Geometrijsko značenje pojma izvedenice. Geometrijsko značenje izvedenice

Derivat funkcije f (x) u točki x0 je granica (ako postoji) omjera prirasta funkcije u točki x0 i prirasta argumenta Δx, ako prirast argumenta teži nula i označava se s f '(x0). Radnja pronalaženja derivacije funkcije naziva se diferencijacija.
Izvod funkcije ima sljedeće fizičko značenje: derivacija funkcije u danoj točki je brzina promjene funkcije u danoj točki.

Geometrijsko značenje izvedenice... Derivat u točki x0 jednak je nagibu tangente na graf funkcije y = f (x) u ovoj točki.

Fizičko značenje izvedenice. Ako se točka kreće duž x-osi i njezina se koordinata mijenja prema zakonu x (t), tada je trenutna brzina točke:

Diferencijalni pojam, njegova svojstva. Pravila diferencijacije. Primjeri.

Definicija. Diferencijal funkcije u nekoj točki x je glavni, linearni dio prirasta funkcije.Diferencijal funkcije y = f (x) jednak je umnošku njezine derivacije i prirasta nezavisne varijable x ( argument).

Napisano je ovako:

ili

Ili


Diferencijalna svojstva
Diferencijal ima svojstva slična onima derivacije:





DO osnovna pravila diferencijacije uključuju:
1) uzimanje konstantnog faktora iz predznaka derivacije
2) derivacija zbroja, derivacija razlike
3) derivacija umnoška funkcija
4) derivacija kvocijenta dviju funkcija (derivacija razlomka)

Primjeri.
Dokažimo formulu: Prema definiciji derivacije, imamo:

Proizvoljni faktor se može pomaknuti izvan predznaka prijelaza do granice (to je poznato iz svojstava granice), dakle

Na primjer: Pronađite derivaciju funkcije
Riješenje: Koristit ćemo se pravilom uzimanja faktora iz predznaka derivacije :

Vrlo često morate najprije pojednostaviti oblik diferencirane funkcije da biste koristili tablicu izvodnica i pravila za pronalaženje derivacija. Sljedeći primjeri to jasno potvrđuju.

Formule diferencijacije. Diferencijalna primjena u približnim proračunima. Primjeri.

Korištenje diferencijala u približnim izračunima omogućuje vam korištenje diferencijala za približne izračune vrijednosti funkcije.
Primjeri.
Pomoću diferencijala izračunajte približno
Za izračunavanje ove vrijednosti primjenjujemo formulu iz teorije
Uvedemo u razmatranje funkciju i predstavimo zadanu vrijednost u obliku
zatim Izračunaj

Zamjenjujući sve u formulu, konačno dobivamo
Odgovor:

16. L'Hôpitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞ / ∞. Primjeri.
Granica omjera dviju beskonačno malih ili dviju beskonačno velikih veličina jednaka je granici omjera njihovih derivacija.

1)

17. Povećanje i smanjenje funkcije. Ekstremna funkcija. Algoritam za ispitivanje funkcije za monotonost i ekstrem. Primjeri.

Funkcija povećava se na intervalu ako nejednakost vrijedi za bilo koje dvije točke ovog intervala povezane relacijom. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide "od dna prema vrhu". Demo funkcija raste na intervalu

Slično, funkcija smanjuje se na intervalu, ako je za bilo koje dvije točke zadanog intervala, tako da je nejednakost istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide "od vrha do dna". Naš se smanjuje u intervalima smanjuje se u intervalima .

Ekstremi Točka se naziva maksimalnom točkom funkcije y = f (x) ako nejednakost vrijedi za sve x iz njezina susjedstva. Poziva se vrijednost funkcije u točki maksimuma maksimalna funkcija i označiti.
Točka se naziva minimalnom točkom funkcije y = f (x) ako nejednakost vrijedi za sve x iz njezina susjedstva. Poziva se vrijednost funkcije u minimalnoj točki minimalna funkcija i označiti.
Pod susjedstvom točke podrazumijeva se interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.
Minimalne i maksimalne točke nazivaju se točke ekstrema, a vrijednosti funkcije koje odgovaraju točkama ekstrema nazivaju se ekstremi funkcije.

Za istraživanje funkcije na monotoniju, koristite sljedeću shemu:
- Pronađite opseg funkcije;
- Naći derivaciju funkcije i domenu derivacije;
- Pronađite nule derivacije, t.j. vrijednost argumenta za koji je derivacija nula;
- Na brojevnim zrakama označite zajednički dio domene funkcije i domenu njezine derivacije, a na njemu - nule derivacije;
- Odrediti predznake derivacije u svakom od dobivenih intervala;
- Po predznacima derivacije odredi u kojim razmacima funkcija raste, a u kojima opada;
- Zapišite odgovarajuće razmake odvojene točkom i zarezom.

Algoritam za proučavanje kontinuirane funkcije y = f (x) za monotonost i ekstreme:
1) Pronađite derivaciju f ′ (x).
2) Pronađite stacionarne (f ′ (x) = 0) i kritične (f ′ (x) ne postoji) točke funkcije y = f (x).
3) Označite stacionarne i kritične točke na brojevnoj liniji i odredite predznake derivacije na dobivenim intervalima.
4) Donijeti zaključke o monotonosti funkcije i njezinih točaka ekstrema.

18. Konveksnost funkcije. Pregibne točke. Algoritam za proučavanje funkcije za konveksnost (konkavnost) Primjeri.

konveksno prema dolje na intervalu X, ako njegov graf nije niže od tangente na njega u bilo kojoj točki intervala X.

Poziva se funkcija koju treba razlikovati konveksno prema gore na intervalu X, ako se njegov graf nalazi ne više od tangente na njega u bilo kojoj točki intervala X.

Točka formule se zove prevojna točka funkcija y = f (x), ako u danoj točki postoji tangenta na graf funkcije (može biti paralelna s osi Oy) i postoji takvo susjedstvo formule točke, unutar koje je graf funkcije funkcija ima različite smjerove konveksnosti lijevo i desno od točke M.

Pronalaženje intervala za konveksnost:

Ako funkcija y = f (x) ima konačan drugi izvod na intervalu X i ako je nejednakost (), tada graf funkcije ima ispupčenje usmjereno prema dolje (gore) na X.
Ovaj teorem omogućuje pronalaženje intervala konkavnosti i konveksnosti funkcije, potrebno je samo riješiti nejednakosti, odnosno na području definicije izvorne funkcije.

Primjer: Pronađite intervale u kojima je graf funkcije Pronađite intervale u kojima je graf funkcije ima izbočenje prema gore i izbočenje prema dolje. ima izbočenje prema gore i izbočenje prema dolje.
Riješenje: Područje ove funkcije je cijeli skup realnih brojeva.
Nađimo drugu izvedenicu.

Područje definicije druge derivacije poklapa se s područjem definicije izvorne funkcije, stoga je za pronalaženje intervala konkavnosti i konveksnosti dovoljno riješiti i, respektivno. Stoga je funkcija konveksna prema dolje na formuli intervala i konveksna prema gore na formuli intervala.

19) Asimptote funkcije. Primjeri.

Ravna crta se zove vertikalna asimptota graf funkcije ako je barem jedna od graničnih vrijednosti jednaka ili.

Komentar. Ravna crta ne može biti vertikalna asimptota ako je funkcija kontinuirana u točki. Stoga vertikalne asimptote treba tražiti u točkama diskontinuiteta funkcije.

Ravna crta se zove horizontalna asimptota graf funkcije ako je barem jedna od graničnih vrijednosti ili jednaka.

Komentar. Funkcijski graf može imati samo desnu horizontalnu asimptotu ili samo lijevu.

Ravna crta se zove kosa asimptota graf funkcije ako

PRIMJER:

Vježbajte. Pronađite asimptote grafa funkcije

Riješenje. Opseg funkcije:

a) vertikalne asimptote: pravac - vertikalna asimptota, budući da

b) horizontalne asimptote: nalazimo granicu funkcije u beskonačnosti:

odnosno nema horizontalnih asimptota.

c) kose asimptote:

Dakle, kosa asimptota je:.

Odgovor. Vertikalna asimptota je ravna.

Kosa asimptota je ravna.

20) Opća shema proučavanja funkcije i konstrukcije grafa. Primjer.

a.
Pronađite ODZ i točke prekida funkcije.

b. Pronađite točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osi.

2. Provedite proučavanje funkcije pomoću prvog izvoda, odnosno pronađite točke ekstrema funkcije i intervale rasta i opadanja.

3. Istražiti funkciju pomoću derivacije drugog reda, odnosno pronaći točke pregiba grafa funkcije i intervale njezine konveksnosti i konkavnosti.

4. Pronađite asimptote grafa funkcije: a) okomita, b) kosa.

5. Na temelju studije izgraditi graf funkcije.

Imajte na umu da je prije crtanja grafa korisno odrediti je li zadana funkcija neparna ili parna.

Podsjetimo da se funkcija poziva čak i ako se vrijednost funkcije ne promijeni kada se promijeni znak argumenta: f (-x) = f (x) a funkcija se naziva neparnom ako f (-x) = -f (x).

U ovom slučaju, dovoljno je istražiti funkciju i izgraditi njezin graf za pozitivne vrijednosti argumenta koji pripada ODZ-u. Za negativne vrijednosti argumenta, graf se dovršava na temelju toga da je za parnu funkciju simetričan u odnosu na os Oy, a za neparne u odnosu na ishodište.

Primjeri. Istražite funkcije i nacrtajte njihove grafove.

Opseg funkcije D (y) = (–∞; + ∞). Ne postoje točke prekida.

Sjecište osi Vol: x = 0,y = 0.

Funkcija je neparna, stoga ju je moguće proučavati samo na intervalu, a njen argument je u jedinicama [x], tada se derivacija (brzina) mjeri u jedinicama.

Problem 6

x(t) = 6t 2 − 48t+ 17, gdje x t t= 9s.

Pronađite derivaciju
x"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
Tako smo dobili ovisnost brzine o vremenu. Da biste pronašli brzinu u datom trenutku vremena, trebate zamijeniti njezinu vrijednost u rezultirajuću formulu:
x"(t) = 12t − 48.
x"(9) = 12 9 - 48 = 60.

Odgovor: 60

Komentar: Pazimo da ne griješimo s dimenzijom količina. Ovdje je mjerna jedinica udaljenosti (funkcija) [x] = metar, jedinica vremena (argument funkcije) [t] = sekunda, dakle mjerna jedinica derivacije = [m/s], tj. derivacija daje brzinu upravo u onim jedinicama koje se spominju u pitanju problema.

Problem 7

Materijalna točka kreće se pravocrtno prema zakonu x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+ 23, gdje x- udaljenost od referentne točke u metrima, t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u trenutku u vremenu t= 3s.

Pronađite derivaciju
x"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Zadani trenutak u vremenu zamjenjujemo u rezultirajuću formulu
x"(3) = −4 · 3 3 + 18 · 3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

Odgovor: 59

Problem 8

Materijalna točka kreće se pravocrtno prema zakonu x(t) = t 2 − 13t+ 23, gdje x- udaljenost od referentne točke u metrima, t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kojem trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 3 m / s?

Pronađite derivaciju
x"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Brzinu koju daje rezultirajuća formula izjednačavamo s vrijednošću od 3 m / s.
2t − 13 = 3.
Nakon što smo riješili ovu jednadžbu, utvrđujemo u kojem trenutku je jednakost istinita.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Odgovor: 8

Problem 9

Materijalna točka kreće se pravocrtno prema zakonu x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3, gdje x- udaljenost od referentne točke u metrima, t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kojem trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 2 m / s?

Pronađite derivaciju
x"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
Također sastavljamo jednadžbu:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Ovo je kvadratna jednadžba koja se može riješiti korištenjem diskriminanta ili Vietinog teorema. Ovdje je, po mom mišljenju, drugi način lakši:
t 1 + t 2 = 6; t 1 · t 2 = −7.
Lako je to pogoditi t 1 = −1; t 2 = 7.
U odgovor stavljamo samo pozitivan korijen, budući da vrijeme ne može biti negativno.