نحوه محاسبه میانه برای توزیع نمایی تابع میانه در اکسل برای انجام تحلیل های آماری

میانه مثلث، و همچنین ارتفاع، به عنوان یک پارامتر گرافیکی عمل می کند که کل مثلث، مقدار اضلاع و زوایای آن را تعیین می کند. سه مقدار: میانه، ارتفاع و نیمساز - این مانند بارکد روی یک محصول است، وظیفه ما این است که بتوانیم آن را بخوانیم.

تعریف

میانه پاره خطی است که ارتفاع و نقطه میانی طرف مقابل را به هم متصل می کند. مثلث سه رأس دارد، یعنی سه میانه وجود دارد. میانه ها همیشه با ارتفاعات یا نیمسازها منطبق نیستند. اغلب اینها بخش های جداگانه ای هستند.

خواص میانه

میانه یک مثلث متساوی الساقین که به سمت قاعده کشیده شده است با ارتفاع و نیمساز منطبق است. V مثلث متساوی الاضلاعهمه میانه ها با نیمسازها و ارتفاعات منطبق هستند.
تمام میانه های مثلث در یک نقطه قطع می شوند.
میانه یک مثلث را به دو مثلث مساوی و سه وسط را به 6 مثلث مساوی تقسیم می کند.

به مثلث هایی با مساحت مساوی گفته می شود که مساحت آنها مساوی است.

برنج. 1. سه وسط 6 مثلث مساوی را تشکیل می دهند.

نقطه تقاطع میانه ها آنها را با شمارش از بالا به نسبت 2: 1 تقسیم می کند.
میانه ای که به سمت هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه کشیده می شود، نصف هیپوتنوز است.

وظایف

همه این ویژگی ها به راحتی قابل یادآوری هستند، آنها به راحتی در عمل ثابت می شوند. برای درک بهتر موضوع، چندین مشکل را حل خواهیم کرد:

V راست گوشهپاهایی که برابر با a = 3 و b = 4 هستند شناخته می شوند. مقدار میانه m را که به سمت فرض c کشیده شده است بیابید.

برنج. 2. ترسیم برای مسئله.

برای اینکه مقدار میانه را پیدا کنیم، باید هیپوتانوز را پیدا کنیم، زیرا میانه ای که به سمت هیپوتانوز کشیده می شود برابر با نصف آن است. فرضیه از طریق قضیه فیثاغورث: $$ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $$

$$ c = \ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = \ sqrt (9 + 16) = \ sqrt (25) = 5 $$

بیایید مقدار میانه را پیدا کنیم: $$ m = (c \ over2) = (5 \ over2) = 2.5 $$ - عدد حاصل مقدار میانه است.

مقادیر میانه در مثلث برابر نیستند. بنابراین، تصور اینکه دقیقاً چه ارزشی را باید پیدا کنید ضروری است.

در مثلث، مقادیر اضلاع مشخص است: a = 7. b = 8; c = 9. مقدار میانه را تا سمت b پیدا کنید.

برنج. 3. ترسیم برای مسئله.

برای حل این مشکل، باید از یکی از سه فرمول برای یافتن میانه در اضلاع مثلث استفاده کنید:

$$ m ^ 2 = (1 \ over2) * (a ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2) $$

همانطور که می بینید، نکته اصلی در اینجا این است که ضریب در براکت ها و علائم مقادیر جانبی را به خاطر بسپارید. به خاطر سپردن نشانه ها ساده ترین است - سمتی که میانه به آن پایین می آید همیشه کم می شود. در مورد ما، این b است، اما می تواند هر دیگری باشد.

مقادیر را در فرمول جایگزین کنید و مقدار میانه را پیدا کنید: $$ m = \ sqrt ((1 \ over2) * (a ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2)) $$

$$ m = \ sqrt ((1 \ over2) * (49 + 81-64)) = \ sqrt (33) $$ - بیایید نتیجه را به عنوان ریشه بگذاریم.

در مثلث متساوی الساقین، وسط کشیده شده به قاعده 8 و خود قاعده 6 است. این وسط به همراه دو مثلث باقی مانده، مثلث را به 6 مثلث تقسیم می کند. مساحت هر یک از آنها را پیدا کنید.

میانه ها مثلث را به شش ناحیه مساوی تقسیم می کنند. این بدان معنی است که مساحت مثلث های کوچک با یکدیگر برابر خواهد بود. کافی است مساحت بزرگتر را پیدا کنید و آن را بر 6 تقسیم کنید.

با توجه به میانه، کشیده شده به قاعده، در یک مثلث متساوی الساقین، نیمساز و ارتفاع است. به این معنی که پایه و ارتفاع در مثلث مشخص است. می توانید منطقه را پیدا کنید.

$$ S = (1 \ بیش از 2) * 6 * 8 = 24 $ $

مساحت هر یک از مثلث های کوچک: $$ (24 \ over6) = 4 $$

ما چه آموخته ایم؟

ما یاد گرفتیم که میانگین چیست. ما ویژگی های میانه را تعیین کردیم و راه حلی برای مشکلات معمولی پیدا کردیم. ما در مورد اشتباهات اساسی صحبت کردیم و فهمیدیم که چگونه به راحتی و به سرعت فرمول یافتن میانه را از طریق اضلاع یک مثلث به خاطر بسپاریم.

تست بر اساس موضوع

رتبه بندی مقاله

میانگین امتیاز: 4.7. مجموع امتیازهای دریافتی: 87.

توجه داشته باشید... V این درسمسائلی را در هندسه در مورد میانه یک مثلث مطرح کنید. اگر نیاز به حل یک مشکل هندسه دارید که اینجا نیست، در مورد آن در انجمن بنویسید. این دوره تقریباً به طور قطع تکمیل خواهد شد.

وظیفه... طول وسط مثلثی که از اضلاع آن می گذرد را بیابید

طول اضلاع مثلث 8، 9 و 13 سانتی متر است. میانه به بزرگترین ضلع مثلث کشیده می شود. میانه مثلث را بر اساس ابعاد اضلاع آن تعیین کنید.

راه حل.

دو راه برای حل مشکل وجود دارد. اولین موردی که معلمان دوست ندارند دبیرستاناما همه کاره ترین است

روش 1.

قضیه استوارت را به کار می بریم که بر اساس آن مجذور میانه برابر با یک چهارم مجموع مجذورات دو برابر شده اضلاع است که مربع ضلعی که میانه به آن کشیده می شود از آن کم می شود.

M c 2 = (2a 2 + 2b 2 - c 2) / 4

به ترتیب

M c 2 = (2 * 8 2 + 2 * 9 2 - 13 2) / 4
m c 2 = 30.25
m c = 5.5 سانتی متر

روش 2.

راه حل دوم، که معلمان در مدرسه عاشق آن هستند، ساخت های اضافی مثلث به متوازی الاضلاع و حلی از طریق قضیه مورب متوازی الاضلاع است.

بیایید اضلاع مثلث و میانه را با تکمیل آنها به متوازی الاضلاع گسترش دهیم. در این حالت، میانه BO مثلث ABC برابر با نصف قطر متوازی الاضلاع حاصل و دو ضلع مثلث AB، BC برابر با اضلاع جانبی آن خواهد بود. ضلع سوم مثلث AC که میانه به آن کشیده شده است، قطر دوم متوازی الاضلاع حاصل است.

بر اساس قضیه، مجموع مجذورات مورب متوازی الاضلاع برابر است با دو برابر مجموع مربعات اضلاع آن.

2 (a 2 + b 2) = d 1 2 + d 2 2

بیایید مورب متوازی الاضلاع را که از ادامه میانه مثلث اصلی به صورت x تشکیل می شود، نشان دهیم، به دست می آوریم:

2 (8 2 + 9 2) = 13 2 + x 2
290 = 169 + x 2
x 2 = 290 - 169
x 2 = 121
x = 11

از آنجایی که میانه مورد نیاز برابر با نصف مورب متوازی الاضلاع است، مقدار میانه مثلث 11/2 = 5.5 سانتی متر خواهد بود.

پاسخ: 5.5 سانتی متر

حقوق در بخش‌های مختلف اقتصاد، دما و بارندگی در یک منطقه برای دوره‌های زمانی قابل مقایسه، بازده محصولات کشت شده در مناطق جغرافیایی مختلف و غیره. با این حال، میانگین به هیچ وجه تنها شاخص تعمیم‌دهنده نیست - در برخی موارد برای یک ارزیابی دقیق تر، مقداری مانند میانه مناسب است. در آمار، به طور گسترده ای به عنوان یک ویژگی توصیفی کمکی برای توزیع یک ویژگی در یک جمعیت معین استفاده می شود. بیایید ببینیم که چگونه با میانگین تفاوت دارد و همچنین چرا لازم است از آن استفاده کنیم.

میانه در آمار: تعریف و ویژگی ها

وضعیت زیر را تصور کنید: 10 نفر با مدیر در شرکت کار می کنند. کارگران عادی هر کدام 1000 UAH و مدیر آنها که علاوه بر این مالک است - 10000 UAH دریافت می کنند. اگر میانگین حسابی را محاسبه کنیم، معلوم می شود که میانگین حقوق در این شرکت 1900 UAH است. آیا این گفته درست خواهد بود؟ یا این مثال را در نظر بگیرید، در همان بخش بیمارستان 9 نفر با دمای 36.6 درجه سانتیگراد و یک نفر که دمای آن 41 درجه سانتیگراد است وجود دارد. میانگین حسابی در این مورد عبارت است از: (36.6 * 9 + 41) / 10 = 37.04 درجه سانتیگراد. اما این به هیچ وجه به این معنی نیست که همه افراد حاضر بیمار هستند. همه اینها نشان می دهد که معمولاً میانگین به تنهایی کافی نیست و به همین دلیل است که میانه علاوه بر آن استفاده می شود. در آمار به این اندیکاتور واریانتی گفته می شود که دقیقاً در وسط یک سری تغییرات مرتب شده قرار دارد. اگر آن را برای مثال های ما محاسبه کنید، به ترتیب 1000 UAH دریافت می کنید. و 36.6 درجه سانتی گراد به عبارت دیگر، میانه در آمار، مقداری است که یک سری را به نصف تقسیم می کند، به گونه ای که همان تعداد واحدهای یک جمعیت معین در دو طرف آن (بالا یا پایین) قرار دارند. به دلیل این ویژگی، این شاخص چندین نام دیگر دارد: صدک 50 یا چندک 0.5.

چگونه میانه را در آمار پیدا کنیم

روش محاسبه این مقدار تا حد زیادی به نوع سری تغییرات ما بستگی دارد: گسسته یا فاصله ای. در مورد اول، میانه در آمار بسیار آسان است. تنها کاری که باید انجام دهید این است که مجموع فرکانس ها را پیدا کنید، آن را بر 2 تقسیم کنید و سپس ½ به نتیجه اضافه کنید. بهتر است اصل محاسبه را با استفاده از مثال زیر توضیح دهید. فرض کنید داده های باروری را گروه بندی کرده ایم و می خواهیم بفهمیم که میانگین چیست.

شماره گروه خانواده بر اساس تعداد فرزندان	تعداد خانواده ها

با انجام برخی از محاسبات ساده، دریافتیم که شاخص مورد نیاز برابر است با: 195/2 + ½ = گزینه ها. برای اینکه بفهمیم این به چه معناست، باید به ترتیب فرکانس ها را جمع آوری کرد و از کوچکترین گزینه ها شروع کرد. بنابراین، مجموع دو خط اول به ما 30 می دهد. واضح است که 98 گزینه وجود ندارد. اما اگر فراوانی گزینه سوم (70) را به نتیجه اضافه کنید، مجموع برابر 100 به دست می آید که شامل گزینه 98 می باشد، یعنی میانه یک خانواده با دو فرزند خواهد بود.

در مورد سری بازه، معمولاً از فرمول زیر در اینجا استفاده می شود:

М е = X Ме + i Ме * (∑f / 2 - S Me-1) / f Ме، که در آن:

X Me - اولین مقدار فاصله متوسط.
∑f تعداد سری (مجموع فرکانس های آن) است.
i Me مقدار محدوده میانه است.
f Me فرکانس محدوده میانه است.
S Ме-1 - مجموع فرکانس های تجمعی در محدوده های قبل از میانه.

باز هم، فهمیدن آن بدون مثال بسیار سخت است. فرض کنید اطلاعاتی در مورد مقدار وجود دارد

حقوق، هزار روبل		فرکانس های انباشته شده

برای استفاده از فرمول بالا، ابتدا باید فاصله میانی را تعیین کنیم. به عنوان چنین محدوده ای انتخاب می شود که فرکانس انباشته آن بیش از نیمی از مجموع فرکانس ها باشد یا برابر با آن باشد. بنابراین، با تقسیم 510 بر 2، متوجه می شویم که این معیار مربوط به فاصله زمانی با ارزش حقوق 250000 روبل است. تا 300000 روبل اکنون می توانید تمام داده ها را در فرمول جایگزین کنید:

M e = X Me + i Me * (∑f / 2 - S Me-1) / f Me = 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 = 286.96 هزار روبل.

امیدواریم مقاله ما مفید بوده باشد، و اکنون ایده روشنی از اینکه میانگین در آمار چیست و چگونه باید محاسبه شود، دارید.

همراه با مقادیر میانگین، میانگین‌های ساختاری به عنوان ویژگی‌های آماری سری توزیع متغیر محاسبه می‌شوند. روشو میانه.
روش(Mo) مقدار صفت مورد مطالعه است که با بیشترین فراوانی تکرار می شود. مد رایج ترین معنای یک ویژگی است.
میانه(من) مقدار یک ویژگی است که در وسط یک جمعیت رتبه بندی شده (مرتب شده) قرار می گیرد، i.e. میانه مقدار مرکزی سری تغییرات است.
ویژگی اصلی میانه این است که مجموع انحرافات مطلق مقادیر مشخصه از میانه کمتر از هر مقدار دیگری است ∑ | x i - Me | = min.

تعیین حالت و میانه از داده های گروه بندی نشده

در نظر گرفتن تعیین حالت و میانه از داده های غیر گروهی... فرض کنید تیم های کاری 9 نفره دارای دسته های دستمزد زیر هستند: 4 3 4 5 3 3 6 2 6. از آنجایی که این تیپ بیشترین کارگر رده 3 را دارد، این رده تعرفه ای معین خواهد بود. مو = 3.
برای تعیین میانه، لازم است رتبه: 2 3 3 3 4 4 5 6 6. مرکز در این ردیف کارگر دسته 4 است، بنابراین این رده میانه خواهد بود. اگر سری رتبه بندی شده شامل تعداد زوج واحد باشد، میانه به عنوان میانگین دو مقدار مرکزی تعیین می شود.
اگر حالت متداول ترین نوع مقدار مشخصه را منعکس کند، آنگاه میانه عملاً توابع میانگین را برای جمعیت ناهمگنی که از قانون توزیع نرمال پیروی نمی کند، انجام می دهد. اجازه دهید اهمیت شناختی آن را با مثال زیر نشان دهیم.
فرض کنید که باید میانگین درآمد گروهی از افراد به تعداد 100 نفر را مشخص کنیم که از این تعداد 99 نفر در بازه 100 تا 200 دلار در ماه درآمد دارند و درآمد ماهانه دومی 50000 دلار است (جدول 1).
جدول 1 - درآمد ماهانه گروه مورد مطالعه. اگر از میانگین حسابی استفاده کنیم، میانگین درآمدی در حدود 600 تا 700 دلار بدست می آوریم که ربطی به درآمد قسمت اصلی گروه ندارد. میانگین، در این مورد، من = 163 دلار، اجازه می دهد تا توصیفی عینی از سطح درآمد 99٪ از این گروه از افراد ارائه شود.
تعیین حالت و میانه از داده های گروه بندی شده (سری های توزیع) را در نظر بگیرید.
فرض کنید توزیع کارگران کل شرکت به عنوان یک کل بر اساس دسته دستمزد به شکل زیر باشد (جدول 2).
جدول 2 - توزیع کارگران شرکت بر اساس دسته دستمزد

محاسبه حالت و میانه برای یک سری گسسته

محاسبه حالت و میانه برای سری بازه
آموزش تصویری

محاسبه حالت و میانه برای سری تغییرات
آموزش تصویری

تعیین حالت از یک سری تغییرات گسسته

یک سری از مقادیر مشخصه ساخته شده قبلی که بر اساس اندازه مرتب شده اند استفاده می شود. اگر اندازه نمونه فرد است، مقدار مرکزی را بگیرید. اگر حجم نمونه زوج است، میانگین حسابی دو مقدار مرکزی را بگیرید.
تعیین حالت از یک سری تغییرات گسسته: رده تعرفه 5 بیشترین فراوانی را دارد (60 نفر) بنابراین مودال است. مو = 5.
برای تعیین مقدار میانه یک ویژگی، تعداد واحد میانه سری (N Me) با استفاده از فرمول زیر بدست می آید:، که در آن n حجم جامعه است.
در مورد ما:

.
مقدار کسری حاصل که همیشه با تعداد واحدهای جمعیتی زوج رخ می‌دهد، نشان می‌دهد که میانه دقیق بین 95 تا 96 کارگر است. باید مشخص شود کارگرانی که این شماره سریال ها را دارند به کدام گروه تعلق دارند. این را می توان با محاسبه فرکانس های انباشته شده انجام داد. در گروه اول که فقط 12 نفر هستند کارگری با این اعداد وجود ندارد و در گروه دوم (12 + 48 = 60) کارگری وجود ندارد. کارگران سال 95 و 96 در گروه سوم قرار دارند (12 + 48 + 56 = 116) بنابراین میانه طبقه 4 دستمزد است.

محاسبه مد و میانه در سری بازه

بر خلاف سری تغییرات گسسته، تعیین مد و میانه با سری بازه‌ای مستلزم محاسبات خاصی بر اساس فرمول‌های زیر است:

, (6)
جایی که x 0- حد پایین بازه مودال (فاصله با بالاترین فرکانس معین نامیده می شود).
من- مقدار فاصله مودال؛
f Mo- فرکانس فاصله مودال؛
f Mo -1- فرکانس فاصله قبل از مدال؛
f Mo +1فرکانس فاصله پس از مدال است.

(7)
جایی که x 0- مرز پایین بازه میانه (میانگین اولین بازه است که فرکانس انباشته آن بیش از نیمی از مجموع فرکانس کل است).
من- مقدار فاصله متوسط؛
S Me -1- فاصله انباشته قبل از میانه؛
f Meفرکانس بازه میانه است.
اجازه دهید کاربرد این فرمول ها را با استفاده از داده های جدول نشان دهیم. 3.
فاصله با مرزهای 60 - 80 در این توزیع معین خواهد بود، زیرا بالاترین فرکانس را دارد. با استفاده از فرمول (6)، حالت را تعریف می کنیم:

برای تعیین فاصله میانی، لازم است فرکانس انباشته شده هر بازه بعدی را تا زمانی که از نصف مجموع فرکانس های انباشته شده (در مورد ما 50٪) تجاوز کند، تعیین شود (جدول 11).
مشخص شد که میانگین فاصله با مرزهای 100 - 120 هزار روبل است. اکنون میانه را تعیین می کنیم:

جدول 3 - توزیع جمعیت فدراسیون روسیه بر اساس سطح متوسط درآمد سرانه اسمی پول در مارس 1994.

گروه ها بر اساس سطح درآمد سرانه ماهانه، هزار روبل	سهم جمعیت، %
تا 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
بیش از 300	7,7
جمع	100,0

جدول 4 - تعیین فاصله میانه
بنابراین، میانگین حسابی، حالت و میانه را می توان به عنوان یک مشخصه تعمیم یافته مقادیر یک ویژگی خاص در واحدهای یک جمعیت رتبه بندی شده استفاده کرد.
مشخصه اصلی مرکز توزیع میانگین حسابی است که با این واقعیت مشخص می شود که تمام انحرافات از آن (مثبت و منفی) در مجموع برابر با صفر است. برای میانه مشخص است که مجموع انحرافات از آن در مقدار مطلق حداقل است و حالت مقدار ویژگی است که اغلب با آن مواجه می شود.
نسبت مد، میانه و میانگین حسابی ماهیت توزیع یک ویژگی را در مجموع نشان می دهد، به ما امکان می دهد عدم تقارن آن را ارزیابی کنیم. در توزیع های متقارن، هر سه مشخصه یکسان هستند. هرچه اختلاف بین حالت و میانگین حسابی بیشتر باشد، سری نامتقارن تر است. برای سری های نسبتاً نامتقارن، تفاوت بین حالت و میانگین حسابی تقریباً سه برابر اختلاف بین میانه و میانگین است، یعنی:
| Mo –`x | = 3 | من –`x |.

تعیین مد و میانه به روش گرافیکی

مد و میانه در سری فاصله را می توان به صورت گرافیکی تعیین کرد... حالت از هیستوگرام توزیع تعیین می شود. برای این کار بالاترین مستطیل انتخاب می شود که در این حالت مودال است. سپس راس سمت راست مستطیل مودال را به گوشه سمت راست بالای مستطیل قبلی وصل می کنیم. و راس سمت چپ مستطیل مدال با گوشه سمت چپ بالای مستطیل بعدی است. از نقطه تلاقی آنها، عمود بر محور آبسیسا را پایین می آوریم. آبسیسا نقطه تلاقی این خطوط مستقیم حالت توزیع خواهد بود (شکل 3).

برنج. 3. تعیین گرافیکی حالت توسط هیستوگرام.

برنج. 4. تعیین گرافیکی میانه توسط تجمعی
برای تعیین میانه از نقطه ای در مقیاس فرکانس های انباشته شده (فرکانس ها) مربوط به 50٪، یک خط مستقیم به موازات محور آبسیسا ترسیم می شود تا زمانی که با انباشته قطع شود. سپس از نقطه تقاطع، یک عمود بر روی محور آبسیسا پایین می آید. آبسیسا نقطه تقاطع میانه است.

ربع، دهک، صدک

به طور مشابه، با یافتن میانه در سری توزیع متغیر، می توانید مقدار ویژگی را برای هر واحد از سری رتبه بندی شده به ترتیب بزرگی پیدا کنید. بنابراین، برای مثال، می توانید مقدار یک ویژگی را در واحدهایی که یک سری را به چهار قسمت مساوی، به 10 یا 100 قسمت تقسیم می کند، بیابید. به این مقادیر «چارک»، «دهک»، «درصد» می گویند.
ربع ها یک مقدار ویژگی هستند که یک جمعیت رتبه بندی شده را به 4 قسمت مساوی تقسیم می کند.
چارک پایینی (Q 1) را مشخص کنید و ¼ از جمعیت را با آن جدا کنید کوچکترین مقادیرکاراکتر، و چارک بالایی (Q 3)، که ¼ قسمت را با آن قطع می کند بالاترین ارزش هاامضا کردن. این بدان معناست که 25 درصد از واحدهای جمعیت از نظر Q 1 کمتر خواهند بود. 25٪ از واحدها بین Q 1 و Q 2 محصور خواهند شد. 25% بین Q 2 و Q 3 است و 25% باقی مانده از Q 3 فراتر می رود. چارک میانگین Q 2 میانه است.
برای محاسبه چارک برای یک سری تغییرات بازه ای، از فرمول های زیر استفاده می شود:

,
جایی که x Q 1- مرز پایین بازه حاوی چارک پایین (فاصله با فرکانس انباشته تعیین می شود، اولی بیش از 25٪).
x Q 3- مرز پایین بازه حاوی چارک بالایی (فاصله با فرکانس انباشته شده تعیین می شود که اولی بیش از 75٪ است).
من- اندازه فاصله؛
S Q 1-1- فرکانس تجمعی فاصله قبل از بازه حاوی چارک پایین.
S Q 3-1- فرکانس تجمعی فاصله قبل از بازه حاوی چارک بالایی.
f Q 1- فرکانس بازه حاوی چارک پایین.
f Q 3فرکانس بازه حاوی چارک بالایی است.
محاسبه چارک پایین و بالایی را مطابق جدول در نظر بگیرید. 10. چارک پایین در محدوده 60 - 80 است که فراوانی تجمعی آن 33.5 درصد است. چارک بالایی در محدوده 160 - 180 با فرکانس تجمعی 75.8٪ است. با در نظر گرفتن این موضوع، دریافت می کنیم:
,
.
علاوه بر چارک ها، دهک ها را می توان در توزیع های متغیر تعیین کرد - انواع تقسیم بندی رتبه بندی شده محدوده تنوعتوسط ده قسمت های مساوی... دهک اول (d 1) جمعیت را به نسبت 1/10 به 9/10، دهک دوم (d 1) به نسبت 2/10 به 8/10 و غیره جمعیت را تقسیم می کند.
آنها با فرمول محاسبه می شوند:

.
مقادیر مشخصه ای که یک ردیف را به صد قسمت تقسیم می کنند صدک نامیده می شوند. نسبت های میانه، چارک ها، دهک ها و صدک ها در شکل 1 نشان داده شده است. 5.

روند مرکزی داده ها را می توان نه تنها به عنوان یک مقدار با انحراف کل صفر (میانگین حسابی) یا حداکثر بسامد (حالت)، بلکه به عنوان یک علامت (مقدار در مجموع)، تقسیم داده های رتبه بندی شده (مرتب شده به صورت صعودی یا صعودی) مشاهده کرد. به ترتیب نزولی) به دو قسمت مساوی ... نیمی از داده های اصلی کمتر از این علامت است و نیمی بیشتر است. همین است میانه.

بنابراین، میانه در آمار، سطح شاخصی است که مجموعه داده را به دو نیمه مساوی تقسیم می کند. مقادیر در یک نیمه کمتر و در نیمه دیگر بالاتر از میانه است. به عنوان مثال، اجازه دهید به مجموعه ای از اعداد تصادفی نگاه کنیم.

بدیهی است که با توزیع متقارن، وسط تقسیم کننده جمعیت به نصف در مرکز قرار می گیرد - در همان مکان میانگین حسابی (و حالت). به اصطلاح، این یک وضعیت ایده آل است که حالت، میانه و میانگین حسابی بر هم منطبق باشند و همه ویژگی های آنها در یک نقطه قرار می گیرند - حداکثر فرکانس، نصف شدن، مجموع صفر انحراف ها - همه در یک مکان. با این حال، زندگی به اندازه توزیع عادی متقارن نیست.

فرض کنید با اندازه گیری های فنی انحراف از مقدار مورد انتظار یک چیزی (محتوای عناصر، فاصله، سطح، جرم و غیره و غیره) سروکار داریم. اگر همه چیز درست باشد، به احتمال زیاد انحرافات طبق قانون نزدیک به نرمال، تقریباً مانند شکل بالا توزیع می شوند. اما اگر یک عامل مهم و غیرقابل کنترل در فرآیند وجود داشته باشد، ممکن است مقادیر غیرعادی ظاهر شود که به طور قابل توجهی بر میانگین حسابی تأثیر می گذارد، اما در عین حال به سختی بر میانه تأثیر می گذارد.

میانه نمونه جایگزینی برای میانگین حسابی است، زیرا در برابر انحرافات غیرعادی مقاوم است.

ریاضی دارایی متوسطاین است که مجموع انحرافات مطلق (در مقدار مطلق) از مقدار میانه، در مقایسه با انحرافات از هر مقدار دیگر، حداقل مقدار ممکن را به دست می‌دهد. حتی کمتر از میانگین حسابی، اوه چقدر! این واقعیت کاربرد خود را پیدا می کند، به عنوان مثال، در حل مشکلات حمل و نقل، زمانی که لازم است مکان ساخت اشیاء نزدیک جاده را به گونه ای محاسبه کنیم که طول کل پروازها از مکان های مختلف به آن حداقل باشد (توقف، گاز). ایستگاه ها، انبارها و غیره و غیره.).

فرمول میانه در آمار برای گسستهداده ها تا حدودی یادآور فرمول مد هستند. یعنی این واقعیت که هیچ فرمولی وجود ندارد. مقدار میانه از داده های موجود انتخاب می شود و تنها در صورت عدم امکان، یک محاسبه ساده انجام می شود.

اول از همه، داده ها رتبه بندی می شوند (به ترتیب نزولی مرتب شده اند). سپس دو گزینه وجود دارد. اگر تعداد مقادیر فرد باشد، میانه با مقدار مرکزی سری مطابقت دارد که تعداد آن را می توان با فرمول تعیین کرد:

نه من- تعداد مقدار مربوط به میانه،

ن- تعداد مقادیر موجود در مجموعه داده ها.

سپس میانه به عنوان نشان داده می شود

این اولین گزینه ای است که در آن یک مقدار مرکزی در داده ها وجود دارد. گزینه دوم زمانی رخ می دهد که مقدار داده ها زوج باشد، یعنی به جای یک، دو مقدار مرکزی وجود داشته باشد. راه خروج ساده است: میانگین حسابی دو مقدار مرکزی گرفته می شود:

V داده های بازه ایامکان انتخاب یک مقدار خاص وجود ندارد. میانه طبق قانون خاصی محاسبه می شود.

برای شروع (پس از رتبه بندی داده ها)، پیدا کنید فاصله متوسط... این فاصله زمانی است که مقدار میانه مورد نظر از آن عبور می کند. با استفاده از نسبت تجمعی فواصل رتبه بندی شده تعیین می شود. در جایی که سهم انباشته شده برای اولین بار از 50 درصد کل مقادیر فراتر رفت، یک فاصله متوسط نیز وجود دارد.

من نمی دانم چه کسی فرمول میانه را ارائه کرده است، اما ما به وضوح از این فرض که توزیع داده ها در بازه میانه یکنواخت است (یعنی 30٪ از عرض بازه 30٪ از مقادیر است، 80) استفاده کردیم. درصد عرض 80 درصد مقادیر و غیره است) ... از این رو، دانستن تعداد مقادیر از ابتدای بازه میانی تا 50 درصد کل مقادیر در جامعه (تفاوت بین نیمی از تعداد همه مقادیر و فراوانی تجمعی بازه پیشین)، ما می توانیم بفهمیم که آنها چه نسبتی را در کل بازه میانه اشغال می کنند. این کسر دقیقاً به عرض بازه میانه منتقل می شود و مقدار خاصی را نشان می دهد که بعداً به آن میانه می گویند.

بیایید به یک نمودار تصویری بپردازیم.

معلوم شد کمی دست و پا گیر است، اما اکنون، امیدوارم، همه چیز واضح و قابل درک باشد. برای اینکه هر بار هنگام محاسبه چنین نموداری رسم نکنید، می توانید از یک فرمول آماده استفاده کنید. فرمول میانه به شرح زیر است:

جایی که x من- مرز پایینی فاصله میانی؛

من من- عرض فاصله متوسط؛

∑f / 2- تعداد تمام مقادیر تقسیم بر 2 (دو)؛

S (Me-1)- تعداد کل مشاهداتی که قبل از شروع فاصله میانی جمع شده است، یعنی. فرکانس تجمعی فاصله پیش میانه؛

f Me- تعداد مشاهدات در بازه میانه.

همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، فرمول میانه شامل دو عبارت است: 1 - مقدار ابتدای بازه میانه و 2 - همان بخشی که متناسب با سهم انباشته گم شده تا 50٪ است.

به عنوان مثال، بیایید میانه را از داده های زیر محاسبه کنیم.

باید قیمت متوسط را پیدا کرد، یعنی قیمتی که برای نصف کالا ارزانتر و گرانتر باشد. برای شروع، بیایید محاسبات کمکی فرکانس انباشته، سهم انباشته شده و تعداد کل کالاها را انجام دهیم.

با توجه به آخرین ستون "سهم انباشته" ما فاصله متوسط را تعیین می کنیم - 300-400 روبل (سهم انباشته شده برای اولین بار بیش از 50٪ است). عرض فاصله 100 روبل است. اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که داده ها را به فرمول بالا وصل کرده و میانه را محاسبه کنید.

یعنی برای نیمی از کالاها قیمت کمتر از 350 روبل است و برای نیمی دیگر - بالاتر. ساده است. میانگین حسابی محاسبه شده از همان داده ها 355 روبل است. تفاوت قابل توجهی نیست، اما وجود دارد.

محاسبه میانه در اکسل

میانه برای داده های عددی به راحتی با استفاده از آن پیدا می شود تابع اکسل، که به این نام خوانده می شود - میانه... داده های بازه ای موضوع دیگری است. هیچ تابع مربوطه در اکسل وجود ندارد. بنابراین باید از فرمول بالا استفاده کنید. چه کاری می توانی انجام بدهی؟ اما این خیلی غم انگیز نیست، زیرا محاسبه میانه از داده های بازه ای یک مورد نادر است. شما همچنین می توانید یک بار روی یک ماشین حساب حساب کنید.

در نهایت، من یک مشکل را پیشنهاد می کنم. یک مجموعه داده وجود دارد. 15، 5، 20، 5، 10. میانگین چقدر است؟ چهار گزینه:

حالت، میانه و میانگین یک نمونه روش های مختلفی برای تعیین روند مرکزی در یک نمونه هستند.