Paralelogram. Paralelogram Kako pronaći donju visinu paralelograma

Kako odrediti visinu paralelograma, znajući neke njegove druge parametre? Kao što su površina, duljine dijagonala i stranica, veličina kutova.

Trebat će vam

• kalkulator

Upute

U zadacima iz geometrije, točnije u planimetriji i trigonometriji, ponekad je potrebno pronaći visinu paralelograma na temelju zadanih vrijednosti stranica, kutova, dijagonala itd.

Da biste pronašli visinu paralelograma, znajući njegovu površinu i duljinu baze, morate koristiti pravilo za određivanje površine paralelograma. Područje paralelograma, kao što znate, jednako je umnošku visine i duljine baze:

S - površina paralelograma,

a - duljina baze paralelograma,

h je duljina visine spuštene na stranu a, (ili na njezin nastavak).

Iz ovoga nalazimo da će visina paralelograma biti jednaka površini podijeljenoj s duljinom baze:

Na primjer,

dano: površina paralelograma je 50 kvadratnih cm, baza je 10 cm -

nađi: visinu paralelograma.

h = 50/10 = 5 (cm).

Budući da visina paralelograma, dio baze i stranica uz bazu tvore pravokutni trokut, neki omjeri stranica i kutovi pravokutnih trokuta mogu se koristiti za pronalaženje visine paralelograma.

Ako je strana paralelograma susjedna visini h (DE) poznata d (AD), a kut A (BAD) nasuprot visini, tada se izračun visine paralelograma mora pomnožiti s duljinom susjednog pored sinusa suprotnog kuta:

na primjer, ako je d = 10 cm, a kut A = 30 stupnjeva, onda

H = 10 * sin (30?) = 10 * 1/2 = 5 (cm).

Ako se u uvjetima zadatka specificiraju duljina stranice paralelograma uz visinu h (DE) i duljina dijela baze odsječenog visinom (AE), tada se visina paralelograma može može se pronaći pomoću Pitagorine teoreme:

| AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2, odakle definiramo:

h = | ED | =? (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2),

oni. visina paralelograma jednaka je kvadratnom korijenu razlike kvadrata duljine susjedne stranice i dijela osnovice odsječenog visinom.

Na primjer, ako je duljina susjedne stranice 5 cm, a duljina odsječenog dijela baze je 3 cm, tada će duljina visine biti:

h =? (5 ^ 2-3 ^ 2) = 4 (cm).

Ako su poznate duljina dijagonale (DV) paralelograma uz visinu i duljina dijela baze odsječenog visinom (BE), tada se visina paralelograma može pronaći i pomoću Pitagorinog teorema :

| VE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | VD | ^ 2, odakle definiramo:

h = | ED | =? (| VD | ^ 2- | BE | ^ 2),

oni. visina paralelograma jednaka je kvadratnom korijenu razlike kvadrata duljine susjedne dijagonale i presječne visine (i dijagonale) dijela baze.

Na primjer, ako je duljina susjedne stranice 5 cm, a duljina odsječenog dijela baze je 4 cm, tada će duljina visine biti:

h =? (5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (cm).

Visina poligona je segment ravne linije okomit na jednu od strana lika, koji ga povezuje s vrhom suprotnog kuta. U ravnoj konveksnoj slici postoji nekoliko takvih segmenata, a njihove duljine nisu iste ako je barem jedna strana poligona različite veličine. Stoga je u zadacima iz kolegija geometrije ponekad potrebno odrediti duljinu veće visine, na primjer, trokuta ili paralelograma.

Upute

Odredite koja od visina poligona treba imati najveću duljinu. U trokutu je to odsječak spušten na najkraću stranu, pa ako su dimenzije sve tri strane dane u početnim uvjetima, onda nema potrebe pogađati.

Ako se uz duljinu najkraće stranice trokuta (a) u uvjetima navede i površina (S) lika, formula za izračunavanje najveće od visina (H?) bit će prilično jednostavno. Udvostručite površinu i podijelite dobivenu vrijednost s duljinom kratke stranice - to će biti željena visina: H? = 2 * S / a.

Bez poznavanja područja, ali imajući duljine svih strana trokuta (a, b i c), možete pronaći i najdužu od njegovih visina, ali bit će mnogo više matematičkih operacija. Počnite s izračunom pomoćne količine - poluperimetra (p). Da biste to učinili, dodajte duljine svih strana i podijelite rezultat na pola: p = (a + b + c) / 2.

Pomnožite poluperimetar tri puta s razlikom između njega i svake strane: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). Iz dobivene vrijednosti izdvojite kvadratni korijen? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) i nemojte se iznenaditi - koristili ste Heronovu formulu da biste pronašli površinu trokuta. Da bismo odredili duljinu najveće visine, ostaje zamijeniti površinu u formuli iz drugog koraka s rezultirajućim izrazom: H? = 2 *? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

Veliku visinu paralelograma (H?) još je lakše izračunati ako su poznati površina ove figure (S) i duljina njezine kratke stranice (a). Prvo podijelite s drugim i dobit ćete željeni rezultat: H? = S / a.

Ako znate vrijednost kuta (?) u bilo kojem od vrhova paralelograma, kao i duljine stranica (a i b) koje tvore ovaj kut, neće biti teško pronaći najveću od visina . Da biste to učinili, pomnožite vrijednost duge strane sa sinusom poznatog kuta, a rezultat podijelite s duljinom kratke stranice: H? = b * sin (?) / a.

Kod kojih su suprotne strane paralelne. Ako paralelogram ima sve kutove prave, onda se takav paralelogram naziva pravokutnik, a pravokutnik sa svim stranama jednakim naziva se kvadrat.

Svi paralelogrami imaju sljedeća svojstva:

• suprotne strane su jednake:

  AB = CD i PRIJE KRISTA = DA

• suprotni kutovi su jednaki:

  ∠ABC = ∠CDA i ∠ MRLJA = ∠BCD

• zbroj kutova uz jednu stranu je 180°:

  ∠ABC + ∠BCD= 180 °
  ∠BCD + ∠CDA= 180 °
  ∠CDA + ∠MRLJA= 180 °
  ∠MRLJA + ∠ABC= 180 °

• u točki presjeka, dijagonale su prepolovljene:

  AO = OC i BO = OD

• svaka dijagonala dijeli paralelogram na dva jednaka trokuta:

  Δ ABC = Δ CDA i Δ ABD = Δ BCD

• presjek dijagonala je središte simetrije paralelograma:

  Točka O je centar simetrije.

Visina

Donja strana paralelograma se zove osnovu, a okomica spuštena na bazu iz bilo koje točke na suprotnoj strani je visina.

OGLAS je baza paralelograma, h- visina.

Visina izražava udaljenost između suprotnih strana, pa se definicija visine može formulirati i na sljedeći način: visina paralelograma je okomica spuštena iz bilo koje točke s jedne strane na suprotnu stranu.

Kvadrat

Da biste izmjerili površinu paralelograma, možete ga predstaviti kao pravokutnik. Razmotrimo paralelogram ABCD:

Izgrađene visine BITI i CF formirati pravokutnik EBCF i dva trokuta: Δ ABE i Δ DCF... Paralelogram ABCD sastoji se od četverokuta EBCD i trokut ABE, pravokutnik EBCF sastoji se od istog četverokuta i trokuta DCF... Trokuti ABE i DCF jednaki su (prema četvrtom kriteriju jednakosti pravokutnih trokuta), što znači da su površine pravokutnika s paralelogramom jednake, budući da se sastoje od jednakih dijelova.

Dakle, paralelogram se može predstaviti kao pravokutnik s istom bazom i visinom. A budući da se duljine baze i visine množe kako bi se pronašla površina pravokutnika, to znači da za pronalaženje površine paralelograma morate učiniti isto:

kvadrat ABCD = OGLAS · BITI

Iz ovog primjera možemo zaključiti da površina paralelograma jednaka je umnošku njegove baze na njegovu visinu... Opća formula:

S = Ah

gdje S je površina paralelograma, a- baza, h- visina.

Pronađite dijagonalu paralelograma povučenu iz vrha tupog kuta i kutove koje čini sa stranicama paralelograma. Koristeći kosinusni teorem, možete pronaći simetrale paralelograma preko stranica. Ako znate vrijednost kuta (α) u bilo kojem od vrhova paralelograma, kao i duljine stranica (a i b) koje tvore ovaj kut, neće biti teško pronaći najveći od visine.

Ako, uz duljinu najkraće stranice trokuta (a), uvjeti daju površinu (S) lika, formula za izračun veće visine (Hₐ) bit će prilično jednostavna. Bez poznavanja područja, ali imajući duljine svih strana trokuta (a, b i c), možete pronaći i najdužu od njegovih visina, ali bit će mnogo više matematičkih operacija. Počnite s izračunom pomoćne količine - poluperimetra (p). Da biste to učinili, dodajte duljine svih strana i podijelite rezultat na pola: p = (a + b + c) / 2.

Iz dobivene vrijednosti izvadite kvadratni korijen √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) i nemojte se iznenaditi - koristili ste Heronovu formulu da biste pronašli površinu trokuta. Da bi se odredila duljina najveće visine, ostaje zamijeniti površinu u formuli iz drugog koraka s rezultirajućim izrazom: Hₐ = 2 * √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

Bilješka. Ovo je dio lekcije s problemima geometrije (paralelogram presjeka). Vidi također: Svojstva i područje paralelograma. Zatim, poznavajući jedan od kutova, ovisno o tome koja je visina zadana, oduzimamo ga od 180 stupnjeva kako bismo pronašli drugi. Koristeći isti kosinusni teorem, možete pronaći kut između dijagonala u jednom od četiri trokuta koje su formirali, gdje su stranice polovica dijagonala i jedna od stranica paralelograma.

Ovdje imamo puno ljudi koji će vam pomoći. Također, moje zadnje pitanje je riješeno za manje od 10 minuta: D U svakom slučaju, možete jednostavno ući i pokušati dodati svoje pitanje. Paralelogram je vrsta četverokuta, a visina je okomica od vrha na suprotnu stranu.

Pomnožite poluperimetar tri puta s razlikom između njega i svake strane: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). Da biste to učinili, pomnožite vrijednost duge strane sa sinusom poznatog kuta, a rezultat podijelite s duljinom kratke stranice: Hₐ = b * sin (α) / a. Rezultati USE-a ne ovise samo o znanju i vještinama diplomanta: važno je i ispravno popuniti ...

Besplatna pomoć oko zadaće

Ako trebate riješiti problem geometrije koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Morate naučiti kako pravilno i POTPUNO formulirati pitanje. Potrebno je u potpunosti napisati stanje problema. Trokut se smatra jednakokračnim, jer iz svojstava simetrale i zbroja kutova u trokutu proizlazi da su kutovi na bazi takvog trokuta podudarni. Molim vas pomozite mi riješiti jedan problem.

Stoga je u zadacima iz kolegija geometrije ponekad potrebno odrediti duljinu veće visine, na primjer, trokuta ili paralelograma. Opseg paralelograma, znajući stranice, izgleda kao njihov udvostručeni zbroj, a površina je umnožak visine i stranice za koju je spušten.

Paralelogram je četverokut s međusobno suprotnim i parno paralelnim stranicama.

Visina paralelograma je pravac koji je okomit na jednu stranu paralelograma i povezuje tu stranu s suprotnim kutom.

Kako bismo saznali kako pronaći duljinu visine paralelograma, okrenimo se formulama. Visina se najčešće označava slovom h.

Način pronalaženja visine ovisi o vrijednostima koje poznajemo u zadatku. Razmotrimo različite metode s konkretnim primjerima.

Primjer 1

Dane su površina (S) i duljina baze (a).

• Formula: h = S / a

Primjer: Površina paralelograma je 100 cm 2, osnovica na koju je povučena visina je 20 cm. Pronađite visinu.

• h = 100/20 = 5
• Odgovor: 5 cm

Primjer 2

Zadane su duljina stranice paralelograma uz visinu (b) i kut nasuprot samoj visini (a).

• Formula: h = b * sin a

Primjer: Označimo naš paralelogram slovima ABCD, visina BE prelazi iz kuta ABC na stranicu AD. Duljina stranice AB je 20 cm, kut BAD je 30 stupnjeva. Pronađite visinu.

• h = 20 * sin 30 ° = 20 * 0,5 = 10

Odgovor: 10 cm

Primjer 3

Dane su duljina stranice paralelograma uz visinu (n) i duljina stranice odsječene od baze (m).

• h = korijen od (n 2 - m 2)

Primjer: u paralelogramu ABCD visina BE ide od kuta ABC do stranice AD. Duljina AB je 5 cm, duljina AE je 3 cm. Nađite visinu.

• h = korijen (AD 2 - AB 2)
• h = korijen od (5 2 -3 2) = 4
• Odgovor: 4 cm

Primjer 4

Dane su duljina dijagonale koja se proteže iz istog kuta kao i visina (d) i duljina stranice odsječene od baze (m).

• h = korijen (d 2 - m 2)

Primjer: u paralelogramu ABCD visina BE ide od kuta ABC do stranice AD. Dijagonala BD je 5 cm, duljina ED = 4 cm.

• h = korijen (BD 2 - ED 2)
• h = korijen od (5 2 - 4 2) = 3
• Odgovor: 3 cm

Ako je u zadatku potrebno pronaći veliku visinu paralelograma, tada je potrebno izračunati duljine obje visine i odabrati najveću vrijednost.

Kako odrediti visinu paralelograma, znajući neke njegove druge parametre? Kao što su površina, duljine dijagonala i stranica, veličina kutova.

Trebat će vam

• kalkulator

Upute

1. U problemima geometrije, odnosno u planimetriji i trigonometriji, ponekad je potrebno pronaći visinu paralelograma na temelju zadanih vrijednosti stranica, kutova, dijagonala itd. Površina paralelograma, kao što je poznato, jednaka je umnošku visine na duljinu baze: S = a * h, gdje je: S površina paralelograma, a duljina baza paralelograma, h je duljina visine spuštene na stranu a, (ili njen nastavak). da će visina paralelograma biti jednaka površini podijeljenoj s duljinom baze: h = S / a Za Na primjer, dano: površina paralelograma je 50 kvadratnih cm, baza je 10 cm; pronađite: visina paralelograma h = 50/10 = 5 (cm).

2. Budući da visina paralelograma, dio baze i stranica uz bazu tvore pravokutni trokut, dopušteno je upotrijebiti neke omjere stranica i kutove pravokutnih trokuta za pronalaženje visine paralelograma. A ( BAD), a zatim izračunavajući visinu paralelograma, trebate pomnožiti duljinu susjedne strane sa sinusom suprotnog kuta: h = d * sinA, recimo, ako je d = 10 cm, a kut A = 30 stupnjeva , tada je H = 10 * sin (30?) = 10 * 1/2 = 5 (cm).

3. Ako su u uvjetima zadatka zadane duljina stranice paralelograma uz visinu h (DE) i duljina dijela baze odsječenog visinom (AE), tada se visina paralelograma može može se pronaći pomoću Pitagorinog teorema: | AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2, odakle definiramo: h = | ED | =? (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2), tj visina paralelograma jednaka je kvadratnom korijenu razlike između kvadrata duljine susjedne stranice i visine presjeka dijela baze. Recimo, ako je duljina susjedne stranice 5 cm, a duljina odsječenog dijela baze je 3 cm, tada će duljina visine biti: h =? (5 ^ 2- 3 ^ 2) = 4 (cm).

4. Ako je poznata duljina dijagonale (DB) paralelograma uz visinu i duljina dijela baze (BE) odsječenog visinom, tada se visina paralelograma također može pronaći pomoću Pitagorinog teorema : | BE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | BD | ^ 2, odakle definiramo: h = | ED | =? (| VD | ^ 2- | BE | ^ 2), tj. visina paralelograma jednaka je kvadratnom korijenu razlike između kvadrata duljine susjedne dijagonale i granične visine (i dijagonale) dijela baze. Recimo, ako je duljina naslona stranica je 5 cm, a duljina odsječenog dijela baze je 4 cm, tada će duljina visine biti: h =? ( 5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (cm).

Visina poligona je segment ravne linije okomit na jednu od strana lika, onu koja ga povezuje s vrhom suprotnog kuta. U ravnoj konveksnoj figuri postoji nekoliko takvih segmenata, a njihove duljine nisu identične, ako barem jedna strana poligona ima dobru veličinu u usporedbi s ostalima. Posljedično, u zadacima iz kolegija geometrije ponekad je potrebno odrediti duljinu veće visine, recimo, trokuta ili paralelograma.

Upute

1. Odredite koja od visina poligona treba imati najveću duljinu. U trokutu je to segment spušten na najkraću stranu, pa ako početni uvjeti daju veličine sve 3 strane, onda ne morate pogađati.

2. Ako, uz duljinu najkraće stranice trokuta (a), uvjeti daju površinu (S) lika, formula za izračunavanje veće visine (H?) bit će prilično primitivna. Udvostručite površinu i podijelite dobivenu vrijednost s duljinom kratke stranice - to će biti željena visina: H? = 2 * S / a.

3. Bez poznavanja površine, ali imajući duljine svih strana trokuta (a, b i c), također je dopušteno pronaći najdužu od njegovih visina, međutim, matematičke operacije bit će mnogo veće. Počnite s izračunom pomoćne količine - poluperimetra (p). Da biste to učinili, zbrojite duljine svih strana i podijelite zbroj na pola: p = (a + b + c) / 2.

4. Pomnožite poluperimetar tri puta s razlikom između njega i bilo koje strane: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). Iz dobivene vrijednosti izvadite kvadratni korijen? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) i nemojte se čuditi - koristili ste Heronovu formulu da biste pronašli površinu trokuta. Da bismo odredili duljinu najveće visine, ostaje zamijeniti površinu u formuli iz drugog koraka s rezultirajućim izrazom: H? = 2 *? (P * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

5. Ogromnu visinu paralelograma (H?) još je lakše izračunati ako su poznati površina ove figure (S) i duljina njegove kratke stranice (a). Prvo podijelite s drugim i dobijete traženi zbroj: H? = S / a.

6. Ako znamo vrijednost kuta (?) u bilo kojem od vrhova paralelograma, kao i duljine stranica (a i b) koje tvore ovaj kut, neće biti teško pronaći ni najveću od visina . Da biste to učinili, pomnožite vrijednost duge strane sa sinusom poznatog kuta i podijelite ukupni iznos s duljinom kratke stranice: H? = b * sin (?) / a.

Slični Videi