع و تفریق کسرها:
  ;
• ضرب و تقسیم کسرها:
  ;

دگرگونی های هویت

1. مفهوم هویت. انواع اصلی تبدیل های یکسان و مراحل مطالعه آنها.

مطالعه تغییر شکل‌های مختلف عبارات و فرمول‌ها کمترین بخش از زمان مطالعه را در درس ریاضی مدرسه به خود اختصاص می‌دهد. ساده‌ترین تشکل‌های ^ ""، بر اساس ویژگی‌های عملیات حسابی، در حال حاضر در مدرسه ابتدایی هستند. اما بار اصلی شکل‌گیری مهارت‌ها و توانایی‌ها برای انجام تبدیل‌ها بر عهده دوره جبر مدرسه 1 است> این مرتبط است:

با افزایش شدید تعداد تحولات انجام شده، تنوع آنها.

با پیچیدگی فعالیت ها برای اثبات آنها و روشن شدن شرایط اعمال؛

ط) با تخصیص و مطالعه مفاهیم تعمیم یافته هویت، تبدیل یکسان، تبدیل معادل، پیامد منطقی.

خط تحولات یکسان در درس جبر مدرسه ابتدایی توسعه زیر را دریافت می کند:

، 4 کلاس b - باز کردن براکت ها، آوردن اصطلاحات مشابه، خارج کردن - M (فاکتور چشو از داخل براکت ها;

7 کلاس - تبدیلات یکسان عبارات اعداد صحیح و کسری؛

کلاس H - تبدیلات یکسان عبارات حاوی ریشه های چهارگانه؛

( > کلاس - تبدیلات یکسان عبارات مثلثاتی و mmrizhsny حاوی یک درجه با توان گویا.

خط تحولات یکسان یکی از خطوط ایدئولوژیک مهم درس جبر است. بنابراین، آموزش ریاضیات در کلاس های 5-6 توسط niKiiM به گونه ای ساخته شده است که دانش آموزان در این کلاس ها مهارت های ساده ترین تبدیل های یکسان را کسب می کنند (بدون استفاده از اصطلاح "تبدیل های یکسان متفاوت"). این مهارت ها هنگام انجام یک تمرین برای کاهش اصطلاحات مشابه، باز کردن براکت ها و قرار دادن آنها در براکت، خارج کردن فاکتور از براکت و غیره شکل می گیرد. ساده ترین تبدیل عبارات عددی و الفبایی نیز در نظر گرفته شده است. در این سطح از یادگیری، تحولاتی تسلط پیدا می‌کنند که مستقیماً بر اساس قوانین و ویژگی‌های عملیات حسابی انجام می‌شوند.

انواع اصلی وظایف در کلاس های 5-6، که در حل آنها از خواص و قوانین عملیات حسابی به طور فعال استفاده می شود و از طریق آنها مهارت های تبدیل های یکسان شکل می گیرد، عبارتند از:

اثبات الگوریتم ها برای انجام اقدامات بر روی تعداد مجموعه های عددی مورد مطالعه؛

محاسبه مقادیر یک عبارت عددی به منطقی ترین روش؛

مقایسه مقادیر عبارات عددی بدون انجام اقدامات مشخص شده؛

ساده سازی عبارات تحت اللفظی؛

اثبات برابری مقادیر دو عبارت تحت اللفظی و غیره.

عدد 153 را به صورت مجموع عبارات بیت بیان کنید. به عنوان تفاضل دو عدد، به عنوان حاصلضرب دو عدد.

عدد 27 را حاصل ضرب سه عامل یکسان بیان کنید.

این تمرین ها در مورد نمایش همان تعداد در اشکال مختلف نمادگذاری به جذب مفهوم تبدیل های یکسان کمک می کند. در ابتدا، این نمایندگی ها می توانند دلخواه باشند، در آینده - هدفمند. به عنوان مثال، نمایش به عنوان مجموع اصطلاحات بیت برای توضیح قوانین جمع اعداد طبیعی در یک "ستون" استفاده می شود، نمایش به عنوان مجموع یا تفاوت اعداد "مناسب" برای انجام محاسبات سریع محصولات مختلف استفاده می شود، و نمایش به عنوان محصول عوامل برای ساده کردن عبارات کسری مختلف استفاده می شود.

مقدار عبارت 928 36 + 72 36 را بیابید.

روش منطقی محاسبه مقدار این عبارت بر اساس استفاده از قانون توزیعی ضرب با توجه به جمع است: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.

در درس ریاضی مدرسه می توان مراحل زیر را از تسلط بر کاربرد تبدیل عبارات و فرمول های الفبایی تشخیص داد.

صحنه. آغاز جبر.در این مرحله، یک سیستم تقسیم ناپذیر از تبدیل استفاده می شود. توسط قوانینی برای انجام اقدامات در یک یا هر دو بخش فرمول نشان داده می شود.

مثال. حل معادلات:

الف) 5x - bx = 2; ب) 5x = 3x + 2; v) 6 (2 - 4 سال) + 5 سال = 3 (1 - زو).

ایده کلی راه حل این است که این فرمول ها را با کمک چندین قانون ساده کنید. در کار اولساده سازی با اعمال هویت حاصل می شود: 5 برابر- bx= (5 - 3)x. تبدیل هویت مبتنی بر این هویت، معادله داده شده را به یک urshshomie معادل تبدیل می کند 2x - 2.

معادله دومبرای حل آن نه تنها یک تبدیل یکسان، بلکه یک تبدیل پارانوئید نیز لازم است. به این ترتیب، از حق ||n برای انتقال اصطلاحات معادله از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با شیک اصلاح شده استفاده می کند. در حل یک کار ساده مانند b)، هر دو mon در تبدیل استفاده می شود - هم یکسان و هم معادل. این گزاره برای کارهای دست و پا گیرتر مانند مورد سوم نیز استفاده می شود.

مول مرحله اول آموزش نحوه حل سریع ساده ترین معادلات، ساده کردن فرمول هایی است که توابع را تعریف می کنند، محاسبات را به طور منطقی بر اساس ویژگی های اقدامات انجام می دهند.

دختر شکل گیری مهارت ها برای به کارگیری انواع خاصی از تحولII کج کردن مفاهیم هویت و دگرگونی هویت به صراحت در درس shn "کلاس sbra 7" معرفی شده است. بنابراین، برای مثال، در کتاب درسی "جبر 7" np نوشته Yu. N. Makarychev، مفهوم عبارات یکسان برابر معرفی شده است: متغیرها، جاسوسی. یکسان برابر"سپس مفهوم هویت: «برابری که برای هر مقدار از متغیرها جفت می شود نامیده می شود. هویت."

11 مثال آورده شده است:

در کتاب درسی A.G. موردکوویچ "جبر 7" بلافاصله و یک مفهوم تصفیه شده از هویت ارائه می شود: "هویتبرابری صحیح است برای هر مجازمقادیر متغیرهای تشکیل دهنده آن

هنگام معرفی مفهوم تبدیل یکسان، اول از همه باید مصلحت مطالعه استحاله های یکسان را کنار گذاشت. برای این کار می توانید تمرین های مختلفی را برای یافتن معنای عبارات در نظر بگیرید.

liiiipiiMep، مقدار عبارت 37.1x + 37,ly را زمانی که ایکس= 0.98، y = 0.02. با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب، عبارت 37.1l + 37.1 دررا می توان با عبارت 37.1 (x +) محاسبه کرد y) یکسان با او برابر است. راه حل حتی موثرتر کرم 1 تمرین زیر: ارزش عبارت را پیدا کنید

() - (a-6) _ p r i. الف) q = z > ^ = 2; ب) آ = 121, ب - 38; ج) a = 2.52، b= 1 -.

ab 9

پس از تبدیل های انجام شده، معلوم می شود که مجموعه مقادیر این عبارت از یک عدد 4 تشکیل شده است.

در کتاب درسی Yu. N. Makarychev "جبر 7"، معرفی مفهوم تبدیل هویت با در نظر گرفتن یک مثال انجام شده است: "برای یافتن مقدار عبارت xy-da برای x = 2.3; y = 0.8; z = 0.2، شما باید 3 عمل را انجام دهید: هو - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

11 لازم است به یک نوع تبدیل، مخصوص جبر کورونی و آغاز تحلیل اشاره کنیم. اینها تبدیل عبارات حاوی پیش از انتقال،و تحولات مبتنی بر قوانین تمایز و ادغام.تفاوت اصلی بین این تبدیل‌های «تحلیلی» و تبدیل‌های «جبری» در ماهیت مجموعه‌ای است که متغیرها در هویت‌ها از آن عبور می‌کنند. در هویت های جبری، متغیرها از بین می روند تعداد مناطقو در مجموعه های تحلیلی این مجموعه ها معین سرگردان هستند بسیاری از توابعبه عنوان مثال، قانون متمایز کردن مجموع: (Z "+g)" در اینجا / و g متغیرهایی هستند که در میان مجموعه ها اجرا می شوند.

من فقط توابع متمایز پذیر با دامنه تعریف مشترک. از نظر ظاهری، این تبدیل ها شبیه تبدیل های یک نوع جبری است، بنابراین، گاهی اوقات می گویند "جبر حدود"، "جبر تمایز".

هویت های مورد مطالعه در درس مدرسه جبر و ماریال جبری درس جبر و آغاز تجزیه و تحلیل را می توان به دو دسته تقسیم کرد. دو کلاس

اولین مورد شامل هویت های ضرب کاهش یافته است،عادلانه در

av v.

حلقه جابجایی iioGom و هویت ها - =-،a* 0، منصفانه در هر

میدان ام.

دسته دوم توسط هویت های مرتبط با عبارات حسابی و توابع ابتدایی اولیه و همچنین ترکیبات ابتدایی تشکیل می شود.هیکسکارکرد.بیشتر هویت‌های این طبقه دارای یک مبنای ریاضی مشترک نیز هستند که شامل این واقعیت است که توابع توان، نمایی و لگاریتمی هم‌مورفیسم گروه‌های عددی مختلف هستند. به عنوان مثال، عبارتی وجود دارد: یک نگاشت هم شکل پیوسته منحصر به فرد / از گروه جمعی اعداد حقیقی در گروه ضربی اعداد حقیقی مثبت وجود دارد که تحت آن واحد o به یک عدد معین نگاشت می شود. الف> 0, یک F 1; این نگاشت توسط یک تابع متقابل با پایه داده می شود آ:/(ایکس)= آ.ادعاهای مشابهی برای توان و توابع لگاریتمی وجود دارد.

روش شناسی برای مطالعه هویت هر دو طبقه دارای ویژگی های مشترک بسیاری است. به طور کلی تحولات هویتی مورد مطالعه در درس ریاضی مدرسه عبارتند از:

تبدیل عبارات حاوی رادیکال و درجه با توان کسری.

دگرگونی‌های عباراتی که حاوی گذرهایی به حد نهایی هستند، و تبدیل‌های مبتنی بر قوانین تمایز و ادغام.

این نتیجه را می توان تنها با انجام دو عمل با استفاده از عبارت بدست آورد x (y-z)، یکسان با عبارت برابر است xy-xz:x(y-z)= 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

ما محاسبات را با جایگزینی عبارت ساده کرده ایم xy-xz بیان یکسان برابر x (y - z).

جایگزینی یک عبارت با یک عبارت دیگر که برابر با آن است، نامیده می شود دگرگونی هویتیا به سادگی تبدیل بیان

توسعه انواع تبدیل ها در این مرحله با معرفی فرمول های ضرب اختصاری آغاز می شود. سپس تبدیل های مرتبط با عملیات افزایش به توان را با کلاس های مختلف توابع ابتدایی - نمایی، توان، لگاریتمی، مثلثاتی در نظر می گیریم. هر یک از این نوع دگرگونی ها مرحله ای از مطالعه را می گذراند که در آن توجه بر جذب ویژگی های مشخصه آنها متمرکز می شود.

با انباشت مواد، می توان مفاهیم تبدیل های یکسان و معادل را تفکیک و بر این اساس معرفی کرد.

لازم به ذکر است که مفهوم تبدیل یکسان در دوره مدرسه جبر نه به طور کلی، بلکه فقط در کاربرد عبارات ارائه شده است. تبدیل ها به دو دسته تقسیم می شوند: تحولات یکسان تبدیل بیان هستند و معادل - تبدیل فرمول در مواردی که نیاز به ساده کردن یک قسمت از فرمول وجود دارد، عبارتی در این فرمول برجسته می شود که به عنوان استدلالی برای تبدیل یکسان اعمال شده عمل می کند. مثلا معادلات 5x - Zx - 2 و 2x = 2 نه تنها معادل، بلکه یکسان در نظر گرفته می شوند.

در کتب درسی جبر ش.ا. علیموا و دیگران، مفهوم هویت به طور صریح در کلاس های 7-8 و فقط در کلاس 9 در مبحث "هویت های مثلثاتی" هنگام حل مسئله 1 معرفی نشده است: "ثابت کنید که برای افک، به < eZ , برابری 1 + ctg 2 a = -\-» معتبر است، این مفهوم معرفی شده است. در اینجا برای دانش آموزان توضیح داده می شود که گناه آ

برابری نشان داده شده «برای همه مقادیر مجاز a معتبر است، یعنی. طوری که قسمت چپ و راست آن معنا پیدا کند. چنین برابری هایی نامیده می شود هویت ها، و مشکلات اثبات این گونه برابری ها را مشکلات اثبات هویت می گویند.

مرحله III. سازماندهی یک سیستم یکپارچه از تحولات (سنتز).

هدف اصلی این مرحله تشکیل یک دستگاه منعطف و قدرتمند مناسب برای استفاده در حل انواع وظایف آموزشی است.

استقرار مرحله دوم مطالعه تحولات در کل دوره جبر در مدرسه ابتدایی انجام می شود. انتقال به مرحله سوم در طول تکرار نهایی دوره در طول درک مطالب از قبل شناخته شده، که در قسمت هایی آموخته شده است، با توجه به انواع خاصی از تحولات انجام می شود.

در دوره جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، یک سیستم یکپارچه از تحولات، که اساساً قبلاً شکل گرفته است، به تدریج بهبود می یابد. برخی از انواع تبدیل های جدید نیز به آن اضافه می شوند (مثلاً آنهایی که مربوط به توابع مثلثاتی و لگاریتمی هستند)، اما آنها فقط آن را غنی می کنند، قابلیت های آن را گسترش می دهند، اما ساختار آن را تغییر نمی دهند.

روش مطالعه این تبدیل های جدید عملاً با روش مورد استفاده در دوره جبر تفاوتی ندارد.

لازم به ذکر است یک نوع تبدیل مختص دروس جبر و آغاز تحلیل است. اینها تبدیل عبارات حاوی محدود کردن انتقال ها، و تحولات مبتنی بر قوانین تمایز و ادغام. تفاوت اصلی بین این تبدیل‌های «تحلیلی» و تبدیل‌های «جبری» در شخصیت مجموعه نهفته است که متغیرها در هویت‌ها از آن عبور می‌کنند. در هویت های جبری، متغیرها از بین می روند تعداد مناطق در حالی که در مجموعه های تحلیلی معین بسیاری از توابع به عنوان مثال، قانون تمایز جمع: ( f + g )" = f + g "; اینجا فوگ - متغیرهایی که از طریق توابع متمایز ضریب با دامنه تعریف مشترک اجرا می شوند. از نظر ظاهری، این تبدیل ها شبیه تبدیل های یک نوع جبری است، بنابراین، گاهی اوقات می گویند "جبر حدود"، "جبر تمایز".

هویت های مورد مطالعه در درس مدرسه جبر و مواد جبری درس جبر و آغاز تجزیه و تحلیل را می توان به دو کلاس

اولین مورد شامل هویت های ضرب کاهش یافته است، عادلانه در

هر حلقه جابجایی، و هویت - \u003d -، یک * 0، معتبر در هر

ac s

طبقه دوم توسط هویت هایی که عملیات های حسابی و توابع ابتدایی پایه را به هم وصل می کنند و همچنین ترکیبات توابع ابتدایی تشکیل می شود.بیشتر هویت‌های این طبقه دارای یک مبنای ریاضی مشترک هستند که عبارتند از این که توابع توان، نمایی و لگاریتمی هم‌مورفیسم گروه‌های عددی مختلف هستند. به عنوان مثال، عبارتی وجود دارد: یک نگاشت هم شکل پیوسته منحصر به فرد / از گروه جمعی اعداد حقیقی در گروه ضربی اعداد حقیقی مثبت وجود دارد، که تحت آن یکی به یک عدد معین نگاشت می شود. الف> 0, یک F یک این نگاشت توسط تابع نمایی با پایه i داده می شود: / (x) = a*. ادعاهای مشابهی برای توان و توابع لگاریتمی وجود دارد.

روش شناسی برای مطالعه هویت هر دو طبقه دارای ویژگی های مشترک بسیاری است. به طور کلی تحولات هویتی مورد مطالعه در درس ریاضی مدرسه عبارتند از:

تبدیل عبارات جبری؛

تبدیل عبارات حاوی رادیکال ها و توان ها با توان های کسری.

تبدیل عبارات مثلثاتی؛

تبدیل عبارات حاوی توان و لگاریتم.

تبدیل عبارات حاوی انتقال حد، و تبدیل بر اساس قوانین، تمایز و ادغام.

2. ویژگی های سازماندهی سیستم وظیفه در مطالعه تحولات یکسان

اصل اساسی سازماندهی هر سیستمی از وظایف، ارائه آنهاست از ساده به پیچیده با در نظر گرفتن نیاز دانش آموزان به غلبه بر مشکلات امکان پذیر و ایجاد موقعیت های مشکل. این اصل اساسی مستلزم دقیق سازی در رابطه با ویژگی های این مطالب آموزشی است. بیایید یک مثال از یک سیستم تمرینی با موضوع: "مربع مجموع و

اختلاف دو عدد

من لا این سیستم اساسی تمرینات به پایان می رسد. چنین سیستمی باید جذب مواد اولیه را تضمین کند.

تمرین های زیر (19-17) به دانش آموزان اجازه می دهد تا بر اشتباهات معمولی تمرکز کنند و به رشد علاقه و توانایی های خلاقانه خود کمک کنند.

در هر مورد، تعداد تمرینات در سیستم ممکن است کمتر یا بیشتر باشد، اما ترتیب اجرای آنها باید یکسان باشد.

برای توصیف سیستم‌های کار مختلف در روش‌شناسی ریاضیات، از مفهوم نیز استفاده کنید چرخه ورزش چرخه تمرین ها با این واقعیت مشخص می شود که چندین جنبه از مطالعه و روش های ترتیب مطالب در یک دنباله از تمرین ها ترکیب می شوند. در رابطه با تبدیل های یکسان، ایده یک چرخه را می توان به صورت زیر ارائه کرد.

چرخه‌ای از تمرین‌ها با مطالعه یک هویت مرتبط است، که هویت‌های دیگری که در ارتباط طبیعی با آن هستند، حول آن دسته‌بندی می‌شوند. "توقف حلقه همراه با اجرایی شامل وظایفی است که نیاز دارند تشخیص-< ii که در و نه قابل اجرا بودن هویت در نظر گرفته شده. هویت مورد مطالعه برای انجام محاسبات در حوزه های عددی مختلف استفاده می شود.

وظایف در هر چرخه به دو دسته تقسیم می شوند دو گروه به اولین شامل وظایفی است که در طی آشنایی اولیه با هویت انجام می شود. آنها در چندین درس با یک موضوع متحد شده اند. گروه دوم تمرین هویت مورد مطالعه را با کاربردهای مختلف مرتبط می کند. تمرینات این گروه معمولاً در موضوعات مختلف پراکنده است.

ساختار توصیف شده چرخه به مرحله شکل گیری مهارت برای اعمال انواع خاصی از تحولات اشاره دارد. در مرحله نهایی - (در مرحله سنتز، چرخه ها اصلاح می شوند. اولا، هر دو گروه شداپیا با هم ترکیب می شوند و تشکیل می شوند چرخه "بازشده". ، و ساده ترین ها را از نظر جمله بندی یا از نظر پیچیدگی اجرا از گروه اول یادداشت کنید. انواع کارهای باقی مانده دشوارتر می شوند. ثانیاً ادغام چرخه های مربوط به هویت های مختلف وجود دارد، به همین دلیل، نقش اقدامات برای تشخیص کاربرد این یا هویت دیگری افزایش می یابد.

بیایید یک مثال عینی از یک حلقه را در نظر بگیریم.

مثال. چرخه شغلی برای هویت x -y 2 = (x-y) (x + y).

اجرای اولین گروه از وظایف این چرخه به شرح زیر است:

شرایط دانش‌آموزان به تازگی با صورت‌بندی هویت (یا بهتر است بگوییم با دو صورت‌بندی: «تفاوت مجذورات دو عبارت برابر است با حاصل جمع و تفاضل این عبارات» و «ضرب‌جمع» آشنا شده‌اند. و اختلاف دو عبارت برابر است با اختلاف مجذورات این عبارات»)، نوشتن آن به صورت فرمول، برهان. در ادامه، چند نمونه از استفاده از یک تبدیل مبتنی بر این هویت آورده شده است. در نهایت، دانش آموزان شروع به انجام تمرینات به تنهایی می کنند.

گروه اول وظایف

گروه دوم وظایف

(وظایف هر گروه را می توان با استفاده از پروژکتور چند رسانه ای به دانش آموزان ارائه داد)

اجازه دهید یک تجزیه و تحلیل روشمند از این سیستم از انواع کار انجام دهیم.

هدف a0 اصلاح ساختار هویت مورد مطالعه است. این با جایگزینی حروف (x و y)در نماد هویت در حروف دیگر. وظایف این نوع به شما امکان می دهد رابطه بین بیان کلامی و شکل نمادین هویت را روشن کنید.

وظیفه 2) بر ایجاد ارتباط این هویت با سیستم عددی متمرکز است. عبارتی که در اینجا تبدیل می شود صرفاً تحت اللفظی نیست، بلکه حروف عددی است. برای توصیف اقدامات انجام شده، لازم است از مفهوم استفاده شود جایگزینیحروف به تعداد در هویت توسعه مهارت

استفاده از عملیات جایگزینی و تعمیق ایده آن در انجام وظایف نوع r 2 انجام می شود).

مرحله بعدی در تسلط بر هویت با کار الف نشان داده شده است. در تکلیف جدید، عبارت پیشنهادی برای تبدیل شکل یک تقسیم مربع را ندارد. تحول تنها زمانی ممکن می شود که. h(n1k متوجه خواهد شد که عدد 121 را می توان به عنوان مربع یک عدد نشان داد. بنابراین، این کار نه در یک مرحله، بلکه در دو مرحله تکمیل می شود: روی خطiiiuامکان کاهش این عبارت به mdf اختلاف مربع ها وجود دارد، در دومیک تبدیل با استفاده از هویت انجام می شود.

در اولین مراحل تسلط بر هویت، هر مرحله ثبت می شود:

I "I / s 2 \u003d 11 2 - & 2 \u003d (11 - £) (11 + به)،در آینده، برخی از عملیات شناسایی توسط دانش آموزان به صورت شفاهی انجام می شود.

در مثال dd) لازم است بین این هویت و سایر هویت‌های مربوط به اقدامات با تک‌مجموعه‌ها ارتباط برقرار شود. ه 3) باید هویت را برای اختلاف مربع ها دو بار اعمال کرد. ج) دانش آموزان باید با اعمال دسترسی به ناحیه اعداد غیر منطقی، بر یک مانع روانی خاص غلبه کنند.

وظایف نوع b) با هدف توسعه مهارت های جایگزینی محصول (,v - y) (x + y)به تفاوت ایکس 2 - در 2 . وظایف نوع ج) نقش مشابهی دارند. در نمونه های نوع د) انتخاب یکی از جهت های تبدیل الزامی است.

به طور کلی، وظایف گروه اول بر تسلط بر ساختار هویت، عملیات جایگزینی در ساده ترین موارد مهم و ایده هایی در مورد برگشت پذیری دگرگونی های انجام شده توسط هویت متمرکز است.

ویژگی ها و اهداف اصلی که توسط ما هنگام در نظر گرفتن اولین | فاش شده است خرابه‌های وظایف چرخه، به هر چرخه تمرینی اطلاق می‌شود که سرنیزه‌های استفاده از هویت را تشکیل می‌دهد. برای هر هویت peri-im که به تازگی معرفی شده است، گروه وظایف در چرخه باید ویژگی های شرح داده شده در اینجا را حفظ کند. تنها تفاوت در تعداد وظایف است.

1 گروه دوم از وظایف در چرخه، بر خلاف مورد اول، با هدف استفاده کامل و در نظر گرفتن ویژگی های این هویت خاص است. وظایف این گروه مهارت های از قبل شکل گرفته در استفاده از هویت برای تفاوت مربع ها را فرض می کند (در ساده ترین موارد). tspi، وظایف این گروه، تعمیق درک هویت با در نظر گرفتن کاربردهای مختلف آن در موقعیت های مختلف، همراه با استفاده از مطالب مرتبط با سایر مباحث درس ریاضی است.

راه حل تکلیف l را در نظر بگیرید:

x 3 - 4x \u003d 15 o x 3 - 9x \u003d 15 - 5x o x (x ~ 3) (x + 3) \u003d 5 (3 -x) ox \u003d 3 یا \{\ 1-3) = -5. معادله x(x + 3) = -5 هیچ ریشه واقعی ندارد، بنابراین \ 3 تنها ریشه معادله است.

می بینیم که استفاده از هویت برای تفاوت مربع ها بخشی از n است و من در حل مثال، ایده اصلی برای انجام تبدیل ها است.

چرخه های وظیفه مرتبط با هویت برای توابع ابتدایی ویژگی های خاص خود را دارند که به این دلیل است که اولا. هویت های مربوطه در ارتباط با مطالعه مواد کاربردی مورد مطالعه قرار می گیرند و /u>-“تویخ،دیرتر از هویت گروه اول ظاهر می شوند و با آنها مطالعه می شود

استفاده از مهارت های از قبل شکل گرفته برای انجام تحولات یکسان. بخش قابل توجهی از استفاده از تبدیل هویت مرتبط با توابع ابتدایی بر روی حل معادلات غیرمنطقی و متعالی است. چرخه های مربوط به همسان سازی هویت ها فقط ساده ترین معادلات را شامل می شود ، اما در اینجا توصیه می شود در مورد تسلط بر روش حل چنین معادلاتی کار کنید: کاهش آن با جایگزینی مجهول به یک معادله جبری.

ترتیب مراحل این راه حل به شرح زیر است:

الف) یک تابع پیدا کنید<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

ب) جایگزینی انجام دهید در= cp(x) و معادله F(y) = 0 را حل کنید.

ج) هر یک از معادلات را حل کنید <р(х) = جایی که (در k ) مجموعه ریشه های معادله F(y) = 0 است.

موضوع جدیدی که در بررسی هویت ها با کارکردهای ابتدایی باید مورد توجه قرار گیرد، توجه به حوزه تعریف است. در اینجا نمونه هایی از سه کار آورده شده است:

الف) تابع y \u003d 4 log 2 x را رسم کنید.

ب) معادله lg را حل کنید ایکس + lg (x - 3) = 1.

ج) در چه مجموعه ای فرمول lg (x - 5) + lg (x + 5) = lg ( ایکس 2 - 25) هویت است؟

یک اشتباه معمولی که دانش آموزان در حل تکلیف الف مرتکب می شوند، استفاده از برابری است آشرط اول بدون احتساب ب > 0. در این حالت، در نتیجه، نمودار مورد نظر به جای پاسخ صحیح، شکل یک سهمی دارد - شاخه سمت راست سهمی. در کار ب) یکی از منابع برای به دست آوردن سیستم های پیچیده معادلات و نابرابری ها نشان داده شده است، زمانی که لازم است حوزه های تعریف توابع را در نظر بگیریم، و در کار ج) - تمرینی که می تواند به عنوان یک تمرین مقدماتی عمل کند.

ایده ای که این وظایف را متحد می کند - نیاز به مطالعه دامنه تعریف یک تابع، تنها با مقایسه چنین وظایفی که در شکل خارجی ناهمگن هستند آشکار می شود. اهمیت این ایده برای ریاضیات بسیار زیاد است. این می تواند به عنوان پایه ای برای چندین چرخه تمرین - برای هر یک از کلاس های توابع ابتدایی باشد.

در خاتمه متذکر می شویم که مطالعه تحولات یکسان در مدرسه از اهمیت بالایی برخوردار است. ارزش آموزشی توانایی انجام برخی از محاسبات، انجام محاسبات، برای مدت طولانی با توجه بی وقفه برای دنبال کردن یک شیء برای افراد با طیف گسترده ای از حرفه ها، صرف نظر از اینکه در زمینه کار ذهنی یا فیزیکی کار می کنند، ضروری است. ویژگی بخش "تحولات یکسان عبارات" به گونه ای است که فرصت های گسترده ای را برای توسعه این مهارت های مهم حرفه ای مهم در دانش آموزان باز می کند.

اعداد و عباراتی که عبارت اصلی را تشکیل می دهند را می توان با عباراتی که به طور یکسان با آنها برابر است جایگزین کرد. چنین تغییر شکلی از عبارت اصلی منجر به بیانی می شود که به طور یکسان با آن برابر است.

به عنوان مثال، در عبارت 3+x، عدد 3 را می توان با مجموع 1+2 جایگزین کرد که عبارت (1+2)+x را به دست می آورد که به طور یکسان برابر با عبارت اصلی است. مثال دیگر: در عبارت 1+a 5 درجه a 5 را می توان با یک محصول برابر با آن جایگزین کرد، مثلاً به شکل a·a 4 . این عبارت 1+a·a 4 را به ما می دهد.

این دگرگونی بدون شک تصنعی است و معمولاً مقدمه ای برای تغییر بیشتر است. به عنوان مثال، در مجموع 4·x 3 +2·x 2، با در نظر گرفتن ویژگی های درجه، عبارت 4·x 3 را می توان به صورت حاصلضرب 2·x 2·2·x نشان داد. پس از چنین تبدیلی، عبارت اصلی به شکل 2·x 2 ·2·x+2·x 2 خواهد بود. بدیهی است که عبارات حاصل از جمع حاصل دارای یک عامل مشترک 2 x 2 هستند، بنابراین می توانیم تبدیل زیر را انجام دهیم - پرانتز. پس از آن به عبارت 2 x 2 (2 x+1) می رسیم.

جمع و تفریق همان عدد

یکی دیگر از تبدیل های مصنوعی یک عبارت، جمع و تفریق یک عدد یا عبارت در یک زمان است. چنین تبدیلی یکسان است، زیرا در واقع معادل با اضافه کردن صفر است و افزودن صفر مقدار را تغییر نمی دهد.

یک مثال را در نظر بگیرید. بیایید عبارت x 2 +2 x را در نظر بگیریم. اگر یکی را به آن اضافه کنید و یکی را کم کنید، این به شما امکان می دهد در آینده یک تبدیل مشابه دیگر را انجام دهید - مربع دو جمله ای را انتخاب کنید: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1-1=(x+1) 2-1.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای 7 سلول آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - ویرایش هفدهم - م : آموزش و پرورش، 2008. - 240 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019315-3.
• جبر:کتاب درسی برای 8 سلول آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م : آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. درجه 7 ام. در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی / A. G. Mordkovich. - چاپ هفدهم، اضافه کنید. - م.: Mnemozina، 2013. - 175 ص: بیمار. شابک 978-5-346-02432-3.

محتوای درس

بالا بردن دوجمله ای به توان

دو جمله ای چند جمله ای است که دارای دو جمله است. در درس های قبلی، دو جمله ای را به توان های دوم و سوم رساندیم و بدین ترتیب فرمول های ضرب اختصاری را به دست آوردیم:

(a+b) 2 = آ 2 + 2اب + ب 2

(آ + ب) 3 = آ 3 + 3آ 2 ب + 3اب 2 + ب 3

اما دو جمله ای را می توان نه تنها به قدرت های دوم و سوم، بلکه به توان های چهارم، پنجم یا بالاتر نیز رساند.

برای مثال بیایید یک دوجمله ای بسازیم a+bتا درجه چهارم:

(a+b) 4

ما این عبارت را به عنوان حاصل ضرب یک دوجمله ای نشان می دهیم a+bو مکعب همان دوجمله ای

(a+b)(آ+b) 3

عامل ( a+b) 3 را می توان با سمت راست فرمول مکعبی از مجموع دو عبارت جایگزین کرد. سپس دریافت می کنیم:

(a+b)(آ 3 + 3آ 2 ب + 3اب 2 + ب 3)

و این ضرب معمول چندجمله ای هاست. بیایید آن را اجرا کنیم:

یعنی هنگام ساخت یک دوجمله ای a+bچند جمله ای به توان چهارم آ 4 + 4آ 3 ب + 6آ 2 ب 2 + 4اب 3 + ب 4

(a+b) 4 = آ 4 + 4آ 3 ب + 6آ 2 ب 2 + 4اب 3 + ب 4

ساخت یک دوجمله ای a+bبه قدرت چهارم، شما همچنین می توانید این کار را انجام دهید: نشان دادن عبارت ( a+b) 4 به عنوان محصول قوا (a+b) 2 (a+b) 2

(a+b) 2 (a+b) 2

اما بیان ( a+b) 2 برابر است با آ 2 + 2اب + ب 2 . بیایید در عبارت جایگزین کنیم (a+b) 2 (a+b) 2 مجموع مربع های چند جمله ای آ 2 + 2اب + ب 2

(آ 2 + 2اب + ب 2)(آ 2 + 2اب + ب 2)

و این دوباره ضرب معمول چندجمله ای هاست. اجراش کنیم ما همان نتیجه قبلی را خواهیم گرفت:

بالا بردن یک مثلث به یک قدرت

سه جمله ای چند جمله ای است که دارای سه جمله است. مثلاً عبارت a+b+cسه جمله ای است

گاهی اوقات ممکن است مشکل برای بالا بردن یک مثلثی به یک توان ایجاد شود. به عنوان مثال، بیایید مثلث را مربع کنیم a+b+c

(a+b+c) 2

دو عبارت داخل پرانتز را می توان پرانتز کرد. مثلاً جمع را نتیجه می گیریم آ+ بدر داخل پرانتز:

((a+b) + ج) 2

در این صورت مقدار a+bبه عنوان یک عضو رفتار خواهد شد. سپس معلوم می شود که ما نه یک سه جمله ای، بلکه یک دوجمله ای را مربع می کنیم. مجموع a+bاولین عضو، و عضو خواهد بود ج- عضو دوم و ما قبلاً می دانیم که چگونه یک دوجمله ای را مربع کنیم. برای این کار می توانید از فرمول مجذور مجموع دو عبارت استفاده کنید:

(a+b) 2 = آ 2 + 2اب + ب 2

بیایید این فرمول را برای مثال خود اعمال کنیم:

به همین ترتیب، می توانید یک چند جمله ای متشکل از چهار یا چند جمله را مربع کنید. به عنوان مثال، چند جمله ای را مربع می کنیم a+b+c+d

(a+b+c+d) 2

ما چند جمله ای را به صورت مجموع دو عبارت نشان می دهیم: a+bو ج + د. برای انجام این کار، آنها را در پرانتز قرار دهید:

((a+b) + (ج + د)) 2

حال از فرمول مجذور مجموع دو عبارت استفاده می کنیم:

انتخاب یک مربع کامل از یک مثلث مربع

تغییر هویت دیگری که می تواند در حل مسائل مفید باشد، انتخاب یک مربع کامل از یک مثلث مربع است.

مثلث مربع یک مثلث درجه دوم است. به عنوان مثال، سه جمله های زیر مربع هستند:

ایده استخراج یک مربع کامل از این سه جمله‌ها این است که مثلث مربع اصلی را به عنوان یک عبارت نشان دهیم ( a+b) 2 + ج، جایی که ( a+b) 2 مربع کامل و ج-برخی از عبارت های عددی یا تحت اللفظی

مثلاً مربع کامل را از مثلث انتخاب می کنیم 4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 .

ابتدا باید یک عبارت از فرم بسازید آ 2 + 2اب+ ب 2 . ما آن را از یک سه جمله ای خواهیم ساخت 4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 . ابتدا، بیایید تصمیم بگیریم که کدام اعضا نقش متغیرها را بازی کنند آو ب

نقش متغیر آدیک 2 را بازی خواهد کرد ایکس، از اولین ترم سه جمله ای 4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 ، یعنی 4 ایکس 2 بدست می آید که 2 باشد ایکسمربع:

(2ایکس) 2 = 4ایکس 2

بنابراین متغیر آبرابر 2 ایکس

آ = 2ایکس

اکنون به سه جمله اصلی باز می گردیم و بلافاصله به عبارت 16 توجه می کنیم ایکس. این عبارت دو برابر حاصل ضرب عبارت اول است آ(در مورد ما 2 است ایکس) و دومین عبارت هنوز ناشناخته ببه طور موقت به جای آن علامت سوال بگذارید:

2×2 ایکس × ? = 16ایکس

با دقت به عبارت 2×2 نگاه می کنیم ایکس × ? = 16ایکس ، به طور شهودی مشخص می شود که عضو بدر این وضعیت عدد 4 است، زیرا عبارت 2 × 2 است ایکسبرابر 4 ایکسو برای گرفتن 16 ایکسباید 4 را ضرب کرد ایکستوسط 4 .

2×2 ایکس × 4 = 16ایکس

از این نتیجه می گیریم که متغیر ببرابر 4

ب = 4

بنابراین مربع کامل ما عبارت خواهد بود (2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس× 4 + 4 2

اکنون همه ما آماده ایم که مربع کامل را از سه جمله ای استخراج کنیم 4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 .

بنابراین، به سه جمله اصلی برگردیم 4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 و سعی کنید مربع کاملی که به دست آورده ایم را با دقت در آن جاسازی کنید (2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس× 4 + 4 2

4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 =

به جای 4 ایکس 2 یادداشت کنید (2 ایکس) 2

4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 = (2ایکس) 2

4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 = (2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس×4

4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 = (2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس× 4 + 4 2

و در حال حاضر، عضو 19 را همانطور که هست بازنویسی می کنیم:

4ایکس 2 + 16ایکس + 19 = (2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس× 4 + 4 2 + 19

حال به این نکته توجه کنیم که چند جمله ای به دست آمده است (2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس× 4 + 4 2 + 19با سه جمله اصلی یکسان نیست 4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 . شما می توانید این را با آوردن چند جمله ای تأیید کنید (2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس× 4 + 4 2 + 19به نمای استاندارد:

(2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس× 4 + 4 2 + 19 = 4 ایکس 2 + 16ایکس + 4 2 + 19

می بینیم که یک چند جمله ای به دست می آوریم 4ایکس 2 + 16ایکس+ 4 2 + 19 ، اما باید معلوم می شد 4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 . این به این دلیل است که عبارت 4 2 به طور مصنوعی به سه جمله اصلی وارد شد تا یک مربع کامل از سه جمله ای سازماندهی شود. 4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 .

4ایکس 2 + 16ایکس + 19 = (2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس× 4 + 4 2 − 4 2 + 19

حالا بیان (2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس× 4 + 4 2را می توان جمع کرد، یعنی به شکل ( a+b) 2 . در مورد ما، عبارت (2 ایکس+ 4) 2

4ایکس 2 + 16ایکس + 19 = (2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2ایکس + 4) 2 − 4 2 + 19

عبارت های باقی مانده −4 2 و 19 را می توان اضافه کرد. −4 2 −16 است، بنابراین −16 + 19 = 3

4ایکس 2 + 16ایکس + 19 = (2ایکس) 2 + 2 × 2 ایکس× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2ایکس + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2ایکس+ 4) 2 + 3

به معنای، 4ایکس 2 + 16ایکس+ 19 = (2ایکس + 4) 2 + 3

مثال 2. یک مربع کامل از یک مثلث مربع انتخاب کنید ایکس 2 + 2ایکس+ 2

ابتدا یک عبارت از فرم را می سازیم آ 2 + 2 ab+b 2. نقش متغیر آدر این مورد x بازی می کند زیرا ایکس 2 = ایکس 2 .

جمله بعدی از جمله اصلی 2 ایکسبازنویسی به شکل حاصلضرب دوگانه عبارت اول (این ماست ایکس) و عبارت دوم ب(1 می شود).

2× ایکس× 1 = 2 ایکس

اگر ب= 1، سپس عبارت یک مربع کامل خواهد بود ایکس 2 + 2ایکس+ 1 2 .

حالا بیایید به مثلث مربع اصلی برگردیم و یک مربع کامل را در آن جاسازی کنیم ایکس 2 + 2ایکس+ 1 2

ایکس 2 + 2ایکس+ 2 = ایکس 2 + 2ایکس+ 1 2 − 1 2 + 2 = (ایکس+ 1) 2 + 1

مانند مثال قبلی، عضو ب(در این مثال، 1 است) بلافاصله پس از جمع کم شد تا ارزش سه جمله ای اصلی حفظ شود.

عبارت عددی زیر را در نظر بگیرید:

9 + 6 + 2

مقدار این عبارت 17 است

9 + 6 + 2 = 17

بیایید سعی کنیم یک مربع کامل را در این عبارت عددی انتخاب کنیم. برای این کار ابتدا یک عبارت از فرم را می سازیم آ 2 + 2اب+ ب 2 . نقش متغیر آدر این حالت، عدد 3 پخش می شود، زیرا اولین عبارت عبارت 9 + 6 + 2، یعنی 9، می تواند به صورت 3 2 نمایش داده شود.

جملۀ دوم 6 را به عنوان حاصل ضرب دوتایی جمله اول 3 و دومی 1 نشان می دهیم

2 x 3 x 1 = 6

این یک متغیر است ببرابر یک خواهد بود. سپس عبارت 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 یک مربع کامل خواهد بود. بیایید آن را در عبارت اصلی پیاده سازی کنیم:

− 1 2 + 2

مربع کامل را جمع می کنیم و عبارات -1 2 و 2 را اضافه می کنیم:

3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

نتیجه (3 + 1) 2 + 2 است که هنوز 17 است

(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17

فرض کنید یک مربع و دو مستطیل داریم. مربع با ضلع 3 سانتی متر، مستطیل با اضلاع 2 سانتی متر و 3 سانتی متر و مستطیل با اضلاع 1 سانتی متر و 2 سانتی متر

مساحت هر شکل را محاسبه کنید. مساحت مربع 3 2 = 9 سانتی متر مربع، مساحت مستطیل صورتی 2 × 3 = 6 سانتی متر مربع، مساحت یاسی 1 × 2 = 2 سانتی متر خواهد بود. 2

مجموع مساحت این مستطیل ها را بنویسید:

9 + 6 + 2

این عبارت را می توان به عنوان اتحاد یک مربع و دو مستطیل در یک شکل واحد درک کرد:

سپس یک رقم به دست می آید که مساحت آن 17 سانتی متر مربع است. در واقع، شکل ارائه شده شامل 17 مربع با ضلع 1 سانتی متر است.

بیایید سعی کنیم از شکل موجود یک مربع تشکیل دهیم. و بزرگترین مربع ممکن. برای این کار از قسمت هایی از مستطیل صورتی و یاسی استفاده می کنیم.

برای تشکیل بزرگترین مربع ممکن از شکل موجود، می توانید مربع زرد را بدون تغییر رها کنید و نیمی از مستطیل صورتی را به پایین مربع زرد وصل کنید:

می بینیم که قبل از تشکیل یک مربع کامل، یک سانتی متر مربع دیگر کم است. می توانیم آن را از مستطیل یاسی بگیریم. بنابراین، بیایید یک مربع از مستطیل یاسی را برداریم و آن را به مربع بزرگ تشکیل شده وصل کنیم:

حالا بیایید نگاهی دقیق تر به آنچه به آن رسیده ایم بیندازیم. یعنی روی قسمت زرد شکل و قسمت صورتی که اساسا مربع زرد قبلی را افزایش داده است. آیا این به این معنی نیست که یک ضلع مربع برابر با 3 سانتی متر بوده و این ضلع 1 سانتی متر افزایش یافته است که در نهایت منجر به افزایش مساحت شده است؟

(3 + 1) 2

عبارت (3 + 1) 2 16 است زیرا 3 + 1 = 4 و 4 2 = 16 است. همین نتیجه را می توان با استفاده از فرمول مجذور مجموع دو عبارت به دست آورد:

(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

در واقع، مربع حاصل شامل 16 مربع است.

یک مربع باقی مانده از مستطیل یاسی را می توان به مربع بزرگ حاصل متصل کرد. از این گذشته ، در ابتدا در مورد یک رقم واحد بود:

(3 + 1) 2 + 1

چسباندن یک مربع کوچک به یک مربع بزرگ موجود با عبارت (3 + 1) 2 + 1 توصیف می شود. و این انتخاب مربع کامل از عبارت 9 + 6 + 2 است

9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

عبارت (3 + 1) 2 + 1 مانند عبارت 9 + 6 + 2 برابر با 17 است. در واقع، مساحت شکل حاصل 17 سانتی متر مربع است.

مثال 4. بیایید انتخاب مربع کامل از مثلث مربع را انجام دهیم ایکس 2 + 6ایکس + 8

ایکس 2 + 6ایکس + 8 = ایکس 2+2× ایکس× 3 + 3 2 − 3 2 + 8 = ( ایکس + 3) 2 − 1

در برخی از مثال ها، هنگام ساخت یک عبارت آ 2 + 2اب+ ب 2 نمی توان بلافاصله مقادیر متغیرها را تعیین کرد آو ب .

به عنوان مثال، بیایید استخراج یک مربع کامل از یک مثلث مربع را انجام دهیم ایکس 2 + 3ایکس+ 2

متغیر آمطابقت دارد ایکس. عضو دوم 3 ایکسرا نمی توان به عنوان یک محصول دوگانه از عبارت اول و دوم نشان داد. در این مورد، جمله دوم باید در 2 ضرب شود، و برای اینکه مقدار چند جمله ای اصلی تغییر نکند، بلافاصله بر 2 تقسیم کنید. به این صورت خواهد بود.

برای استفاده از پیش نمایش ارائه ها، یک حساب Google (حساب) ایجاد کنید و وارد شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلایدها:

هویت ها تبدیل هویت عبارات. درجه 7 ام.

مقدار عبارات را در x=5 و y=4 بیابید 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 مقدار عبارات x=6 و y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

نتیجه: ما همین نتیجه را گرفتیم. از خاصیت توزیعی بر می آید که به طور کلی برای هر مقدار از متغیرها، مقادیر عبارات 3(x + y) و 3x + 3y برابر است. 3 (x+y) = 3x+3y

حال عبارات 2x + y و 2xy را در نظر بگیرید. برای x=1 و y=2 مقادیر مساوی می گیرند: 2x+y=2*1+2=4 2x=2*1*2=4 برای x=3، y=4 مقادیر عبارت متفاوت هستند 2x+y =2* 3+4=10 2xy=2*3*4=24

نتیجه گیری: عبارات 3(x+y) و 3x+3y یکسان هستند، اما عبارات 2x+y و 2xy یکسان برابر نیستند. تعریف: به دو عبارتی که مقادیر آنها برای هر مقدار از متغیرها برابر است، گفته می شود که یکسان برابر هستند.

IDENTITY برابری 3(x+y) و 3x+3y برای هر مقدار x و y صادق است. به چنین برابری هایی هویت می گویند. تعریف: برابری که برای هر مقدار از متغیرها صادق باشد، هویت نامیده می شود. برابری های عددی واقعی نیز هویت محسوب می شوند. ما قبلاً با هویت ها ملاقات کرده ایم.

هویت ها برابری هایی هستند که ویژگی های اساسی اعمال روی اعداد را بیان می کنند. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

نمونه های دیگری از هویت ها را می توان ذکر کرد: a + 0 = a a * 1 = a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * (- ب) = اب به جايگزيني يك عبارت با عبارت ديگري كه به طور يكسان با آن برابر است، تبديل هويت يا صرفاً تبديل عبارت ناميده مي شود.

برای آوردن عبارت های مشابه، باید ضرایب آنها را جمع کنید و نتیجه را در قسمت حرف مشترک ضرب کنید. مثال 1. عبارت‌های مشابه 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x می‌دهیم

اگر در جلوی پرانتزها علامت مثبت وجود داشته باشد، می‌توان براکت‌ها را حذف کرد و علامت هر عبارت محصور در پرانتز را حفظ کرد. مثال 2. پرانتزها را در عبارت 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c گسترش دهید.

اگر قبل از پرانتز علامت منفی وجود داشته باشد، می توان با تغییر علامت هر عبارت محصور در پرانتز، براکت ها را حذف کرد. مثال 3. بیایید پرانتزها را در عبارت a - (4 b - c) باز کنیم \u003d a - 4 b + c

تکلیف: ص 5، شماره 91، 97، 99 ممنون از درس!

با موضوع: تحولات روش شناختی، ارائه ها و یادداشت ها

روش‌های آماده‌سازی دانش‌آموزان برای امتحان در بخش «عبارات و تبدیل عبارات»

این پروژه با هدف آماده سازی دانش آموزان برای امتحانات دولتی پایه نهم و بعد از آن برای آزمون دولتی واحد در پایه یازدهم تدوین شده است.