Aritmetička progresija: što je to? Formula n-tog člana aritmetičke progresije Formula zbroja n aritmetičke progresije.
Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(8\); \(jedanaest\); \(14\)… je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog zbrajanjem tri):
U ovoj progresiji razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), pa je stoga svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije nazivaju se povećavajući se.
Međutim, \(d\) također može biti negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progresijska razlika \(d\) jednaka je minus šest.
I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju smanjujući se.
Zapis aritmetičke progresije
Progresija se označava malim latiničnim slovom.
Brojevi koji čine progresiju se nazivaju članova(ili elementi).
Označavaju se istim slovom kao i aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa po redu.
Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\) sastoji se od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.
Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)
Rješavanje zadataka aritmetičkom progresijom
U principu, gore navedene informacije već su dovoljne za rješavanje gotovo bilo kojeg problema na aritmetičkoj progresiji (uključujući one ponuđene na OGE).
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija dana je uvjetima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Riješenje:
Odgovor: \(b_5=23\)
Primjer (OGE).
Dana su prva tri člana aritmetičke progresije: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Riješenje:
|
Dobili smo prve elemente niza i znamo da je to aritmetička progresija. Odnosno, svaki se element razlikuje od susjednog istim brojem. Doznajte koji tako da od sljedećeg elementa oduzmete prethodni: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sada možemo vratiti našu progresiju na željeni (prvi negativni) element. |
|
|
Spreman. Možete napisati odgovor. |
Odgovor: \(-3\)
Primjer (OGE).
Zadano je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(...5; x; 10; 12,5...\) Odredi vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Riješenje:
|
|
Da bismo pronašli \(x\), moramo znati koliko se sljedeći element razlikuje od prethodnog, drugim riječima, razliku progresije. Nađimo ga iz dva poznata susjedna elementa: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
I sada bez problema nalazimo ono što tražimo: \(x=5+2,5=7,5\). |
|
|
Spreman. Možete napisati odgovor. |
Odgovor: \(7,5\).
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija dana je sljedećim uvjetima: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbroj prvih šest članova ove progresije.
Riješenje:
|
Moramo pronaći zbroj prvih šest članova progresije. Ali mi ne znamo njihova značenja, dan nam je samo prvi element. Stoga prvo redom izračunavamo vrijednosti, koristeći sljedeće: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Traženi iznos je pronađen. |
Odgovor: \(S_6=9\).
Primjer (OGE).
U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Riješenje:
Odgovor: \(d=7\).
Važne formule aritmetičke progresije
Kao što vidite, mnogi problemi aritmetičke progresije mogu se riješiti jednostavno razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u tom lancu dobiva se dodavanjem istog broja prethodnom (razlika progresije).
Međutim, ponekad postoje situacije kada je vrlo nezgodno riješiti "na čelu". Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već tristo osamdeset šesti \(b_(386)\). Što je to, mi \ (385 \) puta da dodamo četiri? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbroj prva sedamdeset i tri elementa. Brojanje je zbunjujuće...
Stoga se u takvim slučajevima ne rješava “na čelo”, već se koriste posebne formule izvedene za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbroj \(n\) prvih članova.
Formula za \(n\)-ti član: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj traženog elementa;
\(a_n\) je član progresije s brojem \(n\).
Ova formula nam omogućuje da brzo pronađemo barem tristoti, čak i milijunti element, znajući samo prvi i razliku progresije.
Primjer.
Aritmetička progresija dana je uvjetima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Riješenje:
Odgovor: \(b_(246)=1850\).
Formula za zbroj prvih n članova je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje
\(a_n\) je posljednji zbrojeni izraz;
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija dana je uvjetima \(a_n=3,4n-0,6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Riješenje:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Da bismo izračunali zbroj prvih dvadeset i pet elemenata, moramo znati vrijednost prvog i dvadeset petog člana. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Pronađimo sada dvadeset peti član zamjenom dvadeset pet umjesto \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Pa, sada izračunavamo potrebnu količinu bez ikakvih problema. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Odgovor je spreman. |
Odgovor: \(S_(25)=1090\).
Za zbroj \(n\) prvih članova, možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite ga formulom \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobivamo:
Formula za zbroj prvih n članova je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje
\(S_n\) – traženi zbroj \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) je prvi član koji se zbraja;
\(d\) – razlika progresije;
\(n\) - broj elemenata u zbroju.
Primjer.
Nađite zbroj prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Riješenje:
Odgovor: \(S_(33)=-231\).
Složeniji problemi aritmetičke progresije
Sada imate sve informacije koje su vam potrebne za rješavanje gotovo svakog problema aritmetičke progresije. Završimo temu razmatranjem zadataka u kojima ne treba samo primjenjivati formule, već i malo razmišljati (u matematici to može biti korisno ☺)
Primjer (OGE).
Nađite zbroj svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Riješenje:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Zadatak je vrlo sličan prethodnom. Počinjemo rješavati na isti način: prvo nađemo \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Sada bismo zamijenili \(d\) u formulu za zbroj ... i tu se pojavljuje mala nijansa - ne znamo \(n\). Drugim riječima, ne znamo koliko će termina trebati dodati. Kako saznati? Razmislimo. Prestat ćemo dodavati elemente kada dođemo do prvog pozitivnog elementa. To jest, morate saznati broj ovog elementa. Kako? Zapišimo formulu za izračun bilo kojeg elementa aritmetičke progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš slučaj. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Potrebno nam je da \(a_n\) bude veće od nule. Saznajmo za koliko \(n\) će se to dogoditi. |
|
|
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
|
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Obje strane nejednadžbe dijelimo s \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Prebacujemo minus jedan, ne zaboravljajući promijeniti znakove |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Računalstvo... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...i ispada da će prvi pozitivni element imati broj \(66\). Sukladno tome, zadnji negativ ima \(n=65\). Za svaki slučaj, provjerimo. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Dakle, moramo dodati prvih \(65\) elemenata. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Odgovor je spreman. |
Odgovor: \(S_(65)=-630,5\).
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija dana je uvjetima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nađite zbroj od \(26\) do \(42\) elementa uključivo.
Riješenje:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
U ovom zadatku također trebate pronaći zbroj elemenata, ali ne počevši od prvog, već od \(26\)-og. Nemamo formulu za to. Kako odlučiti? |
|
|
Za našu progresiju \(a_1=-33\) i razliku \(d=4\) (uostalom, dodajemo četiri prethodnom elementu da bismo pronašli sljedeći). Znajući to, nalazimo zbroj prvih \(42\)-uh elemenata. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Sada zbroj prvih \(25\)-tih elemenata. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
I na kraju izračunavamo odgovor. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Odgovor: \(S=1683\).
Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmatrali u ovom članku zbog njihove male praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.
Što je bit formule?
Ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji NJEGOVIM BROJEM" n" .
Naravno, morate znati prvi pojam a 1 i razlika u progresiji d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određeni napredak.
Nije dovoljno zapamtiti (ili prevariti) ovu formulu. Potrebno je usvojiti njegovu bit i primijeniti formulu u raznim problemima. Da, i ne zaboravite u pravo vrijeme, da ...) Kako ne zaboraviti- Ne znam. I ovdje kako zapamtiti Ako treba, dat ću vam savjet. Za one koji savladaju lekciju do kraja.)
Dakle, pozabavimo se formulom n-tog člana aritmetičke progresije.
Što je uopće formula - zamišljamo.) Što je aritmetička progresija, broj člana, razlika progresije - jasno je rečeno u prethodnoj lekciji. Baci oko ako nisi čitao. Tamo je sve jednostavno. Ostaje shvatiti što n-ti član.
Progresija se općenito može napisati kao niz brojeva:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo sa a 5, ako je sto dvadeseti - od a 120.
Kako općenito definirati bilo kojičlan aritmetičke progresije, s bilo koji broj? Jako jednostavno! Kao ovo:
a n
To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Pod slovom n kriju se odjednom svi brojevi članova: 1, 2, 3, 4 i tako dalje.
I što nam takav rekord daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...
Ova nam notacija daje moćan alat za rad s aritmetičkim progresijama. Koristeći notni zapis a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I hrpa zadataka za rješavanje u progresiji. Vidjet ćete dalje.
U formuli n-tog člana aritmetičke progresije:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- prvi član aritmetičke progresije;
n- broj člana.
Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1; d I n. Oko ovih parametara sve se zagonetke vrte u progresiji.
Formula n-tog člana također se može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, u problemu se može reći da je progresija dana uvjetom:
a n = 5 + (n-1) 2.
Takav problem može čak i zbuniti ... Nema serije, nema razlike ... Ali, uspoređujući stanje s formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 \u003d 5 i d \u003d 2.
A može biti još ljući!) Ako uzmemo isti uvjet: a n = 5 + (n-1) 2, da, otvorite zagrade i navedite slične? Dobivamo novu formulu:
an = 3 + 2n.
Ovaj Samo ne općenito, već za određeni napredak. Tu leži zamka. Neki ljudi misle da je prvi član trojka. Iako je u stvarnosti prvi član pet ... Malo niže ćemo raditi s tako modificiranom formulom.
U zadacima za napredovanje postoji još jedna oznaka - a n+1. Ovo je, pogađate, "n plus prvi" član progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj za jedan veći od broja n. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo za a n peti mandat, dakle a n+1 bit će šesti član. itd.
Najčešće oznaka a n+1 javlja se u rekurzivnim formulama. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Pretpostavimo da nam je dana aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. I kako odmah brojati, recimo dvadeseti pojam, a 20? Ali nema šanse!) Dok se 19. mandat ne zna, 20. se ne može računati. To je temeljna razlika između rekurzivne formule i formule n-tog člana. Rekurzivno radi samo kroz prethodničlan, a formula n-tog člana - kroz prvi i dopušta odmah pronaći bilo kojeg člana prema njegovom broju. Ne računajući cijeli niz brojeva po redu.
U aritmetičkoj progresiji, rekurzivna formula se lako može pretvoriti u regularnu. Prebrojite par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi član a 1, napišite formulu u uobičajenom obliku i radite s njom. U GIA se takvi zadaci često nalaze.
Primjena formule n-tog člana aritmetičke progresije.
Prvo, pogledajmo izravnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:
S obzirom na aritmetičku progresiju (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.
Ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na temelju značenja aritmetičke progresije. Dodajte, da dodajte ... Sat ili dva.)
A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete tempirati.) Mi odlučujemo.
Uvjeti daju sve podatke za korištenje formule: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ostaje za vidjeti što n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Ovdje pišemo:
Molim obratite pažnju! Umjesto indeksa n pojavio se konkretan broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije. broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je značenje n= 121 zamijenit ćemo dalje u formulu, u zagradi. Zamijenite sve brojeve u formuli i izračunajte:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
To je sve. Jednako tako brzo bi se mogao pronaći petsto deseti član, a tisuću i treći bilo koji. Umjesto toga stavljamo nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradi, i smatramo.
Dopustite mi da vas podsjetim na bit: ova formula vam omogućuje da pronađete bilo kojičlan aritmetičke progresije NJEGOVIM BROJEM" n" .
Riješimo problem pametnije. Recimo da imamo sljedeći problem:
Nađite prvi član aritmetičke progresije (a n) ako je a 17 =-2; d=-0,5.
Ako budete imali poteškoća, predložit ću vam prvi korak. Zapiši formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Napišite rukom, izravno u svoju bilježnicu:
| a n = a 1 + (n-1)d |
I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a što nedostaje? Dostupno d=-0,5, postoji sedamnaesti član ... Sve? Ako mislite da je to sve, onda ne možete riješiti problem, da ...
Imamo i broj n! U stanju a 17 =-2 skriven dvije mogućnosti. To je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). Oni. n=17. Ta "sitnica" često promakne pokraj glave, a bez nje, (bez "sitnice", ne glave!) problem se ne može riješiti. Iako ... i bez glave.)
Sada možemo samo glupo zamijeniti naše podatke u formulu:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
O da, a 17 znamo da je -2. U redu, stavimo to u:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
To je, u biti, sve. Preostaje izraziti prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunati. Dobijate odgovor: a 1 = 6.
Takva tehnika - pisanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - puno pomaže u jednostavnim zadacima. Pa, morate, naravno, moći izraziti varijablu iz formule, ali što učiniti!? Bez ove vještine matematika se uopće ne može proučavati ...
Još jedan popularan problem:
Odredite razliku aritmetičke progresije (a n) ako je a 1 =2; a 15 =12.
Što radimo? Iznenadit ćete se, mi pišemo formulu!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Razmotrite ono što znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (poseban naglasak!) n=15. Slobodno zamijenite u formuli:
12=2 + (15-1)d
Idemo računati.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ovo je točan odgovor.
Dakle, zadaci a n, a 1 I d odlučio. Ostaje naučiti kako pronaći broj:
Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.
Zamijenimo poznate količine u formulu n-tog člana:
a n = 12 + (n-1) 3
Ovdje su na prvi pogled nepoznate dvije veličine: a n i n. Ali a n je neki član progresije s brojem n... A ovaj član progresije znamo! 99 je. Ne znamo njegov broj. n, pa treba pronaći i ovaj broj. Zamijenite progresivni član 99 u formulu:
99 = 12 + (n-1) 3
Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.
A sada problem na istu temu, ali kreativniji):
Odredite hoće li broj 117 biti član aritmetičke progresije (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Napišimo formulu ponovno. Što, nema opcija? Hm... Zašto nam trebaju oči?) Vidimo li prvi član progresije? Mi vidimo. Ovo je -3,6. Možete slobodno napisati: a 1 \u003d -3,6. Razlika d može se odrediti iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Da, napravili smo najjednostavniju stvar. Ostaje još da se pozabavimo nepoznatim brojem n a nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku barem se znalo da je zadan član progresije. Ali kod nas to ni ne znamo... Kako biti!? Pa, kako biti, kako biti ... Uključite svoje kreativne sposobnosti!)
Mi pretpostaviti da je 117 ipak član naše progresije. S nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. Oni. pišemo formulu (da-da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobivamo:
Ups! Broj je ispao razlomak! Sto jedan i pol. I razlomačke brojeve u progresijama ne može biti. Kakav zaključak izvlačimo? Da! Broj 117 niječlan naše progresije. Nalazi se negdje između 101. i 102. člana. Ako se broj pokazao prirodnim, tj. pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: Ne.
Zadatak temeljen na stvarnoj verziji GIA:
Aritmetička progresija dana je uvjetom:
a n \u003d -4 + 6,8n
Pronađite prvi i deseti član progresije.
Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Neka vrsta formule ... Događa se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula n-tog člana aritmetičke progresije! Ona također dopušta pronađite bilo koji član progresije po njegovom broju.
Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri, fatalno je pogrešno!) Jer je formula u zadatku modificirana. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriven. Ništa, sad ćemo to pronaći.)
Kao iu prethodnim zadacima, vršimo zamjenu n=1 u ovu formulu:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Ovdje! Prvi član je 2,8, a ne -4!
Slično, tražimo deseti član:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
To je sve.
A sada, za one koji su pročitali do ovih redaka, obećani bonus.)
Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji GIA ili Jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu n-tog člana aritmetičke progresije. Nešto mi pada na pamet, ali nekako nesigurno... Da li n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?
Smiriti! Ovu je formulu lako izvesti. Ne baš strogo, ali svakako dovoljno za samopouzdanje i ispravnu odluku!) Za zaključak je dovoljno sjetiti se elementarnog značenja aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo trebate nacrtati sliku. Radi jasnoće.
Nacrtamo numeričku os i na njoj označimo prvu. drugi, treći itd. članova. I primijetite razliku d između članova. Kao ovo:
Gledamo sliku i razmišljamo: čemu je jednak drugi član? Drugi jedan d:
a 2 =a 1 + 1 d
Što je treći pojam? Treći pojam je prvi pojam plus dva d.
a 3 =a 1 + 2 d
shvaćate li Ne stavljam neke riječi podebljane uzalud. U redu, još jedan korak.)
Što je četvrti pojam? Četvrta pojam je prvi pojam plus tri d.
a 4 =a 1 + 3 d
Vrijeme je da shvatimo da broj praznina, tj. d, Stalno jedan manje od broja člana kojeg tražite n. Odnosno do broja n, broj praznina htjeti n-1. Dakle, formula će biti (bez opcija!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih problema u matematici. Ne zanemarujte slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućuje vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike s rješenjem - jednadžbe, nejednadžbe, sustavi itd. Ne možete staviti sliku u jednadžbu...
Zadaci za samostalno rješavanje.
Za zagrijavanje:
1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Pronađite 3.
Savjet: prema slici, problem se rješava za 20 sekundi ... Prema formuli, ispada teže. Ali za svladavanje formule to je korisnije.) U odjeljku 555 ovaj je problem riješen i slikom i formulom. Osjeti razliku!)
I ovo više nije zagrijavanje.)
2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Nađi a 3 .
Što, nevoljkost crtanja slike?) Ipak! Bolje je u formuli, da ...
3. Aritmetička progresija dana je uvjetom:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite stotinu dvadeset peti član ove progresije.
U ovom se zadatku napredovanje daje na ponavljajući način. Ali računajući do stotinu dvadeset i petog člana... Ne može svatko učiniti takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!
4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Odredite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.
5. Prema uvjetu zadatka 4. pronađite zbroj najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.
6. Umnožak petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije je -2,5, a zbroj trećeg i jedanaestog člana je nula. Pronađite 14.
Nije najlakši zadatak, da ...) Ovdje metoda "na prstima" neće raditi. Morate pisati formule i rješavati jednadžbe.
Odgovori (u neredu):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Dogodilo se? Lijepo je!)
Ne ide sve? Događa se. Usput, u posljednjem zadatku postoji jedna suptilna točka. Bit će potrebna pažnja pri čitanju problema. I logika.
O rješenju svih ovih problema detaljno se govori u odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilni trenutak za šesti, i opći pristupi rješavanju bilo kojeg problema za formulu n-tog člana - sve je naslikano. Preporučam.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Netko s oprezom tretira riječ "progresija", kao vrlo složen pojam iz dijelova više matematike. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksi šaltera (gdje i dalje ostaju). A razumjeti suštinu (a u matematici nema ništa važnije od "razumijevanja suštine") aritmetičkog niza nije tako teško, analizirajući nekoliko elementarnih koncepata.
Matematički niz brojeva
Uobičajeno je da se numerički niz naziva niz brojeva, od kojih svaki ima svoj broj.
i 1 je prvi član niza;
i 2 je drugi član niza;
i 7 je sedmi član niza;
i n je n-ti član niza;
Međutim, ne zanima nas proizvoljan skup brojki i brojeva. Usredotočit ćemo se na numerički niz u kojem je vrijednost n-tog člana povezana s njegovim rednim brojem ovisnošću koja se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.
a - vrijednost člana numeričkog niza;
n je njegov serijski broj;
f(n) je funkcija gdje je ordinal u numeričkom nizu n argument.
Definicija
Aritmetičkom progresijom obično se naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:
a n - vrijednost tekućeg člana aritmetičke progresije;
a n+1 - formula sljedećeg broja;
d - razlika (određeni broj).
Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član niza koji se razmatra biti veći od prethodnog, a takva aritmetička progresija će biti rastuća.
Na donjem grafikonu lako je vidjeti zašto se niz brojeva naziva "rastući".
U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Vrijednost navedenog člana
Ponekad je potrebno odrediti vrijednost nekog proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To možete učiniti tako da uzastopno izračunate vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, od prvog do željenog. Međutim, ovaj način nije uvijek prihvatljiv ako je, primjerice, potrebno pronaći vrijednost pettisućitog ili osmomilijuntog člana. Tradicionalni izračun će trajati dugo. Međutim, određena aritmetička progresija može se istražiti pomoću određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbroj prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnožen s brojem željenog člana, minus jedan .
Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.
Primjer izračuna vrijednosti zadanog člana
Riješimo sljedeći problem pronalaženja vrijednosti n-tog člana aritmetičke progresije.
Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:
Prvi član niza je 3;
Razlika u nizu brojeva je 1,2.
Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 članova
Rješenje: za određivanje vrijednosti zadanog člana koristimo se formulom:
a(n) = a1 + d(n-1)
Zamjenom podataka iz izjave problema u izraz, imamo:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odgovor: 214. član niza jednak je 258,6.
Prednosti ove metode izračuna su očite - cijelo rješenje ne zauzima više od 2 retka.
Zbroj zadanog broja članova
Vrlo često, u određenom aritmetičkom nizu, potrebno je odrediti zbroj vrijednosti nekih njegovih segmenata. Također ne treba izračunavati vrijednosti svakog izraza i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je broj članova čiji se zbroj treba pronaći mali. U drugim slučajevima prikladnije je koristiti sljedeću formulu.
Zbroj članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbroju prvog i n-tog člana, pomnoženom s brojem člana n i podijeljenom s dva. Ako u formuli vrijednost n-tog člana zamijenimo izrazom iz prethodnog stavka članka, dobivamo:
Primjer izračuna
Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:
Prvi član niza je nula;
Razlika je 0,5.
U zadatku se traži da se odredi zbroj članova niza od 56 do 101.
Riješenje. Upotrijebimo formulu za određivanje zbroja progresije:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Prvo odredimo zbroj vrijednosti 101 člana progresije zamjenom zadanih uvjeta našeg problema u formulu:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Očito, da bi se saznao zbroj članova progresije od 56. do 101. potrebno je od S 101 oduzeti S 55.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Dakle, zbroj aritmetičke progresije za ovaj primjer je:
s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5
Primjer praktične primjene aritmetičke progresije
Na kraju članka vratimo se na primjer aritmetičkog niza danog u prvom odlomku – taksimetar (taksimetar). Razmotrimo takav primjer.
Ulazak u taksi (koji uključuje 3 km) košta 50 rubalja. Svaki sljedeći kilometar plaća se po stopi od 22 rublja / km. Dužina putovanja 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.
1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.
30 - 3 = 27 km.
2. Daljnji izračun nije ništa drugo nego raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.
Članski broj je broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).
Vrijednost člana je zbroj.
Prvi izraz u ovom problemu bit će jednak a 1 = 50 rubalja.
Razlika progresije d = 22 p.
broj koji nas zanima - vrijednost (27 + 1)-tog člana aritmetičke progresije - očitanje brojila na kraju 27. kilometra - 27,999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Izračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dugo razdoblje temelje se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji je duljina orbite geometrijski ovisna o udaljenosti nebeskog tijela od svjetiljke. Osim toga, različiti numerički nizovi uspješno se koriste u statistici i drugim primijenjenim granama matematike.
Druga vrsta niza brojeva je geometrijska
Geometrijska progresija karakterizirana je velikom brzinom promjene u usporedbi s aritmetičkom. Nije slučajno da se u politici, sociologiji, medicini često, kako bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tijekom epidemije, kaže da se proces razvija eksponencijalno.
N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je 2, odnosno:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - vrijednost tekućeg člana geometrijske progresije;
b n+1 - formula sljedećeg člana geometrijske progresije;
q je nazivnik geometrijske progresije (konstantan broj).
Ako je grafikon aritmetičke progresije ravna linija, tada geometrijski crta nešto drugačiju sliku:
Kao i u slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na potenciju n umanjenu za jedan:
Primjer. Imamo geometrijsku progresiju s prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Nađite 5. član progresije
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
Zbroj zadanog broja članova također se izračunava posebnom formulom. Zbroj prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljen s nazivnikom umanjenim za jedan:
Ako se b n zamijeni pomoću gore opisane formule, vrijednost zbroja prvih n članova razmatranog niza brojeva poprimit će oblik:
Primjer. Geometrijska progresija počinje s prvim članom jednakim 1. Nazivnik je postavljen na 3. Nađimo zbroj prvih osam članova.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Kada se u srednjoj školi uči algebra (9. razred), jedna od važnih tema je proučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom ćemo članku razmotriti aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.
Što je aritmetička progresija?
Da bismo to razumjeli, potrebno je dati definiciju progresije koja se razmatra, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.
Aritmetička ili algebarska progresija je takav skup uređenih racionalnih brojeva, čiji se svaki član razlikuje od prethodnog za neku konstantnu vrijednost. Ova se vrijednost naziva razlika. To jest, znajući bilo koji član uređenog niza brojeva i razliku, možete vratiti cijelu aritmetičku progresiju.
Uzmimo primjer. Sljedeći niz brojeva bit će aritmetička progresija: 4, 8, 12, 16, ..., budući da je razlika u ovom slučaju 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ali skup brojeva 3, 5, 8, 12, 17 više se ne može pripisati razmatranoj vrsti progresije, budući da razlika za njega nije konstantna vrijednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Važne formule
Sada dajemo osnovne formule koje će biti potrebne za rješavanje problema pomoću aritmetičke progresije. Neka n označava n-ti član niza, gdje je n cijeli broj. Razlika je označena latiničnim slovom d. Tada su sljedeći izrazi istiniti:
- Za određivanje vrijednosti n-tog člana prikladna je formula: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Za određivanje zbroja prvih n članova: S n = (a n + a 1)*n/2.
Da biste razumjeli sve primjere aritmetičke progresije s rješenjem u 9. razredu, dovoljno je zapamtiti ove dvije formule, budući da su svi problemi ove vrste izgrađeni na njihovoj upotrebi. Također, ne zaboravite da je razlika progresije određena formulom: d = a n - a n-1 .
Primjer #1: Pronalaženje nepoznatog člana
Dajemo jednostavan primjer aritmetičke progresije i formule koje se moraju koristiti za rješavanje.
Neka je dan niz 10, 8, 6, 4, ... potrebno je u njemu pronaći pet članova.
Već iz uvjeta zadatka proizlazi da su prva 4 člana poznata. Peti se može definirati na dva načina:
- Prvo izračunajmo razliku. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Slično, mogu se uzeti bilo koja druga dva pojma koji stoje jedan pored drugog. Na primjer, d = 4 - 6 = -2. Pošto je poznato da je d \u003d a n - a n-1, onda je d \u003d a 5 - a 4, odakle dobivamo: a 5 \u003d a 4 + d. Zamjenjujemo poznate vrijednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Druga metoda također zahtijeva poznavanje razlike dotične progresije, tako da je prvo morate odrediti, kao što je prikazano gore (d = -2). Znajući da je prvi član a 1 = 10, koristimo formulu za n broj niza. Imamo: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Zamjenom n = 5 u zadnji izraz, dobivamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Kao što vidite, oba rješenja vode do istog rezultata. Imajte na umu da je u ovom primjeru razlika d progresije negativna. Takvi se nizovi nazivaju padajućim jer je svaki naredni član manji od prethodnog.
Primjer #2: razlika u progresiji
Sada malo zakomplicirajmo zadatak, dajmo primjer kako
Poznato je da je u nekima 1. član jednak 6, a 7. član jednak 18. Potrebno je pronaći razliku i taj niz vratiti na 7. član.
Upotrijebimo formulu za određivanje nepoznatog člana: a n = (n - 1) * d + a 1 . U njega zamijenimo poznate podatke iz uvjeta, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza lako možete izračunati razliku: d = (18 - 6) / 6 = 2. Time je prvi dio zadatka riješen.
Da biste vratili niz na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d itd. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 i 7 = 18.
Primjer #3: napredovanje
Zakomplicirajmo stanje problema još više. Sada morate odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Možemo navesti sljedeći primjer: dana su dva broja, npr. 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da između njih stanu još tri člana.
Prije nego što počnete rješavati ovaj problem, potrebno je razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzeti u budućoj progresiji. Budući da će između njih biti još tri člana, zatim 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Nakon što smo to utvrdili, prelazimo na zadatak koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti izraz koristimo formulu, dobivamo: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Ovdje razlika nije cjelobrojna vrijednost, već je to racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.
Dodajmo sada pronađenu razliku 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobivamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, koji se poklapao s uvjetom problema.
Primjer #4: Prvi član progresije
Nastavljamo davati primjere aritmetičke progresije s rješenjem. U svim prethodnim zadacima bio je poznat prvi broj algebarske progresije. Sada razmotrite problem drugačijeg tipa: neka su dana dva broja, gdje je 15 = 50 i 43 = 37. Potrebno je pronaći od kojeg broja počinje ovaj niz.
Formule koje su do sada korištene pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. Ništa se ne zna o ovim brojevima u uvjetu zadatka. Ipak, ispišimo izraze za svaki pojam o kojem imamo informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednadžbe u kojima su 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sustava linearnih jednadžbi.
Navedeni sustav je najlakše riješiti ako u svakoj jednadžbi izrazite 1, a zatim usporedite dobivene izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavajući ove izraze, dobivamo: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odakle razlika d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (dana su samo 3 decimalna mjesta).
Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Ako postoje dvojbe oko rezultata, možete ga provjeriti, npr. odrediti 43. član progresije koji je naveden u uvjetu. Dobivamo: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Mala pogreška je zbog činjenice da je u izračunima korišteno zaokruživanje na tisućinke.
Primjer #5: Zbroj
Sada pogledajmo neke primjere s rješenjima za zbroj aritmetičke progresije.
Neka je zadana numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbroj 100 ovih brojeva?
Zahvaljujući razvoju računalne tehnologije ovaj se problem može riješiti, odnosno redom zbrajati sve brojeve, što će računalo učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pozornost da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Primjenom formule za zbroj dobivamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Zanimljivo je napomenuti da se ovaj problem naziva "Gaussov", budući da ga je početkom 18. stoljeća slavni Nijemac, još u dobi od samo 10 godina, uspio riješiti u svom umu u nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbroj algebarske progresije, ali je primijetio da ako zbrojite parove brojeva koji se nalaze na rubovima niza, uvijek ćete dobiti isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., a budući da će ti zbrojevi biti točno 50 (100 / 2), onda je za točan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.
Primjer #6: zbroj članova od n do m
Još jedan tipičan primjer zbroja aritmetičke progresije je sljedeći: zadan je niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., trebate pronaći koliki će biti zbroj njegovih članova od 8 do 14.
Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo uzastopno zbrajanje. Budući da ima malo pojmova, ova metoda nije dovoljno naporna. Ipak, predlaže se riješiti ovaj problem drugom metodom, koja je univerzalnija.
Ideja je dobiti formulu za zbroj algebarske progresije između članova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbroj:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Budući da je n > m, očito je da zbroj 2 uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između tih zbrojeva, i dodamo joj član a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzima od zbroja S n), tada dobivamo potreban odgovor na zadatak. Imamo: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobivamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Dobivena formula je donekle glomazna, međutim zbroj S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobivamo: S mn = 301.
Kao što je vidljivo iz gornjih rješenja, svi zadaci temelje se na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbroj skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporuča se pažljivo pročitati uvjet, jasno razumjeti što želite pronaći i tek onda nastaviti s rješavanjem.
Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih izračuna, onda trebate učiniti upravo to, jer je u tom slučaju vjerojatnost pogreške manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6 moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i razdvojite opći zadatak na zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).
Ako postoje sumnje u dobiveni rezultat, preporuča se provjeriti ga, kao što je učinjeno u nekim od navedenih primjera. Kako pronaći aritmetičku progresiju, saznali smo. Nakon što to shvatite, nije tako teško.
Učitavam...