چگونه می توان مد را در صورت عدم تکرار اعداد پیدا کرد. آمار

حالت و میانه- نوع خاصی از میانگین ها که برای مطالعه ساختار سری تغییرات استفاده می شود. برخلاف میانگین‌های قانون قدرت که قبلاً مورد بحث قرار گرفت، گاهی اوقات آنها را میانگین‌های ساختاری می‌نامند.

روش- این مقدار ویژگی (نوعی) است که اغلب در این جمعیت یافت می شود، یعنی. بیشترین فرکانس را دارد.

مد کاربرد عملی زیادی دارد و در برخی موارد فقط مد می تواند پدیده های اجتماعی را مشخص کند.

میانهگونه ای است که در وسط سری تغییرات مرتب شده قرار دارد.

میانه حد کمی مقدار مشخصه متغیر را نشان می دهد که نیمی از واحدهای جمعیت به آن می رسند. استفاده از میانه همراه با میانگین یا به جای آن در صورت وجود بازه های باز در سری تغییرات توصیه می شود، زیرا محاسبه میانه نیازی به تعیین مشروط مرزهای فواصل باز ندارد و بنابراین عدم وجود اطلاعات در مورد آنها بر دقت محاسبه میانه تأثیر نمی گذارد.

میانه همچنین زمانی استفاده می شود که شاخص های مورد استفاده به عنوان وزن ناشناخته باشند. در روش های آماری کنترل کیفیت محصول از میانه به جای میانگین حسابی استفاده می شود. مجموع انحراف مطلق گزینه ها از میانه کمتر از هر عدد دیگری است.

محاسبه مد و میانه را در یک سری تغییرات گسسته در نظر بگیرید :

حالت و میانه را تعیین کنید.

مد مو = 4 سال، زیرا این مقدار مربوط به بالاترین فرکانس f = 5 است.

آن ها بیشترین تعدادکارگران 4 سال سابقه کار دارند.

برای محاسبه میانه، ابتدا نصف مجموع فرکانس ها را پیدا می کنیم. اگر مجموع فرکانس ها یک عدد فرد باشد، ابتدا یک به این مجموع اضافه می کنیم و سپس آن را به نصف تقسیم می کنیم:

میانه گزینه هشتم خواهد بود.

برای اینکه بفهمیم کدام گزینه از نظر تعداد هشتم خواهد بود، فرکانس‌ها را جمع می‌کنیم تا مجموع فرکانس‌های مساوی یا بیشتر از نصف مجموع فرکانس‌ها را بدست آوریم. گزینه مربوطه میانه خواهد بود.

من = 4 سال

آن ها نیمی از کارگران کمتر از چهار سال تجربه دارند، نیمی بیشتر.

اگر مجموع فرکانس های انباشته شده در برابر یک گزینه برابر با نصف مجموع فرکانس ها باشد، میانه به عنوان میانگین حسابی این گزینه و گزینه بعدی تعریف می شود.

محاسبه مد و میانه در یک سری تغییرات بازه ای

حالت در سری تغییرات بازه ای با فرمول محاسبه می شود

جایی که ایکس М0- مرز اولیه فاصله مودال،

ساعتمتر 0 مقدار فاصله مودال است،

fمتر 0 , fمتر 0-1 , fمتر 0+1 - فرکانس فاصله مودال، به ترتیب، قبل از مدال و پس از آن.

معینبازه ای با بیشترین فرکانس نامیده می شود.

مثال 1

حالت و میانه را تعیین کنید.

فاصله مودال، زیرا با بالاترین فرکانس f = 35 مطابقت دارد. سپس:

HM 0 =6, fm 0 =35

میانه- این یک مقدار ویژگی است که سری توزیع رتبه بندی شده را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند - با مقادیر ویژگی کمتر از میانه و با مقادیر ویژگی بیشتر از میانه. برای پیدا کردن میانه، باید مقدار ویژگی را که در وسط سری سفارش داده شده است، پیدا کنید.

راه حل مشکل پیدا کردن حالت و میانه را مشاهده کنیدتو می توانی

در سری های رتبه بندی شده، داده های گروه بندی نشده برای پیدا کردن میانهبه یافتن عدد ترتیبی میانه تقلیل می یابند. میانه را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

که در آن Xm حد پایین بازه میانه است.
im - فاصله متوسط
Sme مجموع مشاهداتی است که قبل از شروع فاصله میانی جمع شده است.
fme تعداد مشاهدات در بازه میانه است.

خواص متوسط

1. میانه به مقادیری از ویژگی که در هر دو طرف آن قرار دارند بستگی ندارد.
2. عملیات تحلیلی با میانه بسیار محدود است، بنابراین هنگام ترکیب دو توزیع با میانه های شناخته شده، نمی توان از قبل مقدار میانه توزیع جدید را پیش بینی کرد.
3. میانه داردحداقل خاصیت ماهیت آن در این واقعیت نهفته است که مجموع انحراف مطلق مقادیر x از میانه، حداقل مقدار در مقایسه با انحراف X از هر مقدار دیگر است.

تعریف گرافیکی میانه

برای تعیین میانه ها به روش گرافیکیاز فرکانس های انباشته شده استفاده کنید که منحنی تجمعی بر روی آنها ساخته شده است. رئوس مختصات مربوط به فرکانس های انباشته شده توسط پاره های خط مستقیم به هم متصل می شوند. با تقسیم به نصف آخرین مختصات که با مجموع فرکانس ها مطابقت دارد و عمود تقاطع را با منحنی تجمعی به آن رسم می کنیم، اردیتای مقدار مورد نظر میانه را پیدا می کنیم.

تعریف مد در آمار

مد - ارزش ویژگیکه بیشترین فراوانی را در سری آماری توزیع دارد.

تعریف مدبه روش های مختلف تولید می شود و این بستگی به این دارد که متغیر به صورت سری گسسته یا بازه ای ارائه شود.

پیدا کردن مدو میانه فقط با نگاه کردن به ستون فرکانس انجام می شود. در این ستون، بزرگترین عدد را که بیشترین فرکانس را مشخص می کند، پیدا کنید. مربوط به مقدار مشخصی از ویژگی است که حالت است. در سری تغییرات بازه ای، نوع مرکزی بازه با بالاترین فرکانس تقریباً حالت در نظر گرفته می شود. در این سری توزیع حالت با فرمول محاسبه می شود:

جایی که XMo حد پایین بازه مودال است.
imo - فاصله معین؛
fm0، fm0-1، fm0+1 فرکانس‌های موجود در فواصل مدال، قبلی و بعدی هستند.

فاصله مودال با بالاترین فرکانس تعیین می شود.

مد به طور گسترده در عمل آماری در تجزیه و تحلیل تقاضای مصرف کننده، ثبت قیمت و غیره استفاده می شود.

روابط بین میانگین حسابی، میانه و مد

برای یک سری توزیع متقارن تک وجهی، میانه و مد یکسان هستند. برای توزیع های نامتقارن، آنها منطبق نیستند.

K. Pearson، بر اساس تراز انواع مختلف منحنی ها، تعیین کرد که برای توزیع های با نامتقارن متوسط، روابط تقریبی زیر بین میانگین حسابی، میانه و مد معتبر است:

هنگام مطالعه بار آموزشی دانش آموزان، یک گروه 12 نفره از دانش آموزان کلاس هفتم مشخص شد. از آنها خواسته شد تا زمانی را که در یک روز معین صرف انجام تکالیف جبر می‌کنند (بر حسب دقیقه) مشخص کنند. ما داده های زیر را به دست آوردیم: 23، 18، 25، 20، 25، 25، 32، 37، 34، 26، 34، 25. هنگام مطالعه حجم کار دانش آموزان، یک گروه 12 نفره از دانش آموزان کلاس هفتم شناسایی شد. از آنها خواسته شد تا زمانی را که در یک روز معین صرف انجام تکالیف جبر می‌کنند (بر حسب دقیقه) مشخص کنند. ما داده های زیر را دریافت کردیم: 23، 18، 25، 20، 25، 25، 32، 37، 34، 26، 34، 25.

میانگین حسابی سری. میانگین حسابی یک سری اعداد، ضریب تقسیم مجموع این اعداد بر تعداد عبارت است. میانگین حسابی یک سری اعداد، ضریب تقسیم مجموع این اعداد بر تعداد جمله ها است.(): 12=27

دهانه ردیف. محدوده یک سری تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین این اعداد است. محدوده یک سری تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین این اعداد است. بیشترین زمان مصرف 37 دقیقه و کمترین آن 18 دقیقه است. محدوده سری را پیدا کنید: 37 - 18 = 19 (دقیقه)

مد ردیف. حالت یک سری از اعداد، عددی است که در این سری بیشتر از بقیه اتفاق می افتد. حالت یک سری از اعداد، عددی است که در این سری بیشتر از بقیه اتفاق می افتد. حالت سری ما عدد - 25 است. حالت سری ما عدد - 25 است. یک سری اعداد ممکن است بیش از یک حالت داشته باشند یا نداشته باشند. 1) 47،46،50،47،52،49،45،43،53،53،47،52 - دو حالت 47 و 52. 2) 69،68،66،70،67،71،74،63، 73.72 - بدون مد.

میانگین حسابی، دامنه و مد، در آمار استفاده می شود - علمی که با به دست آوردن، پردازش و تجزیه و تحلیل داده های کمی در مورد انواع پدیده های انبوه در طبیعت و جامعه می پردازد. میانگین حسابی، دامنه و مد، در آمار استفاده می شود - علمی که با به دست آوردن، پردازش و تجزیه و تحلیل داده های کمی در مورد انواع پدیده های انبوه در طبیعت و جامعه می پردازد. آمار به مطالعه تعداد گروه های فردی از جمعیت کشور و مناطق آن، تولید و مصرف انواع محصولات، حمل و نقل کالا و مسافر می پردازد. انواع مختلفحمل و نقل، منابع طبیعیو غیره آمار تعداد گروه های فردی از جمعیت کشور و مناطق آن، تولید و مصرف انواع محصولات، حمل و نقل کالا و مسافر توسط انواع مختلف حمل و نقل، منابع طبیعی و غیره را مطالعه می کند.

1. میانگین حسابی و دامنه یک سری اعداد را بیابید: الف) 24،22،27،20،16،37; ب) 30،5،23،5،28، میانگین حسابی، دامنه و حالت یک سری اعداد را بیابید: الف) 32،26،18،26،15،21،26; ب) -21، -33، -35، -19، -20، -22; ب) -21، -33، -35، -19، -20، -22; ج) 61،64،64،83،61،71،70; ج) 61،64،64،83،61،71،70; د) -4، -6، 0، 4، 0، 6، 8، -12. د) -4، -6، 0، 4، 0، 6، 8، یک عدد در سری اعداد 3، 8، 15، 30، __، 24 وجود ندارد. اگر: الف) میانگین حسابی سری 18 است; الف) میانگین حسابی سری 18 است. ب) محدوده سری 40 است. ب) محدوده سری 40 است. ج) حالت سریال 24 است. ج) حالت سریال 24 است.

4. در گواهی تحصیلات متوسطه، چهار نفر از دوستان - فارغ التحصیلان مدرسه - دارای نمرات زیر بودند: ایلین: 4،4،5،5،4،4،4،5،5،5،4،4،5، 4,4; ایلین: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; سمیونوف: 3،4،3،3،3،3،4،3،3،3،3،4،4،5،4; سمیونوف: 3،4،3،3،3،3،4،3،3،3،3،4،4،5،4; پوپوف: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; پوپوف: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; رومانوف: 3،3،4،4،4،4،4،3،4،4،4،5،3،4،4. رومانوف: 3،3،4،4،4،4،4،3،4،4،4،5،3،4،4. میانگین معدلی که هر کدام از این فارغ التحصیلان از دبیرستان فارغ التحصیل شده اند چقدر است؟ معمولی ترین نمره را برای هر یک از آنها در گواهی قید کنید. از چه آماری در پاسخ خود استفاده کردید؟ میانگین معدلی که هر کدام از این فارغ التحصیلان از دبیرستان فارغ التحصیل شده اند چقدر است؟ معمولی ترین نمره را برای هر یک از آنها در گواهی قید کنید. از چه آماری در پاسخ خود استفاده کردید؟

کار مستقلگزینه 1. گزینه یک سری از اعداد داده می شود: 35، 44، 37، 31، 41، 40، 31، 29. میانگین حسابی، محدوده و حالت راد را بیابید. 2. در سری اعداد 4، 9، 16، 31، _، 25، 4، 9، 16، 31، _، 25، یک عدد وجود ندارد. یک عدد از دست رفته آن را پیدا کنید اگر: آن را بیابید اگر: الف) میانگین حسابی؛ الف) میانگین حسابی 19 باشد. که 19 است; ب) محدوده سری - 41. ب) محدوده سری - 41. گزینه یک سری از اعداد داده می شود: 38، 42، 36، 45، 48، 45.45، 42. میانگین حسابی، محدوده و حالت اعداد را بیابید. راد 2. در سری اعداد 5، 10، 17، 32، _، 26، یک عدد وجود ندارد. آن را پیدا کنید اگر: الف) میانگین حسابی 19 باشد. ب) برد سری 41 است.

میانه یک سری اعداد مرتب شده با تعداد فرد عددی است که در وسط آن نوشته می شود و میانه یک سری اعداد مرتب شده با تعداد زوج، میانگین حسابی دو عدد نوشته شده در وسط است. میانه یک سری اعداد مرتب شده با تعداد فرد عددی است که در وسط آن نوشته می شود و میانه یک سری اعداد مرتب شده با تعداد زوج، میانگین حسابی دو عدد نوشته شده در وسط است. جدول مصرف برق در دی ماه توسط ساکنان نه آپارتمان را نشان می دهد: جدول میزان مصرف برق در ماه ژانویه توسط ساکنان نه آپارتمان را نشان می دهد: شماره آپارتمان مصرف برق

بیایید یک سری سفارشی بسازیم: 64، 72، 72، 75، 78، 82، 85، 91.93. 64، 72، 72، 75، 78، 82، 85، 91 - میانه این سری. 78 میانه این سریال است. یک سری مرتب داده می شود: یک سری مرتب داده می شود: 64، 72، 72، 75، 78، 82، 85، 88، 91، 93. (): 2 = 80 - میانه. (): 2 = 80 - میانه.

1. میانه یک سری اعداد را بیابید: الف) 30، 32، 37، 40، 41، 42، 45، 49، 52. الف) 30، 32، 37، 40، 41، 42، 45، 49، 52؛ ب) 102، 104، 205، 207، 327، 408، 417; ب) 102، 104، 205، 207، 327، 408، 417; ج) 16، 18، 20، 22، 24، 26؛ ج) 16، 18، 20، 22، 24، 26؛ د) 1.2، 1.4، 2.2، 2.6، 3.2، 3.8، 4.4، 5.6. د) 1.2، 1.4، 2.2، 2.6، 3.2، 3.8، 4.4، 5.6. 2. میانگین حسابی و میانه یک سری اعداد را بیابید: الف) 27، 29، 23، 31،21،34. الف) 27، 29، 23، 31،21،34; ب) 56، 58، 64، 66، 62، 74; ب) 56، 58، 64، 66، 62، 74; ج) 3.8، 7.2، 6.4، 6.8، 7.2; ج) 3.8، 7.2، 6.4، 6.8، 7.2; د) 21.6، 37.3، 16.4، 12، 6. د) 21.6، 37.3، 16.4، 12، 6.

3. جدول تعداد بازدیدکنندگان نمایشگاه را در روزهای مختلف هفته نشان می دهد: میانه سری داده های مشخص شده را بیابید. در کدام روزهای هفته تعداد بازدیدکنندگان از نمایشگاه بیشتر از میانگین بوده است؟ روزهای هفته دوشنبه دوشنبه سه شنبه چهارشنبه چهارشنبه پنج شنبه جمعه جمعه شنبه شنبه یکشنبه یکشنبه تعداد بازدیدکنندگان

4. متوسط ​​فرآوری روزانه شکر (به هزار سنت) توسط صنعت قند یک منطقه خاص در زیر آمده است: (به هزار سنت) توسط صنعت قند یک منطقه خاص: 12.2، 13.2، 13.7، 18.0، 18.6، 12.2، 18.5، 12.4، 12.2، 13.2، 13.7، 18.0، 18.6، 12.2، 18.5، 12.4، 14، 2، 17، 8. 14، 2، 17.8. برای سری داده شده، میانگین حسابی، حالت، محدوده و میانه را پیدا کنید. برای سری داده شده، میانگین حسابی، حالت، محدوده و میانه را پیدا کنید. 5. سازمان ثبت روزانه نامه های دریافتی در طول ماه را داشت. در نتیجه، مجموعه داده‌های زیر را دریافت کردیم: 39، 43، 40، 0، 56، 38، 24، 21، 35، 38، 0، 58، 31، 49، 38، 25، 34، 0، 52، 40، 42، 40، 39، 54، 0، 64، 44، 50، 38، 37، 43، 40، 0، 56، 38، 24، 21، 35، 38، 0، 58، 31، 49، 3 25، 34، 0، 52، 40، 42، 40، 39، 54، 0، 64، 44، 50، 38، 37، 32. برای سری ارائه شده، میانگین حسابی، حالت، محدوده و میانه را پیدا کنید. برای سری داده شده، میانگین حسابی، حالت، محدوده و میانه را پیدا کنید.

مشق شب. در مسابقات اسکیت، عملکرد ورزشکار با امتیازهای زیر ارزیابی می شد: در مسابقات اسکیت، عملکرد ورزشکار با امتیازهای زیر ارزیابی می شد: 5.2; 5.4; 5.5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5.5; 5.3. 5.2; 5.4; 5.5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5.5; 5.3. برای سری اعداد حاصل، میانگین حسابی، محدوده و حالت را پیدا کنید. برای سری اعداد حاصل، میانگین حسابی، محدوده و حالت را پیدا کنید.

تست

با موضوع: "حالت. میانه. روشهای محاسبه آنها"

معرفی

مقادیر میانگین و شاخص های مربوط به تغییرات نقش بسیار مهمی در آمار ایفا می کنند که به دلیل موضوع مورد مطالعه آن است. بنابراین، این مبحث یکی از محورهای دوره است.

میانگین یک شاخص تعمیم دهنده بسیار رایج در آمار است. این با این واقعیت توضیح داده می شود که فقط با کمک میانگین می توان جمعیت را با توجه به یک ویژگی کمی متفاوت توصیف کرد. یک مقدار متوسط ​​در آمار یک مشخصه تعمیم دهنده مجموعه ای از پدیده های هم نوع با توجه به برخی ویژگی های کمی متفاوت است. میانگین سطح این ویژگی را نشان می دهد که مربوط به واحد جمعیت است.

آمارشناسان با مطالعه پدیده های اجتماعی و به دنبال شناسایی ویژگی های مشخصه و معمول آنها در شرایط خاص مکان و زمان، از مقادیر متوسط ​​استفاده گسترده ای می کنند. با کمک میانگین ها می توان جمعیت های مختلف را با توجه به ویژگی های مختلف با یکدیگر مقایسه کرد.

میانگین های مورد استفاده در آمار متعلق به کلاس میانگین های توان است. از میانگین های توان، میانگین حسابی بیشتر استفاده می شود، کمتر از میانگین هارمونیک. میانگین هارمونیک فقط هنگام محاسبه میانگین نرخ دینامیک و میانگین مربع - فقط هنگام محاسبه شاخص های تغییرات استفاده می شود.

میانگین حسابی ضریب تقسیم مجموع گزینه ها بر تعداد آنهاست. در مواردی استفاده می شود که حجم یک ویژگی متغیر برای کل جمعیت به عنوان مجموع مقادیر ویژگی برای واحدهای جداگانه آن تشکیل می شود. میانگین حسابی رایج‌ترین نوع میانگین است، زیرا با ماهیت پدیده‌های اجتماعی مطابقت دارد، جایی که حجم علائم مختلف در مجموع اغلب دقیقاً به عنوان مجموع مقادیر ویژگی در واحدهای جداگانه تشکیل می‌شود. جمعیت.

با توجه به ویژگی تعیین کننده آن، میانگین هارمونیک زمانی باید استفاده شود که حجم کل صفت به عنوان مجموع مقادیر متقابل متغیر تشکیل شود. زمانی استفاده می‌شود که بسته به مواد موجود، وزن‌ها نباید ضرب شوند، بلکه به گزینه‌ها تقسیم می‌شوند یا در مقدار معکوس آن‌ها ضرب می‌شوند. میانگین هارمونیک در این موارد، متقابل میانگین حسابی مقادیر متقابل صفت است.

میانگین هارمونیک باید در مواردی استفاده شود که وزن ها واحدهای جمعیت - حامل های ویژگی نیستند، بلکه محصولات این واحدها و ارزش ویژگی هستند.

1. تعریف حالت و میانه در آمار

میانگین‌های حسابی و هارمونیک ویژگی‌های تعمیم‌دهنده جمعیت با توجه به یک یا آن ویژگی متفاوت هستند. ویژگی های توصیفی کمکی توزیع یک ویژگی متغیر، حالت و میانه است.

در آمار، مد ارزش یک ویژگی (نوعی) است که اغلب در یک جمعیت مشخص یافت می شود. در سری تغییرات، این نوع با بالاترین فرکانس خواهد بود.

میانه در آمار واریانت نامیده می شود که در وسط سری تغییرات قرار دارد. میانه سریال را به نصف تقسیم می کند، در دو طرف آن (بالا و پایین) تعداد واحدهای جمعیتی یکسان وجود دارد.

حالت و میانه، بر خلاف میانگین های نمایی، ویژگی های خاصی هستند، مقدار آنها هر گونه خاص در سری تغییرات است.

حالت در مواردی استفاده می‌شود که لازم است بیشترین مقدار یک ویژگی مشخص شود. اگر به عنوان مثال نیاز دارید که متداول ترین نرخ دستمزد در شرکت، قیمت بازاری که در آن فروخته شده است را دریابید. بزرگترین عددکالاها، اندازه کفش مورد تقاضا توسط مصرف کنندگان و غیره، در این موارد به مد متوسل می شوند.

میانه از این جهت جالب است که حد کمی مقدار مشخصه متغیر را نشان می دهد که نیمی از اعضای جامعه به آن رسیده اند. بگذارید میانگین حقوق کارمندان بانک 650000 روبل باشد. هر ماه. این ویژگی را می توان تکمیل کرد اگر بگوییم نیمی از کارگران 700000 روبل حقوق دریافت کردند. و بالاتر، یعنی بیایید میانه را بگیریم حالت و میانه مشخصه های معمولی در مواردی هستند که جمعیت ها همگن و از نظر تعداد زیاد هستند.

2. یافتن حالت و میانه در یک سری تغییرات گسسته

یافتن حالت و میانه در یک سری تغییرات، که در آن مقادیر مشخصه با اعداد خاصی داده می شود، چندان دشوار نیست. جدول 1 را با توزیع خانواده ها بر اساس تعداد فرزندان در نظر بگیرید.

جدول 1. توزیع خانواده ها بر اساس تعداد فرزندان

بدیهی است که در این مثال، مد یک خانواده با دو فرزند خواهد بود، زیرا این مقدار گزینه ها با بیشترین تعداد خانواده ها مطابقت دارد. ممکن است توزیع هایی وجود داشته باشد که همه انواع به یک اندازه فراوان باشند، در این صورت هیچ مدی وجود ندارد، یا به عبارت دیگر، می توان گفت همه انواع به یک اندازه مدال هستند. در موارد دیگر، نه یک، بلکه دو گزینه ممکن است بالاترین فرکانس باشد. سپس دو حالت وجود خواهد داشت، توزیع دووجهی خواهد بود. توزیع های دو وجهی ممکن است نشان دهنده ناهمگنی کیفی جمعیت با توجه به صفت مورد مطالعه باشد.

برای یافتن میانه در یک سری تغییرات گسسته، باید مجموع فرکانس ها را به نصف تقسیم کنید و ½ به نتیجه اضافه کنید. بنابراین، در توزیع 185 خانواده بر اساس تعداد فرزندان، میانه خواهد بود: 185/2 + ½ = 93، یعنی. گزینه 93 که ردیف سفارش داده شده را به نصف تقسیم می کند. منظور از گزینه 93 چیست؟ برای اینکه بفهمید، باید فرکانس ها را جمع آوری کنید، از کوچکترین گزینه ها شروع کنید. مجموع فرکانس های گزینه 1 و 2 40 می باشد، مشخص است که 93 گزینه در اینجا وجود ندارد. اگر فراوانی گزینه 3 را به 40 اضافه کنیم، حاصل جمع برابر با 40 + 75 = 115 است. بنابراین، گزینه 93 با مقدار سوم صفت متغیر مطابقت دارد و میانه یک خانواده با دو فرزند خواهد بود. .

حالت و میانه در این مثالتطبیق. اگر مجموع فرکانس‌های زوجی داشتیم (مثلاً 184)، سپس با اعمال فرمول بالا، تعداد گزینه‌های میانه را بدست می‌آوریم، 184/2 + ½ = 92.5. از آنجایی که هیچ گزینه کسری وجود ندارد، نتیجه نشان می دهد که میانه بین گزینه های 92 و 93 در وسط قرار دارد.

3. محاسبه مد و میانه در سری تغییرات بازه

ماهیت توصیفی مد و میانه به این دلیل است که انحرافات فردی را جبران نمی کنند. آنها همیشه با یک نوع خاص مطابقت دارند. بنابراین، در صورت مشخص بودن تمام مقادیر ویژگی، حالت و میانه نیازی به محاسبات برای یافتن آنها ندارند. با این حال، در سری تغییرات بازه ای، از محاسبات برای یافتن مقدار تقریبی حالت و میانه در یک بازه زمانی خاص استفاده می شود.

برای محاسبه مقدار معینی از مقدار مدال یک علامت محصور در یک بازه، از فرمول زیر استفاده می شود:

M o \u003d X Mo + i Mo * (f Mo - f Mo-1) / ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1))،

جایی که X Mo حداقل حد فاصله مودال است.

i Mo مقدار فاصله مودال است.

fMo فرکانس بازه مودال است.

f Mo-1 - فرکانس فاصله قبل از مدال.

f Mo+1 بسامد فاصله بعد از مدال است.

محاسبه حالت را با استفاده از مثال داده شده در جدول 2 نشان خواهیم داد.

جدول 2. توزیع کارگران شرکت با توجه به اجرای استانداردهای تولید

برای یافتن حالت، ابتدا فاصله مودال سری داده شده را تعیین می کنیم. از مثال می توان دریافت که بالاترین فرکانس مربوط به بازه ای است که در آن متغیر در محدوده 100 تا 105 قرار دارد. این بازه مودال است. مقدار فاصله مودال 5 است.

با جایگزینی مقادیر عددی جدول 2 به فرمول فوق، دریافت می کنیم:

M o \u003d 100 + 5 * (104 -12) / ((104 - 12) + (104 - 98)) \u003d 108.8

معنای این فرمول به شرح زیر است: مقدار آن قسمت از بازه مودال که باید به حداقل مرز آن اضافه شود بسته به بزرگی فرکانس بازه های قبلی و بعدی تعیین می شود. در این حالت 8.8 را به 100 اضافه می کنیم. بیش از نیمی از بازه زمانی، زیرا فرکانس بازه قبلی کمتر از فرکانس بازه بعدی است.

اکنون میانه را محاسبه می کنیم. برای یافتن میانه در سری تغییرات بازه، ابتدا بازه ای را که در آن قرار دارد (فاصله میانه) تعیین می کنیم. چنین بازه ای خواهد بود که فرکانس تجمعی آن برابر یا بیشتر از نصف مجموع فرکانس ها باشد. فرکانس‌های تجمعی با جمع تدریجی فرکانس‌ها تشکیل می‌شوند که از فاصله زمانی شروع می‌شود. کوچکترین مقدارامضاء کردن. نصف مجموع فرکانس های ما 250 است (500:2). بنابراین، با توجه به جدول 3. فاصله متوسط، فاصله زمانی با ارزش دستمزد از 350000 روبل خواهد بود. تا 400000 روبل.

جدول 3. محاسبه میانه در سری تغییرات بازه

قبل از این فاصله، مجموع فرکانس های انباشته شده 160 بود. بنابراین، برای به دست آوردن مقدار میانه، لازم است 90 واحد دیگر (250 - 160) اضافه شود.

مفاهیم اساسی

برای داده های تجربی به دست آمده از نمونه، می توان سری را محاسبه کرد ویژگی های عددی (اندازه گیری ها).

Mode مقدار عددی است که بیشتر در نمونه رخ می دهد. مد گاهی اوقات به عنوان مو

به عنوان مثال، در سری مقادیر (2 6 6 8 9 9 9 10)، حالت 9 است زیرا 9 بیشتر از هر عدد دیگری رخ می دهد.

حالت بیشترین مقدار است (در این مثال، 9) و نه فراوانی وقوع آن مقدار (در این مثال، 3).

مد طبق قوانین پیدا می شود

1. در صورتی که همه مقادیر در نمونه به طور مساوی اتفاق بیفتند، در نظر گرفته می شود که این سری نمونه حالت ندارد.

به عنوان مثال، 556677 - هیچ مدی در این انتخاب وجود ندارد.

2. زمانی که دو مقدار همسایه (مجاور) فرکانس یکسانی داشته باشند و فرکانس آنها از بسامدهای هر مقدار دیگر بیشتر باشد، حالت به عنوان میانگین حسابی این دو مقدار محاسبه می شود.

به عنوان مثال، در نمونه 1 2 2 2 5 5 5 6، فرکانس مقادیر مجاور 2 و 5 یکسان و برابر با 3 است. این فرکانس از فرکانس سایر مقادیر 1 و 6 (که دارای برابر با 1).

بنابراین، حالت این سریال خواهد بود.

3) اگر دو مقدار غیر مجاور (نه مجاور) در نمونه دارای فرکانس های مساوی و بزرگتر از فرکانس های هر مقدار دیگری باشند، دو حالت متمایز می شوند. برای مثال در سری 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17 حالت های 11 و 14 می باشد که در این حالت نمونه گفته می شود دوحالته.

همچنین ممکن است به اصطلاح توزیع های چندوجهی وجود داشته باشد که بیش از دو راس (حالت) داشته باشند.

4) اگر حالت از روی مجموعه ای از داده های گروه بندی شده تخمین زده می شود، برای یافتن حالت، لازم است گروهی با بیشترین فراوانی ویژگی مشخص شود. این گروه نامیده می شود گروه مودال.

میانه - نشان داده شده است منو به عنوان مقداری تعریف می شود که در رابطه با آن حداقل 50 درصد مقدار نمونه کمتر از آن و حداقل 50 درصد بیشتر باشد.

میانه مقداری است که یک مجموعه مرتب از داده ها را به نصف تقسیم می کند.

وظیفه 1. میانه نمونه را پیدا کنید 9 3 5 8 4 11 13

راه حل ابتدا بیایید نمونه را با توجه به مقادیر موجود در آن مرتب کنیم. می‌گیریم، 3 4 5 8 9 11 13. از آنجایی که در نمونه هفت عنصر وجود دارد، عنصر چهارم به ترتیب مقداری بزرگ‌تر از سه عنصر اول و کمتر از سه عنصر آخر خواهد داشت. بنابراین میانه چهارمین عنصر خواهد بود - 8

وظیفه 2. میانه نمونه 20، 9، 13، 1، 4، 11 را بیابید.

بیایید نمونه 1، 4، 9، 11، 13، 20 را ترتیب دهیم از آنجایی که در اینجا تعدادی عنصر زوج وجود دارد، دو "وسط" وجود دارد - 9 و 13 در این مورد، میانه به عنوان میانگین حسابی این مقادیر تعریف می شود.

میانگین

میانگین حسابی یک سری n مقادیر عددیبه حساب می آید

برای نشان دادن فریبکاری این شاخص، بیایید یک مثال معروف بیاوریم: یک مادربزرگ 60 ساله با چهار نوه در یک کالسکه جای می گیرند: یک - 4 ساله، دو - 5 ساله و یک - 6 ساله. میانگین سنی حسابی همه مسافران در این کوپه 80/5 = 16 است. در یک کوپه دیگر گروهی از افراد جوان وجود دارد: دو نفر 15 ساله، یک نفر 16 ساله و دو نفر 17 ساله هستند. قدیمی ها میانگین سنی سرنشینان این کوپه نیز برابر با 80/5 = 16 است.بنابراین سرنشینان این کوپه ها در میانگین های حسابی تفاوتی ندارند. اما اگر به شاخص انحراف معیار رجوع کنیم، معلوم می شود که میانگین اسپرد نسبت به میانگین سنی در حالت اول 24.6 و در حالت دوم 1 خواهد بود.

علاوه بر این، میانگین نسبت به مقادیر بسیار کوچک یا بسیار بزرگ که با مقادیر اصلی ویژگی های اندازه گیری شده متفاوت است، کاملاً حساس است. بگذارید 9 نفر ماهیانه 4500 تا 5200 هزار دلار درآمد داشته باشند. متوسط ​​درآمد آنها 4900 دلار است، اگر فردی با درآمد 20000 دلار در ماه را به این گروه اضافه کنیم، میانگین کل گروه تغییر می کند و برابر با 6410 دلار می شود، اگرچه هیچ کس از کل نمونه (به جز یک نفر) واقعاً وجود ندارد. چنین مبلغی را دریافت می کند.

واضح است که اگر فردی با درآمد سالانه بسیار اندک نیز به این گروه اضافه شود، سوگیری مشابه، اما در جهت مخالف نیز حاصل می شود.

پراکندگی نمونه

پراکنده ( در مقیاس بزرگ) نمونه ها- تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل این سری تغییرات خاص. با حرف R مشخص شده است.

محدوده = حداکثر مقدار - حداقل مقدار

واضح است که هر چه صفت اندازه گیری شده بیشتر تغییر کند، مقدار R بیشتر است و بالعکس.

اما ممکن است دو سری نمونه دارای میانگین و دامنه یکسانی باشند اما ماهیت تغییرات این سری ها متفاوت باشد مثلاً با توجه به دو نمونه

پراکندگی

پراکندگی رایج ترین معیار پراکندگی است. متغیر تصادفی(متغیر).

پراکندگی - میانگین حسابی مربعات انحراف مقادیر یک متغیر از مقدار میانگین آن