Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable. Formula matematičkog očekivanja

Karakteristike DSV-a i njihovih svojstava. Matematičko očekivanje, disperzija, brzina

Zakon o distribuciji u potpunosti karakterizira slučajni iznos. Međutim, kada je nemoguće pronaći zakon o distribuciji, ili to nije potrebno, moguće je ograničiti se na pronalaženje vrijednosti pod nazivom numeričke karakteristike nasumična varijabla, Te vrijednosti određuju određenu srednju vrijednost oko koje su grupirane vrijednosti slučajne varijance, a stupanj njihovog raspršenja oko ovog prosjeka.

Matematičko očekivanje Diskretna slučajna varijabla naziva se količina radova svih mogućih vrijednosti slučajne varijance na njihovu vjerojatnost.

Matematičko očekivanje postoji ako je red koji stoji u pravom dijelu jednakosti apsolutno konvergira.

Što se tiče vjerojatnosti, može se reći da je matematičko očekivanje približno jednaka prosječnim aritmetičkim opaženim vrijednostima slučajne varijable.

Primjer. Poznat je zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Pronađite matematičko očekivanje.

Odluka:

9.2 Svojstva matematičkog očekivanja

1. Matematičko očekivanje trajne vrijednosti jednaka je najzantalanku.

2. Stalni multiplikator može se napraviti za znak matematičkog očekivanja.

3. Matematičko očekivanje rada dviju nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.

Ova nekretnina vrijedi za proizvoljan broj slučajnih varijabli.

4. Matematička očekivanja zbroja dvije slučajne varijable jednaka je zbroju matematičkih očekivanja komponenti.

Ova nekretnina vrijedi i za proizvoljan broj slučajnih varijabli.

Neka n neovisnih testova, vjerojatnost pojave događaja i u kojem r.

Teorema. Matematičko očekivanje M (x) Broj događaja i N neovisnih testova jednak je proizvodu broja testova po vjerojatnosti događaja u svakom testu.

Primjer. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable Z ako matematička očekivanja X i Y: m (X) \u003d 3, M (Y) \u003d 2, Z \u003d 2x + 3y su poznati.

Odluka:

9.3 Disperzija diskretne slučajne varijable

Međutim, matematičko očekivanje ne može u potpunosti karakterizirati slučajni postupak. Osim matematičkih očekivanja, potrebno je uvesti vrijednost koja karakterizira odstupanje slučajne varijance iz matematičkog očekivanja.

Ovo odstupanje je jednaka razlici između slučajne varijable i njegovog matematičkog očekivanja. U tom slučaju, matematičko čekanje odstupanja je nula. To se objašnjava činjenicom da su neka moguća odstupanja pozitivna, drugi su negativni, a kao rezultat njihove uzajamne otplate, ona se ispadne iz nule.

Disperzija (disperzija) Diskretna slučajna varijabla naziva se matematička čeka na kvadrat odstupanja slučajne varijable od matematičkog očekivanja.

U praksi, ova metoda izračunavanja disperzije je nezgodna, jer vodi do velike količine Slučajne varijable na glomazne izračune.

Stoga se primjenjuje druga metoda.

Teorema. Disperzija je jednaka razlici između matematičkog očekivanja kvadrata slučajne varijable X i kvadrata matematičkog očekivanja.

Dokaz. S činjenicom da se matematičko očekivanje M (X) i kvadrat matematičkog očekivanja M2 (X) - trajne vrijednosti, mogu se napisati:

Primjer. Pronađite disperziju diskretne slučajne varijable koju daje zakon o distribuciji.

Odluka :.

9.4 Svojstva disperzije

1. Disperzija konstantne vrijednosti je nula. ,

2. Stalni multiplikator može se napraviti za disperzijski znak, jesti u kvadrat. ,

3. Disperzija zbroja dviju nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je količini disperzija tih vrijednosti. ,

4. Disperzija razlike od dvije neovisne slučajne varijable jednake je količini disperzija tih vrijednosti. ,

Teorema. Disperzija broja događaja A u neovisnim testovima, u svakom od kojih je vjerojatnost izglede događaja konstantna, jednaka je proizvodu broja testova o vjerojatnosti izgleda i krivnje događaja u svakoj test.

9.5 Prosječna četverostruka odstupanja diskretne slučajne varijable

Srednja kvadratna devijacija Slučajna varijacija naziva se kvadratni korijen iz disperzije.

Teorema. Prosječna kvadratna odstupanja iznosa konačnog broja međusobno neovisnih slučajnih varijabli jest korijen Od zbroja kvadrata prosječnih kvadratnih odstupanja tih količina.

Zakon o distribuciji u potpunosti karakterizira slučajni iznos. Međutim, zakon distribucije je nepoznat i mora biti ograničen na manje informacija. Ponekad je još više isplativo za korištenje brojeva koji opisuju slučajnu vrijednost ukupno, takve brojeve se nazivaju numeričke karakteristike nasumična varijabla. Važna numerička karakteristika uključuje matematičko očekivanje.

Matematičko očekivanje, kao što će se dalje prikazati, približno jednaka prosječnoj vrijednosti slučajne varijable. Da biste riješili mnoge zadatke, dovoljno je znati matematičko očekivanje. Na primjer, ako je poznato da je matematičko očekivanje broja slomljenih točaka u prvoj strelici veći od drugog, prve strelice u prosjeku kucaju više bodova od druge, i stoga se bolje puca.

Definicija4.1: Matematičko očekivanje Diskretna slučajna varijanca poziva količinu proizvoda svih mogućih vrijednosti za njihove vjerojatnosti.

Neka slučajna vrijednost X. može uzeti samo vrijednosti x 1, x 2, ... x nčije su vjerojatnosti jednake p 1, p 2, ... p n.Zatim matematičko očekivanje M (X.) Nasumična varijabla X. Određena jednakošću

M (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n.

Esla diskretna slučajna vrijednost X. uzima određeni skup mogućih vrijednosti, a zatim

,

Štoviše, matematičko očekivanje postoji ako je red na desnoj strani jednakosti apsolutno konvergira.

Primjer.Pronađite matematičko očekivanje broja događaja A.u jednom testu, ako je vjerojatnost događaja A. jednak p..

Odluka: Slučajna vrijednost X. - broj događaja A. ima distribuciju Bernoullija, tako da

Na ovaj način, matematička očekivanja broja događaja u jednom testu jednaka je vjerojatnosti ovog događaja..

Probabilističko značenje matematičkog očekivanja

Neka proizvedena n. Testovi u kojima slučajna vrijednost X. Usvojen m 1. Nekad vrijednost x 1, m 2. Nekad vrijednost x 2 ,…, m K. Nekad vrijednost x Prijevodii m 1 + m 2 + ... + m k \u003d n, Zatim zbroj svih donesenih vrijednosti X., jednak x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + X K m K .

Aritmetički prosjek svih vrijednosti usvojenih slučajnim varijabla bit će

Stav m i / n- relativna frekvencija W i. Vrijednost x I.približno jednaka vjerojatnosti događaja p I.gdje pa

Probabilističko značenje dobivenog rezultata je: matematička očekivanja približno jednaka (točnije, to je veći broj testova) srednja aritmetika promatrala je slučajne vrijednosti.

Svojstva matematičkog očekivanja

Svojstvo1:Matematičko očekivanje trajne vrijednosti jednaka je najzantalanku

Svojstvo2:Trajni multiplikator može se napraviti za znak matematičkog očekivanja.

Definicija4.2: Dvije slučajne varijable nazvan neovisanAko zakon distribucije jednog od njih ne ovisi o mogućim vrijednostima primljene druge vrijednosti. Inače slučajne varijable ovise o.

Definicija4.3: Nekoliko slučajnih varijabli Poziv međusobno neovisniAko zakoni raspodjele bilo kojeg broja ne ovise o tome koji su moguće vrijednosti preostale vrijednosti.

Svojstvo3:Matematičko očekivanje rada dvaju neovisnih slučajnih varijabli jednaka je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.

Posljedica: Matematičko očekivanje rada nekoliko međusobno neovisnih slučajnih varijabli jednaka je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.

Svojstvo4:Matematička očekivanja suma od dvije slučajne varijable jednaka je zbroju njihovih matematičkih očekivanja.

Posljedica: Matematička očekivanja suma od nekoliko slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih matematičkih očekivanja.

Primjer.Izračunajte matematičko očekivanje binomial slučajne varijable X -brojevi događaja A. u n. eksperimenti.

Odluka: Ukupni broj X. Nastupe događaja A. U ovim testovima, sastoji se od broja događaja u pojedinačnim testovima. Uvodimo slučajne varijable X I. - broj događaja u i.Testovi koji su bernoučivni slučajni vrijednosti s matematičkim očekivanjima gdje , Vlasništvo matematičkog očekivanja imamo

Na ovaj način, matematičko očekivanje binomne distribucije s parametrima n i p jednaka je proizvodu NP.

Primjer.Vjerojatnost udarca cilja pri snimanju s pištoljem p \u003d 0,6.Pronađite matematičko očekivanje ukupnog broja pogodaka ako se proizvode 10 snimaka.

Odluka: Svaki metak ne ovisi o ishodima drugih snimaka, tako da su događaji koji se razmatraju neovisni i dakle, željeno matematičko očekivanje

Matematička očekivanja je definicija

Mat čeka jedan od najvažniji pojmovi u matematička statistika i teorija vjerojatnosti karakteriziraju raspodjelu vrijednosti ili vjerojatnost nasumična varijabla. Obično se izražava kao prosječne težine Sve moguće parametre slučajne varijable. Široko korišteno pri provođenju tehničke analize, istraživanja numerički redovi, proučavanje kontinuiranih i dugotrajnih procesa. Važno je pri procjeni rizika, predviđanje pokazatelja cijena u trgovini na financijskim tržištima, koristi se u razvoju strategija i metoda igre taktike u teorija kockanja.

Čekao - ovo jeprosječna vrijednost slučajne varijable, distribucije vjerojatnost Slučajna varijacija se smatra u teoriji vjerojatnosti.

Mat čekamjera prosječne vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti. Mat čeka na slučajnu varijablu x. označava M (x).

Matematičko očekivanje (srednja vrijednost stanovništva) je

Mat čeka

Mat čeka U teoriji vjerojatnosti, ponderirana prosječna vrijednost svih mogućih vrijednosti koje ova slučajna vrijednost može potrajati.

Mat čekakoličina radova svih mogućih vrijednosti slučajnih varijacija na vjerojatnost tih vrijednosti.

Matematičko očekivanje (srednja vrijednost stanovništva) je

Mat čeka Prosječna korist od jednog ili drugog rješenja, pod uvjetom da se takva otopina može razmotriti u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti.

Mat čekau teoriji kockanja, količina dobitaka koja može zaraditi ili izgubiti špekulant, u prosjeku, na svakoj stopi. U kockarskom jeziku Špekulantni Ponekad se naziva "prednost" Špekulantni"(Ako je pozitivan za špekulatore) ili" prednost kasina "(ako je negativan za spekulacije).

Matematičko očekivanje (srednja vrijednost stanovništva) je

Svaki od njih, zasebno unesena vrijednost u potpunosti je određena njegovom distribucijskom funkcijom. Također, za rješavanje praktičnih zadataka, dovoljno je znati nekoliko numeričkih karakteristika, zahvaljujući kojem postoji mogućnost da prezentiraju glavne značajke slučajne varijable u kratkom obliku.

Te se vrijednosti prvenstveno nazivaju. očekivana vrijednost i disperzija .

Očekivana vrijednost - prosječnu vrijednost slučajne varijance u teoriji vjerojatnosti. Označava kako.

Najviše. jednostavan način Matematičko očekivanje slučajne varijable X (w), naći kao sastavniLebesgue u odnosu na vjerojatnost R izvor probabilistički prostor

Još uvijek pronalazite matematičko očekivanje količine integralni lebesgue iz h. Distribucijom vjerojatnosti H. Vrijednost X.:

gdje - skup svih mogućih vrijednosti X..

Matematičko očekivanje funkcija iz slučajne varijable X. Zaključana distribucijom H.. na primjer, ako a X. - slučajna vrijednost s vrijednostima u i f (x) - nedvosmislen borelevskayafunkcija H. , onda:

Ako a F (x) - Raspodjela funkcija X.Tada je zamišljena matematička očekivanja sastavniLebesga - Smetnje (ili Riemann - Stilly):

u ovom slučaju, integljivost X. u smislu ( * ) odgovara cjelobrojnom udovcu

U određenim slučajevima, ako X. Ima diskretna distribucija S vjerojatnim vrijednostima x Prijevodi, k \u003d 1, 2, i vjerojatnosti, onda

ako a X. Ima apsolutno kontinuiranu distribuciju s gustoćom vjerojatnosti p (x)T.

u isto vrijeme, postojanje matematičkog očekivanja je ekvivalentno apsolutnoj konvergenciji odgovarajuće serije ili integrale.

Svojstva matematičkog očekivanja slučajne varijable.

• Matematička očekivanja trajne vrijednosti jednaka je ovoj veličini:

C.- konstantno;

• M \u003d cm [x]

• Matematičko očekivanje količine slučajno uzetih vrijednosti jednaka je zbroju njihovih matematičkih očekivanja:

• Matematičko očekivanje rada neovisnih slučajno uzetih količina \u003d proizvod njihovih matematičkih očekivanja:

M \u003d m [x] + m [y]

ako a X. i Yor Neovisno.

ako se broj konvergira:

Algoritam za izračunavanje matematičkog očekivanja.

Svojstva diskretnih slučajnih varijabli: sve njihove vrijednosti mogu se odreći prirodni brojevi; Svaka vrijednost za izjednačavanje vjerojatnosti koja nije nula.

1. Uključite par: x I. na p I..

2. Presavimo proizvod svakog para x i p i.

Prijašnjiza n. = 4 :

Diskretna funkcija nasumične distribucije Korak, povećava se skokom u tim točkama čije vjerojatnosti imaju pozitivan znak.

Primjer:Pronađite matematičko očekivanje po formuli.

Nasumična varijabla Oni pozivaju varijabilnu vrijednost, koja kao rezultat svakog testa uzima jednu nepoznatu vrijednost, ovisno o slučajnim uzrocima. Slučajne varijable označene su kapitalnim latinskim slovima: $ x, y, z, točki $ u svojim tipovima slučajnih varijabli mogu biti diskretna i stalan.

Diskretna slučajna varijabilnost - Ovo je takva slučajna vrijednost, čija vrijednosti ne mogu biti više od brojanja, to jest, bilo kraj ili prebrojav. Prebrojivost znači da se vrijednosti slučajne varijable mogu povećati.

Primjer 1. , Dajemo primjere diskretnih slučajnih varijabli:

a) Broj pogodaka u meti s hitnim snimkama, ovdje je moguće vrijednosti od $ 0, 1, točkice, n $.

b) Broj praznih kovanica kovanica, ovdje su moguće vrijednosti od $ 0, 1, točkice, n $.

c) broj dolaska brodova na brodu (brojanje mnogih vrijednosti).

d) broj poziva koji ulaze u PBX (brojne vrijednosti).

1. Zakon o raspodjeli vjerojatnosti diskretne slučajne varijance.

Diskretna slučajna varijabla $ x $ može uzeti vrijednosti $ x_1, točkice, x_n $ s vjerojatnošću $ p (x_1 desno), točkice, lijevo (x_n desno) $. Sukladnost između tih vrijednosti i njihovih vjerojatnosti naziva se diskretna slučajna varijabla, U pravilu, ova korespondencija daje tablicu u prvom redu koji označava vrijednosti $ x_1, točkice, x_n $ i drugi liniju koji odgovara tim vrijednostima vjerojatnosti $ p_1, točkice, p_n $.

$ početi (niz) (| c | c |)
hline
X_i & x_1 & x_2 \\\\ come & x_n
hline
P_i & p_1 & p_2 & \\ t
hline
Kraju (niz) $

Primjer 2. , Neka slučajna vrijednost $ x $ - broj naočala pao je prilikom preuzimanja igranje, Takva slučajna vrijednost $ x $ može uzeti sljedeće vrijednosti od $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Vjerojatnosti svih tih vrijednosti jednake su $ 1/6 $. Zatim zakon distribucije slučajnih varijacija od $ x $

$ početi (niz) (| c | c |)
hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
hline

hline
Kraju (niz) $

Komentar, Budući da zakon distribucije diskretnih slučajnih varijable $ događanja $ 1, 2, točki, $ 6 formira kompletnu skupinu događaja, zbroj vjerojatnosti mora biti jednak jedinstvu, tj. $ Sumu (p_i ) \u003d 1 $.

2. matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.

Matematičko očekivanje slučajne varijable Određuje svoju "središnju" vrijednost. Za diskretnu slučajnu varijabilnu očekivanja izračunava se kao zbroj vrijednosti $ x_1, točkice, x_n $ odgovarajući tim vrijednostima vjerojatnosti $ p_1, točkice, p_n $, to jest: $ m (X res) \u003d suma ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) $. U literaturi na engleskom jeziku, koristite drugu oznaku E LET (X re) $.

Svojstva matematičkog očekivanja $ Lijevo (x re) $:

1. $ Lijevo (x re) $ zaključen između najmanjih i najveće vrijednosti Slučajna varijabla $ x $.
2. Matematička očekivanja od konstante jednaka je samoj konstantu, tj. $ M lijevo (c reče) \u003d c $.
3. Stalni multiplikator može biti napravljen za znak matematičkog očekivanja: $ m lijevo (CX re de) \u003d cm lijevo (x re) $.
4. Matematička očekivanja zbroja slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih matematičkih očekivanja: US $ lijevo (X + Y desno) \u003d lijevo (X res) + Mlijevo (Y desno) $.
5. Matematičko očekivanje proizvoda neovisnih slučajnih varijabli jednaka je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja: $ lijevo (XY Resk) \u003d lijevo (X res) m lijevo (y re) $.

Primjer 3. , Nalazimo matematičko očekivanje slučajne varijable od $ x $ iz primjera od $ 2 $.

$$ m lijevo (x res) \u003d sumu ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) \u003d 1 cDot ((1) iznad (6)) + 2 cDot ((1) \\ t ) +3 CDot ((1) preko (6)) + 4 cDot ((1) iznad (6)) + 5 cDot ((1) preko (6)) + 6 cDot ((1 (6)) \u003d 3.5. $$

Možemo primijetiti da je $ lijevo (X res) $ se zaključuje između najmanjih ($ 1 $) i najveće ($ 6 $) prema vrijednostima slučajne vrijednosti $ x $.

Primjer 4. , Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable od $ x $ je $ lijevo (x re) \u003d $ 2. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable od $ 3x + $ 5.

Koristeći gornja svojstva, dobiti $ lijevo (3x + 5 desno) \u003d lijevo (3x desno) + m lijevo (5 re) \u003d 3m lijevo (x res) + 5 \u003d 3 clot 2 + 5 \u003d 11 $.

Primjer 5. , Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable od $ x $ je $ lijevo (x re) \u003d $ 4. Pronađite matematičko očekivanje slučajnog raspona od $ 2x-9 $.

Koristeći gornja svojstva, dobiti $ Mlijevo (2x-9 desno) \u003d m lijevo (2x res) -m lijevo (9 re) \u003d 2m lijevo (x res) -9 \u003d 2 clot 4 -9 \u003d -1 $.

3. Disperzija diskretne slučajne varijable.

Moguće vrijednosti slučajnih varijabli s jednakim matematičkim očekivanjima mogu se različito razlikovati oko njihovih prosječnih vrijednosti. Na primjer, u dvije studentske grupe srednji rezultat Da bi se ispita o teoriji vjerojatnosti pokazala jednako 4, ali u istoj skupini sve se ispostavilo da je dobro, au drugoj skupini - samo trojke i izvrsne studente. Stoga postoji potreba za tako numeričkom karakteristikom slučajne varijable koja bi pokazala raspršivanje slučajnih vrijednosti oko matematičkog očekivanja. Ova karakteristika je disperzija.

Disperzija diskretna slučajna varijabla $ X $ jednak:

$$ D Ledu (X res) \u003d sumu ^ n_ (i \u003d 1) (p_i (lijevo (xi-m lijevo (x res) desno)) ^ 2).

U engleskoj literaturi, oznake $ v lijeve (X res), var lijevo (x res) $ se koristi. Vrlo često, disperzija $ d lijevo (x re) $ izračunato s formulom $ d lijevo (x res) \u003d sumu ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix ^_i) - (lijevo (m lijevo (x res) desno)) ^ $ 2.

Svojstva disperzije $ D lijevo (x desno) $:

1. Disperzija je uvijek veća ili jednaka nuli, tj. $ D lijevo (x res) ge 0 $.
2. Disperzija iz konstante je nula, tj. $ D lijevo (c reče) \u003d 0 $.
3. Stalni multiplikator može biti napravljen za disperzijski znak, podložan konstrukciji na trgu, tj. $ D lijevo (cx res) \u003d c ^ 2d lijevo (x re) $.
4. Disperzija iznosa neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih disperzija, tj. $ D lijevo (x + y desno) \u003d d lijevo (x res) + d lijevo (y re) $.
5. Disperzija razlike neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih disperzija, tj. $ D lijevo (x-y desno) \u003d d lijevo (x res) + d lijevo (y re) $.

Primjer 6. , Mi izračunavamo disperziju slučajne vrijednosti od $ x $ iz primjera od $ 2 $.

$$ d lijevo (x res) \u003d suma ^ n_ (i \u003d 1) (p_i (lijevo (xi-m lijevo (x res) desno)) ^ 2) \u003d ((1) (6)) cDot (lijevo (1-3.5 desno)) ^ 2 + ((1) preko (6)) cDot (lijevo (2-3.5 desno)) ^ 2+ točka + ( (1) preko (6)) cDot (lijevo (6-3.5 desno)) ^ 2 \u003d (((35) iznad (12)) cca 2.92. $$

Primjer 7. , Poznato je da disperzija slučajne varijable od $ x $ je $ d (x re) \u003d $ 2. Pronađite disperziju slučajne varijable od $ 4x + $ 1.

Pomoću gornjih svojstava nalazimo $ d lijevo (4x + 1 res) \u003d d lijevo (4x res) + d lijevo (1 re) \u003d 4 ^ 2d lijevo (x res) + 0 \u003d 16D lijevo (x re) \u003d 16 cDot 2 \u003d 32 $.

Primjer 8. , Poznato je da je disperzija slučajne varijable od $ x $ je $ d lijevo (x re) \u003d $ 3. Pronađite disperziju slučajne varijable od $ 3-2x $.

Koristeći gore navedena svojstva, nalazimo $ d lijevo (3-2x res) \u003d d lijevo (3 res) + d lijevo (2x res) \u003d 0 + 2 ^ 2d lijevo (x reče) \u003d 4d lijevo (x res) \u003d 4 cDot 3 \u003d 12 $.

4. Raspodjela funkcija diskretne slučajne varijable.

Metoda predstavljanja diskretne slučajne varijable u obliku brojne distribucije nije jedini, a glavna stvar nije univerzalna, budući da se kontinuirana slučajna vrijednost ne može odrediti korištenjem niza distribucije. Postoji još jedan način da predstavljaju slučajnu varijablu - funkciju distribucije.

Funkcija distribucije Slučajna varijabla $ X $ je funkcija $ F lijeva (X re) $, koji određuje vjerojatnost da slučajna varijabla $ x $ uzima vrijednost manju od fiksne vrijednosti $ x $, tj. desno) \u003d p< x\right)$

Svojstva funkcije distribucije:

1. $ 0 \\ t Left (x res) 1.
2. Vjerojatnost da je slučajna varijabla $ x $ uzima uzimanje vrijednosti iz raspona $ lijevog (Alpha; desno) $, jednaka je razlici između vrijednosti na kraju raspodjele funkcije Interval: $ P lijevo (Alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ Je lijevo (x res) $ je insncider.
4. $ (Mathop (lim) _ (x \\ t-infrt) f lijevo (x reče) \u003d 0 \\ t, (mathip (lim) _ (x \\ t Desno) \u003d 1 \\ t

Primjer 9. , Pronađite funkciju distribucije $ F (X re) $ za zakon o distribuciji diskretne slučajne varijable od $ x $ od primjera od 2 USD.

$ početi (niz) (| c | c |)
hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
hline
Kraju (niz) $

Ako je $ 1 $ $, onda, očito, $ f (x res) \u003d 0 $ (uključujući na $ x \u003d 1 $ 1 lijevo (1 res) \u003d p< 1\right)=0$).

Ako $ 1.< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ako $ 2.< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ako $ 3.< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ako 4 $.< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ako 5 $.< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ako je $ X\u003e 6 $, onda je $ lijevo (x res) \u003d p (x \u003d 1 desno) + p lijevo (x \u003d 2 desno) + p lijevo (x \u003d 3 desno) +p lijevo (x \u003d 4 desno) + p lijevo (x \u003d 5 desno) + p lijevo (x \u003d 6 desno) \u003d 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 \u003d 1 $.

Dakle, $ f (x) \u003d lijevo (početi (matrica)
0, s 1, \\ t
1/6, na 1< x\le 2,\\
1/3, \\ t< x\le 3,\\
1/2, u 3< x\le 4,\\
2/3, \\ t< x\le 5,\\
5/6, \\ t< x\le 5,\\
1, s x\u003e 6.
Kraju (matrica).