Eksponencijacija trigonometrijskog broja. Povećanje kompleksnih brojeva na stepen

Počnimo s omiljenim kvadratom.

Primjer 9

Kvadrat kompleksnog broja

Ovdje možete ići na dva načina, prvi način je da prepišete stupanj kao umnožak faktora i pomnožite brojeve prema pravilu množenja polinoma.

Drugi način je korištenje poznate školske formule za skraćeno množenje:

Za složeni broj lako je izvesti vlastitu formulu za skraćeno množenje:

Slična se formula može izvesti za kvadrat razlike, kao i za kocku zbroja i kocku razlike. Ali ove formule su relevantnije za složene zadatke analize. Što ako kompleksni broj treba povisiti na, recimo, 5., 10. ili 100. stepen? Jasno je da je u algebarskom obliku gotovo nemoguće napraviti takav trik, stvarno, razmislite kako ćete riješiti primjer poput?

I tu u pomoć dolazi trigonometrijski oblik kompleksnog broja i tzv Moivre formula: Ako je kompleksni broj predstavljen u trigonometrijskom obliku, onda kada se podigne na prirodni stepen, formula je točna:

Samo nečuveno.

Primjer 10

Zadan kompleksan broj, pronađi.

Što treba učiniti? Prvo, trebate prikazati dati broj u trigonometrijskom obliku. Pažljivi čitatelji primijetit će da smo u Primjeru 8 već učinili ovo:

Zatim, prema Moivreovoj formuli:

Ne daj Bože, ne treba računati na kalkulator, ali u većini slučajeva kut treba pojednostaviti. Kako pojednostaviti? Slikovito rečeno, trebate se riješiti nepotrebnih zavoja. Jedan okret je radijan ili 360 stupnjeva. Hajde da saznamo koliko zavoja imamo u raspravi. Radi praktičnosti, činimo razlomak točnim:, nakon čega postaje jasno vidljivo da možete oduzeti jedan okret :. Nadam se da svi razumiju da su pod istim kutom.

Dakle, konačni odgovor će biti napisan ovako:

Zasebna vrsta problema eksponencijalnosti je eksponencijacija čisto imaginarnih brojeva.

Primjer 12

Podići kompleksne brojeve na stepen ,,

I ovdje je sve jednostavno, glavna stvar je zapamtiti poznatu jednakost.

Ako se imaginarna jedinica podigne na parnu snagu, tada je tehnika rješenja sljedeća:

Ako se imaginarna jedinica podiže na neparan stepen, tada "odštipamo" jedno "i", dobivajući parnu snagu:

Ako postoji minus (ili bilo koji valjani koeficijent), onda se prvo mora odvojiti:

Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva. Kvadratna jednadžba s kompleksnim korijenima

Razmotrimo primjer:

Ne možete izvaditi korijen? Ako govorimo o realnim brojevima, onda je to stvarno nemoguće. U kompleksnim brojevima možete izdvojiti korijen! ili bolje rečeno, dva korijen:

Jesu li pronađeni korijeni doista rješenje jednadžbe? Provjerimo:

Što je i trebalo provjeriti.

Često se koristi skraćeni zapis, oba korijena su napisana u jednom retku ispod "jedan češalj":.

Takvi korijeni se također nazivaju konjugirani kompleksni korijeni.

Mislim da svi razumiju kako izvući kvadratne korijene iz negativnih brojeva: ,,,, itd. U svim slučajevima ispada dva konjugirani kompleksni korijeni.

Počnimo s omiljenim kvadratom.

Primjer 9

Kvadrat kompleksnog broja

Ovdje možete ići na dva načina, prvi način je da prepišete stupanj kao umnožak faktora i pomnožite brojeve prema pravilu množenja polinoma.

Drugi način je korištenje poznate školske formule za skraćeno množenje:

Za složeni broj lako je izvesti vlastitu formulu za skraćeno množenje:

Slična se formula može izvesti za kvadrat razlike, kao i za kocku zbroja i kocku razlike. Ali ove formule su relevantnije za složene zadatke analize. Što ako kompleksni broj treba povisiti na, recimo, 5., 10. ili 100. stepen? Jasno je da je u algebarskom obliku gotovo nemoguće napraviti takav trik, stvarno, razmislite kako ćete riješiti primjer poput?

I tu u pomoć dolazi trigonometrijski oblik kompleksnog broja i tzv Moivre formula: Ako je kompleksni broj predstavljen u trigonometrijskom obliku, onda kada se podigne na prirodni stepen, formula je točna:

Samo nečuveno.

Primjer 10

Zadan kompleksan broj, pronađi.

Što treba učiniti? Prvo, trebate prikazati dati broj u trigonometrijskom obliku. Pažljivi čitatelji primijetit će da smo u Primjeru 8 već učinili ovo:

Zatim, prema Moivreovoj formuli:

Ne daj Bože, ne treba računati na kalkulator, ali u većini slučajeva kut treba pojednostaviti. Kako pojednostaviti? Slikovito rečeno, trebate se riješiti nepotrebnih zavoja. Jedan okret je radijan ili 360 stupnjeva. Hajde da saznamo koliko zavoja imamo u raspravi. Radi praktičnosti, činimo razlomak točnim:, nakon čega postaje jasno vidljivo da možete oduzeti jedan okret :. Nadam se da svi razumiju da su pod istim kutom.

Dakle, konačni odgovor će biti napisan ovako:

Zasebna vrsta problema eksponencijalnosti je eksponencijacija čisto imaginarnih brojeva.

Primjer 12

Podići kompleksne brojeve na stepen ,,

I ovdje je sve jednostavno, glavna stvar je zapamtiti poznatu jednakost.

Ako se imaginarna jedinica podigne na parnu snagu, tada je tehnika rješenja sljedeća:

Ako se imaginarna jedinica podiže na neparan stepen, tada "odštipamo" jedno "i", dobivajući parnu snagu:

Ako postoji minus (ili bilo koji valjani koeficijent), onda se prvo mora odvojiti:

Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva. Kvadratna jednadžba s kompleksnim korijenima

Razmotrimo primjer:

Ne možete izvaditi korijen? Ako govorimo o realnim brojevima, onda je to stvarno nemoguće. U kompleksnim brojevima možete izdvojiti korijen! ili bolje rečeno, dva korijen:

Jesu li pronađeni korijeni doista rješenje jednadžbe? Provjerimo:

Što je i trebalo provjeriti.

Često se koristi skraćeni zapis, oba korijena su napisana u jednom retku ispod "jedan češalj":.

Takvi korijeni se također nazivaju konjugirani kompleksni korijeni.

Mislim da svi razumiju kako izvući kvadratne korijene iz negativnih brojeva: ,,,, itd. U svim slučajevima ispada dva konjugirani kompleksni korijeni.

Primjer 13

Riješite kvadratnu jednadžbu

Izračunajmo diskriminanta:

Diskriminant je negativan, a jednadžba nema rješenja u realnim brojevima. Ali korijen se može izdvojiti u složenim brojevima!

Prema poznatim školskim formulama dobivamo dva korijena: - konjugirani kompleksni korijeni

Dakle, jednadžba ima dva konjugirana kompleksna korijena:,

Sada možete riješiti bilo koju kvadratnu jednadžbu!

I općenito, svaka jednadžba s polinomom "n-tog" stupnja ima jednake korijene, od kojih neki mogu biti složeni.

Jednostavan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 14

Pronađite korijene jednadžbe i faktori kvadratni binom.

Faktorizacija se ponovno provodi prema standardnoj školskoj formuli.