Osnovne informacije o racionalnim izrazima i njihovim transformacijama. Transformacija racionalnih izraza Primjeri razlomačkih racionalnih izraza s rješenjima

Prije svega, kako biste naučili raditi s racionalnim razlomcima bez pogrešaka, morate naučiti skraćene formule za množenje. A to nije lako naučiti – treba ih prepoznati čak i kada sinus, logaritam i korijen djeluju kao pojmovi.

Međutim, glavni alat ostaje faktorizacija brojnika i nazivnika racionalnog razlomka. To se može postići na tri različita načina:

Zapravo, prema formuli skraćenog množenja: oni vam omogućuju savijanje polinoma u jedan ili više faktora;
Korištenje faktorizacije kvadratnog trinoma u smislu diskriminanta. Ista metoda omogućuje nam da se uvjerimo da se bilo koji trinom uopće ne razlaže na faktore;
Metoda grupiranja je najteži alat, ali je jedina metoda koja radi ako prethodne dvije nisu uspjele.

Kao što ste vjerojatno pogodili iz naslova ovog videa, ponovno ćemo razgovarati o racionalnim razlomcima. Prije samo nekoliko minuta završio sam sat s jednim učenikom desetog razreda i tamo smo analizirali upravo te izraze. Stoga će ova lekcija biti namijenjena upravo srednjoškolcima.

Sigurno će mnogi sada imati pitanje: "Zašto bi učenici 10.-11. razreda učili tako jednostavne stvari kao što su racionalni razlomci, jer se to radi u 8. razredu?" Ali nevolja je u tome što većina ljudi samo "prođe" ovu temu. U 10.-11. razredu više se ne sjećaju kako se radi množenje, dijeljenje, oduzimanje i zbrajanje racionalnih razlomaka iz 8. razreda, ali se na tom jednostavnom znanju grade daljnje složenije konstrukcije poput rješenja logaritamskih , trigonometrijske jednadžbe i mnoge druge složene izraze, pa se praktički nema što raditi u srednjoj školi bez racionalnih razlomaka.

Formule za rješavanje problema

Primimo se posla. Prije svega, trebaju nam dvije činjenice – dva skupa formula. Prije svega, morate znati skraćene formule za množenje:

$ ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ lijevo (a-b \ desno) \ lijevo (a + b \ desno) $ - razlika kvadrata;
$ ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ lijevo (a \ pm b \ desno)) ^ (2)) $ - kvadrat zbroja ili razlika;
$ ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ lijevo (a + b \ desno) \ lijevo (((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ ( 2)) \ desno) $ - zbroj kocki;
$ ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ lijevo (ab \ desno) \ lijevo (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2 ) ) \ desno) $ - razlika kocki.

U svom čistom obliku, ne nalaze se ni u jednom primjeru iu stvarno ozbiljnim izrazima. Stoga je naš zadatak naučiti vidjeti mnogo složenije konstrukcije ispod slova $ a $ i $ b $, na primjer, logaritme, korijene, sinuse itd. To možete naučiti vidjeti samo kroz stalnu praksu. Zato je rješavanje racionalnih razlomaka apsolutno neophodno.

Druga, potpuno očita formula je faktorizacija kvadratnog trinoma:

$ ((x) _ (1)) $; $ ((x) _ (2)) $ - korijeni.

Bavili smo se teorijskim dijelom. Ali kako riješiti stvarne racionalne razlomke, koji se razmatraju u 8. razredu? Sada idemo vježbati.

Problem broj 1

\ [\ frac (27 ((a) ^ (3)) - 64 ((b) ^ (3))) (((b) ^ (3)) - 4): \ frac (9 ((a) ^ (2)) + 12ab + 16 ((b) ^ (2))) (((b) ^ (2)) + 4b + 4) \]

Pokušajmo primijeniti gornje formule na rješavanje racionalnih razlomaka. Prije svega želim objasniti zašto je faktoring uopće potreban. Činjenica je da na prvi pogled na prvi dio zadatka želite smanjiti kocku kvadratom, ali to je apsolutno nemoguće, jer su to članovi u brojniku i nazivniku, ali ni u kojem slučaju nisu faktori .

Općenito, što je smanjenje? Kratica je opće pravilo za postupanje s takvim izrazima. Glavno svojstvo razlomka je da brojnik i nazivnik možemo pomnožiti s istim brojem, osim s nulom. U ovom slučaju, kada smanjimo, tada, naprotiv, dijelimo istim brojem, različitim od "nule". Međutim, sve članove u nazivniku moramo podijeliti istim brojem. Ne možete to učiniti. A brojnik s nazivnikom imamo pravo poništiti samo kada su oba faktorizirana. Učinimo to.

Sada morate vidjeti koliko pojmova ima u jednom ili drugom elementu, u skladu s tim, saznajte koju formulu treba koristiti.

Pretvorimo svaki izraz u točnu kocku:

Prepišimo brojnik:

\ [((\ lijevo (3a \ desno)) ^ (3)) - ((\ lijevo (4b \ desno)) ^ (3)) = \ lijevo (3a-4b \ desno) \ lijevo (((\ lijevo (3a \ desno)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ lijevo (4b \ desno)) ^ (2)) \ desno) \]

Pogledajmo nazivnik. Proširimo ga prema formuli razlike kvadrata:

\ [((b) ^ (2)) - 4 = ((b) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) = \ lijevo (b-2 \ desno) \ lijevo (b + 2 \ desno) \]

Pogledajmo sada drugi dio izraza:

brojilac:

Ostaje odgonetnuti nazivnik:

\ [((b) ^ (2)) + 2 \ cdot 2b + ((2) ^ (2)) = ((\ lijevo (b + 2 \ desno)) ^ (2)) \]

Prepišimo cijelu konstrukciju uzimajući u obzir gore navedene činjenice:

\ [\ frac (\ lijevo (3a-4b \ desno) \ lijevo (((\ lijevo (3a \ desno)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ lijevo (4b \ desno)) ^ ( 2 )) \ desno)) (\ lijevo (b-2 \ desno) \ lijevo (b + 2 \ desno)) \ cdot \ frac (((\ lijevo (b + 2 \ desno)) ^ (2))) ( ((\ lijevo (3a \ desno)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ lijevo (4b \ desno)) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (\ lijevo (3a-4b \ desno) \ lijevo (b + 2 \ desno)) (\ lijevo (b-2 \ desno)) \]

Nijanse množenja racionalnih razlomaka

Ključni zaključak iz ovih konstrukcija je sljedeći:

Nije svaki polinom faktoriziran.
Čak i ako se odvija, potrebno je pažljivo pogledati koja je točna formula za skraćeno množenje.

Da biste to učinili, prvo morate procijeniti koliko ima zbrojeva (ako ih ima dva, sve što možemo učiniti je proširiti ih ili zbrojem razlike kvadrata, ili zbrojem ili razlikom kocki; a ako ih ima tri, onda je to, nedvosmisleno, ili kvadrat zbroja, ili kvadrat razlike). Često se događa da brojnik ili nazivnik uopće ne zahtijevaju faktorizaciju, može biti linearan, ili će mu diskriminanta biti negativna.

Problem broj 2

\ [\ frac (3-6x) (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 8) \ cdot \ frac (2x + 1) (((x) ^ (2)) + 4-4x) \ cdot \ frac (8 - ((x) ^ (3))) (4 ((x) ^ (2)) - 1) \]

Općenito, shema za rješavanje ovog problema ne razlikuje se od prethodne - jednostavno će biti više akcija i one će postati raznolikije.

Počnimo s prvim razlomkom: pogledajmo njegov brojnik i napravimo moguće transformacije:

Sada pogledajmo nazivnik:

S drugim razlomkom: u brojniku se ne može učiniti ništa, jer je ovo linearni izraz i iz njega ne možete izvaditi nikakav faktor. Pogledajmo nazivnik:

\ [((x) ^ (2)) - 4x + 4 = ((x) ^ (2)) - 2 \ cdot 2x + ((2) ^ (2)) = ((\ lijevo (x-2 \ desno )) ^ (2)) \]

Idemo na treći razlomak. brojilac:

Pozabavimo se nazivnikom zadnjeg razlomka:

Prepišimo izraz uzimajući u obzir gore navedene činjenice:

\ [\ frac (3 \ lijevo (1-2x \ desno)) (2 \ lijevo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ desno)) \ cdot \ frac (2x + 1) ((( \ lijevo (x-2 \ desno)) ^ (2))) \ cdot \ frac (\ lijevo (2-x \ desno) \ lijevo (((2) ^ (2)) + 2x + ((x) ^ ( 2)) \ desno)) (\ lijevo (2x-1 \ desno) \ lijevo (2x + 1 \ desno)) = \]

\ [= \ frac (-3) (2 \ lijevo (2-x \ desno)) = - \ frac (3) (2 \ lijevo (2-x \ desno)) = \ frac (3) (2 \ lijevo (x-2 \ desno)) \]

Nijanse rješenja

Kao što vidite, ne počiva sve i ne uvijek na skraćenim formulama za množenje - ponekad je dovoljno samo isključiti konstantu ili varijablu iz zagrada. No, postoji i suprotna situacija, kada ima toliko pojmova ili su konstruirani na način da su formule za skraćeno množenje za njih općenito nemoguće. U ovom slučaju u pomoć nam dolazi univerzalni alat, odnosno metoda grupiranja. To je ono što ćemo sada primijeniti u sljedećem zadatku.

Problem broj 3

\ [\ frac (((a) ^ (2)) + ab) (5a - ((a) ^ (2)) + ((b) ^ (2)) - 5b) \ cdot \ frac (((a ) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10a) (((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2))) \]

Pogledajmo prvi dio:

\ [((a) ^ (2)) + ab = a \ lijevo (a + b \ desno) \]

\ [= 5 \ lijevo (ab \ desno) - \ lijevo (ab \ desno) \ lijevo (a + b \ desno) = \ lijevo (ab \ desno) \ lijevo (5-1 \ lijevo (a + b \ desno) ) \ desno) = \]

\ [= \ lijevo (a-b \ desno) \ lijevo (5-a-b \ desno) \]

Prepišimo izvorni izraz:

\ [\ frac (a \ lijevo (a + b \ desno)) (\ lijevo (ab \ desno) \ lijevo (5-ab \ desno)) \ cdot \ frac (((a) ^ (2)) - ( (b) ^ (2)) + 25-10a) (((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2))) \]

Sada se pozabavimo drugom zagradom:

\ [((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10a = ((a) ^ (2)) - 10a + 25 - ((b) ^ (2)) = \ lijevo (((a) ^ (2)) - 2 \ cdot 5a + ((5) ^ (2)) \ desno) - ((b) ^ (2)) = \]

\ [= ((\ lijevo (a-5 \ desno)) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ lijevo (a-5-b \ desno) \ lijevo (a-5 + b \ desno) \]

Budući da se dva elementa nisu mogla grupirati, grupirali smo tri. Ostaje samo shvatiti nazivnik posljednjeg razlomka:

\ [((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ lijevo (a-b \ desno) \ lijevo (a + b \ desno) \]

Sada prepišimo cijelu našu konstrukciju:

\ [\ frac (a \ lijevo (a + b \ desno)) (\ lijevo (ab \ desno) \ lijevo (5-ab \ desno)) \ cdot \ frac (\ lijevo (a-5-b \ desno) \ lijevo (a-5 + b \ desno)) (\ lijevo (ab \ desno) \ lijevo (a + b \ desno)) = \ frac (a \ lijevo (ba + 5 \ desno)) ((( \ lijevo (ab \ desno)) ^ (2))) \]

Problem je riješen i tu se ništa više ne može pojednostaviti.

Nijanse rješenja

Shvatili smo grupiranje i dobili još jedan vrlo moćan alat koji proširuje mogućnosti faktoringa. Ali problem je u tome što nam u stvarnom životu nitko neće dati tako profinjene primjere, gdje postoji nekoliko razlomaka, u kojima samo brojnik i nazivnik trebate rastaviti u faktor, a zatim ih smanjiti ako je moguće. Pravi izrazi bit će mnogo složeniji.

Najvjerojatnije, osim množenja i dijeljenja, bit će oduzimanja i zbrajanja, svih vrsta zagrada - općenito će se morati uzeti u obzir redoslijed radnji. Ali najgore je to što će se prilikom oduzimanja i zbrajanja razlomaka s različitim nazivnicima morati svesti na jedan zajednički. Da biste to učinili, svaki od njih trebat će se faktorizirati, a zatim će se ti razlomci trebati transformirati: donijeti slične i još mnogo toga. Kako to učiniti ispravno, brzo i istovremeno dobiti nedvosmisleno točan odgovor? O tome ćemo sada govoriti na primjeru sljedeće konstrukcije.

Problem broj 4

\ [\ lijevo (((x) ^ (2)) + \ frac (27) (x) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ frac (1) (x + 3) + \ frac (1) ((( x) ^ (2)) - 3x + 9) \ desno) \]

Napišimo prvi razlomak i pokušamo se njime pozabaviti zasebno:

\ [((x) ^ (2)) + \ frac (27) (x) = \ frac (((x) ^ (2))) (1) + \ frac (27) (x) = \ frac ( ((x) ^ (3))) (x) + \ frac (27) (x) = \ frac (((x) ^ (3)) + 27) (x) = \ frac (((x) ^ (3)) + ((3) ^ (3))) (x) = \]

\ [= \ frac (\ lijevo (x + 3 \ desno) \ lijevo (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ desno)) (x) \]

Prijeđimo na drugu. Izračunajmo odmah diskriminant nazivnika:

Ne može se faktorizirati, pa pišemo sljedeće:

\ [\ frac (1) (x + 3) + \ frac (1) (((x) ^ (2)) - 3x + 9) = \ frac (((x) ^ (2)) - 3x + 9 + x + 3) (\ lijevo (x + 3 \ desno) \ lijevo (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ desno)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + 12) (\ lijevo (x + 3 \ desno) \ lijevo (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ desno)) \]

Napišimo brojnik zasebno:

\ [((x) ^ (2)) - 2x + 12 = 0 \]

Posljedično, ovaj polinom se ne može faktorizirati.

Maksimum što smo mogli napraviti i proširiti, već smo napravili.

Dakle, prepisujemo našu originalnu konstrukciju i dobivamo:

\ [\ frac (\ lijevo (x + 3 \ desno) \ lijevo (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ desno)) (x) \ cdot \ frac (((x) ^ (2) ) -2x + 12) (\ lijevo (x + 3 \ desno) \ lijevo (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ desno)) = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + 12) (x) \]

To je to, problem je riješen.

Iskreno govoreći, nije to bio tako težak zadatak: sve se lako razlagalo na faktore, brzo su se davali takvi pojmovi i sve se lijepo svodilo. Pa sada pokušajmo riješiti ozbiljniji problem.

Problem broj 5

\ [\ lijevo (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ desno) \ cdot \ lijevo (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ desno) \]

Prvo, pozabavimo se prvom zagradom. Od samog početka razdijelite nazivnik drugog razlomka zasebno:

\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ lijevo (x-2 \ desno) \ lijevo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ desno) \]

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (((x) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ lijevo (x-2 \ desno) \ lijevo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ desno)) - \ frac (1) (x-2) = \]

\ [= \ frac (x \ lijevo (x-2 \ desno) + ((x) ^ (2)) + 8- \ lijevo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ desno)) ( \ lijevo (x-2 \ desno) \ lijevo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ desno)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ lijevo (x- 2 \ desno) \ lijevo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ desno)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ lijevo (x-2 \ desno) \ lijevo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ desno)) = \ frac (((\ lijevo (x-2 \ desno)) ^ (2))) (\ lijevo (x-2 \ desno) \ lijevo (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ desno )) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

Sada radimo s drugim razlomkom:

\ [\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac (((x) ^ (2) ))) (\ lijevo (x-2 \ desno) \ lijevo (x + 2 \ desno)) - \ frac (2) (2-x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ lijevo (x-2 \ desno)) (\ lijevo (x-2 \ desno) \ lijevo (x + 2 \ desno)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ lijevo (x-2 \ desno) \ lijevo (x + 2 \ desno)) \]

Vratite se na našu izvornu konstrukciju i napišite:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ lijevo (x-2) \ desno) \ lijevo (x + 2 \ desno)) = \ frac (1) (x + 2) \]

Ključne točke

Još jednom, ključne činjenice današnjeg video tutoriala:

Potrebno je znati "napamet" formule skraćenog množenja - i to ne samo znati, nego znati vidjeti u onim izrazima na koje ćete se susresti u stvarnim problemima. U tome nam može pomoći jedno prekrasno pravilo: ako postoje dva člana, onda je to ili razlika kvadrata, ili razlika ili zbroj kocki; ako je tri, to može biti samo kvadrat zbroja ili razlike.
Ako se neka konstrukcija ne može rastaviti pomoću skraćenih formula za množenje, tada nam u pomoć dolazi ili standardna formula za faktoriranje trinoma u faktore ili metoda grupiranja.
Ako nešto ne uspije, dobro pogledajte izvorni izraz - i jesu li uopće potrebne konverzije. Možda će biti dovoljno samo staviti faktor izvan zagrada, a to je vrlo često samo konstanta.
U složenim izrazima u kojima trebate izvesti nekoliko radnji za redom, ne zaboravite dovesti do zajedničkog nazivnika, a tek nakon toga, kada se svi razlomci svedu na njega, svakako donesite nešto poput ovoga u novom brojniku, a zatim ponovno faktori novi brojnik - moguće je da će se -to smanjiti.

To je sve što sam vam danas htio reći o racionalnim razlomcima. Ako nešto nije jasno, na stranici je još hrpa video tutorijala, kao i hrpa zadataka za samostalno rješavanje. Stoga, ostanite s nama!

U prethodnom satu već je uveden pojam racionalnog izražavanja, u današnjem satu nastavljamo raditi s racionalnim izrazima i fokusirati se na njihovu transformaciju. Na konkretnim primjerima razmotrit ćemo metode rješavanja problema na transformaciju racionalnih izraza i dokazivanje povezanih identiteta.

Tema:Algebarski razlomci. Aritmetičke operacije nad algebarskim razlomcima

Lekcija:Pretvaranje racionalnih izraza

Prisjetimo se najprije definicije racionalnog izraza.

Definicija.Racionalnoizraz- algebarski izraz koji ne sadrži korijene i uključuje samo radnje zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (povišenje na stepen).

Pod pojmom "transformacija racionalnog izraza" prije svega mislimo na njegovo pojednostavljenje. I to se provodi prema nama poznatim redoslijedom radnji: prvo radnje u zagradama, pa onda umnožak brojeva(povećavanje), dijeljenje brojeva, a zatim radnje zbrajanja/oduzimanja.

Glavni cilj današnje lekcije bit će stjecanje iskustva u rješavanju složenijih problema radi pojednostavljenja racionalnih izraza.

Primjer 1.

Riješenje. U početku se može činiti da se navedeni razlomci mogu poništiti, jer su izrazi u brojnicima razlomaka vrlo slični formulama za savršene kvadrate njihovih odgovarajućih nazivnika. U ovom slučaju važno je ne žuriti, već zasebno provjeriti je li to tako.

Provjerimo brojnik prvog razlomka:. Sada je brojnik drugi:.

Kao što vidite, naša očekivanja nisu ispunjena, a izrazi u brojnicima nisu savršeni kvadrati, jer nemaju udvostručenje umnoška. Takvi izrazi, ako se prisjetimo tečaja 7. razreda, nazivaju se nepotpuni kvadrati. U takvim slučajevima trebate biti vrlo oprezni, jer je brkanje formule punog kvadrata s nepotpunim kvadratom vrlo česta pogreška, a takvi primjeri testiraju učenikovu pažnju.

Budući da je otkazivanje nemoguće, zbrojimo razlomke. Nazivnici nemaju zajedničke faktore, pa se jednostavno množe kako bi se dobio najmanji zajednički nazivnik, a komplementarni faktor za svaki razlomak je nazivnik drugog razlomka.

Naravno, dalje možete otvoriti zagrade i zatim dati slične pojmove, međutim, u ovom slučaju možete se snaći s manje truda i primijetiti da je u brojniku prvi član formula za zbroj kocki, a drugi je razlika između kocki. Radi praktičnosti, prisjetimo se ovih formula u općem obliku:

U našem slučaju, izrazi u brojniku se skupljaju na sljedeći način:

, drugi izraz je isti. Imamo:

Odgovor..

Primjer 2. Pojednostavite racionalno izražavanje .

Riješenje. Ovaj primjer je sličan prethodnom, ali ovdje možete odmah vidjeti da u brojnicima razlomaka postoje nepotpuni kvadrati, pa je smanjenje u početnoj fazi rješenja nemoguće. Slično prethodnom primjeru, dodajte razlomke:

Ovdje smo, slično gore navedenoj metodi, uočili i skupili izraze prema formulama za zbroj i razliku kocki.

Odgovor..

Primjer 3. Pojednostavite racionalno izražavanje.

Riješenje. Možete vidjeti da je nazivnik drugog razlomka razložen na faktore pomoću formule za zbroj kocki. Kao što već znamo, faktoriranje nazivnika korisno je za daljnje pronalaženje najnižeg zajedničkog nazivnika razlomaka.

Označavamo najmanji zajednički nazivnik razlomaka, jednak je:, jer je podijeljen nazivnikom trećeg razlomka, a prvi izraz je općenito cijeli broj i za njega je prikladan bilo koji nazivnik. Nakon što smo naveli očite dodatne čimbenike, pišemo:

Odgovor.

Pogledajmo složeniji primjer s razlomcima na "više razina".

Primjer 4. Dokazati identitet za sve dopuštene vrijednosti varijable.

Dokaz. Da bismo dokazali naznačeni identitet, pokušat ćemo njegovu lijevu stranu (složenu) pojednostaviti na jednostavan oblik koji se od nas traži. Da bismo to učinili, izvršit ćemo sve radnje s razlomcima u brojniku i nazivniku, a zatim podijeliti razlomke i pojednostaviti rezultat.

Dokazano za sve dopuštene vrijednosti varijable.

Provjereno.

U sljedećoj lekciji pobliže ćemo pogledati složenije primjere za transformaciju racionalnih izraza.

Bibliografija

1. Bašmakov M.I. Algebra 8 razred. - M .: Obrazovanje, 2004.

2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i dr. Algebra 8. - 5. izd. - M .: Obrazovanje, 2010.

3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra 8 razred. Udžbenik za obrazovne ustanove. - M .: Obrazovanje, 2006.

2. Izrada lekcija, prezentacija, bilješki za razred ().

Domaća zadaća

1. broj 96-101. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i dr. Algebra 8. - 5. izd. - M .: Obrazovanje, 2010.

2. Pojednostavite izraz .

3. Pojednostavite izraz.

4. Dokažite identitet.

Sat i prezentacija na temu: "Transformacija racionalnih izraza. Primjeri rješavanja problema"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 8. razred
Priručnik za udžbenik Muravin G.K. Priručnik za udžbenik Makarychev Yu.N.

Pojam racionalnog izražavanja

Koncept "racionalnog izraza" sličan je konceptu "racionalnog razlomka". Izraz je također predstavljen kao razlomak. Samo u brojnicima imamo - ne brojeve, već razne vrste izraza. Najčešće su to polinomi. Algebarski razlomak je frakcijski izraz koji se sastoji od brojeva i varijabli.

Prilikom rješavanja mnogih zadataka u osnovnim razredima, nakon izvođenja računskih operacija, dobivali smo određene brojčane vrijednosti, najčešće razlomke. Sada, nakon izvođenja operacija, dobit ćemo algebarske razlomke. Ljudi, zapamtite: da biste dobili pravi odgovor, morate što je više moguće pojednostaviti izraz s kojim radite. Treba dobiti najmanji mogući stupanj; iste izraze u brojnicima i nazivnicima treba smanjiti; s izrazima koji se mogu skupiti, morate to učiniti. To jest, nakon izvođenja niza radnji, trebali bismo dobiti najjednostavniji algebarski razlomak.

Postupak racionalnog izražavanja

Postupak za izvođenje operacija s racionalnim izrazima je isti kao i za aritmetičke operacije. Prvo se izvode radnje u zagradama, zatim množenje i dijeljenje, podizanje na stepen i na kraju zbrajanje i oduzimanje.

Dokazati identitet znači pokazati da su za sve vrijednosti varijabli desna i lijeva strana jednake. Mnogo je primjera dokaza identiteta.

Glavne metode za rješavanje identiteta su.

Pretvorite lijevu stranu u jednaku desnu stranu.
Pretvorite desnu stranu u jednaku lijevu stranu.
Transformirajte lijevu i desnu stranu odvojeno dok ne dobijete isti izraz.
Oduzmite desno od lijeve strane, i kao rezultat, trebali biste dobiti nulu.

Pretvorite racionalne izraze. Primjeri rješavanja problema

Primjer 1.
Dokazati identitet:

$ (\ frac (a + 5) (5a-1) + \ frac (a + 5) (a + 1)): (\ frac (a ^ 2 + 5a) (1-5a)) + \ frac (a ^ 2 + 5) (a + 1) = a-1 $.

Riješenje.
Očito, moramo transformirati lijevu stranu.
Prvo, izvršimo radnje u zagradama:

1) $ \ frac (a + 5) (5a-1) + \ frac (a + 5) (a + 1) = \ frac ((a + 5) (a + 1) + (a + 5) (5a -1)) ((a + 1) (5a-1)) = $
$ = \ frac ((a + 5) (a + 1 + 5a-1)) ((a + 1) (5a-1)) = \ frac ((a + 5) (6a)) ((a + 1 ) (5a-1)) $

Trebali biste pokušati maksimalno izbaciti uobičajene čimbenike.
2) Transformiramo izraz kojim dijelimo:

$ \ frac (a ^ 2 + 5a) (1-5a) = \ frac (a (a + 5)) ((1-5a) = \ frac (a (a + 5)) (- (5a-1) ) $

.
3) Izvršimo operaciju dijeljenja:

$ \ frac ((a + 5) (6a)) ((a + 1) (5a-1)): \ frac (a (a + 5)) (- (5a-1)) = \ frac ((a +5) (6a)) ((a + 1) (5a-1)) * \ frac (- (5a-1)) (a (a + 5)) = \ frac (-6) (a + 1) $.

4) Izvršimo operaciju zbrajanja:

$ \ frac (-6) (a + 1) + \ frac (a ^ 2 + 5) (a + 1) = \ frac (a ^ 2-1) (a + 1) = \ frac ((a-1) ) (a + 1)) (a +)) = a-1 $.

Desna i lijeva strana su se poklopile. Dakle, identitet je dokazan.
Dečki, prilikom rješavanja ovog primjera trebalo nam je poznavanje mnogih formula i operacija. Vidimo da se nakon transformacije veliki izraz pretvorio u vrlo mali. Kod rješavanja gotovo svih problema transformacije obično dovode do jednostavnih izraza.

Primjer 2.
Pojednostavite izraz:

$ (\ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2)): (\ frac (a) (a + b) - \ frac ( a ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2)) $.

Riješenje.
Počnimo s prvim zagradama.

1. $ \ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) = \ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (a + b) -a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = $
$ = \ frac (a ^ 3 + a ^ 2 b-a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2) $.

2. Transformirajmo druge zagrade.

$ \ frac (a) (a + b) - \ frac (a ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2) = \ frac (a) (a + b) - \ frac (a ^ 2) ((ab ) (a + b)) = \ frac (a (ab) -a ^ 2) ((ab) (a + b)) = $
$ = \ frac (a ^ 2-ab-a ^ 2) ((a-b) (a + b)) = \ frac (-ab) ((a-b) (a + b)) $.

3. Napravimo podjelu.

$ \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2): \ frac (-ab) ((ab) (a + b)) = \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2 ) * \ frac ((ab) (a + b)) ((- ab)) = $
$ = - \ frac (a (a-b)) (a + b) $

Odgovor: $ - \ frac (a (a-b)) (a + b) $.

Primjer 3.
Prati korake:

$ \ frac (k-4) (k-2): (\ frac (80k) ((k ^ 3-8) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) - \ frac (k-16) ) (2-k)) - \ frac (6k + 4) ((4-k) ^ 2) $.

Riješenje.
Kao i uvijek, trebali biste početi sa zagradama.

1. $ \ frac (80k) (k ^ 3-8) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) - \ frac (k-16) (2-k) = \ frac (80k) ( (k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) + \ frac (k-16) (k-2) = $

$ = \ frac (80k + 2k (k-2) + (k-16) (k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac (80k + 2k ^ 2-4k + k ^ 3 + 2k ^ 2 + 4k-16k ^ 2-32k-64) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = $

$ = \ frac (k ^ 3-12k ^ 2 + 48k-64) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac ((k-4) ^ 3) ((k-2 ) (k ^ 2 + 2k + 4)) $.

2. Sada napravimo podjelu.

$ \ frac (k-4) (k-2): \ frac ((k-4) ^ 3) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac (k-4) ( k-2) * \ frac ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-4) ^ 3) = \ frac ((k ^ 2 + 2k + 4)) ((k- 4) ^ 2) $.

3. Iskoristimo svojstvo: $ (4-k) ^ 2 = (k-4) ^ 2 $.
4. Izvršimo operaciju oduzimanja.

$ \ frac ((k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-4) ^ 2) - \ frac (6k + 4) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k ^ 2-4k) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k (k-4)) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k) (k-4) $.

Kao što smo ranije rekli, trebate pojednostaviti razlomak što je više moguće.
Odgovor: $ \ frac (k) (k-4) $.

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Dokažite identitet:

$ \ frac (b ^ 2-14) (b-4) - (\ frac (3-b) (7b-4) + \ frac (b-3) (b-4)) * \ frac (4-7b) ) (9b-3b ^ 2) = b + 4 $.

2. Pojednostavite izraz:

$ \ frac (4 (z + 4) ^ 2) (z-2) * (\ frac (z) (2z-4) - \ frac (z ^ 2 + 4) (2z ^ 2-8) - \ frac (2) (z ^ 2 + 2z)) $.

3. Slijedite korake:

$ (\ frac (ab) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) - \ frac (2a) ((ab) (a + b)) + \ frac (ab) ((ab) ^ 2)) * \ frac (a ^ 4-b ^ 4) (8ab ^ 2) + \ frac (2b ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2) $.

Aritmetička radnja koja se izvodi posljednja pri izračunavanju vrijednosti izraza je "glavna".

To jest, ako zamijenite bilo koje (bilo koje) brojeve umjesto slova i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako je posljednja radnja množenje, onda imamo proizvod (izraz je faktoriziran).

Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da izraz nije faktoriziran (i stoga se ne može poništiti).

Da biste sami popravili rješenje, uzmite nekoliko primjera:

primjeri:

rješenja:

1. Nadam se da niste požurili rezati i? Još uvijek nije bilo dovoljno ovako "rezati" jedinice:

Prvi korak je faktoriziranje:

4. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka je vrlo poznata operacija: tražimo zajednički nazivnik, množimo svaki razlomak s faktorom koji nedostaje i zbrajamo/oduzimamo brojnike.

prisjetimo se:

odgovori:

1. Nazivnici i su međusobno prosti, odnosno nemaju zajedničkih faktora. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom umnošku. Ovo će biti zajednički nazivnik:

2. Ovdje je zajednički nazivnik:

3. Ovdje, prije svega, pretvaramo miješane frakcije u netočne, a zatim - prema uobičajenoj shemi:

Potpuno je drugačije ako razlomci sadrže slova, na primjer:

Počnimo jednostavno:

a) Nazivnici ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i s običnim brojčanim razlomcima: pronađite zajednički nazivnik, pomnožite svaki razlomak s faktorom koji nedostaje i dodajte / oduzmi brojnike:

sada u brojniku možete donijeti slične, ako ih ima, i razložiti na faktore:

Isprobajte sami:

odgovori:

b) Nazivnici sadrže slova

Prisjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

· Prije svega, utvrđujemo zajedničke čimbenike;

· Zatim napišite sve zajedničke čimbenike jednom;

· I pomnožite ih sa svim ostalim faktorima koji nisu uobičajeni.

Da bismo odredili zajedničke čimbenike nazivnika, najprije ih razlažemo na proste faktore:

Istaknimo zajedničke čimbenike:

Sada napišimo uobičajene čimbenike jednom i dodajmo im sve neuobičajene (nepodvučene) čimbenike:

Ovo je zajednički nazivnik.

Vratimo se slovima. Nazivnici su prikazani na potpuno isti način:

· Nazivnike razlažemo na faktore;

· Određujemo zajedničke (identične) čimbenike;

· Napišite sve zajedničke čimbenike jednom;

· Množimo ih sa svim ostalim čimbenicima, ne zajedničkim.

Dakle, redom:

1) nazivnike razlažemo na faktore:

2) određujemo zajedničke (identične) čimbenike:

3) sve zajedničke faktore ispisujemo jednom i množimo ih sa svim ostalim (nenaglašenim) faktorima:

Dakle, zajednički nazivnik je ovdje. Prvi razlomak se mora pomnožiti s, a drugi s:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

U nazivnicima vidimo iste čimbenike, samo svi s različitim pokazateljima. Zajednički nazivnik će biti:

do te mjere

u stupnju.

Zakomplicirajmo zadatak:

Kako napraviti razlomke istim nazivnikom?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer ovo nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite na primjer bilo koji razlomak i brojniku i nazivniku dodajte neki broj, na primjer. Što je naučeno?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada dovodite razlomke u zajednički nazivnik, koristite samo množenje!

Ali s čime se mora pomnožiti da bi se primilo?

Evo i množi se. I pomnoži sa:

Izrazi koji se ne mogu faktorizirati nazvat ćemo "elementarni faktori".

Na primjer, elementarni je faktor. - isto. Ali - ne: to je faktorizirano.

Što mislite o izražavanju? Je li to elementarno?

Ne, budući da se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi "").

Dakle, elementarni faktori u koje širite izraz slovima analogni su prostim faktorima u koje širite brojeve. I s njima ćemo se nositi na isti način.

Vidimo da postoji faktor u oba nazivnika. Ići će na zajednički nazivnik na vlasti (sjećate se zašto?).

Faktor je elementaran i nije uobičajen za njih, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Još jedan primjer:

Riješenje:

Prije nego što panično pomnožite ove nazivnike, morate razmisliti o tome kako ih faktorizirati? Obojica predstavljaju:

Fino! Zatim:

Još jedan primjer:

Riješenje:

Kao i obično, faktorizirajte nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo izvan zagrada; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih čimbenika. Ali ako bolje pogledate, onda su toliko slični ... I istina:

Pa ćemo napisati:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotno. Imajte na umu, to ćete morati činiti često.

Sada dolazimo do zajedničkog nazivnika:

Shvaćam? Provjerimo sada.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

Ovdje moramo zapamtiti još jednu - razliku između kocki:

Imajte na umu da nazivnik drugog razlomka nije formula "kvadrata zbroja"! Kvadrat zbroja bi izgledao ovako:.

A je takozvani nepotpuni kvadrat zbroja: drugi član u njemu je umnožak prvog i posljednjeg, a ne njihov udvostručeni umnožak. Nepotpuni kvadrat zbroja jedan je od čimbenika u razgradnji razlike kocki:

Što ako već postoje tri razlomka?

Ista stvar! Prije svega, učinit ćemo tako da maksimalni broj faktora u nazivnicima bude isti:

Obratite pažnju: ako promijenite predznake unutar jedne zagrade, znak ispred razlomka mijenja se u suprotan. Kad promijenimo predznake u drugoj zagradi, predznak ispred razlomka se ponovno obrne. Kao rezultat toga, on (znak ispred razlomka) se nije promijenio.

U zajedničkom nazivniku ispišite prvi nazivnik u cijelosti, a zatim mu dodajte sve faktore koji još nisu upisani, iz drugog, pa iz trećeg (i tako dalje, ako ima više razlomaka). Odnosno, ispada ovako:

Hmm ... Sa razlomcima je jasno što učiniti. Ali što je s dvojkom?

Jednostavno je: možete zbrajati razlomke, zar ne? To znači da trebamo učiniti da dvojka postane razlomak! Zapamtite: razlomak je operacija dijeljenja (brojnik je podijeljen nazivnikom, u slučaju da ste iznenada zaboravili). A nema ništa lakše nego podijeliti broj s. U ovom slučaju, sam broj se neće promijeniti, ali će se pretvoriti u razlomak:

Upravo ono što je potrebno!

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pa, najteži dio je sada gotov. A pred nama je ono najjednostavnije, ali ujedno i najvažnije:

Postupak

Kakav je postupak za izračunavanje brojčanog izraza? Zapamtite brojeći značenje takvog izraza:

Jeste li ga izbrojali?

Trebalo bi djelovati.

Dakle, da vas podsjetim.

Prvi korak je izračunavanje stupnja.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji nekoliko množenja i dijeljenja u isto vrijeme, možete ih učiniti bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, radimo zbrajanje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradama se vrednuje van reda!

Ako se više zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo izračunamo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili podijelimo.

Što ako unutar zagrada ima više zagrada? Pa, razmislimo o tome: neki izraz je napisan unutar zagrada. A kada ocjenjujete izraz, što je prvo učiniti? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutarnje zagrade, a zatim sve ostalo.

Dakle, postupak za gornji izraz je sljedeći (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju trenutno izvodim):

Dobro, sve je jednostavno.

Ali to nije isto što i izraz sa slovima?

Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija, trebate raditi one algebarske, odnosno radnje opisane u prethodnom odjeljku: donoseći slične, zbrajanje razlomaka, smanjenje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika je učinak faktoringa polinoma (često ga koristimo pri radu s razlomcima). Najčešće, za faktoring, trebate koristiti i ili jednostavno staviti zajednički faktor izvan zagrada.

Obično nam je cilj predstaviti izraz u obliku djela ili pojedinosti.

Na primjer:

Pojednostavimo izraz.

1) Prvi je pojednostaviti izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je predstaviti je kao proizvod ili kvocijent. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je više pojednostaviti ovaj izraz, ovdje su svi faktori elementarni (sjećate li se još što to znači?).

2) Dobivamo:

Množenje razlomaka: što bi moglo biti lakše.

3) Sada možete skratiti:

Dakle, to je sve. Ništa komplicirano, zar ne?

Još jedan primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte sami riješiti, pa tek onda vidite rješenje.

Riješenje:

Prije svega, definirajmo redoslijed radnji.

Prvo, zbrajamo razlomke u zagradama, dobivamo jedan umjesto dva razlomka.

Zatim ćemo podijeliti razlomke. Pa, dodajte rezultat s zadnjim razlomkom.

Shematski ću numerirati korake:

Sada ću pokazati cijeli proces, obojivši trenutnu radnju crvenom bojom:

1. Ako ima sličnih, moraju se odmah donijeti. U kojem god trenutku imamo slične, preporučljivo ih je odmah donijeti.

2. Isto vrijedi i za smanjenje frakcija: čim postoji prilika za smanjenje, mora se iskoristiti. Iznimka su razlomci koje zbrajate ili oduzimate: ako sada imaju iste nazivnike, smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje ćete sami riješiti:

I obećao na samom početku:

odgovori:

Rješenja (sažeto):

Ako ste se snašli s barem prva tri primjera, onda ste svladali temu.

Sada naprijed u učenje!

TRANSFORMACIJA IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije pojednostavljenja:

Dovođenje sličnih: da biste dodali (donijeli) takve pojmove, potrebno je zbrojiti njihove koeficijente i dodijeliti slovni dio.
Faktorizacija: izdvajanje zajedničkog faktora, primjena itd.
Smanjenje frakcije: brojnik i nazivnik razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem koji nije nula, što ne mijenja vrijednost razlomka.
1) brojnik i nazivnik faktor
2) ako u brojniku i nazivniku postoje zajednički čimbenici, mogu se precrtati.
VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka:
;
Množenje i dijeljenje razlomaka:
;