شتاب مرکز محور وسیله نقلیه در حین رانندگی. شتاب مرکزگرا هنگام حرکت در یک دایره: مفهوم و فرمول ها

در مطالعه حرکت در فیزیک، مفهوم مسیر نقش مهمی دارد. این اوست که تا حد زیادی نوع حرکت اجسام و در نتیجه نوع فرمول هایی را که این حرکت با آنها توصیف می شود تعیین می کند. یکی از رایج ترین مسیرها دایره است. در این مقاله به بررسی شتاب مرکزگرا هنگام حرکت در دایره خواهیم پرداخت.

درک شتاب کامل

قبل از مشخص کردن شتاب مرکزگرا هنگام حرکت در اطراف یک دایره، اجازه دهید مفهوم شتاب کامل را در نظر بگیریم. در زیر آن معتقد است کمیت فیزیکی، که به طور همزمان تغییر در مقدار مطلق و بردار سرعت را توصیف می کند. از نظر ریاضی، این تعریف به صورت زیر است:

شتاب مشتق تمام وقت سرعت است.

همانطور که مشخص است، سرعت v¯ بدن در هر نقطه از مسیر به صورت مماس جهت می شود. این واقعیت به ما امکان می دهد آن را به شکل حاصل ضرب مدول v و بردار مماس واحد u¯ نشان دهیم، یعنی:

سپس کل شتاب را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

a¯ = d (v * u¯) / dt = dv / dt * u¯ + v * du¯ / dt

کمیت a¯ مجموع برداری دو جمله است. اصطلاح اول مماس (مانند سرعت جسم) است و شتاب مماسی نامیده می شود. میزان تغییر ماژول سرعت را تعیین می کند. ترم دوم است شتاب معمولی... بیایید در ادامه مقاله آن را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

عبارت به دست آمده در بالا برای مولفه شتاب عادی an¯ را می توان به صراحت نوشت:

an¯ = v * du¯ / dt = v * du¯ / dl * dl / dt = v2 / r * re¯

در اینجا dl مسیری است که بدن در طول مسیر در زمان dt طی می کند، re¯ بردار واحدی است که به مرکز انحنای مسیر هدایت می شود، r شعاع این انحنا است. فرمول به دست آمده به چندین ویژگی مهم جزء یکی از شتاب کل منجر می شود:

• مقدار an¯ با مجذور سرعت افزایش می یابد و به نسبت معکوس با شعاع کاهش می یابد که آن را از مولفه مماسی متمایز می کند. مورد دوم فقط در صورت تغییر ماژول سرعت برابر با صفر نیست.
• شتاب معمولی همیشه به سمت مرکز انحنای است، بنابراین آن را مرکز محور می نامند.

بنابراین شرط اصلی وجود یک کمیت غیر صفر انحنای مسیر است. اگر چنین انحنای وجود نداشته باشد (جابجایی مستطیلی)، آنگاه an¯ = 0، زیرا r-> ∞.

شتاب مرکز در هنگام حرکت در یک دایره

دایره خطی هندسی است که تمام نقاط آن از نقطه ای در یک فاصله قرار دارند. دومی مرکز دایره نامیده می شود و فاصله مذکور شعاع آن است. اگر سرعت بدن در حین چرخش در مقدار مطلق تغییر نکند، در این صورت از یک حرکت به همان اندازه متغیر در طول یک دایره صحبت می شود. در این حالت، شتاب مرکز به راحتی با استفاده از یکی از دو فرمول زیر قابل محاسبه است:

جایی که ω سرعت زاویه ای است که بر حسب رادیان بر ثانیه (راد بر ثانیه) اندازه گیری می شود. برابری دوم به لطف فرمول رابطه بین سرعت های زاویه ای و خطی به دست می آید:

نیروهای گریز از مرکز و گریز از مرکز

در حرکت یکنواختبدن در اطراف محیط شتاب مرکز به دلیل عمل نیروی مرکز مربوطه ایجاد می شود. بردار آن همیشه به سمت مرکز دایره است.

ماهیت این نیرو می تواند بسیار متنوع باشد. به عنوان مثال، هنگامی که فردی سنگی را که به طناب بسته شده است باز می کند، نیروی کشش طناب آن را در مسیر حرکت خود نگه می دارد. نمونه دیگری از عمل نیروی مرکزگرا، برهمکنش گرانشی بین خورشید و سیارات است. این است که باعث می شود تمام سیارات و سیارک ها در مدارهای دایره ای حرکت کنند. نیروی مرکزگرا قادر به تغییر انرژی جنبشی بدن نیست، زیرا به طور عمود بر سرعت آن هدایت می شود.

هر فرد می تواند به این واقعیت توجه کند که وقتی ماشین مثلاً به چپ می چرخد، سرنشینان روی لبه سمت راست داخل وسیله نقلیه فشرده می شوند. این فرآیند نتیجه نیروی گریز از مرکز حرکت دورانی است. در واقع، این نیرو واقعی نیست، زیرا به دلیل خواص اینرسی بدن و تمایل آن به حرکت در امتداد یک مسیر مستقیم است.

نیروهای گریز از مرکز و گریز از مرکز از نظر قدر برابر و در جهت مخالف هستند. اگر اینطور نبود، مسیر دایره ای بدن نقض می شد. اگر قانون دوم نیوتن را در نظر بگیریم، می توان استدلال کرد که در حین حرکت چرخشی، شتاب گریز از مرکز برابر با شتاب گریز از مرکز است.

اسلامازوف L.G. حرکت دایره ای // کوانت. - 1972. - شماره 9. - S. 51-57.

با توافق ویژه با هیئت تحریریه و سردبیران مجله کوانت

برای توصیف حرکت در امتداد یک دایره، همراه با سرعت خطی، مفهوم سرعت زاویه ای معرفی شده است. اگر نقطه ای در حال حرکت در امتداد دایره ای در زمان Δ تییک قوس را توصیف می کند که اندازه زاویه ای آن Δφ و سپس سرعت زاویه ای است.

سرعت زاویه ای ω با رابطه υ = ω به سرعت خطی υ مربوط می شود. r، جایی که r- شعاع دایره ای که نقطه در امتداد آن حرکت می کند (شکل 1). مفهوم سرعت زاویه ای به ویژه برای توصیف چرخش مفید است. جامدحول محور اگرچه سرعت های خطی در نقاطی که در فواصل مختلف از محور قرار دارند یکسان نیستند، اما سرعت های زاویه ای آنها برابر خواهد بود و می توان در مورد سرعت زاویه ای چرخش جسم به عنوان یک کل صحبت کرد.

مشکل 1... دیسک شعاع rبدون لغزش روی یک صفحه افقی می غلتد. سرعت مرکز دیسک ثابت و برابر υ p است.دیسک با چه سرعت زاویه ای می چرخد؟

هر نقطه از دیسک در دو حرکت شرکت می کند - در حرکت انتقالی با سرعت υ p همراه با مرکز دیسک و در حرکت چرخشی حول مرکز با سرعت زاویه ای معین ω.

برای یافتن ω، از عدم لغزش استفاده می کنیم، یعنی در هر لحظه از زمان سرعت یک نقطه از دیسک در تماس با هواپیما صفر است. این به این معنی است که برای نقطه آ(شکل 2) سرعت حرکت انتقالی υ p از نظر بزرگی برابر و در جهت سرعت خطی حرکت دورانی مخالف است υ bp = ω · r... از اینجا ما بلافاصله دریافت می کنیم.

هدف 2.سرعت نقاط را بیابید V, باو دیهمان دیسک (شکل 3).

ابتدا نکته را در نظر بگیرید V... سرعت خطی حرکت چرخشی آن به صورت عمودی به سمت بالا هدایت می شود و برابر است با یعنی مقدار آن برابر با سرعت حرکت انتقالی است که البته به صورت افقی هدایت می شود. با جمع این دو سرعت به صورت برداری، متوجه می شویم که سرعت حاصل υ باز نظر اندازه مساوی است و با افق زاویه 45 درجه تشکیل می دهد. در نقطه باسرعت های چرخشی و انتقالی در یک جهت هدایت می شوند. سرعت حاصل υ سیبرابر 2υ p است و به صورت افقی جهت داده شده است. سرعت نقطه به روشی مشابه یافت می شود دی(شکل 3 را ببینید).

حتی در موردی که سرعت نقطه ای که در امتداد یک دایره حرکت می کند از نظر قدر تغییر نمی کند، نقطه شتاب خاصی دارد، زیرا جهت بردار سرعت تغییر می کند. این شتاب نامیده می شود مایل به مرکز... به مرکز دایره هدایت می شود و برابر است با ( آرشعاع دایره است، ω و υ سرعت های زاویه ای و خطی نقطه هستند).

اگر سرعت نقطه ای که در امتداد یک دایره حرکت می کند نه تنها در جهت، بلکه از نظر قدر نیز تغییر کند، در کنار شتاب مرکزگرا، به اصطلاح نیز وجود دارد. مماسشتاب. جهت مماس بر دایره است و برابر است با نسبت (Δυ تغییر مقدار سرعت در طول زمان Δ است تی).

هدف 3.نقاط شتاب را پیدا کنید آ, V, باو دیشعاع دیسک rغلتیدن بدون لغزش در یک صفحه افقی. سرعت مرکز دیسک ثابت و برابر υ p است (شکل 3).

در سیستم مختصات مرتبط با مرکز دیسک، دیسک با سرعت زاویه‌ای ω می‌چرخد، و صفحه به صورت انتقالی با سرعت υ p حرکت می‌کند. بنابراین بین دیسک و صفحه لغزشی وجود ندارد. سرعت حرکت انتقالی υ p تغییر نمی‌کند، بنابراین سرعت زاویه‌ای چرخش دیسک ثابت است و نقاط دیسک فقط شتاب مرکزگرا به سمت مرکز دیسک دارند. از آنجایی که سیستم مختصات بدون شتاب (با سرعت ثابت υ p) حرکت می کند، در یک سیستم مختصات ثابت شتاب نقاط دیسک یکسان خواهد بود.

اجازه دهید اکنون به مسائل دینامیک حرکت چرخشی بپردازیم. اجازه دهید ابتدا ساده ترین حالت را در نظر بگیریم، زمانی که حرکت در امتداد یک دایره با سرعت ثابت اتفاق می افتد. از آنجایی که شتاب جسم در این حالت به سمت مرکز است، پس مجموع بردار تمام نیروهای وارد شده به جسم نیز باید به سمت مرکز هدایت شود و طبق قانون دوم نیوتن.

لازم به یادآوری است که سمت راست این معادله فقط شامل نیروهای واقعی است که بر روی یک جسم معین از اجسام دیگر وارد می شوند. خیر نیروی مرکزیهنگام حرکت در یک دایره رخ نمی دهد. این اصطلاح صرفاً برای تعیین نیروهای حاصله به جسمی که در یک دایره حرکت می کند استفاده می شود. مربوط به نیروی گریز از مرکز، سپس فقط هنگام توصیف حرکت در امتداد یک دایره در یک سیستم مختصات غیر اینرسی (دوار) ایجاد می شود. ما در اینجا به هیچ وجه از مفهوم نیروهای گریز از مرکز و گریز از مرکز استفاده نخواهیم کرد.

مشکل 4... کوچکترین شعاع انحنای جاده ای که خودرو می تواند با سرعت υ = 70 کیلومتر در ساعت عبور کند و ضریب اصطکاک لاستیک ها در جاده را تعیین کنید. ک =0,3.

آر = متر گرم، نیروی واکنش جاده نو نیروی اصطکاک اف TP بین لاستیک ماشین و جاده. نیروها آرو نجهت عمودی و از نظر اندازه مساوی: پ = ن... نیروی اصطکاک که از لغزش ("لغزش") خودرو جلوگیری می کند به سمت مرکز چرخش هدایت می شود و شتاب مرکزگرا را ایجاد می کند:. حداکثر نیروی اصطکاک اف tr max = ک· ن = ک· متر گرمبنابراین، حداقل مقدار شعاع دایره ای که حرکت در طول آن با سرعت υ هنوز امکان پذیر است، از معادله تعیین می شود. از این رو (m).

نیروی واکنش جاده ای نهنگام رانندگی در یک دایره، از مرکز ثقل وسیله نقلیه عبور نمی کند. این به این دلیل است که ممان آن نسبت به مرکز ثقل باید لنگر اصطکاکی را که تمایل به واژگونی خودرو دارد، جبران کند. بزرگی نیروی اصطکاک بزرگتر است سرعت بیشترماشین. در مقدار معینی از سرعت، ممان اصطکاک از لحظه واکنش بیشتر خواهد شد و خودرو واژگون خواهد شد.

مشکل 5... خودرویی با چه سرعتی در امتداد کمانی به شعاع دایره حرکت می کند آر= 130 متر، آیا می تواند واژگون شود؟ مرکز ثقل خودرو در ارتفاع قرار دارد ساعت= 1 متر بالاتر از جاده، عرض مسیر ماشین ل= 1.5 متر (شکل 4).

در لحظه واژگونی خودرو به عنوان نیروی واکنش جاده نو نیروی اصطکاک اف TP به چرخ "خارجی" متصل می شود. وقتی ماشین در یک دایره با سرعت υ حرکت می کند، نیروی اصطکاک بر روی آن وارد می شود. این نیرو یک لحظه نسبت به مرکز ثقل خودرو ایجاد می کند. حداکثر لحظه نیروی واکنش جاده ن = متر گرمنسبت به مرکز ثقل برابر است (در لحظه واژگونی، نیروی واکنش از چرخ بیرونی عبور می کند). با برابر کردن این لحظات، معادله حداکثر سرعتی را که ماشین هنوز در آن غلت نمی‌خورد پیدا می‌کنیم:

از جایی که ≈ 30 متر بر ثانیه ≈ 110 کیلومتر در ساعت.

برای اینکه خودرویی بتواند با این سرعت حرکت کند، ضریب اصطکاک لازم است (مسئله قبلی را ببینید).

وضعیت مشابهی هنگام چرخاندن موتورسیکلت یا دوچرخه رخ می دهد. نیروی اصطکاک که شتاب مرکز را ایجاد می کند دارای یک لحظه در مرکز ثقل است که تمایل دارد موتور سیکلت را منحرف کند. بنابراین برای جبران این لحظه با لحظه نیروی واکنش جاده، موتورسوار به سمت پیچ خم می شود (شکل 5).

مشکل 6... یک موتورسوار در جاده افقی با سرعت υ = 70 کیلومتر در ساعت رانندگی می کند و یک پیچ با شعاع ایجاد می کند. آر= 100 متر برای اینکه سقوط نکند باید در چه زاویه ای نسبت به افق کج شود؟

نیروی اصطکاک بین موتورسیکلت و جاده که شتاب مرکزی را به راکب منتقل می کند. نیروی واکنش جاده ای ن = متر گرم... شرط برابری گشتاورهای نیروی اصطکاک و نیروی واکنش نسبت به مرکز ثقل معادله را به دست می‌دهد: اف tp ل Sin α = ن· ل Cos α، جایی که ل- فاصله OAاز مرکز ثقل تا مسیر موتور سیکلت (شکل 5 را ببینید).

در اینجا مقادیر را جایگزین کنید اف tp و ن، پیدا می کنیم که یا ... توجه داشته باشید که نیروهای حاصل نو اف tp در این زاویه از شیب موتور سیکلت از مرکز ثقل عبور می کند که برابری کل لحظه نیروها را به صفر تضمین می کند. نو اف tp

به منظور افزایش سرعت حرکت در امتداد منحنی جاده، قسمت جاده در پیچ به صورت مایل ساخته می شود. در عین حال، علاوه بر نیروی اصطکاک، نیروی واکنش جاده نیز در ایجاد شتاب مرکزگرا دخیل است.

مسئله 7... یک ماشین با حداکثر سرعت υ می تواند در امتداد یک مسیر شیبدار با زاویه شیب α در شعاع انحنا حرکت کند. آرو ضریب اصطکاک لاستیک ها در جاده ک?

ماشین تحت تاثیر نیروی جاذبه است متر گرم، نیروی واکنش نعمود بر صفحه مسیر و نیروی اصطکاک اف tp در امتداد مسیر هدایت می شود (شکل 6).

از آنجایی که ما علاقه ای به این مورد در لحظه های وارد شدن نیرو به خودرو نداریم، تمام نیروهای وارد شده به مرکز ثقل خودرو را کشیده ایم. مجموع بردار تمام نیروها باید به مرکز دایره ای که ماشین در امتداد آن حرکت می کند هدایت شود و شتاب مرکزگرا را به آن منتقل کند. بنابراین مجموع نیروهای برآمده از جهت به مرکز (جهت افقی) برابر است، یعنی

مجموع پیش بینی تمام نیروها در جهت عمودی صفر است:

ن Cos α - متر گرم – اف t p sin α = 0.

جایگزین کردن حداکثر مقدار ممکن نیروی اصطکاک در این معادلات اف tp = k Nو بدون احتساب نیرو ن، حداکثر سرعت را پیدا می کنیم ، که با آن همچنان می توان در چنین مسیری حرکت کرد. این عبارت همیشه بیشتر از مقدار مربوط به جاده افقی است.

پس از پرداختن به پویایی چرخش، بیایید به کارهای بعدی برویم حرکت چرخشیدر صفحه عمودی

مسئله 8... ماشین دسته جمعی متر= 1.5 تن با سرعت υ = 70 کیلومتر در ساعت در امتداد جاده نشان داده شده در شکل 7 حرکت می کند. بخش های جاده ABو آفتابرا می توان به عنوان کمان دایره های شعاع در نظر گرفت آر= 200 متر تماس با یکدیگر در یک نقطه V... نیروی فشار ماشین روی جاده در نقاط را تعیین کنید آو با... نحوه تغییر نیروی فشار هنگام عبور خودرو از نقطه V?

در نقطه آگرانش روی ماشین اثر می گذارد آر = متر گرمو نیروی واکنش جاده N A... مجموع برداری این نیروها باید به مرکز دایره یعنی به صورت عمودی به سمت پایین هدایت شود و شتاب مرکزگرا ایجاد کند: از کجا (H). نیروی فشار خودرو بر روی جاده از نظر بزرگی برابر و در جهت مخالف نیروی واکنش است. در نقطه بامجموع بردار نیروها به صورت عمودی به سمت بالا هدایت می شود: و (H). بنابراین، در نقطه آنیروی فشار کمتر از نیروی گرانش است و در نقطه با- بیشتر.

در نقطه Vماشین از یک قسمت محدب جاده به قسمت مقعر (یا برعکس) حرکت می کند. هنگام رانندگی در یک بخش محدب، تابش گرانش به سمت مرکز باید از نیروی واکنش جاده تجاوز کند. N B 1، و ... هنگام رانندگی در یک بخش مقعر از جاده، برعکس، نیروی واکنش جاده N B 2 برتر از طرح گرانشی است: .

از این معادلات به دست می آید که هنگام عبور از نقطه Vنیروی فشار خودرو در جاده به طور ناگهانی حدود 6 · 10 3 N تغییر می کند. البته چنین بارهای ضربه ای هم بر روی خودرو و هم در جاده مخرب عمل می کنند. بنابراین، جاده ها و پل ها همیشه سعی می کنند انحنای خود را به آرامی تغییر دهند.

هنگامی که خودرو در یک دایره با سرعت ثابت حرکت می کند، مجموع برآمدگی تمام نیروهای وارد بر جهت مماس بر دایره باید برابر با صفر باشد. در مورد ما، مولفه مماسی نیروی گرانش با نیروی اصطکاک بین چرخ‌های خودرو و جاده متعادل می‌شود.

مقدار نیروی اصطکاک توسط گشتاور اعمال شده به چرخ ها از سمت موتور کنترل می شود. این لحظه تمایل به ایجاد لغزش چرخ در رابطه با جاده دارد. بنابراین، نیروی اصطکاکی ایجاد می شود که از لغزش جلوگیری می کند و متناسب با گشتاور اعمال شده است. حداکثر مقدار نیروی اصطکاک است k N، جایی که ک- ضریب اصطکاک بین لاستیک های خودرو و جاده، ن- نیروی فشار در جاده هنگامی که خودرو به سمت پایین حرکت می کند، نیروی اصطکاک نقش نیروی ترمز را ایفا می کند و زمانی که به سمت بالا حرکت می کند، برعکس نقش کشش را بازی می کند.

مسئله 9... وزن وسیله نقلیه متر= 0.5 تن، با حرکت با سرعت υ = 200 کیلومتر در ساعت، یک "حلقه" شعاع ایجاد می کند. آر= 100 متر (شکل 8). نیروی فشار ماشین روی جاده را در بالای حلقه تعیین کنید آ; در نقطه Vکه بردار شعاع آن با عمود زاویه α = 30 درجه می سازد. در نقطه با، که در آن سرعت وسیله نقلیه به صورت عمودی هدایت می شود. آیا ممکن است یک ماشین در طول یک حلقه با سرعت ثابتی با ضریب اصطکاک بین لاستیک و جاده حرکت کند؟ ک = 0,5?

در بالای حلقه، گرانش و نیروی واکنش جاده N Aبه صورت عمودی به سمت پایین هدایت می شود. مجموع این نیروها یک شتاب مرکزگرا ایجاد می کند: ... از همین رو ن.

نیروی فشار خودرو بر روی جاده از نظر بزرگی برابر و در جهت مخالف نیرو است N A.

در نقطه Vشتاب مرکزگرا از مجموع نیروی واکنش و تابش گرانش به سمت مرکز ایجاد می شود: ... از اینجا ن.

دیدن آن آسان است نب > N A; با افزایش زاویه α، نیروی واکنش جاده افزایش می یابد.

در نقطه بانیروی واکنش H; شتاب گریز از مرکز در این نقطه فقط توسط نیروی واکنش ایجاد می شود و نیروی گرانش به صورت مماس هدایت می شود. هنگام حرکت در امتداد پایین حلقه، نیروی واکنش نیز از حداکثر مقدار تجاوز می کند H نیروی واکنش در نقطه است دی... معنی بنابراین، حداقل مقدار نیروی واکنش است.

اگر گرانش مماس از حداکثر نیروی اصطکاک تجاوز نکند، سرعت خودرو ثابت خواهد بود k Nدر تمام نقاط حلقه این شرط قطعاً در صورت حداقل مقدار برآورده می شود از حداکثر مقدار مولفه مماسی نیروی وزن تجاوز می کند. در مورد ما، این مقدار حداکثر است متر گرم(در نقطه رسیده است با) و شرط برای ک= 0.5، υ = 200 کیلومتر در ساعت، آر= 100 متر

بنابراین، در مورد ما، حرکت ماشین در یک "حلقه" با سرعت ثابت امکان پذیر است.

اجازه دهید اکنون حرکت یک ماشین را در یک "حلقه" با موتور خاموش در نظر بگیریم. همانطور که قبلاً اشاره شد، معمولاً ممان اصطکاکی با ممان اعمال شده روی چرخ ها از سمت موتور مخالف است. هنگامی که خودرو با موتور خاموش حرکت می کند، این لحظه وجود ندارد و نیروی اصطکاک بین چرخ های خودرو و جاده را می توان نادیده گرفت.

سرعت ماشین دیگر ثابت نخواهد بود - مولفه مماسی نیروی گرانش حرکت ماشین را در امتداد "حلقه" کاهش می دهد یا تسریع می کند. شتاب مرکزگرا نیز تغییر خواهد کرد. طبق معمول، توسط نیروی حاصل از واکنش جاده و پیش بینی نیروی گرانش به سمت مرکز حلقه ایجاد می شود.

مسئله 10... کمترین سرعتی که خودرو باید در پایین حلقه داشته باشد چقدر است دی(شکل 8 را ببینید) تا آن را با موتور خاموش انجام دهید؟ نیروی فشار ماشین روی جاده در نقطه چقدر خواهد بود V? شعاع حلقه آر= 100 متر، وزن وسیله نقلیه متر= 0.5 تن

بیایید ببینیم حداقل سرعتی که یک ماشین می تواند در بالای حلقه داشته باشد چقدر است آبرای ادامه حرکت در یک دایره؟

شتاب مرکزگرا در این نقطه از جاده توسط مجموع گرانش و نیروی واکنش جاده ایجاد می شود. ... هر چه سرعت ماشین کمتر باشد، نیروی واکنش کمتری ایجاد می شود. N A... در ارزش، این نیرو ناپدید می شود. در سرعت کمتر، گرانش از مقدار لازم برای ایجاد شتاب مرکزگرا تجاوز می کند و خودرو از جاده بلند می شود. در سرعت، نیروی واکنش جاده فقط در بالای حلقه ناپدید می شود. در واقع، سرعت ماشین در سایر بخش های حلقه بیشتر خواهد بود و همانطور که از حل مشکل قبلی به راحتی می توان فهمید، نیروی واکنش جاده نیز بیشتر از نقطه خواهد بود. آ... بنابراین، اگر ماشین در بالای حلقه سرعت داشته باشد، هیچ جا از حلقه جدا نمی شود.

حالا بیایید تعیین کنیم که ماشین باید چه سرعتی در پایین حلقه داشته باشد دیبه طوری که در بالای حلقه آسرعت آن برای پیدا کردن سرعت υ دیشما می توانید از قانون بقای انرژی استفاده کنید، گویی ماشین فقط تحت تأثیر گرانش حرکت می کند. واقعیت این است که نیروی واکنش جاده در هر لحظه عمود بر حرکت ماشین است و بنابراین کار آن صفر است (به یاد بیاورید که کار Δ آ = اف·Δ س Cos α، که α زاویه بین نیرو است افو جهت حرکت Δ س). نیروی اصطکاک بین چرخ های خودرو و جاده هنگام رانندگی با موتور خاموش می تواند نادیده گرفته شود. بنابراین مجموع پتانسیل و انرژی جنبشی خودرو هنگام رانندگی با موتور خاموش تغییر نمی کند.

بیایید مقادیر انرژی ماشین را بر حسب امتیاز برابر کنیم آو دی... در این صورت ارتفاع را از سطح نقطه می شماریم دییعنی انرژی پتانسیل خودرو در این نقطه برابر با صفر در نظر گرفته خواهد شد. سپس می گیریم

در اینجا مقدار سرعت مورد نیاز υ ​​را جایگزین کنید دی، پیدا می کنیم: ≈ 70 متر بر ثانیه ≈ 260 کیلومتر در ساعت.

اگر خودرو با این سرعت وارد حلقه شود، می تواند آن را با موتور خاموش کامل کند.

اکنون اجازه دهید تعیین کنیم که ماشین با چه نیرویی روی جاده در نقطه فشار می آورد V... سرعت خودرو در نقطه Vباز هم از قانون بقای انرژی به راحتی می توان پیدا کرد:

با جایگزینی مقدار در اینجا، متوجه می شویم که سرعت .

با استفاده از حل مسئله قبلی، برای سرعت معین، نیروی فشار را در نقطه پیدا می کنیم ب:

به طور مشابه، می توانید نیروی فشار را در هر نقطه دیگری از "حلقه مرده" بیابید.

تمرینات

1. سرعت زاویه ای را پیدا کنید ماهواره های مصنوعیچرخش زمین در مداری دایره ای با دوره ای از انقلاب تی= 88 دقیقه سرعت خطی این ماهواره را در صورتی که بدانیم مدار آن در فاصله ای دور قرار گرفته است را بیابید آر= 200 کیلومتر از سطح زمین.

2. شعاع دیسک آربین دو نوار موازی قرار می گیرد. ریکی با سرعت υ 1 و υ 2 حرکت می کند. سرعت زاویه ای چرخش دیسک و سرعت مرکز آن را تعیین کنید. هیچ لغزشی وجود ندارد.

3. دیسک بدون لغزش روی سطح افقی غلت می خورد. نشان دهید که انتهای بردارهای سرعت نقاط قطر عمودی روی یک خط مستقیم قرار دارند.

4. هواپیما در یک دایره با سرعت افقی ثابت υ = 700 کیلومتر در ساعت حرکت می کند. شعاع را تعریف کنید آراین دایره، اگر بدنه هواپیما با زاویه α = 5 درجه شیب داشته باشد.

5. بار وزنی متر= 100 گرم، روی یک نخ به طول آویزان شده است ل= 1 متر، به طور مساوی در یک دایره در صفحه افقی می چرخد. دوره چرخش بار را در صورتی پیدا کنید که در طول چرخش آن، نخ با زاویه α = 30 درجه به صورت عمودی منحرف شود. کشش نخ را نیز تعیین کنید.

6. ماشین با سرعت υ = 80 کیلومتر در ساعت در امتداد سطح داخلی یک سیلندر عمودی با شعاع حرکت می کند. آر= 10 متر در یک دایره افقی. حداقل ضریب اصطکاک بین لاستیک خودرو و سطح سیلندر چقدر است؟

7. وزن مترروی یک نخ غیر قابل امتداد آویزان است که حداکثر کشش ممکن آن 1.5 است متر گرم... در چه حداکثر زاویه α می توان رزوه را از حالت عمودی منحرف کرد تا با حرکت بیشتر بار، نخ شکسته نشود؟ در لحظه ای که نخ با عمود زاویه α / 2 ایجاد می کند، کشش نخ چقدر خواهد بود؟

پاسخ ها

I. سرعت زاویه ای یک ماهواره زمین مصنوعی ≈ 0.071 راد در ثانیه. سرعت خطی ماهواره υ = ω آر... جایی که آر- شعاع مداری تعویض اینجا آر = آر 3 + ساعت، جایی که آر 3 ≈ 6400 کیلومتر، υ ≈ 467 کیلومتر بر ثانیه را پیدا می کنیم.

2. دو مورد در اینجا امکان پذیر است (شکل 1). اگر سرعت زاویه ای دیسک ω و سرعت مرکز آن υ باشد، سرعت نقاط در تماس با میله ها به ترتیب برابر خواهد بود.

در حالت الف) υ 1 = υ + ω آر, υ 2 = υ - ω آر;

در حالت ب) υ 1 = υ + ω آر، υ 2 = ω آر – υ.

(ما برای قطعیت پذیرفتیم که υ 1> υ 2). با حل این سیستم ها متوجه می شویم:

آ)

ب)

3. سرعت هر نقطه مدراز کشیدن روی بخش OV(شکل 2 را ببینید)، با فرمول υ یافت می شود م = υ + ω· rم، جایی که r M- فاصله از نقطه مبه مرکز دیسک O... برای هر نقطه نمتعلق به بخش OA، داریم: υ ن = υ – ω· rن، جایی که r N- فاصله از نقطه نبه مرکز فاصله هر نقطه از قطر را با ρ نشان می دهیم VAبه نقطه آتماس دیسک با هواپیما آن وقت معلوم است که r M = ρ – آرو r N = آر – ρ = –(ρ – آر). جایی که آرشعاع دیسک است. بنابراین، سرعت هر نقطه در قطر VAبا فرمول پیدا می شود: υ ρ = υ + ω آر). از آنجایی که دیسک بدون لغزش می چرخد، پس برای سرعت υ ρ، υ ρ = ω · ρ را بدست می آوریم. از این رو نتیجه می شود که انتهای بردارهای سرعت روی خط مستقیمی هستند که از نقطه خارج می شوند. آو مایل به قطر است VAدر زاویه ای متناسب با سرعت زاویه ای چرخش دیسک ω.

بیانیه اثبات شده به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که حرکت پیچیده نقاطی که روی قطر قرار دارند VA، را می توان در هر لحظه به عنوان یک چرخش ساده حول یک نقطه ثابت در نظر گرفت آبا سرعت زاویه ای ω برابر با سرعت زاویه ای چرخش به دور مرکز دیسک. در واقع، در هر لحظه سرعت این نقاط عمود بر قطر است VA، و از نظر قدر برابر با حاصل ضرب ω و فاصله تا نقطه هستند آ.

معلوم می شود که این عبارت برای هر نقطه از دیسک صادق است. علاوه بر این، آن است قانون کلی... با هر حرکت یک جسم صلب، در هر لحظه یک محور وجود دارد که بدن به سادگی در اطراف آن می چرخد ​​- یک محور چرخش آنی.

4. نیروی گرانش به هواپیما وارد می شود (شکل 3 را ببینید). آر = متر گرمو نیروی بالابرنده نعمود بر صفحه بالها (از آنجایی که هواپیما با سرعت ثابت حرکت می کند، نیروی رانش و نیروی مقاومت هوای جلویی یکدیگر را متعادل می کنند). نیروهای حاصل آر

6. گرانش روی ماشین (شکل 5) اثر می گذارد آر = متر گرم، نیروی واکنش از سمت سیلندر نو نیروی اصطکاک اف tp از آنجایی که ماشین در یک دایره افقی حرکت می کند، نیروهای آرو اف TP تعادل یکدیگر و قدرت نشتاب مرکزگرا ایجاد می کند. حداکثر مقدار نیروی اصطکاک مربوط به نیروی واکنش است ننسبت: اف tp = k N... در نتیجه یک سیستم معادلات بدست می آوریم: ، که از آن حداقل مقدار ضریب اصطکاک به دست می آید

7. بار به صورت دایره ای با شعاع حرکت خواهد کرد ل(شکل 6). شتاب مرکزگرای بار (υ سرعت بار است) با تفاوت در مقادیر نیروی کشش نخ ایجاد می شود. تیو طرح گرانش متر گرمجهت نخ: ... از همین رو ، که β زاویه ای است که توسط نخ با عمودی تشکیل می شود. با کاهش وزن، سرعت آن افزایش و زاویه β کاهش می یابد. کشش نخ در زاویه β = 0 به حداکثر می رسد (در لحظه ای که نخ عمودی است): ... حداکثر سرعت بار υ 0 در امتداد زاویه α، که توسط آن رزوه منحرف می شود، از قانون بقای انرژی یافت می شود:

با استفاده از این نسبت، برای حداکثر مقدار کشش نخ، فرمول را به دست می آوریم: تی m تبر = متر گرم· (3 - 2 cos α). با توجه به شرایط مشکل تی m تبر = 2 متر گرم... با معادل سازی این عبارات، cos α = 0.5 و بنابراین α = 60 درجه را می یابیم.

اجازه دهید اکنون کشش نخ را تعیین کنیم. سرعت بار در این لحظه نیز از قانون بقای انرژی بدست می آید:

با جایگزینی مقدار υ 1 به فرمول نیروی کششی، متوجه می شویم:

اجازه دهید اکنون به وظیفه خود بازگردیم - یافتن شتابی که بدن با آن در یک دایره با سرعت مطلق ثابت حرکت می کند.

شتاب با فرمول مشخص می شود

که در آن سرعت بدن در یک لحظه اولیه مشخص از زمان است و سرعت آن در یک دوره زمانی مشخص است. در مورد ما، ماژول های سرعت و با یکدیگر برابر هستند.

فرض کنید جسم در دایره ای با شعاع حرکت می کند و در لحظه ای از زمان در نقطه A قرار دارد (شکل 67).

شتاب در این نقطه چقدر است؟ سرعت در این نقطه مماس بر دایره در نقطه A است. پس از ثانیه، جسم در نقطه B است و سرعت آن اکنون است.

به طور مماس بر دایره در نقطه B. مدول سرعت و 10 برابر هستند (طول فلش ها و یکسان هستند).

می خواهیم شتاب نقطه A دایره (شتاب لحظه ای) را پیدا کنیم. بنابراین، ما باید نقاط A و B را به هم نزدیک کنیم، به طوری که کمان، به عنوان مثال، به یک نقطه منقبض شود.

اجازه دهید ابتدا دریابیم که این شتاب چگونه هدایت می شود.

شعاع ها را از مرکز O دایره به نقاط A و B رسم می کنیم. شعاع دایره در نقطه مماس بر مماس عمود است، بنابراین، شعاع ها و عمود بر بردارها هستند و برای فهمیدن جهت بردار شتاب، باید برداری برابر با اختلاف بین بردارها پیدا کنید و جهت آن جهت شتاب برداری است. ما قبلاً می دانیم که چگونه بردارها تفریق می شوند (به بند 6 مراجعه کنید). برای پیدا کردن تفاوت بین بردارها و قرار دادن آنها به گونه ای که از یک نقطه بیایند (شکل 68)، و انتهای آنها را به هم وصل کنید، فلش را از کم شده به سمت کاهش (از انتهای بردار به انتهای بردار) هدایت کنید. بردار اختلاف بردارها است بنابراین شتاب در امتداد بردار است، در مورد این جهت چه می توانید بگویید؟

مثلث (نگاه کنید به شکل 68) متساوی الساقین است. زاویه راس برابر با زاویهبین شعاع ها و (شکل 67)، زیرا آنها توسط اضلاع عمود بر یکدیگر تشکیل شده اند. نقاط A و B به هم نزدیک هستند، بنابراین زاویه آن بسیار کوچک است (نزدیک به صفر). هر یک از زوایای قاعده مثلث نزدیک به قائم الزاویه است، زیرا مجموع زوایای یک مثلث برابر با دو زاویه قائمه است. این به این معنی است که بردار

عمود بر بردار سرعت این بدان معناست که شتاب عمود بر سرعت است. اما سرعت به صورت مماس بر دایره در نقطه A هدایت می شود و مماس بر شعاع عمود است. این بدان معنی است که شتاب در امتداد شعاع به مرکز دایره هدایت می شود. بنابراین شتاب مرکزگرا نامیده می شود.

با حرکت یکنواخت یک جسم به دور یک دایره، شتاب در هر نقطه عمود بر سرعت حرکت است و به مرکز دایره هدایت می شود.

این ویژگی جالب شتاب هنگام حرکت در دایره با سرعت مدول ثابت در شکل 69 نشان داده شده است.

اجازه دهید اکنون ماژول شتاب مرکزگرا را پیدا کنیم. برای انجام این کار، باید قدر مطلق کمیت را بیابید. از شکل 68 می توان دریافت که مدول اختلاف بردار برابر با طول قطعه است از آنجایی که زاویه بسیار کوچک است، قطعه با قوس دایره ای (نشان داده شده با خط نقطه چین) که در مرکز نقطه A قرار دارد تفاوت کمی دارد. شتاب است. اما سرعت زاویه ای. از همین رو

شتاب جسمی که در امتداد یک دایره حرکت می کند برابر است با حاصل ضرب سرعت خطی آن و سرعت زاویه ای چرخش شعاع کشیده شده به بدن.

راحت تر است که فرمول شتاب مرکزگرا را به گونه ای ارائه کنیم که شامل مقدار شعاع دایره ای باشد که بدن در امتداد آن حرکت می کند. از آنجایی که سرعت های زاویه ای و خطی با نسبت (شعاع دایره) مرتبط هستند، پس با جایگزینی این عبارت به فرمول، دریافت می کنیم:

اما بنابراین، فرمول شتاب مرکزگرا را می توان به صورت زیر نوشت:

با حرکت یکنواخت در اطراف دور، بدن با حرکت می کند

شتابی که در امتداد شعاع به مرکز دایره هدایت می شود و مدول آن با عبارت مشخص می شود

در نتیجه عکس آن نیز صادق است: اگر معلوم شود که سرعت جسم برابر است و شتاب جسم در همه نقاط عمود بر بردار سرعت آن و از نظر قدر مطلق برابر است، می توان استدلال کرد که چنین جسمی در دایره ای حرکت می کند که شعاع آن با فرمول تعیین می شود

این بدان معناست که اگر سرعت اولیه جسم و قدر مطلق شتاب مرکز آن را بدانیم، می‌توانیم دایره‌ای رسم کنیم که جسم در امتداد آن حرکت کند و در هر زمان موقعیت خود را پیدا کند (البته موقعیت اولیه جسم باید ، شناخته شود). بنابراین، وظیفه اصلی مکانیک حل خواهد شد.

به یاد بیاورید که شتاب با حرکت یکنواخت در امتداد یک دایره برای ما جالب است زیرا هر حرکتی در امتداد یک مسیر منحنی حرکتی در امتداد کمان‌هایی از دایره‌هایی با شعاع‌های مختلف است.

اکنون می توان گفت که با حرکت یکنواخت در هر نقطه از مسیر منحنی، جسم با شتابی به سمت مرکز دایره ای حرکت می کند که این مسیر بخشی از آن نزدیک به این نقطه است. مقدار عددی شتاب به سرعت بدن در این نقطه و به شعاع دایره مربوطه بستگی دارد. شکل 70 برخی از مسیرهای پیچیده را نشان می دهد و بردارهای شتاب مرکز را در نقاط مختلف مسیر نشان می دهد.

وظیفه. هواپیما با خروج از شیرجه در امتداد کمانی حرکت می کند که در قسمت پایینی آن کمانی دایره ای به شعاع 500 متر است (شکل 71). اگر سرعت هواپیما 800 کیلومتر در ساعت باشد، شتاب هواپیما را در پایین ترین نقطه آن محاسبه کنید و این مقدار را با شتاب ناشی از گرانش مقایسه کنید.

4. چرخ سنگ زنی که شعاع آن برابر با 10 سانتی متر است، در حین چرخش 1 دور در 0.2 ثانیه انجام می دهد. سرعت دورترین نقاط از محور چرخش را بیابید.

5. خودرو در امتداد پیچ ​​جاده با شعاع 100 متر با سرعت 54 کیلومتر در ساعت حرکت می کند. شتاب مرکزی خودرو چقدر است؟

6. دوره چرخش اولین فضاپیمای-ماهواره "وستوک" به دور زمین معادل 90 دقیقه بوده است. ارتفاع متوسط ​​کشتی ماهواره بر بالای زمین را می توان معادل 320 کیلومتر در نظر گرفت. شعاع زمین 6400 کیلومتر است. سرعت کشتی را محاسبه کنید.

7. اگر چرخ های آن به شعاع 30 سانتی متر در هر ثانیه 10 دور بچرخانند سرعت خودرو چقدر است؟

8. دو قرقره که شعاع آنها توسط یک تسمه بی پایان به هم وصل شده است. دوره چرخش یک قرقره با شعاع کمتر 0.5 ثانیه است. سرعت حرکت نقاط تسمه چقدر است؟ دوره چرخش قرقره دوم چقدر است؟

9. ماه در فاصله 385000 کیلومتری زمین به دور زمین حرکت می کند و در 27.3 روز یک چرخش انجام می دهد. شتاب مرکز ماه را محاسبه کنید.