4 x dimenzionalne figure. Četverodimenzionalna kocka

Bakalar Marija

Proučavaju se metode uvođenja pojma četverodimenzionalne kocke (teserakta), njezina struktura i neka svojstva.Pitanje koji se trodimenzionalni objekti dobivaju kada se četverodimenzionalna kocka siječe hiperravnima paralelnim s njezinim trodimenzionalnim plohama, kao i hiperravnine okomite na njegovu glavnu dijagonalu. Razmatran je aparat višedimenzionalne analitičke geometrije koji se koristi za istraživanje.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Uvod ………………………………………………………………………………… .2

Glavni dio ……………………………………………………………………… ..4

Zaključci ………… .. …………………………………………………………………… ..12

Reference …………………………………………………………………… ..13

Uvod

Četverodimenzionalni prostor dugo je privlačio pozornost i profesionalnih matematičara i ljudi koji su daleko od bavljenja ovom znanošću. Interes za četvrtu dimenziju može biti posljedica pretpostavke da je naš trodimenzionalni svijet "uronjen" u četverodimenzionalni prostor, baš kao što je ravnina "uronjena" u trodimenzionalni prostor, ravna linija je "uronjena" u ravnina, a točka je u pravoj liniji. Osim toga, četverodimenzionalni prostor igra važnu ulogu u modernoj teoriji relativnosti (tzv. prostor-vrijeme ili prostor Minkowskog), a može se smatrati i posebnim slučajem.dimenzionalni euklidski prostor (za).

Četverodimenzionalna kocka (tesseract) je objekt četverodimenzionalnog prostora koji ima najveću moguću dimenziju (baš kao što je obična kocka objekt trodimenzionalnog prostora). Imajte na umu da je također od neposrednog interesa, naime, može se pojaviti u optimizacijskim problemima linearnog programiranja (kao područje u kojem se traži minimum ili maksimum linearne funkcije četiri varijable), a također se koristi u digitalnoj mikroelektronici (kada se programiranje rada elektroničkog prikaza sata). Osim toga, sam proces proučavanja četverodimenzionalne kocke pridonosi razvoju prostornog mišljenja i mašte.

Stoga je proučavanje strukture i specifičnih svojstava četverodimenzionalne kocke vrlo relevantno. Treba napomenuti da je u pogledu strukture četverodimenzionalna kocka prilično dobro proučena. Mnogo je veći interes karakter njegovih presjeka raznim hiperravnima. Stoga je glavni cilj ovog rada proučavati strukturu teserakta, kao i razjasniti pitanje kakvi će se trodimenzionalni objekti dobiti ako se četverodimenzionalna kocka secira hiperravninama paralelnim s jednom od njegovih trodimenzionalnih dimenzionalnim plohama ili hiperravninama okomitim na njegovu glavnu dijagonalu. Hiperravnina u četverodimenzionalnom prostoru je trodimenzionalni podprostor. Možemo reći da je ravna crta na ravnini jednodimenzionalna hiperravnina, ravnina u trodimenzionalnom prostoru je dvodimenzionalna hiperravnina.

Postavljeni cilj odredio je ciljeve studije:

1) Proučiti osnovne činjenice višedimenzionalne analitičke geometrije;

2) Proučiti značajke građenja kocki dimenzija od 0 do 3;

3) Proučite strukturu četverodimenzionalne kocke;

4) Analitički i geometrijski opisati četverodimenzionalnu kocku;

5) Izraditi modele zamaha i središnjih projekcija trodimenzionalnih i četverodimenzionalnih kocki.

6) Aparatom višedimenzionalne analitičke geometrije opišite trodimenzionalne objekte koji nastaju presjekom četverodimenzionalne kocke hiperravninama paralelnim s jednom od njezinih trodimenzionalnih ploha ili hiperravninama okomitim na njegovu glavnu dijagonalu.

Ovako dobivene informacije omogućit će bolje razumijevanje strukture teserakta, kao i otkrivanje duboke analogije u strukturi i svojstvima kocki različitih dimenzija.

Glavni dio

Najprije opisujemo matematički aparat koji ćemo koristiti u toku ovog istraživanja.

1) Vektorske koordinate: ako, onda

2) Jednadžba hiperravnine s normalnim vektorom ima oblik Ovdje

3) Avioni i su paralelne ako i samo ako

4) Udaljenost između dvije točke određuje se na sljedeći način: ako, onda

5) Uvjet ortogonalnosti za vektore:

Prije svega, doznajmo kako možete opisati četverodimenzionalnu kocku. To se može učiniti na dva načina - geometrijski i analitički.

Ako govorimo o geometrijskoj metodi dodjele, onda je ovdje preporučljivo pratiti proces konstruiranja kocki, počevši od nulte dimenzije. Kocka nulte dimenzije je točka (napomenimo, usput, da točka može igrati i ulogu nuldimenzionalne lopte). Zatim uvodimo prvu dimenziju (os apscise) i označavamo dvije točke (dvije nuldimenzionalne kocke) na odgovarajućoj osi, koje su međusobno udaljene 1. Rezultirajući segment je jednodimenzionalna kocka. Odmah zapazimo karakterističnu osobinu: Granica (krajevi) jednodimenzionalne kocke (segmenta) su dvije nuldimenzionalne kocke (dvije točke). Zatim uvodimo drugu dimenziju (os ordinate) i na ravninukonstruiramo dvije jednodimenzionalne kocke (dva segmenta), čiji su krajevi međusobno udaljeni 1 (zapravo, jedan od segmenata je ortogonalna projekcija drugog). Povezujući odgovarajuće krajeve segmenata, dobivamo kvadrat - dvodimenzionalnu kocku. Opet, imajte na umu da je granica dvodimenzionalne kocke (kvadrata) četiri jednodimenzionalne kocke (četiri segmenta linije). Konačno, uvodimo treću dimenziju (os aplikacije) i crtamo u prostorudva kvadrata na način da je jedan od njih ortogonalna projekcija drugog (dok su odgovarajući vrhovi kvadrata međusobno udaljeni 1). Odgovarajuće vrhove povezujemo segmentima - dobivamo trodimenzionalnu kocku. Vidimo da je granica trodimenzionalne kocke šest dvodimenzionalnih kocki (šest kvadrata). Opisane konstrukcije omogućuju otkrivanje sljedećeg uzorka: na svakom korakudimenzionalna kocka se "pomiče, ostavljajući trag" unutrae mjerenje na udaljenosti 1, dok je smjer kretanja okomit na kocku. Formalni nastavak ovog procesa omogućuje nam da dođemo do koncepta četverodimenzionalne kocke. Naime, natjerajmo trodimenzionalnu kocku da se kreće u smjeru četvrte dimenzije (okomito na kocku) na udaljenosti od 1. Djelujući slično prethodnoj, odnosno povezujući odgovarajuće vrhove kocke, dobit ćemo četverodimenzionalna kocka. valja napomenuti da je geometrijski takva konstrukcija u našem prostoru nemoguća (jer je trodimenzionalna), ali ovdje ne nailazimo na nikakve proturječnosti s logičke točke gledišta. Prijeđimo sada na analitički opis četverodimenzionalne kocke. Dobiva se i formalno, po analogiji. Dakle, analitička specifikacija nuldimenzionalne jedinične kocke je sljedeća:

Analitička specifikacija jednodimenzionalne jedinične kocke je sljedeća:

Analitička specifikacija dvodimenzionalne jedinične kocke je sljedeća:

Analitički zadatak trodimenzionalne jedinične kocke je sljedeći:

Sada je vrlo lako dati analitički prikaz četverodimenzionalne kocke, naime:

Kao što vidite, i u geometrijskoj i u analitičkoj metodi definiranja četverodimenzionalne kocke korištena je metoda analogije.

Sada ćemo pomoću aparature analitičke geometrije saznati kakvu strukturu ima četverodimenzionalna kocka. Prvo, otkrijmo koji su elementi uključeni u njega. Ovdje opet možete koristiti analogiju (da biste postavili hipotezu). Granica jednodimenzionalne kocke su točke (nul-dimenzionalne kocke), dvodimenzionalne kocke - segmenti (jednodimenzionalne kocke), trodimenzionalne kocke - kvadrati (dvodimenzionalne površine). Može se pretpostaviti da su granica teserakta trodimenzionalne kocke. Da bismo to dokazali, razjasnimo što se podrazumijeva pod vrhovima, bridovima i plohama. Nazovimo njegove kutne točke vrhovima kocke. To jest, koordinate vrhova mogu biti nule ili jedinice. Tako se pronalazi odnos između dimenzije kocke i broja njezinih vrhova. Primjenjujemo kombinatorno pravilo proizvoda – od vrhadimenzionalna kocka ima točnokoordinate, od kojih je svaka jednaka nuli ili jedan (bez obzira na sve ostale), onda ukupno postojivrhovima. Dakle, na bilo kojem vrhu sve koordinate su fiksne i mogu jednake ili ... Ako popravimo sve koordinate (dajući svaku od njih jednakima ili , bez obzira na ostale), osim jednog, tada dobivamo ravne linije koje sadrže rubove kocke. Slično kao i prethodni, možete računati da ih točno imastvari. A ako sada popravimo sve koordinate (dajući svaku od njih jednakima ili , bez obzira na ostale), osim neke dvije, dobivamo ravnine koje sadrže dvodimenzionalne površine kocke. Koristeći kombinatorno pravilo, nalazimo da ih točno imastvari. Nadalje, slično - fiksiranje svih koordinata (stavljanje svake od njih jednake ili , bez obzira na ostale), osim neke tri, dobivamo hiperravnine koje sadrže trodimenzionalne površine kocke. Koristeći isto pravilo, izračunavamo njihov broj - točnoitd. Ovo će biti dovoljno za naše proučavanje. Primijenimo dobivene rezultate na strukturu četverodimenzionalne kocke, naime u sve izvedene formule stavimo... Prema tome, četverodimenzionalna kocka ima: 16 vrhova, 32 brida, 24 dvodimenzionalna lica i 8 trodimenzionalnih lica. Radi jasnoće, definirajmo analitički sve njegove elemente.

Vrhovi četverodimenzionalne kocke:

Rubovi četverodimenzionalne kocke ():

2D lica 4D kocke (slična ograničenja):

Trodimenzionalna lica četverodimenzionalne kocke (slična ograničenja):

Sada kada su struktura četverodimenzionalne kocke i metode njezina dodjeljivanja opisane dovoljno potpuno, prijeći ćemo na provedbu glavnog cilja - razjasniti prirodu različitih dijelova kocke. Počnimo s elementarnim slučajem kada su presjeci kocke paralelni s jednom od njezinih trodimenzionalnih ploha. Na primjer, razmotrite njegove presjeke hiperravninama paralelnim s licemIz analitičke geometrije je poznato da će svaki takav presjek biti dan jednadžbomPostavimo odgovarajuće sekcije analitički:

Kao što vidite, dobiven je analitički zadatak trodimenzionalne jedinične kocke koja leži u hiperravni

Da bismo uspostavili analogiju, zapisujemo presjek trodimenzionalne kocke ravninom dobivamo:

Ovo je kvadrat koji leži u ravnini... Analogija je očita.

Presjeci četverodimenzionalne kocke hiperravninamadaju potpuno slične rezultate. To će također biti jedinične trodimenzionalne kocke koje leže u hiperravninama odnosno.

Sada ćemo razmotriti presjeke četverodimenzionalne kocke hiperravninama okomitim na njegovu glavnu dijagonalu. Najprije riješimo ovaj problem za trodimenzionalnu kocku. Koristeći gore opisanu metodu za specificiranje jedinične trodimenzionalne kocke, zaključuje da se kao glavna dijagonala može uzeti, na primjer, segment s krajevima i ... Dakle, vektor glavne dijagonale će imati koordinate... Stoga će jednadžba bilo koje ravnine okomite na glavnu dijagonalu imati oblik:

Odredite granice promjene parametra... Jer , tada, zbrajajući ove nejednakosti pojam po članu, dobivamo:

Ili .

Ako tada (zbog ograničenja). Slično, ako, zatim . Dakle, za i za rezna ravnina i kocka imaju točno jednu zajedničku točku ( i odnosno). Zabilježimo sada sljedeće. Ako(opet zbog varijabilnih ograničenja). Odgovarajuće ravnine sijeku tri lica odjednom, jer bi inače rezna ravnina bila paralelna s jednom od njih, što nije slučaj po uvjetu. Ako, tada ravnina siječe sve strane kocke. Ako, tada ravnina siječe lica... Izložimo odgovarajuće izračune.

Neka bude Zatim avionprelazi granicu u ravnoj liniji, štoviše. Edge, štoviše. Rub ravnina se siječe u pravoj liniji, i

Neka bude Zatim avionprelazi granicu:

ravan rub, štoviše.

ravan rub, štoviše.

ravan rub, štoviše.

ravan rub, štoviše.

ravan rub, štoviše.

ravan rub, štoviše.

Ovaj put se dobiva šest segmenata koji imaju sukcesivno zajedničke krajeve:

Neka bude Zatim avionprelazi granicu u ravnoj liniji, štoviše. Rub ravnina se siječe u pravoj liniji, štoviše. Rub ravnina se siječe u pravoj liniji, i ... Odnosno, dobivena su tri segmenta koji imaju par zajedničkih krajeva:Dakle, za navedene vrijednosti parametraravnina će presjeći kocku u pravilnom trokutu s vrhovima

Dakle, ovdje je iscrpan opis ravninskih figura dobivenih kada kocku siječe ravnina okomita na njegovu glavnu dijagonalu. Glavna ideja je bila sljedeća. Potrebno je razumjeti koja lica ravnina siječe, duž kojih skupova ih siječe, kako su ti skupovi međusobno povezani. Na primjer, ako se pokazalo da ravnina siječe točno tri lica duž odsječaka koji imaju parno zajedničke krajeve, tada je presjek bio jednakostranični trokut (što se dokazuje izravnim izračunavanjem duljina segmenata), čiji su vrhovi ovi krajevi segmenata.

Koristeći isti aparat i istu ideju istraživanja presjeka, na potpuno analogan način mogu se izvesti sljedeće činjenice:

1) Vektor jedne od glavnih dijagonala četverodimenzionalne jedinične kocke ima koordinate

2) Svaka hiperravnina okomita na glavnu dijagonalu četverodimenzionalne kocke može se napisati kao.

3) U jednadžbi sekantne hiperravnine parametarmože varirati od 0 do 4;

4) Za i sekantna hiperravnina i četverodimenzionalna kocka imaju jednu zajedničku točku ( i odnosno);

5) Kada u presjeku će se dobiti pravilan tetraedar;

6) Kada u presjeku će se dobiti oktaedar;

7) Kada u presjeku će se dobiti pravilan tetraedar.

Sukladno tome, ovdje hiperravnina siječe teserakt duž ravnine, na kojoj se, zbog ograničenja varijabli, izdvaja trokutasto područje (analogija, ravnina je pravocrtno sijekla kocku, na kojoj je zbog ograničenja varijabli, izdvojen je segment). U slučaju 5), hiperravnina siječe točno četiri trodimenzionalna lica teserakta, odnosno dobivaju se četiri trokuta koji imaju parno zajedničke stranice, drugim riječima, tvoreći tetraedar (kako se može izračunati, to je točno). U slučaju 6), hiperravnina siječe točno osam trodimenzionalnih lica teserakta, odnosno dobije se osam trokuta koji imaju sukcesivno zajedničke stranice, drugim riječima, tvoreći oktaedar. Slučaj 7) potpuno je sličan slučaju 5).

Ilustrirajmo rečeno konkretnim primjerom. Naime, istražujemo presjek četverodimenzionalne kocke hiperravninomZbog ograničenja varijabli, ova hiperravnina siječe sljedeća trodimenzionalna lica: Rub siječe na ravniniZbog ograničenja varijabli imamo:Dobivamo trokutastu regiju s vrhovimaUnaprijediti,dobijemo trokutKada hiperravnina siječe licedobijemo trokutKada hiperravnina siječe licedobijemo trokutDakle, vrhovi tetraedra imaju sljedeće koordinate... Lako je izračunati da je ovaj tetraedar doista ispravan.

zaključke

Dakle, u procesu ovog istraživanja proučavane su osnovne činjenice višedimenzionalne analitičke geometrije, proučavane su značajke konstruiranja kocki dimenzija od 0 do 3, proučavana je struktura četverodimenzionalne kocke, četverodimenzionalne kocke. analitički i geometrijski opisani izrađeni su modeli zamaha i središnjih projekcija trodimenzionalnih i četverodimenzionalnih kocki, trodimenzionalnih objekata koji nastaju presjekom četverodimenzionalne kocke hiperravninama paralelnim s jednom od njegovih trodimenzionalnih ploha, ili hiperravninama okomitim na njegovu glavnu dijagonalu.

Studija je omogućila otkrivanje duboke analogije u strukturi i svojstvima kocki različitih dimenzija. Korištena tehnika analogije može se primijeniti u istraživanju, npr.dimenzionalna sfera ilidimenzionalni simpleks. Naime,dimenzionalna sfera se može definirati kao skup točakadimenzionalni prostor jednako udaljen od zadane točke, koja se naziva središte sfere. Unaprijediti,dimenzionalni simpleks se može definirati kao diodimenzionalni prostor, ograničen minimalnim brojemdimenzionalne hiperravnine. Na primjer, jednodimenzionalni simpleks je segment (dio jednodimenzionalnog prostora omeđen s dvije točke), dvodimenzionalni simpleks je trokut (dio dvodimenzionalnog prostora omeđen s tri prave linije), trodimenzionalni simpleks je tetraedar (dio trodimenzionalnog prostora omeđen s četiri ravnine). Konačno,dimenzionalni simpleks je definiran kao diodimenzionalni prostor, ograničenhiperravnina dimenzija.

Imajte na umu da je, unatoč brojnim primjenama teserakta u nekim područjima znanosti, ova studija još uvijek uglavnom matematička studija.

Bibliografija

1) Bugrov Y.S., Nikolsky S.M.Viša matematika, v.1 –M .: Bustard, 2005. - 284 str.

2) Kvantna. Četverodimenzionalna kocka / Duzhin S., Rubtsov V., br. 6, 1986.

3) Kvant. Kako crtati izmjerena kocka / Demidovich N.B., br. 8, 1974.

U geometriji hiperkocka- ovo je n-dimenzionalna analogija kvadrata ( n= 2) i kocka ( n= 3). To je zatvoreni, konveksni oblik koji se sastoji od skupina paralelnih linija koje se nalaze na suprotnim rubovima oblika, a međusobno su povezane pod pravim kutom.

Ova brojka je također poznata kao teserakta(teserakt). Tesserakt se odnosi na kocku kao što se kocka odnosi na kvadrat. Formalnije, teserakt se može opisati kao pravilni konveksni četverodimenzionalni politop (politop) čija se granica sastoji od osam kubnih ćelija.

Prema Oxfordskom rječniku engleskog jezika, teserakt je 1888. skovao Charles Howard Hinton i upotrijebio ga u svojoj knjizi Nova era misli. Riječ je nastala od grčkog "τεσσερες ακτινες" ("četiri zraka"), postoje četiri osi koordinata. Osim toga, u nekim se izvorima nazivala ista brojka tetrakub(tetrakub).

n-dimenzionalna hiperkocka se također naziva n-kocka.

Točka je hiperkocka dimenzije 0. Ako pomaknete točku za jedinicu duljine, dobit ćete segment jedinične duljine - hiperkocka dimenzija 1. Nadalje, ako pomaknete segment za jedinicu duljine u smjeru okomitom smjeru segmenta, dobiva se kocka - hiperkocka dimenzije 2. Pomaknuvši kvadrat za jedinicu duljine u smjeru okomitom na ravninu kvadrata, dobije se kocka - hiperkocka dimenzije 3. Ovaj proces može se generalizirati na bilo koji broj dimenzija. Na primjer, ako pomaknete kocku za jednu jedinicu duljine u četvrtoj dimenziji, dobit ćete teserakt.

Obitelj hiperkocki je jedan od rijetkih pravilnih poliedara koji se može predstaviti u bilo kojoj dimenziji.

Elementi hiperkocke

Dimenzijska hiperkocka n ima 2 n"stranice" (jednodimenzionalna linija ima 2 točke; dvodimenzionalni kvadrat - 4 strane; trodimenzionalna kocka - 6 lica; četverodimenzionalni teserakt - 8 ćelija). Broj vrhova (točaka) hiperkocke je 2 n(na primjer, za kocku - 2 3 vrha).

Količina m-dimenzionalne hiperkocke na granici n-kocka jednaka

Na primjer, granica hiperkocke sadrži 8 kocki, 24 kvadrata, 32 brida i 16 vrhova.

Ravninska projekcija

Formiranje hiperkocke može se predstaviti na sljedeći način:

• Dvije točke A i B mogu se spojiti u odsječak AB.
• Dva paralelna pravca AB i CD mogu se spojiti u kvadrat ABCD.
• Dva paralelna kvadrata ABCD i EFGH mogu se spojiti u kocku ABCDEFGH.
• Dvije paralelne kocke ABCDEFGH i IJKLMNOP mogu se spojiti u hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.

Potonju strukturu nije lako zamisliti, ali je moguće prikazati njezinu projekciju na 2D ili 3D prostor. Štoviše, projekcije na 2D ravninu mogu biti korisnije jer mogu preurediti položaje projiciranih vrhova. U ovom slučaju možete dobiti slike koje više ne odražavaju prostorne odnose elemenata unutar teserakta, ali ilustriraju strukturu veza vrhova, kao u primjerima u nastavku.

Prva ilustracija pokazuje kako, u principu, teserak nastaje spajanjem dviju kockica. Ovaj dijagram je sličan dijagramu za stvaranje kocke od dva kvadrata. Drugi dijagram pokazuje da svi rubovi teserakta imaju istu duljinu. Ova shema vas također prisiljava da tražite kocke povezane jedna s drugom. U trećem dijagramu, vrhovi teserakta nalaze se u skladu s udaljenostima duž rubova u odnosu na donju točku. Ova shema je zanimljiva po tome što se koristi kao osnovna shema za topologiju mreže povezivanja procesora pri organiziranju paralelnog računanja: udaljenost između bilo koja dva čvora ne prelazi 4 duljine ruba, a postoji mnogo različitih načina za uravnoteženje opterećenja.

Hiperkocka u umjetnosti

Hiperkocka se u znanstvenofantastičnoj literaturi pojavljuje od 1940. godine, kada je Robert Heinlein u priči "I sagradio je krivu kuću" opisao kuću izgrađenu u obliku teserakta. U priči, ova Dalje, ova kuća se ruši, pretvarajući se u četverodimenzionalni teserakt. Nakon toga, hiperkocka se pojavljuje u mnogim knjigama i romanima.

Film "Cube 2: Hypercube" priča priču o osam ljudi zarobljenih u mreži hiperkocki.

Slika Salvadora Dalija "Raspeće" ("Raspeće (Corpus Hypercubus)", 1954.) prikazuje Isusa razapetog na teseraktu. Ova slika se može vidjeti u Metropolitan Museum of Art u New Yorku.

Zaključak

Hiperkocka je jedan od najjednostavnijih četverodimenzionalnih objekata, na čijem primjeru možete vidjeti svu složenost i neobičnost četvrte dimenzije. I ono što izgleda nemoguće u tri dimenzije, eventualno u četiri, na primjer, nemoguće figure. Tako će, na primjer, šipke nemogućeg trokuta u četiri dimenzije biti spojene pod pravim kutom. I ova će figura izgledati ovako sa svih stajališta, i neće biti iskrivljena, za razliku od realizacije nemogućeg trokuta u trodimenzionalnom prostoru (vidi.

Evolucija ljudskog mozga odvijala se u trodimenzionalnom prostoru. Stoga nam je teško zamisliti prostore dimenzija većih od tri. Zapravo, ljudski mozak ne može zamisliti geometrijske objekte s dimenzijom većom od tri. A u isto vrijeme, lako možemo zamisliti geometrijske objekte dimenzija ne samo tri, već i dimenzija dva i jedan.

Razlika i analogija između jednodimenzionalnih i dvodimenzionalnih prostora, kao i razlika i analogija između dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih prostora, dopuštaju nam da malo otvorimo ekran misterija koji nas dijeli od prostora veće dimenzije. Da biste razumjeli kako se ova analogija koristi, razmotrite vrlo jednostavan četverodimenzionalni objekt - hiperkocku, odnosno četverodimenzionalnu kocku. Neka, radi određenosti, pretpostavimo da želimo riješiti specifičan problem, naime, izbrojati broj kvadrata četverodimenzionalne kocke. Cijelo razmatranje u nastavku bit će vrlo opušteno, bez ikakvih dokaza, čisto po analogiji.

Da biste razumjeli kako se hiperkocka gradi od obične kocke, prvo morate vidjeti kako se obična kocka gradi od običnog kvadrata. Radi originalnosti prezentacije ovog materijala, ovdje ćemo obični kvadrat nazvati podkockom (i nećemo ga brkati sa sukubusom).

Da biste izgradili kocku od potkocke, trebate je rastegnuti u smjeru okomitom na ravninu potkocke u smjeru treće dimenzije. U tom slučaju, sa svake strane izvorne potkocke će rasti po jedna potkocka, koja je bočna dvodimenzionalna površina kocke, koja će ograničiti trodimenzionalni volumen kocke s četiri strane, dvije okomite na svaki smjer u ravnina potkocke. A duž nove treće osi nalaze se i dvije potkube koje ograničavaju trodimenzionalni volumen kocke. Ovo je dvodimenzionalno lice na kojem se izvorno nalazila naša potkocka i ono dvodimenzionalno lice kocke gdje je potkocka došla na kraju konstrukcije kocke.

Ovo što ste upravo pročitali izneseno je pretjerano detaljno i s puno pojašnjenja. I ne ležerno. Sada ćemo napraviti ovaj trik, neke ćemo riječi u prethodnom tekstu formalno zamijeniti na ovaj način:
kocka -> hiperkocka
potkocka -> kocka
ravnina -> volumen
treći -> četvrti
dvodimenzionalni -> trodimenzionalni
četiri -> šest
trodimenzionalni -> četverodimenzionalni
dva -> tri
ravnina -> prostor

Kao rezultat, dobivamo sljedeći suvisli tekst, koji se više ne čini pretjerano detaljnim.

Da biste od kocke izgradili hiperkocku, morate je rastegnuti u smjeru okomitom na volumen kocke u smjeru četvrte dimenzije. U ovom slučaju, kocka će rasti sa svake strane izvorne kocke, koja je bočna trodimenzionalna površina hiperkocke, koja će ograničiti četverodimenzionalni volumen hiperkocke sa šest strana, tri okomito na svaki smjer u prostor kocke. A duž nove četvrte osi nalaze se i dvije kocke koje ograničavaju četverodimenzionalni volumen hiperkocke. Ovo je trodimenzionalno lice na kojem se izvorno nalazila naša kocka i ono trodimenzionalno lice hiperkocke gdje je kocka došla na kraju konstrukcije hiperkocke.

Zašto smo toliko uvjereni da smo dobili točan opis konstrukcije hiperkocke? Budući da upravo istom formalnom zamjenom riječi dobivamo opis konstrukcije kocke iz opisa konstrukcije kvadrata. (Provjerite sami.)

Sada je jasno da ako sa svake strane kocke raste još jedna trodimenzionalna kocka, onda bi iz svakog ruba početne kocke trebalo rasti lice. Sveukupno kocka ima 12 bridova, što znači da će se u tih 6 kocki koje ograničavaju četverodimenzionalni volumen duž tri osi trodimenzionalnog prostora pojaviti dodatnih 12 novih lica (potkocki). I još uvijek postoje dvije kocke koje ograničavaju ovaj četverodimenzionalni volumen odozdo i odozgo duž četvrte osi. Svaka od ovih kockica ima 6 lica.

Ukupno, dobivamo da hiperkocka ima 12 + 6 + 6 = 24 kvadratna lica.

Sljedeća slika prikazuje logičku strukturu hiperkocke. To je poput projekcije hiperkocke na trodimenzionalni prostor. To rezultira trodimenzionalnim okvirom od rebara. Na slici se, naravno, vidi i projekcija ovog okvira na ravninu.

Na ovom okviru, unutarnja kocka je takoreći početna kocka od koje je započela konstrukcija i koja ograničava četverodimenzionalni volumen hiperkocke duž četvrte osi odozdo. Ovu početnu kocku razvlačimo prema gore duž četvrte mjerne osi i ona prelazi u vanjsku kocku. Dakle, vanjska i unutarnja kocka s ove slike ograničavaju hiperkocku duž osi četvrte dimenzije.

A između ove dvije kocke vidljivo je još 6 novih kockica koje imaju zajednička lica s prve dvije. Ovih šest kocki ograničavaju našu hiperkocku duž tri osi trodimenzionalnog prostora. Kao što vidite, oni su u kontaktu ne samo s prve dvije kocke, koje su unutarnje i vanjske na ovom trodimenzionalnom okviru, već su i dalje u kontaktu jedna s drugom.

Možete izračunati točno na slici i uvjeriti se da hiperkocka stvarno ima 24 lica. Ali postavlja se ovo pitanje. Ovaj kostur hiperkocke u 3D prostoru ispunjen je sa osam 3D kocki bez ikakvih praznina. Da bi se od ove trodimenzionalne projekcije hiperkocke napravila prava hiperkocka, potrebno je ovaj okvir okrenuti iznutra prema van tako da svih 8 kocki ograničavaju 4-dimenzionalni volumen.

Ovako se to radi. Pozivamo stanovnika četverodimenzionalnog prostora u posjet i molimo ga da nam pomogne. On hvata unutarnju kocku ovog kostura i pomiče je u smjeru četvrte dimenzije, koja je okomita na naš trodimenzionalni prostor. U našem trodimenzionalnom prostoru doživljavamo ga kao da je cijeli unutarnji okvir nestao, a ostao samo okvir vanjske kocke.

Nadalje, naš četverodimenzionalni asistent nudi svoju pomoć u rodilištima za bezbolni porođaj, ali naše trudnice plaše se izgledom da će beba jednostavno nestati iz trbuha i završiti u paralelnom trodimenzionalnom prostoru. Stoga se četveročlana pristojno odbija.

I mi smo zbunjeni pitanjem jesu li se neke naše kocke odlijepile kada se okvir hiperkocke okrene naopačke. Uostalom, ako neke trodimenzionalne kocke koje okružuju hiperkocku dodiruju svojim licima svoje susjede na okviru, hoće li i one dodirivati ​​ta ista lica ako četverodimenzionalna okrene okvir iznutra?

Vratimo se opet analogiji s prostorima niže dimenzije. Usporedite žičanu sliku hiperkocke s projekcijom trodimenzionalne kocke na ravninu prikazanu na sljedećoj slici.

Stanovnici dvodimenzionalnog prostora izgradili su na ravni okvir projekcije kocke na ravninu i pozvali nas, trodimenzionalne stanovnike, da ovaj okvir okrenemo naopačke. Uzimamo četiri vrha unutarnjeg kvadrata i pomičemo ih okomito na ravninu. Istodobno, dvodimenzionalni stanovnici vide potpuni nestanak cijelog unutarnjeg okvira, a imaju samo okvir vanjskog kvadrata. S takvom operacijom svi kvadrati koji su bili u dodiru sa svojim rubovima nastavljaju dodirivati ​​iste rubove kao i prije.

Stoga se nadamo da se logička shema hiperkocke također neće narušiti kada se okvir hiperkocke okrene iznutra prema van, te da se broj kvadrata hiperkocke neće povećati i da će ostati jednak 24. Ovo, naravno, , nije dokaz, već čisto nagađanje po analogiji...

Nakon što pročitate sve ovdje, lako možete nacrtati logične žičane okvire petodimenzionalne kocke i izračunati koliko ima vrhova, bridova, lica, kocki i hiperkocki. Uopće nije teško.

Ako ste obožavatelj filmova Osvetnici, prvo što vam padne na pamet kada čujete riječ "Tesseract" je prozirna kockasta posuda Beskonačnog kamena koja sadrži bezgraničnu moć.

Za obožavatelje Marvelovog svemira, Tesseract je svijetleća plava kocka koja izluđuje ljude ne samo sa Zemlje, već i s drugih planeta. Zbog toga su se svi Osvetnici udružili kako bi zaštitili Zemljane od ekstremno razornih sila Tesserakta.

Međutim, mora se reći sljedeće: Teserakt je stvarni geometrijski koncept, odnosno oblik koji postoji u 4D. Ovo nije samo plava kocka iz Osvetnika ... to je pravi koncept.

Teserakt je objekt u 4 dimenzije. No prije nego što to detaljno objasnimo, krenimo od početka.

Što je dimenzija?

Svatko je čuo pojmove 2D i 3D, koji predstavljaju dvodimenzionalne ili trodimenzionalne objekte u prostoru. Ali koje su to dimenzije?

Mjerenje je jednostavno smjer u kojem možete ići. Na primjer, ako crtate crtu na komadu papira, možete ići lijevo/desno (x-os) ili gore/dolje (y-os). Dakle, kažemo da je papir dvodimenzionalan, budući da možete hodati samo u dva smjera.

Postoji osjećaj dubine u 3D.

Sada, u stvarnom svijetu, osim u dva gore spomenuta smjera (lijevo/desno i gore/dolje), možete ići u/iz. Stoga se u 3D prostor dodaje osjećaj dubine. Stoga kažemo da je stvarni život trodimenzionalan.

Točka može predstavljati 0 dimenzija (jer se ne pomiče ni u jednom smjeru), linija predstavlja 1 dimenziju (dužinu), kvadrat predstavlja 2 dimenzije (dužinu i širinu), a kocka predstavlja 3 dimenzije (dužina, širina i visina ).

Uzmite 3D kocku i zamijenite svako lice (koje je trenutno kvadrat) kockom. I tako! Oblik koji dobijete je teserakt.

Što je teserakt?

Jednostavno rečeno, teserakt je kocka u 4-dimenzionalnom prostoru. Također možete reći da je to 4D analog kocke. To je 4D oblik gdje je svako lice kocka.

Evo jednostavnog načina za konceptualizaciju dimenzija: kvadrat je dvodimenzionalan; dakle, svaki od njegovih kutova ima 2 linije koje se protežu od njega pod kutom od 90 stupnjeva jedna prema drugoj. Kocka je 3D, tako da svaki njezin kut ima 3 crte koje se spuštaju od njega. Isto tako, teserakt je 4D oblik, tako da svaki kut ima 4 linije koje se protežu od njega.

Zašto je teško zamisliti teserakt?

Budući da smo mi, kao ljudi, evoluirali da vizualiziramo objekte u tri dimenzije, sve što ide u dodatne dimenzije kao što su 4D, 5D, 6D, itd., za nas nema previše smisla, jer ih uopće ne možemo imati. Zamislite. Naš mozak ne može razumjeti 4. dimenziju svemira. Jednostavno ne možemo razmišljati o tome.

Međutim, samo zato što ne možemo vizualizirati koncept višedimenzionalnih prostora ne znači da on ne može postojati.

Matematički gledano, teserakt je savršeno točan oblik. Isto tako, svi oblici u višim dimenzijama, tj. 5D i 6D, također su matematički vjerojatni.

Baš kao što se kocka može proširiti na 6 kvadrata u 2D prostoru, teserak se može proširiti na 8 kocki u 3D prostoru.

Iznenađujuće i neshvatljivo, zar ne?

Dakle, teserakt je "pravi koncept" koji je matematički apsolutno vjerojatan, a ne samo svijetleća plava kocka oko koje se bore u filmovima Osvetnici.

Čim sam nakon operacije mogao održati predavanje, prvo pitanje koje su studenti postavili:

Kada ćete nam nacrtati 4-dimenzionalnu kocku? Ilyas Abdulkhaevich nam je obećao!

Sjećam se da moji dragi prijatelji ponekad vole trenutak matematičkog obrazovnog programa. Stoga ću i ovdje napisati dio svog predavanja za matematičare. I probat ću bez zamora. U nekim sam trenucima predavanje čitao strože, naravno.

Prvo se dogovorimo. 4-dimenzionalni, a još više 5-6-7- i općenito k-dimenzionalni prostor nije nam dan u osjetilnim senzacijama.
“Jadni smo jer smo samo trodimenzionalni”, rekao je moj učitelj u nedjeljnoj školi, koji mi je prvi rekao što je 4-dimenzionalna kocka. Nedjeljna škola je, naravno, bila izrazito religiozna – matematička. Ovaj put smo proučavali hiper-kocke. Tjedan dana prije toga, matematička indukcija, tjedan dana nakon toga, Hamiltonov ciklus u grafovima - odnosno, ovo je 7. razred.

Ne možemo dodirnuti, pomirisati, čuti ili vidjeti 4D kocku. Što možemo učiniti s tim? Možemo to zamisliti! Zato što je naš mozak puno složeniji od naših očiju i ruku.

Dakle, da bismo razumjeli što je 4-dimenzionalna kocka, prvo shvatimo što nam je dostupno. Što je 3-dimenzionalna kocka?

OK OK! Ne tražim od vas jasnu matematičku definiciju. Zamislite samo najjednostavniju i najobičniju trodimenzionalnu kocku. Jeste li predstavili?

Dobro.
Da bismo razumjeli kako generalizirati 3-dimenzionalnu kocku u 4-dimenzionalni prostor, shvatimo što je 2-dimenzionalna kocka. Tako je jednostavno - to je kvadrat!

Kvadrat ima 2 koordinate. Kocka ima tri. Točke kvadrata su točke s dvije koordinate. Prvi je od 0 do 1. A drugi je od 0 do 1. Točke kocke imaju tri koordinate. I svaki je bilo koji broj od 0 do 1.

Logično je zamisliti da je 4-dimenzionalna kocka takva stvar s 4 koordinate i sve od 0 do 1.

/ * Također je logično zamisliti 1-dimenzionalnu kocku, koja nije ništa više od jednostavnog segmenta od 0 do 1. * /

Dakle, stani, kako nacrtati 4-dimenzionalnu kocku? Uostalom, ne možemo nacrtati 4-dimenzionalni prostor na ravnini!
Ali također ne crtamo 3-dimenzionalni prostor na ravnini, mi ga crtamo projekcija na 2-dimenzionalnu ravninu crteža. Treću koordinatu (z) postavljamo pod kutom, zamišljajući da os iz ravnine crteža ide "prema nama".

Sada je sasvim jasno kako nacrtati 4-dimenzionalnu kocku. Na isti način kao što smo treću os postavili pod određenim kutom, uzmite četvrtu os i također je postavite pod određenim kutom.
I voila! - projekcija 4-dimenzionalne kocke na ravninu.

Što? Što je ovo uopće? Uvijek čujem šapat sa stražnjih stolova. Dopustite mi da pobliže objasnim što je to zbrka linija.
Prvo pogledajte trodimenzionalnu kocku. Što smo učinili? Uzeli smo kvadrat i povukli ga po trećoj osi (z). To je poput mnogih, mnogo papirnatih kvadrata zalijepljenih u hrpu.
Isto je i s 4-dimenzionalnom kockom. Nazovimo četvrtu os "vremenska os" radi praktičnosti i u svrhu znanstvene fantastike. Trebamo uzeti običnu trodimenzionalnu kocku i povući je u vremenu s vremena "sada" na vrijeme "za sat vremena".

Imamo sada kocku. Na slici je roza.

A sada ga povlačimo duž četvrte osi - duž vremenske osi (pokazala sam zelenom bojom). I dobivamo kocku budućnosti - plavu.

Svaki vrh "kocke sada" ostavlja trag u vremenu - segment. Povezivanje njezine sadašnjosti s njezinom budućnošću.

Ukratko, bez teksta: nacrtali smo dvije identične 3-dimenzionalne kocke i spojili odgovarajuće vrhove.
Na isti način kao što smo učinili s 3-dimenzionalnom kockom (nacrtajte 2 identične 2-dimenzionalne kocke i povežite vrhove).

Da biste nacrtali 5-dimenzionalnu kocku, morat ćete nacrtati dvije kopije 4-dimenzionalne kocke (4-dimenzionalnu kocku s petom koordinatom 0 i 4-dimenzionalnu kocku s petom koordinatom 1) i povezati odgovarajuće vrhove s rubovi. Istina, u avionu će izaći takva zbrka rubova da će biti gotovo nemoguće bilo što razumjeti.

Kada smo zamislili 4-dimenzionalnu kocku i čak je uspjeli nacrtati, možemo je istražiti na bilo koji način. Ne zaboravite ga istražiti i u mislima i na slici.
Na primjer. 2-dimenzionalna kocka je s 4 strane omeđena jednodimenzionalnim kockama. To je logično: za svaku od 2 koordinate ima i početak i kraj.
Trodimenzionalna kocka je sa 6 strana omeđena 2-dimenzionalnim kockama. Za svaku od tri koordinate ima početak i kraj.
To znači da 4-dimenzionalna kocka mora biti ograničena na osam 3-dimenzionalnih kocki. Na svakoj od 4 koordinate - s obje strane. Na gornjoj slici jasno vidimo 2 lica koja ga povezuju duž "vremenske" koordinate.

Ovdje su dvije kocke (pomalo su koso jer imaju 2 dimenzije projicirane na ravninu pod kutom), koje ograničavaju našu hiper-kocku s lijeve i desne strane.

Također je lako uočiti "vrh" i "dno".

Najteže je vizualno razumjeti gdje su "prednja strana" i "straga". Prednja počinje od prednje strane "kocke sada" pa do prednje strane "kocke budućnosti" - crvene je boje. Stražnji, odnosno, ljubičasti.

Najteže ih je uočiti jer vam se pod nogama zapetljaju druge kocke, što hiperkocku ograničava u drugoj projiciranoj koordinati. Ali imajte na umu da su kocke ipak različite! Evo još jedne slike, gdje su istaknute "kocka sada" i "kocka budućnosti".

Naravno, moguće je projicirati 4-dimenzionalnu kocku u 3-dimenzionalni prostor.
Prvi mogući prostorni model jasno je kako izgleda: trebate uzeti 2 kocka kocke i spojiti njihove odgovarajuće vrhove s novim rubom.
Sad nemam takav model. Na predavanju studentima pokazujem malo drugačiji 3-dimenzionalni model 4-dimenzionalne kocke.

Znate kako se kocka projicira na ovakvu ravninu.
Kao da gledamo kocku odozgo.

Najbliža linija je, naravno, velika. A dalji rub izgleda manji, vidimo ga kroz bliži.

Ovako možete projicirati 4-dimenzionalnu kocku. Kocka je sada veća, vidimo kocku budućnosti u daljini, pa izgleda manja.

Na drugoj strani. Sa strane vrha.

Ravno ravno sa strane lica:

Sa strane rebra:

I zadnji kut, asimetričan. Iz rubrike "I ti mi kažeš da sam mu gledao među rebra."

Pa onda možeš smisliti bilo što. Na primjer, kako postoji pomicanje 3-dimenzionalne kocke na ravninu (ovako trebate izrezati list papira da biste dobili kocku pri savijanju), postoji i zamah 4-dimenzionalne kocke u svemir. To je kao da izrežete komad drveta tako da presavijanjem u 4-dimenzionalni prostor dobijemo teserakt.

Možete proučavati ne samo 4-dimenzionalnu kocku, već općenito n-dimenzionalne kocke. Na primjer, je li točno da je polumjer kugle opisane oko n-dimenzionalne kocke manji od duljine ruba te kocke? Ili, evo jednostavnijeg pitanja: koliko vrhova ima n-dimenzionalna kocka? Koliko bridova (1-dimenzionalnih lica)?