جابجایی زاویه ای، سرعت زاویه ای، شتاب زاویه ای، رابطه آنها. سینماتیک حرکت دورانی جسم صلب بردار زاویه چرخش چیست؟
با مقادیر خطی
حرکت زاویه ایکمیت برداری است که تغییر مختصات زاویه ای را در جریان حرکت آن مشخص می کند.
سرعت زاویهای- بردار کمیت فیزیکی، که سرعت چرخش بدن را مشخص می کند. بردار سرعت زاویه ای در قدر برابر با زاویهچرخش بدن در واحد زمان:
و بر اساس قاعده گیمبال در امتداد محور چرخش هدایت می شود، یعنی در جهتی که گیمبال با رزوه سمت راست اگر در همان جهت بچرخد به آن پیچ می شود.
واحد اندازه گیری سرعت زاویه ای، اتخاذ شده در سیستم های SI و CGS) - رادیان در ثانیه. (توجه: رادیان، مانند هر واحد زاویه، از نظر فیزیکی بدون بعد است، بنابراین بعد فیزیکی سرعت زاویه ای ساده است). در فناوری، از دور در ثانیه نیز استفاده می شود، بسیار کمتر - درجه در ثانیه، درجه در ثانیه. شاید، دور در دقیقه بیشتر در فناوری استفاده می شود - این از زمان هایی که سرعت چرخش موتورهای بخار کم سرعت با شمارش "دستی" تعداد دور در واحد زمان تعیین می شد، ادامه داشته است.
بردار (آنی) سرعت هر نقطه (کاملا) جامدچرخش با سرعت زاویه ای با فرمول تعیین می شود:
بردار شعاع به نقطه معینی از مبدا کجاست که روی محور چرخش جسم قرار دارد و براکت‌های مربع نشان‌دهنده ضرب متقاطع هستند. سرعت خطی (مصادف با مدول بردار سرعت) نقطه ای در فاصله معین (شعاع) r از محور چرخش را می توان به صورت زیر در نظر گرفت: v = rω. اگر به جای رادیان از واحدهای زاویه های دیگر استفاده شود، در دو فرمول آخر ضریبی ظاهر می شود که برابر با یک نیست.
در مورد چرخش صفحه، یعنی زمانی که تمام بردارهای سرعت نقاط بدن (همیشه) در یک صفحه قرار دارند ("صفحه چرخش")، سرعت زاویه ای جسم همیشه بر این صفحه عمود است و در واقع، اگر صفحه چرخش مشخص باشد، می توان آن را با یک اسکالر - برآمدگی بر روی یک محور متعامد به صفحه چرخش جایگزین کرد. در این حالت، سینماتیک چرخش بسیار ساده شده است، اما در حالت کلی، سرعت زاویه ای می تواند در فضای سه بعدی با زمان تغییر جهت دهد و چنین تصویر ساده شده ای کار نمی کند.
مشتق زمانی سرعت زاویه ای است شتاب زاویه ای.
حرکت با بردار ثابت سرعت زاویه ای را حرکت چرخشی یکنواخت می نامند (در این حالت شتاب زاویه ای صفر است).
سرعت زاویه ای (که به عنوان یک بردار آزاد در نظر گرفته می شود) در همه قاب های مرجع اینرسی یکسان است، اما در قاب های مرجع اینرسی مختلف، محور یا مرکز چرخش یک جسم خاص ممکن است در یک لحظه از زمان متفاوت باشد (یعنی "نقطه کاربرد" متفاوتی از سرعت زاویه ای وجود خواهد داشت).
در مورد حرکت یک نقطه منفرد در فضای سه بعدی، می توانید یک عبارت برای سرعت زاویه ای این نقطه نسبت به مبدا انتخاب شده بنویسید:
بردار شعاع نقطه کجاست (از مبدا)، سرعت این نقطه است. - حاصلضرب برداری، - حاصلضرب نقطه ای بردارها. با این حال، این فرمول به طور منحصر به فرد سرعت زاویه ای را تعیین نمی کند (در مورد یک نقطه، بردارهای دیگری را می توان انتخاب کرد که طبق تعریف مناسب هستند، در غیر این صورت - به طور دلخواه - با انتخاب جهت محور چرخش) و برای حالت کلی. مورد (زمانی که جسم شامل بیش از یک نقطه مادی است) - این فرمول برای سرعت زاویه ای کل بدن صادق نیست (زیرا برای هر نقطه متفاوت است و وقتی یک جسم کاملاً صلب می چرخد، طبق تعریف، سرعت زاویه ای چرخش آن تنها بردار است). با همه اینها، در حالت دو بعدی (مورد چرخش صفحه) این فرمول کاملاً کافی، بدون ابهام و صحیح است، زیرا در این مورد خاص جهت محور چرخش قطعاً به طور منحصر به فرد تعیین می شود.
در مورد لباس فرم حرکت چرخشی(یعنی حرکت با بردار سرعت زاویه ای ثابت) مختصات دکارتی نقاط جسمی که به این ترتیب می چرخند، نوسانات هارمونیک با فرکانس زاویه ای (دوره ای) برابر با مدول بردار سرعت زاویه ای انجام می دهند.
هنگام اندازه‌گیری سرعت زاویهای بر حسب دور بر ثانیه (r/s)، مدول سرعت زاویهای حرکت چرخشی یکنواخت با سرعت چرخشی f منطبق است که بر حسب هرتز (Hz) اندازه‌گیری می‌شود.
(یعنی در چنین واحدهایی).
در صورت استفاده از واحد فیزیکی معمول سرعت زاویه ای - رادیان در ثانیه - مدول سرعت زاویه ای به فرکانس چرخش به صورت زیر مربوط می شود:
در نهایت، هنگام استفاده از درجه در ثانیه، رابطه با سرعت چرخش به صورت زیر خواهد بود:
شتاب زاویه اییک کمیت فیزیکی شبه برداری است که میزان تغییر در سرعت زاویه ای یک جسم صلب را مشخص می کند.
هنگامی که بدن حول یک محور ثابت می چرخد، مدول شتاب زاویه ای به صورت زیر است:
بردار شتاب زاویه ای α در امتداد محور چرخش (به سمت با چرخش شتاب گرفته و مخالف - با چرخش کاهش یافته) هدایت می شود.
هنگام چرخش حول یک نقطه ثابت، بردار شتاب زاویه ای به عنوان اولین مشتق بردار سرعت زاویه ای ω تعریف می شود.
و به صورت مماس بر هودوگراف برداری در نقطه متناظر آن هدایت می شود.
بین شتاب مماسی و زاویه ای رابطه وجود دارد:
که در آن R شعاع انحنای مسیر نقطه در یک زمان معین است. بنابراین، شتاب زاویه ای برابر است با دومین مشتق زاویه چرخش در زمان یا مشتق اول سرعت زاویه ای در زمان. شتاب زاویه ای بر حسب راد / ثانیه 2 اندازه گیری می شود.
سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای
جسم صلبی را در نظر بگیرید که حول یک محور ثابت می چرخد. سپس نقاط منفرد این جسم دایره هایی با شعاع های مختلف را توصیف می کنند که مراکز آنها روی محور چرخش قرار دارند. اجازه دهید نقطه ای در امتداد دایره ای با شعاع حرکت کند آر(شکل 6). موقعیت آن پس از مدتی D تیزاویه D را تنظیم کنید. چرخش های ابتدایی (بی نهایت کوچک) را می توان به صورت بردار مشاهده کرد (آنها با یا نشان داده می شوند) . بزرگی بردار برابر با زاویه چرخش است و جهت آن با جهت حرکت انتقالی نوک پیچ منطبق است که سر آن در جهت حرکت نقطه در امتداد محیط می چرخد، یعنی. اطاعت می کند قانون پیچ راست(شکل 6). بردارهایی که جهت آنها با جهت چرخش مرتبط است نامیده می شوند شبه بردارهایا بردارهای محوریاین بردارها نقاط کاربرد خاصی ندارند: آنها را می توان از هر نقطه در محور چرخش رسم کرد.
سرعت زاویهایکمیت برداری برابر با اولین مشتق زاویه چرخش جسم نسبت به زمان نامیده می شود:
بردار در امتداد محور چرخش مطابق با قانون پیچ سمت راست هدایت می شود، یعنی. همان بردار (شکل 7). ابعاد سرعت زاویه ای dim w = T - 1 , و واحد آن رادیان بر ثانیه (rad/s) است.
سرعت خطی نقطه ای (شکل 6 را ببینید)
در شکل برداری، فرمول سرعت خطی را می توان به صورت ضربدری نوشت:
در این حالت، مدول حاصلضرب بردار، طبق تعریف، برابر است و جهت با جهت حرکت انتقالی پیچ سمت راست در حین چرخش از به آر.
اگر (= const، پس چرخش یکنواخت است و می توان با آن مشخص کرد دوره چرخش تی - زمانی که در طی آن نقطه یک دور کامل می کند، یعنی. محورها 2p. از زمان بازه زمانی D تی= تیمطابق با = 2p، سپس = 2p / تی، جایی که
تعداد دورهای کاملی که بدن با حرکت یکنواخت خود در اطراف محیط در واحد زمان انجام می دهد فرکانس چرخش نامیده می شود:
شتاب زاویه ای یک کمیت برداری است برابر با اولین مشتق سرعت زاویه ای نسبت به زمان:
هنگامی که بدن حول یک محور ثابت می چرخد، بردار شتاب زاویه ای در امتداد محور چرخش به سمت بردار افزایش اولیه سرعت زاویه ای هدایت می شود. با حرکت شتاب، بردار با بردار هم جهت است (شکل 8)، با حرکت آهسته مخالف آن است (شکل 9).
جزء مماسی شتاب
جزء نرمال شتاب
بنابراین، ارتباط بین خطی (طول مسیر ستوسط نقطه ای در امتداد کمانی دایره ای با شعاع عبور می کند آر، سرعت خطی vشتاب مماسی ، شتاب معمولی) و کمیت های زاویه ای (زاویه چرخش j، سرعت زاویه ای w، شتاب زاویه ای e) با فرمول های زیر بیان می شوند:
در مورد حرکت متغیر یک نقطه در طول یک دایره (e = const)
که در آن w 0 سرعت زاویه ای اولیه است.
قوانین نیوتن
قانون اول نیوتن وزن. زور
دینامیک بخش اصلی مکانیک است که بر اساس سه قانون نیوتن است که در سال 1687 توسط وی تدوین شد. قوانین نیوتن نقش استثنایی در مکانیک دارند و (مانند همه آنها قوانین فیزیکی) تعمیم نتایج تجربیات گسترده انسانی. به آنها نگاه می شود سیستم قوانین مرتبطو نه هر قانون منفرد، بلکه کل سیستم به عنوان یک کل مورد تأیید آزمایشی قرار می گیرد.
قانون اول نیوتن: هر نقطه مادی(بدن) حالت استراحت یا حرکت یکنواخت مستطیل را حفظ می کند تا زمانی که ضربه اجسام دیگر آن را مجبور به تغییر این حالت کند.... تمایل بدن به حفظ حالت استراحت یا حرکت یکنواخت یکنواخت مستطیل نامیده می شود اینرسی... بنابراین قانون اول نیوتن نیز نامیده می شود قانون اینرسی.
حرکت مکانیکی نسبی است و ماهیت آن به چارچوب مرجع بستگی دارد. قانون اول نیوتن در هر چارچوب مرجعی برآورده نمی شود و سیستم هایی که در رابطه با آنها برقرار است نامیده می شوند. فریم های مرجع اینرسی... چارچوب مرجع اینرسی، چارچوب مرجعی است که یک نقطه مادی نسبت به آن، عاری از تأثیرات خارجی،یا در حالت استراحت یا حرکت یکنواخت و مستقیم. قانون اول نیوتن وجود چارچوب های مرجع اینرسی را بیان می کند.
به طور تجربی ثابت شده است که سیستم مرجع هلیوسنتریک (ستاره‌ای) را می‌توان اینرسی در نظر گرفت (منشا مختصات در مرکز خورشید است و محورها در جهت ستارگان خاصی ترسیم می‌شوند). چارچوب مرجع مرتبط با زمین، به بیان دقیق، غیر اینرسی است، اما اثرات ناشی از عدم اینرسی آن (زمین حول محور خود و به دور خورشید می چرخد) در حل بسیاری از مسائل ناچیز است، و در این موارد در مواردی می توان آن را اینرسی در نظر گرفت.
از تجربه معلوم است که تحت تأثیرات یکسان، اجسام مختلف سرعت حرکت خود را به طور نامساوی تغییر می دهند، به عبارت دیگر، شتاب های متفاوتی به دست می آورند. شتاب نه تنها به بزرگی ضربه، بلکه به خواص خود بدن (به جرم آن) نیز بستگی دارد.
وزنجسم یک کمیت فیزیکی است که یکی از ویژگی های اصلی ماده است که اینرسی آن را تعیین می کند. جرم بی اثر) و گرانشی ( جرم گرانشی) خواص. در حال حاضر می توان ثابت شده دانست که جرم اینرسی و گرانشی با یکدیگر برابر هستند (با دقت حداقل 10-12 مقدار آنها).
برای توصیف تأثیرات ذکر شده در قانون اول نیوتن، مفهوم نیرو معرفی شده است. تحت تأثیر نیروهای بدن، یا سرعت حرکت را تغییر می دهد، یعنی شتاب به دست می آورد (تجلی دینامیکی نیروها)، یا تغییر شکل می دهد، یعنی شکل و اندازه آنها را تغییر می دهد (تظاهر ایستا نیروها). در هر لحظه از زمان، نیرو با یک مقدار عددی، جهت در فضا و نقطه اعمال مشخص می شود. بنابراین، زوریک کمیت برداری است که یک اندازه است تاثیر مکانیکیروی بدن از کنار اجسام یا میدان های دیگر که در نتیجه بدن شتاب می گیرد یا شکل و اندازه خود را تغییر می دهد.
قانون دوم نیوتن
قانون دوم نیوتن - قانون اساسی دینامیک حرکت انتقالی -به این سؤال پاسخ می دهد که چگونه حرکت مکانیکی یک نقطه مادی (جسم) تحت تأثیر نیروهای اعمال شده به آن تغییر می کند.
اگر عمل نیروهای مختلف را بر روی یک جسم در نظر بگیریم، معلوم می شود که شتاب به دست آمده توسط جسم همیشه با نتیجه نیروهای اعمال شده متناسب است:
a ~ F (t = const). (6.1)
وقتی نیروی یکسانی بر روی اجسامی با جرم‌های متفاوت وارد می‌شود، شتاب‌های آنها متفاوت است، یعنی
a ~ 1 / t (F= ثابت). (6.2)
با استفاده از عبارات (6.1) و (6.2) و با در نظر گرفتن این که نیرو و شتاب کمیت های برداری هستند، می توانیم بنویسیم.
a = kF / m. (6.3)
رابطه (6.3) قانون دوم نیوتن را بیان می کند: شتاب حاصل از یک نقطه مادی (جسم)، متناسب با نیروی ایجاد کننده آن، در جهت با آن منطبق است و با جرم نقطه مادی (جسم) نسبت معکوس دارد.
در SI، عامل تناسب k = 1. سپس
(6.4)
با توجه به اینکه جرم یک نقطه مادی (جسم) در مکانیک کلاسیکیک مقدار ثابت است، در عبارت (6.4) می توان آن را تحت علامت مشتق معرفی کرد:
کمیت برداری
از نظر عددی برابر حاصل ضرب جرم یک نقطه ماده با سرعت آن و داشتن جهت سرعت، نامیده می شود تکانه (میزان حرکت)این نقطه مادی
با جایگزینی (6.6) به (6.5)، به دست می آوریم
این عبارت - یک فرمول کلی تر از قانون دوم نیوتن: سرعت تغییر تکانه نقطه مادی برابر با نیروی وارد بر آن است. عبارت (6.7) نامیده می شود معادله حرکت یک نقطه مادی.
واحد نیرو در SI است نیوتن(N): 1 N نیرویی است که شتاب 1 m / s 2 را به جرم 1 کیلوگرم در جهت عمل نیرو وارد می کند:
1 N = 1 کیلوگرم × متر بر ثانیه 2.
قانون دوم نیوتن فقط در چارچوب های مرجع اینرسی معتبر است. قانون اول نیوتن را می توان از قانون دوم بدست آورد. در واقع، اگر نیروهای حاصل برابر با صفر باشند (در صورت عدم اثرگذاری روی بدن از اجسام دیگر)، شتاب (نگاه کنید به (6.3)) نیز برابر با صفر است. ولی قانون اول نیوتنبه عنوان دیده می شود قانون مستقل(و نه به عنوان پیامد قانون دوم)، زیرا او است که وجود چارچوب های مرجع اینرسی را تأیید می کند، که در آنها فقط معادله (6.7) برآورده می شود.
در مکانیک پراهمیتاین دارد اصل استقلال عمل نیروها: اگر چندین نیرو به طور همزمان روی یک نقطه مادی وارد شوند، هر یک از این نیروها طبق قانون دوم نیوتن به نقطه مادی شتاب می دهند، گویی هیچ نیروی دیگری وجود ندارد. بر اساس این اصل، نیروها و شتاب ها را می توان به اجزایی تجزیه کرد که استفاده از آنها منجر به ساده سازی قابل توجهی در حل مسئله می شود. به عنوان مثال، در شکل. ده نیروی فعال F = متر a به دو جزء تجزیه می شود: نیروی مماسی F t، (به صورت مماس بر مسیر حرکت) و نیروی نرمال F. n(در امتداد نرمال به مرکز انحنای هدایت می شود). استفاده از عبارات و همچنین ، می توانید بنویسید:
اگر چند نیرو به طور همزمان روی یک نقطه مادی عمل کنند، آنگاه، طبق اصل استقلال عمل نیروها، با F در قانون دوم نیوتن، نیروی حاصل را درک می کنیم.
قانون سوم نیوتن
برهمکنش بین نقاط مادی (جسم) مشخص می شود قانون سوم نیوتن: هر عملی از نقاط مادی (جسم) بر یکدیگر دارای خاصیت فعل و انفعال است. نیروهایی که نقاط مادی روی یکدیگر اثر می‌گذارند همیشه از نظر قدر مساوی هستند، جهت مخالف و در امتداد یک خط مستقیم که این نقاط را به هم متصل می‌کند، عمل می‌کنند:
F 12 = - F 21, (7.1)
که در آن F 12 نیروی وارد بر اولین نقطه مادی از سمت نقطه دوم است.
F 21 - نیروی وارد بر نقطه مادی دوم از سمت نقطه اول. این نیروها اعمال می شوند ناهمساننقاط مادی (جسم)، همیشه عمل کنید به صورت جفتو نیرو هستند یک طبیعت
قانون سوم نیوتن اجازه گذار از دینامیک را می دهد یک جدانقطه مادی به دینامیک سیستم هاینقاط مادی این از این واقعیت ناشی می شود که برای سیستمی از نقاط مادی، برهمکنش به نیروهای برهمکنش جفتی بین نقاط مادی کاهش می یابد.
زاویه اولیه چرخش، سرعت زاویه ای
شکل 9: زاویه اولیه چرخش ()
چرخش های ابتدایی (بی نهایت کوچک) به عنوان بردار در نظر گرفته می شوند. مدول بردار برابر با زاویه چرخش است و جهت آن منطبق بر جهت حرکت انتقالی نوک پیچ است که سر آن در جهت حرکت نقطه در امتداد محیط می چرخد، یعنی از قانون پیچ راست پیروی می کند.
سرعت زاویهای
بردار در امتداد محور چرخش مطابق با قانون پیچ سمت راست هدایت می شود، یعنی به همان روش بردار (شکل 10 را ببینید).
شکل 10.
شکل 11
مقدار برداری که توسط اولین مشتق زاویه چرخش بدنه نسبت به زمان تعیین می شود.
اتصال ماژول های سرعت خطی و زاویه ای
شکل 12
رابطه بردارهای سرعت خطی و زاویه ای
موقعیت نقطه مورد نظر با بردار شعاع (از مبدأ مختصات 0 که روی محور چرخش قرار دارد گرفته شده) مشخص می شود. حاصلضرب بردار در جهت بردار منطبق است و مدول آن برابر است
واحد سرعت زاویه ای است.
شبه بردارها (بردارهای محوری) - بردارهایی که جهت آنها با جهت چرخش مرتبط است (به عنوان مثال). این بردارها نقاط کاربرد خاصی ندارند: آنها را می توان از هر نقطه در محور چرخش رسم کرد.
حرکت یکنواخت یک نقطه مادی در امتداد دایره
حرکت یکنواخت در امتداد یک دایره حرکتی است که در آن یک نقطه مادی (جسم) برای دوره های زمانی مساوی از دایره هایی مساوی در طول کمان عبور می کند.
سرعت زاویهای
: (-- زاویه چرخش).
دوره چرخش T زمانی است که در طی آن نقطه مادی یک دور کامل به دور دایره می چرخد، یعنی یک زاویه می چرخد.
از آنجایی که فاصله زمانی مطابقت دارد، پس.
فرکانس چرخش - تعداد دورهای کاملی که یک نقطه مادی با حرکت یکنواخت آن حول یک دایره در واحد زمان انجام می دهد.
شکل 13
ویژگی بارز حرکت دایره ای یکنواخت
حرکت یکنواخت در امتداد دایره مورد خاصی از حرکت منحنی است. حرکت دایره ای با مدول ثابت سرعت () شتاب می گیرد. این به این دلیل است که با مدول ثابت، جهت سرعت همیشه تغییر می کند.
شتاب یک نقطه مادی که به طور یکنواخت در امتداد یک دایره حرکت می کند
جزء مماسی شتاب در حرکت یکنواختنقاط در امتداد محیط صفر است.
جزء نرمال شتاب (شتاب مرکزی) به صورت شعاعی به مرکز دایره هدایت می شود (شکل 13 را ببینید). در هر نقطه از دایره، بردار شتاب عادی بر بردار سرعت عمود است. شتاب یک نقطه مادی که به طور مساوی در امتداد یک دایره در هر نقطه حرکت می کند، مرکز محور است.
شتاب زاویه ای. رابطه بین کمیت های خطی و زاویه ای
شتاب زاویه ای یک کمیت برداری است که توسط اولین مشتق سرعت زاویه ای نسبت به زمان تعیین می شود.
جهت بردار شتاب زاویه ای
هنگامی که بدن حول یک محور ثابت می چرخد، بردار شتاب زاویه ای در امتداد محور چرخش به سمت بردار افزایش اولیه سرعت زاویه ای هدایت می شود.
با حرکت شتاب دار، بردار با بردار هم جهت است، با حرکت آهسته، برعکس آن است. وکتور یک شبه برداری است.
واحد شتاب زاویه ای است.
رابطه بین کمیت های خطی و زاویه ای
(- شعاع دایره؛ - سرعت خطی؛ - شتاب مماسی؛ - شتاب عادی؛ - سرعت زاویه ای).
حرکات بدن کشیده ای که در شرایط مشکل مورد بررسی نمی توان از ابعاد آن چشم پوشی کرد. بدنه غیرقابل تغییر شکل، به عبارت دیگر، کاملاً جامد در نظر گرفته خواهد شد.
جنبشی که در آن هرخط مستقیم مرتبط با جسم متحرک موازی با خود باقی می ماند، نامیده می شود ترقی خواه.
یک خط مستقیم "به طور محکم به بدن متصل است" به عنوان یک خط مستقیم درک می شود که فاصله هر نقطه از آن تا هر نقطه از بدن در طول حرکت آن ثابت می ماند.
حرکت انتقالی یک جسم کاملاً صلب را می توان با حرکت هر نقطه از این جسم مشخص کرد، زیرا در حین حرکت انتقالی تمام نقاط بدن با سرعت و شتاب یکسان حرکت می کنند و مسیر حرکت آنها همخوان است. با تعیین حرکت هر یک از نقاط یک جسم صلب، در همان زمان حرکت تمام نقاط دیگر آن را تعیین می کنیم. بنابراین، هنگام توصیف حرکت انتقالی، هیچ مشکل جدیدی در مقایسه با سینماتیک یک نقطه مادی ایجاد نمی شود. نمونه ای از حرکت انتقالی در شکل نشان داده شده است. 2.20.
شکل 2.20. حرکت انتقالی بدن
نمونه ای از حرکت انتقالی در شکل زیر نشان داده شده است:
شکل 2.21. حرکت بدن هواپیما
یکی دیگر از موارد خاص مهم حرکت یک جسم صلب، حرکتی است که در آن دو نقطه از بدن بی حرکت می مانند.
حرکتی که در آن دو نقطه از بدن ثابت می ماند نامیده می شود چرخش حول یک محور ثابت
خط مستقیم اتصال این نقاط نیز ثابت است و نامیده می شود محور چرخش
شکل 2.22. چرخاندن یک بدنه سفت و سخت
با این حرکت تمام نقاط بدن به صورت دایره هایی که در صفحات عمود بر محور چرخش قرار دارند حرکت می کنند. مرکز دایره ها روی محور چرخش قرار دارند. در این حالت می توان محور چرخش را در خارج از بدن قرار داد.
ویدئو 2.4. حرکات انتقالی و چرخشی.
سرعت زاویه ای، شتاب زاویه ای.وقتی جسمی حول هر محوری می‌چرخد، تمام نقاط آن دایره‌هایی با شعاع‌های مختلف را توصیف می‌کنند و بنابراین جابه‌جایی، سرعت و شتاب‌های متفاوتی دارند. با این حال، حرکت چرخشی تمام نقاط بدن را می توان به یک شکل توصیف کرد. برای این کار از سایر ویژگی های حرکتی حرکت (در مقایسه با نقطه مادی) استفاده می شود - زاویه چرخش، سرعت زاویه ای، شتاب زاویه ای.
برنج. 2.23. بردارهای شتاب نقطه ای که به صورت دایره ای حرکت می کند
نقش جابجایی در حرکت دورانی توسط بردار چرخش کوچک، حول محور چرخش 00" (شکل 2.24.). برای هر نقطه یکسان خواهد بود کاملا محکم(مثلاً امتیازات 1, 2, 3 ).
برنج. 2.24. چرخش یک جسم کاملاً صلب حول یک محور ثابت
ماژول بردار چرخش برابر با مقدار زاویه چرخش و زاویه با رادیان اندازه گیری می شود.
بردار چرخش بینهایت کوچک در امتداد محور چرخش به سمت حرکت پیچ سمت راست (گیمبال) هدایت می شود که در همان جهت بدنه می چرخد.
ویدئو 2.5. جابجایی های زاویه ای نهایی بردار نیستند، زیرا طبق قانون متوازی الاضلاع جمع نمی شوند. جابجایی های زاویه ای بینهایت کوچک بردار هستند.
بردارهایی که جهت آنها با قاعده گیمبال مرتبط است نامیده می شوند محوری(از انگلیسی. محور- محور) بر خلاف قطبی... بردارهایی که قبلا استفاده کردیم بردارهای قطبی به عنوان مثال بردار شعاع، بردار سرعت، بردار شتاب و بردار نیرو هستند. بردارهای محوری را شبه بردارها نیز می نامند، زیرا آنها با رفتارشان در حین عملکرد بازتاب در آینه (وارونگی یا همان انتقال از سیستم مختصات راست به سمت چپ) با بردارهای واقعی (قطبی) متفاوت هستند. می توان نشان داد (این کار بعداً انجام خواهد شد) که جمع بردارهای چرخش بینهایت کوچک مانند جمع بردارهای واقعی اتفاق می افتد، یعنی طبق قانون متوازی الاضلاع (مثلث). بنابراین، اگر عمل انعکاس در یک آینه در نظر گرفته نشود، تفاوت بین بردارهای کاذب و بردارهای واقعی به هیچ وجه خود را نشان نمی دهد و می توان مانند بردارهای معمولی (واقعی) با آنها برخورد کرد.
نسبت بردار چرخش بینهایت کوچک به زمانی که در طی آن این چرخش انجام شده است.
تماس گرفت سرعت زاویه ای چرخش
واحد اصلی اندازه گیری سرعت زاویه ای است خوشحالم / s... V رسانه چاپی، به دلایلی که ربطی به فیزیک ندارد، اغلب بنویسید 1 / ثانیهیا s -1، که، به طور دقیق، درست نیست. زاویه یک کمیت بدون بعد است، اما واحدهای اندازه گیری آن متفاوت است (درجه، رومبا، تگرگ ...) و حداقل برای جلوگیری از سوء تفاهم باید آنها را نشان داد.
ویدئو 2.6. اثر استروبوسکوپی و استفاده از آن برای اندازه گیری از راه دور سرعت زاویه ای چرخش
سرعت زاویه ای، مانند بردار که متناسب با آن است، یک بردار محوری است. هنگام چرخیدن به اطراف بی حرکتمحور، سرعت زاویه ای جهت خود را تغییر نمی دهد. با چرخش یکنواخت، مقدار آن ثابت می ماند، به طوری که بردار. در صورت ثبات کافی در زمان مقدار سرعت زاویه ای، توصیف چرخش با دوره آن راحت است. تی :
دوره چرخش- این زمانی است که در طی آن بدن یک دور (چرخش با زاویه 2π) حول محور چرخش می کند.
بدیهی است که کلمه "ثبات کافی" به این معنی است که در طول یک دوره (زمان یک دور) مدول سرعت زاویه ای به طور ناچیز تغییر می کند.
اغلب نیز استفاده می شود تعداد دور در واحد زمان
در عین حال، در کاربردهای فنی (اول از همه، انواع موتورها) به عنوان یک واحد زمان، به طور کلی پذیرفته شده است که نه یک ثانیه، بلکه یک دقیقه طول بکشد. یعنی سرعت زاویه ای چرخش بر حسب دور بر دقیقه نشان داده می شود. همانطور که به راحتی می بینید، رابطه بین (بر حسب رادیان در ثانیه) و (برحسب دور در دقیقه) به شرح زیر است.
جهت بردار سرعت زاویه ای در شکل نشان داده شده است. 2.25.
بر اساس قیاس با شتاب خطی، شتاب زاویه ای به عنوان نرخ تغییر بردار سرعت زاویه ای معرفی می شود. شتاب زاویه ای نیز بردار محوری (شبه بردار) است.
شتاب زاویه ای - یک بردار محوری که به عنوان مشتق زمانی سرعت زاویه ای تعریف می شود.
هنگام چرخش حول یک محور ثابت، عموماً هنگام چرخش حول محوری که موازی با خود باقی می‌ماند، بردار سرعت زاویهای نیز به موازات محور چرخش هدایت می‌شود. با افزایش مقدار سرعت زاویه ای || شتاب زاویه ای با آن در جهت منطبق است، هنگام کاهش، در جهت مخالف هدایت می شود. تاکید می کنیم که این فقط یک مورد خاص از تغییر ناپذیری جهت محور چرخش است، در حالت کلی (چرخش حول یک نقطه) خود محور چرخش می چرخد و سپس آنچه در بالا گفته شد درست نیست.
رابطه سرعت ها و شتاب های زاویه ای و خطی.هر یک از نقاط جسم دوار با سرعت خطی معینی که مماس بر دایره مربوطه است حرکت می کند (شکل 19 را ببینید). اجازه دهید نقطه مادی حول محور بچرخد 00" دور دایره ای با شعاع آر... در مدت زمان کوتاهی مسیر مربوط به زاویه چرخش را پوشش می دهد. سپس
با عبور از حد، عبارتی برای مدول سرعت خطی یک نقطه از یک جسم در حال چرخش به دست می آوریم.
اینجا را به خاطر بیاور آرفاصله نقطه مورد نظر بدن تا محور چرخش است.
برنج. 2.26.
از آنجایی که شتاب عادی است
سپس با در نظر گرفتن رابطه سرعت های زاویه ای و خطی به دست می آوریم
شتاب طبیعی نقاط یک جسم صلب در حال چرخش اغلب نامیده می شود شتاب گریز از مرکز
متمایز کردن عبارت برای در زمان، می یابیم
شتاب مماسی نقطه ای است که در امتداد دایره ای با شعاع حرکت می کند آر.
بنابراین، هر دو شتاب مماسی و نرمال به صورت خطی با افزایش شعاع رشد می کنند آر- فواصل از محور چرخش. شتاب کامل نیز به صورت خطی وابسته است آر :
مثال.اجازه دهید سرعت خطی و شتاب مرکزی نقاط واقع در آن را پیدا کنیم سطح زمیندر خط استوا و عرض جغرافیایی مسکو (= 56 درجه). ما دوره چرخش زمین به دور محور خود را می دانیم T = 24 ساعت = 24x60x60 = 86 400 ثانیه... از اینجا سرعت زاویه ای چرخش پیدا می شود
شعاع متوسط زمین
فاصله تا محور چرخش در عرض جغرافیایی است
از اینجا سرعت خطی را پیدا می کنیم
و شتاب گریز از مرکز
در خط استوا = 0، cos = 1، بنابراین،
در عرض جغرافیایی مسکو cos = cos 56 درجه = 0.559و دریافت می کنیم:
می بینیم که تأثیر چرخش زمین چندان زیاد نیست: نسبت شتاب مرکزگرا در استوا به شتاب گرانش است.
با این وجود، همانطور که بعدا خواهیم دید، اثرات چرخش زمین کاملاً قابل مشاهده است.
رابطه بین بردارهای سرعت خطی و زاویه ای.روابط بین سرعت های زاویه ای و خطی به دست آمده در بالا برای مدول های بردارها و نوشته شده است. برای نوشتن این روابط به صورت برداری از مفهوم یک محصول برداری استفاده می کنیم.
بگذار باشد 0z- محور چرخش یک جسم کاملاً صلب (شکل 2.28).
برنج. 2.28. رابطه بین بردارهای سرعت خطی و زاویه ای
نقطه آدور دایره ای با شعاع می چرخد آر. آرفاصله محور چرخش تا نقطه جسم مورد نظر است. بیایید یک نکته را در نظر بگیریم 0 برای مبدا سپس
و از
سپس با تعریف یک محصول متقاطع، برای تمام نقاط بدن
در اینجا بردار شعاع نقطه ای از بدن است که از نقطه O شروع می شود و در یک مکان ثابت دلخواه قرار دارد. لزوماً در محور چرخش
اما از طرف دیگر
جمله اول برابر با صفر است، زیرا حاصل ضرب بردارهای خطی برابر با صفر است. از این رو،
که در آن بردار آربر محور چرخش عمود است و از آن دور است و مدول آن برابر با شعاع دایره ای است که نقطه مادی در امتداد آن حرکت می کند و این بردار از مرکز این دایره شروع می شود.
برنج. 2.29. به تعریف محور لحظه ای چرخش
شتاب معمولی (مرکزی) را می توان به صورت برداری نیز نوشت:
علاوه بر این، علامت "-" نشان می دهد که به سمت محور چرخش هدایت می شود. با افتراق نسبت سرعت های خطی و زاویه ای در زمان، عبارت شتاب کل را پیدا می کنیم.
جمله اول به صورت مماس بر مسیر یک نقطه روی یک جسم در حال چرخش است و مدول آن برابر است، زیرا
در مقایسه با عبارت شتاب مماسی، به این نتیجه می رسیم که این بردار شتاب مماسی است.
بنابراین، جمله دوم شتاب عادی همان نقطه است:
در واقع، در امتداد شعاع هدایت می شود آربه محور چرخش و مدول آن است
بنابراین، این نسبت برای شتاب معمولی شکل دیگری از نوشتن فرمول به دست آمده قبلی است.
اطلاعات تکمیلی
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. دوره عمومیفیزیک، جلد 1، ویرایش مکانیک. Science 1979 - pp. 242-243 (§46, p. 7): یک سوال نسبتاً دشوار برای درک ماهیت برداری چرخش های زاویه ای یک جسم صلب مورد بحث قرار گرفته است.
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. درس فیزیک عمومی، جلد 1، ویرایش مکانیک. Science 1979 - pp. 233-242 (§45, §46 pp. 1-6): محور لحظه ای چرخش جسم صلب، افزودن چرخش ها.
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - مجله کوانت - کینماتیک پرتاب بسکتبال (R. Vinokur);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - مجله "Kvant" 2003 شماره 6، - صفحات 5–11، میدان سرعتهای لحظه ای یک جسم صلب (S. Krotov);
زوایای اویلر، زوایای هواپیما (کشتی).
به طور سنتی، زوایای اویلر به شرح زیر معرفی می شوند. انتقال از موقعیت مرجع به موقعیت فعلی با سه چرخش انجام می شود (شکل 4.3):
1. یک زاویه به اطراف بچرخانید تقدمدر همان زمان، به موقعیت خود می رود، (ج) .
2. یک زاویه به اطراف بچرخانید آجیل... که در آن، . (4.10)
4. دور گوشه بچرخانید چرخش خود (خالص).
برای درک بهتر، شکل 4.4 زوایای بالا و اویلر را نشان می دهد که آن را توصیف می کند.
انتقال از موقعیت مرجع به موقعیت فعلی را می توان در سه چرخش انجام داد (خود را بچرخانید!) (شکل 4.5):
1. یک زاویه به اطراف بچرخانید پرسه زدن، که در آن
2. چرخش حول زاویه گام، در حالی که (4.12)
3. زاویه رول را به اطراف بچرخانید
تعبیر "می توان انجام داد" تصادفی نیست. به راحتی می توان فهمید که گزینه های دیگری امکان پذیر است، به عنوان مثال، چرخش در اطراف محورهای ثابت
1. یک زاویه به اطراف بچرخانید رول(در خطر شکستن بالها)
2. یک زاویه به اطراف بچرخانید گام صدا(بالا بردن "بینی") (4.13)
3. یک زاویه به اطراف بچرخانید پرسه زدن
با این حال، هویت (4.12) و (4.13) نیز نیاز به اثبات دارد.
بیایید فرمول بردار آشکار برای بردار موقعیت هر نقطه (شکل 4.6) را به شکل ماتریس بنویسیم. بیایید مختصات بردار را نسبت به مبنای مرجع پیدا کنیم. بیایید بردار را با توجه به مبنای واقعی گسترش دهیم و بردار "انتقالی" را معرفی کنیم که مختصات آن در مبنای مرجع با مختصات بردار در بردار واقعی برابر است. به عبارت دیگر، یک بردار همراه با بدنه "چرخش" است (شکل 4.6).
| برنج. 4.6. |
با گسترش بردارها در امتداد مبنای مرجع، دریافت می کنیم
بیایید یک ماتریس چرخشی و ستون ها را معرفی کنیم،
فرمول برداری در نمادگذاری ماتریسی دارای فرم است
1. ماتریس چرخش متعامد است.
گواه این جمله فرمول (4.9) است.
با محاسبه دترمینان حاصلضرب (4.15)، به دست می آوریم و از آنجایی که در موقعیت مرجع، آنگاه (ماتریس های متعامد با دترمینان برابر با (1) نامیده می شوند. در حقیقتماتریس های متعامد یا چرخشی). ماتریس چرخش وقتی در بردارها ضرب می شود، طول بردارها یا زوایای بین آنها را تغییر نمی دهد، یعنی. واقعا آنها چرخش.
2. ماتریس چرخش دارای یک بردار ویژه (ثابت) است که محور چرخش را مشخص می کند. به عبارت دیگر، لازم است نشان داده شود که سیستم معادلات دارای یک راه حل منحصر به فرد است. ما سیستم را به شکل (. تعیین کننده این سیستم همگن برابر با صفر است، زیرا
از این رو، سیستم یک راه حل غیر صفر دارد. با فرض وجود دو راه حل، بلافاصله به این نتیجه می رسیم که عمود بر آنها نیز یک راه حل است (زوایای بین بردارها تغییر نمی کند) به این معنی که i.e. بدون چرخش..
| شکل 4.7 |
ماتریس بر اساس متعارف
فرم را دارد.
2. با متمایز کردن (4.15)، ماتریس یا با نشان دادن - به دست می آوریم خواب (به انگلیسی to spin - twirl).بنابراین، ماتریس اسپین چوله متقارن است:. با ضرب در سمت راست، فرمول پواسون را برای ماتریس چرخش بدست می آوریم:
ما در چارچوب توصیف ماتریس به سخت ترین لحظه رسیده ایم - تعریف بردار سرعت زاویه ای.
البته می توانید استاندارد را انجام دهید (مثلاً راه را ببینید و بنویسید: " ما نمادگذاری عناصر ماتریس متقارن - چوله را معرفی می کنیماس طبق فرمول
اگر بردار بسازیم , سپس حاصل ضرب یک ماتریس در یک بردار را می توان به عنوان یک محصول برداری نشان داد". در نقل قول بالا، بردار سرعت زاویه ای.
با تمایز (4.14)، ما یک نمایش ماتریسی از فرمول اصلی برای سینماتیک یک جسم صلب به دست می آوریم. :
رویکرد ماتریسی که برای محاسبات مناسب است، برای تحلیل و استخراج روابط بسیار مناسب نیست. هر فرمولی که به زبان بردار و تانسور نوشته شده باشد را می توان به راحتی به صورت ماتریس نوشت، اما می توانید یک فرمول فشرده و رسا برای توصیف هر یک به دست آورید. پدیده فیزیکیدر فرم ماتریسی دشوار است.
علاوه بر این، نباید فراموش کرد که عناصر ماتریس در برخی موارد مختصات (مولفه‌های) یک تانسور هستند. خود تانسور به انتخاب مبنا بستگی ندارد، بلکه اجزای آن بستگی دارد. برای نوشتن بدون خطا به صورت ماتریسی، لازم است که تمام بردارها و تانسورهای موجود در عبارت در یک مبنا نوشته شوند، و این همیشه راحت نیست، زیرا تانسورهای مختلف در پایه های مختلف یک شکل "ساده" دارند، بنابراین ماتریس ها نیاز دارند. برای محاسبه مجدد با استفاده از ماتریس های انتقال ...
روی دایره با بردار شعاع $ \ رو به راست (r) $ ترسیم شده از مرکز دایره تعریف می شود. مدول بردار شعاع برابر با شعاع دایره R است (شکل 1).
شکل 1. بردار شعاع، جابجایی، مسیر و زاویه چرخش هنگام حرکت یک نقطه در امتداد دایره
در این مورد، حرکت یک جسم در یک دایره را می توان بدون ابهام با استفاده از ویژگی های سینماتیکی مانند زاویه چرخش، سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای توصیف کرد.
در طول زمان ∆t، جسم با حرکت از نقطه A به نقطه B، یک حرکت $ \ مثلث r $ برابر با وتر AB انجام می دهد و مسیری برابر با طول کمان l را طی می کند. بردار شعاع با زاویه ∆ $ \ varphi $ می چرخد.
زاویه چرخش را می توان با بردار جابجایی زاویه ای $ d \ فلش رو به راست ((\ mathbf \ varphi)) $ مشخص کرد که مدول آن برابر با زاویه چرخش ∆ $ \ varphi $ است و جهت منطبق با محور چرخش، و به طوری که جهت چرخش با قاعده پیچ سمت راست با توجه به جهت بردار $ d \ رو به سمت راست ((\ mathbf \ varphi)) $ مطابقت داشته باشد.
بردار $ d \ overright arrow ((\ mathbf \ varphi)) $ بردار محوری (یا بردار شبه) نامیده می شود ، در حالی که بردار جابجایی $ \ مثلث \ رو به راست (r) $ بردار قطبی است (این شامل سرعت نیز می شود. و بردارهای شتاب) ... تفاوت آنها در این است که بردار قطبی علاوه بر طول و جهت، یک نقطه کاربرد (قطب) دارد و بردار محوری فقط طول و جهت دارد (محور در لاتین محور است) اما نقطه کاربرد ندارد. . از این نوع بردارها اغلب در فیزیک استفاده می شود. اینها، برای مثال، شامل تمام بردارهایی است که حاصل ضرب برداری دو بردار قطبی هستند.
یک کمیت فیزیکی اسکالر که از نظر عددی برابر با نسبت زاویه چرخش بردار شعاع به فاصله زمانی است که این چرخش در آن رخ داده است، سرعت زاویهای متوسط نامیده می‌شود: $ \ چپ \ langle \ omega \ راست \ rangle = \ frac. (\ مثلث \ varphi) (\ مثلث t) $. واحد SI سرعت زاویه ای رادیان در ثانیه $ (\ فراک (راد) (c)) $ است.
تعریف
سرعت زاویه ای چرخش بردار عددی برابر با اولین مشتق زاویه چرخش بدنه در زمان است و بر اساس قانون پیچ سمت راست در امتداد محور چرخش هدایت می شود:
\ [\ پیکان رو به راست ((\ mathbf \ omega)) \ چپ (t \ راست) = (\ mathop (lim) _ (\ مثلث t \ تا 0) \ frac (\ مثلث (\ mathbf \ varphi)) (\ مثلث t) = \ frac (d \ رو به راست ((\ mathbf \ varphi))) (dt) \) \]
با حرکت یکنواخت در طول یک دایره، سرعت زاویه ای و مدول سرعت خطی مقادیر ثابتی هستند: $ (\ mathbf \ omega) = const $; $ v = ثابت $.
با در نظر گرفتن اینکه $ \ مثلث \ varphi = \ frac (l) (R) $ ، رابطه بین سرعت خطی و زاویه ای را بدست می آوریم: $ \ امگا = \ فراک (l) (R \ مثلث t) = \ frac ( v) (R) $. سرعت زاویه ای نیز به شتاب عادی مربوط می شود: $ a_n = \ frac (v ^ 2) (R) = (\ omega) ^ 2R $
در حرکت ناهمواردر یک دایره، بردار سرعت زاویهای یک تابع برداری از زمان است $ \ پیکان روبه‌رو (\ امگا) \ چپ (t \ راست) = (\ فلش رو به راست (\ امگا)) _ 0+ \ فلش رو به راست (\ varepsilon) \ چپ (t) \ راست) t $، جایی که $ (\ overrightarrow ((\ mathbf \ omega))) _ 0 $ سرعت زاویه ای اولیه است، $ \ overright arrow ((\ mathbf \ varepsilon)) \ چپ (t \ راست) $ است شتاب زاویه ای در صورت حرکت مساوی، $ \ چپ | \ فلش رو به راست ((\ mathbf \ varepsilon)) \ چپ (t \ راست) \ راست | = \ varepsilon = ثابت $ و $ \ چپ | \ فلش رو به راست ((\ mathbf \ omega ) ) \ چپ (t \ راست) \ راست | = \ امگا \ چپ (t \ راست) = (\ omega) _0 + \ varepsilon t $.
حرکت یک جسم صلب در حال چرخش را در مواردی که سرعت زاویه ای مطابق با نمودارهای 1 و 2 نشان داده شده در شکل 2 تغییر می کند، توضیح دهید.
شکل 2.
دو جهت چرخش وجود دارد - در جهت عقربه های ساعت و خلاف جهت عقربه های ساعت. جهت چرخش با شبه بردار زاویه چرخش و سرعت زاویه ای مرتبط است. اجازه دهید جهت چرخش را در جهت عقربه های ساعت مثبت در نظر بگیریم.
برای حرکت 1، سرعت زاویه ای افزایش می یابد، اما شتاب زاویه ای $ \ varepsilon $ = d $ \ omega $ / dt (مشتق) کاهش می یابد و مثبت باقی می ماند. بنابراین این حرکت در جهت عقربه های ساعت با شتاب کاهشی شتاب می گیرد.
برای حرکت 2، سرعت زاویه ای کاهش می یابد، سپس در نقطه تقاطع با آبسیسا به صفر می رسد و سپس منفی می شود و قدر آن افزایش می یابد. شتاب زاویه ای منفی است و قدر آن کاهش می یابد. بنابراین، در ابتدا، نقطه در جهت عقربه‌های ساعت با سرعت کمتری با کاهش مدول شتاب زاویهای حرکت کرد، متوقف شد و با کاهش مدول شتاب شروع به چرخش با سرعتی شتاب‌دار کرد.
شعاع R چرخ دوار را بیابید اگر بدانیم سرعت خطی $ v_1 $ نقطه ای که روی لبه قرار دارد 2.5 برابر سرعت خطی $ v_2 $ نقطه ای است که در فاصله $ r = 5 cm $ نزدیک تر است. محور چرخ
شکل 3.
$$ R_2 = R_1 - 5 $$ $$ v_1 = 2.5v_2 $$ $$ R_1 =؟ $$
نقاط در امتداد دایره های متحدالمرکز حرکت می کنند، بردارهای سرعت زاویه ای آنها برابر است، $ \ چپ | (\ پیکان رو به راست (\ امگا)) _ 1 \ راست | = \ چپ | (\ فلش رو به راست (\ امگا)) _ 2 \ راست | = \ omega $، بنابراین، می تواند به شکل اسکالر نوشته شود:
پاسخ: شعاع چرخ R = 8.3 سانتی متر
بارگذاری...