Dokaz i izvođenje formula za derivaciju prirodnog logaritma i baze logaritma. Primjeri izračunavanja izvedenica od ln 2x, ln 3x i ln nx. Dokaz formule za derivaciju n-tog reda logaritma metodom matematičke indukcije.

Sadržaj

Vidi također: Logaritam - svojstva, formule, graf
Prirodni logaritam - svojstva, formule, graf

Izvođenje formula za derivacije prirodnog logaritma i baze logaritma a

Derivat prirodnog logaritma od x jednak je jedinici podijeljenoj s x:
(1) (ln x) ′ =.

Derivat baze logaritma a jednak je jedinici podijeljenom s varijablom x puta prirodnim logaritmom a:
(2) (log a x) ′ =.

Dokaz

Neka postoji neki pozitivan broj koji nije jednak jedinici. Razmotrimo funkciju koja ovisi o varijabli x, što je logaritam bazi:
.
Ova je funkcija definirana na. Nađimo njegovu derivaciju s obzirom na varijablu x. Po definiciji, derivacija je sljedeća granica:
(3) .

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na dobro poznata matematička svojstva i pravila. Da bismo to učinili, moramo znati sljedeće činjenice:
A) Svojstva logaritma. Potrebne su nam sljedeće formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(7) .
Ovdje je neka funkcija koja ima granicu i ta granica je pozitivna.
V) Značenje druge izvanredne granice:
(8) .

Primjenjujemo ove činjenice do naših granica. Prvo transformiramo algebarski izraz
.
Za to primjenjujemo svojstva (4) i (5).

.

Upotrijebimo svojstvo (7) i drugu izvanrednu granicu (8):
.

I na kraju, primjenjujemo svojstvo (6):
.
Baza logaritma e pozvao prirodni logaritam... Označava se kako slijedi:
.
Zatim ;
.

Tako smo dobili formulu (2) za derivaciju logaritma.

Derivat prirodnog logaritma

Još jednom ispisujemo formulu za derivaciju logaritma s obzirom na bazu a:
.
Ova formula ima najjednostavniji oblik za prirodni logaritam, za koji,. Zatim
(1) .

Zbog ove jednostavnosti, prirodni logaritam se vrlo široko koristi u matematičkoj analizi i drugim granama matematike vezanim za diferencijalni račun. Logaritamske funkcije s drugim bazama mogu se izraziti prirodnim logaritmom korištenjem svojstva (6):
.

Osnovna derivacija logaritma može se naći iz formule (1), ako se konstanta izuzme iz predznaka diferencijacije:
.

Drugi načini dokazivanja derivacije logaritma

Ovdje pretpostavljamo da znamo formulu za derivaciju eksponenta:
(9) .
Tada možemo izvesti formulu za derivaciju prirodnog logaritma, s obzirom da je logaritam inverzna eksponencijalna funkcija.

Dokažimo formulu za derivaciju prirodnog logaritma, primjenom formule za derivaciju inverzne funkcije:
.
U našem slučaju . Funkcija inverzna prirodnom logaritmu je eksponent:
.
Njegova derivacija određena je formulom (9). Varijable se mogu označiti bilo kojim slovom. U formuli (9) zamijenite varijablu x s ​​y:
.
Od tad
.
Zatim
.
Formula je dokazana.

Sada ćemo dokazati formulu za derivaciju prirodnog logaritma pomoću složena pravila diferencijacije funkcija... Budući da su funkcije i inverzne jedna drugoj, onda
.
Ovu jednadžbu razlikujemo s obzirom na varijablu x:
(10) .
X-derivat je jednak jedan:
.
Primjenjujemo pravilo razlikovanja složene funkcije:
.
ovdje . Zamjena u (10):
.
Odavde
.

Primjer

Pronađite izvedenice od u 2x, U 3x i ln nx.

Izvorne funkcije su slične. Stoga ćemo pronaći derivaciju funkcije y = ln nx... Zatim uključite n = 2 i n = 3. I, tako, dobivamo formule za derivacije od U 2x i U 3x .

Dakle, tražimo derivaciju funkcije
y = ln nx .
Zamislimo ovu funkciju kao složenu funkciju, koja se sastoji od dvije funkcije:
1) Funkcije ovisne o varijabli:;
2) Funkcije ovisne o varijabli:.
Tada se izvorna funkcija sastoji od funkcija i:
.

Nađimo derivaciju funkcije s obzirom na varijablu x:
.
Nađimo derivaciju funkcije s obzirom na varijablu:
.
Primjenjujemo formulu za derivaciju kompleksne funkcije.
.
Ovdje smo postavili.

Tako smo pronašli:
(11) .
Vidimo da je derivacija neovisna o n. Ovaj rezultat je sasvim prirodan ako transformiramo izvornu funkciju pomoću formule za logaritam proizvoda:
.
je konstantan. Njegov derivat je nula. Tada, prema pravilu za diferenciranje zbroja, imamo:
.

; ; .

Derivat logaritma modula x

Nađimo derivaciju druge vrlo važne funkcije - prirodnog logaritma modula x:
(12) .

Razmotrimo slučaj. Tada funkcija ima oblik:
.
Njegova derivacija određena je formulom (1):
.

Sada razmotrite slučaj. Tada funkcija ima oblik:
,
gdje .
Ali smo također pronašli derivaciju ove funkcije u gornjem primjeru. Ne ovisi o n i jednak je
.
Zatim
.

Kombiniramo ova dva slučaja u jednu formulu:
.

Prema tome, za bazu logaritma a imamo:
.

Derivati ​​prirodnog logaritma višeg reda

Razmotrite funkciju
.
Pronašli smo njegov derivat prvog reda:
(13) .

Pronađite izvod drugog reda:
.
Pronađite izvod trećeg reda:
.
Nađimo derivaciju četvrtog reda:
.

Vidi se da derivacija n-tog reda ima oblik:
(14) .
Dokažimo to metodom matematičke indukcije.

Dokaz

Zamijenimo vrijednost n = 1 u formulu (14):
.
Budući da je onda za n = 1 , vrijedi formula (14).

Pretpostavimo da formula (14) vrijedi za n = k. Dokažimo da to implicira da formula vrijedi za n = k + 1 .

Doista, za n = k imamo:
.
Razlikujemo s obzirom na varijablu x:

.
Tako smo dobili:
.
Ova formula se podudara s formulom (14) za n = k + 1 ... Dakle, iz pretpostavke da formula (14) vrijedi za n = k slijedi da formula (14) vrijedi za n = k + 1 .

Prema tome, formula (14), za derivaciju n-tog reda, vrijedi za bilo koje n.

Izvodnice višeg reda logaritma s bazom a

Da biste pronašli derivaciju n-tog reda od baze logaritam, trebate je izraziti prirodnim logaritmom:
.
Primjenom formule (14) nalazimo n-tu izvodnicu:
.

Vidi također:

Složene izvedenice. Logaritamski izvod.
Izvod eksponencijalne funkcije

Nastavljamo poboljšavati našu tehniku ​​diferencijacije. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati obrađeno gradivo, razmotriti složenije derivacije, a također ćemo se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje derivacije, posebice s logaritamskim izvodom.

Oni čitatelji s niskom razinom obuke trebali bi pogledati članak Kako mogu pronaći izvedenicu? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivat složene funkcije, razumjeti i riješiti svi primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća po redu, a nakon što je svladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je pridržavati se stava „Gdje drugdje? I dosta je!”, jer su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnih testova i često se nalaze u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na satu Derivat složene funkcije pogledali smo niz primjera s detaljnim komentarima. Tijekom proučavanja diferencijalnog računa i drugih grana matematičke analize morat ćete vrlo često razlikovati, a primjere nije uvijek zgodno (i nije uvijek potrebno) pisati vrlo detaljno. Stoga ćemo vježbati pronalaženje izvedenica usmeno. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati ​​najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferencijacije složene funkcije :

Prilikom proučavanja drugih tema matana u budućnosti, tako detaljan zapis često nije potreban, pretpostavlja se da student može pronaći slične izvedenice na automatskom autopilotu. Zamislite da je u 3 ujutro zazvonio telefon i prijatan glas upitao: "Koja je derivacija tangenta dva X-a?" Nakon toga trebao bi uslijediti gotovo trenutni i pristojan odgovor: .

Prvi primjer će odmah biti namijenjen za samostalno rješenje.

Primjer 1

Pronađite sljedeće izvedenice usmeno, u jednom koraku, na primjer:. Da biste dovršili zadatak, trebate koristiti samo tablica derivacija elementarnih funkcija(ako se još ne sjeća). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem da ponovno pročitate lekciju. Derivat složene funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složene izvedenice

Nakon preliminarne topničke pripreme, primjeri s priključcima s 3-4-5 funkcija bit će manje zastrašujući. Možda će se sljedeća dva primjera nekome činiti teškim, ali ako ih razumijete (netko će patiti), onda će vam se gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu činiti kao djetinjasta šala.

Primjer 2

Pronađite derivaciju funkcije

Kao što je već spomenuto, pri pronalaženju derivacije složene funkcije, prije svega, potrebno je pravo RAZUMIJETE priloge. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost "X", na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) tu vrijednost zamijeniti u "strašan izraz".

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je iznos najdublje ulaganje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim podignite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferencijaciju složenih funkcija primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije do najnutarnje. Mi odlučujemo:

Izgleda bez greske....

(1) Uzmi derivaciju kvadratnog korijena.

(2) Izvod razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stupnja (kocke).

(4) Uzimamo derivaciju kosinusa.

(5) Uzimamo derivaciju logaritma.

(6) Konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg gniježđenja.

Možda zvuči preteško, ali ovo još nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, zbirku Kuznjecova i cijenit ćete sav šarm i jednostavnost analizirane izvedenice. Primijetio sam da na ispitu vole dati sličnu stvar kako bi provjerili razumije li student kako pronaći derivaciju složene funkcije, ili ne razumije.

Sljedeći primjer je za rješenje uradi sam.

Primjer 3

Pronađite derivaciju funkcije

Savjet: Prvo primijenite pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Kompletno rješenje i odgovor na kraju tutoriala.

Sada je vrijeme da prijeđete na nešto kompaktnije i slađe.
Nije neuobičajeno da primjer daje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju umnoška tri faktora?

Primjer 4

Pronađite derivaciju funkcije

Prvo, da vidimo je li moguće pretvoriti umnožak tri funkcije u umnožak dviju funkcija? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, onda bismo mogli proširiti zagrade. Ali u ovom primjeru sve su funkcije različite: stupanj, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je potrebno dosljedno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što za "y" označavamo umnožak dviju funkcija:, a za "ve" - ​​logaritam:. Zašto se to može učiniti? Je li - ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplicirano:

Sada preostaje po drugi put primijeniti pravilo u zagradi:

Još uvijek možete biti izopačeni i staviti nešto izvan zagrada, ali u ovom slučaju bolje je ostaviti odgovor u ovom obliku - lakše će se provjeriti.

Razmatrani primjer može se riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno jednaka.

Primjer 5

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za neovisno rješenje, u uzorku se rješava na prvi način.

Pogledajmo slične primjere s razlomcima.

Primjer 6

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

No rješenje će biti napisano kompaktnije ako, prije svega, upotrijebimo pravilo za razlikovanje kvocijenta , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako ga ostavite kako jest, neće biti pogreška. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt, ali je li moguće pojednostaviti odgovor? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i riješite se trokatnice:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji opasnost od pogreške ne u pronalaženju izvedenice, već u slučaju banalnih školskih transformacija. S druge strane, učitelji često odbijaju zadatak i traže da se izvedenica „dosjeti na pamet“.

Jednostavniji primjer rješenja uradi sam:

Primjer 7

Pronađite derivaciju funkcije

Nastavljamo svladavati metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se za diferencijaciju predlaže "strašni" logaritam

Primjer 8

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo razlikovanja složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah uranja u malodušnost - morate uzeti neugodnu izvedenicu iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zato prije kako uzeti derivaciju "fancy" logaritma, preliminarno se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule upravo tamo. Ako nemate bilježnicu, ponovno ih nacrtajte na komadu papira, jer će se ostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje može biti strukturirano ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronađite derivaciju:

Predkonfiguriranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Dakle, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek ga je preporučljivo "razbiti".

A sada nekoliko jednostavnih primjera za samostalno rješenje:

Primjer 9

Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 10

Pronađite derivaciju funkcije

Sve transformacije i odgovori na kraju lekcije.

Logaritamski izvod

Ako je derivat logaritama tako slatka glazba, onda se postavlja pitanje je li moguće u nekim slučajevima logaritam organizirati umjetno? Limenka! Pa čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite derivaciju funkcije

Nedavno smo vidjeli slične primjere. Što uraditi? Možete dosljedno primjenjivati ​​pravilo razlikovanja kvocijenta, a zatim i pravilo razlikovanja rada. Nedostatak ove metode je što dobivate ogroman trokatni razlomak, s kojim se uopće ne želite baviti.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamski derivat. Logaritmi se mogu umjetno organizirati tako da se "okače" na obje strane:

Bilješka : otkako funkcija može imati negativne vrijednosti, tada, općenito govoreći, trebate koristiti module: koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni dizajn je također prihvatljiv, gdje se uzimaju u obzir zadane vrijednosti kompleks vrijednosti. Ali ako uz svu ozbiljnost, onda u oba slučaja, treba napraviti rezervu.

Sada morate maksimalno "uništiti" logaritam desne strane (formule pred vašim očima?). Opisat ću ovaj proces vrlo detaljno:

Zapravo, prelazimo na diferencijaciju.
Oba dijela prilažemo ispod crte:

Izvedba desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste se samouvjereno nositi s njim.

Što je s lijevom stranom?

S lijeve strane imamo složena funkcija... Predviđam pitanje: "Zašto, ima i jedno slovo" ygrek "ispod logaritma?"

Činjenica je da ovo "jedno slovo igrek" - SAMA JE FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Izvedeno iz implicitne funkcije). Dakle, logaritam je vanjska funkcija, a "igra" je unutarnja funkcija. I koristimo pravilo razlikovanja složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao magijom, imamo izvedenicu. Nadalje, prema pravilu proporcije, bacamo "igru" od nazivnika lijeve strane do vrha desne strane:

A sada se prisjećamo o kakvoj smo funkciji "igre" raspravljali u diferencijaciji? Gledamo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Uzorak dizajna primjera ove vrste na kraju lekcije.

Uz pomoć logaritamskog izvoda bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera 4-7, ali druga stvar je što su tamo funkcije jednostavnije, a možda upotreba logaritamskog izvoda nije baš opravdana.

Izvod eksponencijalne funkcije

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Eksponencijalna funkcija je funkcija u kojoj a stupanj i baza ovise o "x"... Klasičan primjer koji će vam biti dat u bilo kojem udžbeniku ili na bilo kojem predavanju:

Kako pronaći derivaciju eksponencijalne funkcije?

Potrebno je koristiti upravo razmatranu tehniku ​​- logaritamsku derivaciju. Objesite logaritme na obje strane:

U pravilu se stupanj vadi ispod logaritma na desnoj strani:

Kao rezultat, na desnoj strani dobili smo umnožak dviju funkcija koje će se razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo derivaciju, za to stavljamo oba dijela ispod poteza:

Daljnje radnje su jednostavne:

Konačno:

Ako bilo koja transformacija nije sasvim jasna, molimo pažljivo ponovno pročitajte objašnjenja u primjeru 11.

U praktičnim zadacima eksponencijalna funkcija će uvijek biti kompliciranija od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite derivaciju funkcije

Koristimo logaritamski izvod.

Na desnoj strani imamo konstantu i umnožak dva faktora - "x" i "logaritam logaritma od x" (drugi logaritam je ugrađen ispod logaritma). Prilikom razlikovanja konstante, kako se sjećamo, bolje je odmah izvaditi predznak derivacije kako vam ne bi smetao pod nogama; i naravno primjenjujemo poznato pravilo :

Vrlo je lako zapamtiti.

Pa, da ne idemo daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo "prirodnim", a za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga piši.

Čemu je jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite derivaciju funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije sa stajališta derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, što ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja izvedenice.

To je sve. Kako drugačije nazvati ovaj proces jednom riječju? Nije derivacija ... Diferencijal matematike naziva se isti prirast funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia – razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također su nam potrebne formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se pomiče izvan znaka derivacije.

Ako je neki konstantan broj (konstanta), onda.

Očito, ovo pravilo radi i za razliku:.

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite derivacije funkcija:

1. u točki;
2. u točki;
3. u točki;
4. u točki.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim točkama, budući da je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat djela

Ovdje je sve isto: uvodimo novu funkciju i nalazimo njezin prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Pronađite derivacije funkcija i;
2. Pronađite derivaciju funkcije u točki.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li zaboravili što je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo baciti našu funkciju na novi osnova:

Da bismo to učinili, koristit ćemo jednostavno pravilo:. Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći derivaciju i ne zaboravite da je ova funkcija zeznuta.

dogodilo?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakav kakav je bio, ostao je, pojavio se samo množitelj, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivacije funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se napisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga u odgovoru ostavljamo u ovom obliku.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dviju funkcija, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:

U ovom primjeru, proizvod dviju funkcija:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, pronaći proizvoljan jedan od logaritma s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam morate dovesti u bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada, umjesto da pišemo:

Nazivnik je samo konstanta (konstantni broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:

Derivati ​​eksponencijalne i logaritamske funkcije gotovo se nikada ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat složene funkcije.

Što je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, a ne arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (iako vam se čini da je logaritam težak, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će proći), ali s gledišta matematike riječ "teško" ne znači "teško".

Zamislite malu pokretnu traku: dvije osobe sjede i rade nekakvu akciju s nekim predmetima. Primjerice, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Ispada takav kompozitni objekt: čokoladna pločica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate napraviti obrnute korake obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo rezultirajući broj kvadrirati. Dakle, zadan nam je broj (čokoladica), ja pronađem njegov kosinus (omot), a onda kvadriraš ono što ja imam (zavežeš ga vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvršimo prvu akciju izravno s varijablom, a zatim drugu drugu akciju s rezultatom prve.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer,.

Iste radnje možemo napraviti obrnutim redoslijedom: prvo kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada promijenite redoslijed radnji, funkcija se mijenja.

Drugi primjer: (isto). ...

Akcija koju radimo posljednju će biti pozvana "Vanjski" funkcija, a radnja poduzeta prva - respektivno "Interna" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Odvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koja je prva radnja koju treba poduzeti? Prvo ćemo izračunati sinus, a tek onda ćemo ga podići na kocku. To znači da je to unutarnja funkcija, ali vanjska.
   A izvorna funkcija je njihov sastav:.
2. Interni:; vanjski:.
   Ispitivanje: .
3. Interni:; vanjski:.
   Ispitivanje: .
4. Interni:; vanjski:.
   Ispitivanje: .
5. Interni:; vanjski:.
   Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

E, sad ćemo izvući našu čokoladicu - potražite izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

Čini se da je sve jednostavno, zar ne?

Provjerimo primjerima:

rješenja:

1) Interni:;

Vanjski:;

2) Interni:;

(samo ne pokušavajte smanjiti do sada! Ništa se ne može izvaditi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni:;

Vanjski:;

Odmah je jasno da se radi o složenoj funkciji na tri razine: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje također izvlačimo korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavljamo čokoladicu u omot i stavite ga u aktovku s vrpcom). Ali nema razloga za strah: svejedno, ovu funkciju ćemo "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve ovo umnožimo.

U takvim je slučajevima prikladno numerirati korake. Odnosno, zamislimo što znamo. Kojim ćemo redoslijedom izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Uzmimo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti "vanjska". Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Definirajmo tijek djelovanja.

1. Radikalan izraz. ...

2. Korijen. ...

3. Sinus. ...

4. Kvadrat. ...

5. Spajanje svega:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNOM

Derivat funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta s beskonačno malim prirastom argumenta:

Osnovne izvedenice:

Pravila diferencijacije:

Konstanta se pomiče izvan znaka derivacije:

Derivat iznosa:

Derivat rada:

Derivat kvocijenta:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

1. Definiramo "unutarnju" funkciju, nalazimo njenu derivaciju.
2. Definiramo "vanjsku" funkciju, nalazimo njenu derivaciju.
3. Množimo rezultate prve i druge točke.