Gaussov teorem za vektor električne indukcije. Ostrogradsky–Gaussov teorem

Gaussov teorem za električnu indukciju (električni pomak)[

Za polje u dielektričnom mediju, Gaussov elektrostatički teorem može se napisati i na drugi način (alternativno) - kroz tok vektora električnog pomaka (električna indukcija). U ovom slučaju, formulacija teorema je sljedeća: protok vektora električnog pomaka kroz zatvorenu površinu proporcionalan je slobodnom električnom naboju unutar te površine:

U diferencijalnom obliku:

Gaussov teorem za magnetsku indukciju

Tok vektora magnetske indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je nuli:

ili u diferencijalnom obliku

To je ekvivalentno činjenici da u prirodi ne postoje "magnetski naboji" (monopoli) koji bi stvarali magnetsko polje, kao što električni naboji stvaraju električno polje. Drugim riječima, Gaussov teorem za magnetsku indukciju pokazuje da je magnetsko polje (u potpunosti) vrtložni.

Gaussov teorem za Newtonovu gravitaciju

Za jakost polja Newtonove gravitacije (ubrzanje slobodnog pada) Gaussov se teorem praktički poklapa s onim u elektrostatici, osim konstanti (no još uvijek ovise o proizvoljnom izboru sustava jedinica) i, što je najvažnije, predznaka :

Gdje g- intenzitet gravitacionog polja, M- gravitacijski naboj (tj. masa) unutar površine S, ρ - gustoća mase, G je Newtonova konstanta.

vodiči u električnom polju. Polje unutar vodiča i na njegovoj površini.

Vodiči su tijela kroz koja električni naboji mogu prelaziti s nabijenog tijela na nenabijeno. Sposobnost vodiča da kroz njih prolaze električni naboji objašnjava se prisutnošću slobodnih nositelja naboja u njima. Vodiči - metalna tijela u krutom i tekućem stanju, tekuće otopine elektrolita. Slobodni naboji vodiča uvedenog u električno polje počinju se gibati pod njegovim djelovanjem. Preraspodjela naboja uzrokuje promjenu električnog polja. Kada jakost električnog polja u vodiču postane nula, elektroni se prestaju kretati. Pojava razdvajanja suprotnih naboja u vodiču koji se nalazi u električnom polju naziva se elektrostatička indukcija. Unutar vodiča nema električnog polja. Služi za elektrostatičku zaštitu - zaštitu metalnim vodičima od električnog polja. Površina vodljivog tijela bilo kojeg oblika u električnom polju je ekvipotencijalna površina.

Kondenzatori

Za dobivanje uređaja koji bi pri malom potencijalu u odnosu na medij na sebi akumulirali (kondenzirali) naboje zamjetne veličine, koriste se činjenicom da se električni kapacitet vodiča povećava kada mu se približavaju druga tijela. Doista, pod djelovanjem polja koje stvaraju nabijeni vodiči, na tijelu dovedenom do njega nastaju inducirani (na vodiču) ili vezani (na dielektriku) naboji (sl. 15.5). Naboji suprotnog predznaka od naboja vodiča q nalaze se bliže vodiču od onih koji su istog imena s q, pa stoga imaju veliki utjecaj na njegov potencijal.

Stoga, kada se tijelo dovede do nabijenog vodiča, jakost polja se smanjuje, a posljedično i potencijal vodiča. Prema jednadžbi to znači povećanje kapacitivnosti vodiča.

Kondenzator se sastoji od dva vodiča (ploče) (slika 15.6), odvojena dielektričnim slojem. Kada se na vodič dovede određena razlika potencijala, njegove ploče se naelektrišu jednakim nabojima suprotnog predznaka. Električni kapacitet kondenzatora shvaća se kao fizikalna veličina proporcionalna naboju q i obrnuto proporcionalna razlici potencijala između ploča.

Odredimo kapacitet ravnog kondenzatora.

Ako je površina ploče S, a naboj na njoj q, tada je jakost polja između ploča

S druge strane, razlika potencijala između ploča odakle

Energija sustava točkastih naboja, nabijenog vodiča i kondenzatora.

Svaki sustav naboja ima neku potencijalnu energiju interakcije, koja je jednaka radu utrošenom na stvaranje tog sustava. Energija sustava točkastih naboja q 1 , q 2 , q 3 ,… q N definira se na sljedeći način:

Gdje φ 1 - potencijal električnog polja stvorenog svim nabojima osim q 1 na mjestu gdje je naboj q 1 itd. Ako se promijeni konfiguracija sustava naboja, mijenja se i energija sustava. Za promjenu konfiguracije sustava mora se raditi.

Potencijalna energija sustava točkastih naboja može se izračunati i na drugi način. Potencijalna energija dva točkasta naboja q 1 , q 2 na međusobnoj udaljenosti je jednak. Ako postoji više naboja, tada se potencijalna energija ovog sustava naboja može definirati kao zbroj potencijalnih energija svih parova naboja koji se mogu sastaviti za ovaj sustav. Dakle, za sustav od tri pozitivna naboja, energija sustava je jednaka

Energija nabijenog usamljenog vodiča i kondenzatora

Ako usamljeni vodič ima naboj q, tada oko njega postoji električno polje čiji je potencijal na površini vodiča , a kapacitet C. Povećajmo naboj za dq. Pri prijenosu naboja dq iz beskonačnosti rad jednak . Ali potencijal elektrostatskog polja danog vodiča u beskonačnosti jednak je nuli. Zatim

Pri prijenosu naboja dq s vodiča u beskonačnost isti rad izvrše i sile elektrostatskog polja. Posljedično, s povećanjem naboja vodiča za dq, povećava se potencijalna energija polja, tj.

Integrirajući ovaj izraz, nalazimo potencijalnu energiju elektrostatskog polja nabijenog vodiča dok njegov naboj raste od nule do q:

Primjenom relacije mogu se dobiti sljedeći izrazi za potencijalnu energiju W:

Za nabijeni kondenzator razlika potencijala (napon) je stoga jednaka omjeru ukupne energije njegovog elektrostatskog polja u obliku

Opća formulacija: Protok vektora jakosti električnog polja kroz bilo koju proizvoljno odabranu zatvorenu površinu proporcionalan je električnom naboju sadržanom unutar te površine.

U GSSE sustavu:

U SI sustavu:

je tok vektora jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu.

je ukupni naboj sadržan u volumenu koji omeđuje površinu.

je električna konstanta.

Ovaj izraz je Gaussov teorem u integralnom obliku.

U diferencijalnom obliku, Gaussov teorem odgovara jednoj od Maxwellovih jednadžbi i izražava se kako slijedi

u SI sustavu:

,

u GSSE sustavu:

Ovdje je volumna gustoća naboja (u slučaju prisutnosti medija ukupna gustoća slobodnih i vezanih naboja), a nabla operator.

Za Gaussov teorem vrijedi princip superpozicije, odnosno da tok vektora naprezanja kroz površinu ne ovisi o raspodjeli naboja unutar površine.

Fizička osnova Gaussovog teorema je Coulombov zakon ili, inače, Gaussov teorem je integralna formulacija Coulombovog zakona.

Gaussov teorem za električnu indukciju (električni pomak).

Za polje u tvari Gaussov elektrostatski teorem može se napisati i na drugi način - kroz tok vektora električnog pomaka (električna indukcija). U ovom slučaju, formulacija teorema je sljedeća: protok vektora električnog pomaka kroz zatvorenu površinu proporcionalan je slobodnom električnom naboju unutar te površine:

Ako uzmemo u obzir teorem za jakost polja u tvari, tada je kao naboj Q potrebno uzeti zbroj slobodnog naboja unutar površine i polarizacijskog (induciranog, vezanog) naboja dielektrika:

,

Gdje ,
je vektor dielektrične polarizacije.

Gaussov teorem za magnetsku indukciju

Tok vektora magnetske indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je nuli:

.

To je ekvivalentno činjenici da u prirodi ne postoje "magnetski naboji" (monopoli) koji bi stvarali magnetsko polje, kao što električni naboji stvaraju električno polje. Drugim riječima, Gaussov teorem za magnetsku indukciju pokazuje da je magnetsko polje vrtložno.

Primjena Gaussovog teorema

Za izračun elektromagnetskih polja koriste se sljedeće veličine:

Gustoća skupnog naboja (vidi gore).

Gustoća površinskog naboja

gdje je dS infinitezimalna površina površine.

Linearna gustoća naboja

gdje je dl duljina infinitezimalnog segmenta.

Razmotrimo polje koje stvara beskonačna homogena nabijena ravnina. Neka je površinska gustoća naboja ravnine ista i jednaka σ. Mentalno zamislite cilindar s generatorima okomitim na ravninu i bazom ΔS koja se nalazi simetrično u odnosu na ravninu. Zbog simetrije. Vektorski tok intenziteta jednak je . Primjenom Gaussove teoreme dobivamo:

,

od kojeg

u sustavu GSSE

Važno je napomenuti da unatoč svojoj univerzalnosti i općenitosti, Gaussov teorem u integralnom obliku ima relativno ograničenu primjenu zbog nepogodnosti izračuna integrala. Međutim, u slučaju simetričnog problema, njegovo rješavanje postaje mnogo jednostavnije od korištenja principa superpozicije.

Najteže je proučavanje električnih pojava u nehomogenom električnom mediju. U takvom mediju ε ima različite vrijednosti, naglo se mijenjajući na granici dielektrika. Pretpostavimo da odredimo jakost polja na granici između dva medija: ε 1 =1 (vakuum ili zrak) i ε 2 =3 (tekućina - ulje). Na sučelju, tijekom prijelaza iz vakuuma u dielektrik, jakost polja se smanjuje za faktor tri, a tok vektora jakosti smanjuje se za isti iznos (slika 12.25, a). Nagla promjena vektora jakosti elektrostatskog polja na granici između dva medija stvara određene poteškoće u izračunavanju polja. Što se tiče Gaussovog teorema, on pod ovim uvjetima općenito gubi smisao.

Budući da su polarizabilnost i intenzitet različitih dielektrika različiti, broj linija polja u svakom dielektriku također će biti različit. Ova se poteškoća može otkloniti uvođenjem nove fizikalne karakteristike polja, električne indukcije D (ili vektora električni pomak ).

Prema formuli

ε 1 E 1 \u003d ε 2 E 2 \u003d E 0 \u003d konst

Množenjem svih dijelova ovih jednakosti električnom konstantom ε 0 dobivamo

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 = ε 0 E 0 = konst.

Uvedimo oznaku ε 0 εE=D tada će predzadnja relacija dobiti oblik

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Vektor D, jednak umnošku jakosti električnog polja u dielektriku i njegove apsolutne permitivnosti, naziva sevektor električnog pomaka

(12.45)

Jedinica za električni pomak je privjesak po kvadratnom metru(C/m 2 ).

Električni pomak je vektorska veličina, također se može izraziti kao

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Za razliku od napetosti E, električni pomak D je konstantan u svim dielektricima (slika 12.25, b). Stoga je prikladno karakterizirati električno polje u nehomogenom dielektričnom mediju ne intenzitetom E, već vektorom pomaka D. Vektor D opisuje elektrostatsko polje stvoreno slobodnim nabojima (tj. u vakuumu), ali s takvom raspodjelom u prostoru kao u prisutnosti dielektrika, budući da vezani naboji koji nastaju u dielektriku mogu izazvati preraspodjelu slobodnih naboja stvarajući polje .

Vektorsko polje se grafički prikazuje električnim linijama pomaka na isti način kao i polje predstavljena linijama sile.

Linija električnog pomaka su pravci čije se tangente u svakoj točki podudaraju u smjeru s vektorom električnog pomaka.

Pravci vektora E mogu počinjati i završavati na bilo kojem naboju - slobodnom i vezanom, dok pravci vektoraD- samo uz besplatne naknade. Vektorske linijeDza razliku od linija napetosti su kontinuirane.

Budući da vektor električnog pomaka ne doživljava diskontinuitet na sučelju između dva medija, tada će ga probiti sve indukcijske linije koje dolaze od naboja okruženih nekom zatvorenom površinom. Stoga za vektor električnog pomaka Gaussov teorem u potpunosti zadržava svoje značenje za nehomogen dielektrični medij.

Gaussov teorem za elektrostatičko polje u dielektriku : tok vektora električnog pomaka kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju naboja zatvorenih unutar te površine.

(12.47)

Svrha lekcije: Ostrogradski–Gaussov teorem postavio je ruski matematičar i mehaničar Mihail Vasiljevič Ostrogradski u obliku nekog općeg matematičkog teorema i njemački matematičar Carl Friedrich Gauss. Ovaj se teorem može koristiti u studiju fizike na razini profila, budući da omogućuje racionalnije izračune električnih polja.

Za izvođenje Ostrogradsky-Gaussovog teorema potrebno je uvesti tako važne pomoćne koncepte kao što su vektor električne indukcije i tok ovog vektora F.

Poznato je da se elektrostatsko polje često prikazuje pomoću linija sile. Pretpostavimo da smo odredili napetost u točki koja leži na granici između dva medija: zraka (=1) i vode (=81). U ovom trenutku, pri prelasku iz zraka u vodu, jakost električnog polja prema formuli smanjit će se za 81 puta. Ako zanemarimo vodljivost vode, tada će se za isti faktor smanjiti broj linija sile. Pri rješavanju različitih problema za izračunavanje polja stvaraju se određene neugodnosti zbog diskontinuiteta vektora jakosti na granici između medija i dielektrika. Da bi ih se izbjeglo, uvodi se novi vektor koji se naziva vektor električne indukcije:

Vektor električne indukcije jednak je umnošku vektora i električne konstante i permitivnosti medija u danoj točki.

Očito je da se pri prolasku kroz granicu dvaju dielektrika broj linija električne indukcije ne mijenja za polje točkastog naboja (1).

U SI sustavu vektor električne indukcije mjeri se u kulonima po kvadratnom metru (C / m 2). Izraz (1) pokazuje da brojčana vrijednost vektora ne ovisi o svojstvima medija. Vektorsko polje se grafički prikazuje slično kao i polje napetosti (npr. za točkasti naboj vidi sl. 1). Za vektorsko polje vrijedi princip superpozicije:

Tok električne indukcije

Vektor električne indukcije karakterizira električno polje u svakoj točki prostora. Može se uvesti još jedna veličina, ovisno o vrijednostima vektora ne u jednoj točki, već u svim točkama površine ograničene ravnom zatvorenom konturom.

Da bismo to učinili, razmotrimo ravni zatvoreni vodič (strujni krug) s površinom S, smješten u jednolično električno polje. Normala na ravninu vodiča zaklapa kut sa smjerom vektora električne indukcije (slika 2).

Protok električne indukcije kroz površinu S naziva se vrijednost jednaka umnošku modula vektora indukcije i površine S i kosinusa kuta između vektora i normale:

Ovaj teorem omogućuje pronalaženje toka vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu unutar koje se nalaze električni naboji.

Neka se najprije jedan točkasti naboj q nalazi u središtu kugle proizvoljnog radijusa r 1 (slika 3). Zatim ; . Izračunajmo ukupni tok indukcije koji prolazi cijelom površinom ove kugle: ; (). Ako uzmemo sferu polumjera , tada je i F = q. Ako nacrtamo sferu koja ne obuhvaća naboj q, tada je ukupni protok F \u003d 0 (budući da će svaka linija ući u površinu, a drugi put će je napustiti).

Dakle, F = q ako se naboj nalazi unutar zatvorene površine i F = 0 ako se naboj nalazi izvan zatvorene površine. Tok F ne ovisi o obliku površine. Također ne ovisi o rasporedu naboja unutar površine. To znači da dobiveni rezultat vrijedi ne samo za jedan naboj, već i za bilo koji broj proizvoljno lociranih naboja, ako pod q podrazumijevamo samo algebarski zbroj svih naboja koji se nalaze unutar površine.

Gaussov teorem: tok električne indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju svih naboja unutar površine: .

Iz formule je vidljivo da je dimenzija električnog toka jednaka dimenziji električnog naboja. Stoga je jedinica toka električne indukcije privjesak (C).

Napomena: ako je polje nehomogeno i površina kroz koju se određuje protok nije ravnina, tada se ta površina može podijeliti na infinitezimalne elemente ds i svaki element se može smatrati ravnim, a polje u njegovoj blizini homogenim. Stoga, za bilo koje električno polje, tok vektora električne indukcije kroz površinski element je: dF=. Kao rezultat integracije, ukupni tok kroz zatvorenu površinu S u bilo kojem nehomogenom električnom polju jednak je: , gdje je q algebarski zbroj svih naboja okruženih zatvorenom površinom S. Zadnju jednadžbu izražavamo preko jakosti električnog polja (za vakuum): .

Ovo je jedna od Maxwellovih temeljnih jednadžbi za elektromagnetsko polje, zapisana u integralnom obliku. Pokazuje da su izvor stalnog električnog polja u vremenu nepomični električni naboji.

Odredimo sada, koristeći Ostrogradsky-Gaussov teorem, jakost polja za nekoliko slučajeva.

1. Električno polje jednoliko nabijene sferne površine.

Kugla polumjera R. Neka je naboj +q jednoliko raspoređen po sfernoj površini polumjera R. Raspodjela naboja po površini karakterizirana je gustoćom površinskog naboja (slika 4). Gustoća površinskog naboja je omjer naboja i površine na kojoj je raspoređen. . U SI.

Odredimo jakost polja:

a) izvan sferne površine,
b) unutar sferne površine.

a) Uzmimo točku A, koja je udaljena r>R od središta nabijene sferne površine. Nacrtajmo mentalno kroz nju sfernu plohu S radijusa r, koja ima zajedničko središte s nabijenom sfernom plohom. Iz razmatranja simetrije očito je da su linije sile radijalne ravne crte okomite na površinu S i jednoliko prodiru kroz ovu površinu, tj. napetost u svim točkama ove površine je konstantne veličine. Primijenimo Ostrogradsky-Gaussov teorem na ovu sfernu površinu S radijusa r. Dakle, ukupni protok kroz sferu je N = E? S; N=E. Na drugoj strani . Izjednačiti: . Dakle: za r>R.

Dakle: napetost koju stvara jednoliko nabijena kuglasta površina izvan nje jednaka je kao da je cijeli naboj u njezinu središtu (sl. 5).

b) Odredimo jakost polja u točkama koje leže unutar nabijene sferne površine. Uzmimo točku B koja je udaljena od središta sfere . Tada je E = 0 za r

2. Jakost polja jednoliko nabijene beskonačne ravnine

Razmotrimo električno polje koje stvara beskonačna ravnina nabijena konstantnom gustoćom u svim točkama ravnine. Zbog simetrije možemo pretpostaviti da su linije napetosti okomite na ravninu i usmjerene od nje u oba smjera (slika 6).

Odaberemo točku A koja leži desno od ravnine i izračunamo u toj točki koristeći Ostrogradsky-Gaussov teorem. Kao zatvorenu plohu odaberemo cilindričnu plohu tako da je bočna ploha valjka paralelna sa silnicama, a njegove osnovice i paralelne s ravninom, a baza prolazi točkom A (slika 7). Izračunajmo tok napetosti kroz razmatranu cilindričnu plohu. Protok kroz bočnu površinu je 0, jer linije napetosti su paralelne s bočnom površinom. Tada je ukupni protok zbroj protoka i koji prolaze kroz baze cilindra i . Oba ova toka su pozitivna =+; =; =; ==; N=2.

- presjek ravnine koji leži unutar odabrane cilindrične površine. Naboj unutar ove površine je q.

Zatim ; - može se uzeti kao točkasti naboj) s točkom A. Za pronalaženje ukupnog polja potrebno je geometrijski zbrojiti sva polja koja stvara svaki element: ; .

Glavni primijenjeni zadatak elektrostatike je proračun električnih polja stvorenih u raznim uređajima i uređajima. Općenito, ovaj problem se rješava pomoću Coulombovog zakona i principa superpozicije. Međutim, ovaj problem postaje vrlo kompliciran kada se razmatra veliki broj točkastih ili prostorno raspoređenih naboja. Još veće poteškoće nastaju u prisutnosti dielektrika ili vodiča u prostoru, kada pod djelovanjem vanjskog polja E 0 dolazi do preraspodjele mikroskopskih naboja koji stvaraju vlastito dodatno polje E. Stoga, za praktično rješenje ovih problema, pomoćni koriste se metode i tehnike koje koriste složeni matematički aparat. Razmotrit ćemo najjednostavniju metodu koja se temelji na primjeni Ostrogradsky-Gaussovog teorema. Da bismo formulirali ovaj teorem, uvodimo nekoliko novih pojmova:

A) gustoća naboja

Ako je nabijeno tijelo veliko, tada morate znati raspodjelu naboja unutar tijela.

Gustoća nasipa- mjeri se nabojem po jedinici volumena:

Gustoća površinskog naboja- mjeri se nabojem jedinice površine tijela (kada je naboj raspoređen po površini):

Linearna gustoća naboja(raspodjela naboja duž vodiča):

b) vektor elektrostatske indukcije

Vektorska elektrostatska indukcija (vektor električnog pomaka) je vektorska veličina koja karakterizira električno polje.

Vektor jednak je produktu vektora o apsolutnoj permitivnosti medija u datoj točki:

Provjerimo dimenziju D u SI sustavu jedinica:

, jer
,

tada se dimenzije D i E ne podudaraju, a njihove numeričke vrijednosti su također različite.

Iz definicije slijedi da za vektorsko polje vrijedi isti princip superpozicije kao i za polje :

Polje se grafički prikazuje linijama indukcije, baš kao i polje . Indukcijske crte nacrtane su tako da se tangenta u svakoj točki poklapa s pravcem , a broj linija je jednak numeričkoj vrijednosti D na danoj lokaciji.

Da bismo razumjeli smisao uvoda pogledajmo primjer.

V) vektorski tok elektrostatske indukcije

Promotrite plohu S u električnom polju i odaberite smjer normale

1. Ako je polje jednoliko, tada je broj linija sile kroz površinu S:

2. Ako je polje neuniformno, tada je površina podijeljena na infinitezimalne elemente dS, koji se smatraju ravnima i polje u njihovoj blizini je homogeno. Prema tome, protok kroz površinski element je: dN = D n dS,

dok je ukupni protok kroz bilo koju površinu:

(6)

Tok indukcije N je skalarna vrijednost; ovisno o  može biti > 0 ili< 0, или = 0.